UM MODELO DE SIMULAÇÃO COM OTIMIZAÇÃO PARA O POSICIONAMENTO DE AMBULÂNCIAS DE UM SERVIÇO DE EMERGÊNCIAS MÉDICAS NO RIO DE JANEIRO

UM MODELO DE SIMULAÇÃO COM

OTIMIZAÇÃO PARA O

POSICIONAMENTO DE AMBULÂNCIAS

DE UM SERVIÇO DE EMERGÊNCIAS

MÉDICAS NO RIO DE JANEIRO

Lino Guimaraes Marujo (UFRJ ) lgmarujo@poli.ufrj.br Ricardo Brandao Costa (UFRJ ) ricardobc@poli.ufrj.br Guilherme Raposo Thompson (UFRJ ) grthompson@poli.ufrj.br

O presente trabalho estuda um problema de localização de serviços de emergência médica utilizando técnicas de simulação com otimização. Serviços altamente efetivos e eficientes tem sido a fronteira das organizações de saúde, portanto o focoo deste trabalho foi a otimização do posicionamento de ambulâncias de emergência aplicado a frota de um serviço de atendimento médico de urgências no Rio de Janeiro. Por meio da formulação de um Problema de Programação Linear Inteira Mista, produzem-se as soluções ótimas. Essas soluções, determinísticas, são submetidas a experimentos aleatórios e a análise de sensibilidade em um modelo de Simulação em Eventos Discretos. A partir desses experimentos, é possível avaliar o funcionamento do sistema e propor novas configurações, com o objetivo de melhorar a responsividade do sistema. Os resultados baseados em dados reais demonstram uma redução média de 47% no tempo de resposta do sistema.

Palavras-chave: Simulação com otimização; Modelos de localização; Posicionamento otimizado de ambulâncias.

2 1. Introdução

Este artigo apresenta um estudo do posicionamento otimizado de ambulâncias para Serviços de Atendimento de Emergências Médicas (SAEM) na cidade do Rio de Janeiro, onde o Corpo de Bombeiros Militar do Estado do Rio de Janeiro (CBMERJ) controla as operações do Serviço de Atendimento Movél de Urgência (SAMU, do francês: Service d'Aide Médicale

Urgente), público e gratuito.

No entanto, há ainda SAEMs operando com planos de assinaturas, como o estudo de caso apresentado aqui (a Cuidar Emergências). O objetivo desse estudo é a análise do posicionamento das ambulâncias do SAEM na cidade do Rio de Janeiro, através da aplicação das técnicas de Pesquisa Operacional (mais especificamente Programação Linear Inteira, PLI) e de Simulação no estudo do posicionamento otimizado para aprimorar suas efetividade. Desse modo, esse trabalho busca minimizar o tempo de resposta do sistema por meio de modelos de PLI e Simulação.

Segundo estatísticas da Secretaria Estadual de Saúde, entre 2010 e 2013 mais da metade das mortes na cidade do Rio de Janeiro foram em decorrência de doenças cujo tempo de intervenção é crítico. Essas doenças são: doenças dos aparelho circulatório, doenças hipertensivas, doenças isquêmicas, insuficiência cardíaca ou doenças cerebrovasculares (SECRETARIA DE ESTADO DE SAÚDE DO RIO DE JANEIRO, 2014).

Isso posto, fica evidente que os SAEMs da cidade do Rio de Janeiro precisam ser repensados e planejados para atenderem os requisitos impostos pelas necessidades atuais do sistema. Hoje, em sua frota a Cuidar possui 30 ambulâncias (5 unidades básicas do tipo B - ambulância de suporte básico, e 25 unidades avançadas do tipo D – ambulância de suporte avançado para alto risco)(MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2002), localizadas em 4 pontos pela cidade (Benfica, Copacabana, Santa Cruz e Barra da Tijuca), com diversos equipamentos para atendimento de múltiplas emergências médicas de seus associados. Fora isso, ela oferece ainda aluguel de ambulâncias e postos de saúde, remoções inter-hospitalares, cobertura de eventos e gerenciamento de pacientes crônicos.

