Fluxo de Potência Formulação do Problema. Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto ET77J Sistemas de Potência 1

Fluxo de Potência – Formulação do

Problema

Objetivo da Aula



Apresentar a representação do sistema elétrico

de potência para formulação do problema de

cálculo de fluxo de potência em sistemas de

transmissão.

Conteúdo Programático



Definição de fluxo de potência;



Representação da rede elétrica;



Formulação do problema.

Construção de Conhecimento

Esperado



Desenvolver proficiência na representação da

rede elétrica para formulação do problema de

fluxo de potência como ferramenta de análise e

planejamento aplicada ao sistema elétrico de

potência.

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere a seguinte parcela de um sistema de

potência:

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere que:

• A função do sistema de geração é produzir a energia elétrica que será consumida → modelado como uma injeção de potência no barramento;

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere que:

• A linha de transmissão é modelada como uma linha curta, apenas Z_série;

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere que:

• O sistema de distribuição consome a energia transportada pelo sistema de transmissão → modelado como uma injeção de potência no barramento.

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere a seguinte parcela de um sistema de

potência:

Fluxo de Potência



Premissas

– Considere a seguinte parcela de um sistema de

potência:

Fluxo de Potência

 Premissas – Dados: • 𝑆𝑆₂ = 𝑃𝑃₂ + 𝑗𝑗𝑄𝑄₂ = 100 + 𝑗𝑗0 = 100⌊0° 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 • 𝑀𝑀₂ = 500𝑘𝑘𝑀𝑀 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 • 𝑟𝑟 = 25 Ω /𝑓𝑓𝑙𝑙𝑓𝑓𝑓𝑓 • 𝑥𝑥 = 125 Ω/𝑓𝑓𝑙𝑙𝑓𝑓𝑓𝑓 • 𝑆𝑆_𝑏𝑏 = 100𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 • 𝑀𝑀_𝑏𝑏 = 500𝑘𝑘𝑀𝑀 – Determinar: • V e S

Fluxo de Potência



Premissas

Fluxo de Potência



Premissas

– Determinação da corrente no circuito:

Fluxo de Potência



Premissas

– Determinação da potência fornecida pelo

barramento emissor:

Fluxo de Potência



Premissas

– Contudo:

• Em um sistema real os dados (tensão na carga e potência na carga) e as incógnitas (tensão e potência no barramento emissor) não são os especificados no exemplo;

• De fato, tem-se a tensão no barramento emissor (V₁) e a carga no barramento receptor (S₂) e se deseja encontrar V e S .

Fluxo de Potência



Premissas

– Repetir utilizando o método analítico:

– Considerando:

Fluxo de Potência



Premissas

– A eq. (1) será:

– Separando (1) na sua parte real e imaginária:

(2) (3)

Fluxo de Potência



Premissas

– Elevando as equações (2) e (3) ao quadrado e

somando-as, elimina-se θ

₂

:

Fluxo de Potência



Premissas

– Tem-se, portanto:

– A partir dos dados fornecidos:

Fluxo de Potência



Premissas

– Logo:

Mesma solução anterior!

Fluxo de Potência



Premissas

– Para sistemas de maior porte e malhados, a

abordagem apresentada é viável?

É necessário desenvolver técnicas de resolução específicas e eficientes para o problema da determinação do estado de operação de redes elétricas em regime permanente.

Fluxo de Potência

Fluxo de

Potência

Formulação

do

Problema

Método de

Solução

Informações

Fluxo de Potência



O que é?

– O fluxo de potência ou fluxo de carga consiste na

determinação:

• das tensões complexas das barras (módulo e ângulo);

• das distribuições dos fluxos de potência que fluem pelas linhas (potência ativa e reativa).

Fluxo de Potência



Leva em conta que:

– O sistema elétrico de potência é representado em condição estática, utilizando-se apenas equações algébricas não-lineares;

• Matematicamente, trata-se de um problema de resolução de sistemas de equações não lineares a partir de um processo iterativo.

– As variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possa ignorar os efeitos transitórios;

• É a base para que estudos dinâmicos, como, por exemplo, de transitórios eletromagnéticos, do sistema elétrico de potência sejam

Fluxo de Potência



O resultado do fluxo de potência permite:

– A determinação do estado operativo do sistema

elétrico;

• Verificar se o sistema em análise está ou não operando adequadamente;

– Indicar o que deve ser feito para corrigir ou prevenir

situações inadequadas de operação.

