1. teoria da utilidade e seguro

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1. teoria da utilidade e seguro

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1 introdu¸c˜ao

2 breves no¸c˜oes acerca da teoria da utilidade

3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade

4 elementos de seguro

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Introdu¸c˜ ao

Um sistema de seguran¸ca ´e, de um modo lato, um mecanismo criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso resultante de acontecimentos aleat´orios que impedem a

concretiza¸cão de certas perspectivas razoáveis à partida.

Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorrência de acontecimentos aleatórios é o JOGO.

No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele (sistema de seguran¸ca) ser criado com vista a proteger contra oimpacto económico de riscos que existem e estão fora de controle do segurado, enquanto que no jogo o risco é

”procurado”voluntariamene pelos participantes.

Efectivamente, o único ponto comum entre estes dois sistemas é o facto de envolverem uma redistribui¸cão da riqueza.

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breves no¸c˜ oes acerca da teoria da utilidade

Se cada um de nós pudesse predizer as consequências das nossas decisões obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo...

desinteressante!

Tudo se resumiria a tomar decisões com base nas preferências relativamente às consequências.

No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom prof´etico.

O melhor que podemos fazer é seleccionar uma açcão que nos irá conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas.

A teoria da utilidade é uma teoria elaborada no sentido de levar a um conhecimento aprofundado acerca de como tomar decisões face à incerteza. Trata-se de uma teoria com importância relevante para os

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Assim, face ao problema detomar uma decisão face à incerteza, uma solu¸cãoposs´ıvel poderá ser definir ovalor de um projecto económico com resultado aleatórioatravés do seu valor esperado. Em economia é designado este valor porValor JustoouValor Actuarial.

Através desteprinc´ıpio, o agente de decisão encara de modo indiferenteentre assumir um preju´ızo aleatório X e efectuar um pagamento de montanteE[X].

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No entanto, muitos agentes de decisão não adoptam este princ´ıpio (por vezes, designado comoPrinc´ıpio do Valor Justo); para eles, o n´ıvel de riqueza e outros aspectos da distribui¸cão dos resultados influenciam as suas decisões. No exemplo seguinte está bem patente a insuficiência do princ´ıpio referido.

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Exemplo 1.1. (seguro de acidentes) Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada.

Os trˆes casos seguintes est˜ao escalonados de acordo com o montante de preju´ızo resultante de um acidente, eventualmente.

Preju´ızos Poss´ıveis (u.m.)¹ Preju´ızo Esperado (u.m.)

caso 1 0 1 0.1

caso 2 0 1.000 100

caso 3 0 1.000.000 100.000

No caso 1 o montante de perdas não é relevante, pelo que o agente de decisão não estará disposto a pagar mais do que o valor esperado dos preju´ızos para efectuar o seguro.

1u.m. - unidade monet´aria

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Contudo, se fixarmos a nossa aten¸cão no caso 3, um preju´ızo de 1.000.000 u.m. poderá revelar-se catastrófico e exceder as suas disponibilidades financeiras.

Neste caso, possivelmente o agente de decis˜ao poder´a estar disposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do preju´ızo de forma a efectuar o seguro.

Este facto sugere que o ”princ´ıpio do valor Justo”nem sempre ´e o mais adequado como base da decis˜ao.

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ALTERNATIVAS?

Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de um agente de decis˜ao poder estar disposto a pagar mais do que o valor esperado -

afun¸c˜ao utilidade.

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Os trˆes exemplos seguintes situam-se na ´area dos JOGOS e servem para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais naTeoria da Utilidade.

Exemplo 1.2.

Embora dois jogos distintosX e Y possam ter o mesmo ganho esperado, uma pessoa que seja for¸cada a aceitar um dos dois jogos, preferir´a tipicamente um deles ao outro.

Por exemplo, sejam X :

500 −400

1/2 1/2 e Y :

60 50 40 1/3 1/3 1/3 comE[X] =E[Y] = 50.

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Contudo, uma pessoa que n˜ao queira arriscar perder 400 u.m. para ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferir´a, de um modo geral, o jogoY, que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de, pelo menos, 40 u.m. .

A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o objectivo de descrever as preferˆencias pessoais em jogos como os que acab´amos de descrever:

Uma pessoa preferirá um jogoX para o qual o valor esperado de uma certa fun¸cãou(X),E[X], seja um máximo (em vez deE[X]!)

