(1)Quest˜ao 1 Encontrea, b, c, dreaispara os quais a fun¸c˜aof(z) =x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2) seja anal´ıtica

Quest˜ao 1 Encontrea, b, c, dreaispara os quais a fun¸c˜aof(z) =x²+axy+by²+i(cx²+dxy+y²) seja anal´ıtica.

Neste caso temos u(x, y) = x²+axy+by² e v(x, y) =cx²+dxy+y² e, consequentemente, as derivadas parciais s˜ao:

• u_x = 2x+ay; • u_y =ax+ 2by; • v_x = 2cx+dy; • v_y =dx+ 2y.

Sabemos que uma fun¸c˜ao ´e diferenci´avel em z = x+iy se satisfaz as equa¸c˜oes de Cauchy- Riemann e tˆem as derivadas parciais de u ev cont´ınuas em (x, y). Como ue v s˜ao polinomiais a segunda parte ´e verdadeira. Para satisfazer C-R devemos ter u_x = v_y e u_y = v_x. Ou seja, 2x+ay=dx+ 2y e ax+ 2by =−(2cx+dy), donde segue que a= 2, b =−1, c=−1,d= 2 . Para estes a, b, c, d a fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em todo z ∈ C e, consequentemente, ´e anal´ıtica em C.

Quest˜ao 2 Determine o maior subconjunto de Cem que as fun¸c˜oes abaixo s˜ao anal´ıticas.

(a) f(z) = e^z;

De modo an´alogo `a quest˜ao anterior, devemos verificar se as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann s˜ao satisfeitas e em qual conjunto as fun¸c˜oesuev s˜ao cont´ınuas. Note que,e^iz =e^xe^−iy = e^xcosy−ie^xseny. Da´ı,

• ux=e^xcosy; • uy =−e^xseny; • vx =−e^xseny; • vy =−e^xcosy.

Note que u_x = v_y se, e somente se, cosy = 0 e u_y = −v_x se, e somente se, seny = 0.

Como as duas condi¸c˜oes devem acontecer simultaneamente e as fun¸c˜oes sen e cos n˜ao se anulam ao mesmo tempo, segue quef n˜ao ´e deriv´avel em nenhumz, logo n˜ao ´e anal´ıtica em nenhum z ∈C.

(b) f(z) = x

x² +y² +i y x²+y². Neste caso temos:

• ux= −x²+y² (x²+y²)²;

• u_y = −2xy (x²+y²)²;

• v_x = −2xy (x²+y²)²;

• v_y = x²−y² (x²+y²)².

Semelhantemente, se (x, y) 6= (0,0), temos u_x = v_y se e somente se x² =y² e u_y =−v_x se e somente se xy= 0. Do primeiro segue que x=±y e do segundo segue que x= 0 ou y= 0. Unindo as informa¸c˜oes dever´ıamos ter x=y = 0, mas a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida neste ponto. Segue, ent˜ao, que f n˜ao ´e diferenci´avel em nenhum ponto z deC, logo n˜ao

´e anal´ıtica em nenhum subconjunto deC.

Quest˜ao 3 Determine, especificando o conjunto aberto, uma primitiva para as fun¸c˜oes abaixo:

(a) f(z) = e^iz;

Note que para todo z ∈ C, se F(z) = −ie^iz, temos F⁰(z) = e^iz = f(z). Como −ie^iz ´e uma fun¸c˜ao inteira, segue que ´e uma primitiva def em C.

(b) f(z) = 1 z.

Sabemos que o ramo principal do logaritmoF(z) = Logz = ln|z|+iArg(z) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em C\(−∞,0] e tal que F⁰(z) = _dz^d Logz = ¹_z. Ou seja, Logz ´e uma primitiva para 1/z em C\(−∞,0].

Quest˜ao 4 Mostre que u(x, y) = senxcoshy ´e harmˆonica em R² e calcule uma conjugada harmˆonica para u.

Note que ux = cosxcoshy, uxx =−senxcoshy e uy = senxsinhy, uyy = cosxcoshy. Ou seja, u_xx+u_yy = 0, para qualquer (x, y)∈R², o que conclui que u´e uma fun¸c˜ao harmˆonica.

