Análise dos espaços de parâmetros do circuito de Chua experimental.

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB ´

A

PROGRAMA DE P ÓS GRADUAÇ ÃO EM

MATERIAIS PARA ENGENHARIA

Francisco Felipe Gomes de Sousa

An´

alise dos espa¸

cos de parˆ

ametros do circuito de

Chua experimental.

Tese submetida ao Programa de P´

os-Gradua¸

c˜

ao em

Materiais para Engenharia como parte dos requisitos

para obten¸

c˜

ao do t´ıtulo de Doutor em Ciˆ

encias dos

Materiais para Engenharia.

´

Area de Concentra¸

c˜

ao: N˜

ao Metais

Orientador: Prof. Dr. Rero Marques Rubinger

Maio de 2016 Itajub´a

(2)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB ´

A

PROGRAMA DE P ÓS GRADUAÇ ÃO EM

MATERIAIS PARA ENGENHARIA

Francisco Felipe Gomes de Sousa

An´

alise dos espa¸

cos de parˆ

ametros do circuito de

Chua experimental.

Tese aprovada por banca examinadora em 09 de Maio de 2016,

conferindo ao autor o t´ıtulo de Doutor em Ciˆ

encias em

Ma-teriais para Engenharia.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Rero Marques Rubinger (Orientador)

Prof. Dr. Emilson Ribeiro Viana Junior

Prof. Dr. Yvo Marcelo Chiaradia Masselli

Prof. Dr. Alan Bendasoli Pavan

Profa. Dra. Mirian de Lourdes Noronha M. Melo

Itajub´a 2016

(3)

”Por falta de um prego, perdeu-se uma ferradura. Por falta de uma ferradura, perdeu-se

um cavalo. Por falta de um cavalo, perdeu-se um cavaleiro. Por falta de um cavaleiro,

perdeu-se uma batalha. E assim, um reino foi perdido. Tudo por falta de um prego.”

(4)

A minha esposa Tatiana,

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co ao professor Rero Rubinger pela orienta¸c˜ao e aprendizado conquistado

du-rante o desenvolvimento deste projeto. Aos professores Holokx Abreu Albuquerque da

UDESC e Jose Carlos Sartorelli da USP, pela coopera¸c˜ao no projeto. Aos colegas de

laborat´orio e ao IFSULDEMINAS - Campus Inconfidentes pela libera¸c˜ao, apoio

financeiro e principalmente pela oportunidade de aperfei¸coar meus conhecimentos para

(6)

Resumo

Neste trabalho, foram obtidos experimentalmente os espa¸cos de parˆametros

bidimensi-onais da periodicidade e do maior expoente de Lyapunov para o circuito de Chua, usando

as medidas de séries temporais para diferentes valores das resistências rL em série com

o indutor e R ligada aos dois capacitores. Este circuito apresenta o comportamento de

um material semicondutor com condutividade diferencial negativa que lembra a forma da

letra N (NNDC) acoplado a um circuito tanque. Quatro potenciˆometros digitais com 1024

passos de 0, 100 Ω, 0, 200 Ω e 1, 000 Ω foram constru´ıdos para modificar os valores destes

parâmetros. A aquisi¸cão de dados e controle dos potenciômetros digitais foram feitas

atrav´es de um programa desenvolvido em Labview R _{e a an´}_{alise de dados e apresenta¸c˜}_ao

dos resultados com scripts em PYTHON. Os resultados obtidos foram comparados com

simula¸c˜oes feitas em FORTRAN que confirmaram a presen¸ca de cascatas de adi¸c˜ao de

per´ıodo, janelas periódicas, rotas de adi¸cão de per´ıodos impares, coexistência de atratores

e um hub de periodicidade. Confirmando a eficacia dos usos dos potenciˆometros digitais

como alternativa para variar os parâmetros resistivos de sistemas dinâmicos elétricos.

Palavras-chave

Material semicondutor NNDC, Circuito de Chua, Espa¸co de parˆametros, Potenciˆometros

(7)

Abstract

In this work, we experimentally obtained two-dimensional parameter spaces of

peri-odicity and the largest Lyapunov exponent for the Chua’s circuit, using the time series

measurements for different values of resistors rLin series with the inductor and R

connec-ting the two capacitors. This circuit has the same behavior that semiconductor material

with negative differential conductivity in N-shaped form (NNDC). Four digital

potentio-meters with 1024 steps with 0.100 Ω, 0.200 Ω and 1.000 Ω stepsize were built to modify the

values of these parameters. The data acquisition and control of the digital potentiometers

were made through a program developed in LabView R_{. The data analysis and the}

presen-tation of results were performed using PYTHON scripts. The results were compared with

computer simulations in FORTRAN and confirmed presence of period-doubling cascade,

periodic windows, odd period-adding route,attractors coexistence and periodicity hubs.

