Divisibilidade, MDC e MMC

(1)

Divisibilidade, MDC e MMC

Múltiplos de um número natural

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs. 91 e 92 e SILVEIRA, Ênio. Matemática:

compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 101 e 102. Adaptado.

Dona Ana é proprietária de uma papelaria. Sua filha Roberta gosta de ajudar a arrumar os materiais. Ela costuma colocar canetas coloridas nos potes que ficam expostos na vitrine.

As canetas vêm embaladas em pacotes com 5 unidades, e Roberta quer saber a quantidade de canetas que está colocando nos potes.

Para cada 5 canetas que arruma, Roberta anota em um papel a quantidade de pacotes.

O número de canetas que Roberta anota no papel é o resultado da multiplicação do número de pacotes que ela já arrumou por 5 (quantidade de canetas existentes em cada pacote).

1 pacote ® 1 . 5 = 5 2 pacotes ® 2 . 5 = 10 3 pacotes ® 3 . 5 = 15 4 pacotes ® 4 . 5 = 20 5 pacotes ® 5 . 5 = 25 e assim por diante.

Ao fazer essas multiplicações, Roberta verifica a quantidade de canetas que já colocou nos potes da vitrine.

Os números obtidos – 5, 10, 15, 20, 25, ... – são denominados múltiplos de 5.

Um número natural será múltiplo de outro se for o resultado da multiplicação desse número por algum número natural.

Veja outros exemplos.

Exemplo 1) 0, 9, 18, 27, 36, ... são múltiplos de 9. Essa é a sequência dos múltiplos de 9.

(2)

É fácil verificar se um número é múltiplo de outro. Vejas os exemplos a seguir.

Exemplo 3) O número 72 é múltiplo de 6?

Para responder a essa pergunta, devemos efetuar a divisão de 72 por 6. Observe: 7 2 6 - 6 1 2 1 2 - 1 2 0 ¬ Divisão _exata

Como a divisão é exata, podemos afirmar que 72 é divisível por 6 ou que 72 é múltiplo de 6, pois 6 . 12 = 72.

Exemplo 4) O número 270 é múltiplo de 16? 2 7 0 16 - 1 6 1 6 01 101 10 - 9 6 1 4 ¬ Divisão não exata

Como a divisão não é exata, podemos afirmar que 270 não é divisível por 16 ou que 270 não é múltiplo de 16.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 94. Adaptado.

Determine os cinco primeiros múltiplos de: a) 3: _________________________ b) 6: _________________________ c) 8: _________________________ d) 12: ________________________ e) 15: ________________________ f) 20: ________________________

Observações

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 101 e 102.

• Todo número natural é múltiplo dele mesmo. Veja:

Exemplo 5) 6 . 1 = 6 ® 6 é múltiplo de 6.

Exemplo 7) 57 . 1 =57 ® 57 é múltiplo de 57.

• Não existe o maior múltiplo de um número natural não nulo. A sequência dos múltiplos de um número natural, diferente de zero, é infinita.

• O zero só tem um múltiplo: o próprio zero. Veja:

Exemplo 8) 0. 0 = 0

Exemplo 9) 0 . 1 = 0

Exemplo 10) 0 . 2 = 0

• O zero, porém, é múltiplo de todos os números. Veja:

• Podemos falar em múltiplo de zero porque existem multiplicações por zero. Porém, não podemos falar que um número é divisível por zero, uma vez que não existe divisão por zero.

(3)

Divisores de um número natural

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 103 e 104. Adaptado.

Leandra quer montar a vitrine de sua floricultura com seis arranjos de tulipas.

Ela pode colocá-los em um único suporte.

6 : 1 = 6

Ela pode colocá-los em dois suportes, cada suporte com três arranjos.

6 : 2 = 3

Ela pode colocá-los em três suportes, cada suporte com dois arranjos.

6 : 3 = 2

Ela pode colocar cada arranjo em um suporte.

6 : 6 = 1

Se Leandra usasse quatro suportes, conseguiria distribuir os seis arranjos igualmente nesses suportes?

Como a divisão de 6 por 1, 2, 3 e 6 é exata, dizemos que 6 é divisível por esses números. Já a divisão de 6 por 4 não é exata. Concluímos, portanto, que não seria possível distribuir seis arranjos de tulipas, igualmente, em quatro suportes.

Os números 1, 2, 3 e 6 são divisores naturais ou fatores naturais de 6. Veja outros exemplos.

Exemplo 14) 1 3 5 15 - 1 3 5 9 0 ¬ Divisão _exata 15 é divisor de 135. Exemplo 15) 1 7 6 18 - 1 6 2 9 1 4 ¬ Divisão não exata 18 não é divisor de 176

(4)

Exemplo 16) 23 12 2 23 - 2 3 1 4 9 2 - 9 2 0 ¬ Divisão _exata 23 é divisor de 322. Exemplo 17) 12 14 6 16 - 1 6 1 5 8 6 - 8 0 6 ¬ Divisão não exata 16 não é divisor de 246.

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 97.

Determine os divisores de:

a) 11: ________________________ b) 18: ________________________

c) 25: ________________________ d) 90: ________________________

Observações

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 104.

• O zero não é divisor de nenhum número natural.

Exemplo 18) 5 : 0 = ?

Note que não há nenhum número que, multiplicado por zero, dê 5 como resultado.

• Todo número natural diferente de zero é divisor dele mesmo.

Exemplo 19) 6 : 6 = 1 ® 6 é divisor de 6.

• O número 1 é divisor de todos os números naturais.

Dica da Vivi!

Texto de autoria própria.

o Um dos modos de encontrar os divisores de um número natural é efetuando divisões, cujos divisores vão do 1 até o próprio número. Contudo, para diminuir pela metade seu trabalho e efetuar menos divisões, lembre-se que, se a sua divisão for exata tanto o divisor quanto o quociente serão divisores daquele número.

Exemplo 43) Escreva todos os divisores de 30. 30 : 1 = 30 ® 1 e 30 são divisores de 30; 30 : 2 = 15 ® 2 e 15 são divisores de 30; 30 : 3 = 10 ® 3 e 10 são divisores de 30; 30 : 5 = 6 ® 5 e 6 são divisores de 30.

Portanto, os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

(5)

Critérios de divisibilidade

Já aprendemos a verificar se um número é divisível por outro efetuando divisões. Agora, vamos aprender alguns critérios de divisibilidade que nos permitem verificar se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão.

Divisibilidade por 2

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 106. Adaptado.

Observe as divisões: 1 2 2 - 1 2 6 0 ¬ Divisão _exata 9 0 2 - 8 4 5 1 0 - 1 0 0 ¬ Divisão _exata 7 5 2 - 6 3 7 1 5 - 1 4 1 ¬ Divisão não exata 1 3 7 2 - 1 2 6 8 1 7 - 1 6 1 ¬ Divisão não exata

Percebemos que, quando dividimos números pares por 2, obtemos resto zero e, quando dividimos números ímpares por 2, obtemos resto 1.

Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 3

Observe as divisões: 1 4 3 7 3 - 1 2 479 2 3 - 2 1 2 7 - 2 7 0 ¬ Divisão _exata 1 4 3 8 3 - 1 2 479 2 3 - 2 1 2 8 - 2 7

1 ¬ _{não exata}Divisão 1 4 3 9 3 - 1 2 479 2 3 - 2 1 2 9 - 2 7

2 ¬ _{não exata}Divisão

1 4 4 0 3 - 1 2 480 2 4 - 2 4 0 0 - 0 0 ¬ Divisão _exata 1 4 4 1 3 - 1 2 480 2 4 - 2 4

(6)

• O número 1 437 é divisível por 3. A soma 1 + 4 + 3 + 7 é 15, que é divisível por 3.

• O número 1 438 não é divisível por 3. A soma de 1 + 4 + 3 + 8 é 16, que não é divisível por 3.

• O número 1 439 não é divisível por 3. A soma de 1 + 4 + 3 + 9 é 17, que não é divisível por 3.

• O número 1 440 é divisível por 3. A soma de 1 + 4 + 4 + 0 é 9, que é divisível por 3. • O número 1 441 não é divisível por 3. A soma de 1 + 4 + 4 + 1 é 10, que não é divisível

por 3.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

É possível verificar se um número maior ou igual a 100 é divisível por 4, analisando apenas seus dois últimos algarismos.

Sabemos que 100 é divisível por 4, pois 100 = 4 x 25. São também divisíveis por 4 os números 200, 300, 400, 1 100, 1 300 e todos os outros números terminados em 00, pois:

200 = 2 x 100 = 2 x 4 x 25 300 = 3 x 100 = 3 x 4 x 25

400 = 4 x 100 = 4 x 4 x 25 1 100 = 11 x 100 = 11 x 4 x 25

2 300 = 23 x 100 = 23 x 4 x 25

Observe, agora, as divisões:

4 1 1 6 4 - 4 1 0 2 9 0 1 - 0 01 11 - 8 3 6 ¬ Divisão _exata

• O número 4 116 é divisível por 4. 4 116 = 4 100 + 16

3 8 5 0 4 - 3 6 962 2 5 - 2 4 01 10 - 8

• O número 3 850 não é divisível por 4.

3 850 = 3 800 + 50

Um número natural, maior ou igual a 100, é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

4 100 é divisível por 4, pois termina em 00. 16 também é divisível por 4.

Você sabia?

Ano bissexto

Um ano é o intervalo de tempo correspondente a uma revolução da Terra em torno do Sol.

Poucas décadas antes de Cristo, já se acreditava que a Terra levava cerca de 365 dias e 6 horas para dar uma volta em torno do Sol. Assim, para compensar essas 6 horas adicionais no calendário, em 45 a.C., o imperador romano Júlio César instituiu a inserção, de quatro em quatro anos, do dia 29 de fevereiro. Desde então, o ano em que há o dia 29 de fevereiro tem 366 dias (daí o termo “bissexto”, em que o número 6 aparece duas vezes). Os anos bissextos são divisíveis por 4.

O tempo exato correspondente a um ano é 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 47 segundos.

Com o arredondamento desse tempo para 366 dias, a cada intervalo de 400 anos haveria uma diferença acumulada de três dias. Para compensar essa distorção, foram eliminados alguns anos cujo número é divisível por 4. Assim, entre os números que terminam em 00, passaram a ser considerados bissextos apenas os divisíveis por 400.

Exemplo 26) 2000 foi ano bissexto, pois 2000 é divisível por 4 e por 400.

Exemplo 27) 2200 não será ano bissexto, pois 2200 é divisível por 4, mas não é divisível por 400.

3 800 é divisível por 4, pois termina em 00.

50 não é divisível por 4.

(7)

Divisibilidade por 5

Considere as divisões. 1 3 0 5 - 1 0 2 6 3 0 - 3 0 0 ¬ Divisão _exata 1 3 4 5 - 1 0 2 6 3 4 - 3 0 4 ¬ Divisão não exata 7 5 5 - 5 1 5 2 5 - 2 5 0 ¬ Divisão _exata 4 0 1 5 5 - 4 0 8 0 3 0 1 - 0 1 5 - 1 5 0 ¬ Divisão _exata 5 6 0 5 - 5 1 1 2 0 6 - 5 1 0 - 1 0 0 ¬ Divisão _exata 5 1 0 4 5 - 5 1 0 2 0 0 1 - 0 1 0 - 1 0 0 4 - 0 4 ¬ Divisão não exata

Observe que 130, 75, 560 e 4 015 são divisíveis por 5, mas 134 e 5 104, não. Note ainda que esses números divisíveis por 5 terminam em 5 ou em 0, enquanto na divisão não exata isso não ocorre. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre.

Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Divisibilidade por 6

Observe as divisões: 3 1 2 6 - 3 0 5 2 1 2 - 1 2 0 ¬ Divisão _exata 6 0 9 6 - 6 101 0 0 - 0 0 9 - 6

3 ¬ _{não exata}Divisão 7 1 6 6 - 6 119 01 11 - 6 5 6 - 5 4

(8)

O número 312 é divisível por 2, pois é par, e por 3, pois a soma de 3 + 1 + 2 é 6, e 6 é divisível por 3.

• O número 609 não é divisível por 6.

O número 609 é divisível por 3, pois a soma de 6 + 0 + 9 é 15 e 15 é divisível por 3 mas não é divisível por 2 porque é ímpar.

O número 716 é divisível por 2, pois é par, mas não é divisível por 3, pois a soma de 7 + 1 + 6 é 14, que não é divisível por 3.

Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e também por 3.

Divisibilidade por 8

Texto de autoria própria. Baseado em SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 107 e em https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php.

É possível verificar se um número maior ou igual a 1000 é divisível por 8, analisando apenas seus três últimos algarismos.

Sabemos que 1000 é divisível por 8, pois 1 000 = 8 x 125. São também divisíveis por 8 os números 2 000, 3 000, 4 000, 10 000, 113 000 e todos os outros números terminados em 000, pois:

2 000 = 2 x 1 000 = 2 x 8 x 125 3 000 = 3 x 1 000 = 3 x 8 x 125 4 000 = 4 x 1 000 = 4 x 8 x 125

10 000 = 10 x 1 000 = 10 x 8 x 125

113 000 = 113 x 1 000 = 113 x 8 x 125

Observe agora as divisões:

5 6 1 0 4 8 - 5 6 7 0 1 3 0 1 - 0 01 10 - 8 2 4 - 2 4 0 ¬ Divisão _exata

• O número 56 104 é divisível por 8. 56 104 = 56 000 + 104

7 8 1 6 4 8 - 7 2 9770 56 11 - 5 6 5 6 - 5 6 0 4 - 0

78 164 = 78 000 + 164

Um número natural é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Observe as divisões: 6 4 3 5 9 - 6 3 7 1 5 01 13 - 9 4 5 - 4 5 0 ¬ Divisão _exata 23 14 8 6 9 9 - 2 7 3 8 7 4 7 8 - 7 2 6 6 - 6 3 3 9 - 3 6

56 000 é divisível por 8, pois termina em 000.

104 também é

divisível por 8. 78 000 é divisível por 8, pois termina em 000.

(9)

• O número 6 435 é divisível por 9.

A soma de 6 + 4 + 3 + 5 é 18, que é divisível por 9. • O número 34 869 não é divisível por 9.