Esse artigo iniciará por uma pequena introdução aos campos do conhecimento envolvidos e uma revisão bibliográfica do tema (seção 2). Posteriormente, será formalizado um modelo

3 preliminar em um Problema de Programação Linear Inteira (PLI) e serão estudadas ainda variações possíveis desse modelo (seção 3). E por fim, a solução proposta pela resolução do PLI será submetida a um modelo de simulação em eventos discretos (seção 4). A partir desse modelo teórico e das informações cedidas pela empresa, foi construído um modelo aplicado à cidade do Rio de Janeiro, e então analisados os resultados e as conclusões pertinentes ao uso de um modelo de otimização baseada em simulação (seção 5).

2. Problemas de localização de bases de serviços

De maneira simplificada, pode-se descrever a utilização de modelos de PPL em três etapas: formulação, resolução e validação dos resultados (HILLIER; LIEBERMAN, 2001). A primeira é a mais importante e corresponde a representação matemática do problema modelado.

Uma subclasse da PL é a Programação Linear Inteira (PLI) onde uma ou mais variáveis devem ter valores inteiros (ou binários). PLI puros são chamados os problemas que envolvem apenas variáveis inteiras e PLI misto envolvem pelo menos uma variável não inteira. A otimização de PLI tem um forte inconveniente de demandar um esforço computacional muito maior com o aumento do número de variáveis inteiras no modelo.

O posicionamento otimizado de ambulâncias é um caso de PLI misto relacionado ao problema de cobertura de vértices, com demandas aleatórias, geralmente descritas por um processo de Poisson(ANDRADE; CUNHA, 2014).

Goldberg (2004) faz um apanhado geral da tecnologia de gestão de SAEMs que usam modelos PO. Em seu artigo, o autor enumera e contextualiza a história dessa tecnologia, aborda questões relativas ao estado da técnica e da arte (em 2004) e elucida direções de trabalhos futuros. Ainda, destaca-se o trabalho de Brotcorne et al. (2003), pela revisão da evolução dos modelos de otimização da localização de SAEMs.

O estudo da otimização de instalações de socorros, i.e. centros de ambulâncias e estações dos bombeiros, deu seus primeiros passos no final do anos 60. Estudo assim foi realizado por Savas (1969) em New York City , no qual era, inclusive, para uma proposta de análise de custo-benefício do investimento em saúde pública, justificando gastos da aquisição de novas ambulâncias para o hospital local e seu satélite de ambulâncias.

4 Logo depois, o problema de localização de ambulâncias, começou a ser estudado e modelos primitivos começaram a ser desenvolvidos. Os dois modelos primitivos que tiveram maior repercussão foram o Location Set Covering Model (LSCM) (TOREGAS et al., 1971) e

Maximal Covering Location Problem (MCLP) (DASKIN et al., 2010).

Toregas et al. (1971) objetivaram minimizar o número de ambulâncias necessárias para que todas as demandas na área de cobertura do serviço fossem atendidas. Por sua vez, Church e ReVelle (1974) procuraram, utilizando um número fixo de ambulâncias, maximizar a cobertura do serviço por meio da localização dos veículos.

Trabalhos similares aplicados em outras cidades do país como Belo Horizonte (NOGUEIRA; PINTO; SILVA, 2014) e Campinas (TAKEDA; WIDMER; MORABITO, 2004), como também nas estradas do estado de São Paulo (IANNONI; MORABITO; SAYDAM, 2009). Por fim, Schmid and Doerner (2010), trouxeram para esse trabalho ainda a ideia de trabalhar com variáveis que se alteram no tempo.

3. Modelagem proposta

Será apresentado um modelo preliminar e serão expostas as variações desse modelo básico. O modelo preliminar formula um problema com os seguintes pressupostos:

I. As ambulâncias estão posicionadas em bases; II. As ambulâncias estão sempre disponíveis;

III. Os tempos operacionais (tempo de recebimento da chamada, tempo de alocação da ambulância, tempo de deslocamento a pé dos paramédicos etc.) são desprezíveis; IV. A cidade é dividida em áreas equiprováveis de gerar uma demanda por ambulância, ou seja, j j j n = P J, j e, λ, = λ J, j   1  _;

V. As bases, se ativadas, podem receber apenas uma ambulância;

VI. Cada ponto de demanda é coberto por uma e apenas uma ambulância; VII. Os parâmetros não se alteram ao longo do tempo.

