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Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, onde conseguimos determinar todos os casos possíveis, até as situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem. Por exemplo, como podemos contar quantas placas de licença de automóveis podem ser feitas, constituídas por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantos números de telefone podem ser formados, com o DDD 19 e o prefixo 3608, etc...
Um exemplo simples está relacionado aos anagramas, que são palavras formadas com as mesmas letras de uma palavra dada, podendo ter ou não, significado na linguagem comum. Por exemplo, AVON é um anagrama da palavra NOVA. HOTEL LETOH (em Mococa), transportadora RIAD o nome do proprietário é DAIR, etc...
Quantos anagramas podem ser formados com o uso das três letras da palavra LIA. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem das possibilidades (LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA), ou seja, existem 6 possibilidades de anagramas. Mas, seria inviável listarmos todas as possibilidades para os exemplos iniciais (quantidade de placas de automóveis e quantidade de números telefônicos), além de ser um trabalho exaustivo, certamente cometeríamos erros de repetição ou de omissão de possibilidades. Nas aplicações, geralmente estamos interessados na quantidade de possibilidades e não em determinar quais são elas.
Princípio Fundamental da Contagem – PFC ou Princípio da Multiplicativo.
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas (diferentes). Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado pela multiplicação de n por m (n ∙ m). Por exemplo, de quantas maneiras distintas pode uma pessoa subir até o último andar de um prédio, havendo 3 portas de entrada e 4 elevadores? A resposta seria 3 ∙ 4 = 12 maneiras.
Esse princípio pode ser generalizado para ações compostas de mais de duas etapas, por exemplo, num restaurante há 2 tipos de saladas, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos para fazer uma refeição composta de uma salada, um prato quente e uma sobremesa? Resposta: 2 ∙3 ∙ 3 = 18 possibilidades.
Exercícios:
1. Existem 3 estradas ligando a cidade A à cidade B, e 4 estradas ligando B a C. De quantos modos uma pessoa pode viajar de A para C, passando por B? Resposta: 12 modos.
2. Existem 3 estradas ligando a cidade A à cidade B, e 4 estradas ligando B a C. De quantos modos uma pessoa pode viajar de A para C, passando por B e utilizando 2 dessas 7 estradas? DICA: Observe que o final desse enunciado, serve apenas para confundir. Resposta: 12 modos.
3. Um homem possui 7 ternos, 5 camisas e 3 pares de sapatos. De quantos modos ele pode escolher um terno, uma camisa e um par de sapatos? Resposta: 105 modos.
4. Em um campeonato de futebol participam 8 times. De quantos modos podemos ter os 2 primeiros colocados? Resposta: 56 modos.
5. Quantos números naturais de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resposta: 343 modos. 6. Quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resposta: 210 números.
7. Quantos números naturais pares de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resposta: 1.029 números.
8. Quantos números naturais pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Resposta: 360 números.
9. No Brasil, as placas dos automóveis são formadas por três letras, das 26 letras do nosso alfabeto, seguidas de quatro algarismos do nosso sistema decimal, podendo haver repetição de letras e de algarismos. Qual o número máximo de veículos que podem ser licenciados, ou seja, quantos carros podem ser emplacados? Resposta: 175.760.000 carros. 10. No Brasil, quantas placas de carros podem ser formadas contendo somente vogais, todas distintas e com algarismo da unidade de milhar igual a 7? Resposta: 60.000 placas.
11. Quantos números de telefone fixo podem ser formados, com o DDD 19 e o prefixo 3608? Resposta: 10.000 números de telefones fixos.
12. Com os algarismos ímpares, quantos números de algarismos distintos que estejam entre 700 e 1.600 podemos formar? Resposta: 36 números.DICA: Os candidatos a ocuparem lugar na confecção do número são: 1, 3, 5, 7 e 9. Temos dois tipos de números: a) números de 3 algarismos, maiores que 700 ou b) números de 4 algarismos, menores que 1.600. Dessa forma, devemos calcular separadamente os dois casos e depois, pelo Princípio da Adição, temos 24 + 12 = 36.
