GERAL AXIOMAS SEGMENTOS ÂNGULOS BISSETRIZ TEOREMA FIM
GEOMETRIA PLANA
Estuda a parte das figuras geométricas que só tem 2
dimensões. AXIOMAS:
Ponto – determina localização Reta – Linha infinita Plano- Superfície plana
bidimensional Retas Concorrentes Retas Paralelas Segmento de Reta A B AB CARACTERÍSTICAS:
1-ÂNGULOS- Formado a partir de dois segmentos no vértice temos um ângulo.
2-ÁREA: Tamanho da Superfície 3-PERÍMETRO: Soma de todos os lados da figura. Ângulo Reto = 90° Agudo < 90° Obtuso > 90° FIGURAS GEOMÉTRICAS 1- TRIÂNGULO Ângulos do Triângulo Retângulo = 1 de 90° Obtusângulo = 2<90° 1>90° Acutângulo = 3< 90° Polígonos de três lados T. Isósceles Dois ângulos e lados iguais T. Equilátero Todos ângulos e lados iguais T. Escaleno Todos ângulos e lados diferentes 2- QUADRILÁTERO Polígonos 4 lados Quadrado 4 lados iguais Retângulo 2 lados iguais 3- CIRCUNFERÊNCIA Conjunto de todos os pontos em um plano 4- TRAPÉZIO
Bases paralelas, uma menor que a outra.
5- LOSANGO Paralelogramo composto por retas inclinadas @prof.sara.cristaldo FIGURAS GEOMÉTRICAS 1- TRIÂNGULO
AXIOMAS
AXIOMAS
• Ponto - Os pontos determinam uma localização
e são indicados com letras maiúsculas.
• Reta – Apresenta uma dimensão é ilimitada e
infinita, são representadas pela letra minúscula. Pode ser: Horizontal, Vertical e Inclinada. Se cruzarem, são retas transversais, se estiverem um ao lado da outra paralelas. Também
podemos estudar os segmentos, que são partes de uma reta. Próximo tópico.
• Plano- Diferente da reta que possui 1
dimensão, o comprimento, esta possui 2 dimensões, a largura e o comprimento. Representada por uma letra grega. (α alfa) • Ângulos – Quando duas retas formam um
vértice, quando se encontram, elas formam um ângulo(veremos mais para frente). Podem ser:
Reto=90°, Agudos < 90°, Obtusos >90°.
• Área – Calculo do tamanho da superfície,
quando maior a figura, maior a superfície. • Perímetro - Soma dos lados de uma figura
geométrica.
AXIOMAS
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POSTULADOS
1-Postulado da Existência
Infinitos pontos dentro e fora da reta. Assim como existem infinitos pontos dentro e fora de um plano.
2-Postulado da Posição Dado um ponto P, ou ele pertence a reta.
Escrevemos (P ∈ r)
Ou P não está em r ( P ∉ r):
Pode ser possível traçar uma reta entre dois
pontos. Pontos colineares.
Quando há a presença de três pontos, pode não ser possível traçar uma reta entre eles. Pontos não
colineares. Esses três
possíveis pontos determinam um plano que os contém, sendo assim coplanares
3-Postulado da Inclusão
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Se dois pontos fizerem parte de uma reta e estiver em um plano, então a reta pertencerá ao plano
Estes postulados são os mais importantes e os que mais costumam
ser cobrados em exercícios.
