ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO DE PÊNDULO INVERTIDO NAS PLATAFORMAS MATLAB/SIMULINK:

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

HÉBER HWANG ARCOLEZI

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO DE PÊNDULO INVERTIDO NAS PLATAFORMAS MATLAB/SIMULINK:

Uma Abordagem Didática

UNEMAT – Campus de Sinop

2016/2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

HÉBER HWANG ARCOLEZI

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO DE PÊNDULO INVERTIDO NAS PLATAFORMAS MATLAB/SIMULINK:

Uma Abordagem Didática

Projeto de Pesquisa apresentado à Banca Examinadora do Curso de Bacharelado em Engenharia Elétrica – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop – MT, como pré-requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Elétrica.

Prof. Orientador: Me. Rogério Bastos Quirino.

UNEMAT – Campus de Sinop

2016/2

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Diagrama de Blocos Genérico ... 19

Figura 2 - Sistema de Controle de Malha Aberta ... 20

Figura 3 - Sistema de Controle de Malha Fechada ... 20

Figura 4 - Diagrama de Blocos - Sistema de Controle (LTI) no Espaço de Estados . 24 Figura 5 - Sistema Físico do Pêndulo Invertido ... 28

Figura 6 - Sistema do Pêndulo Invertido ... 30

Figura 7 - Sistema do Pêndulo Invertido – Diagrama de Corpo Livre ... 30

Figura 8 - Diagrama de Blocos - Sistema de Controle no Espaço de Estados ... 40

Figura 9 - Diagrama de Blocos de um Servossistema tipo 1 ... 42

Figura 10 - Servossistema do tipo 1 com Observador ... 44

Figura 11 - Sistema Regulador ... 45

LISTA DE ABREVIATURAS

a.C. – Antes de Cristo d.C. – Depois de Cristo LTI – Linear Time Invariant

MIMO – Multiple Input and Multiple Output PI – Proporcional Integral

PD – Proporcional Derivativo

PID – Proporcional, Integral e Derivativo

SISO – Single Input and Single Output

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1. Título: ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO DE UM MODELO DE PÊNDULO INVERTIDO NAS PLATAFORMAS MATLAB/SIMULINK: Uma Abordagem Didática

2. Tema: CONTROLE DE PROCESSOS ELETRÔNICOS,

RETROALIMENTAÇÃO

3. Delimitação do Tema: Métodos de controle para o sistema dinâmico do pêndulo invertido – Abordagem Didática

4. Proponente(s): Héber Hwang Arcolezi 5. Orientador(a): Rogério Bastos Quirino

6. Estabelecimento de Ensino: Universidade do Estado do Mato Grosso 7. Público Alvo: Docentes e Discentes com interesse na relação teoria/prática nos métodos de controle para o sistema do pêndulo invertido

8. Localização: Avenida dos Ingás, Nº 3001 – Jardim Imperial, Sinop-MT CEP: 78555-000

9. Duração: 6 meses

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ... I LISTA DE ABREVIATURAS ... II DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ... III

1 INTRODUÇÃO ... 5

2 PROBLEMATIZAÇÃO ... 7

3 JUSTIFICATIVA... 8

4 OBJETIVOS ... 10

4.1 OBJETIVO GERAL ... 10

4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 10

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 11

5.1 TEORIA DE CONTROLE ... 11

5.1.1 Histórico da Teoria e Práticas de Controle ... 13

5.1.2 Modelagem matemática para Sistemas de Controle ... 15

5.1.2.1 Modelagem no Domínio da Frequência ... 16

5.1.2.2 Modelagem no Domínio do Tempo ... 21

5.1.2.3 Funções de Transferência no Espaço de Estados ... 24

5.2 PÊNDULO INVERTIDO ... 28

5.2.1 Modelagem matemática do Pêndulo Invertido ... 29

5.3 CONTROLADOR PID ... 32

5.3.1 Modos de Controle ... 34

5.3.1.1 Modo Proporcional ... 34

5.3.1.2 Modo Integral ... 35

5.3.1.3 Modo Derivativo ... 35

5.3.1.4 Modo Proporcional-Integral (PI) ... 36

5.3.1.5 Modo Proporcional-Derivativo (PD) ... 36

5.3.1.6 Modo Proporcional-Integral-Derivativa (PID) ... 37

5.3.2 Sintonização de controladores PID ... 38

5.4 MÉTODO DE ALOCAÇÃO DE POLOS ... 38

5.4.1 Projeto de Servossistemas do Tipo 1 – Planta sem Integrador ... 41

5.4.2 Projeto de Sistemas Tipo Regulador ... 44

6 METODOLOGIA ... 46

7 CRONOGRAMA ... 48

8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO ... 49

1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de técnicas de controle e modelagem de sistemas dinâmicos, tem o intuito de melhorar a qualidade dos sistemas e otimizá-los. Desde tempos antigos, os matemáticos e pensadores já enxergavam a necessidade de implementar métodos de controle para os sistemas da época.

Desde então, as teorias e práticas de controle foram desenvolvidas e utilizadas no controle de processos em gera. Atualmente as teorias de controle compreendem várias abordagens, como a denominada teoria de controle clássica que é baseada nas técnicas de controle no domínio da frequência, a teoria de controle moderno que é baseada nas técnicas de controle no domínio do tempo, e a teoria de controle robusta, que envolve tanto o domínio da frequência quanto o domínio do tempo. (TEIXEIRA, 2006)

O estudo e análise de sistemas de controle necessitam tanto dos modelos matemáticos da planta, como da técnica de controle empregada. O modelo matemático da planta pode assumir diversas formas, mas geralmente, as equações matemáticas que descrevem um sistema físico e complexo são as equações diferenciais lineares ou não lineares. No domínio da frequência a modelagem matemática normalmente é realizada através de função de transferência, e no domínio do tempo através do espaço de estados. A técnica de controle a se empregar no sistema depende das características físicas, leis que regem o processo, comportamentos peculiares e do desempenho que se espera alcançar.

