R n, (parte radial) são produtos de exponenciais e polinômios de Laguerre, e as. Y (parte angular) são os harmônicos esféricos ( (,

A ESTRUTURA DO ÁTOMO. tópico I

1.1 Átomos com apenas um elétron.

As autofunções para sistemas atômicos monoeletrônicos são funções do tipo

) ( Y ) r ( R ) r (  _{n, ,m}    _{ } (1.1.1)

onde as funções

R

_n, (parte radial) são produtos de exponenciais e polinômios de Laguerre, e as funções

Y

_,m (parte angular) são os harmônicos esféricos (





(



,



)

). As coordenadas esféricas

(

r

,



,



)

estão indicadas na figura 1 abaixo

z

 r

y 

x

Figura 1. Coordenadas esféricas (r ,  , ) com relação às coordenadas cartesianas (x , y , z). r é o módulo do vetor posição r,  é o ângulo que este forma com o eixo z e  é o ângulo que sua projeção no plano xy forma com o eixo x.

Os números quânticos

n 

,

,

m

satisfazem as condições



,

3

,

2

,

1

1

n

,

,

2

,

1

,

0









( número quântico orbital )













,

1

,

,

0

,

,

1

,

m











( número quântico magnético )

As funções de onda



(



r

)

na expressão (1.1.1) são soluções da equação de Schrödinger

   E H (1.1.2) onde r Ze m 2 H 2 2 e 2      (1.1.3)

é o hamiltoniano monoeletrônico e os autovalores E são dados por

2 2 4 e 2 n e m Z 2 1 E    (1.1.4)

Essas funções de onda devem também satisfazer o requisito da normalização

1 dV   



(1.1.5) ou seja 1 d d sen Y Y dr r R d m , 2 0 0 m , 0 2 2 , n        





    (1.1.6)

De acordo com o princípio aufbau, em sistemas atômicos multieletrônicos os orbitais atômicos são preenchidos em ordem crescente de energia e respeitando-se o princípio de Pauli. Neste procedimento o spin do elétron é fundamental. Cada elétron passa a ocupar um spin-orbital que é especificado pela quadra (n, , m, ms ), onde ms =  ½. Dessa forma constroem-se

as configurações eletrônicas: 1s1, para o hidrogênio; 1s2, para o hélio; 1s22s1, para o lítio, e assim por diante. O conceito de configuração eletrônica, embora seja muito interessante e útil, deve ser entendido com certo cuidado. Na descrição quântica usual da estrutura de átomos com mais de um elétron as funções de onda são consideradas como combinações lineares das funções correspondentes às diversas configurações eletrônicas. Voltaremos a esse ponto mais adiante.

De um ponto de vista mais formal, as funções de onda de sistemas atômicos com mais de um elétron são autofunções do hamiltoniano não relativístico







      N j i ij 2 N i i 2 N i 2 i e 2 r e 2 1 r Ze m 2 H  (1.2.1)

onde N é o número de elétrons, ri é a distância entre o elétron i e o núcleo e ri j a distância entre

os elétrons i e j. O termo de repulsão coulombiana entre os elétrons, e2/ri j , faz com que cada

elétron não mais se encontre em um potencial esferossimétrico. Se esse termo não existisse, a equação de Schrödinger para um sistema atômico multieletrônico teria uma solução exata.. As autofunções seriam produtos de funções hidrogenóides do tipo mostrado na expressão (1.1.1), e os autovalores seriam somas de energias dadas pela equação (1.1.2). Nesse caso o princípio aufbau teria uma forma interessante: a configuração fundamental do lítio, por exemplo, tanto poderia ser 1s22s1 como 1s22p1, pois não haveria diferença de energia entre subcamadas com o mesmo n.

A repulsão coulombiana, que não pode ser negligenciada, torna a resolução da equação de Schrödinger num problema muito complexo. Porém, são conhecidos hoje em dia métodos que permitem resolvê-la de modo aproximado, tais como o método de Hartree-Fock e tratamentos perturbativos. Em geral, nesses métodos parte-se de um conjunto de funções de base que são os spin-orbitais. Assume-se que uma solução inicial aproximada da equação de Schrödinger é dada por uma combinação linear apropriada de produtos desses spin-orbitais. Essa combinação linear,

)

r

,

,

r

,

r

(



₁



₂





_N



 

 H dV

E (1.2.2)

onde dV é o elemento de volume em 3N dimensões. A equação acima é a chamada forma integral da equação de Schrödinger. A função de onda  deve expressar o fato de que os elétrons são partículas indistinguíveis fermiônicas (spin semi-inteiro), e que, portanto, seguem o princípio de Pauli. Em outras palavras,  deve ser uma função anti-simétrica com relação a troca ( permutação) de elétrons e deve se anular sempre que a dois elétrons quaisquer corresponda o mesmo spin-orbital.

Uma função de onda desse tipo, segundo a proposta de Slater, pode ser dada na forma de um determinante, o assim chamado determinante de Slater. Seja n1, 1, m1, ms1, n2, 2, m2,

ms2, , nN, N, mN, msN um conjunto de N spin-orbitais (lembrando que msi =  ½ para

qualquer i ). Vamos usar, para efeito de simplificação, a notação ni, i, mi, msi = i. Vamos,

em seguida, ocupar esses N spin-orbitais com N elétrons. A notação ij indica que o elétron j está ocupando o spin-orbital i. É importante lembrar que os elétrons são partículas indistinguíveis e, portanto, o elétron j pode ser qualquer um dos N elétrons. O determinante de Slater é, nesse caso, dado por







   

 

   

1 2

 

N N 2 1 N 2 1 2 / 1 N N N 2 2 2 1 1 1 ! N 1                (1.2.3)

