Notas de Álgebra Linear

(1)

Notas de ´ Algebra Linear

Nicholas Funari Voltani

^∗

10 de maio de 2019

1 Begin from the Beginning

Defini¸c˜ao 1.1(Espa¸co Vetorial). Um espa¸co vetorial ´e uma tripla(V,⊕,)sobre um corpoK, satisfazendo as propriedades abaixo:

1. (∀x, y∈V) (x⊕y∈V)(soma de elementos deV) (a) (∀u, v∈V) (u⊕v=v⊕u)

(b) (∀u, v, w∈V) [(u⊕v)⊕w=u⊕(v⊕w)]

(c)

∃~0∈V

(∀u∈V)h

u⊕~0 =~0⊕u=ui (d) (∀u∈V)h

∃(−u)∈V |u⊕(−u) = (−u)⊕u=~0i 2. (∀α∈K) (∀u∈V) (αu∈V)(produto por escalar)

(a) (∀α, β∈K) (∀u∈V) [(αβ)u=α(βu)]

(b) (∀α∈K) (∀u, v∈V) [α(u⊕v) = (αu)⊕(βv)]

(c) (∀α, β∈K) (∀u∈V) [(α+β)u= (αu)⊕(βu)]

(d) (∃1∈K) (∀u∈V) (1u=u)

Observa¸c˜ao. Os elementos deV ser˜ao doravante chamados de vetores.

Defini¸c˜ao 1.2(Subespa¸co Vetorial). Seja(V,⊕,)um espa¸co vetorial, eS⊆V. Uma tripla

S,⊕ S×S,

_K×S

´

e um subespa¸co vetorial (deV) se atende `as propriedades:

1. (0∈S) 2. (∀u, v ∈S)

u⊕

S×Sv

∈S

3. (∀α∈K) (∀u∈S)

α _K×Su

∈S

∗[email protected]

(2)

2 Dependˆ encia de Conjuntos

Defini¸cão 2.1 (Combina¸cão Linear). Seja (V,⊕,) um espa¸co vetorial, e {v_i}^k_i=1 ⊆V. Uma combina¸cão linear dos vetores deste subconjunto é o vetor

Lk i=1αivi

∈V.

Observa¸c˜ao.

k

P

i=1

≡

k

L

i=1

a partir de agora, deixando impl´ıcito a soma⊕definida no espa¸co vetorial abordado;

além disso, não ressaltar-se-á a multiplica¸cão , e ⊕ ≡+, por simplicidade (mas sempre tendo em mente as opera¸cões definidas ao espa¸co vetorial abordado).

Defini¸cão 2.2(Independência Linear). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial, e {v_i}^k_i=1⊂V. Diz-se que {vi}^k_i=1é linearmente independente se

Pk

i=1αivi =~0

⇒(∀αi∈K, αi= 0)

Defini¸cão 2.3(Dependência Linear). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial, e {vi}^k_i=1⊂V. Diz-se que {vi}^k_i=1é linearmente dependente se não for linearmente independente, i.e., ∃αi∈K∧αi6= 0∧ Pk

i=1αivi=~0 Existe pelo

menos algum αi n˜ao-nulo.

Defini¸c˜ao 2.4(Span/Geradores em um Espa¸co Vetorial). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial, {vi}^k_i=1⊂V. Pode-se criar um subespa¸co vetorial de V a partir de algum subconjunto do mesmo, definindo

[v_i]^k_i=1≡

w∈V |w=

k

P

i=1

α_iv_i, α_i∈K

.

Note que wpertence a V por consistir de vetores de um subconjunto deV, unidos pela soma +e multiplica¸c˜ao por escalar· do mesmo espa¸co vetorial.

Observa¸c˜ao. Dizemos que um conjunto{vi}^k_i=1 gera (em inglˆes, spans)V se[v_i]^k_i=1=V, ou mais explici- tamente, se [v_i]^k_i=1⊆V

∧ V ⊆[v_i]^k_i=1 .

Defini¸c˜ao 2.5 (Espa¸cos Finitamente Gerados). Um espa¸co vetorial (V,+,·) ´e dito finitamente gerado se existe algum subconjunto de V,{v_i}ⁿ_i=1, tal que V = [v_i]ⁿ_i=1.

Teorema 2.1(Teorema de Extens˜ao de Conjuntos L.I.). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial,{vi}^k_i=1⊂V um conjunto L.I., e V 3w /∈[vi]^k_i=1 um vetor fora do espa¸co gerado por este subconjunto.

Ent˜ao {vi}^k_i=1∪w

tamb´em ser´a um conjunto L.I..

Demonstra¸cão. Note que, comow /∈[vi]^k_i=1, então não há combina¸cões lineares destes vetores que produza w. Logo, a somaPk

i=1αivi+βw=~0 =⇒ β= 0 =⇒ αi= 0 (pois, seβ6= 0, entãow∈[vi], ao isolá-lo em fun¸cão da combina¸cão linear).

Teorema 2.2 (Dependˆencia Individual em Conjuntos L.D.). Seja (V,+,·) espa¸co vetorial, e {vi}ⁿ_i=1 ⊂ V, vi 6= 0. Ent˜ao temos que

{vi}ⁿ_i=1L.D. ⇐⇒ ∃k∈[2, n]⊂R|vk =

k−1

X

i=1

αivi

Demonstra¸cão. (⇐) Pode-se ir construindo o conjunto {vi}^k_i=1 desde o primeiro vetor em diante: como v1 6=~0, então{v1}é L.I. (αv1 =~0 =⇒ α= 0). Ao acrescentar vetores a este conjunto, ele pode se tornar L.D. ou L.I.; caso se torne L.D., ele será L.D. independente dos vetores adicionados posteriormente, até vn; caso se torne L.I., temos por hipótese que, após adicionar o vetor vk, ele se tornará L.D., por este ser combina¸cão linear dos prévios, e continuará sendo L.D. atévn.

(⇒) Suponha por absurdo que∀k∈[2, n], v_k 6=Pk−1

i=1 α_iv_i (equivalentemente,∀k∈[2, n], v_k ∈/ [v_j]^k−1_j=1).

Então podemos construir o conjunto do zero: {v1}é L.I. (por ser diferente de 0);v₂∈/ [v₁], então temos (por teorema 2.1) que {v1, v₂}é L.I., e assim por diante, aték=n; isso é equivalente a dizer que, no final das contas, {v_i}ⁿ_i=1 é L.I., o que contradiz nossa hipótese. Logo, deve haver algumk∈[2, n] que fez com que o conjunto final se tornasse L.D.

(3)

Observa¸cão. Bottomline disso tudo: se é um conjunto L.D., então há algum vetor que é combina¸cão linear dos prévios; além disso, se há algum vetor que é combina¸cão linear dos prévios, o conjunto todo é L.D..

Estes fatos podem ser ´uteis para reduzir conjuntos L.D. a conjuntos L.I..

3 Bases

Defini¸c˜ao 3.1(Base de um Espa¸co Vetorial). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial.

Um conjunto {vi}ⁿ_i=1´e uma base deV se:

1. {vi}ⁿ_i=1 ´e L.I.;

2. ∀v∈V, v=Pn

i=1α_iv_i ⇐⇒ V = [v_i]ⁿ_i=1

O fato de uma base ter de ser L.I. segue do lema abaixo.