Para determinar uma conjugada harmˆonica para u devemos achar fun¸c˜ao v tal que u e v satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, isto ´e,ux =vy e uy =−vx. Da´ı, tal fun¸c˜aov deve satisfazer

• v_x =−senxsinhy; • v_y = cosxcoshy.

Integrando a segunda express˜ao com respeito a y, obtemos v(x, y) = cosxsinhy+h(x).

Logo, _∂x^∂ v(x, y) = −senxsinhy+h⁰(x) e, por outro lado, v_x =−senxsinhy, donde segue que h⁰(x) = 0, para todox. Ou seja,hdeve ser uma fun¸c˜ao constante. Dessa forma, uma conjugada harmˆonica para u´e uma fun¸c˜ao do tipo v(x, y) = cosxsinhy+K , para qualquer K ∈R.

Quest˜ao 5 Seja C o segmento de reta que liga os ponto 0 `a 1 +i em C. (a) Determine uma parametriza¸c˜ao paraC.

Uma parametriza¸c˜ao paraC ´e do tipo γ: [0,1]→C, em queγ(t) = t(1 +i).

(b) Calcule Z

C

zdz.

Por defini¸c˜ao, dada uma parametriza¸c˜ao de C em [a, b], temos R

Czdz = Rb

a γ(t)γ⁰(t)dt.

Com a parametriza¸c˜ao obtida no item anterior, note queγ⁰(t) = 1+i,∀t, da´ıR1

0 γ(t)γ⁰(t)dt= R1

0 t(1 +i)(1 +i)dt =R1

0 t(1−i)(1 +i)dt = (1²−i²)R1

0 tdt= 2[t²/2]^t=1_t=0 = 1.

(c) Se D ´e o contorno poligonal que liga 0 `a i e depois i `a 1 + i, podemos afirmar que Z

C

zdz = Z

D

zdz?

Sabemos que se f ´e anal´ıtica, ent˜ao a integral de contorno depende apenas dos pontos inicial e final do contorno. Entretanto, a fun¸c˜ao z n˜ao ´e anal´ıtica em nenhum ponto de C. Portanto n˜ao podemos afirmar, sem avaliar as integrais, queR

Czdz =R

Dzdz.

Quest˜ao 6 Calcule as integrais nos contornos especificados abaixo:

(a) Z

γ

zdz, em que γ ´e a circunferˆencia|z|= 1 orientada positivamente.

Comozn˜ao ´e anal´ıtica em nenhum ponto deCdevemos calcular a integral pela defini¸c˜ao.

Observe que uma parametriza¸c˜ao para o contorno C ´e dada por γ(t) = e^it, t ∈ [0,2π].

Da´ı, R

γzdz =R2π

0 e^−itie^itdt=R2π

0 idt= 2πi.

(b) Z

γ

z²+ 3z−1

(z−1)(2z+ 1)dz,γ ´e a circunferˆencia |z|= 3 orientada positivamente.

Observe que o integrando possui duas singularidades, nos pontos z₁ = 1 e z₂ = −1/2 e ambos est˜ao no interior da circunferˆencia de raio 3 e centro na origem. Assim, seγ₁ e γ₂ s˜ao circunferˆencias de centro em 1 e −1/2, respectivamente, contidas no interior de γ e exteriores uma a outra, teremos

Z

γ

z²+ 3z−1

(z−1)(2z+ 1)dz = Z

γ1

z²+ 3z−1

(z−1)(2z+ 1)dz+ Z

γ2

z²+ 3z−1 (z−1)(2z+ 1)dz.

Observe agora, que a fun¸c˜aog(z) = ^z2_(2z+1)^+3z−1 ´e anal´ıtica no interior deγ₁ eh(z) = ¹₂^z2_(z−1)^+3z−1

´e anal´ıtica no interior de γ2. Da F´ormula Integral de Cauchy, segue que 2πig(1) = R

γ1

g(z)

(z−1)dz e 2πih(−¹₂) =R

γ2

h(z)

(z+¹₂)dz. Da´ı, Z

γ

z²+ 3z−1

(z−1)(2z+ 1)dz = 2πig(1) + 2πih(−1 2)

= 2πi3

3 + 2πi1 2

1/4−3/2−1

−3/2

= 2πi1 + 2πi1−6−4

−12 = 7πi 2 .