O fator (1/N!)1/2 é o fator de normalização. Vejamos um exemplo. Consideremos o átomo de hélio e sua configuração eletrônica fundamental 1s2. Os spin-orbitais são: 1,0,0,+1/2 e 1,0,0,-1/2, ou simplesmente +1/2 e -1/2. Teremos então



1 2 2 1



2 1 2 1 } 2 / 1 { } 2 / 1 { } 2 / 1 { } 2 / 1 { 2 1 } 2 / 1 { } 2 / 1 { } 2 / 1 { } 2 / 1 { 2 1 ) 2 , 1 (             (1.2.4)

Podemos aproveitar esse exemplo para o seguinte. No caso da configuração 1s2 temos apenas dois spin-orbitais, os quais estão ocupados pelos dois elétrons do átomo de hélio. A essa configuração eletrônica corresponde um, e só um, determinante de Slater, dado pela expressão logo acima. Suponha que ao invés da configuração fundamental 1s2 tivéssemos considerado a configuração excitada 1s12p1. Nesse caso teríamos oito spin-orbitais (dois da subcamada 1s e seis da subcamada 2p). Como temos dois elétrons, poderíamos construir doze determinantes de Slater, dois  dois, para essa configuração. Na construção desses determinantes obviamente um dos spin-orbitais deve pertencer à subcamada 1s e o outro à subcamada 2p. Cada um desses determinantes corresponde a um microestado.

Voltemos agora a alguns parágrafos atrás onde comentamos que a função de onda de um dado estado multieletrônico é dada por uma mistura de configurações eletrônicas. Em termos de microestados isto corresponde a dizer que tal função é dada por



   i i i c (1.2.5)

onde as funções _i são determinantes de Slater. A combinação linear acima inclui os microestados de todas as possíveis configurações eletrônicas. Na prática alguns coeficientes c

são identicamente nulos e outros são muito pequenos. Em geral faz-se um corte (chama-se também “truncagem”) na soma na equação (1.2.5), tendo-se em mente que quanto mais microestados



_ puderem ser incluídos mais precisa será a função



. Existem métodos bem conhecidos na literatura que permitem construir de modo adequado os spin-orbitais {i}, e consequentemente os determinantes



_, assim como permitem calcular os coeficientes c para sistemas atômicos multieletrônicos [ ].

1.1. Momento angular

O momento angular





de um objeto com vetor posição



r

e quantidade de movimento

p



é definido por

p r       (1.3.1)

Essa quantidade aparece frequentemente nas equações de movimento de um sistema, clássico ou quântico. Neste último caso o momento angular de uma dada partícula tem a forma

) i ( r       (1.3.2) onde





é o operador gradiente com relação a um dado sistema de coordenadas. Com relação a um sistema de coordenadas esféricas, mostrado na figura 1, o hamiltoniano de um sistema atômico hidrogenóide é dado por

r Ze ˆ r 1 r r r r 1 m 2 2 2 2 2 2 2 e 2                        H (1.3.3)

onde o operador quadrado do momento angular é dado por

                           2 ₂ 2₂ 2 sen 1 sen sen 1 ˆ _  (1.3.4)

Pode-se mostrar que os harmônicos esféricos

Y

_,m

(



)

são autofunções de



ˆ

2

e

ˆ



_z (a componente z do operador momento angular), onde

       i ˆ z (1.3.5)

As respectivas equações de autovalores são

) ( Y ) 1 ( ) ( Y ˆ m , 2 m , 2           (1.3.6) e

) ( Y m ) ( Y ˆ m , m , z        (1.3.7)

onde os números quânticos



e

m

foram definidos na seção 1.1. Como

ˆ



2

e

ˆ



_z só atuam nas coordenadas angulares ( e ), as funções

R

_n,

(

r

)

Y

_,m

(



)

também são autofunções destes operadores. Na mecânica quântica isso é equivalente a dizer que esses dois operadores comutam com o hamiltoniano H, ou seja,

[

H

,

ˆ



2

]



[

H

,

ˆ



_z

]



0

.

Para um sistema multieletrônico o momento angular orbital total é dado por





   i i i i i p r L    (1.3.8)

assim como o momento angular de spin total é dado por



 i i s S  (1.3.9)

Como já mencionado logo acima, é bem conhecido na mecânica quântica que se dois operadores comutam então existe um conjunto completo de funções que são simultaneamente autofunções desses dois operadores. Isto é de grande utilidade no sentido de que se queremos encontrar as soluções da equação

A

ˆ



_n



a

_n



_n, que eventualmente é uma equação complicada, podemos trabalhar com um operador

B

ˆ

, que comuta com

A

ˆ

, tal que as soluções de

B

ˆ



_n



b

_n



_n sejam encontradas de modo mais conveniente. Em nosso caso, que é o que se faz na espectroscopia atômica, buscamos autofunções de H através de autofunções de

ˆ



2

e

ˆ



_z.

1.4 Soma de momentos angulares. Os coeficientes de Clebsch – Gordan.

Em sistemas atômicos com simetria esférica (átomos ou íons livres) o operador hamiltoniano comuta com o operador quadrado do momento angular e com o operador que corresponde à sua projeção no eixo z. Portanto, as autofunções destes dois últimos operadores

são também autofunções do hamiltoniano do sistema atômico. Isto, na realidade, decorre das propriedades de simetria de um sistema esférico.