(TEIXEIRA, 2006)

O pêndulo invertido é um sistema absolutamente instável, complexo e não linear a malha aberta, devido a isso e porque envolve características similares a diversos sistemas do dia-a-dia que exigem determinada precisão, esse sistema é uma referência no estudo de técnicas de controle. Uma idéia aproximada do que é o sistema do pêndulo invertido, é tentar manter a haste de um cabo de vassoura na posição vertical em equilíbrio sobre a palma da mão, aplicando a simulação de controle movendo a mão de um lado para o outro sem deixar a haste cair.

(RIBEIRO, 2004)

Dado que sistema do pêndulo invertido é uma das referências no estudo de

controle, diversas técnicas são estudadas e aplicadas para a resolução do problema

de instabilidade. Técnicas como o controle PID (Proporcional, Integral e Derivativo),

Algoritmos Genéticos, Lógica Fuzzy, Neuro-Fuzzy, Método do Lugar das Raízes, Redes Neurais, Método de Alocação de Polos, servossistemas, Reguladores, entre mais.

A técnica mais comum para controlar o sistema é via controlador PID, e os métodos que o utilizam consistem basicamente em realizar o projeto dos ganhos para sintonizar o controlador e implementá-lo no sistema para correção do problema.

Para essa sintonização existem diversos métodos analíticos e práticos, e para esse trabalho será utilizado o método de alocação de polos.

Como nem sempre uma técnica é suficiente para obter o desempenho do

sistema que se espera alcançar, pode-se utilizar de dois ou mais métodos para

melhor atender às características de desempenho desejadas. Para esse projeto será

aplicado o controle por Servossistema e por Regulador individualmente e

posteriormente em conjunto, bem como implementar um observador de estado na

malha do regulador e servossistema para resolução do problema de controle, de

maneira a apresentar com o máximo de detalhes a teoria de controle empregada.

2 PROBLEMATIZAÇÃO

A teoria de controle empregada para resolução do problema do pêndulo invertido pode ser encontrada em diversas bibliografias, artigos, teses, trabalhos de conclusão de curso, dentre outros. Porém, como de costume, os autores na maioria das vezes apresentam o conteúdo de forma pouco aprofundada e didática. Para melhor entendimento da mesma, é necessário uma abordagem mais completa e detalhada, de forma que o público alvo leigo ou especializado tenha acesso as informações de forma menos complexa.

O problema do pêndulo invertido é um dos clássicos sistema dinâmico

utilizado como objeto de estudo para aplicação de técnicas de controle na área de

engenharia. Pois mesmo sendo um sistema mecanicamente simples, ele é

completamente instável a malha aberta, como tambem representa situações

vivenciadas no dia-a-dia que requerem determinada precisão dos sistemas, por

exemplo, durante a fase inicial de um lançamento de foguete, guindastes especiais,

rôbos com aplicações específicas, entre mais. (PAULA, 2014)

3 JUSTIFICATIVA

Nos últimos anos, graças ao desenvolvimento tecnológico de muitas áreas e principalmente das indústrias, o mercado de trabalho tem exigido dos engenheiros eletricista um alto grau de conhecimento em teorias de controle. Pois as indústrias requerem a viabilidade e otimização dos processos, de maneira a produzir mais evitando possíveis perdas com alto grau de precisão e repetitividade. (EDILSON, 2013)

O engenheiro eletricista que busca inserir-se na área de controle e automação, permite-se entrar num campo e área do qual se integram diversos temas da engenharia em geral, como a mecânica, a eletrônica, o cálculo diferencial e integral, sinais e sistemas, transformadas, teorias de controle, física, química, entre mais.

No estudo de sistemas de controle faz-se essencial o conhecimento da teoria de controle, que atualmente compreende diversas abordagens como a teoria de controle clássico, moderno e robusto. (OGATA, 2011)

A utilização do problema de controle do pêndulo invertido deve-se ao fato de que esse sistema dinâmico é completamente instável à malha aberta, e dessa forma, possibilita o estudo de diversas técnicas de controle para correção da instabilidade. O estudo de controle para esse problema é utilizado em diversos sistemas físicos, pois os resultados obtidos na análise do seu modelo matemático podem e são aplicados a diferentes sistemas de controle que requerem uma delicada precisão nos dias de hoje. (VENDRAMINI E SILVA, 2010)

Realizar um estudo detalhado de parte das técnicas de controle clássico e controle moderno para a resolução do problema do pêndulo invertido, permite ao acadêmico adquirir um alicerce teórico de grande valia, assim como a simulação em ambientes computacionais possibilita o conhecimento de como ocorre a situação na prática. Desde que a melhoria contínua de hardwares e softwares para implementação de técnicas de controle tem crescido bastante ultimamente, a utilização de computadores na área de engenharia tem aumentado proporcionalmente.

Uma das abordagens mais comum para o controle do sistema do pêndulo

invertido é através do uso dos controladores PID. Esse controlador é um dos mais

eficientes algoritmo de controle desenvolvido, devido as suas características simples

e robustas, sendo capaz de fornecer excelentes respostas para um determinado sistema de controle. Pois, atua tanto no regime permanente quando no regime transitório do sistema.

Para o caso do pêndulo invertido procura-se projetar os ganhos do controlador PID, e através dos métodos de controle seguidor, regulador e possível observador, manter a haste na posição vertical aplicando uma força de controle na base do mesmo, ou seja, mais específicamente no carro sobre o qual está instalado.

O seguidor é um sistema que através de sinais de realimentação faz as correções necessárias para se auto ajustar, e o regulador é um sistema com referências de entrada constantes, incluindo o valor nulo. (OGATA, 2011)

Para esse projeto, será utilizado o sistema regulador, com objetivo de manter o sistema em condição permanente de estabilidade da haste frente a uma entrada de perturbação sobre a mesma, em conjunto com o seguidor para seguimento de uma entrada de referência de posição do carro.