13. Quantos números naturais pares e de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5, 7? Resposta: 108 números. DICA: Candidatos: 0, 1, 2, 3, 5, 7. Os números em questão não podem começar por 0 e devem terminar em 0 ou 2. Se tentássemos resolver o exercício em um só bloco, possivelmente perderíamos detalhes importantes
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como: “Quando o 0 estiver na última casa não haverá restrição na primeira casa”. Para não cairmos nesse tipo de armadilha, evitaremos trabalhar com duas restrições; isto é, fixaremos uma delas e abriremos o problema em vários problemas de uma restrição só. Dessa forma, devemos calcular separadamente os dois casos e depois, pelo Princípio da Adição: 60 + 48 = 108
Fatorial
Nos exercícios anteriores, você se deparou várias vezes com cálculos que envolveram produtos de números naturais consecutivos, tais como:
7∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 11∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5
Para facilitar a forma escrita de expressões desse tipo, criou-se um símbolo que denota o produto de números naturais consecutivos, chamado fatorial (!).
O fatorial de um número natural n, representado pelo símbolo n! ( lê-se: ene fatorial ou fatorial de ene), é um número definido por recorrência, ou seja, cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial anterior.
Indicamos por 5! (leia: cinco fatorial) o produto dos cinco primeiros naturais positivos: 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120. Não existe fatorial de número negativo, dessa forma, dado um número natural qualquer n, sendo n > 1, definimos:
n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... Nos casos particulares n = 1 e n = 0, definimos:
1! = 1 e 0! = 1
Essas igualdades serão convenientes para as fórmulas que estudaremos adiante. Ao desenvolver um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos parar onde for conveniente, indicando os últimos fatores também na notação de fatorial. Ou seja:
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ou 8! = 8 ∙ 7! ou 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!, etc... Exercícios:
1. Calcule: a) 4! + 3! b) 7! c) 2! ∙ 4! d) (2 ∙ 4)! e) 6!
3! f) (3!)²
Respostas: a) 30 b) 5.040 (observe que 4!+3! é diferente de 7!) c)48 d) 40.320 (observe que 2! ∙ 4! É diferente de (2 ∙ 4)!) e) 120 (observe que 6! : 3! é diferente de 2!) f) 36 (observe que (3!)² é diferente de 9!)
2. Simplifique: a) 10! 2! ∙ 8! b) 8!+7! 7! c) 10!+11!+12! 12! Respostas: a)45 b)9 c) 12/11 3. Simplifique a expressão (𝑛+1)!−𝑛! 𝑛! Resposta: n Permutações Simples
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, de trocar objetos de posição.
De um modo geral, não nos interessa quais são as permutações que se podem fazer com os elementos de um conjunto, mas, sim, quantas são as permutações possíveis com esses elementos. Esse cálculo é bastante simples, pois ele pode ser feito por meio do PFC estudado anteriormente, uma vez que nas permutações simples, não aparecem elementos repetidos.
Duas permutações diferem entre si apenas pela ordem de seus elementos, ou seja, a ordem dos elementos aqui é importante. Por exemplo, quantos anagramas tem a palavra PAI? Se fizermos uma listagem, teremos (PAI, PIA, AIP, API, IAP, IPA), ou seja, 6 anagramas. Também poderíamos descobrir isso, pelo PFC, fazendo 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Usando permutação, como a palavra apresenta 3 letras distintas, devemos dispor as 3 letras em 3 posições, ou seja, 𝑃3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Num outro exemplo, para descobrirmos quantos anagramas tem a palavra PALMITO, como a palavra apresenta 7 letras distintas, devemos dispor as 7 letras em 7 posições, ou seja, 𝑃7 = 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5.040.
Como último exemplo, para descobrirmos quantos são os anagramas da palavra PALMITO, começados com a letra P, nos sobrariam 6 letras distintas, para permutá-las em 6 posições, ou seja, 𝑃6 = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720.
Dessa forma, raciocinando, concluímos que o número de permutações de n elementos distintos é dado por: 𝑷𝒏= 𝒏!
Enfim, permutar significa mudar, toda vez que você se deparar com um exercício onde apenas trocando (ou mudando) os elementos de posição sem mesmo acrescentar ou retirá-los, você obterá novas respostas então você poderá usar a permutação para a resolução do exercício em questão.