De modo genérico, na mecânica quântica o operador momento angular,

Jˆ

, é tal que as seguintes regras de comutação são satisfeitas:

[

Jˆ

_x

,

Jˆ

_y]=

i 

Jˆ

_z [

Jˆ

_y

,

Jˆ

_z]=

i 

Jˆ

_x (1.4.1) [

Jˆ

_z

,

Jˆ

_x]=

i 

Jˆ

_y e [

Jˆ

_z

,

Jˆ

_]=





Jˆ

_ (1.4.2) [

Jˆ

+,

Jˆ

-]=

2 

Jˆ

_z

onde

Jˆ

_



Jˆ

_x



i

Jˆ

_y são os chamados operadores de levantamento (+) e abaixamento (-). Além disso, temos as seguintes relações:

JM ) 1 J ( J JM Jˆ2   2 (1.4.3) JM M JM Jˆ_z   e 1 M J ) M J )( 1 M J ( JM Jˆ_      (1.4.4) 1 M J ) M J )( 1 M J ( JM Jˆ_     

Podemos dizer que as equações (1.4.1-4) acima constituem a definição de momento angular na mecânica quântica. As funções

JM

, que estão dadas na representação de momento angular, são autofunções de

Jˆ

2 e

Jˆ

_z , como mostram as equações (1.4.3). J e M são números quânticos (inteiros ou semi-inteiros) que especificam o estado de momento angular, M indicando a sua projeção no eixo z. Os possíveis valores de M são limitados pelo valor de J da seguinte forma :

M





J

,



J



1

,



,

J



1

,

J

. Se

Jˆ

corresponde ao momento angular de um sistema atômico isolado então [

H

,

Jˆ

2] = 0 e [

H

,

Jˆ

_z] = 0 ; as autofunções de

Jˆ

2 e

Jˆ

_z são tambem autofunções de H. Se diz, neste caso, que J é um bom número quântico (o significado dessa expressão ficará claro mais adiante).

Vamos agora supor que temos um sistema constituído de duas partes (duas partículas, por exemplo, ou o espaço orbital e o espaço de spin) com momentos angulares

J



₁ e

J



₂ . Há, portanto, um momento angular resultante

J





J



₁



J



₂. A questão que se coloca aqui é a seguinte: conhecendo-se as autofunções de

Jˆ

₁2

,

Jˆ

_1z

,

Jˆ

2₂ e

Jˆ

_2z , como encontrar as autofunções de

Jˆ

2 e

Jˆ

_z  Este é um procedimento bem conhecido na mecânica quântica e chama-se adição

de momento angular. Neste procedimento procura-se combinações lineares, dos produtos

2 2 1

1

M

J

M

J

, que sejam autofunções de

Jˆ

2 e

Jˆ

_z. Tais combinações têm a seguinte forma:

2 2 1 1 2 1 M , M 2 2 1 1 2 1J JM J M J M J J JM J M J M J 2 1



 (1.4.5)

Os coeficientes

J

₁

M

₁

J

₂

M

₂

J

₁

J

₂

JM

são os chamados coeficientes de Clebsch-Gordan. Eles constituem uma transformação unitária, entre a base {

J

₁

M

₁

J

₂

M

₂ } e a base {

J

₁

J

₂

JM

}, e têm algumas propriedades dentre as quais duas são mais importantes: quando as condições 2 1 2 1 J J J J J     (1.4.6) e

2

1 M

M

M  (1.4.7)

não são satisfeitas estes coeficientes se anulam. A condição (1.4.6) também pode ser expressa como 2 1 2 1 2 1 J ,J J 1, ,J J J J      (1.4.8)

ou seja, dados

J

₁ e

J

₂ , estes são os únicos valores que J pode assumir para que

J

₁

J

₂

JM

seja autofunção de

Jˆ

2 e

Jˆ

_z.

Uma imagem vetorial clássica desse procedimento seria a seguinte:

Figura 2. Representação clássica da soma de dois momentos angulares.

Devemos notar que, pela quantização do momento angular, os vetores

J



,

J



₁ e



J

₂ não podem estar na direção z pois os valores máximos permitido a M,

M

₁ e

M

₂ são, respectivamente,

1

J

,

)

1

J

(

J

,

)

1

J

(

J





_{1 1}





e



J

₂

(

J

₂



1

)

. Pela figura acima pode-se ver que

)

1

J

(

J

/

M

cos







. Com a adição

J



₁



J



₂, estes dois vetores passam a ter um movimento de precessão em torno de



J

, e este, por sua vez, em torno de z. Isto pressupõe que há uma interação que conecta as partes 1 e 2 do sistema. É importante salientar que esta imagem vetorial clássica, embora útil, não deve ser considerada como a realidade do ponto de vista quântico. Em termos quânticos dizemos que

M

₁ e

M

₂ não são mais bons números quânticos ; os estados de momento angular definidos por estes números se misturam (como expresso pela combinação linear na equação (1.4.5)). Contudo, as autofunções

J

₁

J

₂

JM

são também autofunções de

Jˆ

₁2 e

2 2

Jˆ

, mas não de

Jˆ

_1z e

Jˆ

_2z. O hamiltoniano do sistema comuta com

Jˆ

2

,

Jˆ

_z

,

Jˆ

₁2 e

Jˆ

2₂.

O procedimento para soma de três ou mais momentos angulares será discutido mais adiante na seção 1.7.

1.5 Termos espectroscópicos

A título de aplicação dos conceitos apresentados na seção precedente consideremos a configuração eletrônica excitada 1s12p1 do átomo de hélio. Os dois momentos angulares orbitais envolvidos são



₁



0

(orbital s) e



₂



1

(orbital p). Note que estamos usando a terminologia em que o momento angular é denominado pelo número quântico que o define. Segundo a relação (1.4.8) o momento angular resultante é tal que L só pode assumir o valor igual a 1. Na linguagem da espectroscopia atômica se diz um estado P (para L=0 temos um estado S, para L=2 um estado D e assim por diante, seguindo-se uma nomenclatura análoga àquela utilizada para o caso dos orbitais hidrogenóides s, p, d, etc.). Os momentos angulares de spin são

s

₁



s

₂



1

/

2

e, portanto, os possíveis valores de S (o momento angular de spin resultante) são S = 0 e 1. Temos assim dois estados de spin para o mesmo estado de momento angular orbital resultante, ou dois multipletos. Na linguagem da espectroscopia, os estados especificados pelos valores de S e L chamam-se termos espectroscópicos. Estes são representados pela notação 2S+1L , onde (2S+1) é multiplicidade do termo, ou seja, o número de possíveis valores de MS para um dado S (pela

por sua vez, corresponde um número de estados dado por (2S+1)(2L+1), os quais são os estados produtos

SM

_S

LM

_L ou, numa notação mais concisa,

SM

_S

LM

_L . Neste exemplo temos então dois termos espectroscópicos: o 1P (S = 0, singleto P) e o 3P (S = 1, tripleto P).

