Professor: Adhimar
e-mail: adhimarflavio@unifei.edu.br
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12 de abril de 2016
1 M´etodo dos m´ınimos quadrados
2 Coeficiente de determina¸c˜ao r2
M´etodo dos m´ınimos quadrados
Suponha que foram realizadas v´arias medidas das grandezas x e y,
obtendo-se um conjunto de pontos: x1y1,x2y2, ...xnyn, sendoy uma
vari´avel relacionada a x pela equa¸c˜ao de uma reta
y=ax+b (1)
M´etodo dos m´ınimos quadrados
M´etodo dos m´ınimos quadrados
A estimativa das constantes ae b s˜ao aquelas que tornam m´ınima a
express˜ao:
n X
i=1 ǫ2i =
n X
i=1
(yi−(axi +b))2 (2)
que ´e a diferen¸ca entre o valor observado yi e o valor ajustadoaxi +b.
M´etodo dos m´ınimos quadrados
M´etodo dos m´ınimos quadrados
Diferenciando-se a equa¸c˜ao 2 com rela¸c˜aoa e b e igualando a zero
(condi¸c˜ao m´ınima).
∂P ǫ2i ∂a =
n X
i=1
∂[yi −(axi+b)]2 ∂a =−2
n X
i=1
[xiyi−axi2−bxi] = 0 (3)
∂P ǫ2i ∂b =
n X
i=1
∂[yi−(axi +b)]2 ∂b =−2
n X
i=1
M´etodo dos m´ınimos quadrados
Das equa¸c˜oes anteriores, temos
n X
i=1
xiyi =b n X
i=1
xi +a n X
i=1
xi2 (5)
n X
i=1
yi =b n X
i=1
xi +a n X
i=1
xi (6)
M´etodo dos m´ınimos quadrados
M´etodo dos m´ınimos quadrados
Da resolu¸c˜ao simultˆanea das equa¸c˜oes, temos
a=
Pn
i=1xiPni=1yi −nPni=1(xiyi)
(Pni=1xi)2−nPni=1xi2
(7)
b=
Pn
i=1(xiyi)Pni=1xi −Pni=1xi2 Pn
i=1yi
(Pni=1xi)2−nPni=1xi2
Coeficiente de determina¸c˜ao r2
Define-se ainda um coeficiente de determina¸c˜ao r2 que assume valores
entre 0 e 1. Quanto mais pr´oximo da unidade, tanto melhor o ajuste.
r2 =
Pn
i=1xiyi −
Pn i=1xi
Pn i=1 yni
2
h Pn
i=1xi2−
(Pni=1xi)2
n i h
Pn i=1yi2−
(Pni=1yi)2
n
i (9)
Exemplos
Exemplo 1
x 10 20 30 40 50 60 70 80
Exemplo 2
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29