Exercícios:
1. Considere todos os anagramas da palavra PENSADOR. a) Quantos anagramas podemos formar? a)P8 = 8! = 40.320 b) Quantos anagramas começam pela letra P? b) P7 = 7! = 5.040
c) Quantos anagramas começam pelas letras P, E, N, juntas, e nessa ordem? c) P5 = 5! = 120. DICA: Colocando PEN fixo, nas 3 primeiras posições, resta-nos permutar as outras 5 letras.
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d) Quantos anagramas possuem as letras P, E, N, juntas, e nessa ordem? d) P6 = 6! = 720. DICA: A sequência PEN funciona agora como um só elemento. Assim, devemos permutar o bloco formado por PEN com as letras restantes S, A, D, O, R. Ou seja, PEN + 5 letras.
e) Quantos anagramas possuem as letras P, E, N juntas? e) P6 ∙P3 = 6! ∙3! = 720 ∙6 = 4.320. DICA: Observe que, para cada sequência formada pelas letras P, E, N (como, por exemplo, no item anterior), temos P6 = 6!. Mas, as letras P, E, N também se permutam de P3 = 3! Maneiras.
f) Quantos anagramas começam por vogal? f) 3 ∙ 7! = 3 ∙ 5.040 = 15.120. DICA: Temos 3 possibilidades para a vogal na primeira posição, restando permutar as 7 letras restantes entre si.
g) Quantos anagramas terminam por consoante? g) 7! ∙ 5 = 25.200. DICA: Temos 5 possibilidades para a consoante na última posição e, depois, permutamos as 7 letras restantes.
h) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? h) 3 ∙ 6! ∙ 5 = 15 ∙ 720 = 10.800. DICA: Temos 3 possibilidades de vogais na primeira posição e 5 possibilidades de consoantes para a última posição, restando permutar as 6 letras restantes.
2. Uma empresa vai promover uma reunião de seus diretores e gerentes com os acionistas. Uma mesa é preparada para acomodar seus 3 diretores e 4 gerentes, de modo que as 7 pessoas fiquem uma ao lado da outra. De quantos modos é possível essa acomodação, se os diretores devem ocupar os três lugares centrais? Resposta: 144 modos.
3. Quantos anagramas formados com as letras da palavra FLAVIO possuem vogais e consoantes alternadas? DICA: A palavra FLAVIO tem 3 vogais e 3 consoantes, para as 6 posições temos, 3vogais x 3consoantes x 2vogais x 2consoantes x 1vogal x 1consoante = 36 possibilidades começando por vogal, mas também pode começar por consoante, então vezes 2.Resposta: 72 anagramas.
4. Seis amigos vão ao cinema e devem ocupar as seis poltronas contíguas (consecutivas) de uma determinada fileira. Entre eles há o casal Daniel e Adriana.
a) De quantos modos eles podem ocupar os seis lugares, sabendo que Daniel e Adriana devem ficar juntos? 240 modos DICA: Devemos considerar Daniel e Adriana como uma só pessoa e permutar o bloco formado por eles com as 4 pessoas restantes e, também, trocar a ordem dos dois dentro do bloco.
b) De quantos modos eles podem ocupar os seis lugares, de modo que Daniel e Adriana, que estão brigados, não fiquem juntos em hipótese nenhuma? 480 modos
DICA: Calculamos o número de permutações possíveis com as 6 pessoas e descontamos aquelas em que Daniel e Adriana estão juntos.
5. Cinco pessoas, entre elas Fred e Fabiano, vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras elas podem ficar dispostas se Fred e Fabiano recusam-se a ficar lado a lado? Resposta: 72
6. Considere as permutações formadas com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5. Colocando-se os números assim obtidos em ordem crescente, qual a posição ocupada pelo número 32.415? Resposta: 57ª . DICA: Calcule separadamente, quantas permutações são possíveis, até chegar ao número 32.415.