O número total de estados, correspondendo aos termos espectroscópicos, é dado pela soma abaixo,

Número total de estados =



 

termos ) 1 L 2 )( 1 S 2 ( (1.5.1)

No caso do exemplo logo acima ele é 3 + 9 = 12, que é justamente o número de microestados da configuração 1s12p1, como vimos antes.

A toda configuração eletrônica corresponde um certo número de termos espectroscópicos e o número total de estados

SM

_S

LM

_L deve ser igual ao número de microestados da configuração. Isso está diretamente ligado com o princípio da exclusão de Pauli e significa que nem sempre todos os estados obtidos a partir da soma de momentos angulares são aceitáveis, pois alguns deles podem violar o princípio da exclusão. Consideremos, por exemplo, a configuração 1s2 do He. Pela soma de momentos angulares teríamos dois termos: 1S e 3S. Entretanto, o tripleto S (3S) viola o princípio da exclusão, pois ele pressupõe um microestado com os dois spins emparelhados no mesmo orbital (1s), ou seja, para este microestado os dois elétrons estariam ocupando o mesmo spin-orbital. Portanto, para esta configuração só o singleto S (1S) é permitido. O número de microestados da configuração 1s2 é igual a 1, que é o número de estados do termo permitido 1S. No caso da configuração 1s12p1 os dois termos 1P e 3P são permitidos, pois como os elétrons ocupam spin-orbitais com n’s e



’s diferentes não há problema com relação a violação do princípio de Pauli.

Os estados

SM

_S

LM

_L , correspondentes aos termos espectroscópicos permitidos, são combinações lineares de microestados (determinantes de Slater). Os coeficientes desta combinação estão diretamente ligados aos coeficientes de Clebsch-Gordan. Vejamos um exemplo disto. Seja uma configuração eletrônica do tipo

n



1

n







1. Do ponto de vista de soma de momentos angulares temos

m n m n LM m m LM _L m , m L 



             (1.5.2) e s 2 1 s 2 1 S 2 1 2 1 m , m s 2 1 s 2 1 S m m SM m m SM s s   



 (1.5.3) o que leva à         



  m n m n SM m m LM m m LM SM L 12 s12 s 1212 S m , m , m , m L S s s       s 2 1 s 2 1 _{m m} _(1.5.4)

A combinação linear (1.5.4) acima não garante que os estados

SM

_S

LM

_L satisfaçam o princípio da exclusão e, portanto, estes podem corresponder a termos espectroscópicos não permitidos. O procedimento correto consiste em considerar combinações lineares do tipo

     



  2 S 1 2 1 s 2 1 s 2 1 L m , m , m , m permitido L SLM m m LM m m SM SM s s     ) m m n , m m n ( _s    _s    (1.5.5)

onde



representa um determinante de Slater (um microestado) dado por

2 s 1 s 2 s 1 s } m m n { } m m n { } mm n { } mm n { 2 1              

no qual os spin-orbitais são

s 2 1 s 2 1 s} n m m n m m mm n {      e s 2 1 s 2 1 s} n m m n m m m m n {           

Consideremos novamente o caso da configuração 1s12p1. O estado

0010

do singleto P, por exemplo, tem

S



0

,

M

_S



0

,

L



1

e

M

_L



0

. Em termos da expressão (1.5.5), tendo em vista as condições (1.4.6) e (1.4.7) de não nulidade, os únicos coeficientes de Clebsch-Gordan envolvidos são

0010

0110



1

e

m

(

m

)

00

(

1

)

12 ms

1

2

2 1 2 1 s 2 1 s 2 1







 _{. Portanto,}

não é difícil verificar que

)] 210 , ) ( 100 ( )) ( 210 , 100 ( [ 2 1 0010   12 12   12 12 (1.5.6)

É importante perceber que embora as autofunções aqui descritas estejam especificadas somente pelos números quânticos de momento angular, elas têm uma parte radial que normalmente é especificada pelos números quânticos n e



. Além disso, como veremos mais adiante, nem sempre uma autofunção é definida sem ambigüidade pelos números quânticos de momento angular. Por isso é comum utilizarmos símbolos adicionais que representam outros números quânticos necessários para especificar uma autofunção sem ambigüidade, como por exemplo:

L SLM

SM

 , onde  está representando tais números quânticos, inclusive os n’s e



’s que especificam a parte radial desta autofunção.

Encontrar os termos espectroscópicos permitidos de uma dada configuração eletrônica é, em geral, uma tarefa trabalhosa quando se tem subcamadas com mais de um elétron. Dispomos, hoje em dia, de tabelas que mostram os termos permitidos para praticamente todas as configurações de interesse, além de programas computacionais simples que realizam essa tarefa rapidamente. Estaremos particularmente interessados em configurações do tipo [ ]n

f

N, que são as configurações dos íons terras raras (orbitais f ), onde [ ] representa camadas e sub-camadas fechadas, ou o caroço de uma configuração; por exemplo [ Nd3+] = [ Xenônio]4

f

3. Os elétrons da subcamada incompleta, ou de valência, são chamados de elétrons opticamente ativos.

De acordo com o princípio da exclusão de Pauli, podemos notar que o caroço não contribui para os momentos angulares resultantes das configurações eletrônicas, visto que os únicos valores possíveis de

M

_S e

M

_L são

M

_S





m

_s



0

e

M

_L





m

_



0

, e, portanto

0

S

1

. Assim, ao procurarmos os termos permitidos de uma configuração, basta nos preocuparmos com as subcamadas incompletas. Porém, é preciso ter em mente que as possíveis energias (autovalores) do sistema atômico dependem dos elétrons do caroço.