Portanto, a realização desse trabalho abordando um sistema clássico e com inúmeros trabalhos e pesquisas realizados sobre o mesmo tema, deve-se ao fato de que nas bibliografias pesquisadas o tema é abordado de forma pouco aprofundada em relação às técnicas de controle empregadas para o controle do sistema do pêndulo invertido. Dessa forma, o trabalho vem a oferecer uma base teórico- didática, explorando as técnicas de simulação nos ambientes Matlab e Simulink, de forma que tanto o leitor leigo ou especialista interessado no tema, tenha de fácil compreensão a teoria de controle empregada para resolução desse problema.

4 OBJETIVOS

4.1 OBJETIVO GERAL

Realizar um estudo aprofundado de parte das teorias de controle clássico e moderno, suas respectivas técnicas de controle e modelagem para aplicação no problema de controle do pêndulo invertido. De modo a apresentar essa teoria empregada no controle do sistema de maneira mais didática e compreensível, utilizando das ferramentas computacionais Matlab/Simulink para simulação dos resultados obtidos.

4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Modelar o sistema do pêndulo invertido no domínio da frequência por Função de Transferência de Malha Aberta e Fechada;

 Realizar a modelagem do sistema do pêndulo invertido no domínio do tempo por Espaço de Estados;

 Aplicar o método de controle por Servossistema, utilizando o método de alocação de pólos para controlar a posição do móvel;

 Aplicar o método de controle por Sistema Regulador, utilizando o método de alocação de pólos para controlar a posição do Pêndulo Invertido;

 Aplicar observadores de estado na malha do regulador por realimentação de estado;

 Simular e apresentar os resultados obtidos das técnicas de controle implementadas, através das ferramentas computacionais Matlab e Simulink;

 Apresentar a teoria de controle empregada no sistema do pêndulo

invertido com discussão e aprofundamento, tornando-a didaticamente

menos complexa e mais compreensível.

5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 5.1 TEORIA DE CONTROLE

Atualmente, as teorias de controle geralmente utilizadas são a teoria de controle clássico, a teoria de controle moderno e a teoria de controle robusto.

(OGATA, 2011)

Os sistemas de controle, denominados subsistemas e métodos reunidos com a função de controlar a saída dos processos, fazem parte da nossa sociedade em diversas aplicações como lançamento de foguetes, veículos automáticos, sistemas robóticos, processos químicos, automação nas indústrias, entre mais. (DORF E BISHOP, 2001)

Segundo Ogata (1997) o controle automático tem desempenhado um papel fundamental no avanço da engenharia e ciência, tornando-se um importante integrante dos processos residenciais e industriais.

A teoria de controle clássico foi desenvolvida no período entre 1930 e 1940, e abrange os métodos de resposta no domínio da frequência, como o Diagrama de Bode, Nyquist e Nichols, Método do lugar das raízes, para sistemas com uma única entrada e única saída SISO (Single Input and Single Output), lineares e invariantes no tempo (LTI). (TEIXEIRA, 2006)

Já a teoria de controle moderno, desenvolvida no período entre 1950 e 1960 e apartir daí consolidada, é baseada na análise no domínio do tempo, por representação no espaço de estados, em sistemas de equações diferenciais abrangendo sistemas complexos de múltiplas entradas e múltiplas saídas MIMO (Multiple Input and Multiple Output) e normalmente instáveis. (SOBRINHO, 2011)

A teoria de controle robusto é formada tanto pela resposta em frequência quanto a resposta no domínio do tempo, sendo portanto, matemáticamente muito complexa. Um método de projeto dessa teoria, é prever um controlador para um sistema fixando uma possível gama de erros prováveis e só projetá-lo se o erro do sistema estiver dentro da gama prevista. (OGATA, 2011)

Para o entendimento da teoria de controle no geral, alguns conceitos têm de ser conhecidos. (OGATA, 2011)

 Variável controlada e sinal de controle: A variável controlada é o

parâmetro ou condição a ser medida e controlada. O sinal de controle

é o parâmetro modificado pelo controlador, que afeta diretamente na variável controlada;

 Plantas: A planta pode ser qualquer parte física de um equipamento ou apenas um conjunto de componentes que irá ser controlado;

 Processos: Toda operação que irá ser controlada;

 Sistemas: Conjunto de componentes que agem de forma conjunta para alcançar determinado objetivo, podendo ser de forma física ou aplicado a fenômenos abstratos dinâmicos;

 Distúrbios: São os sinais que afeta negativamente na variável de saída do sistema, podendo ser interno caso for gerado dentro do sistema, ou externo caso gerado fora do sistema sendo considerado como outro sinal de entrada;

 Controle em Malha Aberta: São os sistemas no qual o sinal de saída não exerce nenhuma função de controle no sistema. Ou seja, o sinal de saída não é medido nem mesmo realimentado para comparação com o sinal de entrada;

 Controle em Malha Fechada: São os sistemas comumente chamados, Sistemas com Realimentação, no qual o sinal de saída exerce uma função de controle no sistema. Ou seja, há um sinal de erro atuante que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída (ou parcela do mesmo caso passe por processos de integração ou derivação) que realimenta o controlador. O sinal de erro atuante tem a função de minimizar o erro e corrigir o sinal de saída do sistema;

 Sistemas Lineares: Um sistema é dito linear se o princípio da superposição for aplicável a ele. Ou seja, a resposta causada pela aplicação de duas entradas simultâneamente tem que ser a mesma que a soma da saída quando as duas entradas são aplicadas em tempos distintos;

 Sistemas lineares Invariantes no Tempo (LTI): Esses sistemas são caracterizados dessa forma, caso seja representado por equações diferenciais, dos quais os coeficientes são funções do tempo;

 Modelos Matemáticos: Os modelos matemáticos podem assumir

diversas formas, ou seja, dependendo das características particulares

do sistemas utiliza-se de ferramentas analíticas e/ou computacionais de formas distintas.

