Cap´ıtulo 5
La Transformada de Laplace
La principal ventaja de la transformada de Laplace sobre la transformada de Fourier radica en que la primera es aplicable a un mayor n´umero de funciones. Como veremos, fundamentalmente se usa para resolver problemas de valores iniciales relativos a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
5.1.
Definici´
on y dominio de convergencia
En todo lo que sigue, supondremos que f : [0,+∞)→ R es una funci´on
integrable Riemann en cada intervalo finito (a, b)⊂(0,+∞). Si f es una tal funci´on, se define su transformada (de Laplace) F(p) por
F(p) = Z +∞
0
e−ptf(t)dt,
El dominio deF(p) est´a formado por todos losp∈Rpara los que la integral
es convergente (la integral tambi´en puede ser impropia en el origen).
Ejemplo 5.1.1. Sif(t)≡1, entonces
F(p) = Z +∞
0
e−ptdt= l´ım b→+∞
Z b
0
e−ptdt =
= l´ım b→+∞
he−pt
−p
it=b
t=0 =
= l´ım b→+∞
µ
1−e−pb
p
¶ = 1
p.
En este caso el dominio de la transformada es (0,+∞).
Sobre el dominio de convergencia se tiene el siguiente resultado
Teorema 5.1.2. Si la integral R+∞
0 e−p0tf(t)dt converge absolutamente,
en-tonces
Z +∞
0
e−ptf(t)dt
tambi´en converge absolutamente para cada p≥p0.
DEMOSTRACI ´ON: Para cada t ≥0 yp≥p0, tenemos
|f(t)·e−pt|=|f(t)·e−p0t·e(p0−p)t| ≤ |f(t)| ·e−p0t,
dado quee(p0−p)t≤1. Por tanto, el criterio de mayoraci´on nos permite asegu-rar que la integral R+∞
0 e−
ptf(t)dt converge absolutamente para cada p≥p
0.
¤
El Teorema precedente motiva la siguiente definici´on:
r(f) = ´ınf{p: Z +∞
0
e−pt|f(t)|dt converge}.
a)r(f) es finito. Si este es el caso, para cada p > r(f) converge absoluta-mente la integral R+∞
0 e
−ptf(t)dt. b)r(f) = −∞. La integral R+∞
0 e
−ptf(t)dt converge absolutamente para cada p∈R.
c) r(f) = +∞. En este caso la integral nunca converge absolutamente. Para tales funciones no tiene inter´es la transformada de Laplace.
Vemos que, en general, hay convergencia absoluta en una semirrecta de ecuaci´on p > r(f) que, por esta raz´on, se denominasemirrecta de conver-gencia de la transformada de f.
Vamos a estudiar ahora una clase suficientemente general de funciones para las que no se da la situaci´on desagradable c). Es decir, para las que la semirrecta de convergencia no se reduce al vac´ıo. Una funci´on f : [0,+∞)→
Rse dice que es deorden exponencialγ si existen constantesM y t0, tales
que
|f(t)| ≤M ·eγt, para todot≥t0.
Teorema 5.1.3. Si f es una funci´on de orden exponencial γ, entonces
Z +∞
0
e−ptf(t)dt
converge absolutamente para p > γ.
DEMOSTRACI ´ON: Para cada t ≥t0 y p > γ, tenemos
|e−ptf(t)|=|f(t)| ·e−pt≤M ·e(γ−p)t.
Como la integral R+∞
0 e(γ−p)tdtes obviamente convergente, sigue del teorema
de mayoraci´on que la integralR+∞
t0 e−ptf(t)dtconverge absolutamente. Ahora basta usar la aditividad de la integral impropia para deducir la convergencia absoluta de R+∞
0 e−ptf(t)dt. ¤
5.2.
Propiedades elementales
Las siguientes propiedades ser´an de gran utilidad en la pr´actica.
1)Primera propiedad de traslaci´on. Si g(t) =eat·f(t), entonces su trans-formada viene dada por G(p) =F(p−a), para cada a ∈ R. En efecto, por
definici´on, se tiene
G(p) = Z +∞
0
e−pteatf(t)dt=
= Z +∞
0
e−t(p−a)f(t)dt=F(p−a).
La semirrecta de convergencia de G(p) viene dada porp−a > r(f).