Vejamos, através de um exemplo simples, o procedimento usual para se encontrar os termos permitidos de uma eletrônica. Consideremos uma configuração do tipo [caroço]np2, ou por simplicidade de notação np2. Quando os elétrons em subcamadas incompletas têm o mesmo n e mesmo  dizemos que são elétrons equivalentes. O procedimento consiste em montar um quadro tendo os possíveis valores de M e de _L M como linhas e colunas. Cada par ( _S M , _L M ) _S especifica uma casa neste quadro. Em cada casa se colocam os microestados compatíveis com os valores de M e _L M e com o princípio de Pauli. No caso da configuração np_S 2, de acordo com a relação (1.4.8), os possíveis valores de L e S são L = 2 , 1 , 0 ( D, P e S ) e S = 1 , 0 ( tripleto e singleto ). Portanto, sem especificar os termos 2S+1L , M_L 2,1,0,1,2 e M_S 1,0,1. Como os elétrons são equivalentes podemos usar a notação (m,m) para indicar os microestados. Assim, por exemplo, (1,0) indica um microestado formado pelos spin-orbitais {n , 1 , -1, - ½} e {n , 1 , 0 , + ½}. Note que estamos aqui ignorando o caroço da configuração eletrônica, pois só estamos interessados na obtenção de seus termos espectroscópicos.

O quadro abaixo ilustra o procedimento. Note que na casa correspondente a M_L 2 e 1

M_S  , por exemplo, não há microestados, caso contrário o princípio de Pauli seria violado. Todos os possíveis microestados são mostrados. Para N elétrons equivalentes o número de microestados é dado por

No de microestados (elétrons equivalentes) =

)! N 2 4 ( ! N )! 2 4 (      (1.5.7)

ML MS 1 0 -1 2 (1+, 1-) 1 D 1 (1+, 0+) 3 P (1+, 0-) (1-, 0+) 1 D , 3P (1-, 0-) 3 P 0 (1+, -1+) 3 P (1+, -1-) (1-, -1+) (0+, 0-) 1 D , 3P, 1S (1-, -1-) 3 P -1 (-1+, 0+) 3 P (-1+, 0-) (-1-, 0+) 1 D , 3P (-1-, 0-) 3 P -2 (-1+, -1-) 1 D

O fato de existir M_L 2(ou M_L 2) indica um termo do tipo D. Como na linha com M_L 2 somente a casa com M_S 0 está ocupada, isto mostra que o 1D é permitido enquanto que o 3D não o é. Ora, um 1D tem 15 = 5 estados, cada um deles sendo dado por uma combinação linear dos microestados em cada uma das cinco casas da coluna com M_S0, respectivamente. Portanto, este número (cinco) deve ser descontado dos nove microestados na coluna com

0

M_S  . Passemos em seguida para a linha com M_L 1(ou M_L 1). Este valor indica um termo do tipo P, tendo em vista que os valores M_L 2,2 já foram utilizados. Como todas as casas nesta linha estão ocupadas temos um 3P permitido. Como o 3P tem nove estados, este número deve ser descontado do número de microestados contidos nas nove casas correspondentes a M_L 1,0,1 e M_S 1,0,1. Note que, com isto, os quatro microestados nas casas com M_L 1,1 e M_S0 foram utilizadas para formar estados do 1D e do 3P, e, portanto, o termo 1P não é permitido. Se os elétrons não fossem equivalentes isto não ocorreria, como no caso da configuração excitada 1s12p1 do He. Finalmente, é fácil perceber que o termo restante permitido é o 1S. O número total de estados  (2S+1)(2L+1) = 15, como era de se esperar.

1.6 Operadores tensoriais irredutíveis

A álgebra de momento angular foi generalizada a partir de 1942 com os trabalhos de Racah e Wigner, principalmente. Racah introduziu o conceito de operador tensorial irredutível e desenvolveu métodos extremamente potentes e mais simples que os métodos anteriormente conhecidos para o cálculo de elementos de matriz das interações em sistemas atômicos e moleculares. A chamada álgebra de Racah, ou também álgebra de Racah-Wigner, foi inicialmente desenvolvida com relação às propriedades de rotação de um sistema esférico, e, portanto, com relação ao grupo contínuo R3 (grupo das rotações). Essa álgebra tem sido muito

utilizada em vários ramos da química e da física, como por exemplo, a espectroscopia, a química teórica, a física atômica e molecular e a física nuclear e de partículas. Devemos salientar que a teoria dos grupos desempenha um papel importantíssimo nessa álgebra, pois é capaz de descrever todos os seus aspectos qualitativos.

Um tensor de ordem n é uma quantidade com n componentes, as quais mediante uma rotação do sistema de coordenadas sofrem uma transformação linear. Os tensores ligados a um mesmo sistema de coordenadas seguem uma álgebra cujas operações elementares são as seguintes:

i) Adição

Sejam dois tensores de mesma ordem, a e b, os quais são submetidos à mesma transformação linear induzida por uma rotação do sistema de coordenadas. As somas ai + bi de

componentes correspondentes constituem as componentes de um tensor, a saber, o tensor soma. ii) Produto

Sejam dois tensores a e b com n e m componentes, respectivamente. Os nm produtos aibj constituem as componentes de um novo tensor chamado de produto direto dos tensores

iniciais.

iii) Transformações lineares

Seja um tensor de ordem n e uma matriz T (n por n). As quantidades



 i i ji j T a b (1.6.1)

constituem também as componentes de um tensor de ordem n. Quando um tensor é submetido a uma transformação, induzida por uma rotação do sistema de coordenadas, utilizamos a notação



 i i ji j D a b (1.6.2)

onde de forma geral cada componente bj é uma combinação linear de todos os ai’s. Porém, é

possível se encontrar um novo conjunto de componentes {a_r} ligado aos ai’s por uma certa

transformação linear i i ri r A a a 



(1.6.3)

de tal modo que mediante uma rotação do sistema de coordenadas certas partes do conjunto {ar}

se transformam separadamente. Isto significa que a matriz de rotação de {a_r}, que é dada por

1

ADA

D  (1.6.4)

é uma matriz na forma de blocos. Assim, para cada bloco temos que os b_j’s são expressos como uma combinação linear dos a_r’s correspondentes. Vejamos o exemplo abaixo.

