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FORÇA MAGNÉTICA e CAMPO MAGNÉTICO
Força de Lorentz | Força Magnética| Lei de Biot-Savart | Lei de Ampére
1. (CEM - 15/01/2013) Considere uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I, como se representa na figura.
a) Calcule o campo magnético no centro da espira.
b) Considere um ponto P à distância r do ponto médio do lado vertical esquerdo da espira tal que r<<a. Calcular o campo magnético em P ciado pela corrente que passa no lado vertical esquerdo. Justifique.
c) Considere um percurso circular num plano perpendicular ao plano da espira, de raio
R>a. Calcule a circulação de B nesse percurso. Justifique a sua resposta.
d) Calcule o fluxo do campo magnético através de uma superfície cúbica de aresta b<a e centrado em O.
e) Suponha que a espira quadrada é colocada num campo magnético uniforme de valor B0, que é perpendicular ao plano da espira e com sentido para baixo. Calcule as forças magnéticas que actuam sobre a espira.
2. (CEM-26/01/2012) Um cilindro condutor de raio 2a, tem uma cavidade de raio a, também cilíndrica, a secção do qual é mostrada na figura. Uma corrente I, percorre este cilindro de forma uniforme na parte condutora.
a) Calcule a densidade de corrente J.
b) Calcule o campo magnético no ponto P.
c) Calcule o campo magnético num ponto muito afastado do cilindro (r>>>2a)
d) Se uma partícula passar pelo ponto P, com uma velocidade 𝑣⃗ = 2𝑖⃗, qual a força magnética a que fica sujeita?
e) Calcule o campo eléctrico no ponto P.
3. (CEM-10/01/2012) Um cabo coaxial, muito comprido, é formado por um cilindro condutor de raio R1, envolvido por um cilindro condutor oco concêntrico com raio R2 e R3. A corrente I é enviada pelo fio externo e retorna pela parte externa (Fig. 3).
a) Determine o campo magnético para todos os pontos, dentro e fora do cabo coaxial.
b) Admita, agora, que o condutor interno está descentrado na direcção de P.
i. Calcule a circulação de 𝐵⃗⃗ ao longo de
uma circunferência que passe por P, concêntrica com o condutor exterior.
ii. Discuta qualitativamente o valor do campo magnético no ponto P.
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4. (CEM-05/11/2011) Um condutor cilíndrico recto tem um comprimento L e um raio r0 muito que L. Considere que o cilindro está centrado na origem e que o seu eixo está alinhado segundo z. A corrosão atmosférica fez com que a condutividade do cilindro deixasse de ser uniforme e passasse a ser dada por: 𝜌(𝑟) = 𝜌0
1+𝑟2.
a) Calcule a resistência do condutor e a corrente total I0 que o percorre (segundo o sentido +𝑘́) quando uma diferença de potencial V0 é aplicada aos seus topos.
b) Calcule a densidade de corrente em todos os pontos do condutor.
c) Calcule o campo magnético dentro e fora do condutor. Explique qual é o regime de validade dos seus resultados.
d) Uma carga pontual livre q0 encontra-se num dado instante, na posição 𝑟⃗ = 2𝑟0𝑖⃗.
Sabendo que a carga tem nesse instante uma velocidade 𝑣⃗ = 3𝑗⃗ − 2𝑘⃗⃗, qual é a força que sobre ela é exercida?
5. (CEM-27-01-2011) Uma espira de raio R tem o seu centro na origem e o seu eixo coincide com o eixo dos zz. A espira é percorrida por uma corrente I que tem o sentido anti-horário para um observador colocado num ponto do semi-eixo positivo dos zz. A expressão do campo magnético num ponto do eixo com coordenada z tal que |𝑧| ≫ 𝑅 é dada, aproximadamente, por: 𝐵⃗⃗ =𝜇2|𝑧|0𝐼𝑅32𝑘⃗⃗.
a) Considerando as contribuições de cada elemento de corrente, mostre que o campo magnético no eixo aponta segundo +𝑘⃗⃗ tanto para valores positivos como para valores negativos de z.
b) Num dado instante, uma carga pontual q que passa pelo ponto de coordenadas x=0, y=0 e z=z0, com uma velocidade v. Considere que pode usar a expressão aproximada de B dada no enunciado do problema. A força que actua nesse instante na carga é 𝐹⃗ = 𝐹0𝑖⃗. Determine os possíveis valores da velocidade.