2) Segunda propiedad de traslaci´on. Si a ≥ 0 y g es la funci´on definida por
g(t) = (
f(t−a) si t≥a
0 si t < a,
entonces G(p) =e−apF(p). Recurriendo de nuevo a la definici´on, obtenemos
G(p) = Z +∞
0
e−ptg(t)dt= Z +∞
a
e−ptf(t−a)dt.
Haciendo el cambio de variable u=t−a, resulta
G(p) = Z +∞
0
e−p(u+a)f(u)du=
=e−pa Z +∞
0
e−puf(u)du=e−paF(p).
3) Cambio de escala. Si g(t) = f(at), entonces G(p) = 1aF(pa), siendo
a >0. En efecto, haciendo el cambio de variables u=at, resulta
G(p) = Z +∞
0
e−ptf(at)dt=
= 1
a
Z +∞
0
e−puaf(u)du = 1
v´alido para p > a·r(f).
4) Transformada de una funci´on peri´odica. Sea f una funci´on peri´odica de periodo T. Para cada p > r(f), tenemos por definici´on que
F(p) = l´ım b→+∞
Z b
0
e−ptf(t)dt,
Luego, en particular, se verifica
F(p) = l´ım n→+∞
Z n
0
e−ptf(t)dt.
Por la aditividad de la integral, resulta
F(p) = ∞ X
n=0
Z (n+1)T
nT
e−ptf(t)dt. (5.1)
Teniendo en cuenta que f(u+nT) =f(u) y haciendo el cambio de variable
t =u+nT, podemos convertir cada integralR(n+1)T
nT e−ptf(t)dten una integral sobre el intervalo [0, T]:
Z (n+1)T
nT
e−ptf(t)dt = Z T
0
e−p(u+nT)f(u+nT)du=e−pnT
Z T
0
e−puf(u)du.
Si sustituimos la expresi´on obtenida en (5.1), queda finalmente
F(p) = Ã ∞
X
n=0 e−pnT
! Z T
0
e−puf(u)du=
= µ
1 1−e−pT
¶ Z T
0
e−puf(u)du.
5.3.
La funci´
on escal´
on unidad de Heaviside
Se llama funci´on escal´on unidad (o funci´on de Heaviside) a la definida poru(t) = (
En el ejemplo inicial hemos obtenido su transformadaU(p) = 1
p(parap > 0). Una funci´on escal´on unidad con el salto ent0se puede expresar en la forma
u(t−t0). La transformada de esta funci´on se puede determinar aplicando la segunda propiedad de traslaci´on;
L(u(t−t0))(p) =e−t0p·U(p) = e
−t0p
p .
La funci´onu(t−t0) es muy ´util cuando se trabaja con funciones
escalon-adas, pues ´estas se pueden expresar como combinaciones adecuadas de aqu´el-las.
Ejemplos 5.3.1. 1. La funci´on escalonada definida por
f(t) = (
1 sit∈[0,2) 0 en el resto,
se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside en la forma f(t) =
u(t)−u(t−2) y su transformada ser´ıa F(p) = 1p − e−2p
p . 2. Consideremos la funci´on
f(t) =
1 sit ∈[0,2) 2 sit ∈[2,4) 0 en el resto
En t´erminos de la funci´on escal´on unidad, adopta la forma
f(t) = u(t)−u(t−2) + 2[u(t−2)−u(t−4)] =u(t) +u(t−2)−2u(t−4). Para su transformada se obtiene f´acilmente F(p) = 1
p + e−2p
p −2 e−4p
p .
5.4.
Transformada de la derivada
Supongamos que f es una funci´on derivable para t > 0 y de orden ex-ponencial. Si F(p) denota, como es usual, la transformada de Laplace de f
entonces la transformada de su derivada viene dada por
En efecto, por ser f de orden exponencial, existen constantes positivas M, γ
y t0, tales que|f(t)| ≤M ·eγt para t≥t0. Sigue que, para p > γ, se verifica l´ımb→+∞f(b)e−pb= 0, pues:
|f(b)|e−pb ≤M·e(γ−p)b,
para cada b ≥ t0. Ahora, aplicando la f´ormula de integraci´on por partes en la integral parcial Rb
0 e
−ptf(t)dt, resulta Z b
0
e−ptf(t)dt = ·
e−pt
−pf(t)
¸t=b
t=0
+1
p
Z b
0
e−ptf′(t)dt =
= f(0)
p −f(b) e−pb
p +
1
p
Z b
0
e−ptf′(t)dt.
