MATRIZES – DETERMINANTES E INVERSA – 2012 - GABARITO 1. Dadas as matrizes A =
a 0
0
a e B =
1 b
b
1 , determine a e b, de modo que A.B = I, onde I é a matriz identidade.
Solução. Efetuando as operações, temos:
0b 0b0 1a 0b.a b.1
1a 10 01 ab.a
b.aa 10
I 01
ab.a b.aa 1b . b1 a0 B.A 0a
.
2. Mostre que a matriz
1 0 1
2 1 0
0 1 1
B é a inversa da matriz
1 1 1
2 1 2
2 1 1
A .
Solução. O produto de duas matrizes inversas é a matriz identidade.
1 0 0
0 1 0
0 0 1 1
. 1 2 . 1 0 . 1 0 . 1 ) 1 .(
1 1 . 1 1 . 1 0 . 1 1 . 1
1 . 2 2 . 1 0 . 2 0 . 2 ) 1 .(
1 1 . 2 1 . 2 0 . 1 1 . 2
1 . 2 2 . 1 0 . 1 0 . 2 ) 1 .(
1 1 . 1 1 . 2 0 . 1 1 . 1 1
0 1
2 1 0
0 1 1 . 1 1 1
2 1 2
2 1 1 .
A B
.
3.Resolva as equações: a) 5 x x 7 2 0 b) 3 x x x 2 Solução. Calculando os determinantes, temos:
a) 0 7 x 5 ( x 2 ) 0 7 x 5 x 10 0 2 x 10 x 5
7 5
2 x
x
.
b)
x 2
1 0 x
)2 x ).(1 x(
0 2 x3 x 2 x3 x x 2
3 x
x 2 2
.
4. Dada a matriz
1 1 1
2 1 2
2 1 1
A , determine: A
T; Cof ( A ) e Adj ( A ) . Solução. Utilizando as definições das matrizes pedidas, temos:
COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MEIO AMBIENTE - INFORMÁTICA – MATEMÁTICA I PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
1 2 0
0 1 1
1 0 1
1 0 1
2 1 0
0 1 1 )A ( cof AdjA
1.
1 )2 .(
1 0.
1
0.
1 )1 .(
1 )1 .(
1
1.
1 0.
1 1.
1 )A ( cof
1 2 2
1 1 1
1 2 1 A
1 1 1
2 1 2
2 1 1 A
t
3 3 2
3 1 3
3 2 2
2 1
2
3 1 2 1 1
1 t
.
5. Se A =
1 2
2
1 e B =
2 0
1
3 , calcule (A.B
-1)
t. Solução. Efetuando as operações, temos:
6 1 6 5 3
2 3 1 B
. A 6
1 3 2 6
5 3 1
2 1 6 0 2 3 2
6 1 0 2 3 1
2 0 1
6 1 3 1 1 . 2
2 B 1
. A ) ii
2 0 1
6 1 3 1
6 0 3
6 1 6 2 3 0
1 . 2 6 1 3 0
1 . 2 B det B 1
6 0 6 B 2 det
0 1 B 3
)i
1 t 1
1
.
6. Calcule os determinantes de: a)
3 0 3
2 1 2
5 4 1
b)
3 2 3
2 1 2
5 2 6
a) a regra de Sarrus b) Regra de Laplace c) Regra de Chió Solução. Aplicando os respectivos procedimentos, temos:
a)
12 96 108 ) 12 ).(
8 ( ) 12 ).(
9 12 ( 12
8 9 )
5 x 3 ( 3 ) 4 x 3 ( 0
) 5 x 2 ( 2 ) 4 x 2 ( 1 3 0 3
2 1 2
5 4 1 : Chió
12 27 39 ) 9 .(
3 ) 13 .(
3 ) 8 1 ( 3 0 ) 5 8 ( 3 3 0 3
2 1 2
5 4 1 : ) Linha º 3 ( Laplace
12 ] 9 [ ] 21 [ ] 3 . 2 . 4 0 . 2 . 1 3 ).
