AlgebraBoole

Álgebra de Boole

O postulado básico da álgebra de Boole é a existência de uma variável boolena tal que:

x≠0 ⇔ x=1 x≠1 ⇔ x=0

A álgebra de Boole é um sistema algébrico que consiste do conjunto {0,1}, duas operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) e uma operação unária NOT ( ).

A operação OR é chamada de soma lógica ou união, a operação AND é conhecida por produto lógico ou interseção e a operação NOT é dita complementação ou ainda inversão (não confundir com a soma de números binários). Estas operações são definidas conforme as tabelas a seguir:

Operação OR AND NOT

0 + 0 = 0 0 ⋅⋅⋅⋅ 0 = 0 0 1= 0 + 1 = 1 0 _{⋅⋅⋅⋅1 = 0 1 0=} 1 + 0 = 1 1 ⋅⋅⋅⋅ 0 = 0

1 + 1 = 1 1 ⋅⋅⋅⋅ 1 = 1

Estas operações podem ser representadas por circuitos lógicos elementares denominados portas ou gates:

OR AND NOT

(Atenção! Ler "+” como “ou” e “.” como “AND”, ressaltando a diferença com a aritmética binária)

Um circuito de composto de gates é chamado de circuito lógico. O circuito mostrado abaixo realiza a expressão lógica A . B + C + D . E

A B C D E AB DE AB+C _{AB+C + DE}

Acrescentar a simbologia para as negações de OR e de AND! Circuito Ou-Exclusivo (X-OR)

A tabela verdade para a função que o X-OR executa é: A B S

0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Uma expressão booleana para esta função seria (ela não é única!) S AB AB= + . Peça aos alunos para montar o circuito.

Utiliza-se o seguinte operador para denotar a operação de X-OR: ⊕. Logo, para a tabela anterior S =A⊕B

Complementando o X-OR obtemos o circuito que é conhecido como coincidência, nome que vem do fato de sua saída ser somente igual a “1” quando existir coincidência nas suas entradas, i.e.:

A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Símbolo: acrescentar um inversor à saída do X-OR Operador: , operação: S=A B.

Propriedades Básicas

Sendo x uma variável booleana, então:

• x + 1 = 1 • x . 1 = x

• x . 0 = 0 • x + x = x

• x + 0 = x • x . x = x

A álgebra booleana é comutativa e associativa com relação às duas operações binárias. Sendo x, y, z variáveis booleanas, então

A B

Comutativa x + y = y + x x . y = y . x

(

)

(

)

( )

( )

Na álgebra booleana, a soma é distributiva sobre o produto e o produto é distributivo sobre a soma,

(

)

( ) (

)

(

)

Distributiva x . y + z = x . y + x . z x + y . z = x + y . x + z

Notemos que estas propriedades apresentam-se aos pares e que em cada par, uma equação pode ser obtida da outra mediante a troca de 1 por 0 e 0 por 1 além de permutarmos os AND’s pelos OR’s . Isto é conhecido como princípio da dualidade da álgebra de Boole (obs: todas estas expressões podem ser provadas por indução finita, bastando provar uma equação e a sua dual estará provada).

Expressões Booleanas

Define-se expressão booleana como a combinação de um número finito de variáveis booleanas (0,1) através das operações booleanas (+), (.) e ( ). Qualquer constante ou variável booleana é uma expressão booleana, e se T1 e T2 são expressões booleanas, o mesmo acontecerá para T T1 2, , T1+T2, T1.T2 .

As propriedades a seguir formam o conjunto fundamental de ferramentas básicas para a simplificação de expressões booleanas.

(

)

( )

x+xy=x x x+y x propriedades de absorção x+xy x y

x x+y xy = = + =

(

)

( )

( ) (

)

( )

Ex1: Simplifique a expressão F(x,y,z)

(

)

(

)

( )

Ou seja, F(x,y,z) independe dos valores de x e y, i.e., F(x,y,z) é F(x)!

É muito importante notar que na álgebra de Boole não são definidas operações inversas e portanto, não são permitidos cancelamentos. Por exemplo, se A+B=A+C, não significa que B=C. De fato, se A=B=1 e C=0 1+1=1+0, embora B seja diferente C. Analogamente, AB=AC não implica em B=C.