Si p > γ, existe el l´ımite y es finito, cuando b → +∞, del miembro m´as a la izquierda en la cadena de igualdades anterior, lo que nos asegura que R+∞
0 e−ptf′(t)dt es convergente y nos permite obtener F(p) = f(0)
p +
1
pL(f
′)(p).
Si la integral R+∞
0 e−
ptf(t)dt es impropia en cero, la demostraci´on es ligera-mente diferente y se obtiene la relaci´on
L(f′)(p) =pF(p)−f(0+),
pero, por simplicidad, normalmente consideraremos s´olo el caso en que la integral es impropia de primera especie.
Por aplicaci´on reiterada de (5.2), puede obtenerse la siguiente expresi´on para la transformada de la derivada n-´esima:
L(fn))(p) =
=pnF(p)−pn−1f(0)−pn−2f′(0)− · · · −fn−1)(0),
v´alida para una funci´on f que sea n veces derivable en (0,+∞) y con las
5.5.
Transformada del Producto de
Convolu-ci´
on
Con ocasi´on del estudio de la transformada de Fourier, vimos que Z ∞
−∞
(u∗v)(x)dx= µZ ∞
−∞
u(t)dt
¶
·
µZ ∞
−∞
v(t)dt
¶
,
donde u y v son absolutamente integrables en (−∞,+∞). Si f y g son funciones reales definidas en [0,+∞) y tomamospde modo que las integrales R+∞
0 e−ptf(t)dt e
R+∞
0 e−ptg(t)dt son absolutamente convergentes, podemos
definir f(t) = g(t) = 0 para cada t < 0 y aplicar la igualdad anterior a las funciones u(t) =e−ptf(t) y v(t) =e−ptg(t), obteniendo
Z ∞
−∞
(u∗v)(x)dx= µZ ∞
−∞
e−ptf(t)dt
¶
·
µZ ∞
−∞
e−ptg(t)dt
¶ =
=L(f)(p)·L(g)(p) (5.3)
Finalmente, vamos a probar que (u∗ v)(t) = e−pt(f ∗ g)(t). En efecto, si escogemostde forma que el producto de convoluci´on (u∗v)(t) es convergente, tenemos
(u∗v)(t) = Z ∞
−∞
u(s)v(t−s)ds= Z t
0
u(s)v(t−s)ds,
por ser f(t) =g(t) = 0 para t <0. Sustituyendo ahora las correspondientes expresiones de u y v en t´erminos de f y g, resulta
(u∗v)(t) = Z t
0
e−psf(s)e−p(t−s)g(t−s)ds=e−pt Z t
0
f(s)g(t−s)ds =
L(f ∗g)(p) = L(f)(p)·L(g)(p),
que nos dice que la transformada del producto de convoluci´on de f y g es igual al producto de las transformadas de f y g.
Conviene resaltar el hecho (usado en la prueba anterior) de que el pro-ducto de convoluci´on de f y g se reduce a
(f ∗g)(x) = Z x
0
f(t)g(x−t)dt,
cuando f y g son nulas para x <0.
5.6.
Inversi´
on de la Transformada
Haciendo uso del Teorema de la integral de Fourier puede obtenerse una f´ormula de inversi´on para la transformada de Laplace.
Teorema 5.6.1. Sea f : [0,+∞)→Runa funci´on tal que ella y su derivada
f′ tienen s´olo un n´umero finito de discontinuidades de salto finito y seaα >0
tal que F(p) =R+∞
0 e
−ptf(t)dt converge absolutamente para p > α. En estas
condiciones se verifica
f(t+) +f(t−)
2 =
1
2π T→l´ım+∞ Z T
−T
e(a+iv)tF(a+iv)dv,
cualquiera que sea a > α.
En efecto, consideremos la funci´on auxiliarg(t) = e−atf(t) si t≥0 y que es nula para t < 0. Si aplicamos a g el Teorema de la integral de Fourier, resulta
g(t+) +g(t−)
2 =
1
2π T→l´ım+∞ Z T
−T
eivtF(g)v)dv.