7. Considere os anagramas formados com as letras da palavra PEDRO. Em quantos anagramas temos a letra E antes da letra O (não necessariamente juntas)? Resposta: 60. DICA: Com as letras da palavra PEDRO temos 5! = 120 anagramas. Se pensarmos nas posições das letras E e O, ou E vem antes de O ou O vem antes de E. Assim, exatamente a metade deles tem E antes de O, pois a outra metade tem O antes de E.
8. Considere os anagramas formados com as letras da palavra PEDRO. Em quantos anagramas temos a letra D antes da letra R sempre juntas? Resposta: Em 24. DICA: Como DR está junto e nessa ordem, é um bloco só que permuta com as outras 3 letras, formando 24 anagramas.
Permutações com Repetição
Vejamos agora quantas permutações podemos formar com elementos entre os quais há repetições. Com as letras A, A e B há três permutações apenas: (A , A , B) ; (A , B , A) e (B , A , A). Já sabíamos que o número de permutações de três elementos distintos é 𝑃3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. Agora vemos que, se entre os 3 elementos tivermos 2 repetidos, esse número fica dividido por 2! (são os dois As que se repetem). Indicamos o número de permutações de 3 elementos sendo 2 repetidos por 𝑃32 e calculamos da seguinte maneira:
𝑃32= 3! 2!=
6 2= 3
Num outro exemplo, poderíamos ter que calcular quantos são os anagramas da palavra BATATA. Se os “As” fossem diferentes e os “Ts” também, teríamos as letras 𝐵, 𝐴1, 𝐴2 , 𝐴3, 𝑇1, 𝑇2 e o total de anagramas seria 𝑃6 = 6! = 720. Mas, as permutações entre os 3 “As” não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir 𝑃6 por 𝑃3. O mesmo ocorre com os dois “Ts”, ou seja, precisamos dividir também por 𝑃2. Portanto, o número de anagramas da palavra BATATA é:
𝑃6 3,2 = 𝑃6 𝑃3∙ 𝑃2 = 6! 3! 2!= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3! 3! ∙ 2 = 120 2 = 60
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Exercícios:1. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ARARA? Resposta: 10
2. Considere as letras da palavra ARRASADO. Quantos anagramas começam pela sílaba RA? Resposta: 360. DICA: A palavra tem 8 letras, 3 iguais a A e 2 iguais a R. Colocando R na primeira posição e A na segunda, resta-nos permutar 6 letras, em que temos 2 letras iguais a A e um único R.
3. Quantos números naturais ímpares de 5 algarismos podemos escrever com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3, respeitadas as repetições apresentadas? Resposta: 18. DICA: Calcule separadamente, colocando primeiro o 1 na última casa e depois o 3 na última casa.
4. Uma palavra tem 8 letras, sendo que uma delas comparece n vezes, e as outras não se repetem. Determine n, sabendo que o número de anagramas possíveis de serem formados com as letras dessa palavra é igual a 336. Resposta: n = 5. DICA: Do enunciado 𝑃8𝑛= 336
5. Considere os anagramas formados com as letras da palavra RICHARD. Em quantos anagramas temos a letra A antes da letra I (não necessariamente juntas)? Resposta: Em 1260 anagramas. DICA: Observe que há repetição do erre. E se pensarmos nas posições das letras A e I, ou A vem antes de I ou I vem antes de A. Assim, exatamente a metade deles tem A antes de I, pois a outra metade tem I antes de A.
CURIOSIDADE: O enunciado acima, também poderia ser elaborado da seguinte forma: Quantos são os anagramas da palavra RICHARD em que as vogais estão em ordem alfabética? Resposta: Como as letras A e I não podem ser trocas entre si, podemos considerá-las como duas letras iguais. fazemos então uma permutação com elementos repetidos 7!:(2!.2!)=1260
Arranjos Simples
Arranjo é quando a ordem importa. Num arranjo de flores, se você mudar a ordem das flores, você muda o arranjo. O arranjo nos fornece uma fórmula, a qual serve para calcularmos exercícios que já vínhamos calculando anteriormente, utilizando o PFC.
𝑨𝒏,𝒌= 𝒏! (𝒏 − 𝒌)!