Lema 3.1(Unicidade de Decomposi¸c˜ao em Vetores L.I.). (V,+,·)um espa¸co vetorial,{vi}ⁿ_i=1 um conjunto L.I.

Se w∈[vi]ⁿ_i=1, ent˜ao ∃!{αi}ⁿ_i=1|w=Pn i=1αivi

Demonstra¸cão. Suponha por absurdo que há duas formas de decomporw. Então temos que Pn

i=1αivi = Pn

i=1βivi =⇒ Pn

i=1(αi−βi)vi=~0 =⇒ αi=βi, pela hip´otese de vetores L.I..

O uso de bases permite a análise de vetores em um espa¸co vetorial, especialmente em aplica¸cões práticas.

Sua utilidade se mostrar´a maior conforme seu uso se tornar mais recorrente.

Teorema 3.1 (Espa¸cos Finitamente Gerados e Bases). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial,V 6= 0.

V possui base ⇐⇒ V ´e finitamente gerado.

Demonstra¸cão. (⇒) Temos que, por defini¸cão, uma base já gera (finitamente) o espa¸co em que está contida.

(⇐) V = [vi]^m_i=1, por hipótese. Caso todos os vi sejam L.I., então o conjunto {vi}^m_i=1 é uma base por defini¸cão.

Caso seja L.D., então podemos (por teorema) encontrar algum vetorvj(j∈[2, m]) que seja combina¸cão linear dos prévios, e retirá-lo (pois temos quev ∈ V =⇒ v =Pm

i=1αivi =P

i<jαivi+ Pj−1

λ=1βλvλ

+ P

i>jα_iv_i =P

i<jα˜_iv_i+P

i>jα_iv_i, e v_j produz “informa¸cão redundante” à combina¸cão linear no espa¸co gerado). Podemos repetir o procedimento até encontrarmos um conjunto L.I., ou continuar até termos, no m´ınimo, um vetor no conjunto (poisV 6=~0, por hipótese), e nesse caso devemos ter quev6=~0, e o conjunto {v} será L.I. all the same.

Observa¸cão. Deste teorema, segue que, se o espa¸co é finitamente gerado por{wi}^k_i=1, então ele terá uma baseB⊆ {wi}^k_i=1.

Teorema 3.2(Completamento de Conjuntos L.I. a Bases). Seja(V,+,·)um espa¸co vetorial, eW ≡ {vi}ⁿ_i=1 um conjunto L.I..

Então (caso o subconjunto já não seja uma base deV) o subconjunto pode ser extendido a uma base de V.

Demonstra¸cão. Tome-se uma base B ≡ {wj}^m_j=1 de V. Por ser uma base, temos que W ⊂ B, pois são spanned pelos vetores da base. Logo, o conjuntoW∪B gera V, e (pelo teorema acima) podemos encontrar uma base a partir do mesmo (como já geraV, basta ser L.I.). Como o conjunto é L.D. (os vetores de W são gerados porB, há “redundância”), podemos retirar alguns vetores até que ele seja L.I.. Como os vetores de W são L.I., então nenhum deles pode ser combina¸cão linear dos anteriores (senão seria L.D.); então os vetores a serem retirados devem ser de B. Caso o conjuntoW ∪B\ {w_k⁰}^p_k0=1 seja L.I. após pretiradas, então está provado; caso contrário, o máximo que pode ser retirado é até que reste somente W, e então concluir-se-ia queW geravaV, no final das contas.

(4)

Teorema 3.3 (Teorema da Invariˆancia). Seja (V,+,·)um espa¸co vetorial. Seja B ≡ {bi}ⁿ_i=1 uma base de V, eY ≡ {yj}^m_j=1 um conjunto L.I..

Então temos que m ≤ n (o máximo de vetores que um conjunto L.I. pode ter é o mesmo número de vetores em uma base do mesmo espa¸co vetorial).

Demonstra¸c˜ao. Consideremos{y₁} ∪B, que ´e um conjunto que geraV, mas L.D..

Podemos (por teorema) retirar algum dos vetores de B (seja este b_j), de modo que a união restante (que terá n vetores) ainda gera V. Adicione-se, então, y2 à união restante ({y1} ∪B\ {bj}), j ∈ [1, n], e retire-se outro elemento deB, a fim de manternvetores no total. Fa¸ca-se isso mvezes, até que tenhamos Y ∪ {bj⁰}^n−m_j0=1, que gera V.

Note que, se m > n, então os vetores de B se esgotariam antes dos de Y, e ter´ıamos de tirar vetores yk ∈Y que seriam L.D. com os prévios (a fim de manter um total de nvetores na união); isto contradiz a hipótese de queY é L.I.. Logo, requer-se quen≥m.

Corol´ario 3.1. Seja (V,+,·) espa¸co vetorial.

Então todas as suas bases terão o mesmo número de elementos.

Demonstra¸cão. Tome-se queY do teorema 3.3 é uma base, commvetores. Então podemos fazer com que n≥m, e invertendo,m≥n. Logo, têm o mesmo número de elementos.

Defini¸cão 3.2(Dimensão). Seja(V,+,·)um espa¸co vetorial (finitamente gerado). Sua dimensão é o número de vetores em suas bases, e será denotada dimV.

Corol´ario 3.2. Seja (V,+,·) espa¸co vetorial finitamente gerado, de dimens˜ao n.

Ent˜ao todo conjunto comm > n elementos ser´a L.D.

Demonstra¸c˜ao. Segue da contrapositiva do teorema 3.3.

Proposi¸cão 3.1. Seja(V,+,·)um espa¸co vetorial finitamente gerado de dimensãon, e(S,+,·)um subespa¸co não-nulo de V.

Ent˜ao temos quedimV ≥dimS.

Demonstra¸cão. Seja v₁ ∈ S. Caso S = [v₁] (e dimV ≥ 1), está provado. Senão, tome-se v₂ ∈/ [v₁]; se S = [v₁, v₂] (e dimV ≥2), está provado, etc. O máximo que pode-se ter é queS = [v_i]ⁿ_i=1, e a´ı teremos o caso máximo que dimS= dimV.

4 Sistemas Lineares

Defini¸cão 4.1(Sistema Linear). Um sistema linear, dem equa¸cões e nvariáveis, é algo do tipo









 Pn

j=1α1jxj=b1

... ... ... Pn

j=1α_mjx_j =b_m

(α_ij, b_i∈K)

Caso (bi= 0)(∀i∈[1, m]), o sistema é ditohomogêneo. Caso contrário, énão-homogêneo.

Os valores {xj}ⁿ_j=1 que permitem que







n

X

j=1

α_ijx_j =b_i







m

i=1

s˜ao umasolu¸c˜aodo sistema linear.

(5)

Teorema 4.1. Tenha-se dois sistemas







n

X

j=1

α_ijx_j =b_i







m

i=1

(S1)







n

X

j=1

˜

αijxj = ˜bi







m

i=1

(S2) Se cada i-ésima equa¸cão de S2 for uma combina¸cão linear das equa¸cões de S1, então o conjunto de solu¸cões de S1 está contido no conjunto de solu¸cões de S2.

