Cap3 Planejamento Da Operacao

3. Planejamento da Operação

Nas sociedades modernas, o consumo de energia elétrica tem apresentado índices de crescimento bastante elevados frente a outras formas de energia. Em 1970, 17% de toda a energia consumida no Brasil eram sob a forma de energia elétrica; este número evoluiu para 42% em 2001 [ELETROBRÁS (2001), ANEEL (2002)]. Este crescimento do consumo de energia elétrica pode ser caracterizado de duas formas diferentes. Há o crescimento vertical, devido ao aumento da densidade de cargas em áreas já eletrificadas, em conseqüência da evolução da indústria de equipamentos elétricos; e o crescimento horizontal, devido à expansão geográfica dos sistemas elétricos evidenciado, especialmente, pelo importante papel da eletrificação rural.

Com o aumento do consumo de energia elétrica no país, existe a necessidade de um planejamento da operação cada vez mais elaborado, que englobe as fontes de geração de energia elétrica, com o objetivo de garantir, da melhor forma possível, o atendimento da demanda. O problema da geração de energia elétrica no Brasil torna-se complexo à medida que as usinas hidroelétricas, base do suprimento energético, são extremamente dependentes de fatores climáticos e também da operação do sistema. Baseado nisso, o planejamento da produção de energia elétrica é um desafio para os gerenciadores do setor elétrico brasileiro, conforme evidenciado pela crise de abastecimento de energia em 2001, para a qual contribuiu decisivamente a falta de investimentos que acompanhassem a evolução das necessidades (demanda). Além disso, a decisão política de reestruturar o setor, com privatizações e desregulamentações, acompanhando algumas tendências internacionais, modificou bastante o ambiente de atuação das empresas de energia elétrica, trazendo novos e importantes desafios para o planejamento da operação.

os vários tipos de estudos necessários, abrangendo áreas diversas na operação destes sistemas, um deles está relacionado com as fontes primárias de suprimento de energia (hidráulica, nuclear, carvão, gás natural, etc.). Esta área de estudos busca definir como será a utilização da energia que será transformada em eletricidade, suas incertezas presentes e futuras, as quantidades disponíveis, seu gerenciamento e seus custos. Ela deve considerar também as condições em que será gerada a energia elétrica, ou seja, como a energia disponível será transformada em eletricidade, visando garantir o fornecimento da energia elétrica, de forma econômica e confiável.

Desta forma, torna-se necessário planejar previamente como deverá ser a operação dos sistemas elétricos de potência, levando em conta desde condições futuras até a situação de momento, de forma a determinar os procedimentos a serem assumidos ao longo do horizonte de planejamento. Este é o chamado planejamento da operação dos sistemas elétricos de potência, o qual pretende determinar as decisões operativas mais apropriadas para o funcionamento adequado destes sistemas. O planejamento deve avaliar, previamente, que comportamento terá o sistema, propor e analisar alternativas para a garantia do fornecimento de energia, avaliar custos de operação, encontrar a solução mais econômica, tudo isto podendo ser traduzido por uma operação otimizada do sistema.

O planejamento da operação para sistemas de geração de energia elétrica, especificamente, é importante pelo fato dele agir sobre o suprimento da fonte energética, afetando diretamente dois itens fundamentais no funcionamento dos sistemas elétricos de potência: a garantia de fornecimento da energia elétrica, através do gerenciamento apropriado da disponibilidade da fonte primária; e o custo associado a este fornecimento energético, dado, principalmente, pelo custo do combustível consumido. Este custo de operação, geralmente, envolve cifras vultosas, de tal forma que um pequeno aperfeiçoamento na operação pode significar uma economia considerável.

Em quase todo o sistema hidroenergético brasileiro, por exemplo, a maneira pela qual o conjunto dos reservatórios de acumulação das usinas é enchido e/ou deplecionado pode alterar a energia elétrica obtida em cada uma delas. Isso decorre do chamado Efeito Cota, EC, o qual, basicamente, mensura a influência da variação do nível de montante na capacidade de produção de uma usina hidroelétrica. Dessa forma, quanto maior a influência do efeito cota, mais significante é a influência da variação do nível de montante na produtividade de uma usina. Assim sendo, para as usinas hidroelétricas brasileiras, manter níveis elevados de armazenamento nos reservatórios pode levar o sistema a maiores níveis de altura de queda, o que incrementa a produtividade da usina, melhorando sua eficiência. O efeito cota pode ser representado matematicamente pela seguinte relação:

100

) (

) ( )

(

max

min

max _⋅

− − =

med mon

mon mon

cf x

h

x h x

h

EC (3.1)

3.1. Planejamento da Operação de Sistemas Termoelétricos

O planejamento da operação de sistemas termoelétricos, conhecido também como Despacho Econômico Termoelétrico (DET), visa minimizar os custos operativos das usinas térmicas, através da redução do consumo de combustíveis.

O planejamento da operação em sistemas termoelétricos é um problema desacoplado no tempo, ou seja, uma decisão de operação em um instante de tempo não traz conseqüências ao custo de operação do estágio seguinte. O fornecimento de energia depende apenas da capacidade de geração de cada unidade térmica. Vale ressaltar que os custos das unidades não exercem influência entre si, isto é, o custo de operação de uma unidade independe do nível de geração ou disponibilidade de outra unidade.

usina para se calcular o despacho ótimo. Vários fatores adicionais tornam o problema real bastante mais complexo, tais como: custos de entrada em operação das usinas, limites nas taxas de tomada de carga dos geradores, limitações de transmissão, restrições ambientais, tempo de resfriamento das usinas, entre outros.

Dada a geração térmica total, Gt, a ser produzida no intervalo t (t=1, 2,..., T) por um

sistema de geração exclusivamente termoelétrico composto por J unidades, o DET deve

encontrar a geração de cada unidade do sistema gj,t (j=1, 2,..., J) que atenda a esta geração a

um custo mínimo.

Assume-se que o custo operativo total j(.) de uma usina termoelétrica é uma

função crescente e convexa do nível de geração.

' 0

,

> =

t j

n n

dg dψ

ψ (3.2)

Como o DET pode ser decomposto no tempo, o problema de otimização do sistema térmico para um horizonte de T intervalos pode ser solucionado pela otimização de T

subproblemas. O custo total de geração térmica, neste horizonte, será a soma da geração ótima de cada um dos T subproblemas.

Considerando-se, inicialmente, o DET formulado como um problema de

minimização de custos sujeito a uma restrição de atendimento à demanda, ignorando-se os limites (restrições) das usinas térmicas:

t J

j t j J

j

t j j

G g

a s

g

=

= =

1 ,

1 ,

. .