Por exemplo, com as letras A, B, C, D e E, quantos agrupamentos distintos de 2 elementos podemos formar? Pelo PFC: 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒔𝒂𝒓𝟓 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒊𝒏𝒄𝒐 𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔 ∙ 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒔𝒂𝒓𝟒 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝟒 𝒍𝒆𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝟐𝟎
Pela fórmula do arranjo, temos 5 elementos, tomados 2 a 2: 𝑨𝟓,𝟐= 𝟓! (𝟓−𝟐)!= 𝟓! 𝟑!= 𝟏𝟐𝟎 𝟔 = 𝟐𝟎 Exercícios: 1. Calcule 𝐴10,4 Resposta: 5040
2. Determine a expressão correspondente a 𝐴𝑥−3,2 Resposta: x² - 7x + 12 3. Determine o valor de x na equação 𝐴𝑥−1,2 = 30 Resposta: 7
4. Resolva as equações: a) (n + 1)! = 120(n + 1)n b) 𝐴𝑛,2
𝐴𝑛−1,2=
5 3 c) 𝐴𝑛,3+ 12𝐴𝑛,2= 2𝐴𝑛+1,3 Respostas: a) 6 b) 5 c) 8
5. Calcular o número de arranjos simples de 12 elementos tomados 4 a 4. Resposta: 11.880
6. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto (1; 2; 3; 4; 5; 6)? Resposta: 120. Obs.: Embora esse exercício possa ser calculado facilmente pelo PFC (6 ∙ 5 ∙ 4 ), resolva-o pela fórmula do arranjo de 6 elementos, tomados 3 a 3.
Arranjos Completos ou com Repetição
Chamamos Arranjos Completos ou Arranjos com Repetição aqueles em que os elementos não são todos indistinguíveis. Arranjos completos de n elementos, tomados k a k, são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos.
Ao calcular os arranjos completos, portanto, devemos considerar tanto os arranjos com elementos distintos (que são os arranjos simples) como também aqueles com elementos repetidos.
O Número total de arranjos completos de n elementos, tomados k a k, e representado pelo símbolo 𝐴𝑛,𝑘∗ , é dado por: 𝑨𝒏,𝒌∗ = 𝒏𝒌
Aqui a ordem também é importante e como já vimos em arranjos simples, os arranjos com repetição, também podem ser resolvidos através do princípio fundamental da contagem – PFC.
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Pelo PFC: 𝟏º𝟒 𝒂𝒍𝒈𝒂𝒓𝒊𝒔𝒎𝒐 ∙ 𝟐º𝟒 𝒂𝒍𝒈𝒂𝒓𝒊𝒔𝒎𝒐 ∙ 𝟑º𝟒 𝒂𝒍𝒈𝒂𝒓𝒊𝒔𝒎𝒐 = 𝟔𝟒Pela fórmula do arranjo, com repetição de elementos 3 a 3: 𝑨𝟒,𝟑∗ = 𝟒𝟑= 𝟔𝟒
Exercícios:
1. Calcule: a) 𝐴∗3,5 b) 𝐴10,3∗ Respostas: a) 243 b) 1000
2. Quantos números naturais de 2 algarismos distintos ou não podemos formar com os algarismos 4; 7; 8 e 9? Resposta: 16
3. Quantas placas de automóvel podem ser formadas, tendo cada uma três letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas de 4 algarismos do sistema decimal de numeração? Resposta: 175.760.000
4. Usando os algarismos 5; 6; 7; 8 e 9. Quantos números naturais de 4 algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos podemos formar? Resposta: 505. DICA: Calcule o total de números com repetição, em seguida subtraia do total de números sem repetição, dessa forma sobrarão os com repetição.
Números Binomiais
Da mesma forma que o estudo de Fatorial facilitou os cálculos anteriores, um estudo prévio de números binomiais, facilitará o nosso entendimento de Combinações. O coeficiente binomial, também é chamado de número binomial. Sendo n e k dois números naturais, o número binomial de ordem n e classe k, ou simplesmente o binomial n sobre k, representado pelo símbolo ( 𝒏𝒌 ) que por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e k, o denominador, é um novo número natural definido por:
( 𝒏𝒌 ) = 𝒏!