Another finding was the deformation of shrimps caused by the breaking of symmetry of

the curve i(V ) in the linear region of operation of the operational amplifiers forming part

of the diode Chua. The digital potentiometers were efficient tools to study chaotic circuits.

Keywords

(8)

Conte´

udo

Resumo IV

Abstract V

Lista de Figuras VII

Lista de Tabela X

Introdu¸c˜ao 22

1 Aspectos Te´oricos 26

1.1 Circuito ca´otico de materiais semicondutores . . . 26

1.2 O circuito de Chua . . . 31

1.3 O diodo de Chua . . . 32

1.4 O indutor eletrˆonico . . . 39

1.5 As equa¸c˜oes diferenciais do sistema . . . 43

1.6 Os pontos de equil´ıbrio do sistema . . . 45

2 Experimentos e M´etodos de An´alise 52 2.1 O Circuito de Chua experimental . . . 52

2.2 O potenciˆometro digital . . . 55

2.3 A aquisi¸cão das séries temporais e reconstru¸cão dos atratores. . . 59

2.4 Constru¸c˜oes de diagramas de bifurca¸c˜ao . . . 63

2.5 O c´alculo do expoente de Lyapunov . . . 65

(9)

3 Resultados Experimentais e Discuss˜ao 73

3.1 Espa¸co de parˆametros da periodicidade, diagramas de bifurca¸c˜ao e

atrato-res. . . 73

3.2 O espa¸co de parˆametros do maior expoente de Lyapunov . . . 85

4 Considera¸c˜oes Finais 91

4.1 Conclus˜ao . . . 92

Considera¸c˜oes Finais 91

Bibliografia 94

Anexo A - Algoritmos em FORTRAN 102

A1 Programa para simular o espa¸co de parˆametros do maior expoente de

Lya-punov . . . 102

Anexo B - Algoritmos em PYTHON 106

B1 Programa para gerar espa¸co de parˆametros da periodicidade . . . 106

(10)

Lista de Figuras

1.1 Curvas NNDC e SNDC . . . 27 1.2 Efeito Gunn . . . 28 1.3 NDC semicondutor lumped . . . 30 1.4 semicondutores NNDC lumped . . . 30 1.5 Circuito de Chua . . . 31

1.6 circuito com elemento NDC . . . 33

1.7 Curva id(V ) do diodo de Chua . . . 34

1.8 Conversor de resistˆencia negativa idealizado e curva i(V ) . . . 34

1.9 Conversor de resistˆencia usando AmpOp . . . 35

1.10 Curvas i1(V ) e i2(V ) dos conversores de resistˆencia negativa NR1 e NR2 . . 38

1.11 Circuito de Chua com NR1 e NR2 em paralelo . . . 39

1.12 Circuito gyrator ideal que relaciona indutˆancia e capacitˆancia . . . 40

1.13 Indutor de Antonious . . . 41

1.14 Aplica¸c˜ao da Lei de Kirchoff no circuito de Chua . . . 44

1.15 Circuito de Chua na condi¸c˜ao de equil´ıbrio . . . 45

1.16 Intersec¸c˜ao da linha de carga com a curva id(V ) . . . 46

1.17 Exemplos em 3-dimens˜oes de pontos de equil´ıbrio em que todos os autova-lores s˜ao reais . . . 49

1.18 Exemplos em 3-dimens˜oes de pontos de equil´ıbrio com apenas um autovalor real. . . 51

2.1 Esquem´atico do circuito de Chua . . . 52

(11)