Ahora podemos cambiar g(t) por e−atf(t) y, recordando que g(t) = 0 para
t <0, obtenemos
f(t+) +f(t−)
2 =
1
2π T→l´ım+∞ Z T
−T
eateivt
µZ +∞
0
e−iuv−auf(u)du ¶
= 1
2πT→l´ım+∞ Z T
−T
e(a+iv)t
µZ +∞
0
e−u(a+iv)f(u)du
¶
dv.
N´otese que la ´ultima integral representa la transformada de Laplace def en el punto a+iv.
Si t es un punto de continuidad de f, entonces el Teorema nos permite reconstruir el valor f(t), supuesto que se conocen los valores que toma su transformada sobre una recta x=a, mediante la expresi´on
f(t) = 1
2πT→l´ım+∞ Z T
−T
e(a+iv)tF(a+iv)dv,
siendo a cualquiera con tal de que a > α.
Al igual que en el caso de la transformada de Fourier, el problema que nos encontramos usualmente en las aplicaciones es el de, conocida la transformada
F(p), determinar la funci´on originalf(t). Desgraciadamente, la transformada de Laplace no es un´ıvoca (dos funciones distintas pueden tener la misma transformada). No obstante, el Teorema precedente prueba que s´olo existe una funci´on continua en [0,+∞) que tenga por tansformada una funci´on dada
F(p). Esto ser´a suficiente en la mayor´ıa de las aplicaciones, pues usualmente manipularemos funciones que son incluso derivables con continuidad.
5.7.
Aplicaciones de la Transformada de Laplace
digna de destacarse es la de que puede aplicarse este m´etodo a ecuaciones que contienen funciones con discontinuidades.
Por las razones que se ponen de manifiesto a continuaci´on, el m´etodo de la transformada de Laplace s´olo es aplicable a ecuaciones diferenciales (o sistemas) lineales, tanto ordinarias como en derivadas parciales.
Para que sirva como bot´on de muestra, consideramos el problema de valor inicial siguiente:
(
a2y′′+a1y′ +a0y=f(t)
y′(0) = a, y(0) =b,
donde los coeficientes ai son constantes. Si aplicamos la transformada de Laplace en ambos miembros y usamos las expresiones obtenidas con anteri-oridad para las transformadas de y′′ e y′, resulta
a2
¡
p2Y(p)−py(0)−y′(0)¢
+a1(pY(p)−y(0)) +a0Y(p) =F(p).
Ahora incorporando las condiciones iniciales y reordenando los t´erminos, obtenemos
¡
a2p2+a1p+a0
¢
Y(p) =F(p) +a2(bp+a) +a1b.
En la igualdad anterior puede despejarse siempre Y(p) (la transformada de
y(t)) que tiene la forma
Y(p) = F(p) +a2(bp+a) +a1b
a2p2+a1p+a0 .
La funci´on que buscamos, y(t), es dos veces derivable y, por tanto, contin-ua. Entonces tiene sentido escribir y = L−1Y pues, como hemos dicho al estudiar la inversi´on de la transformada, s´olo hay una funci´on continua cuya transformada seaY(p). Para encontrary(t), se descompone en suma de frac-ciones simples la expresi´on obtenida para Y(p) y se hace uso de una tabla de transformadas.
Ejemplos 5.7.1. 1. Una masa de 9 Kg est´a atada (ver figura) a un resorte cuya constante el´astica es k. En el instante inicial (t = 0) se aparta de su posici´on de equilibrio x0 m y se suelta sin velocidad inicial. Encontrar la posici´on x(t) de la masa para t >0 (se desprecia el rozamiento).
k
m
X
O
Se escoge como origen de coordenadas el punto donde est´a la masa cuando el resorte est´a en equilibrio, y se denota la posici´on de la masa en el instante
t por x(t). Sobre la masa s´olo act´ua la fuerza el´astica del resorte −kx, luego la segunda ley de Newton nos permite escribir
9¨x=−kx,
con las condiciones inicialesx(0) =x0 yx˙(0) = 0. Aplicando la transformada
de Laplacea a ambos miembros de la ecuaci´on de movimiento, resulta
9(p2X(p)−px(0)−x˙(0)) =−kX(p).