Fluxo de Potência



Aplicações do fluxo de potência

– Ferramenta básica para operação e planejamento

do sistema elétrico de potência;

• Operação: Análise de segurança: várias contingências (acidentes) são simuladas e o estado de operação da rede após a contingência deve ser obtido. Eventuais violações dos limites de operação são detectados e ações de controle corretivo e/ou preventivo são determinadas.

Fluxo de Potência



Aplicações do fluxo de potência

– Ferramenta básica para operação e planejamento

do sistema elétrico de potência;

• Planejamento da expansão: novas configurações da rede são determinadas para atender ao aumento de demanda e o estado de operação da rede para a nova configuração deve ser obtido.

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Modelo barra (nó)

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Convenção para os sinais da potência:

• A injeção de potência em uma barra k será positiva se entrar na barra (geração) e negativa se sair da barra (carga). Esta convenção também é válida para os elementos shunt.

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Restrições nas barras PQ e PV

𝑀𝑀_𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 𝑀𝑀_𝑘𝑘 ≤ 𝑀𝑀_𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝑳𝑳𝑳𝑳𝒕𝒕𝑳𝑳𝒕𝒕𝒕 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝑳𝑳 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒄𝒄𝒃𝒃𝒃𝒃𝒄𝒄𝒃𝒃

𝑄𝑄_𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 𝑄𝑄_𝑘𝑘 ≤ 𝑄𝑄_𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 → 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝑳𝑳𝒕𝒕𝒊𝒊𝑳𝑳𝒊𝒕𝒕𝒕 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒑𝒑𝒕𝒕𝑳𝑳𝒑𝒕𝒕𝒄𝒄𝑳𝑳𝒃𝒃 𝒃𝒃𝑳𝑳𝒃𝒃𝑳𝑳𝑳𝑳𝒓𝒓𝒃𝒃 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒃𝒃arras de gera𝒊𝒕o

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Transformação de fontes

𝑰𝑰_𝑳𝑳 = 𝑬𝑬_𝒁𝒁𝒄𝒄 𝒑𝒑 𝒁𝒁 = 𝒁𝒁

Fluxo de Potência



Representação da Rede

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Representando o sistema por suas admitâncias e

injeções liquidas de potência:

𝑺𝑺_𝑳𝑳 = 𝑷𝑷_𝑳𝑳 + 𝒊𝒊𝑸𝑸_𝑳𝑳

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes a cada

nó:

𝑰𝑰_𝟏𝟏 = 𝑽𝑽_𝟏𝟏𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟏𝟏} + 𝑽𝑽_𝟏𝟏 − 𝑽𝑽_𝟐𝟐 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} + 𝑽𝑽_𝟏𝟏 − 𝑽𝑽_𝟑𝟑 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑}

𝑰𝑰_𝟐𝟐 = 𝑽𝑽_𝟐𝟐𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟏𝟏} + 𝑽𝑽_𝟐𝟐 − 𝑽𝑽_𝟏𝟏 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} + 𝑽𝑽_𝟐𝟐 − 𝑽𝑽_𝟑𝟑 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟑𝟑} + 𝑽𝑽_𝟐𝟐 − 𝑽𝑽_𝟒𝟒 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟒𝟒} 𝑰𝑰_𝟑𝟑 = 𝑽𝑽_𝟑𝟑𝒚𝒚_{𝟑𝟑𝟏𝟏} + 𝑽𝑽_𝟑𝟑 − 𝑽𝑽_𝟏𝟏 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑} + 𝑽𝑽_𝟑𝟑 − 𝑽𝑽_𝟐𝟐 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟑𝟑} + 𝑽𝑽_𝟑𝟑 − 𝑽𝑽_𝟒𝟒 𝒚𝒚_{𝟑𝟑𝟒𝟒} 𝑰𝑰𝟒𝟒 = 𝑽𝑽𝟒𝟒𝒚𝒚𝟒𝟒𝟏𝟏 + 𝑽𝑽𝟒𝟒 − 𝑽𝑽𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐𝟒𝟒 + 𝑽𝑽𝟒𝟒 − 𝑽𝑽𝟑𝟑 𝒚𝒚𝟑𝟑𝟒𝟒

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Escrevendo em forma matricial:

𝐼𝐼₁ 𝐼𝐼₂ 𝐼𝐼₃ 𝐼𝐼₄ = 𝑦𝑦₁₀ + 𝑦𝑦₁₂ +𝑦𝑦₁₃ −𝑦𝑦12 −𝑦𝑦13 0 −𝑦𝑦_{12 +𝑦𝑦}𝑦𝑦20 + 𝑦𝑦12 23 + 𝑦𝑦24 −𝑦𝑦23 −𝑦𝑦24 −𝑦𝑦₁₃ −𝑦𝑦_{23 +𝑦𝑦}𝑦𝑦30 + 𝑦𝑦13 23 + 𝑦𝑦34 −𝑦𝑦34 0 −𝑦𝑦₂₄ −𝑦𝑦₃₄ 𝑦𝑦40_+𝑦𝑦+ 𝑦𝑦24 34 𝑀𝑀₁ 𝑀𝑀₂ 𝑀𝑀₃ 𝑀𝑀₄