2.3 Ajuste da curva id(X) . . . 54

2.4 Esquem´atico do potenciˆometro digital . . . 55

2.5 Programa para calibra¸c˜ao dos potenciˆometros . . . 57

2.6 Curva de calibra¸c˜ao do potenciˆometro de 1, 000Ω . . . 57

2.9 Programa de aquisi¸c˜ao de dados e controle dos potenciˆometros . . . 60

2.10 Informa¸c˜ao mutua . . . 61

2.11 Atratores reconstru´ıdos para diferentes delay . . . 62

2.12 Diagramas de bifurca¸c˜ao . . . 64

2.13 Diagrama em bloco do script utilizado para constru¸c˜ao dos diagramas de bifurca¸c˜ao . . . 65

2.14 Diagrama em bloco do script utilizado para calcular o maior expoente de Lyapunov . . . 67

2.15 Escolha do n´umero de vizinhos k . . . 69

2.16 Diagrama em bloco do script utilizado para calcular a periodicidade . . . . 71

2.17 Máximos da série de extremos em fun¸cão do tempo de retorno . . . 72

3.1 Espa¸co de parˆametros experimental da periodicidade. . . 74

3.2 Diagrama de bifurca¸c˜ao experimental para rL = 38, 000 Ω . . . 75

3.3 Diagrama de bifurca¸c˜ao experimental para rL = 23, 000 Ω . . . 75

3.4 Coexistˆencia de atratores no diagrama de bifurca¸c˜ao . . . 77

3.5 Proje¸c˜ao dos atratores durante bifurca¸c˜ao de Hopf . . . 77

3.6 Proje¸c˜ao dos atratores reconstru´ıdos . . . 78

3.7 Rota de adi¸c˜ao de per´ıodo . . . 81

3.8 Rela¸c˜ao exponencial entre o per´ıodo P e o largura da janela peri´odica . . . 82

3.9 Espa¸co de parˆametros da periodicidade experimental e simulado . . . 84

3.10 Espa¸cos de parˆametros experimental do maior expoente de Lyapunov . . . 85

(12)

3.12 Amplia¸c˜ao dos espa¸cos de parˆametros do maior expoente de Lyapunov

experimental e simulado . . . 87

3.13 Simula¸c˜ao do espa¸co de parˆametros do maior expoente de Lyapunov para ε = 0, 81590 e ε = 0, 82590 . . . 89

3.14 Simula¸c˜ao do espa¸co de parˆametros do maior expoente de Lyapunov para ε = 0, 82890, 0, 82990 e 0,83590 . . . 90

A1 Subrotina Runge Kutta . . . 102

A2 Programa Principal . . . 103

A3 Subrotina das equa¸c˜oes diferenciais e fun¸c˜oes da curva i(V ) e derivada . . . 104

A4 Vari´aveis Globais . . . 105

B1 Parte 1: Espa¸co de arˆametros da periodicidade . . . 106

B2 Parte 2: Espa¸co de parˆametros da periodicidade . . . 107

B3 Parte 1: Vari´aveis Globais . . . 108

B4 Parte 2: Vari´aveis Globais . . . 109

(13)

Lista de Tabelas

1.1 As tens˜oes de entrada e Vin e sa´ıda Vout em termos das caracter´ısticas do

amplificador operacional . . . 35

2.1 Valores dos componentes utilizadas no circuito de Chua . . . 53

(14)

Introdu¸

c˜

ao

Os materiais semicondutores possuem um papel importante no desenvolvimento

tec-nol´ogico da sociedade moderna. A aplicabilidade deste tipo de material possibilitou a

substitui¸c˜ao de v´alvulas por transistores e o desenvolvimento dos circuitos integrados,

avan¸cos tecnológicos que possibilitaram a populariza¸cão dos equipamentos eletrônicos e o

desenvolvimento das telecomunica¸c˜oes.

Por alguns anos a hist´oria dos materiais semicondutores era focada na descoberta

de duas propriedades importantes: a retifica¸c˜ao e a sensibilidade do semicondutor a luz

[1]. No entanto, al´em destas propriedades bem conhecidos os materiais semicondutores

podem comportar-se como sistemas complexos apresentando instabilidades el´etricas como:

chaveamentos entre estados condutores e não condutores, e oscila¸cões espontâneas de

corrente e tensão. Oscila¸cões deste tipo em semicondutores são conhecidas desde a década

de 60 e podem ocorrer de forma periódica ou caótica, apresentando rotas de bifurca¸cão

que s˜ao objetos de estudo da teoria do caos que podem ser aplicada em diferentes ´areas

da ciência, como: as ciências biológicas, engenharias, economia, dentre outras [2, 3],

conferindo a teoria um car´ater multidisciplinar.

Com rela¸c˜ao a teoria do caos aplicada aos materiais semicondutores, existem poucos

trabalhos experimentais com diagramas de bifurca¸cões1 ou espa¸co de parâmetros2. A carência deste tipo de trabalho, provavelmente, não se deve a falta de interesse pela área

já que os materiais semicondutores são a base da tecnologia eletrônica atual e

possivel-mente do futuro, como por exemplo, o uso das super-redes semicondutoras que apresentam

1_{Representa¸c˜}_{ao gr´}_{afica do comportamento qualitativo das ´}_{orbitas a partir da varia¸}_c˜_{ao de um dos} parˆametros do sistema[4].

2_{Mapas bidimensionais descritos por dois parˆ}_{ametros de controle do sistema a e b em que para cada} resposta f (a, b) do sistema a uma dada condi¸c˜ao inicial, atribui-se uma cor de acordo com o valor num´erico.