Sejam as três componentes, x, y e z, do vetor posição r. Estas componentes constituem um tensor de ordem três, pois elas satisfazem as três propriedades mencionadas acima. Consideremos uma rotação de um ângulo  em torno de z. A matriz que descreve esta rotação é

                1 0 0 0 cos sen 0 sen cos D (1.6.5) ou seja

                                    Z Y X z y x 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos (1.6.6)

onde X xcosysen, Yxsenycos e Z = z. Consideremos em seguida a transformação ) iy x ( 8 3 1      ) iy x ( 8 3 1    _ (1.6.7) z 4 3 0    ou seja                          0 1 1 z y x A (1.6.8)

onde a matriz A é dada por

                           4 3 0 0 0 8 3 i 8 3 0 8 3 i 8 3 A (1.6.9)

                          3 4 0 0 0 3 8 2 i 3 8 2 i 0 3 8 2 1 3 8 2 1 A 1 (1.6.10)

De acordo com a relação (1.6.4), a matriz de rotação do conjunto { } é dada por

                                  1 0 0 0 e 0 0 0 e 1 0 0 0 sen i cos 0 0 0 sen i cos ADA D i i 1 (1.6.11)

Note, portanto, que a matriz Dé mais “bloqueada” que a matriz D, ou seja, foi possível encontrar um conjunto { } que contem as mesmas informações físicas contidas em {r } mas que se transforma, sob uma rotação do sistema de coordenadas, de modo mais simples e conveniente. Note que D nos dá simplesmente

1 i 1 e    1 i 1 e       (1.6.12) 0 0  

De modo geral podemos sempre encontrar uma transformação que deixe a matriz Dainda mais reduzida, ou seja, em blocos menores. Porém, esse processo tem um limite. Cada bloco comporta-se separadamente de modo independente e corresponde a um subconjunto de uma certa base de funções ou de operadores. Neste limite cada um desses subconjuntos denomina-se um tensor irredutível. No conjunto { } acima cada componente comporta-se como um tensor irredutível sob uma rotação em torno de z. Porém, de modo genérico, para uma rotação arbitrária do sistema de coordenadas em torno das três direções cada componente de { } é uma combinação linear das três componentes de { }. Por isso, considera-se que o tensor

irredutível é o próprio conjunto { }; um tensor irredutível de posto1 e ordem três, o qual é designado por (1).

As funções (_m1) acima são na verdade um caso particular das funções

M , L L ) L ( M r Y  (1.6.13)

onde os YL,M são os conhecidos harmônicos esféricos. Se tivéssemos usado o procedimento do

exemplo acima com as nove componentes do tensor simétrico {xx , xy , ... , zz}, iríamos encontrar uma matriz reduzida a três blocos, 55, 33 e 11, correspondendo aos tensores irredutíveis (2), (1) e (0), respectivamente. Isto significa que o tensor {xx , xy , ... , zz} pode ser decomposto, ou separado, nos tensores irredutíveis (2), de posto 2 e ordem 5 (cinco componentes), (1), de posto 1 e ordem 3 (três componentes) e (0), de posto 0 e ordem 1 (uma componente).

Como a quantidade rL é invariante sob qualquer rotação do sistema de coordenadas, podemos dizer que o tensor harmônico esférico Y(L) é um tensor irredutível de posto L e ordem (2L+1) com componentes (L)

M

Y (-L  M  L ). As matrizes de transformação (rotação) dos harmônicos esféricos são conhecidas como as matrizes de rotação de Wigner. Vamos assim definir um tensor irredutível esférico de posto k e ordem (2k+1) como sendo uma quantidade com (2k+1) componentes que, sob uma rotação do sistema de coordenadas, se transforma como o harmônico esférico Y(k).

Podemos ir mais adiante e definir um operador tensorial irredutível esférico T(k), de posto k e ordem (2k+1), como sendo uma quantidade que, mediante uma rotação do sistema de coordenadas, satisfaz a condição

) k ( q q ) k ( q q 1 ) k ( q Dˆ D T T Dˆ _    _



(1.6.14)

onde Dˆ representa uma operação de rotação e os D(_qk_q)_ são os elementos da matriz de rotação de Wigner (2k+1)(2k+1). Pode-se mostrar que os harmônicos esféricos satisfazem esta condição e, portanto, podem também ser considerados como operadores tensoriais irredutíveis.