5 Os pressupostos I, II, III são necessários para a formulação de um Problema de Programação Linear e por isso são inerentes a todos os modelos. Os pressupostos IV, V, VI e VII por outro lado, podem ser relaxados, assim como será descrito mais a frente.

Para o problema de otimização com simulação da localização de ambulâncias, foram avaliadas três formulações distintas: um modelo estático de localização, um modelo de dupla cobertura, e um modelo com reposicionamento dinâmico.

3.1 Conjuntos

I: Conjunto das bases de ambulâncias; J: Conjunto dos pontos de demanda.

É relevante destacar que os autores optaram por inverter a representação clássica da literatura do tema. O motivo principal é que normalmente as distâncias são representadas da base para o ponto de alguma demanda, sendo representadas na literatura como dji. Essa notação é não

intuitiva e pode levar a erros se a matriz for assimétrica. 3.2 Variáveis de decisão

yi: Variável binária de utilização ou não da base i;

xij: Variável binária de alocação ou não da ambulância na base i para atender a chamadas do

ponto de demanda j. 3.3 Dados

Dij: Matriz de distâncias reais de i para j em minutos, representando o tempo de deslocamento

entre os pontos;

NA: Número de ambulâncias disponíveis.

3.4. Modelo de localização estático

A função objetivo é a minimização o tempo total de resposta dado pelo posicionamento:

Min ij j i, ijx D = z



6 sujeito a: I i NA y i i   





Onde a expressão (1) minimiza a distancia total de serviço e as restrições (2) garante que há um número máximo de ambulâncias a serem usadas. A restrição (3) garante que cada ponto de demanda é atendido exatamente por uma ambulância e as restrições (4-5) de integralidade. A minimização do tempo total proporciona o “melhor global do sistema”, mas pode ser que para tal alguma área seja desprezada e tenha um tempo de resposta absurdamente alto. Nesse caso, a solução não seria balanceada por apresentar resultados muito distantes da média. Para tal, será adicionado um conjunto restrições estabelecendo que há um limite superior para o tempo de resposta, sem alterar a função objetivo, expressão (1).

Sendo, zmax o tempo máximo aceitável de resposta, tem-se então:

J z x D _ij i ij   



O pressuposto IV (a cidade é dividida em áreas equiprováveis de gerar uma demanda por ambulância) pode ser relaxado de maneira a descrever uma cidade mais real. Para isso, um percentual, Pj, de chamadas da cidade que acontecem numa área j da mesma, portanto mais

um conjunto de restrições P J j

j   



(1) pela adição da parcela de distribuição das chamadas, da seguinte forma:

Min ij j i, ij j j D x P = z





7 Algo que limita o bom desempenho da solução proposta pelos modelos preliminares é que uma segunda chamada de emergência pode acontecer enquanto a ambulância alocada àquela região está em operação. Na vida real, sabe-se que seria enviada a segunda ambulância mais próxima. Entretanto, o posicionamento dessa segunda ambulância não é otimizada. Foi necessário pressupor que isso não aconteceria para poder descrever o problema de PLI (pressuposto II).

Para contornar o pressuposto II, relaxaremos o pressuposto VI (os pontos de demanda são cobertos por uma e apenas uma ambulância). Haverá uma dupla cobertura: todo ponto de demanda será coberto por uma ambulância prioritária e uma ambulância secundária. Note que não há nada que impeça de fazer uma tripla ou maior cobertura a não ser o esforço adicional do projetista, mas os autores se limitaram a descrever apenas a segunda cobertura. Para isso as variáveis de decisão referentes aos tipos de ambulâncias a serem usadas são as seguintes:

x1ij: Variável binária de alocação ou não da ambulância prioritária na base i para atender a

chamadas do ponto de demanda j.

x2ij: Variável binária de alocação ou não da ambulância secundária na base i para atender a

chamadas do ponto de demanda j.

Para otimizar os dois posicionamentos simultaneamente é necessário utilizar uma função multiobjetivo como descrito abaixo.

Min  _









O parâmetro w representa o quanto se está disposto a abrir mão da otimização da alocação prioritária em prol da alocação secundária. Na prática w é a frequência com que a alocação prioritária é acionada e (1 - w) é a frequência com que a alocação secundária é acionada. Após a realização das simulações, percebeu-se que w varia de acordo com as regras de gestão da simulação e com o modelo de programação linear inteira utilizado, mas w = 99% mostrou-se um valor razoável.