5.1.1 Histórico da Teoria e Práticas de Controle

Segundo Dorf e Bishop (2001) os sistemas de controle com retroação têm existido desde tempos muito antigos. Ainda entre o período entre 300 a 1 a.C na Grécia, houve aplicações no desenvolvimento de mecanismos reguladores de bóia, e no primeiro século d.C houve a publicação do livro intitulado “Pneumática” de Heron de Alexandria que ressaltava formas de mecanismos de nível da água utilizando reguladores de bóia.

De acordo com Nise (2002) entre os séculos XVI e XVII, na Europa, foram inventados os primeiros sistemas de controle com realimentação para Controle de Temperatura, Cornelis Drebbel (1572-1633), e para Controle de Pressão, Dennis Papin (1647-1712).

No século XVIII foi desenvolvido o primeiro trabalho considerável em controlador automático por James Watt, que construiu um controlador centrífugo para controlar a velocidade de uma máquina de vapor, chamado pêndulo de Watt (SOBRINHO, 2011). Ainda nesse mesmo século, Pierre Laplace idealizou a transformada de Laplace, à base de diversos procedimentos de análise e projeto de sistemas. (TEIXEIRA, 2006)

A teoria dos sistemas de controle conhecida hoje, começou a se desenvolver durante o século XIX. No ano de 1868, James Clerk Maxwell fez uma publicação sobre o critério de estabilidade para um sistema de terceira ordem utilizando-se de coeficientes da equação diferencial (NISE, 2002). Na mesma época Routh e Hurwitz elaboraram a técnica de Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, que permite determinar a estabilidade de um sistema sem necessidade de solucionar a equação. (SOBRINHO, 2011)

Segundo Sobrinho (2011), o russo A. Lyapunov em 1897 publicou um trabalho sobre estabilidade, de grande importância para a teoria de controle, que teve pouca divulgação no ocidente, portanto, a União Soviética teve grandes avanços na teoria de sistemas não-lineares estudando e implementando os métodos de Lyapunov.

Em 1922, Nicolas Minorsky realizou pesquisas e apresentou como a

estabilidade poderia ser determinada de equações diferenciais que descrevem o

funcionamento do sistema. Minorsky trabalhou tambem com controladores automáticos para pilotagem de embarcações. (OGATA, 2011)

Ainda antes da segunda guerra mundial, nos Estados Unidos a teoria e prática de controle com retroação teve incentivo devido ao desenvolvimento do sistema telefônico e dos amplificadores eletrônicos. O domínio da frequência foi usado para descrever a operação desses sistemas, graças às técnicas dos métodos de Bode, Nyquist e Black desenvolvidos pelos engenheiros nos laboratórios da Bell Telephone. Já na União Soviética, os matemáticos e mecânicos inspiraram-se no domínio do tempo usando equações diferenciais e dominaram o campo da teoria de controle na época. (DORF e BISHOP, 2001)

Durante as décadas de 1940 e 1950 muitos sistemas de controle industrial utilizava os controladores PID (Proporcional, Integral e Derivativo) para o controle de pressão, temperatura, nível, entre mais. Nessa mesma época, Ziegler e Nichols desenvolveram as Regras de Ziegler-Nichols para sintonização dos controladores PID, e Walter Richard Evans criou o método do Lugar das Raízes. (OGATA, 1997)

Segundo Sobrinho (2011), no final dos anos 1950, a teoria e práticas de controle se encontrava bastante consolidada, com fortes tendências do uso das técnicas baseadas no domínio da frequência devido ao aumento do uso da transformada de Laplace e do plano de frequência complexa, constituindo-se então a Teoria Controle Clássico. Fundamentada nos Diagramas de Bode, Nyquist e Nichols, Método do Lugar das Raízes, entre mais técnicas de resposta em frequência. (TEIXEIRA, 2006)

Com a chegada da era espacial, outras inspirações surgiram para a engenharia de controle, e o nome de R. Kalman aparece como um destaque entre os fundadores do Controle Moderno. A demanda por novas técnicas de controle impulsionou o desenvolvimento dos fundamentos da Teoria de Controle Moderno utilizando-se do domínio do tempo. Os métodos de Liapunov, Minorsky, entre mais se tornaram importantes objetos de estudo na teoria de controle. Utilizando o espaço de estados e equações diferenciais, os sistemas mesmo complexos e com múltiplas entradas e múltiplas saídas se tornam menos difíceis de se trabalhar com eles. (SOBRINHO, 2011)

Torna-se incontestável nos dias de hoje, o fato de existem sistemas de

controle com um nível de complexidade muito maior e com problemas de

instabilidade e não linearidade. Portanto, para o projeto desses sistemas são

necessários métodos que envolve tanto o domínio da frequência quanto o domínio do tempo, caracterizando assim a Teoria de Controle Robusto que matemáticamente é uma teoria muito complexa. (OGATA, 2011)

5.1.2 Modelagem matemática para Sistemas de Controle

Obter modelos matemáticos que descrevem as características de um sistema físico e complexo é satisfatório, pois, geralmente esses sistemas são de natureza contínua no tempo e as esquações matemáticas que os descrevem são as do tipo diferenciais, sendo possível utilizar da Transformada de Laplace para simplificar a solução dessas. (RIBEIRO, 2007)

Segundo Trivelato (2003), alguns conceitos são dados a seguir:

Modelagem, de forma geral, é a elaboração de um modelo para a representação de alguma coisa. Modelo é a representação de um sistema real ou imaginário usando uma linguagem, um meio, e segundo um posto de vista. O aspecto mais importante de um modelo é a relação simplicidade versus fidelidade. Um modelo é a representação do conhecimento e a principal ferramenta para o estudo do comportamento de sistemas complexos. Modelar é o primeiro passo para a análise de um sistema de qualquer natureza e sob qualquer aspecto. Quando o modelo é uma representação válida de um sistema, informações significativas podem ser retiradas sobre sua dinâmica ou seu desempenho (TRIVELATO, 2003, p. 6).