A partir de dois tensores irredutíveis, ou dois operadores tensoriais irredutíveis, de postos k1 e k2, podemos formar os (2k1+ 1)(2k2+ 1) produtos

) k ( q ) k ( q 2 2 1 1 T T , os quais constituem as componentes de um novo tensor (tensor produto). Porém, esse novo tensor não é necessariamente irredutível. A pergunta que fazemos então é a seguinte: De que maneira podemos combinar os (2k1+ 1)(2k2+ 1) produtos para formar um novo tensor irredutível ? A

resposta à essa pergunta pode ser facilmente dada se lembrarmos que os tensores irredutíveis esféricos comportam-se como os harmônicos esféricos e, por conseguinte, como as autofunções de momento angular. Assim sendo, a combinação linear dos produtos _q(k ) _q(k2)

2 1 1 T

T que dá como resultado um tensor irredutível esférico P_Q(K) é

) k ( q ) k ( q 2 1 q , q 2 2 1 1 ) K ( Q 2 2 1 1 2 1 T T KQ k k q k q k P 



(1.6.15)

que é análoga à eq. (1.4.5). A notação comumente utilizada para representar o tensor irredutível resultante é





(K) Q ) k ( q ) k ( q ) K ( Q 2 2 1 1 T T P  (1.6.16) 1.7 O teorema de Wigner-Eckart

Consideremos a eq. (1.4.5), ou a eq. (1.6.15), em termos de harmônicos esféricos Yk,q e

Y_,m . Porém, consideremos Y,m como uma autofunção de momento angular e Yk,q como um

operador tensorial irredutível. A ação do operador Yq(k) sobre uma autofunção m produzirá

um estado que não é, obviamente, ortonormal ao espaço formado pelo conjunto { m }, pois m

 não é autofunção de Yq(k). De acordo com a eq. (1.4.5), ou a eq. (1.6.15), temos

m Y M L k m q k M L q(k) m , q   



  (1.7.1)

onde  representa um conjunto de números quânticos que especificam o estado LM , ou seja, eles indicam que esse estado provem da ação dos operadores Y_q(k)sobre as autofunções m . Os coeficientes de Clebsch-Gordan constituem uma transformação unitária. A transformação inversa que corresponde à eq. (1.7.1) é dada por

LM m q k M L k m Y M , L ) k ( q  



   (1.7.2)

Tomando o produto da equação acima por uma autofunção m temos

LM m m q k M L k m Y m M , L ) k ( q      



    (1.7.3)

No lado direito desta equação, o produto escalar mLM é que contem a natureza do operador que está atuando sobre as autofunções m , já que as quantidades kLM kqm são coeficientes de Clebsch-Gordan. Além disso, como é um produto escalar entre duas autofunções de momento angular, ele deve se anular para L e/ou M m e não deve depender das orientações dos momentos angulares especificados por L e , ou seja, não deve depender de M e m. Para representar este produto escalar usa-se a notação  (k) 

Y

 , que se denomina elemento de matriz reduzido. Assim, o elemento de matriz na eq. (1.7.3) pode ser escrito como

       (k) (k) q m kq mk m Y Y m      (1.7.4)

o qual fica assim separado numa parte puramente geométrica (o coeficiente de Clebsch-Gordan), que leva em conta as propriedades de rotação das autofunções m e do operador Yq(k), e numa

parte puramente física que leva em conta a natureza deste operador.

Ao invés de trabalharmos com os coeficientes de Clebsch-Gordan, utilizaremos os chamados símbolos 3-j , os quais são definidos do seguinte modo

3 3 2 1 2 2 1 1 2 / 1 3 m j j 3 3 2 1 2 1 m j j j m j m j ) 1 j 2 ( ) 1 ( m j m m j j 3 2 1             _ (1.7.5)

O valor numérico de um símbolo 3-j não se altera mediante permutações cíclicas das colunas, ou seja                     1 1 3 2 3 2 2 2 1 3 1 3 3 3 2 1 2 1 m j m m j j m j m m j j m j m m j j (1.7.6)

Para permutações não cíclicas temos a seguinte relação

                              1 1 2 3 2 3 3 2 2 1 3 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1 2 1 j j j m j m m j j m j m m j j m j m m j j m j m m j j ) 1 ( 1 2 3 _(1.7.7)

A condição de ortonormalidade dos símbolos 3-j é dada por

3 3 3 3 2 1 m , m j , j 3 m 3 2 1 2 1 m , m 3 3 2 1 2 1 ) 1 j 2 ( 1 m j m m j j m j m m j j                   



(1.7.8) ou também 1 m j m m j j 2 m , m , m 3 3 2 1 2 1 3 2 1       



(1.7.9)

As condições de não nulidade para estes símbolos são essencialmente as mesmas dos coeficientes de Clebsch-Gordan, isto é, a condicão de triangularidade nos j’s e m1+ m2 + m3 = 0.

Outra relação importante envolvendo os símbolos 3-j, que na realidade corresponde à transformação inversa (1.7.3), é a seguinte:

2 2 1 1 3 3 m , m m , m 3 3 2 1 2 1 m , j 3 3 2 1 2 1 3 m j m m j j m j m m j j ) 1 j 2 ( _ _ _              



(1.7.10)

O teorema de Wigner-Eckart para um operador tensorial irredutível atuando entre autofunções de momento angular pode então ser colocado na seguinte forma (Edmonds 1957, Silver 1976, Condon e Odabasi 1980, Judd 1998)

J T J M J q M k J ) 1 ( JM T M J q(k) J M    (k)                  (1.7.11)

Note que dessa maneira alguns fatores de fase e o fator (2j3 + 1)-1/2 que relaciona os símbolos 3-j

com os coeficientes de Clebsch-Gordan, Eq. (1.7.5), foram incorporados ao elemento de matriz reduzido. Podemos encontrar na literatura tabelas que fornecem os valores numéricos dos símbolos 3-j, como por exemplo, as clássicas tabelas de Rotenberg et al. (1959).

No caso dos harmônicos esféricos utilizamos comumente os chamados operadores de Racah, C(k), que são definidos por

) k ( q 2 / 1 ) k ( q Y 1 k 2 4 C          (1.7.12) Utilizando a expressão       (k)  m (k) q C m q m k ) 1 ( m C m _                (1.7.13)

dada pelo teorema de Wigner-Eckart, e a conhecida integral envolvendo três harmônicos esféricos (integral de Gaunt)

                               



Y Y Y d ( 1) (2 1)(2k₄ 1)(2 1) ₀ k_{0 0 m} k_{q m} 2 / 1 m m , q , k m ,         (1.7.14)





_              0 0 0 k ) 1 2 )( 1 2 ( ) 1 ( C(k)    1/2     (1.7.15)

Satisfeita a condição de triangularidade, para que o símbolo 3-j que aparece na Eq. acima seja diferente de zero é necessário que k seja par. Este fato tem uma grande importância, como veremos ao longo desse texto, nas regras de seleção para elementos de matriz envolvendo os operadores de Racah e autofunções de momento angular.

