I Encontro do PROFMAT-UTFPR-CP

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FUNC¸ ˜OES EM ECONOMIA

Rodrigo Henrique de Oliveira PROFMAT-UTFPR-CP rodrigo olivera@hotmail.com Profa. Dra. D´ebora Ap.F. Albanez DAMAT-UTFPR-CP deboraalbanez@utfpr.edu.br Profa. Dra. Michele Cristina Valentino DAMAT-UTFPR-CP valentino@utfpr.edu.br

1 Introdu¸c˜ao

O projeto intitulado Fun¸cões em Economia surgiu através da prática docente, em vista da neces-sidade do professor de proporcionar um ensino aprendizagem mais significativo sobre fun¸cões, mostrando aos alunos como esse conceito pode ser aplicado em atividades do dia-a-dia. Desta maneira, este trabalho tem como objetivo apresentar um projeto de contextualiza¸cão de fun¸cões afim e quadrática desenvolvido na escola estadual E.E. José Gon¸calves de Mendon¸ca, situada `

a rua Marechal Deodoro da Fonseca no 670, na cidade de Maraca´ı-SP, com alunos do 1o ano do ensino m´edio.

2 Desenvolvimento Venda do Produto

No primeiro momento os alunos realizaram uma atividade pr´atica envolvendo uma situa¸c˜ao comercial de compra e venda, na qual eles venderam dadinhos de doce leite durante alguns dias em sua escola, na hora do intervalo.

O pre¸co pago pela unidade do produto foi de R$0,10. A partir desse valor, os alunos peceberam claramente que deveriam cobrar mais do que R$0,10 por unidade, para que pudessem ter algum lucro. Assim surgiu a dúv´ıda: por quanto deve ser vendida a unidade? Para responder a essa pergunta, os alunos realizaram o seguinte experimento: durante 2 dias, os dadinhos foram vendidos à R$0,30 a unidade, pre¸co considerado alto em rela¸cão ao encontrado em bares e supermercados. Após a percep¸cão de que a venda a esse pre¸co foi pequena, os alunos promoveram a divulga¸cão de uma promo¸cão, na qual os daindos estariam a metade do pre¸co, e assimos dadinhos foram vendidos por mais dois dias pelo pre¸co de R$0,15.

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Por fim, os resultados obtidos nas vendas para os dois primeiros dias foram de 44 unidades e de 208 unidades para os outros dois dias.

Atividades te´oricas: Estudo das Fun¸c˜oes em Economia

Nesta se¸cão abordamos o estudo realizado pelos alunos em rela¸cão as fun¸cões em economia dos tipos afim e quadrática, na qual eles aprenderam alguns conceitos de economia, determinaram algebricamente cada uma das fun¸cões, além de representá-las geometricamente por meio do software Geogebra, e ainda responderam algumas questões referentes as fun¸cões obtidas do software de matemática dinâmica Geogebra.

Fun¸c˜ao de Demanda

Em rela¸cão ao conceito econômico de demanda, os alunos puderam perceber que ela representa o comportamento do cliente diretamente com pre¸co do produto comercializado, na qual observaram na prática que, quando o dadinho estava com um pre¸co alto obtiveram uma venda pequena e após colocarem o dadinho na promo¸cão, tiveram um aumento significativo nas vendas.

Para encontrar a fun¸c˜ao de demanda do tipo afim os alunos resolveram em sala o seguinte sistema: ( f (30) = 44 f (15) = 208 ⇐⇒ ( 30a + b = 44 15a + b = 208,

onde a representa o coeficiente angular da reta que é o gráfico da fun¸cão afim e b é o termo constante. Com o intuito de facilitar os cálculos, note que utilizamos a variável independente x na unidade centavos.

Resolvendo o sistema, temos a = −10, 933 e b = 372. Assim, a fun¸c˜ao demanda ´e

x = f (p) = −10, 933p + 372 (1)

Figura 1: Gr´afico da demanda em fun¸c˜ao do pre¸co

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quest˜oes abaixo:

1- O que acontece quando o pre¸co do dadinho ´e igual a zero?