Teorema de De Morgan

As regras que regem a operação de complementação para duas variáveis se resumem nos três teoremas seguintes:

x = x x + y = x y xy x + y=

De forma geral, o Teorema de De Morgan afirma que o complemento de qualquer expressão pode ser obtido trocando-se simultaneamente cada variável por seu complemento e as operações OR por AND e AND por OR, i.e.

f(x1,x2,...,xn,0,1,+,.) = f(x1,x2,...,xn,1,0,.,+) Aplicações de Funções Booleanas

Isomorfismo

Dois sistemas algébricos (cada um consistindo de um conjunto de elementos e uma ou mais operações que satisfazem um conjunto de postulados) são ditos isomórficos caso sejam satisfeitas as seguintes condições:

• correspondência unívoca entre elementos e operações

• todos postulados de um sistema são válidos no outro, mediante a troca dos elementos e das operações.

Conclusão: Dois sistemas isomórficos serão idênticos, à exceção dos símbolos usados para representar os seus elementos e operações.

Circuitos de Chaveamento ou de Comutação ( Switching Circuits )

Chave

→

↓

associar variável booleana

→

↓

complementada (bloqueio) = 0

A conexão paralela de duas chaves X e Y X+Y, “ série “ X .Y

Monte as T.V. para estas duas situações, observando o isomorfismo com a A.B. Podemos associar a cada circuito uma função de transmissão, que assumirá valor 1

que houver continuidade entre os terminais. Exemplificar com F=xy’+(x’+y)z, simplificando (F=xy’+z).

Cálculo das Proposições

Uma proposição é uma afirmação que em função de certas condições deve ser verdadeira ou falsa. A cada proposição associa-se uma variável, que assume o valor 1 se a proposição é verdadeira, e 0 se a proposição for falsa.

Diremos que uma proposição será uma negação da outra quando elas implicarem em situações excludentes.

Ex: “Não está chovendo” é uma negação de “está chovendo”.

Duas proposições podem ser combinadas para formar uma nova proposição. Ex: p - temp > 30° C e u - umid > 50%. As proposições p and q sendo verdadeiras implicam que a temperatura está acima de 30° C e a umidade acima de 50%. Ex:

Um sistema condicionador de ar deve ser ligado se ocorrer uma ou mais das seguintes condições:

• a massa do material armazenado for menor ou igual a 100 ton., a umidade relativa do ar for maior do que 60%, e a temperatura estiver acima de 15 graus. • a massa do material armazenado for maior ou igual a 100 ton. e a temperatura

estiver acima de quinze graus. Considere as variáveis:

P - peso maior ou igual a 100 ton.

U - umidade relativa do ar maior ou igual a 60% T - temperatura acima de 15 graus.

L - ar condicionado ligado

Funções Booleanas

Seja F(x1, x2, ..., xn) uma expressão booleana, e visto que cada uma das n variáveis pode assumir independentemente o valor 0 ou 1 existirão 2n combinações de variáveis a serem considerados na determinação de F.

Ex: Considere F(x,y,z)= xz + xz + x y . Para a combinação x=0, y=0 e z=1 temos: F(x,y,z)= 01 0 1 0 0. + . + . =1.1+0.0+1.1=1

Calculando F(x,y,z) para todas as 8 combinações de variáveis, mostramos os resultados no quadro abaixo, que é conhecido como tabela verdade para F(x,y,z).

x y z T 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

Repetindo-se o procedimento para construir a tabela verdade da expressão xz xz y z+ + , obteremos uma tabela idêntica a anterior. Deste modo, verificamos que expressões booleanas diferentes podem ser representadas pela mesma tabela verdade. Contudo, devemos notar que cada tabela verdade define apenas uma função booleana, embora esta função possa ser expressa por diferentes expressões booleanas. Em outras palavras, uma função booleana f(x1,...,xn) é a correspondência que associa um elemento da Álgebra de Boole com cada uma das 2n _{combinações das variáveis x1, ..., xn.}

Formas Canônicas

Podemos derivar da tabela verdade para uma função F(x,y,z) expressões booleanas que representem esta função.