Segundo Aström (2002), o comportamento do sistemas dinâmicos é relativo ao tempo, conforme segue:

Roughly speaking, a dynamical system is one in which the effects of actions

do not occur immediately. For example, the velocity of a car does not

change immediately when the gas pedal is pushed nor does the temperature

in a room rise instantaneouslywhen a heater is switched on. Similarly, a

headache does not vanish right after an aspirin is taken, requiring time for it

to take effect. In business systems, increased funding for a development

project does not increase revenues in the short term, although it may do so

in the long term (if it was a good investment). All of these are examples of

dynamical systems, in which the behavior of the system evolves with time

(ASTRÖM, 2002, p. 27).

A modelagem é um processo muito complexo, mas se torna mais fácil se forem conhecidas as características físicas do sistema, as leis que regem o sistema e se o erro for quantificável. (TRIVELATO, 2003)

Ogata (2011), diz que a modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida como um conjunto de equações que regem a dinâmica do sistema com precisão ou pelo menos razoávelmente bem, e que para um determinado sistema não existe uma única modelagem matemática para descrever o seu funcionamento.

Para Dorf e Bishop (2001), a abordagem para os sistemas dinâmicos pode seguir algumas etapas:

1. Definir o sistema de análise e seus componentes;

2. Modelar Matemáticamente o sistema e listar as hipóteses possíveis;

3. Descrever o sistema em equações diferenciais;

4. Resolver as equações diferenciais em função das variáveis de saída desejadas;

5. Examinar o resultado e as hipóteses;

6. Caso necessário, reformular ou reprojetar o sistema.

5.1.2.1 Modelagem no Domínio da Frequência

Na teoria de controle clássico, as funções de transferência são geralmente utilizadas para descrever as relações entre a entrada e a saída de um sistema dinâmico de tempo contínuo por meio de equações diferenciais lineares, invariantes no tempo e com coeficientes constantes. (CASTRUCCI, 2011)

As equações diferenciais que descrevem o comportamento de determinado sistema dinâmico, são obtidas utilizando das leis físicas que o regem. Por exemplo, se o sistema for mecânico são aplicadas as Leis de Newton, se o sistema for elétrico utiliza-se das Leis de Ohm e Kirchhoff. (NISE, 2002)

Para simplificar a modelagem matemática dos sistemas dinâmicos descritos pela função de transferência, utiliza-se da ferramenta Tranformada de Laplace, que visa simplificar as equações diferenciais em equações algébricas de mais fácil entendimento, no domínio complexo. (CASTRUCCI, 2011)

A transformada de Laplace substitui a díficil resolução de equações

diferenciais por uma menos complexa em equações algébricas. Seguindo algumas

etapas, chega-se à solução da resposta no domínio do tempo: (DORF E BISHOP, 2001)

1. Obter as equações diferenciais que descreve o sistema;

2. Aplicar a transformada de Laplace nas equações diferenciais;

3. Solucionar a transformada algébricamente resultante para a variável de interesse;

4. Aplicar a transformada inversa de Laplace na resposta da transformada para obter a solução no domínio do tempo.

Segundo Ogata (1997), a transformada de Laplace é um vantajoso método para a resolução de equações diferenciais lineares. Através dela é possível converter as funções comuns trigonométricas, senoidais, exponenciais em funções algébricas de variável complexa s. Se essa equação de variável dependente s for solucionada, basta utilizar da transformada inversa de Laplace para obter a solução da resposta no domínio do tempo. Outras vantagens desse método são que é possível a previsão do desempenho do sistema de forma gráfica sem a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem, e que se resolver a equação diferencial tanto a resposta transitória quanto a de regime permanente podem ser obtidas simultâneamente.

Da mesma forma que Ogata (1997) e Dorf e Bishop (2001), os autores Tonidandel e Araújo (2012) relatam sobre a transformada de Laplace:

A transformada de Laplace é amplamente conhecida e utilizada, principalmente nas ciências exatas e engenharias. Encarada como um

“ritual de passagem" pelos estudantes de graduação, ela pode ser usada para análise de sistemas lineares invariantes no tempo, tais como circuitos elétricos, osciladores harmônicos, dispositivos ópticos e sistema mecânicos.

Nessas aplicações costuma-se interpretá-la como transformações do domínio do tempo para o domínio de frequências. A vantagem mais interessante desta transformação é que as integrações e derivações tornam-se multiplicações e divisões. Ela permite fazer a resoluçãao de equações diferenciais em forma de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver (TONIDANDEL E ARAÚJO, 2012, p. 1).

A transformada de Laplace pode ser definida como: (NISE, 2002)

  ^{ } 

^_ ^

0

dt f(t)e F(s)

f(t)

L

^st

(1)

E a transformada inversa de Laplace é definida como:









jw

jw

st

ds e s j F s

F







^{( )}

2 ) 1

( (2)

Em que, é uma variável complexa, e L é o operador linear de Laplace.

A função de transferência de um sistema de controle representado por equação diferencial linear invariante no tempo, pode ser definida como a relação entre a transformada de Laplace da função resposta e a transformada de Laplace da função entrada, admitindo todas as condições iniciais nulas. (OGATA, 2011)

Segundo Ogata (2011), levando em consideração a equação diferencial de um sistema linear invariante no tempo genérico, obtemos:

x b x b x

b x b y a y a y

a y

a

_{m m}

m m n

n n

n

n



₁ ^1

 

_1 ^

 

₀



₁ ^1

 

_1 ^



0

  ^{n  m}

(3)

No qual, y é o sinal de saída e x o sinal de entrada do sistema. Assim, a função de transferência fazendo a transformada de Laplace tanto da entrada quanto da saída, considerando todas condições iniciais nulas:

Função de Transferência =  

 ^Entrada 

L

Saída s L

G ( )  (4)

Função de Transferência =

n n

n n

m m

m m

a s a s

a s a

b s b s

b s b s X

s Y















 









1 1

1 0

1 1

1 0



 )

( )

( (5)

Dessa forma, empregando o conceito da função de transferência, é possível representar a dinâmica de um sistema de controle por intermédio de uma equação algébrica em função de s, de ordem n.