(15)

comportamento ca´otico e tˆem a expectativa de operar na faixa de THz [5]. Portanto,

pos-sivelmente a carˆencia de trabalhos experimentais envolvendo materiais semicondutores

não devido ao desinteresse pela área mas, sim, pela dificuldade na realiza¸cão dos

expe-rimentos, principalmente pela falta de instrumenta¸c˜ao que permita variar os parˆametros

do sistema de forma precisa.

Diante disso, o objetivo desta tese foi avaliar a efic´acia do uso de potenciˆometros

di-gitais constru´ıdos e precisamente calibrados como alternativa para variar os parˆametros

resistivos de um sistema dinˆamico eletrˆonico, que simula o comportamento de um material

semicondutor que apresenta uma curva i(V ) caracter´ıstica que lembra a forma da letra N

(NNDC). O circuito de Chua é um circuito que, através da aproxima¸cão lumped3_,

repre-senta um material semicondutor NNDC acoplado a um circuito oscilador do tipo tanque.

Além disso, este sistema é integrável por partes, exibe uma variedade de fenômenos e

ainda n˜ao possu´ıa o espa¸co de parˆametros experimental do maior expoente de Lyapunov

utilizando parˆametros resistivos, outro objetivo desta tese.

No cap´ıtulo 1 será feita uma introdu¸cão sobre a causa do comportamento caótico em

materiais semicondutores e a possibilidade de correlaciona-los com um circuito el´etrico

semelhante ao circuito de Chua. Em seguida, ´e feita a apresenta¸c˜ao do circuito de Chua,

sua origem e seus principais componentes: o indutor eletrˆonico e o diodo de Chua, al´em

do sistema de equa¸c˜oes diferenciais que descrevem esse sistema e as alternativas para

determinar seus pontos de equil´ıbrios e a influˆencia destes nas caracter´ısticas dos atratores.

No cap´ıtulo 2 são descritos os aspectos práticos, como a constru¸cão do circuito de

Chua, do potenciˆometro digital e dos programas desenvolvidos para o controle dos

po-tenciômetros, aquisi¸cão dos dados e simula¸cões, assim como a metodologia utilizada, que

inclui a técnica de reconstru¸cão dos atratores, a constru¸cão dos diagramas de bifurca¸cão

e os c´alculos do maior expoente de Lyapunov e da periodicidade.

Finalmente, no cap´ıtulo 3 s˜ao apresentados os resultados obtidos a partir das

si-mula¸cões do sistema e da análise das séries temporais medidas. Os resultados incluem:

os espa¸cos de parˆametros da periodicidade e do maior expoente de Lyapunov, os

diagra-3_{Elementos de circuito lumped s˜}_{ao utilizados como representa¸}_c˜_{oes abstrata ou modelo discretos para} representar o comportamento interno complicado de materiais [6]

(16)

mas de bifurca¸cões, as proje¸cões dos atratores reconstru´ıdos, a rota de adi¸cão de per´ıodo

impar observada, a rela¸c˜ao exponencial entre o per´ıodo e a largura da janela peri´odica e

a poss´ıvel causa da deforma¸c˜ao dos shirimps4_.

4_S˜_{ao estruturas peri´}_{odicas auto-similares presentes no espa¸}_{co de parˆ}_{ametros cujo formato lembra um} camar˜ao com corpo, antenas e cauda.

(17)

Cap´ıtulo 1

Aspectos Te´

oricos

1.1 Circuito ca´

otico de materiais semicondutores

Na teoria dos sistemas dinâmicos a presen¸ca de caos é caracterizada pela forte dependência

das condi¸cões iniciais do sistema, no entanto a compreensão dos fenômenos caóticos tem

como ponto de investiga¸c˜ao principal o papel das instabilidades, que de acordo com

Kel-lert, permite definir a Teoria do Caos como o estudo qualitativo de comportamentos

aperiódicos e instáveis em sistemas dinâmicos não lineares determin´ısticos [7].

Neste contexto ´e poss´ıvel incluir o comportamento de alguns materiais

semicondu-tores, cujas instabilidades s˜ao de natureza el´etrica, causadas pela presen¸ca de um forte

campo elétrico externo, irradia¸cão intensa ou inje¸cão de corrente elétrica alta.

Amos-tras de materiais semicondutores nestas condi¸c˜oes experimentais fora do equil´ıbrio

ter-modinˆamico apresentam propriedades de transporte que diferem fortemente do

compor-tamento ôhmico, caracterizado pela rela¸cão linear entre a corrente e a tensão.