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u(.)−→ fun¸c˜ao utilidade x −→u(x)

u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de ganhar o montantex.

because giving a bank note to a poor person makes more sense than giving it to a millionaire– Rolski et al. (1999)

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E[u(X)] = 1

2u(500) + 1

2u(−400) E[u(Y)] = 1

3u(60) + 1

3u(50) + 1 3u(40)

> prefere X

E[u(X)] = E[u(Y)] indiferente entre X eY

< prefere Y

u(x) ´e uma fun¸c˜ao crescente do ganhoX

É uma hipótese razoável, se pensarmos que pessoa prefere um ganho maior a outro mais pequeno!

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Contudo, a forma de uma fun¸c˜ao utilidadeu(.) varia de pessoa para pessoa e depende do balan¸co pessoal entre o risco assumido referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus ganhos.

Exemplo 1.3.

jogo 1. jogo 2.

X :

−3 2.5 6

0.5 0.4 0.1 Y :

−2 1 3 0.3 0.4 0.3 Qual a preferˆencia pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2?

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a) Fun¸c˜ao utilidade linear: u(x) =ax +b, a>0.

E[u(X)] =E[aX +b] =aE[X] +b=aµ_X +b, donde E[u(X)]>E[u(Y)] sse µ_X > µ_Y

portanto,

quando a utilidade é linear o jogo escolhido é sempre aquele para o qual o ganho esperado é máximo.

E[X] = 0.5×(−3) + 0.4×2.5 + 0.1×6 = 0.1 E[Y] = 0.7

⇒E[Y]>E[X] e portanto a preferˆencia ´e pelo jogo 2.

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b) Fun¸c˜ao utilidade c´ubica: u(x) =x³

E[u(X)] = 0.5×(−3)³+ 0.4×(2.5)³+ 0.1×(6)³= 14.35 E[u(Y)] = 6.1

E[u(X)]>E[u(Y)]

⇒ preferˆencia pelo jogo 1 (X)

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Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg)

O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos princ´ıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da fun¸cão utilidade, considerada como fun¸cão dos lucros poss´ıveis, poderá não ser uma fun¸cão linear.

Suponhamos que ´e dada a oportunidade a uma pessoa de participar no seguinte jogo:

Uma moeda ´e lan¸cada repetidamente at´e que seja obtida a face

“cara”pela primeira vez.

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Se a primeira vez que a face “cara”aparece é non−ésimo lan¸camento, então a pessoa obtem um GANHO de 2ⁿ u.m. , (n= 1,2, . . .)

Quest˜ao:

Qual o montante que uma pessoa est´a disposta a gastar como entrada de forma a permitir a sua participa¸c˜ao no jogo?

P[X = 2ⁿ] =P[obter primeira face “cara”no n-´esimo lan¸camento] =

= 1

2 n−1

×1 2 =

1 2

n

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O ganho no jogo ´e descrito por X :

2ⁿ, n= 1,2, . . .

1 2

n

, E[X] =

∞

X

n=1

2ⁿ 1

2 n

=∞ Se a fun¸cão utilidade fosse uma fun¸cão linear, então a pessoa estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante arbitrário.

No entanto, o que acontece de facto é que cada pessoa está disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente reduzida), que depende da sua própria fun¸cão utilidade.

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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade

A fun¸cão utilidade, u(.), associada a um agente de decisão, pode então ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas económicas aleatórias X e Y.

Sejaw a riqueza que possui determinado agente de decisão económica. Será seleccionada a perspectiva económica X se

E[u(w+X)]>E[u(w+Y)]

e ser´a indiferente entre as duas perspectivas X eY se E[u(w+X)] =E[u(w+Y)]

quer dizer, a rela¸c˜ao de preferˆenciaqualitativaou de indiferen¸ca

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Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um conhecimento aprofundado no campo dosSEGUROS.

Suponhamos que um agente de decis˜ao possui uma propriedade que pode ser danificada ou destru´ıda no per´ıodo de tempo seguinte.

SejaX a vari´avel aleat´oria que representa omontante de preju´ızos (que pode ser eventualmentezero).

Consideremos também quea distribui¸cão de X é conhecida.

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X −→ montante de preju´ızo

E[X]−→ preju´ızoesperado no pr´oximo per´ıodo.

SEGURADOR −→organiza¸cão que ajuda a reduzir as consequências financeiras do dano ou destrui¸cão da propriedade.

SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco

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AP ÓLICES−→ contratos estabelecidos entre o segurador e o segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor do que o preju´ızo financeiro sofrido face ao dano que venha a ocorrer eventualmente, no per´ıodo de vigência da apólice→ pagamento da indemniza¸cão.

PRÉMIO−→ pagamento efectuado pelo segurado ao segurador como retribui¸cão das ”promessas”contidas na apólice por parte do segurador.

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princ´ıpio do valor justo (ou esperado)

Supondo que o segurador adopta uma fun¸cão de utilidade linear com o objectivo de estabelecer o prémio a ser pago pelo segurado, o PRINCÍPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse montante.

µ=E[X]→ pr´emio puro para o per´ıodo da ap´olice em causa.

Este montante ´e incrementado de algumasobrecarga (ouCARGA) de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma seguran¸ca contra o risco.

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Pr´emio = pr´emio puro + carga de seguran¸ca + carga admnistrativa por exemplo :

P =µ(1 +θ) +c =µ+θ·µ+c comθ,c >0 e onde

θ– COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANC¸ A

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Princ´ıpios de C´alculo de Pr´emio

Existem outros princ´ıpios econ´omicos que podem ser adoptados pelas seguradoras.

Assim, e comµ:=E[X], quando:

carga de seguran¸ca=

=θ·µ –Princ´ıpio do Valor Esperado.

=θ·VAR[X] –Princ´ıpio da Variˆancia.

=θ·p

VAR[X] – Princ´ıpio do Desvio Padr˜ao.

=θ·VAR[X]/µ – Princ´ıpio Modificado da Variˆancia.

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Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco - segurado - em termos da teoria da utilidade -u(x).

perspectiva do segurado

A indiferen¸ca entre pagar um montanteG ao segurador e assumir o risco ele pr´oprio pode ser estabelecido pela igualdade

u(w−G) =E[u(w −X)] (∗)

onde

u(w−G)→ valor esperado do pagamento de G para protec¸c˜ao financeira dada pela seguradora

E[u(w −X)]→ utilidade esperada de n˜ao comprar o seguro, quando a riqueza ´e w

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No entanto...

O contrato da ap´olice dever´a ser vantajoso para ambas as partes- segurado e segurador.

Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedaden˜ao pode ter uma fun¸c˜ao utilidade linear.

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Por absurdo, suponhamos queu(w) =aw+b, a>0. De (∗), a(w −G) +b=E[a(w −X) +b]

⇔a(w −G) +b=aE(w −X) +b,

⇔a(w−G) +b=a(w −µ) +b, pelo que

G =µ

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O que quer dizer:

O pagamento (máximo)G que o segurado está disposto a pagar de modo a ser indiferente fazer o seguro ou não, é igual ao preju´ızo esperado,µ.

Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para que o contrato resulte, acompanhia deverá cobrar um prémio maior do que os preju´ızos esperados. Isto é,G > µ

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Desigualdade de Jensen:

Sejau(w) uma fun¸cão crescente, côncava. Isto é, suponhamos que u⁰(w)>0 e u⁰⁰(w)<0.

Ent˜ao, para toda a v.a. X, desde que os valores m´edios envolvidos existam, tem-se

E[u(X)]≤u(E[X])

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Dem:

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u(w)≤u(µ) +u⁰(µ)(w −µ), ∀w pelo que

E[u(X)]≤E[u(µ) +u⁰(µ)(X −µ)]

⇔E[u(X)]≤u(µ) +u⁰(µ)E[(X −µ)]

e, consequentemente,

E[u(X)]≤u(µ), c.q.d.

Verifica-se a igualdade apenas seX for constante.

Observa¸cão: Esta desigualdade é de grande aplicabilidade em Matemáticas Actuariais.

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Retomamos agora o problema da fun¸c˜ao utilidade adoptada pelo dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as partes o contrato constante da ap´olice.

De (*) vem o seguinte quandou(.) ´e cˆoncava:

u(w −G) =E[u(w −X)]≤u(w−µ)

a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porqueu(.) ´e crescente, conclui-se que

w−G ≤w−µ

e consequentemente

G ≥µ.

ComG > µ a menos queX seja constante.

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Ent˜ao,

o segurado pagar´a um montante maior do que o preju´ızo esperado de forma a efectuar o seguro→ ADVERSO AO RISCO.

Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma fun¸cão utilidade côncava u₁(.). Consideremos também

H → prémio m´ınimo aceitável para assumir o preju´ızo aleatórioX

w₁ → riqueza corrente

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perspectiva do segurador

u1(w1) =E[u1(w1+H−X)]

Corresponde ao

Princ´ıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o seguro (recebidos os pr´emios (H) e pagos os preju´ızos ou indemniza¸c˜oes (X)).

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Então, seu₁(.) é côncava (e crescente) vemH ≥µ apólice praticável

Se

G ≥H ≥µ

então a apólice é praticável!

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Exemplos de fun¸c˜oes utilidade fun¸c˜oes utilidade exponenciais

u(w) =−e^−αw propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais

u(w) ´e uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face ao risco. (u⁰(w)>0 eu⁰⁰(w)<0)

Tem-se queE[u(X)] =−M_X(−α), comM_X(r) =E[e^rX] a f.g.m. de X.

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propriedades da fun¸c˜oes utilidade exponenciais

O prémio de seguro não depende da riqueza do agente de decisão (segurado ou seguradora)

u(w−G) =E[u(w−X)]⇒ −e^−α(w−G⁾=E[−e^−α(w−X⁾]

⇒e^αG =M_X(α)⇒G = logM_X(α) α que n˜ao depende de w.

Analogamente,

u1(w1) =E[u1(w1+H−X)]⇒H = logM_X(α1) α₁

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Exemplo de aplica¸c˜ao:

Um agente de decis˜ao tem f. utilidade u(w) =−e^−5w. Face a duas perspectivas econ´omicas X e Y, qual delas prefere quando

1 X ∼N(5,2) e Y ∼N(6,2.5)

2 X ∼N(5,2) e Y ∼N(6,2.4)

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Resolu¸c˜ao:

Recorde-se queX ∼N(µ, σ²)⇒M_X(r) =e^µr^+σ²^r²^/2

1

E[u(X)] =−M_X(−5) =−1 e

E[u(Y)] =−M_Y(−5) =−e^−1.25 tem-se E[u(X)]>E[u(Y)] e portanto prefereX. Observa¸c˜ao: note-se queµ_X < µ_Y

2 Neste caso, E[u(Y)] =−1 e portanto ´e indiferente entre X e Y.

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fun¸cões utilidade potência fraccionárias

u(w) =w^γ, w >0,0< γ <1 propriedades da fun¸cões utilidade potência fraccionárias

atitude adversa face ao risco. (u⁰(w)>0 e u⁰⁰(w)<0) pr´emiosdependem da riqueza do agente de decis˜ao.

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u(w) =√

w; considere-sew = 10 e X ∼U(0,10). Qual o

montante máximo (G) que o agente está disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleatório X?

Resolu¸c˜ao:

u(10−G) =E[u(10−X)]

⇔√

10−G = Z 10

0

√

10−x 1 10dx

⇔G == 2 3

√

10⇔G = 10×5

9 = 5.56

Observa¸c˜ao: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atr´as, G >E[X]

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fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas

u(w) =w −αw², w < 1

2α, α >0 propriedades das fun¸c˜oes utilidade quadr´aticas

atitude adversa face ao risco. (u⁰(w)>0 e u⁰⁰(w)<0) a decisãodepende apenas do valor médio e da variância de X,E[X] e E[X²].

Observa¸c˜ao: este tipo de fun¸c˜oes utilidade pode ter como

consequˆencia certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos um exemplo disso:

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Consideremos o seguinte cen´ario:

u(w) =w−0.01w², w <50; X :

0 c p 1−p Qual o montante máximo (G) que o agente de decisão está disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleatório X? Considerec = 10 e p = ¹₂ e compare os resultados para dois valores dew,w1 = 10 e w2 = 20.

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Resolu¸c˜ao:

u(w −G) =E[u(w −X)]

pelo queG dever´a satisfazer a seguinte equa¸c˜ao de segundo grau:

(w −G)−0.01(w −G)² = pu(w) + (1−p)u(w−c)

= p[w−0.01w²] +

(1−p)[(w −c)−0.01(w −c)²]

w₁ = 10−→G = 5.28 w1 = 20−→G = 5.37

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Observa¸c˜oes:

1 em ambos os casos G >E[X] = 5 (adverso ao risco);

2 a conclusão é algo absurda! O agente de decisão está disposto a pagar um prémio superior no caso se ser, à partida, mais rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)!

As fun¸cões utilidade quadráticasnãosão convenientes para

agentes de decis˜ao com tendˆencia a sofrer preju´ızos que aumentam no sentido da riqueza.