MÉTODOS PERTURBATIVOS.

2.1 O determinante secular

Na mecânica quântica sabemos que a equação de Schrödinger tem solução exata em apenas alguns casos como, por exemplo, o átomo de hidrogênio e o oscilador harmônico. Em particular, no caso de sistemas quânticos com mais de um elétron ela não tem solução exata. Assim sendo, procura-se, na maioria dos casos, soluções aproximadas. Descreveremos neste capítulo os métodos mais usuais de se encontrar estas soluções.

Consideremos um sistema quântico cujo hamiltoniano H pode ser separado em duas partes, H0 e V, tal que

V H

H 0 (2.1.1)

Consideremos também que as autofunções de H0 são conhecidas (na prática, mesmo que de

forma aproximada), ou seja, assumiremos que o problema

n n n

0 E

foi previamente resolvido e que o conjunto {n} é completo e ortonormalizado. Dessa forma

podemos procurar as autofunções de H através de combinações lineares no espaço formado pelas autofunções _n , isto é, podemos escrever

n n n c   



(2.1.3)

onde  deve satisfazer a equação

 

 E

H (2.1.4)

a qual, utilizando-se as equações (2.1.1-3), pode ser colocada na forma

n n n n n n n n n nE c V c E c  



 







(2.1.5)

Multiplicando-se a equação acima, da esquerda para a direita, por _m (que é uma das autofunções do conjunto {n}) encontramos







        n n m n n n m n n m n n nE c V c E c (2.1.6)

Como _m _n _mn , a equação (2.1.6) pode ser reescrita como







E V E



0 c n mn mn mn n n     



(2.1.7)

onde usamos a notação _m V_n V_mn. Assim, para cada autofunção _m escolhida teremos uma equação do tipo (2.1.7). Se o nosso conjunto {n} é formado por N autofunções n (em

homogêneo (o lado direito das equações é igual a zero) onde as incógnitas são os cn’s. Como o

sistema de equações é homogêneo, para que tenhamos uma solução que não seja a solução trivial (todos os cn’s = 0) é necessário que o determinante formado pelos coeficientes dos cn’s seja igual

a zero, isto é



Enmn Vmn



Emn 0 (2.1.8)

Este é o chamado determinante secular, o qual, conhecendo-se os autovalores En na equação

(2.1.2) e os elementos de matriz V_mn, permite determinar os possíveis valores de E, ou seja, os autovalores de H. O determinante secular tem dimensão NN. Como na prática não podemos considerar N = , normalmente fazemos uma truncagem que é regida pelas características das propriedades do sistema quântico sob estudo. Você pode, portanto, notar que quanto maior for a dimensão do determinante secular mais corretos serão os autovalores E. De modo mais explícito o determinante tem a seguinte forma













0 E V E V V V E V E V V V E V E NN N 2 N 1 N N 2 22 2 21 N 1 12 11 1               (2.1.9)

Note que os autovalores En e E só aparecem na diagonal principal. A equação (2.1.9) é, na

realidade, uma equação de grau N em E e, portanto, tem N raízes que são os possíveis valores de E (autovalores de H). Com os recursos computacionais disponíveis hoje em dia pode-se resolver determinantes seculares de dimensões enormes. Os coeficientes cn , para cada possível valor de

E, podem ser determinados escolhendo-se (N-1) das N equações do tipo (2.1.7) juntamente com a condição de normalização



  N 1 n 2 n 1 c (2.1.10)

Encontrando-se os cn’s para um dado E, tem-se a respectiva autofunção  .

Uma importante interpretação associada a este procedimento é dada a seguir. Dizemos que o hamiltoniano H0 é diagonal com relação à base formada pelas autofunções n , ou seja,

se pensássemos num determinante secular envolvendo apenas H0 só apareceriam elementos não

nulos na diagonal principal e os autovalores seriam os próprios En, dado que a equação (2.1.2) é

satisfeita. O mesmo vale para H com relação às autofunções  . Porém, H não é diagonal com relação à base formada pelas autofunções _n , como mostra o determinante secular (2.1.9). Dizemos que a interação V conecta diferentes _n ’s, ou também, através de V as autofunções

n

 se misturam.

O método do determinante secular é o procedimento mais genérico e usual para se encontrar autofunções e autovalores de um dado hamiltoniano que pode ser separado de acordo com a equação (2.1.1). Ele é comumente utilizado na descrição de sistemas quânticos na física e na química.

2.2 Teoria das perturbações independentes do tempo

Uma forma alternativa de se encontrar autofunções e autovalores aproximados de um certo hamiltoniano pode ser utilizada quando na equação (2.1.1) a interação V, considerada aqui como não dependente do tempo, é bem menor que H0. Este procedimento constitui a chamada

teoria das perturbações independentes do tempo. A interação V é tratada como uma perturbação que é adicionada a H0 no sistema quântico.

Pode-se mostrar que (veja, por exemplo, A.S. Davydov : Quantum Mechanics , Pergamon Press) a correção até primeira ordem para a função de onda do m-ésimo estado do sistema quântico é dada por

n m n m n nm m m E E V      



 (2.2.1)

onde os ’s e E’s representam as autofunções e autovalores que satisfazem a equação (2.1.2), ou seja, as autofunções e autovalores do hamiltoniano não perturbado (H0). Também pode-se

mostrar que a correção até segunda ordem para a respectiva energia é dada por



      m n m n 2 nm mm m m E E V V E (2.2.2)

A condição de aplicabilidade para as equações acima é

n m

nm E E