Mintermos

Dada uma tabela verdade qualquer podemos escrever uma função booleana correspondente através da soma de todos os mintermos para os quais a função assume valor 1. Um mintermo é qualquer produto que contenha as n variáveis de uma função como fatores. Contudo, na soma dos mintermos que representarão a função booleana, uma

variável aparecerá complementada num mintermo caso ela assuma valor 0 nesta combinação. Retomando a tabela anterior, constatamos que para x=y=0 e z=1 F(x,y,z)=1, e portanto o mintermo x y z aparecerá na expressão da função. Na verdade, F(x,y,z) pode ser escrita como:

F(x,y,z)= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z .

As funções booleanas são normalmente expressas pelos códigos decimais associados aos mintermos para os quais a função vale 1. Assim, o mintermo x y z que está associado à linha 001, que interpretada como um número binário corresponde ao decimal 3. Deste modo, podemos escrever F(x,y,z) como

F(x,y,z)=S(0,1,3,4,6),

onde S( ) significa a soma de todos os mintermos cujos códigos decimais estão entre os parênteses.

Maxtermos

Uma função booleana também pode ser expressa através do produto de todos os maxtermos para os quais a função assume valor 0. Um maxtermo é qualquer soma que contenha as n variáveis de uma função como parcelas. Contudo, no produto dos maxtermos que representarão a função booleana, uma variável aparecerá complementada num maxtermo caso ela assuma valor 1 nesta combinação. Como exemplo tomemos F(x,y,z), para x=z=0 e y=1; o maxtermo correspondente será (x y z+ + . Desta forma, ) poderemos escrever F(x,y,z) como

F(x,y,z)=P(2,5,7),

onde P( ) significa o produto de todos os maxtermos cujos códigos decimais estão entre os parênteses. Esta expressão obtida para F(x,y,z) é conhecida como produto canônico de somas.

Estados Irrelevantes (Don’t Care States)

Existem algumas funções para as quais certas combinações das variáveis de entrada corresponderão a situações que serão irrelevantes para o funcionamento do projeto. Para estas combinações de entrada, o valor da função é descrito por um estado irrelevante (Don’t Care State-DC), denotado por X ou um traço (−). Podem ser indicadas pelos decimais contidos na

notação D( ). Ex: Dada a tabela verdade :

w x y z F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 X 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 X 1 1 1 1 X

Podemos escrever a função booleana correspondente como F(x,y,z)=S(4,5,8,12,13)+D(3,14,15)

Mapas de Karnaugh

Um Mapa de Karnaugh (MK) é uma forma modificada da tabela verdade, onde as combinações de entrada estão arranjadas de modo a facilitar a simplificação de uma expressão booleana.

A seguir temos os MK para as situações de 2 a 6 variáveis 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 0 0 2 0 0 2 6 4 00 0 4 12 8 1 1 3 1 1 3 7 5 01 1 5 13 9 11 3 7 15 11 10 2 6 14 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 0 4 12 8 16 20 28 24 00 01 1 5 13 9 17 21 29 25 01 11 3 7 15 11 19 23 31 27 11 10 2 6 14 10 18 22 30 26 10 00 01 11 10 00 01 11 10 00 0 4 12 8 16 20 28 24 00 01 1 5 13 9 17 21 29 25 01 11 3 7 15 11 19 23 31 27 11 10 2 6 14 10 18 22 30 26 10 00 32 36 44 40 48 52 60 56 00 01 33 37 45 41 49 53 61 57 01 11 35 39 47 43 51 55 63 59 11 10 34 38 46 42 50 54 62 58 10 00 01 11 10 00 01 11 10

2 variáveis

3 variáveis

4 variáveis

5 variáveis

6 variáveis

Cada mapa de n variáveis consiste de 2n células, representando todas as possíveis combinações de entrada. Para tornar os mapas mais compactos, optamos representar estas combinações através de códigos decimais.

O valor da função associado a uma combinação particular de entradas é anotado na célula correspondente. Como exemplo vamos montar o MK para a função F(w,x,y,z)=S(4,5,8,12,13)+D(3,14,15) 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 1 11 X X 10 X

De acordo com o método de ordenamento do MK, células adjacentes corresponderão às combinações que diferem unicamente por um bit. Por exemplo:

células adjacências 13 5 9 12 15 1101 0101 1001 1100 1111 0 1 2 4 8 0000 0001 0010 0100 1000 2 0 3 6 10 0010 0000 0011 0110 1010

IMPORTANTE: Compreenda bem o que significa diferir por um bit. Apesar de 1 e 2 estarem “distanciados” por uma unidade, suas representações binárias diferem por dois bits!