) (

min ψ

(3.3)

para j = 1, 2,..., J. Os índices t aparecem para informar que este problema foi

Visto que a função objetivo a minimizar é convexa e as restrições são lineares e de igualdade, o problema acima é um problema convexo, o que assegura que as condições necessárias de primeira ordem de KKT são condições suficientes de ótimo global.

O Lagrangeano do problema (3.3) é dado por:

= + ⋅ − = = J j t j t t J j t j j

t g G g

g L 1 , 1 , ) ( ) ,

( λ ψ λ (3.4)

Estabelecendo-se as condições necessárias de primeira ordem:

( ) 0

, , , = − = _t t j t j j t j dg dg d dg dL λ ψ (3.5) 0 1 , = − = = J j t j t t g G d dL

λ (3.6)

para j = 1,2,...,J.

Economicamente, o multiplicador de Lagrange é interpretado como o custo marginal de operação do sistema no período de tempo t, visto que ele está associado à

restrição de atendimento da geração total do sistema no intervalo t. Em outras palavras, t

representa o preço do MW gerado pelo sistema no intervalo t.

As condições de otimalidade indicam que a solução ótima do problema, g*j,t,deve

satisfazer às seguintes condições:

λ∗_t =ψ'_j (g∗_j,t) (3.7)

J _t j t j G g = = ∗ 1 , (3.8)

Ou seja, a política de operação econômica do sistema termoelétrico, para um determinado intervalo t, deve distribuir a carga entre as unidades de geração de modo a

igualar os custos marginais de geração. Assim tem-se:

) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' , , 2 2 , 1 1 2 , 2 , 2 2 2 , 1 1 2 1 , 1 , 2 2 1 , 1 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = = = = = = = = = = = T N N T T T N N N N g g g g g g g g g ψ ψ ψ λ ψ ψ ψ λ ψ ψ ψ λ (3.9)

Inserindo-se agora, em cada unidade geradora, uma faixa de operação (canalização da geração termoelétrica), tem-se que o problema do DET fica:

t j t j t j t J j t j J j t j j g g g G g a s g , , , 1 , 1 , . . ) ( min ≤ ≤ = = = ψ (3.10)

para j = 1,2,...,J.

O Lagrangeano do problema (3.10) é dado por:

(

)

t g G g g g g g

g L 1 , , , 1 , , , 1 , 1 , ) ( ) , , ,

( λ α β ψ λ α β (3.11)

Estabelecendo-se as condições necessárias (e suficientes) de primeira ordem, tem-se:

λ∗_t →irrestrito,α∗_j,t ≥0,β∗_j,t ≥0 (3.12)

0 1 , = − = ∗ J j t j t g

G (3.13)

_{j t j t}

t

j g g

g *_{, ,}

, ≤ ≤ (3.14)

∗_, ⋅ _, − ∗_j,t =0

t j t

j g g

β (3.16)

ψ'_j(g∗_j,t)−λ∗_t +α∗_j,t −β∗_j,t =0 (3.17)

Analisando-se as equações acima, nota-se que:

Se _{n j n j}

j

n g g

g _, < *_, < _, , então:

•

(

)

•

(

)

• Como *

j,t = 0 e *j,t = 0, λ_t∗ =ψ'_j (g∗_j,_t), para satisfazer a equação (3.17).

Se

t j t

j g

g*_, = _, , então:

•

(

)

•

(

)

• Como *

j,t = 0 e *j,t 0, λ_t∗ ≤ψ'_j(g∗_j,t) para satisfazer a equação (3.17).

Se g*_j,t =g _j,t, então:

•

(

)

j,t 0 para que a equação (3.15) seja verdadeira.

• _, − ∗_j,t <0

t

j g

g , logo *j,t = 0 para que a equação (3.16) seja verdadeira.

• Como *

j,t 0 e *j,t = 0, λ_t∗ ≥ψ'_j(g∗_j,t), para satisfazer a equação (3.17).

3.2. Planejamento da Operação de Sistemas Hidroelétricos

Em sistemas puramente hidroelétricos, os custos de operação envolvidos podem estar associados ao pagamento de “royalties” pela utilização da água estocada nos reservatórios, ou a custos de penalização que refletem o não atendimento ao mercado de energia. Em geral, a operação de sistemas hidroelétricos considera funções compostas de múltiplos objetivos como maximização do armazenamento no final do horizonte, minimização de vertimentos, ou a distribuição eqüitativa de folgas de geração1 ao longo do período de estudo, entre outros.

Visto que o planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos incorpora às características do planejamento da operação de sistemas hidroelétricos a não-linearidade da função de custo de operação das usinas termoelétricas, estas características serão apresentadas na seção a seguir, sobre planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos.

3.3. Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos de Potência

Em sistemas hidrotérmicos com pequena participação hidroelétrica, onde este tipo de geração não tem muita influência, embora o objetivo primordial desta geração permaneça sendo de substituição da geração de origem térmica, há uma abordagem diferente daquela em sistemas com maior peso da geração hidroelétrica. Este enfoque diferente advém das prioridades em cada caso, já que a existência de uma maior geração elétrica por parte das usinas térmicas leva a uma preocupação maior com saídas forçadas, a contínua alocação da geração entre as unidades para minimizar custos e mesmo o emprego ótimo de energia hidroelétrica para cobrir as rápidas variações de carga, o que seria custoso efetuar com usinas termoelétricas.

1 _{A folga de geração é representada por uma reserva de potência necessária para permitir que se mantenha a}

Deve-se ressaltar que, em geral, este tipo de sistema está situado em regiões onde não há muita abundância de água e os recursos hídricos servem a múltiplos objetivos, tão ou mais importantes, que restringem sua utilização pelas hidroelétricas, tais como, navegação, irrigação, controle de cheias, abastecimento de água, etc.

Dessa forma, nestes sistemas com pouca participação hidráulica na geração de energia elétrica, o planejamento da operação é feito baseado na utilização maciça de geração termoelétrica, deixando a hidroelétrica como uma complementação. Objetiva-se atender a ponta com as usinas hidroelétricas, substituindo as termoelétricas mais caras e cobrindo as variações rápidas de carga [CARNEIRO (1991)].