Demonstra¸cão. Temos que ak-ésima equa¸cão de S2 é uma combina¸cão linear das equa¸cões de S1

n

X

j=1

˜

α_kjx_j−˜b_k=

m

X

i=1

β_i





n

X

j=1

α_ijx_j−b_k





Tomando-se{x⁰_i}ⁿ_i=1∈Sol(S1), temos que o lado direito vai a 0, e

n

X

j=1

˜

αkjx⁰_j= ˜bk

Logo,∀{xi}ⁿ_i=1∈Sol(S1),{xi}ⁿ_i=1∈Sol(S2).

Observa¸cão. Caso valha que as equa¸cões de S1 sejam combina¸cões lineares das equa¸cões de S2, então Sol(S2)⊆Sol(S1).

Caso Sol(S1) =Sol(S2), dizemos que os sistemas s˜aoequivalentes.

Teorema 4.2 (Sistemas Lineares Indeterminados). Caso um sistema linear homogêneo Ax=b tenha mais incógnitas que equa¸cões,

então ele sempre terá solu¸cões não-nulas.

Demonstra¸cão. Após o escalonamento, o número de pivôs será menor ou igual ao número de equa¸cões, para um dado sistema linear (homogêneo).

Como temos por hipótese que o sistema possui mais incógnitas que equa¸cões, o sistema terá variáveis livres, as quais podem assumir valores arbitrários, não necessariamente nulos.

Defini¸cão 4.2(Pivôs de um Sistema Linear Escalonado). Seja S um sistema linear já escalonado.

O i-ésimo pivô é o primeiro termo (da esquerda para a direita) não-nulo da i-ésima linha do sistema linear.

Corolário 4.1. O subespa¸co de solu¸cões de um sistema linear homogêneo terá a mesma dimensão que o número de variáveis livres.

Demonstra¸cão. Após o escalonamento, os pivôs do sistema linear estarão em fun¸cão das variáveis livres res- tantes. Logo, as solu¸cões do sistema poderão ser separadas em uma soma den-uplas, cada uma multiplicada por alguma das variáveis livres.

Proposi¸c˜ao 4.1. Seja A∈M_p×n,u, v, w∈M_n×1,b∈M_p×1.

• Se (Au=b)∧(Av=b), ent˜ao A(v−u) = 0.

• Se (Aw=~0)∧(Au=b), ent˜aoA(w+u) =b.

• Se Au=b, ent˜ao

∀x∈Mn×1|Ax=~0

, A(u+x) =b.

(Sol(N~ao-Homog^eneo) ={u+x,∀x∈Sol(Homog^eneo)}

Demonstra¸c˜ao. Por favor...

(6)

5 Transforma¸ c˜ oes Lineares

Defini¸cão 5.1 (Transforma¸cão Linear). Uma transforma¸cão linear é um mapa T :U →V, U, V espa¸cos vetoriais sobreK, tal que

T(u+λv) =T(u) +λT(v), u, v∈U, λ∈K

Defini¸cão 5.2 (Núcleo). Sejam (V,+,·),(W,+,˜˜ ·) espa¸cos vetoriais, e T : V → W uma transforma¸cão linear.

O núcleo de uma transforma¸cão linear é dado por

Ker(T) :={u∈V |T(u) =~0}

Defini¸c˜ao 5.3 (Imagem). Sejam (V,+,·),(W,+,˜˜ ·) espa¸cos vetoriais, e T : V → W uma transforma¸c˜ao linear.

A imagem de uma transforma¸c˜ao linear ´e dada por

Im(T) :={v∈W | ∃u∈V :T(u) =v}

Teorema 5.1. SejamU, V espa¸cos vetoriais sobreK,{ui}ⁿ_i=1 base de U, e{vj}ⁿ_j=1⊆V um subconjunto de V.

Ent˜ao ∃!T :U →V | ∀i∈[1, n], T(ui) =vi.

Demonstra¸c˜ao. Temos queu=Pα_iu_i; logoT(u) =Pn

i=1α_iT(u_i).

No caso em que temos, por exemplo, T(u) =Pn

i=1αivi, ent˜ao segue queui=T(vi),∀i.

Deve-se mostrar que T ´e, de fato, ´unica.

SejaS :U →V, ui7→vi, linear. Temos queS(Pn

i=1αiui) =Pn

i=1αivi=T(Pn

i=1αiui).

Logo, (∀u=Pn

i=1αiui∈U),S(u) =T(u).

Teorema 5.2. SejamU, V espa¸cos vetoriais sobre K. Ent˜ao temos que T :U →V Injetora ⇐⇒ Ker(T) ={~0_U}

Demonstra¸c˜ao. ( =⇒)T(u) =T(v) =⇒ u=v.

=⇒

T(u) =~0_W =T(~0_V) =⇒ u=~0_V

=⇒ ∀u∈U |T(u) =~0_W =⇒ u=~0_U. (⇐= )Ker(T) ={~0_U}.

∀u, v∈U |T(u) =T(v) =⇒ T(u−v) =~0_W =⇒ u=v, pela hip´otese deKer(T) ={~0_U}.

Teorema 5.3 (Imagem deT gerada por {T(ui)}ⁿ_i=1). Seja T :U →V linear, {ui}ⁿ_i=1 base deU. Ent˜ao [T(ui)]ⁿ_i=1=Im(T).

Demonstra¸cão. Sejav∈Im(T) um elemento arbitrário deIm(T). Então,∃u∈U |T(u) =v.

Masu=Pn

i=1α_iu_i. Logo,v=Pn

i=1α_iT(u_i).

Teorema 5.4. SejaT :U →V linear, U, V sobreK.

Então T é injetora ⇐⇒ T leva conjuntos L.I.{ui}ⁿ_i=1⊂U para conjuntos L.I.{vi}ⁿ_i=1⊂V. Demonstra¸cão. ( =⇒) Temos queT é injetora ⇐⇒ Ker(T) ={~0}.

Logo, T(Pn

i=1αiui) =Pn

i=1αiT(ui) =~0, somente seαi = 0. Como αi = 0, ent˜ao{T(ui)}ⁿ_i=1´e L.I. em V.

(⇐= ) SePn

i=1α_iT(u_i) =~0_V, ent˜ao temos queT(Pn

i=1α_iu_i) =~0_V. Tenha-se que{ui} é L.I.; então a igualdade só vale sePn

i=1α_iu_i=~0_U. Logo,Ker(T) ={~0_U}, ent˜aoT ´e injetora.

Teorema 5.5(Teorema do Núcleo-Imagem). SejamU, V espa¸cos vetoriais sobre um corpoK(U pelo menos de dimensão finita), eT :U →V transforma¸cão linear.

Ent˜ao dim_KU = dim_KKer(T) + dim_KIm(T).

(7)

Demonstra¸c˜ao. SejaKer(T)6={~0U}, eBKer={ui}^k_i=1 uma base do n´ucleo deT. Temos queKer(T)⊂U, e podemos completar sua base:

B_U :=B_Ker∪ {vj}ⁿ_j=k+1

Tenha-se T(B_U)≡ {T(b_i)}ⁿ_i=1 o conjunto de todos os vetores da base B_U após a transforma¸cão T. Já temos destarte queT(B_Ker) será um conjunto de vetores nulos (por defini¸cão de núcleo de uma transforma¸cão linear). Mas temos, por um dos teoremas acima, que o conjuntoT(BU) gera a imagemIm(T). Resta provar que os vetores que restam deT(BU) são L.I., e então saberemos que eles são uma base de Im(T).

n

X

i=k+1

λiT(vi) =~0V

=⇒ T

n

X

i=k+1

λivi

!