𝒌! (𝒏 − 𝒌)! , 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 ≥ 𝒌 Para n < k, definiremos ( 𝒏
𝒌 ) = 𝟎, uma vez que não existe fatorial negativo, pois os fatoriais são definidos no conjunto dos números naturais. Exercícios: 1. Calcule: a) ( 5 3 ) b) ( 7 4 ) c) ( 6 0 ) d) ( 6 6 ) e) ( 0 0 ) f) ( 2 5 ) g) ( 3 8 )
DICA: lembre-se que 0! = 1 e quando n < k o resultado é zero, pois ao tentar resolver pela fórmula, surgirá um fatorial negativo, que, por exemplo, na letra “ f ”, será o - 3! que é impossível, nos obrigando a recorrer a definição.
Respostas: a)10 b)35 c)1 d)1 e)1 f)0 g)0 Combinações Simples
Em combinação, a ordem não é importante, por exemplo, o grupo de alunas Andréia, Bruna e Cássia é igual ao grupo Cássia, Bruna e Andréia. Como já vimos, Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples ou com repetição. É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados de maneira errada, por exemplo, para se abrir um cofre, a ordem dos números é importante, por isso deveria se chamar Arranjo ao invés de Combinação. Uma combinação simples de n elementos tomados k a k é dado por:
𝑪𝒏,𝒌 = ( 𝒏 𝒌 ) =
𝒏! 𝒌! (𝒏 − 𝒌)!
Exemplificando combinação, vamos calcular o número de combinações possíveis para o sorteio da Mega-Sena. Observe que para calcular as probabilidades em loterias, tem que se usar a fórmula das combinações, pois não importa a ordem que os números são sorteados. Para acertar as 6 dezenas da Mega-Sena no universo {1; 2; 3; ...; 58; 59; 60}, temos:
𝐶60,6= ( 606 ) = 60! 6! (60 − 6)!= 60 ∙ 59 ∙ 58 ∙ 57 ∙ 56 ∙ 55 ∙ 54! 720 ∙ 54! =36045979200 720 = 50.063.860 Exercícios: 1. Calcule: C 7, 3 + C 3, 3 – C 4, 0. Resposta: 35
2. A diretoria de um centro acadêmico de uma faculdade é constituída por 5 estudantes do sexo masculino e 3 do sexo feminino. Determine quantas comissões de 5 desses estudantes podem ser formadas de modo que cada uma tenha 3 rapazes e 2 moças. Resposta: 30
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3. Um químico dispõe de 10 tipos de substâncias. De quantas maneiras ele poderá associar 4 dessas substâncias de modo que uma determinada substância sempre esteja na escolha efetuada? Resposta: 844. Em um encontro de amigos todos trocaram cumprimentos com apertos de mão. Sabendo que aconteceram 66 apertos de mão, quantas pessoas se encontraram?
Resposta: 12
5. De quantos modos podemos separar 10 pessoas em dois grupos, um de 7 pessoas e o outro de 3 pessoas? Resposta: 120
6. Qual é o número de triângulos que podemos formar com 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre outra reta paralela à primeira? Resposta: 30
7. São dados 8 pontos em um plano, sendo que não existem 3 quaisquer alinhados, com exceção de 5 deles que estão em uma mesma reta (figura a seguir). Quantas retas esses pontos determinam? Resposta: 19
8. Quantas diagonais possui um polígono convexo de n lados? Resposta:𝑛(𝑛−3) 2 Combinação Completa ou com Repetição
Chamamos Combinações Completas ou Combinação com Repetição aquelas em que os elementos não são todos indistinguíveis. Combinações completas de n elementos, tomados k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Ao calcular as combinações completas, portanto, devemos considerar tanto as combinações com elementos distintos (que são as combinações simples) como também aquelas com elementos repetidos. O Número total de combinações completas de n elementos, tomados k a k, é dado por:
𝑪𝑹
𝒏𝒌= 𝑪
𝒏+𝒌−𝟏𝒌Chamamos Combinações Completas ou Combinação com Repetição aquelas em que os elementos não são todos indistinguíveis. Combinações completas de n elementos, tomados k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Ao calcular as combinações completas, portanto, devemos considerar tanto as combinações com elementos distintos (que são as combinações simples) como também aquelas com elementos repetidos. O Número total de combinações completas de n elementos, tomados k a k, é dado por:
𝑪𝑹
𝒏𝒌= 𝑪
𝒏+𝒌−𝟏𝒌Exemplo 1: Qual o número de soluções naturais da equação x + y + z = 8 ?