PRATIQUE
EXERCÍCIO 1
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
i. Três pontos distintos são sempre colineares. ii. Três pontos distintos são sempre coplanares. iii. Quatro pontos distintos determinam duas retas. iv. Por quatro pontos todos distintos pode passar uma
só reta.
v. Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares
Escolha a alternativa correta:
B - F, V, V, F, F A - V, V, F, V, F C - F, V, F, V, F D - F, V, F, F, F E - F, V, F, F, V RESPOSTA
AXIOMAS
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GABARITO “D”
i)Falso, pois três pontos distintos podem ser não colineares(FIGURA 1).
ii)Verdadeiro, pois se este três pontos são não-colineares, então eles determinam
um plano de acordo com o Postulado da determinação, logo são coplanares
iii)Falso, pois se estes quatro pontos forem colineares entre si, então eles
determinam uma única reta.
iv)Falso, uma vez que, dados 4 pontos distintos, podemos traçar até quatro
retas(FIGURA 2).
v)Falso, pois três pontos de um mesmo plano podem ser
não-colineares(FIGURA 3)
SEGMENTOS
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O segmento de reta é definido como
uma parte da reta, o qual está delimitada por dois pontos. Representado :
Gráfico
Literal
1.1-Quando possuem um ponto em comum; 1.2-Quando dois ou mais pontos distintos compartilham a mesma reta;
1.3-Quando possuem pontos em comum e por eles passa uma única reta;
1.4-Quando dois segmentos apresentam a mesma medida
1-Tipos de segmentos de reta
1.1-Consecutivos 1.2-Colineares
1.3-Adjacentes 1.4-Congruentes
SEGMENTOS
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2-Ponto médio do segmento de reta
O ponto médio de um segmento de reta define o meio do segmento.
Lê-se: o segmento AM é congruente ao segmento MB
SEGMENTOS
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PRATIQUE
1. Quantos segmentos de reta possui um cubo? a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
2. Quantos segmentos de reta possui o tetraedro e o triângulo? a) 6 e 3 b) 9 e 3 c) 10 e 3 d) 12 e 6 e) 14 e 6
SEGMENTOS
1-Ao analisarmos a figura, podemos concluir que o cubo possui 12 cantos, os quais são denominados arestas. As arestas, por sua vez, são segmentos de reta. Logo, o cubo possui 12 segmentos de reta.
Resposta: letra D.
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2-O triângulo é uma figura plana formada por 3 lados. Cada lado é considerado um segmento de reta. Já o tetraedro é uma figura geométrica espacial composto de 4 faces triangulares e 6 arestas. Logo, o tetraedro possui 6 segmentos de reta. Resposta: letra A.
SEGMENTOS
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RETAS TRANSVERSAIS
1-Posição Relativa de Duas Retas
Com o resultado da equação de duas retas, é possível verificar a existência ou não de pontos em comum. Veja:
SOLUÇÃO
I. Retas transversais: o sistema é
possível e determinado (um único ponto em comum).
II. Retas coincidentes: o sistema é
possível e determinado (infinitos ponto em comum).
III. Retas paralelas: o sistema é
impossível (nenhum ponto em comum).
1-Determine a posição relativa entre a reta r: x - 2y - 5 = 0 e a reta s: 2x - 4y - 2 = 0.
Para encontrar a posição relativa entre as retas dadas, devemos calcular o sistema de equações formado por suas retas, assim temos: -2X+4Y+10=0 (-2) 2X-4Y-2=0 0X + 0Y =8
Ao resolver o sistema por adição encontramos a seguinte equação 0y = - 8, como não existe solução para essa equação, ele é
impossível. Desta forma, as duas retas são paralelas.
2-Determine as coordenadas de um ponto P comum as retas r e s, cujas equações são x +
3y + 4 = 0 e 2x - 5y - 2 = 0, respectivamente.
Ou seja, são pontos congruentes, nessas coordenadas no plano cartesiano as retas se cruzam
ÂNGULOS
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ÂNGULOS
Ângulos são duas semirretas que
têm a mesma origem, no vértice, e são medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema Internacional. Tipos de Ângulos Agudo < 90 º Reto = 90º Obtuso > 90 º Raso > 90 º Complementares Somados = 90º Suplementares Somados = 180º
ÂNGULOS
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Ângulos Adjacentes Os ângulos adjacentes,
que são aqueles que não têm pontos comuns, podem ser
complementares ou suplementares. AÔC e AÔB possuem pontos internos
em comum. Logo, não são adjacentes.