=~0V

=⇒

n

X

i=k+1

λ_iv_i∈Ker(T)

=⇒

n

X

i=k+1

λ_iv_i=

k

X

j=1

α_ju_j

=⇒

k

X

i=1

αiui+

n

X

i=k+1

(−λivi) =~0U

Temos que estes vetores s˜ao L.I., pois formam a base de U; logo, os vetores {vi}ⁿ_i=k+1 s˜ao L.I., e formam uma base deIm(T).

Portanto,B_U =B_Ker∪B_Im, e dim_KU = dim_KKer(T) + dim_KIm(T).

Corol´ario 5.1. Seja T :V →V um operador linear.

Ent˜ao T ser injetor ⇐⇒ T ser sobrejetor.

Demonstra¸c˜ao. Denote-seV_Dom(T)o espa¸co vetorialV referente ao dom´ınio daT, eV_CD(T)o espa¸co vetorial V referente ao contradom´ınio (para maior clareza de argumento, pois ambos s˜ao o mesmo espa¸co vetorial).

( =⇒ ) Se T é injetor, por teorema temos que dimKer(T) = 0, logo dimV_Dom(T) = dimV_CD(T₎ = dimIm(T), e segue que a imagem deT, que é um subespa¸co do contradom´ınio V deT, é de fato o próprio V, eT é sobrejetora.

(⇐= ) SeT é sobrejetora, entãoIm(T) =VCD(T), logo dimIm(T) = dimVCD(T)= dimVDom(T), logo dimKer(T) = 0, e segue por teorema queT é injetor.

6 Matrizes de Transforma¸ c˜ oes Lineares

Teorema 6.1 (Matriz associada à Transforma¸cão Linear). Seja T :Rⁿ →R^m uma transforma¸cão linear.

Então há uma matriz A∈Mm×n associada à transforma¸cão linear.

Demonstra¸c˜ao. SejaB={ei}ⁿ_i=1 a base canˆonica.

Ent˜ao T(x) =Pn

i=1α_iT(e_i). Fazendo na base canônica, temos que T(e_i) =Col_i(A) é ai-ésima coluna deA.

Logo,T(x) =Pn

i=1x_iCol_i(A) =Pn

i=1xi α_ji=Pn

j=1(A)_ijx_j=Ax

Teorema 6.2(Teorema anterior, mas de gente grande). Sejam(V,+,·),(W,+,˜˜ ·)espa¸cos vetoriais sobre um corpoK, de dimens˜aon, mrespectivamente; bases B⊂V, C⊂W, eT :V →W uma transforma¸c˜ao linear.

Ent˜ao h´a uma matriz associada a T,M ∈M_m×n, tal que T(u) =M u=v.

(8)

Demonstra¸c˜ao. Temos que

T(u) =T

n

X

i=1

αiui

!

=

n

X

i=1

αi(T(ui))

=

n

X

i=1

αi m

X

k=1

βkivk

!

=

m

X

k=1 n

X

i=1

βkiαi

! vk

≡

m

X

k=1

ckvk

que ´e como a multiplica¸c˜ao de uma matriz (βki)por um vetor (αi), produzindo outro vetor (ck).

Logo, a transforma¸cão linear T está atrelada à matriz βij, onde a coluna Colj(T) se traduz como as componentes do vetorT(ui)na base de W, i.e.,







β11 . . . β1n

... ... ... βm1 . . . βmn

[T(u1)]W . . . [T(un)]W







·





 α1

... αn

[u]U







=





 c1

... cm

[T(u)]W







Observa¸cão. Note que a matriz associada a T está completamente atrelada à escolha das bases deV eW. A matriz deT associada às basesB⊂V, B⁰ ⊂W é escrita como[T]_B,B⁰ (ou[T]_B→B⁰, caso um sanity check seja necessário).

Algo importante de se ter em mente ´e o uso de basesordenadas, pois a forma que a matriz tem depende grandemente da ordem dos vetores nas bases escolhidas.

Temos também que a rec´ıproca do teorema acima é válida:

Teorema 6.3. Sejam(V,+,·),(W,+,˜˜ ·) espa¸cos vetoriais sobre um corpo K, de dimens˜ao n, mrespectivamente; basesB ⊂V, C ⊂W, e uma matrizM ∈Mm×n.

Então há uma única transforma¸cão linear associada a M, tal que [T]B,C=M.

Demonstra¸cão. Podemos construir uma transforma¸cão linear T : U 3 u 7→ M u ∈ V. Temos que, por teorema,∃!T :B3b_i7→T(b_i)∈C. Fazendo com queCol_j([T]_B,C) = [T(b_i)]_C, está provado.

Teorema 6.4 (Matriz da Composi¸cão de Transforma¸cões Lineares). Sejam F : V → W, G : W → Z transforma¸cões lineares, com basesB ⊂V, C⊂W, D⊂Z.

Ent˜ao [G◦F]_B,D= [G]_C,D·[F]_B,C. Demonstra¸c˜ao. To be done

Corolário 6.1. Seja T :U →V transforma¸cão linear invert´ıvel, e basesB ⊂U, C⊂V. Então [T⁻¹]C,B= [T]⁻¹_B,C.

Demonstra¸cão. Temos que, seT é invert´ıvel, então háT⁻¹:V →U, e [T◦T⁻¹]B = [T⁻¹◦T]C =Id. Pelo teorema acima (das composi¸cões), segue que [T⁻¹]C,B = [T]⁻¹_B,C.

Proposi¸c˜ao 6.1 (Mudan¸ca de Base). Seja T :U →U transforma¸c˜ao linear,dimU =n, eB, C ⊂U bases.

Seja tamb´emM = [Id]B,C. Ent˜ao [T]C=M[T]BM⁻¹.

(9)

Demonstra¸cão. U_(C)−→Îd U_(B)−^T→U_(B) Îd

−1

−−−→U_(C), onde Idleva deU na baseC para U na base B. Segue por teorema da composi¸c˜ao que

[T]C= [Id]B,C[T]B[Id]C,B

= [Id]_B,C[T]_B[Id]⁻¹_B,C

= [Id]⁻¹_C,B[T]B[Id]C,B

7 Operadores Diagonaliz´ aveis

Defini¸c˜ao 7.1(Operador Diagonaliz´avel). Seja T :V →V um operador linear.

Se existir uma base na qual [T]B é uma matriz diagonal, diz-se queT é um operador diagonalizável.

Defini¸c˜ao 7.2(Autovalores,autovetores, autoespa¸co). Seja T :V →V operador linear.

Se houver algum vetor v ∈V | T(v) = λv, chama-se v de autovetor de T, e λ de autovalor de v com respeito a T.

O autoespa¸co de λ´e o subespa¸co vetorial de V,

V(λ) =w∈V |T(w) =λw .

Outra nota¸c˜ao comum ´eAut(λ), inclusive usada alternadamente ao longo daqui.

Proposi¸c˜ao 7.1. SejaT :V →V um operador linear. Sejaλ´e autovalor deT (ev o autovetor associado).

Ent˜ao Ker(T−λId) =V(λ).

Demonstra¸c˜ao. Sejam{vi}^t_i=1 autovetores deT cujo autovalor associado sejaλ.