Alguns comentários sobre a função de transferência devem ser levados em

conta, pois esse método só se aplica para sistemas de equações diferenciais

lineares invariantes no tempo, sendo portanto bastante utilizado na análise e projeto

desses sistemas. Segundo Ogata (2011) alguns importantes comentários sobre a

função de transferência são:

1. A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que expressa a relação entre o sinal de saída e o sinal de entrada;

2. A função de transferência é uma característica completamente externa do sistema, ou seja, independente da função de entrada;

3. A função de transferência tem conteúdo suficiente para relacionar a entrada e a saída do sistema, porém não inclui informações físicas sobre o sistema. Nesse caso, diferentes tipos de sistemas físicos podem ter a mesma função de transferência;

4. Se a função de transferência de um sistema for préviamente conhecida, é possível testar diferentes tipos de entrada permitindo o entendimento da natureza do sistema;

5. Caso a função de transferência de um sistema não for préviamente conhecida, é possível determiná-la experimentalmente aplicando diversas entradas conhecidas e estudando o comportamento das respostas do sistema.

A função de transferência tambem pode ser representada por um diagrama de blocos genérico, conforme a figura 1, com o sinal de entrada à esquerda, a função de transferência no interior do bloco e o sinal de saída à direita. (NISE, 2002)

Figura 1 - Diagrama de Blocos Genérico

Fonte: (NISE, 2002)

A representação de funções de transferência por diagramas de blocos é predominante na engenharia de sistemas de controle, devido à facilidade apresentada pelo método através de diagramas (DORF E BISHOP, 2001). A definição para um diagrama de blocos, é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada elemento do sistema e do fluxo de sinais entre eles.

(OGATA, 2011)

Tambem segundo Ogata (2011), no diagrama de blocos as váriaveis do

sistemas são interligadas por meio de blocos funcionais (que são as operações

matemáticas que o sinal de entrada produz no sinal de saída), e que o fluxo do sinal segue o sentido das setas. Para um sistema existem diversos tipos de representação por diagramas de blocos, portanto, depende do tipo de análise que se quer fazer no sistema.

Um modelo de diagrama de blocos para um sistema de malha aberta e um para sistema de malha fechada será apresentada a seguir nas figuras 2 e 3, respectivamente: (OGATA, 2011)

Figura 2 - Sistema de Controle de Malha Aberta

Fonte: (OGATA, 2011) Figura 3 - Sistema de Controle de Malha Fechada

Fonte: (OGATA, 2011)

Através da figura 3, nota-se o Somador e o Ponto de ramificação, características do diagrama de blocos. O somador indica a operação matemática a ser realizada pelos sinais e o Ponto de Ramificação é o ponto do qual o sinal vem e avança simultâneamente a outros blocos ou somadores. (OGATA, 2011)

5.1.2.2 Modelagem no Domínio do Tempo

Na teoria de controle moderno, utiliza-se de técnicas no domínio do tempo para modelar as características dinâmicas de um sistema. A abordagem de espaço de estados constitui um método unificado de modelagem, análise e projeto de sistemas não necessáriamente lineares dotados de folga e instabilidade. Além disso, esse método leva em consideração condições iniciais não nulas, sistemas variantes no tempo de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO). (NISE, 2002)

A tendência dos sistemas de controle são de aumentar em característica complexa devido a necessidade dos sistemas requeridos hoje em realizar tarefas que exigem alta precisão. Devido a essa necessidade, a teoria de controle moderna vem sido desenvolvida desde os meados de 1960. Essa teoria é baseada no conceito de estado, e alguns conceitos devem ser conhecidos para entendimento dessa teoria: (OGATA, 2011)

 Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis de estado que determina o comportamento do sistema em questão para qualquer instante de tempo;

 Variáveis de Estado: As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que compõem o menor conjunto de variáveis capazes de determinar o estado de um sistema. Essas variáveis não necessitam ser físicamente mensuráveis ou observáveis, mas na prática, para um sistema de controle ótimo é requerido que todas as variáveis de estado sejam fácilmente mensuráveis;

 Vetor de Estados: Um vetor de estados é aquele que determina o estado de um sistema para qualquer instante de tempo, uma vez que é dado o estado e a entrada é conhecida. Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de um determinado sistema, o vetor de estado pode ser formado por essas n componentes;

 Espaço de Estados: O espaço n-dimensional, cujos eixos são as

variáveis de estado, é denominado um espaço de estados. Sendo

possível qualquer estado ser representado por um ponto no espaço de

estado;

Depois de definidos esses conceitos, a análise em espaço de estados envolve três variáveis, a de entrada, a de saída e a de estados. A representação de um sistema no espaço de estados não é única, mas o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer tipo de representação. (OGATA, 2011)

Para sistemas controlados pelo espaço de estado, o sistema deve conter elementos que memorizem o valor de entrada para . Nesse caso, são utilizados integradores que servem como dispositivos de memória, e o sinal de saída deles podem ser escolhidos como variáveis de estado. O numero de variáveis de estado necessárias para representar por completo o comportamento de um sistema dinâmico é igual ao numero de integradores que compõem o sistema. (OGATA, 2011)

Segundo Ogata (2011), defini-se a equação no espaço de estado seguindo algumas etapas. Supondo um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas com n integradores, r entradas , ,..., , m saídas , , ... , e as n saídas dos integradores como variáveis de estado , ,..., . Então o sistema pode ser descrito por:

)

; , , ,

; , , , ( ) (

)

; , , ,

; , , , ( ) (

)

; , , ,

; , , , ( ) (

2 1 2

1

2 1 2

1 2 2

2 1 2

1 1 1

t u u u x x x f t x

t u u u x x x f t x

t u u u x x x f t x

r n

n n

r n

r n



























(6)

As saídas do sistemas, são descritas por:

)

; , , ,

; , , , ( ) (

)

; , , ,

; , , , ( ) (

)