A presen¸ca de fortes est´ımulos externos colocam o sistema fora do equil´ıbrio

termo-dinâmico, ocasionando o processo de gera¸cão e recombina¸cão de elétrons e buracos livres,

fazendo com que o sistema apresente caracter´ısticas espaciais n˜ao uniformes em termos de

distribui¸cão de campos e cargas livres. Tem-se então a forma¸cão de dom´ınios de campo

(18)

n˜ao linear entre a densidade de corrente ~J e o campo el´etrico ~E, na amostra, dada por:

~

J ( ~E) = qn( ~E, t)µ( ~E, t) ~E (1.1)

onde q é a carga do elétron n a densidade de elétrons livres e µ a mobilidade. Sendo estas

duas últimas variáveis de acordo com a distribui¸cão de campo elétrico ou da corrente

elétrica, e portanto, sens´ıveis a forma¸cão de dom´ınio de campo elétrico ou de filamento

de corrente.

Diferentemente da teoria dos sistemas dinˆamicos n˜ao-lineares em que a presen¸ca de

uma regi˜ao de condutividade diferencial negativa (NDC), em que na situa¸c˜ao mais simples

leva a solu¸cões instáveis das equa¸cões diferenciais do sistema, a F´ısica do estado sólido

permite a partir do formato da curva NDC determinar se est˜ao sendo formados dom´ınios

de campo el´etrico ou filamentos de corrente conforme sugere a figura1.1 [8].

Figura 1.1: Densidade de corrente J em fun¸cão do campo elétrico E de uma curva com condu-tividade diferencial negativa (NDC) do tipo (a) NNDC destacando as regiões de instabilidades quando ocorre a forma¸cão de dom´ınios de campo elétrico em E1 < E0 < E2 e (b) SNDC quando

ocorre a forma¸c˜ao filamentos de corrente em J1 < J0 < J2.

Na Figura 1.1 (a)-(b) ocorre a transi¸cão de estado homogêneo para não-homogêneo,

com a forma¸c˜ao de dom´ınios de campo el´etrico ou filamentos de corrente, respectivamente.

Na figura 1.1(a) ´e poss´ıvel notar que apesar da fun¸c˜ao densidade de corrente depender

unicamente do campo elétrico, existem três valores distintos de campo elétrico para um

dado valor da densidade de corrente, caracter´ıstica de uma bi-estabilidade de uma amostra

semicondutora do tipo NNDC, em que a forma da curva lembra a letra N . Enquanto na

(19)

trˆes valores de densidade de corrente, caracter´ıstica de uma amostra semicondutora do

tipo SNDC, em que a forma da curva lembra a letra S.

Entre os dispositivos e materiais que apresentam curvas NNDC est˜ao o diodo Gunn e

as amostras de GaAs tipo-n e GaAs semi-isolante (GaAs-SI) [9]. No caso das amostras de

GaAs tipo-n a ocorrência da região NDC, deve-se a não-linearidade em µ, causada pela

transferência de elétrons de um vale da banda de condu¸cão para outro também na banda

de condu¸c˜ao em que a massa efetiva ´e diferente, mecanismo f´ısico que recebe o nome de

efeito Gunn ou efeito da transferˆencia de el´etrons (TEE) e que pode ser melhor explicado

por meio da figura 1.2[10].

Figura 1.2: Transferência de elétrons do vale-central Γ para o vale-satélite L na banda de condu¸cão, onde as massas efetivas são 0, 07m0 e 0, 55m0, respectivamente.

Na figura 1.2, tem-se a transferˆencia de el´etrons entre dois vales em que as massas

efetivas são diferentes no espa¸co dos k0s, sendo no caso do GaAs essas massas iguais a 0, 07m0 no vale-central Γ e 0, 55m0 no vale-satélite L. Nesta condi¸cão, o aumento do

campo el´etrico ~E faz com que os el´etrons ganhem energia suficiente para irem para o vale

L onde o m´ınimo de energia e a massa efetiva s˜ao maiores que no vale-central Γ, tendo

como resultando a redu¸cão do valor da mobilidade µ e _dEdJ < 0, até que a maioria dos elétrons estejam no vale-satélite L e dJ

dE > 0. No regime NNDC em que dJ

(20)

manter o equil´ıbrio de carga na amostra s˜ao formados dom´ınios de campo el´etrico que se

propagam do cátodo para o ânodo com uma velocidade que não pode exceder a velocidade

no vale L de aproximadamente 107 _{cm/s no GaAs tipo-n [11].}

Em amostras de GaAs-SI, os trabalhos apontam que a velocidade de propaga¸c˜ao dos

dom´ınios de campo el´etrico ´e muito mais lenta que as observados em amostras de GaAs

tipo-n e, portanto, n˜ao podem ser explicadas por meio do efeito Gunn [12, 13, 14]. Neste

caso, deve-se considerar os processos de gera¸cão e recombina¸cão além da transferência

entre os el´etrons nos vales das bandas de condu¸c˜ao [15]. Recentemente, Silva e

colabora-dores propuseram o modelo de Dois Vales, baseado no conjunto m´ınimo de equa¸c˜oes para

a gera¸cão-recombina¸cão para dois vales dentro da banda de condu¸cão e uma equa¸cão para

a velocidade de drift dependente do campo el´etrico aplicado. Este modelo possibilitou

reproduzir pela primeira vez o comportamento NNDC em amostras de GaAs-SI e obter,

através de simula¸cões, o espa¸co de parâmetros da periodicidade, onde foram

identifica-das várias estruturas do tipo shrimps em torno de um ponto focal [16], padrões também

observados por Rech e Albuquerque em simula¸c˜oes do espa¸co de parˆametros do maior

expoente de Lyapunov do circuito de Chua [17].