Ent˜ao temos que

T

t

X

i=1

αivi

!

=λ

t

X

i=1

αivi

=⇒ (T−λId)

t

X

i=1

αivi

!

=~0V

Disso sai que V(λ)⊂Ker(T−λId).

A rec´ıproca faz parte da defini¸c˜ao de um autovetor com autovalorλ.

∴V(λ) =Ker(T−λId).

Proposi¸c˜ao 7.2. Seja T :V →V um operador linear, e B⊂V uma base. Tenha-se [T−λId]B a matriz na baseB do operador mencionado.

Ent˜ao s˜ao equivalentes:

• Ker(T−λId)6=~0V

• [T−λId]n˜ao ´e invert´ıvel

• det([T−λId]B) = 0

Demonstra¸cão. Temos que, se o núcleo de um operador não é nulo, então ele não é bije¸cão, e, portanto, não é invert´ıvel. Portanto, o determinante de sua matriz associada (em qualquer base, por teorema, pois é sempre igual) será igual a 0.

Defini¸cão 7.3(Polinômio Caracter´ıstico). SejaT :V →V operador linear. Então temos quedet([T−λId]_B)

´

e um polinˆomio emλde graudim_KV, denominado polinˆomio caracter´ıstico, e escrito comop_T(λ).

(10)

Proposi¸c˜ao 7.3 (Unicidade do Polinˆomio Caracter´ıstico). T : V → V um operador linear, e B, C ⊂ V bases deV.

Ent˜ao det([T−λId]_B) = det([T −λId]_C).

Demonstra¸c˜ao.

det ([T]_C−λId)) = det M⁻¹[T]_CM−λM⁻¹IdM

= det M⁻¹[T−λId]BM

= det([T−λId]B)

= det([T]_B−λId)

Teorema 7.1. T :V →V operador linear, e {λ_i}^t_i=1⊂KautovaloresdistintosdeT. Sejamvj∈Aut(λj)vetores no j-´esimo autoespa¸co.

Ent˜ao

t

P

i=1

vi=~0 =⇒ ∀i∈It, vi=~0 Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao:

Seja t = 2. Ent˜ao v₁+v₂ =~0. Podemos fazer com que v₁ = −v₂, o que implica que v₁ ∈ Aut(λ₂), absurdo. Logo, s´o podemos ter quev₁=v₂=~0.

Suponha agora que o teorema valha para todo j < t.

Ent˜ao

t

X

i=1

vi =~0 Considere o seguinte sistema, obtido a partir deste:

t

X

i=1

λtvi =~0

t

X

i=1

λivi =~0 Disso segue que

t

X

i=1

(λt−λi)vi=

t−1

X

i=1

(λt−λi)vi=~0

Pela hip´otese de indu¸c˜ao, e como (λt−λi)vi≡˜vi ∈V(λi), segue quevi =~0,∀i∈I_t−1, implicando que vt=~0.

Teorema 7.2. SejaT :V →V operador linear, e {λi}^t_i=1⊂Kautovalores distintos.

SejamB_i∈V(λ_i)bases.

Então, a união das bases B_i será L.I..

Demonstra¸c˜ao. Bi={bij}ⁿ_j=1ⁱ ´e uma base deV(λi).

Devemos provar que {bij}^i=t,j=n_i=1,j=1ⁱ ser´a L.I..

Fa¸ca-se

t

P

i=1 n_i

P

j=1

αijbij=~0.

Temos quePn_i

j=1αijbij =ui∈V(λi), e ent˜ao segue o resultado do teorema pr´evio quePt

i=1ui=~0 =⇒ ui=~0,∀i∈[1, t].

Isto, por sua vez, implica que αijbij =~0 =⇒ αij = 0,∀j∈[1, ni], pois{bij}ⁿ_j=1ⁱ ´e L.I..

Portanto, o conjunto

t

S

i=1

B_i ´e um conjunto L.I..

(11)

Corol´ario 7.1. T : V → V operador linear, e {λi}^t_i=1 ⊂ K conjunto de autovalores distintos de T, e Bi⊂V(λi)bases dos autoespa¸cos.

EntãoT ser diagonalizável é equivalente à condi¸cãodimV =

t

P

i=1

dimAut(λi). O motivo disto ´e que, neste caso, teremos um conjunto L.I. (leia-se,

t

S

i=1

Bi) cujo tamanho é igual à dimensão deV, portanto sendo uma base no mesmo, e sendo a própria que pode diagonalizá-lo.

Defini¸cão 7.4(Multiplicidade Algébrica e Geométrica). SejaT :V →V operador linear, eλ0um autovalor do mesmo.

Se tivermos que p_T(µ) = (µ−λ₀)^mψ(µ) | ψ(µ) 6= 0, então chamamos m ≡ ma(λ) de a multiplicidade algébrica de λ₀. A dimensão do autoespa¸co associado, dimV(λ₀) ≡mg(λ), será sua multiplicidade geométrica. Ambas não são necessariamente iguais (por exemplo, podem haver menos autovetores que a multiplicidade algébrica “previa”).

Proposi¸c˜ao 7.4 (ma(λ)≤mg(λ)). Seja T :V →V operador linear, eλum autovalor do mesmo.

Ent˜ao temos quema(λ)≤mg(λ).

Demonstra¸c˜ao. SejaW ≡V(λ), tal que dimW =s. Seja tamb´emB⊂W uma base do mesmo.

Podemos extender esta a uma base em V,B⊂B⁰⊂V.

A matriz associada a B⁰ =B∪Bo terá uma parte diagonalizada (cujas colunas serão [T(bi) =λbi]B⁰), e uma parte cujas colunas serão [T(Bo,i)]B⁰, cuja forma é irrelevante, no caso. Fazendo o determinante por método de Laplace, podemos ver que pT(µ) = (λ−µ)^sψ(µ), com ψ(µ) vindo do determinante na parte inferior das colunas relacionadas comBo. Temos dois casos:

• ψ(λ)6= 0, o que implica ques=ma(λ), sendo (λ−µ)^so maior divisor dep_T(λ). Este caso diz que h´a ma(λ) autovetores L.I. no autoespa¸co, e n˜ao menos que isso.

• ψ(λ) = 0, em cujo caso haverá algum fator (λ−µ) em ψ(µ) que o fará zerar quando µ = λ. Isto equivale a dizer que nem todos os autovetores deλserão L.I., es < ma(λ).

Em todo caso,s≤ma(λ).

Corol´ario 7.2. T :V →V operador linear,λum autovalor.

Se ma(λ) = 1, segue quedimV(λ) = 1, pois temos que 1≤dimV(λ)≤1.

Teorema 7.3. T :V →V operador linear, e{λi}^t_i=1⊂Kautovalores distintos, de multiplicidades alg´ebricas iguais ani.

Então as afirma¸cões abaixo são equivalentes:

• T ´e diagonaliz´avel

• pT(χ) =

t

Q

i=1

(χ−λi)ⁿⁱ e(∀i∈[1, t],dimV(λi) =ma(λi))

• dimV =

t

P

i=1

dimV(λ_i)

(12)

8 Produtos Internos

Defini¸cão 8.1(Produto Interno). Seja V um espa¸co vetorial (sobre um corpo real). Um produto interno é uma fun¸cão

<, >:V ×V →R que satisfaz as propriedades:

∀u, v, w∈V,∀α, β∈R, segue que:

1. < u+βv, w >=< u, v >+β < u, w > (transitividade) 2. < u, v >=< v, u >(simetria)

3. < u, u >6= 0 =⇒ u6=~0 (Defina-se||u|| ≡< u, u > como a “norma” de u)

Observa¸cão. Note-se que, como todo espa¸co vetorial possui uma base {vi}, ele sempre terá um produto interno associado à mesma, a saber,< u, w >≡P

uiwi, onde ui ´e a coordenada deuassociada ao vetor de basevi.