Em sistemas hidrotérmicos com grande participação de geração hidroelétrica, como é o caso do sistema brasileiro, a geração de origem hidroelétrica, que tem custo de “combustível” nulo2, é complementada por geração de origem termoelétrica, que tem custo de combustível elevado. Portanto, o objetivo econômico do planejamento da operação é substituir, na medida do possível, a geração de origem termoelétrica por geração de origem hidroelétrica [SOARES FILHO (1987)]. Isto equivale a determinar um cronograma ótimo de geração, a cada intervalo, de modo que o sistema atenda a demanda de forma confiável, buscando minimizar o custo esperado da operação durante o período de planejamento, definindo uma estratégia adequada de complementação térmica. Como resultado, obtém-se os comportamentos “ótimos” do sistema hidrotérmico, tais como trajetórias dos volumes armazenados nos reservatórios, turbinagens e geração hidráulica de cada usina, complementação térmica e energia armazenada de cada usina e do sistema [RODRIGUES et al. (2004)].

O planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos visa determinar uma estratégia de geração em cada usina que minimize o valor esperado dos custos operativos no período de planejamento. Incluem-se nestes custos os gastos com os combustíveis das usinas termoelétricas, eventuais compras de energia de sistemas vizinhos e os custos de não

2 _{Embora no modelo seja atribuído um valor nulo à água, nos estudos referentes à operação hidrotérmica}

atendimento à carga, chamado “custo de déficit”. Como as funções de custo da operação das usinas termoelétricas e a função de produção hidráulica (geração hidroelétrica) são não-lineares, o problema do planejamento da operação é não-linear.

Os recursos hidroelétricos de geração, representados pela água armazenada nos reservatórios, são limitados e de uma disponibilidade muito irregular em sua forma natural. A construção de reservatórios de acumulação tenta minorar estas dificuldades aumentando a regularização destes recursos. Ressalta-se ainda que a disponibilidade de água, num dado momento, depende do grau de sua utilização anterior, o que estabelece uma ligação entre as decisões operativas no tempo, comumente conhecida como acoplamento temporal. Baseado nisto, a otimização do gerenciamento de recursos hidráulicos para geração de energia elétrica implica em um compromisso temporal, já que o recurso usado em um dado momento poderá comprometer a disponibilidade para o restante do período de planejamento. Assim, as decisões tomadas em um intervalo de planejamento dependem das decisões tomadas no passado e determinam a evolução futura do sistema hidroenergético. Dessa forma, o problema do planejamento da operação é dinâmico. A questão que se coloca ao operador é quanto utilizar dos recursos hidroelétricos disponíveis no presente e num período futuro do planejamento, considerando a irregularidade das vazões afluentes. A decisão ótima deve equilibrar o compromisso entre o benefício presente do uso da água para geração hidroelétrica e o benefício esperado no futuro advindo do seu armazenamento, tudo medido em termos de economia de combustível termoelétrico.

diagonal principal, o que representa a interconexão entre as variáveis de usinas diferentes [CARNEIRO & MONTANHA (1997)]. Assim, a matriz Hessiana não é uma matriz diagonal, pois possui, conforme supracitado, elementos diferentes de zero fora da diagonal principal, que representam as interconexões entre usinas, ou seja, como a variação do custo em relação ao parâmetro de uma usina se altera com respeito ao parâmetro de outra usina. Isto indica os efeitos cruzados de diferentes variáveis de decisão na função objetivo ou, para um sistema de reservatórios, a influência que a variável de decisão de uma usina hidroelétrica j tem sobre a variação do custo total de operação em relação à variável de

decisão de outra usina hidroelétrica i. A interconexão entre as usinas hidroelétricas se

traduz em uma função objetivo espacialmente não separável3. O parque hidroelétrico constitui-se num sistema interconectado4 de geração, ao contrário do parque termoelétrico cujas unidades são independentes entre si, pois a operação de uma unidade térmica não afeta a capacidade de geração ou a disponibilidade de outra unidade [CASTRO (2006)]. Uma complicação adicional vem da necessidade de atendimento a restrições hidráulicas decorrentes do uso múltiplo da água (navegação, irrigação, saneamento, controle ambiental, etc.), além das regras de segurança para controle de cheias nas bacias. Estas restrições atuam no sistema de geração tanto diminuindo sua flexibilidade operativa como sua capacidade de geração de energia.

Observe-se em contrapartida que apesar da característica dinâmica do problema do planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos, já mencionada, não ocorrem efeitos cruzados em relação a intervalos de tempo diferentes, isto é, a variável de decisão de um intervalo de tempo não afeta o custo marginal de operação de outro intervalo de tempo. Isto se traduz na matriz Hessiana em uma estrutura bloco-diagonal (somente os blocos pertencentes à diagonal são diferentes de zero), com um bloco para cada intervalo de tempo, o que dá uma característica de “separabilidade” temporal para a função objetivo. Esta característica existe pelo fato da função objetivo ser adicionalmente separável no tempo, ou seja, ela pode ser escrita na forma de uma soma de parcelas, cada uma referente a

3 _{Dessa forma, a função objetivo não pode ser desmembrada em termos de cada usina hidroelétrica.}

4 _{Esta interconexão produz uma dependência com relação ao desempenho operativo. Assim, essa dependência}

um único intervalo de tempo [KADOWAKI (1995)]. Isto não significa uma independência entre os vários intervalos de tempo já que a característica dinâmica, representada pela ligação entre estes intervalos, fica garantida pela restrição da equação de balanço dinâmico da água (ou balanço hídrico), em que o recurso hídrico em determinado intervalo irá afetar a sua disponibilidade nos intervalos restantes do horizonte utilizado de planejamento [CARNEIRO (1991)].

A função objetivo é não convexa em toda sua região de abrangência, o que pode ser verificado através dos autovalores da matriz Hessiana, os quais apresentam valores positivos e negativos em algumas regiões [CARNEIRO & MONTANHA (1997)].

Figura 1 - Cronograma de decisão para sistemas hidrotérmicos de potência.

A existência de várias bacias interligadas e a necessidade de avaliação das conseqüências do uso das reservas nos anos futuros levam ao emprego de um período longo de estudo, caracterizando o planejamento da operação como um problema de grande porte.

As unidades termoelétricas têm um custo direto de operação, ou seja, o custo de operação de uma unidade não depende do nível de geração de outras unidades. Ao contrário de sistemas hidroelétricos e hidrotérmicos, onde o valor da energia gerada por uma usina hidroelétrica somente pode ser medido em termos da economia resultante nos custos de geração térmica, ou de importação de energia, ou déficits; e não diretamente como uma função apenas do estado da usina. Ou seja, os benefícios da geração de uma usina hidráulica são expressos de forma indireta através da economia proporcionada no uso das fontes não hidráulicas, definindo o problema do planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos como não separável. Ora, este valor da economia proporcionada não pode ser medido isoladamente em cada usina hidroelétrica, pois depende da operação em conjunto do sistema.

planejamento da operação tem uma grande preocupação com a disponibilidade e o gerenciamento da fonte de suprimento de energia hidráulica. Além do mais, ele deve levar em conta um amplo espectro de atividades, abrangendo desde a otimização plurianual dos reservatórios até o despacho das usinas, levando em consideração as restrições operativas.