Inspecionando-se, por exemplo, o MK para quatro variáveis, constatamos que a célula “4” não está colocada ao lado da célula “0” (pelo menos aparentemente). A explicação para este fato decorre dos MK serem versões topológicas planas de superfícies.

wx yz

Para um número maior do que 4 variáveis, o volume necessitará mais do que três dimensões para ser representado.

Como já devemos ter notado, existirá um número n de vizinhos adjacentes a cada célula de um MK escrito para n variáveis.

Retornando ao assunto de minimização de funções booleanas, podemos verificar prontamente que células adjacentes serão simplificadas de acordo com a regra do complemento das operações binárias (x+x’=11). Deste modo, a soma dos mintermos relativa à união de duas células adjacentes (para as quais a função assume valor “1”) é obtida ignorando-se as variáveis que assumem valor “1” numa célula e “0” na outra. Assim, a quadra 4-5-12-13 corresponde a xy’.

É dado o nome de subcubo de ordem m a um conjunto de m células de um MK, e nos referimos a ele dizendo que cobre estas m células. Todo subcubo cuja ocorrência obriga a função a ter valor “1”, é dito implicar a função, ou seja, é um implicante da função ao qual existe associado um produto de literais.

Uma função pode ser expressa como a soma dos implicantes correspondentes aos subcubos necessários para cobrir todas as células de valor “1”. Utilizando deste procedimento, escreveremos a função F para o MK anterior como sendo:

F=xy’+wy’z’

Para se obter uma expressão mínima para a função deve-se cobrir todas as células de valor “1” com subcubos tão grandes quanto possível, pois isto diminuirá o número de de literais. Portanto, um subcubo totalmente contido num subcubo maior não deverá ser escolhido.

Os DCS podem e devem ser utilizados para facilitar a obtenção de expressões, sendo a eles atribuídos valor “0” ou “1” conforme a conveniência.

1 _{De agora em diante também estaremos adotando como convenções de notação :}

Toróide

“base”

Toróide

Ainda com relação a nomenclatura, um implicante correspondente a um subcubo não contido totalmente num subcubo maior, é chamado de implicante-primo. Além disso temos:

• referência: é a célula de menor valor decimal do subcubo

• redundância: é soma dos pesos binários das variáveis que não participam no produto das literais

Implicantes Células Binários Referência Redundância w x y z

xy’ 4,5,12,13 - 1 0 - 4 9

wy’z’ 8,12 1 - 0 0 8 4

Acasos (Hazards)

Os circuitos digitais reais não respondem instantaneamente aos sinais nas entradas, o que acarreta atraso na mudança dos estados e evetualmente acasos (hazards).

Convencionou-se definir os tempos:

• TPLH - time for propagation of the LOW to HIGH • TPHL - time for propagation of the HIGH to LOW Ex: Considere a função F(x,y,z)= S(2,3,5,7)

Portanto F(x,y,z)=x’y+xz Contudo, suponhamos:

1. y = z = ”1 ”

2. x esteja mudando de “0” para “1”. 3. TPHL1<TPLH2

Esta situação é descrita graficamente através do diagrama de temporização. Em cores vermelhas temos os sinais gerados em função do tempo, tendo o circuito somente dois gates (dois sub-cubos sem entrelaçamento). Conforme se pode constatar, devido ao TPHL1<TPHL2, durante um certo intervalo de tempo a saída do circuito, F, fica em nível baixo, enquanto o correto seria que esta saída F permanecesse em nível alto. A este tipo de ocorrência damos o nome de acaso (hazard) estático. Ao fazermos o entrelaçamento

x’ y x z 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 F 2 xy z TPLH TPHL

entre os subcubos, é adicionado mais um gate (yx) ao circuito (que descreve a transição x: 0 → 1, com y=z=1) o que elimina o hazard estático.

Pergunta: O que acontecerá se duas entradas mudarem de forma simultânea e elas estiverem conectadas a gates com tempos diferentes de propagação?

Referência p/ estas notas: Bonatti Ivani e Madureira Marcos,

Introdução à Análise e Síntese de Circuitos Lógicos, Editora da

UNICAMP (1990). Livro esgotado.

yz

Diagrama de temporização descrevendo a ação do hazard estático e o acréscimo do gate “redundante”, o que elimina o problema.