A soma de 3 +4 + 8 + 6 + 9 é 30, que não é divisível por 9.

Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Considere as divisões. 5 0 4 10 - 5 0 5 0 0 4 - 0 4 ¬ Divisão não exata 8 2 0 10 - 8 0 8 2 2 0 - 2 0 0 ¬ Divisão _exata 4 8 0 0 10 - 4 0 4 8 0 8 0 - 8 0 0 0 - 0 0 ¬ Divisão _exata 1 4 5 10 - 1 0 1 4 4 5 - 4 0 5 ¬ Divisão não exata 1 2 3 0 10 - 1 0 1 2 3 2 3 - 2 0 3 0 - 3 0 0 ¬ Divisão _exata

Observe que 820, 4 800 e 1 230 são divisíveis por 10, mas 504 e 145, não. Nessas divisões, somente os números que terminam em zero são divisíveis por 10. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre.

Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0.

Divisibilidade por 11

Texto de autoria própria. Baseado em https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php.

Observe as divisões: 8 7 5 4 9 11 - 7 7 7 9 5 9 0 1 91 0 1 5 - 9 9 5 6 1 4 - 5 5 9 9 - 9 9 0 ¬ Divisão _exata 1 2 5 7 4 11 - 1 1 1 1 4 3 1 5 - 1 1 4 7 - 4 4 3 4 - 3 3

(10)

4 3 9 0 8 7 11 - 3 3 3 9 9 1 7 01 10 9 - 9 9 11 910 10 - 9 9 1 8 - 1 1 7 7 - 7 7 0 ¬ Divisão _exata

5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem DM UM C D U 8 7 5 4 9

A soma dos algarismos das ordens ímpares 9 + 5 + 8 é igual a 22. A soma dos algarismos das ordens pares 4 + 7 é igual a 11.

A diferença entre a soma dos algarismos das ordens ímpares e a soma dos algarismos das ordens pares, 22 – 11, é igual a 11.

11 é divisível por 11.

5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem DM UM C D U 1 2 5 7 4

A soma dos algarismos das ordens ímpares 4 + 5 + 1 é igual a 10. A soma dos algarismos das ordens pares 7 + 2 é igual a 9.

A diferença entre a soma dos algarismos das ordens ímpares e a soma dos algarismos das ordens pares, 10 – 9, é igual a 1.

6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem CM DM UM C D U 4 3 9 0 8 7

A soma dos algarismos das ordens ímpares 7 + 0 + 3 é igual a 10. A soma dos algarismos das ordens pares 8 + 9 + 4 é igual a 21.

A diferença entre a soma dos algarismos das ordens ímpares e a soma dos algarismos das ordens pares, 10 – 21, não está definida no conjunto dos números naturais. Quando isso ocorrer, soma-se ao minuendo (que neste caso é a soma dos algarismos das ordens ímpares), o menor múltiplo não nulo de 11, até que a subtração possa ser feita. Assim, como o menor múltiplo não nulo de 11 é o próprio 11, temos:

(10 + 11) – 21 = 21 – 21 = 0. 0 é divisível por 11.

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Texto de autoria própria. Baseado em https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php.

(11)

7 2 0 12 - 7 2 6 0 0 0 - 0 0 ¬ Divisão _exata 8 7 0 12 - 8 4 7 2 3 0 - 2 4 6 ¬ Divisão não exata 3 4 0 12 - 2 4 2 8 01 910 10 - 9 6 4 ¬ Divisão não exata

• O número 720 é divisível por 12.

O número 720 é divisível por 3, pois a soma de 7 + 2 + 0 é 9 e 9 é divisível por 3 e é divisível por 4 pois seus dois últimos algarismos formam o número 20 e 20 é divisível por 4.

O número 870 é divisível por 3, pois a soma 8 + 7 + 0 é 15 e 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos formam o número 70 e 70 não é divisível por 4.

O número 340 não é divisível por 4, pois seus dois últimos algarismos formam o número 40 e 40 é divisível por 4, mas não é divisível por 3, pois a soma 3 + 4 + 0 é 7 e 7 não é divisível por 3.

Um número natural é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Agora é a sua vez!

Um número de quatro algarismos é representado por 123✭. Determine os valores de ✭ para que esse número seja divisível por:

a) 2: _________________________ b) 3: _________________________ c) 4: _________________________ d) 5: _________________________ e) 6: _________________________ f) 8: _________________________ g) 9: _________________________ h) 10: ________________________ i) 11: ________________________ j) 12: ________________________

Números primos e números compostos

Vamos considerar o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Podemos verificar que:

(12)

• 1 é divisível apenas por 1; • 2 é divisível por 1 e 2; • 3 é divisível por 1 e 3; • 4 é divisível por 1, 2 e 4; • 5 é divisível por 1 e 5; • 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6; • 7 é divisível por 1 e 7; • 8 é divisível por 1, 2, 4 e 8; • 9 é divisível por 1, 3 e 9. Podemos observar que:

• 1 é divisor de qualquer número, ou seja, qualquer número é divisível por 1.

• Alguns números, como 2, 3, 5 e 7, têm exatamente dois divisores naturais: o número 1 e o próprio número; eles são chamados de números primos.

Um número é primo quando tem somente dois divisores naturais distintos: o número 1 e o próprio número.

• Existem números, como 4, 6, 8 e 9, que têm mais de dois divisores naturais distintos; eles são chamados de números compostos.

Um número, diferente de zero, é composto quando tem mais de dois divisores distintos. Os números compostos podem ser escritos como um produto de números primos. Veja alguns exemplos.

Exemplo 28) 8 = 2 . 2 . 2

Exemplo 29) 9 = 3 . 3

Exemplo 30) 12 = 2 . 2 . 3

Reconhecimento de um número primo

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 112 e 113.

Para verificar se um número é primo, devemos dividi-lo pelos sucessivos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., até obter:

• Uma divisão exata; nesse caso, podemos afirmar que o número é composto;

• Uma divisão não exata, com quociente menor ou igual ao divisor; nesse caso, podemos afirmar que o número é primo.

Observe alguns exemplos.

Exemplo 34) Vamos verificar se o número 67 é primo.

Observe as divisões de 67 por alguns números primos. 6 7 2 - 6 3 3 0 7 - 6 1 ¬ Divisão não exata 6 7 3 - 6 2 2 0 7 - 6 1 ¬ Divisão não exata

Observações

• O número 1 não é primo nem composto, pois tem apenas um divisor natural: ele mesmo. • O número 0 não é primo nem composto, pois tem infinitos divisores.

• O único número primo que é par é o 2

• A palavra primo significa “primeiro”. Os números primos são “os primeiros”, pois ouros números podem ser escritos a partir deles por meio de multiplicações.

Exemplo 31) 16 = 2 . 2 . 2 . 2

Exemplo 32) 45 = 3 . 3 . 5

(13)

6 7 5 - 5 1 3 1 7 - 1 5 2 ¬ Divisão não exata 6 7 7 - 6 3 9 4 ¬ Divisão não exata 6 7 11 - 6 6 6 1 ¬ Divisão não exata

Percebemos, que na divisão por 11, o quociente 6 é menor do que o divisor e a divisão não é exata. Podemos, então, afirmar que o número 67 é primo.