Adicionalmente, a privatização de usinas e o novo ambiente competitivo, com usinas pertencentes a diferentes empresas, dificultam a determinação de uma política de operação que, pela sua própria essência, tem que ser cooperativa. Tudo isso leva a um cenário operativo bastante complexo onde o uso de métodos tradicionais utilizados em outros países, nem sempre traz bons resultados [LEITE (2004)]. Portanto, as características próprias do sistema brasileiro estimulam o desenvolvimento de métodos computacionais e critérios adequados às suas condições [PEREIRA et al. (1987)].

O planejamento da operação do sistema hidrotérmico brasileiro de forma eficiente, em especial das usinas hidroelétricas brasileiras, justifica-se não apenas pela necessidade de manutenção e controle da confiabilidade do sistema eletro-energético nacional, mas também como produto de natureza econômica de valor estimável e de fator importante para assegurar o crescimento nacional sustentado [RABELO et al. (2006)].

Por fim, o planejamento da operação é a área dos sistemas de potência que trata das necessidades energéticas, de forma coordenada. Ele é subdividido em planejamento energético e elétrico.

O objetivo do planejamento energético5 é determinar estratégias de geração de energia de forma confiável e econômica, satisfazendo as restrições do sistema de produção de energia elétrica. Esta etapa do planejamento da operação visa a otimização da operação destes sistemas compostos, geralmente, por várias usinas, considerando aspectos estocásticos e hidráulicos com maior relevância. A divisão do planejamento energético em médio e curto prazo deve-se a dificuldade do manuseio simultâneo da estocasticidade das

vazões afluentes e da demanda de energia, com a representação individualizada de cada usina hidroelétrica.

O planejamento elétrico é realizado para viabilizar as metas calculadas pelo planejamento da operação energética, assegurando uma operação confiável para o sistema. Como resultado do planejamento da operação elétrica, tem-se a adaptação das metas energéticas à capacidade real do sistema de transmissão, por exemplo [FINARDI (1999)].

3.3.1. Horizontes do Planejamento da Operação de Sistemas Hidrotérmicos de Potência

As complexidades do problema do planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos não podem ser acomodadas por um modelo matemático único, tornando-se necessária a utilização de cadeias de modelos com diferentes horizontes de planejamento e graus de detalhe na representação do sistema6.

Uma das possíveis decomposições deste problema em sub-problemas é baseada na incerteza das vazões afluentes futuras [SOARES FILHO (1987)]. Analisando a aleatoriedade das vazões futuras observa-se que a incerteza cresce com o tempo, segundo uma função do tipo ilustrada na Figura 2.

6 _{Vale ressaltar neste ponto que, a modelagem e a técnica de resolução devem ser escolhidos de acordo com}

Médio Curto

C

u

rt

íssi

m

o

Tempo

In

ce

rt

e

z

a

d

a

s

V

a

zõ

e

s

Horizontes

Figura 2 - Incerteza das vazões futuras com o tempo.

A incerteza sobre as vazões a curtíssimo prazo (até t1) é muito pequena dada a

capacidade de previsão obtida pelos modelos baseados na relação chuva-vazão. Neste horizonte, o problema é, praticamente, determinístico dado que também a demanda de energia elétrica pode ser estimada com bastante precisão. À medida que se avança no tempo considerando vazões num futuro mais remoto, a incerteza cresce até atingir uma saturação (t2), representando a independência estocástica entre a vazão futura e a conjuntura

presente. Trata-se da incerteza de médio prazo. No período entre t1 e t2, a incerteza é

crescente, porém menor que a incerteza de médio prazo devido à correlação entre a vazão futura e a presente (e passadas). Trata-se da incerteza de curto prazo.

Os períodos t1= t1 – t0 e t2= t2 – t0 caracterizam etapas distintas do planejamento e

dependem tanto do sistema hidroelétrico em questão, como do instante inicial (t0) em que o

planejamento é considerado.

Geralmente, bacias hidráulicas com baixa permeabilidade do solo, em que as vazões são mais dependentes do escoamento superficial do que dos lençóis de água subterrâneos, apresentam períodos t1 e t2 menores. É o caso da bacia do rio Iguaçu no sistema Sul

Por outro lado, para um mesmo sistema hidroelétrico, os períodos t1 e t2 variam

com o instante t0. No sistema Sudeste brasileiro, por exemplo, no início do chamado

período seco (Maio) a capacidade de previsão de vazões futuras é maior do que no início do período úmido (Novembro).

Dessa forma, o planejamento da operação é dividido em diferentes horizontes de tempo. No sistema brasileiro, ele é dividido em horizontes de médio, curto e curtíssimo prazo (ou programação diária), em que são abordados os aspectos energéticos e elétricos da operação. A Figura 3 ilustra estas três etapas do planejamento da operação e o acoplamento entre elas.

Figura 3 - Esquema de decomposição temporal do problema do planejamento da operação.

anos. Apesar de o sistema brasileiro ter uma capacidade de regulação relativamente pequena, adota-se um horizonte de cinco anos com discretização mensal do período de planejamento. O objetivo do planejamento de médio prazo é avaliar o comportamento do sistema sob condições de elevada incerteza.

A abordagem utilizada no planejamento a médio prazo requer a agregação do parque hidroelétrico em um único reservatório de energia, o modelo equivalente [ARVANITIDIS & ROSING (1970)]. O modelo equivalente de um sistema hidroelétrico consiste de um reservatório equivalente que recebe, armazena e descarrega energia em vez de água.

Dessa forma, a agregação do sistema hidroelétrico em um único reservatório de energia é realizado mediante o cálculo da produtividade média em cada usina, que corresponde à potência média produzida pela turbinagem de 1m3/s.

A água armazenada num dado reservatório do sistema é transformada em energia através de sua produtividade acumulada, soma das produtividades médias de todas as usinas à jusante do reservatório; fornecendo, em média, a energia que esta água armazenada é capaz de gerar ao percorrer toda a cascata.