6. (CEM-11-01-2011) Um fio recto de espessura desprezável tem um comprimento L, está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga positiva λ, encontra-se sobre o eixo dos xx e desloca-se ao longo desse eixo com uma velocidade uniforme 𝑣⃗ = 𝑣0𝑖⃗.
Considere um ponto P no semi-eixo positivo dos yy, com coordenadas (0,y0,0).
a) Indique, justificando, qual é a direcção e sentido do campo magnético no ponto P.
A resposta depende da posição instantânea do fio?
b) Qual é a expressão aproximada do campo magnético no ponto P quando o centro do fio se encontra numa posição x tal que |𝑥| ≫ 𝑦0 𝑒 |𝑥| ≫ 𝐿?
c) Mostre que nos instantes em que uma das extremidades do fio se encontra sobre a origem das coordenadas, o campo magnético no ponto P é dado por:
𝐵⃗⃗ =𝜇0𝜆𝑣0 4𝜋𝑦0
𝐿
√𝑦02+ 𝐿2𝑘⃗⃗
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7. (CEM-27/11/2009) O módulo do campo magnético criado pela corrente I num condutor rectilíneo infinito num ponto P é µ0I/2πr, em que r é a distância mínima do ponto ao condutor.
a) Num diagrama claro indique um condutor que passe pela origem e também pelo ponto de coordenadas (2,3,0). Determine ainda o vector campo magnético nos pontos (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4), representando-o no diagrama.
b) Usando o princípio da sobreposição e a fórmula do campo magnético dada no enunciado, deduza a expressão do campo magnético à x do centro de uma tira de largura b e espessura desprezável percorrida pela corrente I, como se indica na figura.
8. (CEM-13/01/2009) Considere um plano infinito YOZ de espessura infinitesimal percorrido por uma densidade de corrente ℎ⃗⃗ = ℎ𝑘̂(A/m).
a) Calcule o contributo para o campo magnético da linha de corrente com largura dy em y=0.
b) Usando o princípio da sobreposição obtenha o campo magnético no ponto P, a uma distância x da origem.
c) Sabendo que um contributo dB criado por uma linha de corrente no ponto P é tanto maior quanto mais perto o ponto estiver dessa linha como explica o facto do campo calculado na alínea b) ser independente de x?
9. (CEM-27/11/2009) Considere um fio infinito percorrido por uma corrente I= 1 A, como mostra a figura. Esta corrente origina um campo magnético de
intensidade.
𝐵 = 𝜇0𝐼/(2𝜋𝑟)
a) Que força magnética se exerce sobre uma carga eléctrica 𝑞 =
−1𝑚𝐶 se ela estiver à distância de 1m do fio e tiver uma velocidade 𝑣 = 105𝑚/𝑠, perpendicular ao fio?
b) Considere uma espira quadrada de 1 dm de lado percorrida por uma corrente 𝐼𝑒 = 1𝑚𝐴, à distância de 1m do fio. Esta esprira é colocada de modo a que o fio está no plano da espira, como
mostra a figura. Calcule a força magnética em cada segmento da espira.
c) Calcule a força total na espira.
x P
y z
b
I
q 𝑣⃗
I
IE
P z
y
x h
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10. (CEM-05/12/2008) Uma corrente I percorre um fio infinito composto por duas semi-rectas perpendiculares cujas extremidades se encontram no ponto C. O ponto P está a uma distância d do ponto C, ao longo da recta AC.
a) Calcule o campo magnético em P, pela lei de Biot-Savart.
b) Recorrendo à análise de simetria e à Lei de Ampère, obtenha o mesmo campo magnético. Justifique os cálculos.
11. (CEM-27/01/2009) Considere uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I como mostra a figura
a) Determine o vector campo magnético no centro da espira.
b) Calcule o campo magnético (valor exacto) no ponto P criado pela espira.
c) Seria possível utilizar a lei de Ampère para resolver o problema anterior?