Teorema 8.1 (Cauchy-Schwarz). Seja (V, <, >)espa¸co vetorial com produto interno.

Ent˜ao tem-se que,∀u, v∈V, 1. |< u, v >| ≤ ||u|| · ||v||

2. ||u+v|| ≤ ||u||+||v||

Demonstra¸c˜ao.

1. Dadosu, v∈V, v6=~0, calcule-se||u−λv||,λ∈R.

0≤ ||u−λv||²=< u−λv, u−λv >

=< v, v > λ²−2λ < u, v >+< u, u >

um polinômio emλ, e temos que seu discriminante é menor ou igual a 0, pois o polinômio (que é igual a ||u−λv||²) é maior ou igual a zero.

Logo,

4< u, v >²−4||u||²||v||²≤0 o que implica que < u, v >²≤ ||u||²· ||v||².

2.

||u+v||²=< u+v, u+v >=< u, u >+< v, v >+2< u, v >

≤< u, u >+< v, v >+2|< u, v >|

≤ ||u||²+||v||²+ 2||u|| · ||v||

≤(||u||+||v||)²

Defini¸c˜ao 8.2(Ortogonalidade de vetores). Seja (V, <, >)espa¸co vetorial munido de um produto interno.

Ent˜ao, dadosu, v∈V,u⊥v ⇐⇒< u, v >= 0.

Proposi¸cão 8.1. (V, <, >) espa¸co vetorial com produto interno, e A ={ui}^q_i=1 ⊂ V conjunto de vetores não-nulos, dois a dois ortogonais. EntãoAé L.I..

Demonstra¸c˜ao. Fa¸ca-seP

iαiui = 0. Como os vetores s˜ao dois a dois ortogonais, temos que, ∀1≤j ≤q,

< uj,P

iαiui >=αj < vj, vi >= 0. Por hipótese, os vetores são não-nulos, logo devemos ter que αj = 0,

∀1≤j≤q.

(13)

Defini¸cão 8.3 (Subespa¸co Ortogonal). (V, <, >) espa¸co vetorial com produto interno. Então denota-se S^⊥={v∈V | ∀s∈S, v⊥s} como o subespa¸co ortogonal aS⊂V. Facilmente se prova queS^⊥ é, de fato, um subespa¸co vetorial.

Proposi¸c˜ao 8.2. (V, <, >), e{ui}ⁿ_i=1⊂V. SejaS= [ui]ⁿ_i=1 o subespa¸co gerado por eles; tenha-se tamb´em algumv∈V.

Ent˜aov∈S⊥ se, e somente se,∀i∈[1, n]⊂N, v⊥ui

Demonstra¸c˜ao.

( =⇒) Temos que segue por defini¸cão, poisui∈S,∀i, logov∈S^⊥ já é ortogonal a eles.

(⇐= ) Suponha que ∀i, < v, ui >= 0. Seja então algum s∈S; ele pode ser escrito em fun¸cão dos vetores que geramS. Logo, por hipótese,∀s∈S, v⊥s =⇒ v∈S^⊥.

Observa¸cão. A proposi¸cão acima é útil pois, para provar que algum vetor pertence ao complemento ortogonal de dado conjunto, não precisamos fazer seu produto interno com todos os vetores dentro dali; somente com os vetores que geram este conjunto.

Defini¸cão 8.4 (Conjuntos Ortogonais e Ortonormais). (V, <, >), X ⊂V é dito “ortogonal” se todo seus vetores são ortogonais entre si. X é dito “ortonormal” se, além de ser ortogonal, as normas destes vetores são iguais a 1 (vetores de norma1 são ditos “unitários”).

Teorema 8.2 (Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt). (V, <, >)espa¸co vetorial, {u_i}^q_i=1 ⊂V conjunto L.I..

Ent˜ao ´e poss´ıvel construir um conjunto{vi}^q_i=1⊂V tal que, para cadak∈[1, q], temos que 1. [u_i]^k_i=1= [v_i]^k_i=1

2. {vi}^k_i=1 ´e ortogonal 3. {vi}^k_i=1 ´e L.I..

Demonstra¸c˜ao. Parak= 2, defina-sev1=u1, e

v2=u2−< u2, v1>

||v1||² v1

Como v1, v2 são combina¸cões lineares deu1, u2, seus espa¸cos gerados são os mesmos, e ainda são L.I.. Por constru¸cão, ambos são ortogonais.

Suponha-se que o teorema valha para algumk=p, p < q, e que tenhamos um conjunto{vi}^p_i=1ortogonalizado de{ui}^p_i=1.

Defina-se, ent˜ao,

v_p+1=u_p+1−

p

X

i=1

< up+1, vi>

||vi||² v_i

Mostre-se, ent˜ao, que{vi}^p+1_i=1 satisfaz o teorema tamb´em.

1. Temos, por hipótese de indu¸cão, que{vi}^p_i=1é ortogonal; prove-se quevp+1⊥ {vi}^p_i=1. Sejavj∈ {vi}^p_i=1arbitrário. Então

< vj, vp+1>=< up+1, vj>−

p

X

i=1

< up+1, vi>

||vi||² < vi, vj>

=< up+1, vj>−< up+1, vj >< vj, vj >

< v_j, v_j >= 0 E {vi}^p+1_i=1 ´e ortogonal

2. Por hipótese de indu¸cão,{v_i}^p_i=1é L.I.; equivalentemente, nenhum de seus vetores é nulo.

Temos que up+1 ∈ {u/ i}^p_i=1 =⇒ up+1 ∈ {v/ i}^p_i=1 =⇒ vp+1 6=~0 (senão, vp+1 =⇒ up+1 = P αiui, contradizendo as afirma¸cões acima). Portanto, temos um conjunto ortogonal de vetores não-nulos, e por teorema, um conjunto de vetores L.I..

(14)

3. Por hip´otese de indu¸c˜ao, temos que [vi]^p_i=1= [ui]^p_i=1.

Por constru¸cão, também temos quev_p+1 ∈[u_i]^p+1_i=1, por ser combina¸cão linear dos mesmos. Portanto, {vi}^p+1_i=1 ⊂[ui]^p+1_i=1, um conjunto L.I. comp+ 1 vetores em um subespa¸co de dimensãop+ 1; segue que [v_i]^p+1_i=1 = [u_i]^p+1_i=1

Observa¸c˜ao. Pode-se ortonormalizar uma base ortogonalizada por Gram-Schmidt, dividindo cada vetor por sua respectiva norma.

Corolário 8.1. (V, <, >)espa¸co vetorial com produto interno (de dimensão finita). Então V possui bases ortogonais e ortonormais.