Incorporando las condiciones iniciales y reagrupando t´erminos, obtenemos
X(p) = 9px0
9p2 +k =x0
Ã
p p2+ k
9
!
Si consultamos la tabla de transformadas, vemos que p2p+k 9
es la trans-formada de cos(qk
9)t. Luego X(p) = L(x0cos(
√ k
3 )t), de donde obtenemos x(t) = x0cos(√3k)t.
2. Consideramos nuevamente el sistema resorte-masa del ejercicio anteri-or, pero ahora suponemos que existe una fuerza amortiguadora constante de 2 N. Calcular x(t) para cada t >0.
En este caso, la resultante de las fuerzas que act´uan sobre la masa es
−kx+2. Por tanto, la ecuaci´on de movimiento viene dada por9·x¨=−kx+2. Tomando transformada de Laplace en ambos miembros, se obtiene
9(p2X(p)−px0) =−kX(p) + 2
p.
Despejando X(p), resulta
X(p) = 2
p(9p2+k) + x0p p2+k
9 .
Ahora descomponemos en suma de fracciones simples el primer sumando del segundo miembro y obtenemos
X(p) = 2
kp−
2p k(p2+ k
9)
+x0 p p2 +k
9
= 2
kp+ (x0−
2
k) p p2 +k
9 .
Usando la tabla de transformadas, encontramos
X(p) = 2
kL(1) + (x0−
2
k)L(cos( √
k
3 )t),
de donde sigue que
x(t) = 2
k + (x0−
2
k) cos( √
k
3 )t. 3) Resolver el siguiente problema de contorno
∂u ∂t =k·
∂2 u
∂x2 t, x >0
u(x,0) =A u(0, t) =B
Vamos a usar la transformada de Laplace con respecto a t. Si denotamos la transformada de Laplace de u(x, t)(para cada x) por U(x, p), aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on del calor resulta:
U −A=k·∂ 2U
∂x2, (5.5)
donde se ha tenido en cuenta la condici´on inicial u(x,0) = A. Se trata de una ecuaci´on lineal de segundo orden (para cada valor de x). La soluci´on de la ecuaci´on homog´enea
k· ∂ 2U
∂x2 −pU = 0
tiene la forma
U(x, p) =c1e(√pk)x+c2e−(
√p k)x,
donde c1 y c2 no dependen de x, pero s´ı pueden depender de p. Se comprue-ba f´acilmente que U0(x, p) = A
p es una soluci´on particular de la ecuaci´on
completa; por tanto, la soluci´on general de (5.5) viene dada por
U(x, p) = A
p +c1e (√pk)x
+c2e−(√pk)x
. (5.6)
La condici´on de que l´ımx→∞u(x, t) existe y es finito para cada t > 0 con-duce, sin m´as que conmutar la integral con el l´ımite en la definici´on de la transformada de Laplace, a que U(x, p) verifique la condici´on an´aloga:
existe y es finito l´ım
x→∞U(x, p) (∀p >0).
Para que (5.6) satisfaga esta limitaci´on debe ser c1 = 0. Para determinar c2, usaremos la condici´on de contorno u(0, t) =B. Si tomamos la transformada de Laplace en esta igualdad, resulta U(0, p) = B
p, por lo que la soluci´on final
de la ecuaci´on (5.5) viene dada por
U(x, p) = A
p
³
1−e(√kp)x ´
+B
Ahora vamos a usar la tablas para encontrar la transformada inversa. Recorde-mos que ec(t) es la funci´on de error complementaria que viene dada por
ec(t) = √2 π
Z ∞ t
e−s2ds.
En las tablas encontramos la igualdad
L(ec(√h
t))(p) =
1
pe
−2h√p p, h >0,
que, en nuestro caso, aplicamos con h= x
2√k para obtener
u(x, t) = (B−A)ec( x
2√kt) +A.
F´acilmente se comprueba que u(x, t) verifica todas las condiciones del prob-lema de contorno planteado.
5.8.
La funci´
on delta de Dirac
La funci´on impulso instant´aneo o delta de Dirac no es en reali-dad una funci´on. Es habitual decir que se trata de una funci´on generalizada definida por
δ(t) = (
0 si t6= 0
∞ si t= 0
Para entender mejor su significado, vamos a recurrir a la siguiente aplicaci´on a la mec´anica.