; , , ,

; , , , ( ) (

2 1 2

1

2 1 2

1 2 2

2 1 2

1 1 1

t u u u x x x g t y

t u u u x x x g t y

t u u u x x x g t y

r n

m m

r n

r n





















(7)

Se definirmos as equações 6 e 7 , na forma matricial temos:

, ) (

) (

) ( )

(

²

1

 

 





 

 





 t x

t x

t x t x

n

    





 

 







t u u u x x x f

t u u u x x x f

t u u u x x x f t u x f

r n

n

r n

r n

, , , ,

; , , , (

, , , ,

; , , , (

, , , ,

; , , , ( ) , , (

2 1 2

1

2 1 2

1 2

2 1 2

1 1















(8)

, ) (

) (

) ( )

(

²

1

 

 





 

 





 t y

t y

t y t y

n

 ,

, , , ,

; , , , (

, , , ,

; , , , (

, , , ,

; , , , ( )

, , (

2 1 2

1

2 1 2

1 2

2 1 2

1 1

 

 





 

 







t u u u x x x g

t u u u x x x g

t u u u x x x g t u x g

r n

n

r n

r n















 

 





 

 





 ) (

) (

) ( )

(

²

1

t u

t u

t u t u

r

 (9)

Sendo assim, as equações (6) e (7) se tornam:

) , , ( x u t f

x

^

 (10)

) , , ( )

( t g x u t

y  (11)

Onde a equação 10 é a equação de estado e a equação 11 é a equação de saída. Caso as funções vetoriais f e g envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema é dito variante no tempo.

Linearizando as equações (10) e (11) em torno de um ponto de operação, têm-se as seguintes equaões linearizadas: (OGATA, 2011)

) ( ) ( ) ( )

( t x t B t u t A

x

^

  (12)

) ( ) ( ) ( ) ( )

( t C t x t D t u t

y   (13)

Onde, é a matriz de estado, é a matriz de entrada, é a matriz de saída e a matriz de transmissão direta.

Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo explícitamente, então o sistema é do tipo invariante no tempo e as equações 12 e 13 podem ser simplificadas para: (OGATA, 2011)

) ( )

( t Bu t Ax

x

^

  (14)

) ( ) ( )

( t Cx t Du t

y   (15)

Assim, a equação 14 é a equação de estado para um sistema linear invariante

no tempo (LTI), e a equação 15 é a equação de saída para esse mesmo sistema. Na

figura abaixo segue uma representação por diagrama de blocos de um sistema de

controle linear de tempo contínuo por espaço de estados. (OGATA, 2011)

Figura 4 - Diagrama de Blocos - Sistema de Controle (LTI) no Espaço de Estados

Fonte: (OGATA, 2011)

5.1.2.3 Funções de Transferência no Espaço de Estados

Dispõe-se de muitas técnicas para representação de funções de transferência no espaço de estado, como exemplo a forma observável, controláve, diagonal e canônica de Jordân. (OGATA, 2011)

Levando em conta uma função de transferência genéricas descrita abaixo, apresenta-se cada método no espaço de estados: (OGATA, 2011)

n n

n n

n n n

n

a s a s

a s

b s b s

b s b s U

s Y















 





 

1 1

1

1 1

1 0

) (

) (



 (16)

 Forma canônica controlável: A seguinte representação no espaço de estados é da forma canônica controlável.

u

x x

x x

a a

a x a

x x x

n n n

n n n

n

     





 

 

 







 

 

 





 

 

 





 

 

 





 

 

 















 

 

 







 

 

 











 









1 0 0 0

1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

1 2 1

1 2

1 1

2 1





















 (17)

  b u

x x x b a b b

a b b a b y

n n

n n

n 0

2 1

0 1 1 0

1 1

0



 

 





 

 













_{ }

  (18)

 Forma canônica observável: A seguinte representação no espaço de estados é da forma canônica observável.

u b a b

b a b

b a b

x x x

a a

a

x x x

n n

n n

n n

n

n n

 

 





 

 













 

 





 

 





 

 





 

 













 

 







 

 



















0 1 1

0 1 1

0 2

1

1 1 1

1 0

0

0 0

1

0 0

0





















(19)

  ^{b u}

x x

x x

y

n n

0 1 2 1

1 0 0

0 

 

 

 





 

 

 











 (20)

 Forma canônica diagonal: Considerando a função de transferência da equação 21, em que o polinômio do denominador envolve somente raízes distintas:

) (

) )(

( ) (

) (

n n n

n n

p s p s p s

b s b s

b s b s U

s Y













 

^{ }





2 1

1 1

1

0

(21)

Expandindo em frações parciais, temos:

n n

p s

c p

s c p s b c s U

s Y

 

 

 

 

2 2 1 1

)

0

( )

( (22)

Assim, a forma canônica diagonal é dada por:

u x

x x

p p

p

x x x

n n n

n

 

 





 

 







 

 





 

 





 

 





 

 













 

 







 

 













1 1 1

0

0

2 1 2

1 1





 

(23)

  b u

x x x c c

c y

n

n 0

2 1

2

1



 

 





 

 





   (24)

 Forma canônica de Jordan: Considerando a função de transferência na equação 25, em que o polinômio do denominador envolve raízes múltiplas, deve-se transformar a forma canônica diagonal na forma canônica de Jordan, assumindo , tem-se:

) (

) )(

( ) ) (

( ) (

5 4

3 1

1 1

1 0

n n n n

n

p s p s p s p s

b s b s

b s b s

U s Y















 

^{ }





(25)

A expansão em frações parciais resulta em:

n n

p s

c p

s c p

s c p

s c p

s b c s U

s Y

 

 

 

 

 



 

) (

) ) (

( ) ) (

( ) (

4 4 1

3 2

1 2 3

1 1

0

(26)

A representação no sepaço de estados, na forma canônica de Jordan é dada por:

u

x x x x x

p p

p p p

x x x x x

n n n

 

 

 

 





 

 

 

 







 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 

















 

 

 

 







 

 

 

 

















1 1 1 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

4 3 2 1

4 1 1 1

4 3 2 1























(27)

  b u

x x x c c

c y

n

n 0

2 1

2

1



 

 





 

 





   (28)

Segundo Ogata (2011), outros conceitos importantes são a Controlabilidade e

a Observabilidade de um sistema. Esses conceitos foram introduzidos por Kalman e

desempenham um papel fundamental no projeto de sistemas de controle no espaço

de estados. De fato, essas duas condições ditam se para um determinado sistema

existe ou não uma solução completa para o problema. Embora a maioria dos

sistemas físicos sejam controláveis e observáveis, a modelagem matemática pode

não apresentar essas condições.

