EMC Simulação e Otimização de Sistemas Térmicos

-- Notas de Aula --

EMC410186 Simulação e Otimização de Sistemas Térmicos

Prof. Christian Hermes

Inverno de 2018

4. Modelação de Equipamentos

i) Trocadores de Calor: Qualquer forma de superfície divisória Considere duas correntes de fluido trocando calor entre si através de uma superfície,

Da 1ª lei,

( )

mh_Hi,=Q+

( )

mh_H,o e

( )

mh_Ci,+Q=

( )

mh_C,o

Resolvendo para Q , assumindo que não há mudança de fase, Q=C_H

(

T_i−T_o

)

_H=C_C

(

T_o−T_i

)

_C 

=mcp

C  capacidade térmica da corrente (W/K)

Da Lei de Newton (eq. fundamental - empírica),  Q=U

(

TH−TC

)

dA (*) • Ucoeficiente global de transferência de calor avalilado localmente • dAelemento de área associado à U

Note que (*) pode ser usada para,

(

)



 −  = Q 0 H L s _{UT T} Q A  _ dimensionamento =

_

s

(

−

)

 A 0 L H T dA T U Q análise

Se U e

(

T −_H T_L

)

são conhecidos localmente, o problema de pode ser resolvido! Note ainda que a eq. fundamental pode ser resolvida ao definirmos,

(

−

)



_

(

−

)

 A L H s L H UT T dA A 1 T T U média espacial Assim,

(

_{H L}

)

s T T U A Q _{= −} Se U for uniforme em A, Q =UA_s

(

T_H−T_L

)

=UA_sT_m

- 2 - Definindo,

(

−

)

=

_

(

−

)

 =  A L H s L H m T T dA A 1 T T

T diferença de temperatura média do trocador de calor Portanto, a eq. fundamental para U uniforme fica,

m s T UA Q=  (**) onde,

(

)

(

)

C C , f w H , f H s hA 1 R R R hA 1 UA 1  + + + +  =

A efetividade da superfície depende da eficiência de aleta,

(

fin

)

s fin s 1 A A 1− − =  com

(

− 

)

=  T T h A q A base fin fin fin fin Arranjos Fundamentais e LTMD

i) Correntes Paralelas ii) Contra-corrente

Note que  =T₁ T_H,i−T_C,i e  =T₂ T_H,o−T_C,o com 0 dT_H enquanto dT_C 0 Note que T₁ =T_Hi,−T_C,o e T₂ =T_H,o−T_Ci, com dT_H enquanto 0 dT_C . 0 Em ambos os casos,

(

2 1

)

(

2 1

)

s ml 2 1 2 1 T T T T Q UA T ln T T ln T T  −   −  =   = 

    LMTD (log-mean temp. diff.) Observações-

(i)  é sempre menor que T_cc



T

_cpi,

(ii) T_ml,cc é sempre maiorque



T

_ml,cp

 mesmo

Q com menos As ($) para um mesmo U

Casos especiais-

cte

T

T

T

C

C



_H

= 

_C





=

_H

−

_C

=

C



_H

 

C

_C



T

_Hi,

=

T

_H,o

=

T

_H

C



_H

 

C

_C



T

_Ci,

=

T

_C,o

=

T

_C

(i) (ii) (iii)

No caso (i),

(

T T

)

C

(

T T

)

T T T T T T T T T T T T

C

Q =H Hi,− H,o =C C,o− Ci,  Hi,− H,o = C,o− Ci, 1= Hi,− C,o= H,o− Ci, = 2 m=

Nos casos de mudança de fase, (ii) e (iii),

(

) (

) (

) (

)

      − − − − − =       − − − − − =    →  →    = = C o , H C i, H C o , H C i, H i, C H o , C H i, C H o , C H ml lv T T T T ln T T T T T T T T ln T T T T T C 0 T T C h m Q    • Método F-LTMD Da eq. fundamental, cc , ml m cc , ml m T T F T UF Q T U Q A      =  =   

Tml,cc LMTD para um trocador de calor c-corrente ideal

(

)



=FP,R,config

F fator de correção (F=1 para trocador c-corrente, F<1 demais configurações)

•  − − =    i, C i, H i, C o , C max C T T T T T T

P efetividade do lado frio (razão entre calor trocado e máximo possível, C =_C C_min) •  − − =  i, C o , C o , H i, H H C T T T T C C