Exemplo 35) Vamos verificar se o número 667 é primo.

Como 667 não é divisível por 2, por 3 e por 5, vamos dividir o número 667 pelos próximos números primos. Veja:

6 6 7 7 - 6 3 9 5 3 7 - 3 5 2 ¬ Divisão não exata 6 6 7 11 - 6 6 6 0 0 7 - 0 7 ¬ Divisão não exata 6 6 7 13 - 6 5 5 1 1 7 - 1 3 4 ¬ Divisão não exata 6 6 7 17 - 5 1 3 9 1 5 7 - 1 5 3 4 ¬ Divisão não exata 56 16 7 19 - 5 7 3 5 9 7 - 9 5 2 ¬ Divisão não exata 6 6 7 23 - 4 6 2 9 2 0 7 - 2 0 7 0 ¬ Divisão _exata

Como a divisão por 23 é exata, podemos parar de dividir 667 por números primos e afirmar que o número 667 é composto.

Agora é a sua vez!

Classifique os números a seguir em primo ou composto. a) 227: _______________________

b) 101: _______________________

c) 559: _______________________ d) 977: _______________________

(14)

Uma introdução a potenciação

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Pág. 65.

A operação de potenciação é usada para facilitar uma multiplicação de fatores iguais. Acompanhe a situação a seguir.

Um grupo de amigas participará de um passeio ecológico. Cada uma deverá usar um crachá no qual consta seu nome. Ivana se encarregou de preparar os crachás. Para isso, elaborou as seguintes etapas: cortou uma folha de papel sulfite ao meio; cortou cada uma das duas partes ao meio; cortou novamente cada uma das partes ao meio e, mais uma vez, cortou cada uma das partes ao meio. Com isso, obteve exatamente o número necessário de crachás.

Quantos crachás Ivana fez?

Para calcular o número de crachás, podemos efetuar a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, na qual os quatro fatores são iguais a 2. Logo, são 16 crachás.

Como os fatores dessa multiplicação são iguais, podemos calcular o mesmo produto por meio da potenciação.

Observe:

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

Em uma potenciação, o fator que se repete é chamado de base, o número que indica quantas vezes o fator se repete é chamado de expoente e o resultado da operação é chamado de potência.

Considerando nosso exemplo, temos:

2 4_{= 16}

(Lê-se “dois elevado à quarta potência” ou, apenas, “dois elevado à quarta”)

Exemplo 36) 34 = 3 . 3 . 3 . 3 4 fatores = 81 Exemplo 37) 103 = 10 . 10 . 10 3 fatores = 1 000 Exemplo 38) 05 = 0 . 0 . 0 . 0 . 0 5 fatores = 0 Exemplo 39) 16 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 6 fatores = 1

Agora é a sua vez!

Escreva as seguintes sentenças na forma de potência: a) 3 . 3 = ______________________

b) 7 . 7 . 7 = ____________________

c) 9 . 9 . 9 . 9 = __________________ d) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = ___________

Número de vezes em que o fator se repete

Fator que se repete

Expoente

(15)

Decomposição em fatores primos

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. Págs. 107 e 108. Adaptado.

Todo número natural composto pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores diferentes de 1.

Veja, por exemplo, 36 decomposto em um produto de dois fatores diferentes de 1:

2 . 18 36 _ou 4 . 9 36 ou 6 . 6 36

Vamos prosseguir, decompondo os fatores que são números compostos também em um produto de dois fatores, até que fiquem somente fatores primos:

2 . 18 36 2 . 2 . 9 2 . 2 . 3 . 3 22 . 32 4 . 9 36 2 . 2 . 3 . 3 22 . 32 6 . 6 36 2 . 3 . 2 . 3 22 . 32

Quando um número está decomposto em um produto em que todos os fatores são números primos, dizemos que esse número está decomposto em fatores primos.

Portanto, o produto 22 . 32 é a decomposição em fatores primos do número 36.

Observe que pode haver diferentes maneiras de decompor um número natural em um produto de dois ou mais fatores, mas a decomposição em fatores primos é única.

Para efetuar a decomposição, pode-se dividir o número dado pelo seu menor divisor primo. Depois, procede-se da mesma maneira com o quociente obtido, até encontrar o quociente 1. Vamos ver alguns exemplos de como decompor o número 60 em fatores primos:

60 2 O menor divisor primo de 60 é 2; divide-se 60 por 2.

1 Encontramos o quociente 1.

Podemos escrever: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 ou 60 = 22 . 3 . 5.

Também podemos efetuar a decomposição do número 60 dos seguintes modos. 60 3 20 2 10 5 2 2 1 60 5 12 2 6 2 3 3 1 60 2 30 3 10 2 5 5 1 Veja que o resultado é o mesmo: 60 = 22 . 3 . 5.

Agora, observe outros exemplos de decomposição em fatores primos.

Exemplo 40)

180 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 ou 180 = 22 . 32 . 5.

Exemplo 41)

(16)

98 = 2 . 7 . 7 ou 98 = 2 . 72.

Exemplo 42)

540 = 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 5 ou 540 = 22 . 32. 5.

Agora é a sua vez!

Decomponha os números a seguir em fatores primos: a) 120 b) 144 c) 168 d) 225 e) 117 f) 125

Dica da Vivi!

• Outro modo de encontrar os divisores de um número natural é utilizando a decomposição em fatores primos. Para isto, é necessário fazer o seguinte:

o Decompor o número em fatores primos.

o Traçar uma linha vertical após a coluna onde se encontram os fatores primos deste número. A nova coluna que se formou será a coluna dos seus divisores naturais.

o Colocar o número 1 como primeiro elemento da nova coluna, uma vez que ele é divisor de todos os números naturais.

o Multiplicar cada um dos fatores primos do número por todos os outros elementos que já estiverem na coluna dos divisores em linhas acima a linha em que o fator está e colocar os resultados destas multiplicações um ao lado do outro, na linha deste fator. Os resultados de todas as multiplicações formam o conjunto dos divisores naturais do número em questão.

Exemplo 43) Escreva todos os divisores de 30.

1 30 2 2 15 3 3 6

5 5 5 10 15 30 1

(17)

Cálculo da quantidade de divisores de um número natural

Texto de autoria própria. Baseado em RIBEIRO, Paulo Vinicius; CAMILO, Luiz Paulo; REIS, Frederico. Matemática – Coleção Estudo: Vol. 1. Belo Horizonte: Editoria Bernoulli, 2012. (Apostila). Pág. 23.

Manoel tem 54 laranjas para vender e deseja acondicioná-las em um ou mais sacos de modo que em cada saco haja a mesma quantidade de laranjas.

De quantas maneiras diferentes Manoel pode fazer isto?

Uma das formas de encontrar de quantas maneiras diferentes Manoel pode dividir as laranjas em sacos de modo que em cada saco haja a mesma quantidade de laranjas, é descobrindo primeiramente, quais são os divisores de 54, ou seja, quais são os números pelos quais as 54 laranjas podem ser divididas sem que reste nenhuma laranja. Estes divisores representarão aqui a quantidade de sacos que teremos. Assim, sabemos que Manoel pode dividir as laranjas em:

• 1 saco com 54 laranjas, uma vez que 54 : 1 = 54.