1 .(
5 [(
)]
0 . 2 . 5 3 . 2 . 4 3 ).
1 .(
1 [ 0 3
1 2
4 1
3 0 3
2 1 2
5 4 1 : Sarrus
.
b)
53 63 10 ) 63 ( 1 10
7 9 10 )
4 ( 3 ) 4 ( 3
) 4 ( 5 ) 4 ( 6 3 3 2
5 6 2
2 2 1
3 3 2
2 2 1
5 6 2
3 2 3
2 1 2
5 2 6 : Chió
53 35 24 6 ) 7 ( 5 ) 12 .(
2 ) 1 .(
6 ) 3 4 ( 5 ) 6 6 ).(
2 ( ) 4 3 ( 6 3 2 3
2 1 2
5 2 6 : ) Linha º 1 ( Laplace
53 ] 3 [ ] 50 [ ] 3 . 2 ).
2 ( 2 . 2 . 6 ) 3 .(
1 . 5 [(
] 2 . 2 . 5 ) 3 .(
2 ).
2 ( 3 . 1 . 6 [ 2 3
1 2
2 6
3 2 3
2 1 2
5 2 6 : Sarrus
.
7. Calcule as inversas das matrizes: a)
3 0 3
2 1 2
5 4 1
A b)
3 2 3
2 1 2
5 2 6 B
Solução. Calculando pela matriz adjunta (inversa da matriz cofatora), temos:
a)
12 ) 3 ( 5 ) 0 ( 4 ) 3 ( 1 A det
4 1 3 4
1 3
1 2 0
12 1 13 4 1
9 12 3
8 12 0
13 12 3 12 . A 1
9 12 3
8 12 0
13 12 3 AdjA
9 8
13
12 12 12
3 0 3 )
A (
cof
1
. b)
53 ) 7 ( 5 ) 12 )(
2 ( ) 1 ( 6 A det
53 10 53
6 53
7 53
2 53
33 53
12 53
9 53
16 53
1
10 6 7
2 33 12
9 16 1 53 . A 1
10 6 7
2 33 12
9 16 1 AdjA
10 2 9
6 33 16
7 12 1 ) B (
cof
1
.
8. (ITA) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde
1 7 / 1
0 3 /
M 1 . Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P.
Solução. Encontrando a inversa de M, temos:
4 1 3 ) incipal Pr . Diag ( 1 Soma 7
3 0 M 3
P ) ii
7 1 3 0 3 3
/ 1 7 / 1
0 . 1
3 / 1
1 3 / 1 7 / 1
0 . 1
M det M 1
3 0 1 3 M 1 1 det
7 / 1
0 3 / M 1 )i
1
1
.
9. (ITA) Seja a matriz 3x3 dada por
1 0 3
0 0 1
3 2 1
A . Sabendo-se que B é a inversa de A, calcule a soma dos
elementos de B.
Solução. O determinante de A é: det A = -1.(2 – 0) = - 2. Calculando a inversa de A, temos:
2 1 3 1 2 3
4 3 2 1 1 : B de ) elementos (
Soma
1 3
0 2
4 3 2
1 1 0
0 2 6 0
3 8 1
0 2 0 2 . A 1
B 2 6 0
3 8 1
0 2 0 AdjA 2
3 0
6 8 2
0 1 0 ) A (
cof
1
.
10. Calcule o elemento a
32da inversa da matriz
4 2 5
3 1 2
4 2 1
M .
Solução. O elemento a
23é o resultado da divisão do elemento A
32da matriz cofatora de M pelo determinante de M. O determinante de M é: det M = 1(4 – 6) – 2(8 – 15) + 4(4 – 5) = -2 + 14 – 4 = 8.
8 1 8 M
det ) 8 .(
) 1 ( M
det ) 8 .(
) 1 ( M det a A
3 2 3
2 23
32