Para n = 3 e k = 8, temos:
𝑪𝑹𝒏𝒌 = 𝑪𝒏+𝒌−𝟏𝒌 𝑪𝟑+𝟖−𝟏𝟖 = 𝑪𝟏𝟎𝟖 = 𝟏𝟎! 𝟖! 𝟐!= 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 𝟐 = 𝟒𝟓Também podemos resolver esse exercício da forma abaixo:
Uma possível solução seria:
2 + 5 + 1
Podemos representar os números por pontos e os sinais de adição por barras:
● ● | ● ● ● ● ● | ●
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Dessa forma, temos 10 elementos (8 pontos e 2 barras) que podem ser permutados, ou seja:
𝑷
𝟏𝟎𝟐,𝟖=
𝟏𝟎!
𝟐! 𝟖!
= 𝟒𝟓 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔
Exemplo 2: Qual o número de soluções naturais da equação x + y + z + w = 3 ?
Para n = 4 e k = 3, temos:
𝑪𝑹𝒏𝒌 = 𝑪𝒏+𝒌−𝟏𝒌
𝑪𝟒+𝟑−𝟏𝟑 = 𝑪𝟔𝟑=
𝟔! 𝟑! 𝟑!= 𝟐𝟎
Também podemos resolver esse exercício da forma abaixo:
Uma possível solução seria:
0 + 0 + 1 + 2
Podemos representar os números por pontos e os sinais de adição por barras:
| | ● | ● ●
Dessa forma, temos 6 elementos (3 pontos e 3 barras) que podem ser permutados, ou seja:
𝑷
𝟔𝟑,𝟑=
𝟔!
𝟑! 𝟑!
= 𝟐𝟎 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔
Exemplo 3: Qual o número de soluções naturais da equação x + y + z + w + t = 2 ?
Para n = 5 e k = 2, temos:
𝑪𝑹𝒏𝒌 = 𝑪𝒏+𝒌−𝟏𝒌 𝑪𝟓+𝟐−𝟏𝟐 = 𝑪 𝟔 𝟐= 𝟔! 𝟐! 𝟒!= 𝟏𝟓Também podemos resolver esse exercício da forma abaixo:
Uma possível solução seria:
0 + 0 + 0 + 1 + 1
Podemos representar os números por pontos e os sinais de adição por barras:
| | | ● | ●
Dessa forma, temos 6 elementos (2 pontos e 4 barras) que podem ser permutados, ou seja:
𝑷
𝟔𝟒,𝟐=
𝟔!
𝟒! 𝟐!
= 𝟏𝟓 𝒔𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔
Exemplo 4:
De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes em uma sorveteria que os oferece em 6 sabores distintos?Temos:
𝒙
𝟏+ 𝒙
𝟐+ ⋯ + 𝒙
𝟔= 𝟑
𝑪𝑹
𝒏𝒌= 𝑪
𝒏+𝒌−𝟏 𝒌𝑪
𝟔+𝟑−𝟏𝟑= 𝑪
𝟖𝟑= 𝟓𝟔
Exemplo 5:
Por exemplo, de quantas maneiras, uma oficina pode pintar 5 automóveis iguais, recebendo cada um, tinta de uma única cor, se a oficina dispõe de três cores e não quer misturá-las?Como os cinco automóveis são iguais, a ordem em que eles forem pintados, não irá alterar o resultado; necessariamente irá ocorrer repetição de cor, pois são cinco carros e apenas três cores. Trata-se, portanto, da combinação de três elementos, classe cinco, com repetição. O resultado é dado por:
Para n = 3 e k = 5, temos:
𝑪𝑹
𝒏𝒌= 𝑪
𝒏+𝒌−𝟏𝒌𝑪
𝟑+𝟓−𝟏𝟓= 𝑪
𝟕𝟓=
𝟕!