• 2 sacos com 27 laranjas em cada, uma vez que 54 : 2 = 27. • 3 sacos com 18 laranjas em cada, uma vez que 54 : 3 = 18. • 6 sacos com 9 laranjas em cada, uma vez que 54 : 6 = 9. • 9 sacos com 6 laranjas em cada, uma vez que 54 : 9 = 6. • 18 sacos com 3 laranjas em cada, uma vez que 54 : 18 = 3. • 27 sacos com 2 laranjas em cada, uma vez que 54 : 27 = 2. • 54 sacos com 1 laranja em cada, uma 54 : 54 = 1.

Logo, Manoel pode acondicionar as laranjas de 8 maneiras diferentes.

Esta mesma resposta poderia ter sido facilmente encontrada sem que fosse necessário que descobríssemos quais eram os divisores de 54; para isto bastava que determinássemos quantos eram os divisores deste número natural.

Para encontrar a quantidade de divisores de um número natural devemos: • Decompor o número em fatores primos.

• Tomar os expoentes de cada fator primo e somar 1 a cada um deles.

• Multiplicar os resultados anteriores. O produto é a quantidade de divisores positivos do número.

Façamos isto para o nosso exemplo.

Decompondo o número 54 em fatores primos, temos: 54 2 27 3 9 3 3 3 1 54 = 2 . 3 . 3 . 3 ou 54 = 2 . 33

Tomando os expoentes de cada fator primo e adicionando 1 a cada um deles, temos: • O expoente do fator primo 2 é 1, logo, 1 + 1 = 2.

(18)

Multiplicando-se os resultados obtidos, temos: 4 . 2 = 8

Portanto, o número 54 tem 8 divisores naturais e, como já descobrimos, Manoel poderia acondicionar as laranjas de 8 maneiras diferentes.

Agora é a sua vez!

Determine quantos divisores naturais cada um dos números a seguir possui: a) 105

b) 360

c) 729

d) 1 386

Máximo divisor comum

A tabela abaixo mostra o número de livros encomendados pelas livrarias A, B e C a determinada editora.

Livraria Número de livros encomendados

A 96

B 108

C 132

O encarregado de preparar as encomendas recebeu orientação de colocar o maior número possível de livros em cada pacote, de modo que todos os pacotes tivessem a mesma quantidade de livros.

Acompanhe o que o encarregado fez para determinar a quantidade de livros que deveria colocar em cada pacote.

Inicialmente, determinou os divisores naturais de cada um dos números da tabela: • Divisores de 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96;

• Divisores de 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108; • Divisores de 132: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132.

Note que os números 1, 2, 3, 4, 6 e 12 são divisores de 106, de 108 e também de 132, ou seja, eles são divisores comuns de 96, 108 e 132.

Assim, para que os pacotes tivessem a mesma quantidade de livros o encarregado poderia colocar 1, 2, 3 4, 6 ou 12 livros em cada pacote.

(19)

Como foi determinado que cada pacote deveria ter o maior número possível de livros, então cada pacote deveria conter 12 livros.

O que o encarregado fez foi encontrar o maior divisor comum de 96, 108 e 132.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum e representado pelas iniciais mdc.

Na situação descrita, o máximo divisor comum de 96, 108 e 132 é 12, que se indica por: mdc(96, 108, 132) = 12.

Encontrando o mdc pela decomposição em fatores primos

Vimos como calcular o mdc de dois ou mais números naturais conhecendo seus divisores. Agora, vamos ver como aplicar o processo de decomposição em fatores primos para o cálculo do mdc de um número.

Como exemplo, vamos calcular o mdc dos números 280 e 300. Inicialmente, decompomos cada número em fatores primos:

280 2 140 2 70 2 35 5 7 7 1 280 = 2 . 2 . 2 . 5 . 7 ou 280 = 23 . 5 . 7 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 ou 300 = 22 . 3 . 52

Os fatores primos comuns, destacados em verde no exemplo, são 2 . 2 e 5, ou seja, 22 e 5 (é preciso considerar os fatores comuns que apresentem o menor expoente para que eles sejam divisores dos dois números). Multiplicando esses fatores, obtemos o mdc desses dois números.

Então:

mdc(280, 300) = 22 . 5 = 4 . 5 = 20

Ainda como exemplo, vamos calcular o mdc dos números 120, 252 e 150. 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 ou 120 = 23 . 3 . 5 252 2 126 2 63 3 121 3 7 7 1 252 = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 ou 120 = 22. 32 . 5 150 2 75 3 25 5 5 5 1 150 = 2 . 3 . 5 . 5 ou 150 = 2 . 3 . 52 mdc(120, 252, 150) = 2 . 3 = 6

Encontrando o mdc pelo método das divisões sucessivas

Texto retirado de autoria própria. Baseado em http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/mdc-divisoes-sucessivas.htm.

Já vimos que o máximo divisor comum entre dois ou mais números é o algarismo de maior valor que divide todos os números ao mesmo tempo. Já vimos também que esse algarismo pode ser calculado tanto conhecendo os divisores destes números quanto através dos seus processos de decomposição em fatores primos. Vamos conhecer agora um outro modo de calcular o máximo divisor comum: o método das divisões sucessivas.

(20)

O método das divisões sucessivas somente é válido para determinar o máximo divisor comum entre dois números. Para fazê-lo, devem ser seguidos os seguintes passos:

• Montar uma grade com três linhas e várias colunas; nesta grade, a primeira linha corresponde aos quocientes, a segunda linha aos dividendos e aos divisores e a terceira linha aos restos.

• Posicionar o número de maior valor no encontro entre a segunda linha e a primeira coluna. • Posicionar o número de menor valor à direita do número de maior valor.

• Efetuar a divisão do número de maior valor pelo número de menor valor; o quociente desta divisão será colocado acima do número de menor valor e o resto desta divisão será colocado abaixo do número de maior valor.

• Replicar o resto da divisão anterior, posicionando-o na segunda linha, ao lado do último número que ali estiver.

• Efetuar uma divisão entre o divisor da operação anterior e seu resto.

• Repetir este processo até que o resto da divisão seja igual a zero. Quando isso ocorrer, o divisor da última divisão será o máximo divisor comum dos números.

Como exemplo, vamos calcular o máximo divisor comum dos números 24 e 52. Inicialmente, montamos a grade, que é o dispositivo prático sobre o qual desenvolveremos o método das divisões sucessivas.

Em seguida, vamos posicionar o número de maior valor (que, neste caso, é o 52) no encontro entre a segunda linha e a primeira coluna e vamos posicionar, à direita dele, o número de menor valor (que, neste caso, é o 24).

52 24

Vamos efetuar agora a divisão entre 52 e 24 e posicionar o quociente e o resto encontrados em seus correspondentes lugares na grade. Fazendo isto, temos:

45 12 24 - 4 8 2 4 2 52 24 4

Feita a primeira divisão, vamos replicar seu resto (que, neste caso, é 4), posicionando-o ao lado do último número que estiver na segunda linha (que, neste caso, é 24). Assim:

2

52 24 4

4

Por fim, vamos efetuar uma divisão entre o divisor da operação anterior (que, neste caso, é o 24) e seu resto (que, neste caso, é 4). Fazendo isto, temos:

2 4 4 - 2 4 6 0 2 6 52 24 4 4 0 Quocientes ® Dividendos e divisores ® Restos ®

(21)

Como o resto encontrado para esta divisão foi zero, encerraremos as divisões por aqui e consideraremos como o máximo divisor comum dos números o divisor da última divisão realizada. Concluímos então que mdc(24, 52) = 4.