Com a produtividade acumulada, as variáveis hidráulicas são convertidas em variáveis energéticas, transformando-se: a água armazenada nos reservatórios em energia armazenada no sistema, a capacidade de armazenamento de água dos reservatórios em capacidade de armazenamento de energia do sistema, o histórico de vazões incrementais aos reservatórios em histórico de energia afluente ao sistema e os limites de defluência das usinas em limites de defluência de energia do sistema.

individual de cada usina hidroelétrica perde a importância frente às incertezas das vazões afluentes. A limitação principal da abordagem do reservatório equivalente é que ela não leva em conta, adequadamente, alguns aspectos importantes da operação hidroelétrica, tais como: o efeito cota, a diversidade hidrológica e os vertimentos localizados em algumas usinas [SOARES FILHO & CARNEIRO (1991)]. Apesar dessas limitações, o modelo equivalente pode ser aprimorado visto que, ele pressupõe produtividades médias quando na verdade a produtividade varia com o armazenamento. Ele pode ser mais bem detalhado ainda, fazendo considerações adicionais, como a energia evaporada, por exemplo.

O planejamento de médio prazo fornece políticas de operação que especificam a geração de cada subsistema hidroelétrico e do parque térmico em função do estado dos subsistemas (quantidade de energia armazenada nos reservatórios) e das vazões afluentes. A política ótima de operação, para este horizonte de planejamento, representa o custo esperado futuro de operação do sistema e depende da condição inicial de armazenamento dos reservatórios. Esta é a informação transferida ao planejamento de curto prazo para estabelecer-se a coerência entre estas duas etapas do planejamento.

O planejamento de curto prazo é, convencionalmente, uma etapa de planejamento energético propriamente dito, no qual há um refinamento da abordagem dos aspectos energéticos do sistema devido à representação individualizada de suas usinas. Neste horizonte, atribuem-se as metas7 mensais ou semanais de geração individual a cada usina hidroelétrica e termoelétrica, a partir da política ótima de operação calculada no planejamento de médio prazo, considerando-se algumas restrições, físicas e operativas, tais como, os limites de armazenamento nos reservatórios, conservação da água (balanço hídrico), atendimento à demanda, limites de turbinagem e de defluência das usinas. Este horizonte de planejamento pode variar de alguns meses a um ano com discretização mensal ou semanal.

7 _{Alternativamente, podem-se atribuir os volumes-meta que os reservatórios devem atingir ao final do}

Para aplicações em ambiente competitivo, com usinas pertencentes a diferentes empresas, a representação individualizada das usinas hidroelétricas, no planejamento de curto prazo, é muito interessante, principalmente porque ela permite que as decisões sejam tomadas a partir de um modelo de otimização/simulação que consegue avaliar as condições individuais de operação de cada aproveitamento. Desta forma, a representação individualizada de cada usina hidroelétrica é importante, visto que o objetivo principal deste tipo de planejamento é determinar as metas de operação de cada usina, a cada intervalo, respeitando o acoplamento hidráulico das diversas cascatas existentes no sistema, e que aproveite as possíveis diversidades hidrológicas entre os vários rios. Neste horizonte de planejamento, é interessante determinar quanto cada usina deve gerar para obter o melhor rendimento hidráulico do sistema, evitando-se vertimentos, perdas de produtividade, etc. É correto lembrar que, além deste objetivo, obtém-se no curto prazo, algumas informações que são refinamentos de informações já obtidas no médio prazo, e também outras, tais como, metas de geração térmica mensal por usinas e programas de manutenção. É importante ressaltar que, nesta etapa, diferente do planejamento de médio prazo, abrange-se um horizonte em que as incertezas sobre as afluências são menores devido à proximidade com o presente e à correlação temporal entre as vazões.

Do exposto, o planejamento de curtíssimo prazo deve respeitar todas as restrições operativas do sistema, hidráulicas e elétricas, num cenário de vazões e demanda praticamente determinístico. Hidraulicamente, é fundamental considerar o tempo de percurso da água entre as usinas hidroelétricas da cascata, restrições operativas das usinas como faixas de cavitação, rampas de tomada de carga, limites de variação na defluência, reserva girante, e outros aspectos operativos que não são considerados nas etapas de planejamento com horizontes mais amplos. Também é necessário respeitar as restrições elétricas da rede como os limites de transmissão das linhas. A complexidade do planejamento de curtíssimo prazo resulta da necessidade de se levar em conta, simultaneamente, aspectos energéticos, hidráulicos e elétricos do sistema hidrotérmico.

Os diferentes horizontes de estudo correspondem a diferentes tipos de análise do desempenho do sistema, tais como efeitos de médio prazo (possibilidades de déficits futuros, valor esperado de gerações térmicas no futuro, etc.), efeitos de curto prazo (contratos anuais para suprimento de energia e demanda entre empresas do sistema, programa de manutenções, etc.) e efeitos de curtíssimo prazo (controle de cheias, restrições de segurança, etc.).

Na cadeia de procedimentos para operação de um sistema hidrotérmico, o grau de detalhamento cresce à medida que se reduz o horizonte de influência das decisões. A informação sobre efeitos de mais longo prazo – além do horizonte de influência de cada nível – é dada pelos resultados do nível hierárquico precedente (mais alto). Além disto, pode-se usar retro-alimentação dos níveis hierárquicos inferiores para os superiores de forma a assegurar a otimização global do planejamento.

3.3.2. As Funções de Custo Imediato e Futuro

As características dos sistemas hidrotérmicos, principalmente a estocasticidade e o acoplamento espacial, afetam os dois principais objetivos da operação: economia e confiabilidade. A política econômica seria optar, a cada etapa, pela máxima utilização das usinas hidroelétricas na geração de energia, utilizando a energia armazenada nos reservatórios (energia mais barata), o que, conseqüentemente, minimizaria o custo de operação do sistema hidrotérmico. Porém, esta política aumentaria o risco de déficit, tornando-a pouco confiável. Por sua vez, a máxima confiabilidade de fornecimento é obtida conservando o nível dos reservatórios o mais elevado possível. Entretanto, isto significa uma maior utilização de geração complementar a partir de recursos não-hidráulicos (geração térmica, importação de energia de mercados vizinhos ou déficit de energia) e, portanto, um aumento dos custos operativos.

Dessa forma, o operador de um sistema hidrotérmico deve equilibrar o benefício imediato do uso da água com o benefício futuro advindo de seu armazenamento. Assim, a operação do sistema hidrotérmico não deve considerar apenas os custos de geração não-hidráulica em um estágio t, mas, também, o custo esperado dessa geração no final do

estágio t (início de t+1). Matematicamente, esta lógica pode ser expressa pela “Função de

Figura 4 - As funções de custo futuro, imediato e total.

A FCI mede o custo de geração não-hidráulica para complementar o atendimento à demanda no estágio temporal t. Observa-se que o custo imediato cresce com o aumento do

volume final, pois diminui-se a utilização dos recursos hidroelétricos de geração.