Na prática amostras de semicondutores NDC são sempre conectadas a resistências

controladas ou esp´urias e a elementos reativos de um circuito, provenientes das liga¸c˜oes,

contatos e componentes de suporte, por exemplo: Ao anexar o elemento NDC a um

condutor metálico tem-se uma resistência de condu¸cão Rl e um indutância de condu¸cão

Ll; A própria região de contato na maioria das vezes produz uma resistência não linear

Rc; a montagem do elemento NDC introduz uma capacitˆancia de empacotamento Cp e

in-dutância de empacotamento Lp; a fonte externa DC terá sua própria resistência interna RI

adicionada a uma resistência de carga RL. De modo que é poss´ıvel utilizar a aproxima¸cão

lumped para incluir todas essas caracter´ısticas em um circuito, na qual o elemento NDC

´

e aproximado por um resistor n˜ao linear em serie com as indutˆancias intr´ınsecas Li em

paralelo com as capacitˆancias intr´ınsecas Ci, como mostra a Figura 1.3 [18].

No caso de materiais que apresentam curvas do tipo NNDC, quando o sistema sofre

uma dependência temporal, em que a mudan¸ca no valor da tensão no elemento NDC é

(21)

Figura 1.3: Aproxima¸cão lumped de uma amostra NDC semicondutora acoplada a uma fonte de tensão DC, que aplica uma tensão U0, Ic é a corrente de condu¸cão no elemento NDC. Ci

e Li são a capacitância e indutância intr´ınsecas do elemento NDC, Cp e Lp a capacitância e

indutância de empacotamento, Rc a resistência de contato, Rl e Ll resistência e indutância de

condu¸c˜ao, RL e RI as resistˆencias interna e da fonte respectivamente.

apenas os efeitos capacitivos e desprezar os efeitos indutivos, e assim, retirar os elementos

Li, Lp e Lle ao incluir a resistˆencia de contato Rcno termo Ic(V ) permite obter o circuito

da Figura 1.4, onde R = RI+ RL+ Rl e C = Cp+ Ci.

Figura 1.4: Aproxima¸c˜ao de um circuito para uma amostra semicondutora NNDC.

Na condi¸cão em que a indutância condutiva possa ser desprezada, ou seja, na ausência

do elemento L, o circuito da Figura 1.4 que representa a amostra semicondutora NNDC

assemelha-se ao circuito de Chua sem o circuito tanque, de modo que, este sistema

dinˆamico tratado nesta tese pode ser utilizado como modelo aproximado para estudar

(22)

1.2 O circuito de Chua

A primeira publica¸c˜ao sobre o circuito de Chua foi realizada pelo professor Matsumoto em

1984, ap´os uma visita do professor Leon Chua `a Universidade de Waseda [20]. Neste

traba-lho, Matsumoto relata a observa¸cão de atratores caóticos gerados durante a simula¸cão de

um circuito autˆonomo simples de terceira ordem proposto por Chua [20, 21]. A motiva¸c˜ao

para a cria¸c˜ao deste circuito surgiu da ideia de montar um circuito capaz de reproduzir os

sistemas de Lorentz [22] e R¨ossler [23], o que levou Chua a propor um circuito autˆonomo

f´ısico que tivesse dois ou trˆes pontos de equil´ıbrio inst´aveis, pelo menos dois terminais

para resistores passivos, um indutor, capacitores, e apenas um terminal duplo para um

resistor n˜ao linear [24]. Em um de seus trabalhos Chua descreve o procedimento adotado

por ele na escolha da quantidade m´ınima dos componentes, da topologia do circuito e da

caracter´ıstica da curva i(V ) do dispositivo n˜ao-linear[20].

Figura 1.5: Circuito de Chua com o elemento n˜ao-linear NR, capacitor C1 e resistor R

a esquerda em preto destacando o circuito lumped aproximado de um material semicondutor NNDC e em vermelho o circuito tanque formado pelo capacitor C2 e o indutor L com resistor

de controle rL em s´erie.