Em caso afirmativo resolva-o, e em caso negativo justifique a sua resposta.
12. (CEM-12/01/2010)
a) Explique sucintamente a Lei de Ampère. Explicite o significado físico e matemático de cada grandeza da lei.
b) Considere um cabo coaxial de condutores com os raios indicados na figura; o comprimento do cabo é muito maior do que os raios. A corrente I flui no cabo como indicado.
i. Escreva as expressões da densidade de corrente em cada condutor (interior e exterior).
ii. Se R1=R e R2=2R, calcule o valor de R3
(em unidades de R) de tal modo que as densidades de corrente nos condutores interior e exterior tenham o mesmo módulo.
iii. Para o caso genérico, deduza,
utilizando a Lei de Ampère, o campo 𝐵⃗⃗ como função de r (distância do ponto ao eixo central) ao longo da secção do cabo, a uma distância do eixo muito menor que a distância a qualquer das extremidades.
iv. Qual é o valor de 𝐵⃗⃗ fora do cabo? Justifique a sua resposta.
P(0,0,z) y
x
z I
a a
I
A I C d P
x y
R1
R2
R I
I
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13. (CEM-05/12/2008) Considere um cilindro oco com as dimensões indicadas na figura, com L>>R2, Ao qual é aplicada uma diferença de potencial V nas suas extremidades. Resulta no cilindro uma densidade de corrente 𝑗⃗ = 𝑗1𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ entre R e R1 e 𝑧
𝑗⃗ =𝛽
𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ entre R𝑧 1 e R2. j1 e β são constantes e 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ é um versor 𝑧 segundo a direcção longitudinal.
a) Calcular o vector campo magnético em todo o espaço.
b) Calcule o valor total da corrente no condutor (I).
c) Calcule a força por unidade de comprimento exercida num outro fio, fino, percorrido pela mesma corrente e à distância 2R2 do eixo do cilindro.
14. (CEM-12/01/2010) Considere uma barra de comprimento L, alinhada na direcção xx, que se desloca (sem rodar) com velocidade 𝑣⃗ = 𝑣0𝑒⃗⃗⃗⃗⃗ no campo magnético uniforme 𝑦
𝐵⃗⃗ = 𝐵0𝑒⃗⃗⃗⃗; 𝑣𝑧 0 e 𝐵0 são constantes.
a) Faça um diagrama esquemático que represente a situação física. Analise as forças que actuam sobre a barra (considere as cargas presentes na barra) e os fenómenos eléctricos que acontecem nela. Especifique se no estado estacionário há corrente, bem como a ddp na barra.
b) Responda à alínea anterior no caso em que o movimento da barra acontece sobre dois carris condutores alinhados na direcção yy e com separação d (d<L). Considere dois sub-casos: um em que os carris condutores estão ligados electricamente numa extremidade e outro em que não estão ligados.
c) Considere agora o caso em que a barra cai verticalmente sobre a influência da força da gravidade e as barras de carris, fechadas numa extremidade também são verticais. O campo 𝐵⃗⃗ é perpendicular ao plano dos carris. Se a massa da barra for m, escreva a equação do movimento da barra. Pode supor que a resistência da barra é R e que a dos carris é desprezável: calcule a expressão da
velocidade final da barra.
15. (CEM-12/01/2010) Um semi-anel carregado com uma densidade linear de carga λ e com raio R roda em torno de um eixo vertical com velocidade angular ω, como mostra a figura.
a) Diga, justificando, como evolui (direcção e sentido) no tempo o vector campo magnético 𝐵⃗⃗ no ponto P, comparativamente com o que aconteceria para o anel completo.
b) Calcule a componente vertical do campo magnético no ponto P.
P
O d
R λ
ω R1
R2
R
L
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16. (CEM-12/01/2010)
a) Explique sucintamente o conceito de indução mútua entre dois circuitos fixos no espaço. Explicite a grandeza física que quantifica este efeito e explique também a lei da reciprocidade.
b) Considere dois anéis concêntricos e co-planares, um com raio R1=5 cm e N1 espiras e outro com raio R2= 50 cm e N2 espiras. Faça um diagrama esquemático que represente a situação física. No anel de raio R1 passa uma corrente sinusoidal de amplitude 1 A e de frequência 100 Hz. Calcule a razão entre N2 e N1 de modo que a ddp. medida aos terminais do segundo anel seja de amplitude 1V. Deduza a fórmula necessária.