Exemplo 44) Encontre o máximo divisor comum dos números 34 e 82.

2 2 2 3

82 34 14 6 2

14 6 2 0

mdc(34, 82) = 2

Exemplo 45) Encontre o máximo divisor comum dos números 92 e 144.

1 1 1 3 3

144 92 52 40 12 4

52 40 12 4 0

mdc(92, 144) = 4

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 111. Adaptado.

Determine o máximo divisor comum entre os números:

a) 32 e 48 b) 60 e 72

Observações

Texto de autoria própria. Contém fragmentos de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 110.

• Dados dois ou mais números, se um destes números é divisor de todos os outros, então ele é o máximo divisor comum dos números dados.

Exemplo 46) mdc(3, 30) = 3, uma vez que 3 é divisor tanto de 3 quanto de 30.

Exemplo 47) mdc(20, 40, 80) = 20, uma vez que 20 é divisor tanto de 20, quanto de 40, quanto de 80.

• O máximo divisor comum do dobro de dois ou mais números é igual ao dobro do máximo divisor comum destes números.

Exemplo 48) mdc (12, 18) = 6

®

mdc (24, 36) = 12.

• Dois ou mais números que têm o máximo divisor comum igual a 1 são chamados de números primos entre si.

Por exemplo, 8 e 15 são primos entre si, pois o mdc(8, 15) = 1. Observe: o Divisores de 8: 1, 2, 4, 8;

o Divisores de 15: 1, 3, 5, 15.

(22)

c) 75 e 125

d) 70, 90 e 120

e) 198, 126 e 54

f) 28, 70 e 84

Mínimo múltiplo comum

Considere a seguinte situação:

Um feirante sempre leva para a feira a mesma quantidade de ovos de galinha para vender. Ele sabe que colocando os ovos em embalagens para 12 ou para 18 ovos, não sobra nem falta ovo.

Vamos calcular qual é o menor número de ovos que satisfaz essas condições. Inicialmente, determinamos os múltiplos de cada um desses números:

• Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ... • Múltiplos de 18: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...

Os números que são múltiplos de 12 e também de 18 são chamados de múltiplos comuns de 12 e 18. São eles: 0, 36, 72, ....

Dos múltiplos comuns, diferentes de zero, o menor número é o 36. Assim, o menor número de ovos é 36.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum e representado pelas iniciais mmc.

Na situação apresentada vimos que o mínimo múltiplo comum de 12 e 18 é 36, que se indica por mmc(12, 18) = 36.

(23)

Encontrando o mmc pela decomposição em fatores primos

Vimos como calcular o mmc de dois ou mais números naturais conhecendo os múltiplos de cada um desses números. Existem, porém, outros processos que permitem calcular o mmc entre dois ou mais números naturais. Vamos ver dois desses processos.

1º) Decompondo cada número separadamente

Esse processo consiste em decompor cada número em fatores primos.

Como exemplo, vamos determinar o mmc dos números 280 e 300. Inicialmente, decompomos cada número em fatores primos:

280 2 140 2 70 2 35 5 7 7 1 280 = 2 . 2 . 2 . 5 . 7 ou 280 = 23 . 5 . 7 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 ou 300 = 22 . 3 . 52

Multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns e, entre os fatores com bases iguais, escolheremos aquele que apresente maior expoente, uma vez que procuramos o múltiplo de 280 e 300 ao mesmo tempo. Então:

mmc(280, 300) = 23 . 3 . 52 . 7 = 8 . 3 . 25 . 7 = 4 200

2º) Decomposição simultânea

Esse processo consiste em decompor simultaneamente os números em fatores primos.

Vamos determinar o mmc dos números 280 e 300. Inicialmente, decompomos simultaneamente os números em fatores primos:

280, 300 2 140, 150 2

70, 75 2 ¬ 75 não é divisível por 2: deve ser repetido.

35, 25 5

1, 1 ¬ Linha de 1: fim da decomposição.

Em seguida, basta efetuar a multiplicação dos fatores obtidos. Então, mmc(280, 300) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 5 . 7 = 4 200.

Ainda como exemplo, vamos decompor simultaneamente os números 120, 252 e 300 em fatores primos.

120, 252, 300 2 60, 126, 150 2

30, 63, 75 2 ¬ 63 e 75 não são divisíveis por 2: devem ser repetidos.

15, 63, 75 3

5, 7, 25 5 ¬ 7 não é divisível por 2: deve ser repetido.

1, 7, 1 7 ¬ 1 não é divisível por 7: deve ser repetido.

(24)

Em seguida, basta efetuar a multiplicação dos fatores obtidos. Assim: mmc(120, 252, 300) = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 5 . 7 = 12 600

Agora é a sua vez!

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 111. Adaptado.

Determine o mínimo múltiplo comum entre os números: a) 40 e 60

b) 45 e 120

c) 72, 45 e 54

d) 15, 20 e 25

Relacão entre o mmc e o mdc

Texto retirado de RIBEIRO, Paulo Vinicius; CAMILO, Luiz Paulo; REIS, Frederico. Matemática – Coleção Estudo: Vol. 1. Belo Horizonte: Editoria Bernoulli, 2012. (Apostila). Pág. 23

Sendo a e b dois números naturais, temos:

mmc(a, b) . mdc(a, b) = a . b

Observações

• Dados dois ou mais números, se um destes números é múltiplo de todos os outros, então ele é o mínimo múltiplo comum dos números dados.

Exemplo 49) mmc(3, 30) = 30, uma vez que 30 é múltiplo tanto de 3 quanto de 30.

Exemplo 50) mmc(20, 40, 80) = 80, uma vez que 80 é múltiplo tanto de 20, quanto de 40, quanto de 80.

• O mínimo múltiplo comum de números primos entre si é igual ao produto dos próprios números.

Exemplo 51) mmc(11, 13) = 11 . 13 = 143.

Exemplo 52) mmc(17, 19, 23) = 17 . 19 . 23 = 7 429.

(25)

Exercícios

Questões fáceis

1) Determine:

a) Os múltiplos de 9 menores que 50: _______________________________________________ b) Os múltiplos de 6 maiores que 20 e menores que 50: _________________________________ c) Os múltiplos de 14 entre 40 e 90: ________________________________________________ d) Os múltiplos de 10 entre 12 e 50: ________________________________________________ e) Os múltiplos de 11 maiores que 66 e menores que 111: _______________________________

2) Os escoteiros disputam uma gincana. Veja como Diego foi desafiado por Guilherme.

Descubra você também quantos são os escoteiros do grupo de Guilherme.

3) Responda:

a) Qual é o menor número que devemos somar a 90 para obtermos um múltiplo de 35?