8 Neste modelo, a restrição (3) é modificada, além daquelas explicitadas pelas expressões (2) a (6), da seguinte forma: J j 1 1   





As restrições (9) e (10) são derivações diretas da restrição (3) do modelo preliminar. A restrição (11) é derivada da restrição (4), e contém uma informação a mais: uma base de ambulâncias não pode ser utilizada simultaneamente tanto como alocação prioritária e alocação secundária para atender a demanda de j.

3.6 Modelo de reposicionamento dinâmico

Outro artifício possível para contornar a limitação do modelo preliminar descrito na seção de 3.5, Dupla Cobertura, é enxergar a solução como dinâmica: se α ambulâncias estão em operação, as ambulâncias se reposicionam de modo a assumir a solução otimizada de NA - α ambulâncias disponíveis. Na prática, isso não é variação da função objetivo nem do modelo preliminar, mas uma mudança da regra de gestão. Insere-se portanto um novo conjunto de restrições, da forma I i NA y i i    



3.7 Dados utilizados no modelo

As distâncias utilizadas no PL e na Simulação devem ser a distância real em metros. Esse tempo pode ser estimado pela distância euclidiana (no caso da cidade do Rio de Janeiro, é respeitada a geodésica para nos cálculos):





cos

. 1 _{j i j i j i}

ij r sen

d         

Onde r é o raio médio da Terra, δj é a latitude do ponto j em radianos e θj é a longitude do

9 necessitam de alguns dados sobre velocidade de movimentação dos veículos, que são bem difíceis de serem obtidos principalmente pelas múltiplas variáveis envolvidas. Assim, é proposto em (HILLSMAN; RHODA, 1978) um modelo simplificado para estimativa de tempo de chegada dos SAEMs, baseado no número de ambulâncias disponíveis para aquela região. Outro ponto destacável é a falta de dados quanto à origem da demanda. Em (KAMENETZKY; SHUMAN; WOLFE, 2015), é proposto um modelo para determinar o número de chamados de uma região, com R2 = 0,92, que usa apenas quatro variáveis: a população local, a taxa de emprego, a população e o número de casas por metro quadrado. 3.8 Modelo de simulação

O objetivo deste estudo é melhorar a efetividade dos SAEMs realizado por ambulâncias. Assim, o melhor indicador de performance que podemos selecionar é a taxa de sobrevivência, calculado da seguinte maneira:

madas totaldecha No tes sobreviven No sobrev Tx . . ) (  a. Dados do modelo

Para a modelagem do problema, os dados necessários foram:

 Distâncias;

 Taxa de sobrevivência de uma parada cardíaca em função do tempo, modelada como:

 

10

,

0

2

10

cos

1

)

(























t

t

t

P



 Número de ambulâncias (NA);

10

 Distribuição espacial das chamadas.

A simulação tem dois fluxos auxiliares de rotinas de leitura: inicializa-se a matriz de distâncias e o vetor de alocação (solução do PL).

No fluxo principal, uma entidade (chamada) é criada segundo uma função de distribuição exponencial de taxa λ e lhe é atribuída uma zona (ponto de demanda), onde todas as zonas são equiprováveis (j = 10). O recurso correspondente a zona, dado pelo vetor de alocação, é acionado e, caso esteja disponível, a ambulância se desloca a zona correspondente. O tempo gasto é determinístico e dado pela matriz de distâncias, consultado através de dados do GoogleMaps. Caso a ambulância não esteja disponível, aguarda-se até que ela esteja para que ela possa se deslocar a zona correspondente.

Calcula-se o tempo transcorrido desde a geração da chamada até a chegada ao local e gera-se um evento de Bernoulli cujo parâmetro é a probabilidade de sobrevivência em função do tempo (P(t)) descrita anteriormente. Os sobreviventes e não sobreviventes são devidamente contabilizados e a ambulância viaja conduzindo-os ao hospital e retornando à base.