A FCF está associada ao custo esperado de geração não-hidráulica no final do estágio t (início de t+1) até o final do período de planejamento. A FCF diminui à medida

Figura 5 - Evolução do armazenamento ao longo do período de planejamento.

Dessa forma, a água armazenada possui um valor (valor da água) que pode ser medido tanto pela inclinação da curva FCI, quanto pela curva FCF, de modo que o uso ótimo da água corresponde ao ponto (nível de armazenamento no final do estágio t) que

minimiza a soma dos custos imediato e futuro.

Conseqüentemente, o problema de encontrar o menor custo global se resume a encontrar o ponto de mínimo da “Função de Custo Total”, FCT – dada pela soma das FCF e FCI. Este ponto corresponde ao ponto onde a derivada de FCT em relação ao volume final é igual a zero ou, ainda, onde as derivadas de FCF e FCI em relação ao volume final são iguais em módulo.

Figura 6 - Valor da água.

3.3.3. Formulação do Planejamento da Operação de Curto Prazo de Sistemas Hidrotérmicos de Potência

Em um sistema hidrotérmico de geração, o custo de operação é dado pelo custo do combustível utilizado na operação das usinas termoelétricas, o custo de importação8 de energia de outros sistemas, e o custo da falta de suprimento de energia (penalidade devido ao não suprimento de carga), o chamado “custo de déficit”, sendo todos eles representados através de uma única função de custo9 (Figura 7).

8 _{Em alguns casos, a importação pode ser mais barata que algumas fontes de geração existentes no próprio}

sistema. Isto depende, basicamente, da fonte de energia importada e das fontes disponíveis no sistema importador.

9 _{Esta função é o resultado do Despacho Econômico Termoelétrico [LYRA et al. (1984)]. Observa-se que}

Figura 7 - Função de custo de operação de um sistema não-hidráulico.

Dessa forma, o objetivo do problema do planejamento da operação de curto prazo de sistemas hidrotérmicos é minimizar a função de custo associado ao uso do conjunto de geração não-hidráulico, sujeito às restrições físicas e operativas das usinas hidroelétricas consideradas. Ressalta-se que quanto maior a geração hidráulica, menor a complementação térmica correspondente.

Nos modelos de planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos, o horizonte de estudo (planejamento) pode ser de alguns meses e até de alguns anos, sendo escolhida, geralmente, a discretização10 mensal. Em alguns modelos, pode-se utilizar um horizonte com qualquer discretização, citando-se, como exemplos, as discretizações semanal, mensal, bimestral, etc. Além disso, a formulação destes modelos permite que o horizonte seja discretizado utilizando-se combinações de intervalos diferentes, o que pode ser chamado de discretização mista [CICOGNA (1999)].

10 _{A discretização, geralmente, é estabelecida determinando-se o número de segundos de cada intervalo. Um}

No planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos, o custo de operação do sistema gerador é representado por uma coleção (soma) dos custos distribuídos em um horizonte de estudo. Contudo, por se tratar de horizontes de até alguns anos, deve-se considerar uma taxa de juros na manipulação destes custos. A principal meta desta consideração é poder trazer, para o início do horizonte de estudo (valor presente dos custos), o custo total resultante do planejamento da operação energética. Para este fim, utiliza-se o conceito do valor presente11 de um custo futuro simples.

Para horizontes de planejamento discretizados uniformemente (com intervalos de tempo com a mesma duração), a equação abaixo determina o valor presente VP do custo

futuro F localizado no intervalo t:

t i F VP

) 1 (

1

+ ⋅

= (3.18)

onde i é a taxa de juros efetiva para cada intervalo do horizonte de planejamento.

A taxa de juros efetiva por intervalo é determinada pela equação abaixo:

c r

i= (3.19)

onde r é a taxa de juros nominal (taxa média de juros) e c é o número de intervalos que um ano tem quando discretizado com o tamanho do intervalo no qual a taxa de juros efetiva é empregada.

Para horizontes com discretização mista, deve-se calcular a taxa de juros efetiva de cada sub-horizonte. Um custo futuro deve ser transferido para o início do sub-horizonte em que esteja situado, e depois transferido para o início dos sub-horizontes adjacentes até o início do horizonte de planejamento. Em [CICOGNA (1999)], nota-se que quanto mais longe do início do horizonte de planejamento localiza-se o custo futuro, menor é o seu valor presente.

11 _{O valor presente é localizado no início do primeiro intervalo de tempo do horizonte do planejamento}

Assim sendo, o custo de operação, Ct, ao longo do intervalo t, em alguma unidade

monetária $ pode ser dado por:

2

t t

t VP E

C = ⋅ (3.20)

onde:

VPt: representa o coeficiente de valor presente do custo de operação do sistema

gerador no intervalo t;

Et: geração média das fontes não-hidráulicas durante o intervalo t, calculado por:

< ≥ − = t t t t t t t H D para H D para H D E , 0 , (3.21)

Dt: demanda média durante o intervalo t.

Ht: geração média total das usinas hidroelétricas durante o intervalo t.

Para cada intervalo de tempo, o sistema hidrotérmico tem como custo de operação o custo do sistema não-hidráulico complementar, Ct, o qual depende da demanda Dt e da

geração hidráulica Ht. Ou seja, para uma demanda Dt e uma geração hidroelétrica Ht, o

custo de operação pode ser dado também por:

< ≥ − ⋅ = t t t t t t t t H D para H D para H D r C , 0 , ) ( 2 (3.22)

A modelagem do parque termoelétrico e da demanda de energia elétrica, em termos da função objetivo, simplifica o planejamento hidrotérmico transformando-o num problema exclusivamente hidroelétrico. A função objetivo, ilustrada abaixo, é composta pelo custo operacional durante o período de planejamento. O custo operacional representa o custo de geração complementar a partir de recursos não-hidráulicos como geração térmica, importação de mercados vizinhos ou déficit de energia (racionamento).

= ⋅ T t t t E VP 1 2

Na formulação do problema do planejamento da operação energética, emprega-se, adicionalmente, na função objetivo, uma função, aqui denominada CAEFAR12(.). Esta função representa o custo associado ao estado final de armazenamento dos reservatórios. O objetivo desta função é estabelecer um compromisso entre o benefício associado com o uso da água para geração de energia elétrica durante o período do planejamento e o benefício esperado no futuro, advindo do seu armazenamento; assim sendo, esta função visa equilibrar os custos operacionais do uso da água no planejamento de curto prazo, com os custos futuros a médio prazo. Desta forma, a função CAEFAR(.) pode ser entendida como

uma condição de contorno (ou condição terminal) para o último intervalo de tempo do horizonte de planejamento [MARTINEZ et al. (2002)]. Outra forma de se estabelecer uma condição de contorno para o último intervalo de planejamento da operação baseia-se na fixação do estado final dos reservatórios. Para isto, basta estabelecer valores de volumes operativos máximos e mínimos para o ultimo intervalo de planejamento.