Quando o pre¸co é R$0, a demanda máxima, ou quando o produto é de gra¸ca a demanda ´

e de 372 unidades, pois f (0) = −10, 933 · 0 + 372 = 372.

2- Qual ´e o pre¸co m´aximo a ser cobrado pelo dadinho?

O pre¸co máximo a ser cobrado é de 34 centavos, ou o pre¸co máximo deve ser abaixo de 34 centavos, para que consigamos vender pelo menos uma unidade do nosso dadinho, pois o pre¸co máximo é calculado baseado numa demanda igual a zero isto é,

0 = f (p) = −10, 933p + 372 =⇒ p = 34

Como a fun¸cão afim da demanda x = f (x) tem coeficiente angular negativo a = −10, 933, os alunos confirmaram matematicamente o que já esperavam pela prática do mercado de vendas de qualquer produto: quanto maior o pre¸co do produto, menor a procura(demanda) pelo mesmo.

Fun¸c˜ao Pre¸co

Após uma discussão sobre o quanto a demanda de um certo produto pode influenciar no seu pre¸co, a atividade foi encontrar a fun¸cão pre¸co p = f (x) em fun¸cão da variável independente demanda. Assim, foi apresentado o conceito de fun¸cão inversa e os alunos foram instru´ıdos a trocar a variável p, na fun¸cão x = f (p) que seria o pre¸co unitário do produto por f (x) e depois teriam que usar as opera¸cões inversas para isolá-lo. Desta forma, os alunos fizeram o seguinte cálculo:

x = f (p) = −10, 933p + 372 =⇒ x = −10, 933f (x) + 372 =⇒ f (x) = −0, 09x + 34, 02, E conclu´ıram que a fun¸c˜ao pre¸co ´e dada por:

p = f (x) = −0, 09x + 34, 02, (2)

Após esse cálculo, os alunos representaram a fun¸cão p = f (x) no geogebra e obtiveram: Fun¸cão Receita

Na defini¸cão de receita, os alunos compreenderam que se tratava de todo o dinheiro que entrava no caixa da empresa com rela¸cão a comercializa¸cão de seu bem e/ou servi¸co. Entenderam ainda que a fun¸cão receita relacionava de forma direta o pre¸co e a quantidade demandada dos dadinhos, ou seja que a receita era igual o resultado da multiplica¸cão do pre¸co dos dadinhos por sua quantidade x demandada. Dessa maneira, foi apresentado aos alunos a fun¸cão receita modelo afim:

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Figura 2: Gráfico da fun¸cão pre¸co em fun¸cão da demanda

Logo em seguida, os alunos foram conduzidos a construir a fun¸c˜ao receita onde subs-tituiriam, no lugar do pre¸co fixo p, a fun¸c˜ao pre¸co encontrada em (2), o que resultou:

R(x) = (−0, 09x + 34, 02)x =⇒ R(x) = −0, 09x2+ 34, 02x

E assim os alunos notaram que fun¸cão receita é uma fun¸cão quadrática, a qual apren-deram no 9o _{ano.Foi verificado que os alunos n˜}_{ao se lembravam de nenhuma aplica¸c˜}_{ao pr´}_atica

de fun¸cões quadráticas, sendo assim, foi apresentado-lhes a fun¸cão receita total, em fun¸cão da demanda.

O pr´oximo passo foi plotar no geogebra a fun¸c˜ao receita R(x):

Figura 3: Gráfico da fun¸cão receita em fun¸cão da demanda

Em seguida, foram propostas as questões abaixo para que os alunos resolvessem com a media¸cão do professor, analisando a fun¸cão receita e o seu gráfico, e também utilizando os conceitos de ra´ızes de uma equa¸cão quadrática, bem como máximo e m´ınimo de fun¸cões quadráticas e coordenadas do vértice da parábola.