(26)

4) Em 1705, Edmond Halley (1656 - 1742) previu que o cometa visto em 1531, 1607 e 1683 poderia ser visto novamente em 1759. Esse fato se comprovou e, anos depois, o cometa ganhou o nome do cientista. Admitindo que o período de órbita do cometa Halley é de 76 anos, qual será o primeiro ano do século XXI em que esse cometa voltará a ser visto?

5) Paulo, Leo e Rui estão contando de 3 em 3.

Quem dirá 174?

6) Determine:

a) Os divisores de 72 compreendidos entre 10 e 30: ___________________________________ b) Os divisores ímpares de 40: ____________________________________________________ c) Os divisores pares de 40: ______________________________________________________ d) Os três maiores divisores de 32: _________________________________________________ e) O maior divisor de qualquer número natural não nulo: ________________________________ f) O menor divisor natural de qualquer número: _______________________________________

7) Miriam tem 90 fotos para colar em seu álbum. Sabendo que cada página deve conter a mesma quantidade de fotos, responda às questões abaixo.

(27)

b) Ela poderá colar 4 fotos em cada página? Justifique sua resposta.

c) Quais serão as possíveis quantidades de fotos de cada página se o álbum tiver mais de 10 e menos de 50 páginas?

8) Complete com múltiplo ou divisor:

a) 9 é _______________________ de 18. b) 56 é _______________________ de 8. c) 40 é _______________________ de 5. d) 12 é _______________________ de 6. e) 24 é ______________________ de 12. f) 10 é _______________________ de 2. g) 14 é _______________________ de 7. h) 20 é ______________________ de 40. i) 6 é _______________________ de 12. j) 8 é _______________________ de 40. k) 2 é _______________________ de 10. l) 15 é ______________________ de 60. m) 20 é _______________________ de 4. n) 12 é ______________________ de 24. o) 40 é ______________________ de 80. p) 143 é _____________________ de 11.

9) Escreva o menor número natural de três algarismos divisível por: a) 2: _____________________________ b) 3: _____________________________ c) 4: _____________________________ d) 5: _____________________________ e) 6: _____________________________ f) 9: _____________________________

10) Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então qual é o maior valor que A pode assumir?

11) Determine:

a) O maior número natural de três algarismos divisível por 5: _____________________________ b) O maior número natural de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, por 3 e por 5: __________________________________________________________________________ c) O maior número natural de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 3 e por 4: _________ d) O menor número que devemos adicionar a 763 para obter um número natural divisível por 3:

__________________________________________________________________________ e) O menor número que devemos adicionar a 763 para obter um número divisível por 5: ________

(28)

f) O menor número que devemos adicionar a 763 para obter um número natural divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo: __________________________________________________________ g) O maior número natural de quatro algarismos diferentes que seja divisível por 2 e por 3: ______ h) O maior número natural de quatro algarismos diferentes que seja divisível por 2 mas não por 3: ________________________________________________________________________ i) O maior número natural de quatro algarismos diferentes que seja divisível por 3 mas não por

2: ________________________________________________________________________ j) O maior número natural de quatro algarismos diferentes não divisível nem por 2 nem por 3:

__________________________________________________________________________ k) O maior número natural de seis algarismos divisível por 10: ___________________________ l) O menor número natural divisível por 9 formado apenas pelo algarismo 4: ________________

12) Os rapazes 1, 2, 3 e 4 namoram as garotas A, B, C e D. Observe atentamente os textos e os desenhos e diga qual é o nome das quatro garotas e quem são seus respectivos namorados.

13) Em um edifício de 20 andares, há vários elevadores. Um deles só para nos andares cujo número é múltiplo de 2; outro só para nos andares cujo número é múltiplo de 5. Considerando o andar térreo o andar zero, em quais andares se pode pegar qualquer um desses dois elevadores?

(29)

14) Na Som Bom, cada CD custa R$ 24,00. Mas na sua concorrente, Bom Som, há uma promoção e os mesmos CDs são vendidos a R$ 18,00 cada um. Qual é o menor número de CDs que podemos comprar em cada loja, gastando a mesma quantia? Qual é essa quantia?

15) Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 25 não é um número primo. _________

b) 1 não é um número primo. __________ c) 0 não é um número primo. __________ d) Todos os números ímpares são primos.

______________________________

e) Todos os números primos são ímpares. ______________________________ f) Nenhum número par é primo. _______ g) O menor número primo é par. _______

16) O número 1 050 decomposto em fatores primos é igual a 2a . 3b . 5c . 7d. Qual o valor da expressão a + b + c – d?

17) Determine, em cada caso, o número cuja decomposição em fatores primos está apresentada: a) 22 . 3 . 5 = ______________________ b) 3 . 17 = ________________________ c) 32 . 11 = ________________________ d) 24 . 32 = ________________________ e) 24 . 23 . 5 = ______________________ f) 33 . 52 . 7 = ______________________

18) Considere o número natural A = 2 . 3 . 5 . 7. Verifique, sem efetuar os cálculos, se esse número é divisível por:

(30)

e) 7: _______ f) 11: ______ g) 14: ______ h) 15: ______ i) 30: ______ j) 33: ______ k) 70: ______ l) 77: ______

19) Os irmãos Jorge, Flávio e Alexandre, têm idades que são números primos. Jorge é o mais velho e Alexandre é o mais novo. Sabendo que o produto das idades é 195, responda:

a) Quais as idades dos três irmãos?

b) Qual a diferença de idade entre o mais velho e o mais novo?

c) Qual a diferença de idade entre Flávio e Jorge?

d) Qual a diferença de idade entre Flávio e Alexandre?

20) Determine a quantidade de divisores naturais de N = 35 . 117.

21) Luana tem 40 canetas coloridas e quer organizá-las em estojos de modo que em cada estojo haja a mesma quantidade de canetas. Observando seu material ela percebeu que possui vários estojos e deseja utilizar todos eles no seu processo de organização. Contudo, ela percebeu também que não possui estojos suficientes para que cada caneta seja colocada em um estojo. Assim sendo, de quantas maneiras diferentes Luana pode organizar suas canetas?

(31)

22) Dados os números na forma fatorada 23 . 3 . 52, 2 . 32 . 7 e 24 . 33 . 5, calcule o máximo divisor comum deles.

23) Verifique em cada caso se os números a seguir são primos entre si. Justifique sua resposta. a) 4 e 5

b) 16 e 25

c) 15 e 21

d) 18 e 42

24) Responda:

a) Qual é o máximo divisor comum de dois números consecutivos diferentes de zero? __________________________________________________________________________ b) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais pares consecutivos? ____________ c) Qual é o máximo divisor comum de dois números naturais ímpares consecutivos? __________ d) Dois números primos entre si são multiplicados por 28. Qual é o máximo divisor comum dos dois produtos obtidos? ________________________________________________________ e) O máximo divisor comum de dois números é 18. Se dividirmos cada um deles por 3, qual será o máximo divisor comum dos novos números? _____________________________________

25) Na Escola Começo, o 6º ano A, com 48 alunos, o 6º ano B, com 36, e o 6º ano C, com 30, organizaram uma competição que contou com a participação de todos os alunos. Cada turma formou suas equipes. Todas as equipes tinham o mesmo número de alunos e o maior número possível deles.

(32)

a) Quantos alunos participaram de cada equipe?

b) Qual é o número total de equipes?