Primeiramente definindo o conceito de controlabilidade, temos que um sistema descritos pelas matrizes pode ser dito controlável se no instante for possível, por intermédio de um vetor de controle não limitado, transferir o sistema de um estado inicial para qualquer outro estado em um intervalo de tempo finito.

(DORF E BISHOP, 2001) Para o sistema abaixo,

, Bu Ax

x

^

  (29)

É possível determinar determinar se é controlável examinando-se a condição algébrica descrita abaixo:

 ^{B AB A B A B}  ⁿ

posto

²



^n1

 (30)

Para um sistema de única entrada e única saída, a matriz de controlabilidade Pc é descrita em termos de A e B,

 ^{B AB A B A B}  ^,

P

_c



²



^n1

(31)

Que é uma matriz n X n, assim, se o determinante de P c for diferente de zero, o sistema é controlável, e um sistema descrito no formato de variáveis de fase é sempre controlável. (DORF e BISHOP, 2001)

O conceito de observabilidade, diz que um sistema será observável num instante se, com o sistema no estado conseguir determinar esse estado a partir da análise da saída num intervalo de tempo finito. (OGATA, 2011)

A observalidade refere-se à competência de se estimar uma variável de estado, ou seja, se para um determinado sistema contiver uma componente devida para cada variável de estado. Um sistema é observável se, e somente se, o estado inicial possa ser definido a partir do histórico da saída, dado um sinal de entrada em um intervalo de tempo T finito. (DORF E BISHOP, 2001)

Para conceituar a observabilidade de um sistema, a partir do sistema de única entrada e única saída abaixo, obtém-se: (DORF E BISHOP, 2001)

Bu Ax

x

^

  (32)

Cx

y  (33)

Onde C é uma matriz linha e x um vetor coluna. O sistema será observável quando o determinante da matriz Q, posto n X n, abaixo for não nulo:

 

 





 

 







1

CA

n

CA C

Q 

(34)

Um sistema será sempre observável no caso quando for descrito no formato de variáveis de fase. (DORF E BISHOP, 2001)

5.2 PÊNDULO INVERTIDO

O sistema físico do pêndulo invertido pode ser representado num plano bi- dimensional basicamente por uma haste alocada a uma base (carrinho), como pode ser visualizado na figura 5, sendo essa haste propensa a cair em qualquer direção do plano e a qualquer momento, caso não seja aplicada uma força de controle. Uma situação simples que ilustra o problema do pêndulo invertido, é o problema de equilibrar uma vassoura ou haste na palma da mão, que para não deixá-las cair é necessário movimentar a mão de um lado para o outro. (DORF e BISHOP, 2001;

OGATA, 2011)

Figura 5 - Sistema Físico do Pêndulo Invertido

Fonte: (OGATA, 2011)

Segundo Vendramini e Silva (2010), o problema do pêndulo invertido mesmo

sendo um um sistema mecânicamente simples, representa inúmeras situações

práticas que podem ser analisadas pelos mesmos conceitos que envolvem a dinâmica do pêndulo invertido. Particularmente, o próprio conceito de pêndulo invertido móvel tem sido aplicado em diversas situações, por exemplo, veículo de transporte humano, transporte automático incluindo sua utilização para deficiêntes físicos.

O sistema de controle para o problema do pêndulo invertido é um dos clássicos da área de engenharia e controle, pois ilustra situações de controle vivenciadas no mundo real, como exemplo a estabilização de foguetes em vôos, controle de altitude de um míssil nas fases iniciais de lançamento, posicionamento de guindastes especiais, entre mais. (PAULA, 2014)

O intuito do sistema de controle para o pêndulo invertido é manter a haste na posição vertical. No qual a sua ponta livre é voltada para cima e a base seja movimentada com a devida força de controle para compensar o movimento da haste, devido ao seu problema de instabilidade natural ou caso uma o sistema sofra uma perturbação. (ERNESTO, 2015)

Ribeiro (2007), dita os mesmos conceitos que os outros autores de um seguinte ponto de vista:

Um pêndulo invertido típico é um dispositivo físico que se consiste de uma barra cilíndrica, usualmente metálica, a qual é livre para movimentar em torno de um ponto fixo. Esse ponto é montado em um carro que por sua vez é livre para mover na direção horizontal. O carro é acionado por um motor que pode exercer uma força variável no deslocamento do mesmo. A haste naturalmente tende a cair, pois sua posição vertical é uma condição de equilíbrio instável. Usa-se uma malha de controle com o objetivo de estabilizar a haste do pêndulo na posição vertical. Isso é possível exercendo-se uma força através do movimento do carro que tende a contrabalançar a dinâmica natural do pêndulo. A intensidade da força pode ser controlada a partir da informação da posição angular da haste (RIBEIRO, 2007, p. 16).

5.2.1 Modelagem matemática do Pêndulo Invertido

As figuras 6 e 7 servirão como base para modelagem do sistema do pêndulo

invertido, sendo considerado como um problema bidimensional, ou seja, o

movimento do pêndulo fica restrito apenas para a direita ou esquerda do plano da página. (OGATA, 2011)

Figura 6 - Sistema do Pêndulo Invertido

Fonte: (OGATA, 2011) Figura 7 - Sistema do Pêndulo Invertido – Diagrama de Corpo Livre

Fonte: (OGATA, 2011)