R  razão entre capacidades térmicas

- 4 -

• Método da Efetividade (-Ntu) Efetividade- max Q Q   

 01 (indicador do desempenho térmico do trocador) 

max

Q máxima taxa de calor possível, obtida para um trocador c-corrente de tamanho (A) infinito

Note que-

(

Hi, H,o

) (

C C,o Ci,

)

H T T C T T C Q= − = − Para C_HC_C

(

) (

)

_{H,o Ci, max H}

(

_{Hi, Ci,}

)

A i, C o , C o , H i, H T T T limT T Q C T T T s − =  →  −  −  →  

Para CHCC

(

THi, TH,o

) (

TC,o TCi,

)

_AlimTC,o THi, Qmax CC

(

THi, TCi,

)

s − =  →  −  −  →  

Para CH=CC=C

(

THi, TH,o

) (

TC,o TCi,

)

_AlimTH,o TCi,,TC,o THi, Qmax C

(

THi, TCi,

)

s − =  → →  − = −  →   Em todos os casos  T_max =T_Hi,−T_Ci,. Assim, generalizando,

(

H C

)

max min max min max max minC ,C T C T Q C T

Q =    =   =  Por que não Qmax= CmaxTmax?

Se, por hipótese, C_max= , e se fosse possível C_C T →_C,o T_Hi,, então:

(

)

(

) (

)

(

Hi, Ci,

) (

Hi, H,o

) (

Hi, Ci,

)

H,o Ci, H C o , H i, H i, C o , C C o , H i, H H _C T T T T T T T T C T T T T C T T C − = −  − = _ −  −  −  

 viola 2ª lei (da Termodinâmica)!

(

)

(

)

(

(

)

)

min max m s i, C i, H min i, C o , C C i, C i, H min o , H i, H H max C T T UA T T C T T C T T C T T C Q Q   = − − = − − = =   _ _ _ _

Repare nos seguintes grupos adimensionais- (i) _ min s C UA

 número de unidades de transferência (Ntu)  parâmetro de projeto (medida do tamanho térmico do trocador de calor em relação à quantidade de material – correntes – por ele processado) (ii) _ max min C C  

razão de capacidade térmica (_C_{)  parâmetro de operação}

(para uma corrente sofrendo mudança de fase, Cmax→C→0)

(iii)        max m max C max H T T ; T T ; T

T _{parâmetros dependentes dos dois anteriores}

(

)



 = 

 _Ntu,C_{,config. Kays & London}

• Relações -Ntu

Para o arranjo em c-corrente, vimos que-

( ) (

H C

)

H C

(

H C

)

H C H C H C Q Q 1 1 1 1 d T d T T dT dT Q U T T dA C C C C C C          = − = − = − − −_{ }= − _ − _= − − _ − _      

(

)

              − − = − −        − − = − −  C H H s 1 , C 1 , H 2 , C 2 , H H C H C H C H C C 1 C UA exp T T T T dA C U C C 1 T T T T d       Mas,

(

H C

)

H H C H 2 , C 1 , H 2 , C 1 , C 2 , C 1 , H 2 , H 1 , H 1 , C 2 , C 2 , C 1 , H 2 , C 1 , H 1 , H 2 , H 1 , C 1 , H 2 , C 2 , H C C 1 1 1 1 T T T T 1 T T T T 1 T T T T T T T T T T T T  −  − =  −  − = − − − − − − = − + − − + − = − −  

(

)

(

)

              − − −               − − − =  =                 − − −               − − − =   H C C s H C H C C s H C H C C H H s C H C H H s H C C 1 C UA exp C C 1 C C 1 C UA exp 1 C C C C 1 C UA exp C C 1 C C 1 C UA exp 1                  

(

)





(

)







  − − − − − − =  =   = C 1 Ntu exp C 1 C 1 Ntu exp 1 C CC min C ou _





(

(

)

_



)



 − − − − − − =  =   = C 1 Ntu exp C 1 C 1 Ntu exp 1 C CH min H Casos limites-

(i) Mudança de fase: _{C →C}_{=0=1−exp}



_−Ntu

(

_1−C

)



max



(ii) Trocador c-corrente balanceado: _C=₁_{regra de l’Hospital}

Ntu 1 Ntu + =  

- 6 - Invertendo as equações- 1 C 0 1 C 1 ln C 1 1 Ntu →    −  − − =    0 C 1 1 ln Ntu → =  − =  1 C 1 Ntu → =  −  =  Observações-

(i)  e Ntu possuem uma relação assintótica para arranjo c-corrente: Ntu→0, →0 e Ntu→, →1 para qualquer _C

(ii)  aumenta com a redução de _C _{para um dado Ntu}

(iii) _C _{não exerce influência significativa para 40%}

(iv) No caso de mudança de fase (C = 0_{), as relações −Ntu são idênticas para qualquewr arranjo}

• Trocadores Compactos 

= 

V

As fator de de compacidade [1/m] (compactos ≳100 m-1₎

 =  f c A A _{fração de passagem}   = = f c f f c u A A u

u velocidade máxima no “core”  = = s c c h A L A 4 P A 4 D diâmetro hidráulico    =

Dh 4 relaciona os 3 parâmetros dos trocadores compactos!