4. Resultados e análises

Foram realizadas as análises de três cenários. O primeiro segue o modelo preliminar estático de localização, e as chamadas aguardam até que a ambulância esteja disponível para que elas possam ser deslocadas ao ponto de demanda. Depois foram utilizados modelos mais elaborados: o modelo de dupla cobertura e o modelo do reposicionamento dinâmico.

Em todos os casos, foram realizadas 100 simulações de 50 chamadas para combinações do par (λ, NA). Todos os resultados são apresentados em um intervalo de confiança de 95%.

Para o modelo estático de localização, percebe-se que a cada nova ambulância introduzida no sistema há ganhos positivos decrescentes (Figura 1). A partir de 7 ambulâncias, se torna indiferente adicionar mais ambulâncias ao sistema ou selecionar um o λ menor. É importante ainda perceber como a curva “10 minutos” destoa das outras. Obviamente, é um caso extremo para a cidade hipotética, mas evidencia que a cidade é “maior” do que se pensava e por isso torna necessária uma granularidade maior das zonas. Fica a nota de que o número de zonas deve ser escolhido em função do tempo médio entre chamadas (λ).

11 Para o modelo de dupla cobertura, foi utilizado w (ponderação) igual a 99%. Foi adicionada uma regra de gestão que, caso a ambulância prioritária não esteja disponível, verifica-se a viabilidade de se acionar a ambulância secundária (verifica-se se o tempo até o retorno da ambulância prioritária é menor que a diferença de distância da ambulância prioritária e a distância secundária para o ponto de demanda). Caso valha a pena, a segunda ambulância é acionada, caso contrário é enviada a primeira ambulância.

O modelo foi implementado em Arena e otimizado através do XPress, utilizado no modelo estático e no modelo de dupla cobertura foi o mesmo parametrizado de maneira a poder mudar rapidamente de um para o outro.

Figura 1 – Resultados do modelo estático de localização.

Percebe-se claramente melhoras em relação ao modelo estático devido a utilização mais eficiente dos recursos. Assim a partir de 6 ambulâncias, o resultado fica quase indiferente a novas ambulâncias ou a uma maior frequência de chamadas (Figura 2).

12 Pelo número de ambulâncias, não se vê a necessidade de implementar uma terceira cobertura, mas em modelos maiores pode ser necessário.

Para o modelo de reposicionamento dinâmico, foi adicionada uma regra de gestão que cada vez que uma ambulância é acionada, todas as outras ambulâncias se reposicionam otimizando o posicionamento para aquele número de ambulâncias. Supõe-se que os deslocamentos entre as bases são instantâneos. Assim, a alocação é obtida por um vetor de duas dimensões: zona da demanda e número de ambulâncias disponíveis.

13 Para um número de ambulâncias pequeno e frequência grande de chamadas o resultado do reposicionamento dinâmico é bem superior ao modelo de dupla cobertura. Contudo, nesses casos, a suposição de que o reposicionamento é instantâneo é falha.

Se há apenas duas ambulâncias, o trajeto do reposicionamento é muito grande e na prática é bem provável que ela seja chamada antes que alcance a nova base. Fora isso, se as chamadas acontecem com tempo médio de 10 minutos ou 20 minutos, os novos reposicionamentos dificilmente teriam tempo de serem completamente alcançadas (Figura 3). Outro inconveniente é a dificuldade das equipes das ambulâncias em suportarem uma jornada de trabalho em eterno movimento e o custo de todos esses deslocamentos. Isso coloca em dúvida a viabilidade de tal modelo.

4.1 Aplicação a um estudo de caso real

O município do Rio de Janeiro é a segunda maior metrópole do Brasil com aproximadamente 6,5 milhões de habitantes em uma área de cerca de 1.182 km². O município se divide em 34 regiões administrativas, com 160 bairros de tamanhos e configurações bastante heterogêneos. A empresa estudada, Cuidar Emergências Médicas, tem 30 ambulâncias disponíveis. Os tipos de ambulâncias (unidade avançada ou básica) são ignorados para simplificação do modelo. Ela conta ainda com 6 bases localizadas em Benfica, Barra da Tijuca, Copacabana, Santa Cruz, Niterói e São João de Meriti, mas na prática as ambulâncias podem também ficar perto de hospitais ou mesmo em trânsito. Para este trabalho, consideramos a alocação total de seus recursos nas operações na cidade, excluindo assim as bases de São João de Meriti e Niterói.