1- Quais são as ra´ızes da fun¸cão receita R(x) e o que elas representam na prática? Vamos encontrar as ra´ızes da fun¸cão receita utilizando a fórmula de Bháskara. Para

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R(x) = −0, 09x2+ 34, 02x,

temos que a = −0, 09, b = 34, 02 e c = 0. Calculando o discriminante ∆,

∆ = b2− 4ac = (34, 02)2− 4 · −0, 09 · 0 = 1157, 36. Portanto x = −b ± √ ∆ 2a = −34, 02 ±√1157, 36 2(−0, 09) = −34, 02 ± 34, 02 −0, 18

Portanto as ra´ızes são x = 0 e x = 378. Elas representam para qual demanda não temos nenhum dinheiro em caixa, isto é, quando x = 0 não há demanda, portanto não há receita em caixa. E ainda, para uma demanda x = 378 unidades, a receita também é nula, pois o pre¸cop = f (x) é zero para x = 378l logo R(x) = p · x = f (x) · x = 0.

2- Qual ´e a maior receita obtida na venda dos dadinhos?

Percebemos que a maior receita é igual ao maior valor que a fun¸cão atinge, ou seja, é o ponto mais “alto”do gráfico. Vamos calcular a coordenada Yv desse ponto:

Yv = −

∆ 4a = −

1157, 36

4(−0, 009) = 3214, 9

Lembrando que estamos usando a unidade de medida em centavos temos que a receita m´axima ´e de R$32,149.

3- Para qual quantidade de dadinhos vendidos obtemos a maior receita?

Sabendo que a quantidade de dadinhos vendidas que nos dá a maior receita é o ponto médio entre as ra´ızes e também é igual a coordenada Xv, encontramo-lá por:

Xv = −

b 2a = −

34, 02

2(−0, 09) = 189

O que significa que para termos a receita m´axima precisamos vender 189 dadinhos. Fun¸c˜ao Custo

Na atividade sobre custo os alunos aprenderam que custo pode ser visto como todos os gastos para se produzir um produto e/ou prestar um servi¸co, aprenderam sobre custo fixo, como sendo um valor que todo o mês está presente no or¸camento da empresa, e também sobre custo variável, sendo que este está ligado diretamente com a quantidade de produto produzida. Em rela¸cão a fun¸cão custo eles compreenderam que é resultado da soma dos custos fixos com os custos variáveis. No projeto, o pre¸co unitário de compra do dadinho foi de 10 centavos e foi constatado que o custo foi de apenas R$ 1,00, em rela¸cão ao combust´ıvel gasto para ir de moto até o local da compra dod dadinhos. Assim, os alunos constru´ıram a fun¸cão:

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e a representaram geometricamente no Geogebra:

Figura 4: Gráfico da fun¸cão custo em fun¸cão da demanda

Analisando os dados os alunos foram questionados pela seguinte pergunta:

1-Qual ´e o custo total para a quantidade de dadinhos que nos fornece a receita m´axima? Basta calcularmos o custo para o valor x = 189, sendo assim:

C(189) = 10 · 189 + 100 = 1890 + 100 = 1990, isto é, o custo em rela¸cão a receita máxima é de R$19,90. Fun¸cão Lucro

Em rela¸cão ao conceito de lucro, os alunos confirmaram suas ideias de que lucro repre-senta todo o dinheiro livre ganho em rela¸cão a venda de um bem e/ou servi¸co. Compreenderam ainda que para encontrar a fun¸cão lucro precisamos subtrair da receita todos os gastos obtidos desde a confeçcão do produto até a sua venda, ou seja os custos fixos junto dos custos variáveis. Assim usando as fun¸cões receita e custo encontradas anteriormente, os alunos encontraram a fun¸cão lucro representada abaixo:

L(x) = R(x) − C(x) =⇒ L(x) = −0, 09x2+ 34, 02x − (10x + 100)

L(x) = −0, 09x2+ 24, 02x − 100,

E constataram, conforme indicou a fun¸c˜ao calculada em 2, que tratava-se de uma par´abola com concavidade negativa(a = −0, 09 < 0).