A condição de contorno, associada à formulação do problema do planejamento da operação energética, tem como objetivo permitir que a solução seja consistente com a operação contínua do sistema, já que o sistema não deixa de operar com o final do horizonte de planejamento. No caso de nenhuma condição de contorno associada ao estado final de armazenamento do reservatório, o processo de otimização está livre para utilizar toda13 a água disponível no sistema, ao longo do período de planejamento, para geração de energia elétrica e redução do custo operacional (custo de operação não-hidráulico).

A influência da condição de contorno na solução ótima é relevante, sobretudo quando o horizonte do planejamento é de poucos meses [MARTINEZ (2001)]. Uma forma de superar o problema de se obter uma condição de contorno apropriada para o problema é estender o horizonte de planejamento de maneira a tornar desprezível a influência da condição nas decisões ótimas dos primeiros estágios de otimização14. No entanto, este tipo

12 _{Custo Associado ao Estado Final de Armazenamento dos Reservatórios.}

13 _{A utilização da água deve, porém, respeitar as restrições de defluência, dos limites operativos e físicos de}

armazenamento, bem como outras restrições associadas ao uso múltiplo da água.

de consideração pode não favorecer o desempenho de abordagens15 _{a usinas} individualizadas baseadas em previsão de vazões. Isso ocorre, porque com a extensão do horizonte de planejamento, o erro na estimação das vazões afluentes tende a aumentar. Por outro lado, estabelecer horizontes de planejamento mais curtos, em que os modelos de previsão de vazões possam ter um melhor desempenho, requer uma estimativa precisa da condição de contorno visto que, neste caso, a sua influência sobre as decisões ótimas do problema passa a ser crucial.

A condição de contorno, adotada neste trabalho, é a função de custo associado ao estado final de armazenamento dos reservatórios. Este custo final pode ser obtido em função da energia armazenada no sistema, no último intervalo de planejamento e, representa a função de custo esperado futuro da operação do sistema. Desta forma, a função objetivo do planejamento da operação energética fica:

) ( min 1 2 T T t t

t E CAEFAR e

VP ⋅ +

=

(3.24)

A função de custo esperado futuro da operação pode ser definida como uma função polinomial da energia armazenada no sistema da seguinte forma:

n T n T

T

T a a e a e a e

e

CAEFAR( )= ₀ + ₁⋅ + ₂⋅ 2 +...+ ⋅ (3.25)

onde eT representa a energia armazenada no sistema no intervalo final T.

Dessa forma, a partir do volume armazenado no estágio final de planejamento pode-se determinar a energia armazenada no sistema e, associada a essa energia armazenada, tem-se o custo esperado futuro da operação do sistema:

A energia armazenada no sistema no intervalo final T é dada por:

= − ⋅ = N i i T i T i ac c T i

T x f p x x

e 1 min , , , ) ( )

( (3.26)

onde:

fc: fator de conversão de unidades (1/s);

paci,T: produtividade média acumulada da usina i no intervalo final T.

O fator de conversão é dado por:

T c

t f

∆ =

6

10

(3.27)

onde tT é o número de segundos do intervalo final T.

A produtividade média acumulada pode ser compreendida como o valor que a água armazenada no reservatório de uma usina possui, em termos energéticos, quando essa água é turbinada pela usina e pelas demais usinas a jusante dela. Assim, a produtividade média acumulada é composta pela produtividade média da usina em questão e, pela soma das produtividades médias das usinas a jusante desta:

Φ ∈

+ =

i k

T k T

i T i

ac _{p p}

p , _{, ,} (3.28)

onde:

pi,T: produtividade média da usina i no intervalo final T;

i: conjunto de todas as usinas a jusante da usina i até o final da cascata de estudo.

A produtividade individual de uma usina hidroelétrica é obtida pelo produto da produtibilidade específica por uma altura de queda líquida média no intervalo em estudo. Esta altura de queda líquida pode ser entendida como a altura média de queda que existiria no intervalo de planejamento, caso o reservatório fosse esvaziado partindo de seu volume armazenado xi,T até atingir seu volume mínimo operativo ximin.

med T i i T

i k hl

p_, = ⋅ _, (3.29)

onde:

ki: produtibilidade específica da usina i;

hli,tmed: altura de queda líquida média da usina i durante intervalo final T.

med T i med T i med T i med T

i hmon hjus hp

hl_, = _, − _, − _, (3.30)

O nível médio de montante equivale à altura com área equivalente à área abaixo do polinômio do nível de montante para a faixa de volume que representa o esvaziamento do reservatório, ou seja:

− = T i i x x i T i med T

i hmon x dx

x x hmon , min ) ( 1 min ,

, (3.31)

O nível médio do canal de fuga é um dado encontrado no cadastro das usinas da Eletrobrás. A perda de carga média é determinada da seguinte forma:

⋅ − ⋅ = i med med i med T i med i q c c hjus hmon c hp 2 , ) ( (3.32)

onde a primeira forma é uma porcentagem c da altura média de queda bruta, a

segunda é uma constante e a terceira é função da turbinagem média da usina.

A igualdade (3.33) representa a restrição de atendimento à demanda de energia elétrica no intervalo t. Esta igualdade é enfatizada, pois o planejamento da operação de sistemas hidrotérmicos de potência visa o atendimento dos requisitos de energia elétrica do sistema com economia e confiabilidade [CARNEIRO et al. (1988)].

t t

t D H

E = − ,∀t (3.33)

A geração hidráulica do parque hidroelétrico, no estágio t, é representada pela

equação (3.34), dada pelo somatório das funções de produção hidráulica de cada usina hidroelétrica. Nesta equação, a primeira expressão entre colchetes ([]) logo após a constante de produtibilidade específica k, de cada usina, representa a altura de queda líquida da usina

i. Neste ponto vale ressaltar que, a função de produção hidráulica é empregada em