As limitações de capacidade computacional dos softwares estudantis obrigam a tomada de algumas decisões de projeto. Diante da impossibilidade de modelar a cidade inteira no PL, dividiu-se a cidade em 7 zonas (Zona Sul, Centro, Barra, Oeste, Ilha, Norte1 e Norte2) e otimizou-se o posicionamento nesses subsistemas, supondo-os independentes (Tabela 1). Os pontos de demanda e as bases são escolhidos como os centros geográficos dos bairros, e a distribuição das ambulâncias entre os bairros tem uma restrição: o número de ambulâncias atribuído àquela zona é menor ou igual ao número de bases menos dois. Nas zonas em que o número de bases foi maior que cinco, distribui-se as ambulâncias respeitando a proporção populacional.

14 Zona NA ni njj Sul 5 10 18 Barra 6 10 19 Centro 2 13 14 Ilha 2 10 16 Norte 1 2 4 43 Norte 2 3 5 35 Oeste 10 12 15

Há dois parâmetros principais da simulação. A distribuição espacial foi dada pela proporção de habitantes do bairro. O tempo médio foi parametrizado a partir da simulação da situação atual de maneira a reproduzir o indicador de tempo de respostas médio (28 minutos) fornecido pela empresa. Foi calculada a distância euclidiana das coordenadas de todos os bairros da cidade, respeitando a geodésica, multiplicada por um fator de área urbana. Esse fator foi estimado a partir do tempo médio de resposta das ambulâncias da Cuidar: 28 minutos. O fator (ξ) foi de 1,37.

A velocidade foi adotada por períodos do dia, de 00:00 às 06:00 é 55 km/h, de 06:00 as 18:00 é 32 km/h e de 18:00 a 00:00 42 km/h. Como os modelos não são tempo-dependentes, utilizou-se a média ponderada para estimar o valor médio da velocidade em 34,5 km/h, ou 0,575 km/min.

O resultado das simulações se encontram na Tabela 2 – Resultados da simulação final. A situação atual da Cuidar independe da frequência de chamadas, pois nas bases há ambulâncias disponíveis. Para comparação, segundo informações da Cuidar, o tempo médio de resposta de ambulâncias padrão nas grandes cidades europeias é de 5 minutos.

Tabela 2 – Resultados da simulação final.

30 min 60 min 120 min 240 min Situação atual 28,7 + 0,1 28,7 + 0,1 28,7 + 0,1 28,7 + 0,1 Situação otimizada 14,94 + 0,08 14,4 + 0,06 14,12 + 0,05 13,99 + 0,05

Os resultados demonstram que com a simples distribuição espacial das ambulâncias se reduz pela metade o tempo de resposta. Fica implícito a importância de que o processo de decisão de alocação de recursos priorize modelos formais ao contrário da prática atual da Cuidar (Figura 4).

15

Figura 4 – Alocação das regiões de atendimento das ambulâncias.

5. Conclusões

Foram estudados três abordagens para o problema de localização de serviços de emergência médica utilizando técnicas de simulação com otimização. Por meio da formulação de um Problema de Programação Linear Inteira Mista, produzem-se as soluções ótimas. Essas soluções, determinísticas, foram então submetidas a experimentos aleatórios e a análise de sensibilidade em um modelo de Simulação em Eventos Discretos. A partir desses experimentos, foi possível avaliar o funcionamento do sistema e propor novas configurações, com o objetivo de melhorar a responsividade do sistema. A utilização dessas técnicas de forma integrada, baseados em dados reais demonstram uma redução média de 47% no tempo de resposta do sistema atual na cidade do Rio de Janeiro.

Algumas abordagens originais foram testadas, a partir da utilização dos métodos da dupla cobertura e de reposicionamento dinâmico, que não foram encontrados na literatura de forma semelhante. Além disso, é importante destacar a necessidade de colocar os custos operacionais e de capital para uma otimização do sistema, sob uma ótica empresarial.

Acredita-se que a última, e mais importante contribuição, tenha sido a interpretação do processo decisório como um trade-off de custo e probabilidade de sobrevivência.

alocação e realocação de ambulâncias em centros urbanos: estudo de caso no município de São Paulo.

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