Defini¸cão 8.5(Proje¸cão Ortogonal). (V, <, >)espa¸co vetorial com produto interno. Dado subespa¸coS ⊂V, ev∈V. Então, quando houver algumw∈Stal que(v−w)⊥S, estew(que é único) é chamado de “proje¸cão ortogonal” dev sobre o conjunto S, também escrito comow=P rojS(v).

Proposi¸c˜ao 8.3. (V, <, >),S ⊂V, v ∈V. Se w∈ S for tal que (v−w)⊥S, ent˜ao temos que ∀z ∈S | z6=w,||v−w||<||v−z||.

Demonstra¸c˜ao. Tenha-se (v−w)⊥S, ez∈S|z6=w. Ent˜ao segue quew−z∈S.

||v−z||²=||(v−w) + (w−z)||²=¹||(v−w)||²+||(w−z)||²>||(v−w)||²

Observa¸cão. Disso segue que, quando um vetor v ∈ V possui uma proje¸cão ortogonal em algum S ⊂V, esta é a melhor aproxima¸cão dev por algum vetor dentro do subespa¸coS.

Proposi¸cão 8.4 (Existência de proje¸cões ortogonais). (V, <, >), S ⊂ V subespa¸co de dimensão finita.

Ent˜ao, dadov∈V,∃w∈S|(v−w)⊥S.

Demonstra¸c˜ao. Tenha-se uma base ortogonal{vi}^q_i=1⊂S.

Defina-se, ent˜ao,

w=

q

X

i=1

< v, vi>

< v_i, v_i>vi

Pode-se constatar que < (v−w), vj >=< v, vj > − < v, vj > ^<v_<v^j^,v^j^>

j,vj> = 0, ∀vj ∈ {vi}^q_i=1, por ser base ortogonal.

Observa¸cão. Logo, temos que a proje¸cão ortogonal de um vetor v∈V sobre um subespa¸coS⊂V, é dado por

P rojS(v) =

dim(S)

X

i=1

< v, vi>

< vi, vi>vi

para alguma base ortogonal{v_i}^dim(S)_i=1 ⊂S.

Proposi¸c˜ao 8.5. (V, <, >), eS⊂V subespa¸co. Ent˜ao temos que 1. ∀v∈V,∃(v₁∈S),(v₂∈S^⊥)|v=v₁+v₂,.

2. dadas B1 ⊂ S, B2 ⊂ S^⊥ bases ortogonais dos respectivos espa¸cos, então B1∪B2 é base também ortogonal de V.

3. dimV = dimS+ dimS^⊥ ,

Demonstra¸c˜ao. 1. Simplesmente tomev1=P rojS(v)∈S, ev2=v−P rojS(v)∈S^⊥.

2. Temos queB₁∪B2é um conjunto ortogonal, de fato; além disso, por consistir de vetores não-nulos, por hipótese, é (por teorema) um conjunto L.I.. Além disso, como todo vetor deV pode ser decomposto comov₁+v₂ como visto acima, entãoB₁∪B₂ geraV. Portanto, B₁∪B₂é base, e é ortogonal.

1PoisS^⊥3(v−w)⊥(w−z)∈S, logo vale o teorema de Pit´agoras para normas.

(15)

3. Segue diretamente deB1∪B2ser uma base deV: a dimens˜ao de [B1∪B2] (que ´e igual a dimS+dimS^⊥)

´

e igual à dimensão deV (os espa¸cos são os mesmos, afinal, como provado acima).

Proposi¸cão 8.6 (Proje¸cão Ortogonal sem Bases Ortogonais - Gramiano). (V, <, >), S ⊂ V subespa¸co vetorial, {u_i}ⁿ_i=1 ⊂S base qualquer de S, ev ∈V. Então temos que a proje¸cão dev sobre o subespa¸coS (w=Pc_iu_i) é dado pela equa¸cão







< u1, u1> . . . < u1, un>

< u2, u1> . . . < u2, un>

... ... ...

< un, u1> . . . < un, un>











 c1

c2

... cn







=







< v, u1>

< v, u2>

...

< v, un>







A matriz (Gij) =< ui, uj>´e chamada de “matriz Gramiana”.

Demonstra¸c˜ao. Temosw =Pn

i=1ciui, e queremos que (v−w)⊥S ⇐⇒ (v−w)⊥ui,∀i ∈[1, n]. Segue que teremosnequa¸c˜oes do tipo

n

X

j=1

< ui, uj > cj=< v, ui>,∀i∈[1, n]

que claramente pode ser posta em forma matricial, como







< u₁, u₁> . . . < u₁, u_n>

< u₂, u₁> . . . < u₂, u_n>

... ... ...

< u_n, u₁> . . . < u_n, u_n>











 c₁ c₂ ... c_n







=







< v, u₁>

< v, u₂>

...

< v, u_n>







Como temos por teorema que todo vetorv∈V possui uma proje¸cão ortogonal sobreS⊂V subespa¸co finito, então a equa¸cão acima possui solu¸cão.

(16)

9 Operadores Sim´ etricos

Defini¸cão 9.1(Operador Simétrico). Seja(V, <, >)espa¸co vetorial (sobre o corpo dos reaisR) com produto interno, e T : V → V um operador linear. Então dizemos que T é simétrico se ∀u, v ∈ V, hT(u), vi = hu, T(v)i.

O fato de um operador ser sim´etrico tem a ver com a simetria de sua matriz associada, no sentido da proposi¸c˜ao abaixo.

Proposi¸cão 9.1. (V, <, >), T : V → V operador linear. Então T é simétrico ⇐⇒ Para toda base ortonormalB⊂V,[T]B é uma matriz simétrica.

Demonstra¸c˜ao.

( =⇒) Seja B uma base ortonormal deV, e [T]B a matriz de T no tocante a essa base. Temos que cada coluna ´e da forma Coli =T(bi) =P

jαijbj,bj os vetores da base ortonormal, dondeαij =hT(bi), bji. Mas por hip´otese,hT(bi), bji=hbi, T(bj)i, ent˜ao segue queαij=αji.

(⇐= ) Seja B⊂V uma base ortonormal. Então, por hipótese, [T]B é simétrica, e já segue diretamente que hT(bi), bji=hbi, T(bj)i, para os vetores dessa base, pelo menos.

Sejamu, v ∈V; ent˜ao podemos escrevˆe-los nessa base, de tal forma que hT(u), vi=

* X

i

αiT(bi),X

j

βjbj

+

=

* X

i

αibi,X

j

βjT(bj) +

=hu, T(v)i

Proposi¸cão 9.2. (V, <, >), T : V → V simétrico, e u, v ∈ V autovetores de T (autovalores λ 6= µ, respectivamente). Entãou⊥v.

Demonstra¸c˜ao.

u λ, T(v)

=hu, vi= ^µ_λhu, vi(primeira igualdade vale por hip´otese de simetria e autovetor).

=⇒ (1−^µ_λ)hu, vi= 0, sendo queµ6=λpor hip´otese. ∴u⊥v.

Corolário 9.1. (V, <, >),T :V →V operador simétrico, com autovalores λ, µ∈R. Então os autoespa¸cosV(λ)eV(µ)são subespa¸cos ortogonais entre si.

Defini¸c˜ao 9.2(Subespa¸coT-invariante). (V, <, >),T :V →V operador linear, S⊂V subespa¸co vetorial.

Se ∀v∈S, T(v)∈S, diz-se queS ´e um subespa¸coT-invariante.