No presente trabalho foi adotada a montagem da figura 1.5 semelhante `a montagem

original1_{, que cont´}_{em o elemento n˜}_{ao-linear N}

R, o indutor L, dois capacitores C1 e C2 e

o resistor R. Ao indutor L foi adicionado em s´erie um resistor vari´avel rL. Esta mesma

montagem foi utilizada por Albuquerque e colaboradores em trabalhos de simula¸c˜oes, em

um de seus trabalhos a curva i(V ) do diodo de Chua foi substitu´ıda pela curva modelo

1_Ser´_{a tratada como montagem original a utilizada por Zhong [24] na qual houve a confirma¸}_c˜_ao expe-rimental de caos no circuito de Chua.

(23)

de uma amostra de Arseneto de G´alio (GaAs) semi-insolante [19] e em outro trabalho

foi utilizado uma curva i(V ) de três partes, desprezando as regiões de satura¸cão dos

amplificadores operacionais que comp˜oem o diodo de Chua [25].

1.3 O diodo de Chua

A caracter´ıstica da curva i(V ) do diodo de Chua ´e de fundamental importˆancia para

o sistema, devendo apresentar regiões uma região NDC para que as oscila¸cões sejam

mantidas. Chua apresentou outros circuitos cujas curvas i(V ) tamb´em possuem essa

caracter´ıstica[26]. Alguns deles podem ser usados para fornecer energia para osciladores

devido a presen¸ca de pontos de equil´ıbrio inst´aveis. Para o entendimento do papel das

instabilidades nas oscila¸c˜oes, considere o circuito da Figura 1.6(a) em que o dispositivo

n˜ao linear idealizado NR, possui a curva caracter´ıstica da Figura 1.6(b) com a regi˜ao NDC

destacada em verde, em que a fonte de tens˜ao E e a resistˆencia de carga R definem a reta

de carga em azul, dada pela express˜ao:

iR(VR) = −

VR

R + E

R (1.2)

esta reta intercepta a curva do dispositivo em trˆes pontos a, b e c com valores de tens˜oes

e correntes dados por va e ia no ponto a, vb e ib em b e vc e ic em c.

Neste cenário uma pequena perturba¸cão ε aumentando o valor da tensão va implicará

em uma redu¸cão da corrente ia que causará o deslocamento do ponto de opera¸cão para

valores cada vez mais pr´oximo de a. Uma pequena perturba¸c˜ao ε, reduzindo o valor

da tensão va, terá como efeito o aumento da corrente ia e também o deslocamento do

ponto de opera¸c˜ao para a. De forma semelhante, ´e poss´ıvel verificar na Figura 1.6(b) que

uma pequena pertuba¸cão ε, aumentando o valor de vb, também causará uma redu¸cão da

corrente ib, desta vez, levando o ponto de opera¸c˜ao para b. E ε reduzindo vb aumentar´a

ib lavando o ponto de opera¸c˜ao a b, sendo portanto, os pontos a e b est´aveis.

O ponto c ´e caracterizado como um ponto de equil´ıbrio inst´avel, pois uma pequena

(24)

Figura 1.6: (a) circuito com elemento NDC, (b) curva do elemento NDC e linha de carga com destaque para os pontos de equil´ıbrio est´aveis a e b e inst´avel c.

(25)

de opera¸c˜ao b seja atingido, perturba¸c˜oes que aumentem o valor de vc, tem como efeito

o aumento da corrente ic, deslocando o ponto de opera¸c˜ao para a. Chua avaliou v´arios

circuitos que tinham uma curva i(V ) com pelo menos dois pontos de equil´ıbrio inst´aveis e

que eram pass´ıveis de serem implementadas com os componentes eletrˆonicos dispon´ıveis

na ´epoca, chegando a uma curva semelhante a da Figura 1.7[20].

Figura 1.7: Curva id(V ) do diodo de Chua com cinco regi˜oes lineares. Em vermelho s˜ao

representadas as regiões de satura¸cão com inclina¸cão m2. Em azul e verde regiões de opera¸cão

do circuito com inclina¸c˜oes negativas m1 e m0 respectivamente.

Algumas formas de implementar o diodo de Chua com a curva i(V ) da Figura 1.7

foram propostas por Kili¸c [27], dentre elas a montagem original de Zhong e Ayrom [28].

Para compreender esta montagem, pode-se partir da combina¸c˜ao de uma fonte de tens˜ao

controlada por tensão e três resistores passivos para obter o conversor de resistência

negativa da Figura 1.8(a), com a curva i(V ) da Figura 1.7(b)[29].

Figura 1.8: (a) conversor de resistˆencia negativa e (b) curva i(V ) caracter´ıstica deste dispo-sitivo idealizado.