AÔC e CÔB não possuem pontos internos em comum. Logo, são adjacentes complementares.
AÔB e AÔC não possuem pontos internos em comum. Logo, são adjacentes suplementares.
ÂNGULOS
GERAL AXIOMAS SEGMENTOS BISSETRIZ TEOREMA FIM Ângulos Congruentes
São aqueles que têm a mesma medida.
Ângulos Consecutivos
São aqueles que possuem em
comum um lado e um vértice.
Ângulos Opostos pelo Vértice
Ângulos opostos pelo vértice (OPV) são aqueles cujos lados se opõem aos lados de outro ângulo.
PRATIQUE
1. Na figura abaixo, a e b são retas paralelas.
O número que expressa, em graus, a medida do ângulo é:
4α + 60 - α + 180 - 2α - 90 = 180
ÂNGULOS
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• Ângulo agudo: quando a sua abertura em grau é maior do que 0° e menor
que 90°;
• Ângulo reto: quando a medida exata em abertura é de 90;
• Ângulo obtuso: quando a abertura é maior que 90° e menor que 180°;
• Ângulo raso: quando a medida tem exatamente 180°;
• Ângulo complementar: é a soma que resulta em 90°;
• Ângulo suplementar: é a soma de dois ângulos que resulta em 180°;
• Ângulo côncavo: quando a abertura é maior que 180° e menor que 360°;
• Ângulo completo: quando o ângulo possui abertura de 360°;
• Ângulo nulo: neste caso, o ângulo não possui abertura, ou seja, tem 0°;
• Ângulo adjacente: é definido por semirretas e medidas iguais, porém com
marcações em pontos diferentes.
BISSETRIZ ÂNGULOS
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BISSETRIZ
A bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, e que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida).
Os triângulos possuem
ângulos internos e externos, cada um deles possui uma bissetriz. O ponto de encontro dela é o incentro.
Interna: é a semirreta que
divide um ângulo interno qualquer;
Externa: é a semirreta que
divide o ângulo suplementar, ou seja, do ângulo externo. O ângulo suplementar é um ângulo que quando somado com o ângulo interno equivale a 180°.Bissetriz em vermelho.
TEOREMA BISSETRIZ
ÂNGULOS
GERAL AXIOMAS SEGMENTOS FIM
Teorema da
Bissetriz Interna
A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na imagem abaixo, a bissetriz do ângulo  divide o lado a em dois segmentos x e y.
x y c b =
Exemplo
Encontre o valor de x indicado no triângulo da figura abaixo, sabendo que representa a bissetriz do ângulo A.
TEOREMA BISSETRIZ
ÂNGULOS
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Teorema da
Bissetriz Externa
Os ângulos externos de um triângulo são os ângulos adjacentes aos internos. Para os encontrar, traçamos um prolongamento do lado adjacente. Quando a bissetriz externa intercepta o prolongamento do lado oposto, formam segmentos proporcionais aos lados adjacentes
x y c b = x = a + y
Exemplo
No triângulo representado na figura abaixo, encontre o valor de x, considerando que a reta AD é uma bissetriz externa deste triângulo.
TEOREMA BISSETRIZ
ÂNGULOS
AXIOMAS SEGMENTOS FIM
GERAL
RESUMINDO
PONTO RETA PLANO
ÁREA PERÍMETRO
POSTULADO
EXISTÊNCIA POSIÇÃO INCLUSÃO SEGMENTO
DE RETA Consecutivos Colineares Adjacentes Congruentes POSIÇÃO
TRIÂNGULO QUADRADO CIRCUNFERÊNCIA TRAPÉZIO LOSANGO
BISSETRIZ
Interna Externa
ÂNGULO
Agudo Reto Obtuso Raso
Adjacente Oposto ao vértice Congruente Consecutivo