17. (CEM-12/01/2010) Um fio recto muito comprido é percorrido por uma corrente constante I. (Ao responder às perguntas seguintes, considere sempre que estamos suficientemente perto do fio e longe das suas extremidades para podermos fazer a aproximação do fio infinito. A figura abaixo aplica-se à alínea 14.3)
a) Uma carga pontual +q encontra-se, num dado instante a uma distância b do fio e tem uma velocidade paralela ao fio e com o mesmo sentido da corrente. Calcule a força instantânea que actua sobre a carga (indique o módulo, direcção e sentido) b) É possível que, na presença do fio, uma carga
mantenha uma trajectória recta sem sentir a força devida ao campo magnético do fio? Se respondeu não, justifique adequadamente. Se respondeu sim, indique uma dessas trajectórias.
c) A espira da figura define um plano perpendicular ao fio e é percorrida por uma corrente de valor
igual ao fio. Determine a força magnética que actua sobre cada um dos quatro elementos do fio (dois rectos e dois quartos de circunferência). Determine a força total que actua sobre a espira.
18. (CEM-12/01/2010) Um solenóide cilíndrico tem N espiras, num comprimento L e secção transversal de raio R<<L.
a) Sabe-se que, longe das extremidades o campo magnético é nulo no exterior do solenóide e tem direcção paralela ao eixo no seu interior. Justificando cuidadosamente todos os passos, determine o campo magnético no seu interior.
b) Calcule o coeficiente de auto-indução do solenóide. Indique as aproximações que tiver de fazer.
c) O solenóide atravessa o interior de uma espira de forma irregular. A espira é percorrida por uma corrente I(t)=I0sin(ωt). Determine a força electromotriz induzida no solenóide.
19. (CEM-03/09/2008) Considere um cabo condutor cilíndrico oco e infinito. Os raios interior e exterior são R1 e R2 respectivamente.
O cabo é percorrido por uma corrente com densidade J=J0r2. a) Calcule o campo magnético em todo o espaço.
b) Diga justificando de pode usar apenas a lei de Ampère para o cálculo de campo magnético se os eixos dos cilindros de raio R1 e R2 não forem coincidentes.
a I a
I
R1 R2
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20. (CEM-08/01/2008) Um condutor eléctrico de comprimento infinito tem forma cilíndrica de raio 2R e uma cavidade também cilíndrica de raio R,
descentrada como mostra a figura. O condutor é percorrido por uma corrente I, estabelecendo-se uma densidade de corrente uniforme.
a) Descreva o método de cálculo do campo magnético nesta situação.
b) Escreva a expressão do campo magnético na origem e no ponto de coordenadas (3R,0).
21. (CEM-22/01/2008)Dois fios infinitos, percorridos por correntes de intensidades iguais I coincidem geometricamente na origem do sistema de eixos.
a) Use a Lei de Ampère para determinar o campo magnético de um fio recto infinito, percorrido por uma corrente I.
b) Escreva a expressão do vector campo magnético para todos os pontos do semi-plano z=0 e y>0.
c) Qual é a expressão matemática da linha que une os pontos do semi-plano (da alínea anterior) em que o campo magnético é nulo? Qual a forma dessa linha?
22. (EM-17/01/2000) Considere dois condutores cilíndricos, um com secção desprezável e outro com raio R percorridos por correntes I1 e I2, respectivamente. A densidade de corrente no segundo condutor é uniforme.
a) Calcule o campo magnético no ponto a R/2 do eixo do condutor percorrido por I2.
b) Determine o ponto onde o campo é nulo se as correntes tiverem o mesmo valor nominal.
c) Calcule a força por unidade de comprimento no condutor percorrido pela corrente I1.
x y
I
I I
I o
x
x y
2R
R a
I1 I2
4R
R P