Já a segunda expressão entre colchetes ilustra a adoção da hipótese operativa16 que uma usina só verte quando não pode mais turbinar. Para ilustrar a relevância desta hipótese, considere uma usina hidroelétrica com uma vazão turbinada inferior ao seu engolimento máximo, concomitantemente, vertendo certa vazão. Uma parcela desta vazão vertida poderia passar pelas turbinas, a fim de incrementar a geração de energia da usina. Esta parcela do vertimento que poderia ser transformada em energia elétrica recebe o nome de vertimento turbinável. Para sistemas hidrotérmicos em que o mercado de energia elétrica não pode ser atendido somente pelo parque hidroelétrico, não ocorrem vertimentos turbináveis. Neste caso, sempre existe energia não-hidráulica a ser substituída por energia hidroelétrica, uma vez que o sistema hidroelétrico não consegue atender completamente o mercado. As usinas hidroelétricas, então, devem produzir o máximo de energia possível e isto implica em turbinar uma vazão igual ao engolimento máximo, considerando-se a altura de queda líquida disponível. Com isso, o vertimento será uma vazão excedente, ou seja, ocorrerá somente no caso da vazão defluente necessária ser maior que o engolimento máximo da usina. Como a vazão defluente será totalmente turbinada até que a usina atinja seu engolimento máximo, o vertimento só ocorrerá como um excesso acima do engolimento máximo da usina. Desta forma, a função de produção hidráulica pode ser escrita como uma função da defluência e do volume. Isto porque, no caso da vazão defluente ser menor que o engolimento máximo, a vazão turbinada será o próprio valor da vazão defluente. Para o caso da vazão defluente ser maior que o engolimento máximo, a vazão turbinada será o engolimento máximo, e a vazão vertida será a diferença entre a vazão defluente e a vazão turbinada. Com estas considerações, o problema passa a ter apenas duas variáveis de decisão (o volume armazenado no reservatório e a vazão defluente).

[

]

t k h x h u h x q v u q

H 1 max , , , , , ,

, ) ( ) ( , , )].min

(

.[ ,∀i,t (3.34)

16 _{Desta forma, a vazão vertida ocorre quando a quantidade de água que chega à usina é maior que o seu}

A equação de igualdade (3.35) representa a restrição de balanço de água (conservação da água) no reservatório. Esta restrição está mais bem ilustrada na Figura 8 pela representação de três usinas hidroelétricas com reservatório. A equação de balanço hídrico indica que o volume final no estágio t (início de t+1) é igual ao volume inicial para

esse estágio mais as vazões de entrada (vazão defluente das usinas imediatamente a montante e vazão lateral) menos as vazões de saída (turbinagem e vertimento). Termos referentes à evaporação e infiltração não são considerados, por questão de simplicidade.

[

]

, , ,

1 ,

, = + + − ) ⋅ (∆ )÷10

Ω ∈

− t

i k

t i t k t

i t

i t

i x y u u t

x ,∀i,t (3.35)

Figura 8 - Balanço hídrico.

A vazão defluente é a soma da vazão turbinada e da vazão vertida e está representada pela equação (3.36). Como o vertimento não traz nenhum ganho, é tratado como uma variável de folga acionada somente quando a vazão defluente da usina for maior que o seu engolimento máximo. Dessa forma, conforme supracitado, a função de produção é crescente até o engolimento máximo das turbinas, permanecendo constante ou mesmo caindo ligeiramente devido à influência do vertimento sobre o canal de fuga da usina.

t i t i t

i q v

u_, = _, + _, ,∀i,t (3.36)

armazenamento de um reservatório pode variar no tempo em função, por exemplo, do uso do reservatório para fins recreativos e de turismo. Já o limite máximo de armazenamento de um reservatório pode variar no tempo em função das restrições de controle e segurança de cheias. O limite mínimo para a defluência de uma usina está relacionado com o aproveitamento do manancial hidráulico a jusante da usina. Podem ser citados, como exemplos, as restrições de navegação do manancial e utilização da água para irrigação. Ambas exigem que o manancial respeite uma determinada cota mínima, acima da qual a navegação é permitida e a captação da água para fins de irrigação possa ser realizada.

) ( ) ( ) ( max

min _{t x t x t}

x_i ≤ _i ≤ _i , ∀i,t (3.37)

) ( ) ( ) ( max min t u t u t

u_i ≤ _i ≤ _i , ∀i,t (3.38)

Os volumes iniciais dos reservatórios, xi,0, são dados. Assim, tem-se:

dados

xi,0 , ∀i (3.39)

A formulação do planejamento energético a usinas individualizadas, para sistemas hidrotérmicos de geração, pode então ser estabelecida como a minimização do custo operacional do sistema, ao longo de todo o horizonte de planejamento [1, T], e é dada por:

) ( min 1 2 T T t t

t E CAEFAR e

VP ⋅ +

=

(3.23)

sujeito a:

E_t =D_t −H_t ,∀t (3.24)

[

]

t k h x h u h x q v u q

H 1 max , , , , , ,

, ) ( ) ( , , )].min

(

.[ ,∀i,t (3.25)

[

]

, , ,

1 ,

, = + + − ) ⋅ (∆ )÷10

Ω ∈ − t i k t i t k t i t i t

i x y u u t

x ,∀i,t (3.26)

u_i,t =q_i,t +v_i,t,∀i,t (3.27)

min() ( ) max( )

t x t x t

x_i ≤ _i ≤ _i , ∀i,t (3.28)

min( ) () max()

t u t u t

x_i,0 dados, ∀i (3.30)

sendo:

T - número de intervalos de tempo;

N - número de usinas hidroelétricas do sistema;

VPt - coeficiente de valor presente do custo futuro de operação do sistema gerador

Et - geração total de energia usando fontes não-hidráulicas durante o intervalo t;

Ht - geração de energia hidroelétrica total durante o intervalo t;

Dt - demanda a ser atendida durante o intervalo t;

xi,t - volume do reservatório da usina i no final do intervalo t;

hmon,(xi,t) - altura de montante da usina i durante o intervalo t;

hjus,(ui,t) - altura de jusante da usina i durante o intervalo t;

) , , ( médioi,t _{i,t i,t}

p x q v

h - perda de carga da usina i durante o intervalo t;

max min_,

i

i x

x - limites operacionais, mínimo e máximo, de armazenamento no reservatório i;

ui,t - vazão defluente da usina i durante o intervalo t;

max min_,

i

i u

u - limites operacionais, mínimo e máximo, de vazão defluente da usina i;

qi,t - vazão turbinada pela usina i durante o intervalo t;

vi,t - vazão vertida pela usina i durante o intervalo t;

yi,t - vazão incremental afluente à usina i durante o intervalo t;

k - constante que engloba aceleração da gravidade, densidade da água, rendimento

turbina-gerador e fatores de conversão de unidades;

qimáx - engolimento máximo da usina i;

i

Ω - conjunto dos índices dos reservatórios imediatamente a montante do

reservatório i;