26) Em uma loja de tecidos, a balconista Carla conversa com o gerente Augusto:

Carla pensou, pensou, e conseguiu determinar com exatidão o comprimento de cada retalho. Determine esse comprimento.

27) Dado os números na forma fatorada, 23 . 3 . 5, 23 . 5 . 7 e 2 . 3 . 5 . 7, calcule o mínimo múltiplo comum deles.

(33)

28) O máximo divisor comum de dois números é 24, o mínimo múltiplo comum entre eles é 504, e um dos números é 168. Calcule o outro número.

29) De um terminal urbano partem ônibus para o bairro A de 18 em 18 minutos, para o bairro B de 12 em 12 minutos e para o bairro C de 10 em 10 minutos. Sabendo que às 10 horas partiram ônibus dessas três linhas, determine a que horas eles partirão juntos novamente.

30) Na fila em que fiquei para comprar ingresso para assistir a um filme, havia 33 pessoas na minha frente. Notei que a cada 3 pessoas uma usava alguma peça de roupa branca, a cada 5 uma usava óculos e a cada 4 uma estava com um saquinho de pipoca nas mãos. Determine quantas pessoas dessa fila:

a) Estava com uma peça de roupa branca e usavam óculos.

b) Estavam com uma peça de roupa branca e estavam comendo pipoca.

(34)

d) Estavam com uma peça de roupa branca, usavam óculos e estavam comendo pipoca.

31) Sônia trouxe de sua chácara uma cesta de laranjas para as irmãs Flávia e Fabiana. Flávia contou as laranjas de 6 em 6 e não sobrou nenhuma, e Fabiana as contou de 8 em 8 e também não sobrou nenhuma. Quantas laranjas continha a cesta, sabendo que o número delas era maior que 90 e menor que 100?

32) Rosa mora sozinha em uma cidade a 200 quilômetros de distância de seus sobrinhos Roberto, Mário e Rosana. Para evitar que a tia Rosa fique muito tempo só, seus sobrinhos combinaram de visita-la da seguinte forma: Roberto costuma visita-la a cada 12 dias, Mário, a cada 20 dias, e Rosana, a cada 18 dias. Supondo que eles se encontraram hoje na casa da tia Rosa, daqui a quantos dias será o próximo encontro?

(35)

Gabarito

Agora é a sua vez!

Pág. 02 a) 0, 3, 6, 9, 12 b) 0, 6, 12, 18, 24 c) 0, 8, 16, 24, 32 d) 0, 12, 24, 36, 48 e) 0, 15, 30, 45, 60 f) 0, 20, 40, 60 80 Pág. 05 a) 1 e 11 b) 1, 2, 3, 6, 9 e 18 c) 1, 5 e 25 d) 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90 Pág. 11 a) 0, 2, 4, 6 ou 8 b) 0, 3, 6 ou 9 c) 2 ou 6 d) 0 ou 5 e) 0 ou 6 f) 2 g) 3 h) 0 i) 2 j) 6 Pág. 13

a) Primo b) Primo c) Composto d) Primo

Pág. 14 a) 32 b) 73 c) 94 d) 17 Pág. 16 a) 120 = 23 . 3 . 5 b) 144 = 24 . 32 c) 168 = 23 . 3 . 7 d) 225 = 32 . 52 e) 117 = 32 . 13 f) 125 = 53 Pág. 18 a) 16 divisores b) 24 divisores c) 7 divisores d) 24 divisores Págs. 21 e 22 a) 16 b) 12 c) 25 d) 10 e) 18 f) 14

(36)

Pág. 24 a) 120 b) 360 c) 1 080 d) 300

Exercícios

Questões fáceis

1) a) 0, 9, 18, 27, 36, 45 b) 24, 30, 36, 42, 48 c) 42, 56, 70, 84 d) 20, 30, 40 e) 77, 88, 99, 110 2) 21 escoteiros 3) a) 15 b) 20 4) 2063 5) Paulo 6) a) 12, 18 e 24 b) 1 e 5 c) 2, 4, 8, 10, 20 e 40 d) 32, 16 e 8 e) Ele próprio. f) 1 7) a) 6 fotos

b) Não, porque a divisão de 90 por 4 não é exata, ou seja, 4 não é divisor de 90. c) 2, 3, 5 ou 6 fotos 8) a) Divisor b) Múltiplo c) Múltiplo d) Múltiplo e) Múltiplo f) Múltiplo g) Múltiplo h) Divisor i) Divisor j) Divisor k) Divisor l) Divisor m) Múltiplo n) Divisor o) Divisor p) Múltiplo 9) a) 100 b) 102 c) 100 d) 100 e) 102 f) 108 10) 6 11) a) 995 b) 990 c) 996 d) 2 e) 2 f) 5 g) 9 876 h) 9 874 i) 9 873 j) 9 875 k) 999 990 l) 444 444 444

12) Rapaz 4 e garota A (Marilda), rapaz 3 e garota C (Sofia), rapaz 1 e garota D (Cristina) e rapaz 2 e garota B (Joana).

(37)

14) 3 na Som Bom; 4 na Bom Som; R$ 72,00 15) a) V b) V c) V d) F e) F f) F g) V 16) 3 17) a) 60 b) 51 c) 99 d) 144 e) 640 f) 4 725 18) a) Sim b) Sim c) Sim d) Sim e) Sim f) Não g) Sim h) Sim i) Sim j) Não k) Sim l) Não 19)

a) Alexandre tem 3 anos, Flávio tem 5 anos e Jorge tem 13 anos.

b) 10 anos c) 8 anos d) 2 anos

20) 528 divisores 21) 6 maneiras diferentes 22) 6 23) a) Sim, porque mdc(4, 5) = 1. b) Sim, porque mdc(16, 25) = 1. c) Não, porque mdc(15, 21) = 3. d) Não, porque mdc(18, 42) = 6. 24) a) 1 b) 2 c) 1 d) 28 e) 6 25) a) 6 alunos b) 19 equipes 26) 78 centímetros 27) 840 28) 72 29) Às 13:00. 30) a) 2 b) 2 c) 1 d) Nenhuma 31) 96 laranjas 32) 180 dias

Bibliografia

• ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS. Maria José. Praticando matemática – 6. 3ª edição renovada. São Paulo: Editora do Brasil, 2012.

• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: Bianchini – 6º ano. 7ª edição. São Paulo: Moderna, 2011. • BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015.

(38)

• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática – 6º ano. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2016.

• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios - 6º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. • RIBEIRO, Paulo Vinicius; CAMILO, Luiz Paulo; REIS, Frederico. Matemática – Coleção Estudo: Vol. 1. Belo Horizonte:

Editoria Bernoulli, 2012. (Apostila).

• SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015.

• YOUSSEF, Antônio Nicolau; PACHI, Clarice Garneiro da Fonseca; HESSEL, Heloísa Maria. Linguagens e aplicações:

Matemática – 6º ano. 1ª edição. São Paulo: Cereja Editora, 2015.

• https://www.somatematica.com.br/fundam/critdiv.php. Acesso em: 26 de abril de 2018.

• http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/mdc-divisoes-sucessivas.htm. Acesso em: 03 de maio de 2018.