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Escrevendo em forma matricial:

𝐼𝐼₁ 𝐼𝐼2 𝐼𝐼3 𝐼𝐼4 = 𝑌𝑌11 𝑌𝑌12 𝑌𝑌13 𝑌𝑌14 𝑌𝑌21 𝑌𝑌22 𝑌𝑌23 𝑌𝑌24 𝑌𝑌31 𝑌𝑌32 𝑌𝑌33 𝑌𝑌34 𝑌𝑌41 𝑌𝑌42 𝑌𝑌43 𝑌𝑌44 𝑀𝑀₁ 𝑀𝑀2 𝑀𝑀3 𝑀𝑀4

𝐼𝐼

_𝑚𝑚

= �

𝑚𝑚

𝑌𝑌

_{𝑚𝑚𝑘𝑘}

𝑀𝑀

_𝑘𝑘

; 𝑙𝑙 = 1,2, … 𝑙𝑙

𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟏𝟏} = 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟏𝟏} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑} 𝒀𝒀_{𝟐𝟐𝟐𝟐} = 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟏𝟏} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} + 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟑𝟑} + 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟒𝟒} 𝒀𝒀_{𝟑𝟑𝟑𝟑} = 𝒚𝒚_{𝟑𝟑𝟏𝟏} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑} + 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟑𝟑} + 𝒚𝒚_{𝟑𝟑𝟒𝟒} 𝒀𝒀_{𝟒𝟒𝟒𝟒} = 𝒚𝒚_{𝟒𝟒𝟏𝟏} + 𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟒𝟒} + 𝒚𝒚_{𝟑𝟑𝟒𝟒} 𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟐𝟐} = 𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟐𝟐} = −𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} 𝒀𝒀_{𝟑𝟑𝟐𝟐} = 𝒀𝒀_{𝟐𝟐𝟑𝟑} = −𝒚𝒚_{𝟐𝟐𝟑𝟑} 𝒀𝒀_{𝟑𝟑𝟏𝟏} = 𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟑𝟑} = −𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑} 𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟒𝟒} = 𝒀𝒀_{𝟒𝟒𝟏𝟏} = −𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟒𝟒} = 𝟏𝟏

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– Escrevendo em forma matricial:

𝑌𝑌_{𝑘𝑘𝑚𝑚} = −𝑦𝑦_{𝑘𝑘𝑚𝑚} 𝑌𝑌_{𝑘𝑘𝑘𝑘} = �

𝑚𝑚∈Ω_𝑘𝑘

𝑦𝑦_{𝑘𝑘𝑚𝑚 Elementos da diagonal principal}

(admitância própria)

Elementos conectados à barra (inclusive shunts)

Elementos fora da diagonal principal (admitância mútua ou de transferência)

𝒀𝒀_{𝟏𝟏𝟏𝟏} = 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟏𝟏} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟐𝟐} + 𝒚𝒚_{𝟏𝟏𝟑𝟑}

Fluxo de Potência



Representação da Rede

– A matriz ̇𝑌𝑌 tem as seguintes características:

• É simétrica;

– Apenas 𝑚𝑚 𝑚𝑚+1₂ elementos da matriz precisam ser armazenados;

• É uma matriz esparsa, ou seja possui muitos zeros (Se não houver conexão entre as barras a admitância é igual a zero).

– Para o SIN a esparsidade é maior do que 99% → explorar a esparsidade diminui o custo computacional da solução do problema de fluxo de potência e diminui a quantidade de memória utilizada para armazenamento (apenas os elementos diferentes de zero são armazenados.

Fluxo de Potência



Considerando a matriz Y na presença de um

transformador

Referências bibliográficas

 STEVENSON, W. D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978. 347 p.

 MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A.. Introdução a sistemas de energia elétrica. Campinas, SP: UNICAMP, c2003. 251 p.

 MONTICELLI, A. J.. Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São Paulo: E. Blucher; Rio de Janeiro: Centro de Pesquisas de Energia Eletrica (Brasil), c1983. 164p.

 KOTHARI, D. P.; NAGRATH, I. J. Modern Power System Analysis. [s.l.] Tata McGraw-Hill Publishing Company, 2003. 353p.

 WANG, X. F.; SONG, Y.; IRVING, M. Modern Power Systems Analysis. [s.l.] Springer US, 2010. 569p.

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