Observa¸cão. Note-se que os próprios autoespa¸cos de um operador linear já são T-invariantes, quase que por defini¸cão.

Ademais, tem-se que a restri¸c˜ao de um operador linearT a um subespa¸coT-invariante ´e bem natural:

T |S:S3v7→T |S (v) =T(v)∈S

Disso segue, por exemplo, que sev∈S é um autovetor deT |_S, entãov será autovetor de T. Proposi¸cão 9.3. (V, <, >),T :V →V simétrico, ev∈V autovetor deT (autovalor igual aλ).

Ent˜ao tem-se que[v]^⊥ ´e um subespa¸coT-invariante.

Demonstra¸c˜ao.

Sejaw∈[v]^⊥. Ent˜ao temos quehw, T(v)i=hT(w), vi=λhw, vi= 0 =⇒ T(w)∈[v]^⊥.

Proposi¸cão 9.4. (V, <, >),S⊂V subespa¸coT-invariante. SeT :V →V for simétrico, entãoT |S:S→S

´

e sim´etrico.

Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, ∀u, v ∈ V, hT(u), vi = hu, T(v)i. Mas ∀u ∈ S, T |_S (u) = T(u), e como u, v∈S =⇒ u, v∈V, segue que

∀u, v∈S,hT |S(u), vi=hT(u), vi=hu, T(v)i=hu, T |S (v)i

(17)

Proposi¸c˜ao 9.5. (V, <, >), T : V → V operador linear, e S ⊂V um subespa¸co T-invariante, com base B⁰={ui}^p_i=1⊂S, cuja base completada ´eB={u1, . . . , up, up+1, . . . , un} ⊂V.

Ent˜ao tem-se que

[T]_B=







∗ . . . ∗ ? . . . ? ... ... ... ... ... ...

∗ . . . ∗ ? . . . ? 0 . . . 0 ? . . . ? ... ... ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 ? . . . ?







onde a parte com∗ ´e a matriz[T |S]B⁰ da restri¸c˜ao de T aS (uma matriz p×p), e a parte com? vem dos vetores em B\B⁰ (uma matriz n×(n−p)).

Demonstra¸c˜ao. Temos que, para as colunas entre 1 e p, Col_j = T(b_j) =P

iα_ijb_i, sem contribui¸c˜oes dos vetores dep+ 1 an,whence a parte da esquerda da matriz.

Na parte da direita, temos queT(bk) =

n

P

i=1

αikbi, sem nada em particular de especial.

Proposi¸cão 9.6. (V, <, >)espa¸co vetorial,T :V →V operador linear simétrico, eS⊂V subespa¸co deV. EntãoS T-invariante =⇒ S^⊥ T-invariante.

Demonstra¸c˜ao. Sejau∈S, ew∈S^⊥. Segue que

hu, T(w)i=hT(u), wi=h˜u, wi= 0 (ondeT(u) = ˜u∈S, por hip´otese). ∴w∈S^⊥ =⇒ T(w)∈S^⊥.

Corolário 9.2. (V, <, >),T :V →V simétrico, eV(λ)o autoespa¸co de autovalor λ. Então V(λ)^⊥ é um subespa¸coT-invariante.

Proposi¸cão 9.7. (V, <, >) de dimensão n ≥ 2, T : V → V operador simétrico, v ∈ V autovetor de T (autovalorλ).

Se T |_[v]⊥: [v]^⊥→[v]^⊥ for diagonalizável, entãoT será diagonalizável.

Demonstra¸c˜ao.

T |_[v]⊥ diagonalizável =⇒ há uma baseB^⊥⊂[v]^⊥ na qual [T]_B⊥ é diagonal.

ComoV = [v]⊕[v]^⊥, ent˜aoB={v} ∪B^⊥ ´e uma base deV, e de fato diagonalizaT, pois

[T]B=







λ 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ... ... . .. ... 0 0 . . . λn







onde a coluna da esquerda descreve o subespa¸co de [v], e as colunas da direita, o subespa¸co de [v]^⊥ numa base ortogonal. ∴T ´e diagonaliz´avel.

Proposi¸cão 9.8. (V, <, >),A∈Mn(R) matriz simétrica. Então todos os seus autovalores são reais.

Demonstra¸c˜ao.

Temos que os autovalores de Asão ra´ızes do polinômio caracter´ıstico p_A(λ), ou seja, são complexos (reais ou não, mas complexos). Sejaλ₀ algum autovalor que seja complexo (podendo ser real ou não).

Ent˜ao o autovetor associado est´a emCⁿ, em geral, e satisfaz (A−λ₀I)z=~0

SejaA^† o adjunto de A(A^†= ¯A^T, ¯xo complexo conjugado de x). Segue da equa¸c˜ao acima que z^†(A−λ¯0I) =~0^†=~0

(18)

poisA, I são matrizes de coeficientes reais e simétricas, então são autoadjuntas (M =M^†) (a equa¸cão está como uma equa¸cão de vetores-linha, devido ao operador adjunto).

Multiplicando a equa¸c˜ao porz, temos que

z^†(A−λ¯₀I)z= 0 Segue que

z^†Az=z^†zλ¯0

z^†λ0z= ¯λ0|z|² λ0|z|²= ¯λ0|z|²

Comoz6=~0, pois ´e um autovetor deA, temos queλ0= ¯λ0, logoλ0 ´e real.

Corol´ario 9.3. (V, <, >),T :U →U um operador sim´etrico.

Ent˜ao segue queT possui, no m´ınimo, um autovetor.

Demonstra¸cão. Como T é simétrica, então, para toda base ortonormal B ⊂ U, [T]B será uma matriz simétrica. Pelo teorema fundamental da Álgebra, p_T(λ) tem, no m´ınimo, uma ra´ız (real, pela proposi¸cão acima); logo,T tem, no m´ınimo, um autovetor (no sentido de um espa¸co vetorial de corpo emR) associado a este autovalor.

Proposi¸cão 9.9. (V, <, >)de dimensão 2,T :V →V operador simétrico. Então há uma base ortonormal formada por autovetores de T que diagonalizamT.

Demonstra¸cão. T possui, no m´ınimo, um autovetor não-nulo; seja ele v ∈ V. Então temos que [v]^⊥ éT- invariante. Tomem-se bases ortonormais para [v] e [v]^⊥. Segue que a união destas bases será uma base de V (porV = [v]⊕[v]^⊥), e [T]B será diagonal. Estes vetores, pela própria defini¸cão de espa¸cosT-invariantes, são autovetores deT.

Teorema 9.1 (Diagonaliza¸cão de Operadores Simétricos). (V, <, >) de dimensão n < ∞, T : U → U operador simétrico. Então há uma base ortonormal que permite que T seja diagonalizável.

Demonstra¸c˜ao. Indu¸c˜ao:

1. Temos que o resultado vale paran= 2.

2. Suponha que a tese vale paran−1.

Pelos resultados demonstrados acima, T possui, no m´ınimo, um autovetor; seja elev 6=~0. Considere [v]^⊥, e a restri¸cão deT ao mesmo, T |_[v]⊥. Pela hipótese de indu¸cão, como dim[v]^⊥ =n−1, há uma base ortonormalB^⊥tal queT |_B^⊥é diagonalizável. Fa¸ca-seB=n

v

||v||

o∪B^⊥Ent˜aoTB ser´a diagonal.