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tipos de cobertura

Temos vindo a falar de seguros decobertura totalface a um poss´ıvel dano que afecte um agente de decis˜ao.

Vejamos no seguinte exemplo as consequˆencias que advˆem do facto de ser adoptada uma pol´ıtica decoberturaparcial.

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Exemplo:

Consideremos

u(w) =−e^−0.005w.

A probabilidade que uma propriedade não seja danificada, no próximo per´ıodo, é de 0.75; sendo sujeita a um dano

convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor m´edio 100, caso contr´ario.

Compare os montantes pr´emio quando tem `a sua escolha cada uma das seguintes pol´ıticas face ao dano:

1 Cobertura total;

2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro PROPORCIONAL).

e calcule o montante de excesso face `as indemniza¸c˜oes esperadas, em cada um dos casos.

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Resolu¸c˜ao:

O dano,X, ´e uma v.a. mista:

X :

0 Z ∼Exp(100)

0.75 0.25 ,

f_Z(z) = 0.01e^−0.01z,z >0;I(X) := cobertura.

1 Cobertura Total, i.e., tem-seI(X) =X.

E[I(X)] =E[X] = 0.75×0+0.25×E[Z] = 0.25×100 = 25u.m.

2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I(X) = ^X₂. E[I(X)] = 25

2 = 12.5u.m.

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Determinemos para ambos os casos o montante m´aximo que o agente est´a disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G:

caso 1: cobertura total

u(w −G) = E[u(w −X)]

= 0.75u(w) + 0.25E[u(w −Z)]

−e^{−0.005(w−G}⁾ = 0.75(−e^−0.005w) + 0.25E[−e−0.005(w−Z)

] (−e^−0.005w)e^0.005G = 0.75(−e^−0.005w)

+0.25(−e^−0.005w)E[e^0.005Z] e^0.005G = 0.75 + 0.25E[e^0.005Z] Note-se queE[e^0.005Z] =M_Z(0.005).

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SendoM_Z(r) = _1−100r¹ , para r <0.01, obtemosM_Z(0.005) = 2 e portanto

G = 44.63u.m.

donde o excesso face à indemniza¸cão esperada é

G −E[I(X)] =G−E[X] = 44.63−25 = 19.63u.m.

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caso 2: cobertura parcial de metade dos danos.

Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura parcial `a utilidade esperada sem cobertura.

E[u(w−G−(X −I(X)))] = E[u(w−X)]

E

u

w −G− X 2

= E[u(w−X)]

0.75u(w−G) + 0.25E

u

w −G −Z 2

=

= 0.75u(w) + 0.25E[u(w −Z)]

... G = 28.62u.m.

G−E[I(X)] = 28.62−12.5 = 16.12>12.5 (perda parcial esperada)

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elementos de seguro

Uma vez identificada uma classe de situa¸c˜oes sujeitas a risco (e como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informa¸c˜oes acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de preju´ızos respectivo.

As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas têm sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no sentido de constituir um guia para os agentes de decisão, no sentido de tomarem açcões consistentes com as suas preferências.

Fa¸camos um ponto da situa¸c˜ao nesse campo:

0≤I(X)≤X.(ap´olices admiss´ıveis)

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Hip´otese simplificadora do problema

Suponhamos que qualquer apólice admiss´ıvel pode ser adquirida pelo montante respeitante à indemniza¸cão esperada

−→E[I(X)]≤E[X]

Suponhamos que a fun¸cão utilidade é tal que o agente de decisão é adverso ao risco (u⁰(w)>0 eu⁰⁰(w)<0) P- prémio a ser pago pelo agente de decisão.

0<P =E[I(X)]≤E[X]

E[X] =µ

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Teorema: Arrow (1963) (seguro de sa´ude)

De acordo com as condi¸cões anteriores, a utilidade de um agente de decisão adverso face ao risco é MAXIMIZADA adquirindo uma apólice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS”

I_d∗(x) =

0 ,x <d^∗ x−d^∗ ,x ≥d^∗

em qued^∗ é solu¸cão da equa¸cão P =

Z ∞

d

(x−d)f(x)dx (=E[I_d∗(X)])

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Observa¸c˜oes:

Uma apólice de seguro não pode ser adquirida simplesmente pelo valor esperado das indemniza¸cões. (despesas

admnistrativas, lucro, carga de seguran¸ca)

O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a seguradora e o segurado, mas não estabelece o prémio P a ser pago. (P fixado à partida.)