Empezamos recordando el concepto de impulso en mec´anica. Si una fuerza F(t) act´ua sobre un cuerpo de masa m entre los instantes t1 y t2,
se llama impulso ocasionado por F entre dichos instantes a la cantidad
I = Z t2
t1
F(t)dt.
Pero, por la segunda ley de Newton,F(t) =m·a(t) = m·v′(t), de donde resulta
I = Z t2
t1
F(t)dt=m
Z t2
t1
=m·(v(t1)−v(t2)).
Por tanto, el impulsoI representa la variaci´on de la cantidad de movimiento. Supongamos ahora que una fuerza muy grande act´ua en un intervalo peque˜no. Si empleamos la funci´on de Heaviside, podemos escribir
F = u(t)−u(t−ǫ)
ǫ =
(
0 sit /∈(0, ǫ)
1
ǫ sit∈(0, ǫ)
Si calculamos el impulso ocasionado por esta fuerza, obtenemos
I = Z ǫ
0
F dt = Z ǫ
0
u(t)−u(t−ǫ)
ǫ dt=
= Z ǫ
0 dt
ǫ = 1.
Vemos, pues, que una tal fuerza produce el impulso unidad o, lo que es lo mismo, provoca que la cantidad de movimiento var´ıe en una unidad. Por tanto, si deseamos provocar un impulso igual apcon una fuerza de este tipo, deberemos tomar
F =p
µ
u(t)−u(t−ǫ)
ǫ
¶
.
Con estas ideas en mente, nos enfrentamos ahora al problema de considerar una fuerza que act´ua instant´aneamente y, por ello, nada mejor que plantear un problema apropiado:
Una masa puntual demg cae libremente. A la vez que ponemos en marcha un cron´ometro, se da un martillazo (vertical y hacia arriba) a la masa que produce un impulso unitario. Encontrar la posici´on de la part´ıcula para cada instante t > 0, sabiendo que en el momento en que damos el martillazo la velocidad de la masa esra de v m.
En este problema la dificultad radica en que no sabemos expresar matem´ati-camente la fuerza instant´anea que supone el martillazo, pero podemos ayu-darnos de las ideas anteriores. Seg´un acabamos de ver, la funci´on
u(t)−u(t−ǫ)
puede interpretarse como una fuerza muy grande (1
ǫ) que act´ua durante un intervalo de tiempo muy peque˜no ((0, ǫ)) y produce un impulso unidad. Si vamos haciendo ǫ cada vez m´as peque˜no, la fuerza anterior se va pareciendo m´as y m´as al concepto que queremos atrapar.
Parece, pues, razonable expresar la fuerza instant´anea que se corresponde con el martillazo en la forma
l´ım ǫ→0
u(t)−u(t−ǫ)
ǫ
que se denotar´a por δ(t). Si la usamos, s´olo a nivel formal, para resolver el problema anterior, proceder´ıamos como sigue. Colocamos el origen de coor-denadas en el punto de partida y el eje OX positivo hacia abajo. Parat >0, hay dos fuerzas actuando sobre la masa, a saber: el peso y la fuerza instan-t´anea δ(t) que induce el martillazo . De nuevo aplicamos la segunda ley de Newton y obtenemos
m·a(t) =m·g−δ(t),
o en t´erminos de x(t)
m· d 2x
dt2 =m·g−δ(t),
junto con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x′(0) = 0. Para resolver este problema por el m´etodo de la transformada de Laplace, s´olo se necesita saber determinar la transformada de la funci´on δ(t). La definici´on precisa de δ(t), as´ı como una determinaci´on rigurosa de su transformada, caen bastante lejos de los objetivos de este libro. Por ello, nos vamos a limitar a dar una justifi-caci´on de la igualdad L(δ(t)(p) = 1, usando la representaci´on formal de δ(t)
dada por
δ(t) = l´ım ǫ→0
u(t)−u(t−ǫ)
ǫ
(con la segunda propiedad de traslaci´on, obtendr´ıamos la transformada de
δ(t−t0)). Para justificar la igualdad L(δ(t)(p) = 1, calculamos la
transfor-mada de la funci´on
u(t)−u(t−ǫ)
y a continuaci´on hacemos tender ǫ a 0. Por la linealidad de la transformada, tenemos
L
µ
u(t)−u(t−ǫ)
ǫ
¶ = 1
ǫ(L(u(t))−L(u(t−ǫ))) =
= 1 ǫ µ 1 p− e−ǫp p ¶ = e
−ǫp−1
−ǫp .