Um balanço de energia em um VC hipotético em uma corrente do T.C. fornece,

(

)

(

)

₍

(

)

₎

ref s s i o c p i o p c ref s s _{A T T} T T A Vc h St T T c VA T T hA − − =    −  = −

(

o− i

)

 c T T A variação de T na corrente

(

_s− _ref

)

 s T T

A potencial de transferência de calor

( )

( )( )





=





=

Pr

Re

Nu

k

L

Vc

k

L

h

St

L L p

Note que,

( )

= = → =  = → = h T h s c min s min p T p D L 4 St Ntu L 4 D Ntu A A C UA Gc U St Gc h

St _ No. Stanton total

 = h c s D L 4 A

A _{caminho livre de passagem → proporção entre Ntu e St!}

Lembre que, para o escoamento laminar sobre placa plana (abaixo) -

2 3 L 2 3 L Nu f f St St Pr j Re Pr 2 Pr 2 = =  = = fator j de Colburn  = =  23 p 3 2 Pr Gc h Pr St

j parâmetro de desempenho (curva característica) p/ trocador compacto

• Perda de Carga e Potência de Bombeamento Da eq. do movimento, AcGdu+Acdp+sdAs =0

Com u= Gv

(

)

(

)

b b b 2 2 1 2 c c s s c 2 1 c b a 2 s a a a A G



dv A+



dp+ 



dA =A G v −v +A p −p + fG vA =0 2 2 s 1 a b a b 2 1 1 c A v v p p p G 2 1 f v v A −      = − = _{ } − +_{ }     Mas, h c s D L 4 A A = vv1 v2 2 h G 4L p f 2 D    Potência de bombeamento-    =   = p f f p p p A u p V

- 8 -

• Projeto termo-hidráulico

Considere um trocador em que há mudança de fase. Na corrente que não muda de fase,

Eq. Gibbs

(

)

 − + − = −   − =  o i i o i o p p h h s s T dp dh Tds 1ª lei m Q h h h m Q h m i o o i _     + =  − =  2ª lei (Termodinâmica) _      + = −  = + +  _g s i o o g s i _T S Q m 1 s s s m S T Q s m        2ª lei (Dinâmica) c s i o s c i c i _A A p p A A p A p = +  − =−  c s p s s min min S c s g w A A c T T T T T C Q C S N A A m Q S T Q m T   +       − = =    − =       +  _ _      Mas, Ntu C Q A h Q T T min s s _   = = − e Ntu Ntu 1 T T Ntu 1 T C Q T T T T C Q T T T 2 2 s 2 s min s s min 2 s s  =        =       =       −   _ _   − =  s i o T T

T _{diferença de temperatura adimensional (depende do processo)} Ntu T h u c A u UA T h u h u u h A A c T c p c c s c c c c s p  =   =         Ainda, 2 1 c 2f u  =  , h=u_cc_pSt, _St=jPr−23 c 2c 2 3 p u u f f f Ec Ec Pr hT c T 2St 2St 2 j   = = =  = T c u Ec p 2

c _{No. Eckert modificado ( T no lugar de} T₎

Lembre que, da analogia de C.L. → f 2 j

Para trocadores com j(Re) e Cf(Re) paralelos f c cte 2 j →    +  =  Ntu j 2 C Pr Ec Ntu N 2 23 f S (**) 2 2 3 S f opt 2 1 2 1 3 N C 2 j 0 Ec Pr 0 Ntu Ntu Ntu 2St Ec Pr f     =  − + =  = 

(

)

opt 1 2 1 3 2 j

C 0 1 exp Ntu 1 exp

Ec Pr f _{=   = − −   = −} ₋         1 →

 não garante o projeto ótimo!