Ainda os alunos plotaram as duas fun¸cões (lucro e custo) na mesma tela do geogebra, para que pudessem tirar conclusões sobre qual é o pre¸co ideal a ser cobrado por unidade de dadinho para obtermos o lucro máximo. Para isso responderam as seguintes perguntas

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(a) (b)

Figura 5: (a) Gráfico da fun¸cão lucro (b) Gráfico das fun¸cões lucro e custo

Por fim com rela¸cão a fun¸cão lucro e os gráfico que a relacionam os alunos resonderam os seguintes questionamentos:

1-Qual ´e o valor do lucro m´aximo?

O lucro máximo é o ponto mais ”alto”da parábola e seu valor corresponde ao ponto yv. Assim vamos calculá-lo:

yv = −∆ 4a = −(24, 022 _{− 4 · 0, 09 · (−100))} −4 · (−0, 09) = 612, 96 0, 36 = 1702, 7

Logo o lucro máximo em rela¸cão a venda dos dadinhos é de aproximadamente R$17,03. 2- Qual é a quantidade vendida para obtermos o maior lucro?

Temos que a quantidade demandada que nos dá o lucro máximo é o valor de x para o qual L(x) = 17, 03, isto é, a coordenada x do vértice da parábola. Temos Xv = −

b 2a = − 24, 02

2(−0, 09) = 133, 4.

Portanto a quantidade que precisamos vender para obter o lucro m´aximo ´e de aproxi-madamente 133 dadinhos.

3-Analisando o gráfico que relaciona a fun¸cão lucro e a fun¸cão custo, para qual intervalo de venda obtemos lucro?

Podemos dizer que o lucro ocorre na parte do gráfico em que a fun¸cão lucro é maior que o gráfico da fun¸cão custo. Assim analisando os pontos que determinam o intervalo em que isso acontece precisamos verificar em quais pontos a fun¸cão lucro é igual a fun¸cão custo,ou seja os pontos de interseçcão entre as fun¸cões. Assim temos:

L(x) = C(x)

−0, 09x2_{+ 24, 02x − 100 = 10x + 100 =⇒ −0, 09x}2 _{+ 14, 02x − 200}

Logo os pontos de interseçcão são as ra´ızes da equa¸cão −0, 09x2_{+ 14, 02x − 200, a qual}

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∆ = 14, 022 − 4 · −0, 09 · −200 =⇒ ∆ = 124, 5604. Por fim encontrando as ra´ızes:

x = −14, 02 ± √ 124, 5604 2(−0, 09) = −14, 02 ± 11, 161 −0, 18 .

Logo as ra´ızes s˜ao x = 140 e x = 16. Portanto o intervalo que representa a quantidade de produtos vendidos na qual obtemos lucro ´e 16 < x < 140.

4-Qual ´e o melhor pre¸co para vender os dadinhos?

Sabendo que o objetivo de um empresário é obter o maior lucro poss´ıvel, temos que o melhor pre¸co a ser cobrado é aquele que remete a esse lucro máximo, assim, analisando os resultados anteriores temos que o lucro máximo se deu para a venda de aproximadamente 133 dadinhos, assim, vamos utilizar a fun¸cão pre¸co para essa quantidade afim de encontrar-mos o pre¸co ideal para os dadinhos. Assim, calculando P(133), temos P (133) ≈ 22. Portanto o melhor pre¸co a ser cobrado nos dadinhos para obter o lucro máximo é de aproximadamente 22 centavos.

3 Conclus˜ao

Com o aux´ılio da teoria básica de fun¸cões e com o conhecimento das fun¸cões da economia, os alunos puderam responder a várias perguntas relacionadas as fun¸cões em economia e descobri-ram o pre¸co unitário da venda do produto a fim de obter o lucro máximo.

4 Agradecimentos

Agradecemos `a CAPES pelo financiamento.

Referˆencias

[1] Jean E. Weber, Matemática para economia e administra¸cão, Harbra, 2001. [2] Louis Leithold, Matemática Aplicada à economia e administra¸cão, Harbra, 1988.

[3] Carl P. Simon e Lawrence Blume, Mathematics for economists, W.W Norton & Company Inc, 1994.