Si tomamos l´ımite cuando ǫ tiende a 0, con p fijo, se obtiene claramente el valor 1.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Hallar la transformada inversa de F(p) = 6p3p+45+4p2p+163 . Descomponemos F(p) en suma de fracciones simples
6p3+ 4p2+ 16 p5+ 4p3 =
A
p +
B p2 +
C p3 +
Dp+E p2+ 4 =
= p
4(D+A) +p3(B+E) +p2(4A+C) + 4Bp+ 4C
p3(p2+ 4) .
Si identificamos los coeficientes de los numeradores inicial y final, encon-tramos el sistema
A+D= 0
B+E = 6 4A+C= 4 4B = 0 4C = 16
F´acilmente se obtiene A =B =D = 0, C = 4 y E = 6. Por tanto, F(p) se descompone de la forma siguiente
6p3+ 4p2+ 16 p5+ 4p3 =
4
p3 +
6
p2+ 4.
Usando la tabla de transformadas encontramos
F(p) = 2 2
p3 + 3
2
p2+ 22 = 2L(t
Por tanto, f(t) = 2t2+ 3 sen 2t.
2. Expresar la funci´on escalonada siguiente en t´erminos de la funci´on escal´on unidad de Heaviside y encontrar su transformada de Laplace:
f(x) =
0 si x <−1 2 si −1≤x <0 1 si 0≤x
f(x) = 2u(x+ 1)−u(x) y su transformada es F(p) = 2epp − 1p = 2ep−1
3. Una masa est´a sujeta al extremo de un resorte vertical de constantek sus-pendido de un punto fijo. En el instante t= 0 se da un golpe instant´aneo hacia arriba que supone un impulso de I unidades. Encontrar la posici´on
x(t) para t >0.
Escogemos un eje OX vertical (con la direcci´on positiva hacia abajo) que contiene al resorte y siendo O el punto donde la masa que cuelga del resorte est´a en equilibrio (en ese punto se igualan el peso y la fuerza el´astica del resorte). La ecuaci´on de movimiento tiene la forma
mx¨=−kx+mg−Iδ(t),
junto con las condiciones iniciales sonx(0) = ˙x(0) = 0Aplicando la trans-formada a ambos miembros, obtenemos:mp2X(p) = −kX(p) +mg/p−I.
Por tanto,X(p) =mg/(p(mp2+k))−I/(mp2+k). Ahora descomponemos
en suma de fracciones simples 1
p(mp2+k) = A
p +
Bp+C mp2+k.
un c´alculo sencillo permite obtener A = 1/k, B = −m/k y C = 0. Por tanto, la transformadaX(p) tiene la forma
X(p) = (mg/k)1
p −(mg/k) p
p2+ (k/m) −(I/m)
1
p2+ (k/m).
Invirtiendo la transformada, resulta x(t) = (mg/k)¡
1−cos(p
k/m t)¢
−
(I/√km) sen(p
k/m t).
Este problema se podr´ıa resolver sin usar la delta de Dirac. Basta tener en cuenta que el efecto del martillazo ser´ıa el de aplicar una velocidad inicial a la masa. Esta velocidad se deduce de la relaci´on I = mv. Es decir,
˙
x(0) =−(I/m). Entonces la ecuaci´on de movimiento tendr´ıa la forma
mx¨=−kx+mg,
con las condiciones iniciales x(0) = 0 y ˙x(0) = −(I/m). Aplicando la transformada de Laplace, resulta
que es exactamente la expresi´on que se obtiene por el otro procedimiento. 4. Probar que la funci´on f(t) = t−1 no tiene transformada de Laplace.
La integral Z ∞
0 e−pt
t dt es impropia de tercera especie (es impropia en t = 0). Para estudiar su convergencia descomponemos la integral en dos de la forma
Z ∞
0 e−pt
t dt =
Z 1
0 e−pt
t dt+
Z ∞
1 e−pt
t dt. (5.7)
La integral propuesta es convergente cuando lo son las dos del segundo miembro. Vamos a ver que la primera de ellas es divergente. Para ello, hacemos el cambio de variablex= 1/t y se transforma en una de primera especie
Z 1
0 e−pt
t dt =−
Z 1
+∞
e−(p/x)
x dx=
= Z +∞
1
e−(p/x)
x dx.