Você gostará de ler o artigo: Hermes CJL, Conflation of epsilon-Ntu and EGM design methods for heat exchangers with uniform wall temperature, Int. J. Heat and Mass Transfer 55 (2012) 3812–3817

ii) Bombas e Ventiladores: promovem a elevação da pressão do fluido de trabalho, deslocando-o Hipóteses: regime permanente, escoamento incompressível

1a _{lei →}

(

1 2

)

(

1 2

)

p 2 ₁ 2 ₂ W +_m h+ V +gz _ =_m h+ V +gz _

(

) (

)

p 1 2 1 2 2 1 2 ₁ 2 ₂ W pv V gz pv V gz u u m  + + + = + + + − 2a _{lei →}

( )

( )

g g 2 1 1 2 S ms S ms s s m + =  − = Gibbs →

(

)

g 2 1 2 1 TS du Tds pdv dv 0 u u T s s m = −  =  − = − = p 1 2 1 2 g 2 2 2 1 W p _{V gz} p _{V gz} TS m m      =_ + + _ −_ + + _ +       p W

m  trabalho de bombeamento específico

g

TS

m  perdas por atrito Em geral, 2 p V H z g 2g = + +   altura de elevação 2 1 H H H

 = −  elevação de carga (“head”)

g L TS H gm =  perda de carga p L W H H mg

 =  + → curva característica (lado) Ainda- p p p s W W bhp T  = =  com 2 N 60   = bhp→ “break horse power”

BEP→ “best efficiency point”

Análise dimensional: H ou bhp f , ,V, ,D,g=  

(



)

2

D Ta= 

 No. Taylor (Reynolds rotacional)

Q 3 V C D =   coef. vazão H 2 2 g H C D  =   coef. carga W 3 5 bhp C D =   coef. potência

- 10 - Similaridade- 3 3 1 2 V V D D     = _  _      2 2 2 2 1 2 H H D D     ₌  _  _      3 5 3 5 1 2 bhp bhp D D   ₌  _  _      p p 1 5 1 5 1 2 1 1 D D −  −               Moody (1926)

(

)

1 2 1 2 Q s 3 4 3 4 H C V C _{g H}    = 

 geralmente avaliada na BEP → caracteriza o desempenho da bomba

Cavitação: pressão de sucção < pressão de vapor → bolhas de vapor colapsam no rotor

2 sat inlet p p V NPSH g 2g g   _ + _ −    

NPSH net positive pressure head

Bomba afogada atm sat

(

)

1 2 L min p p NPSH z z H NPSH g −  = + − −  

Ponto de operação Associação em paralelo _i i V=



V Associação em série _i i H=



H

iii) Compressores Alternativos → elevam pressão do gás com redução de volume, deslocando-o

1a _{lei →} i o o i W mh W mh h h m + =  = − 2a _{lei →} g i g o o i o i S ms S ms s s s s m + =  − =   Gibbs → s s s

(

_{s o}

)

_{s o s i i o} o o o Tds= dh− vdpdp 0= T s −s =h −h =h − + −h h h







- 12 - g i o S s s ; m − = − rev s i W h h ; m − = h h_{i o} W m − = −  W Wrev TSg m = m + m

(

)

rev s s g rev g W _{1 S 0} W TS  =   → → + Ainda, o

)

rev o

)

s s i i W Tds dh vdp dh vdp m = − →



= =





gás ideal →

pvk =cte

)

d d d 1 k k 1 1 k k 1 k s s s s cte k vdp cte p p k 1 −   = = _{ } −  





1 1 k rev d s s W _T Rk p ₁ m k 1 p − _{ }   _{ }  = _{  } −  −   _  _ Note que,

(

)

A C sw sw V =V +V = +1 C V 1 k 1 k d d D D D sw C C _s s s p p V v V CV V v p p     = =_{ }  =_{ }    

(

)

(

)

1 k 1 k sw d s sw d A D v sw sw s 1 C V p p CV p V V _{1 C C} V V p + −   −   = = _{= + −  }   sw A D v s s NV V V m N v v −  = =   1 k d s s s p p m 1 C C V p RT  _{ }    = _{+ −  }       →deslocamento volumétrico [m3_/s] Assim, 2 1 k a s d s d fit 0 1 s s s s Vp p p p m 1 C 1 m a a 1 RT p T p  _{ }   _{ }   _{ }  _{ } = _ − _{ } − _ = _ + _{ } − _        _{ }  _{ }     2 b s d u 0 1 s s fit s w p W _w W _{b b T 1} m m p _{ }    = +  = + _{ } −    _{  }