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Permutações Circulares:É um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência. É definida pela fórmula:
Por exemplo, de quantos modos 5 crianças podem formar uma roda?
1) Seja um conjunto com 4 pessoas. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma
mesa circular para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? P(4) = (4-1)! = 3! = 6
2) Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma
mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições? P(10) = (10-1)! = 9! = 362880
3) 5 crianças desejam brincar de roda. De quantos modos distintos estas crianças podem formar a roda sem que
haja repetição? P(5) = (5-1)! = 4! = 24
Binômio de Newton - Calculando (a + b)n
Você já calculou inúmeras vezes produtos como (a+b)² e (a+b)³, na verdade, você já deve ter memorizado o desenvolvimento de tais produtos, entretanto vamos lembrar mais uma vez:
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x² + 2xy + y² (quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo)
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ (cubo do primeiro, mais 3 vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais 3 vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo)
Você sabe de cor o desenvolvimento de (x + y)4 ?
Algumas pessoas sabem, mas muitas não. Mas, não se preocupe. Para obter (x + y)4, basta calcular (x + y)3 ∙ (x + y). Não
é difícil, mas dá trabalho. Imagine se você quiser obter tais produtos para expoentes maiores. A estratégia será a mesma, mas o trabalho será cada vez mais aborrecedor. Então, usaremos o Teorema do Binômio de Newton.
(𝑥 + 𝑦)𝑛= ∑ ( 𝑛 𝑘 ) 𝑛 𝑘=𝑜 ∙ 𝑥𝑛−𝑘∙ 𝑦𝑘 (𝑥 + 𝑦)𝑛= (𝑛 0) ∙ 𝑥𝑛−0∙ 𝑦0+ ( 𝑛 1) ∙ 𝑥𝑛−1∙ 𝑦1+ ⋯ + ( 𝑛 𝑛) ∙ 𝑥𝑛−𝑛∙ 𝑦𝑛
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Por exemplo, aplicando a fórmula acima em (x + y)², teremos: (𝑥 + 𝑦)2= (2 0) ∙ 𝑥 2−0∙ 𝑦0+ (2 1) ∙ 𝑥 2−1∙ 𝑦1+ (2 2) ∙ 𝑥 2−2∙ 𝑦2 Agora teremos que resolver, como fazíamos nas combinações, os binomiais:
(2 0) ; ( 2 1) ; ( 2 2)
Onde obteremos as respostas: 1; 2 ; 1, que são os coeficientes, os quais juntamente com as variáveis, resultam em: 1x² + 2xy + 1y², ou seja, x² + 2xy + y².
Exercícios:Nas questões a seguir, desenvolva: 1. (x + y)0 2. (x + y)1 3. (x + y)2 4. (x + y)³ 5. (x + y)4 6. (x - y)5 7. (x + y)6 8. (x - y)6 9. (2x + 3y)5 10. (x + 2)4 11. (2x - 1)4 12. (x + 3)4 13. (2x – y)3
Respostas: 1)1 2)x + y 3)x² + 2xy + y² 4)x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 5)x4 + 4x3y + 6x²y² + 4xy³ + y4 6)x5 - 5x4y + 10x³y² - 10x²y³
+ 5xy4 – y5 7)x6 + 6x5y + 15x4y² + 20x³y³ + 15x²y4 + 6xy5 + y6 8) x6 - 6x5y + 15x4y² - 20x³y³ + 15x²y4 - 6xy5 + y6 9)32x5 +
240x4y + 720x³y² + 1080x²y³ + 810xy4 +243y5 10)x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 11)16x4 - 32x3 + 24x2 - 8x + 1 12)x4 + 12x3
+ 54x2 + 108x + 81 13)8x³ – 12x²y + 6xy² – y³
14. Dê a soma dos coeficientes de (2x – y)³.
DICA: desenvolva todo o binômio (exercício anterior) e calcule a soma 8 – 12 + 6 – 1 Resposta: 1
Curiosidade: Para não termos de efetuar o desenvolvimento, basta fazermos as variáveis assumirem o valor 1. Assim, fazendo x = y = 1, vem: Soma = (2 ∙ 1 – 1)³ = 1³ = 1