Ahora aplicamos el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite con la inte-gral divergente
Z +∞
1 dx
x . Necesitamos calcular el l´ımite
l´ım x→+∞
e−p/x
x
1
x
= l´ım x→+∞e
−p/x=e0 = 1,
para cualquierp6= 0. Esto muestra que el car´acter de la primera integral del segundo miembro de (5.7) es el mismo que el de la utilizada para comparar, es decir, divergente.
5. Consideremos un circuito LC en serie sujeto a un voltaje constante F0. En el instante t= 1, el circuito recibe una fuerte descarga de voltaje 2F0. Encontrar la carga en funci´on del tiempo si Q(0) = ˙Q(0) = 0.
La ecuaci´on de movimiento tiene la forma
LQ¨+Q
siendo las condiciones iniciales Q(0) = ˙Q(0) = 0. Aplicando la transfor-mada de Laplace a ambos miembros, resulta
Lp2L(Q) + L(Q)
C =
F0
p + 2F0e
−p.
DespejandoL(Q), obtenemos
L(Q) = F0
p(Lp2 + (1/C)) +
2F0e−p Lp2+ (1/C).
Descomponiendo el primer sumando del miembro derecho en suma de fracciones simples, encontramos
L(Q) = F0C
p −
LCpF0 Lp2+ (1/C) +
2F0e−p
Lp2+ (1/C).
Para invertir la transformada m´as c´omodamente, escribimos ´esta de la forma siguiente
L(Q) = F0C
p −CF0
p
p2+ (1/√LC)2 + 2F0
r
C Le
−pL(sen(t/√LC).
Usando la tabla de transformadas, encontramos
Q(t) =
F0C−CF0cos(t/√LC) + 2F0qCLsen³√t−1 LC
´
si t≥1
F0C−CF0cos(t/√LC) si 0≤t≤1.
Vemos que el efecto de la descarga el´ectrica se traduce en la aparici´on, a partir del segundo 1, del sumando 2F0qCLsen³√t−1
LC ´
.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sif(t) es la funci´on de onda cuadrada con periodo 2 dada por
f(t) = (
1 sit∈(0,1) 0 sit∈(1,2) determinar su transformada.
Soluci´on: F(p) = 1−e−p
2. Hallar t∗eat.
Soluci´on: −(t/a) + (1/a2)(eat−1).
3. Usar el Teorema de convoluci´on para probar que
L−1F(p) p (t) =
Z t
0
f(u)du,
dondeF(p) =L(f)(p).
4. Determinar la transformada de Laplace def(t) = tn(n ∈N). Soluci´on: Aplicar la f´ormula de integraci´on por partes en la integral
Z +∞
0
tne−ptdt y deducir la relaci´onL(tn) = (n/p)L(tn−1). Entonces, a partir de la
igual-dad L(1) = 1/p, deducir que L(tn) = n!
pn+1.
5. Encontrar la soluci´on de y′′ +a2y = f(x) que verifica las condiciones
iniciales y(0) =y′(0) = 0. Soluci´on: y(x) = (1/a)
Z x
0
f(s) sena(x−s)ds, parax≥0.
6. Resolver el problema de valores iniciales (
y′′+ 4y= 4x
y(0) = 1, y′(0) = 5.
Soluci´on: y(x) =x+ 2 sen 2x+ cos 2x.
7. Usar la transformada de Laplace para resolver la ecuaci´on integral
y(x) =x3+ Z x
0
sen(x−t)y(t)dt.
8. Usar la transformada de Laplace para determinar la soluci´on del sistema (
x′ =x+y
y′ =−x+ 3y
que verifica las condiciones inicialesx(0) = 1, y(0) =−1. Soluci´on: x(t) =e2t−2te2t ey(t) =−e2t−2te2t.
9. Un circuito el´ectrico consta de una resistencia de R ohmios en serie con un condensador de capacidadC faradios, un generador de E voltios y un interruptor. En el instante t = 0 se cierra el interruptor. Si la carga en el condensador es cero en el instante t= 0, encontrar la carga y la corriente para t >0