(26)

dois terminais de entrada e dois de sa´ıda, com as seguintes propriedades [29]:

(i) Nenhuma corrente flui no interior da fonte e nos terminais de sa´ıda, sendo a tens˜ao

Vout de sa´ıda fun¸c˜ao apenas da diferen¸ca de tens˜ao dos terminais de entrada Vin;

(ii) Existe uma rela¸c˜ao linear entre a tens˜ao de entrada e sa´ıda do tipo Vout = AVin.

As caracter´ısticas de uma fonte de tensão controlada por tensão estão presentes nos

amplificadores operacionais [30], de modo que ´e poss´ıvel construir um conversor de

re-sistˆencia negativa NR1 com este componente, como mostra a Figura 1.8(a), desde que se

trabalhe na regi˜ao linear da curva i(V ), como na Figura 1.8(b).

Figura 1.9: (a) Dispositivo n˜ao-linear NRconstru´ıdo com amplificador operacional e resistores

e (b) curva i1(V ) caracter´ıstica deste dispositivo.

Segundo Kennedy na constru¸c˜ao de um modelo para o conversor de resistˆencia

ne-gativa, consideram-se as seguintes caracter´ısticas para o amplificador operacional: uma

tensão de offset vos, um ganho A finito na região linear e dois n´ıveis de satura¸cão −Esat e

Esat . De modo que, as tens˜oes de entrada Vin e sa´ıda Vout podem ser definidas em termos

dessas grandezas, conforme mostra a Tabela 1.1 [29].

Tabela 1.1: As tens˜oes de entrada e Vin e sa´ıda Vout em termos das caracter´ısticas do

amplifi-cador operacional .

Regi˜ao de satura¸c˜ao positiva Vout = −Esat Vin ≤ −E_Asat + Vos

Regi˜ao linear Vout = A (Vin− Vos) −E_Asat + Vos < Vin< E_Asat + Vos

Regi˜ao de satura¸c˜ao negativa Vout = Esat Vin ≥ E_Asat + Vos

As caracter´ısticas do amplificador operacional e os valores das resistˆencias R1,R2 e R3,

(27)

curva i(V ) da Figura 1.9(b). As express˜oes para m01, m11 e ±Bp1 podem ser calculadas partindo-se de: i1 = 1 R1 (V − Vout) (1.3)

obtida da Lei de Kirchoff das correntes (LKC) aplicada à sa´ıda não-inversora (nó A) da

Figura 1.9(a) e da equa¸c˜ao (1.4), obtida da Lei de Kirchoff das tens˜oes (LKV) aplicada

ao ciclo A − C − D − A

V = Vin+

R3

R2+ R3

Vos (1.4)

além disso, deve-se levar em considera¸cão a região em que o circuito opera; se é na região

de satura¸c˜ao positiva, na de satura¸c˜ao negativa ou linear.

Na região de satura¸cão positiva pode-se substituir a tensão de sa´ıda Vout na

ex-press˜ao (1.3) para obter a equa¸c˜ao da reta:

i1 = 1 R1 V − Esat R1 (1.5)

com inclina¸c˜ao dada por:

m01=

1 R1

(1.6)

e para se determinar o ponto limite Bp1 substitui-se a tens˜ao de entrada Vin na express˜ao

(1.4) obtendo-se: V ≥ Esat A + Vos+ R3 R2 + R3 Esat V ≥ R2+ (1 + A)R3 A(R2+ R3) Esat+ Vos

que na tens˜ao limite ´e dada por:

Bp1 = R2+ (1 + A)R3 A(R2+ R3) Esat+ Vos Bp1= 1 A + R3 R2+ R3 Esat+ Vos

(28)

tem-se: Bp1= R3 R2 + R3 Esat+ Vos (1.7)

Na região de satura¸cão negativa a única diferen¸ca é que deve-se substituir Vout =

Esat por Vout = −Esat , o que n˜ao altera o valor da inclina¸c˜ao m01, que continua a ser

dada pela expressão (1.6), porém a tensão limite será:

−Bp1= −

R2+ (1 + A)R3

A(R2 + R3)

Esat+ Vos

que para um amplificador com ganho infinito resulta em:

−Bp1 = − R3 R2+ R3 Esat+ Vos (1.8)

Por fim, na regi˜ao linear deve-se substituir Voutnas express˜oes (1.3) e (1.4),

obtendo-se: i1 = 1 R1 V − 1 R1 A(Vin− Vos) (1.9) V = Vin+ R3 R2+ R3 A(Vin− Vos) (1.10)

e reescrevendo-se (1.10) com Vin em termo de V :

Vin= R2+ (1 + A)R3 R2+ R3 V + AR3 R2+ (1 + A)R3 Vos

que substitu´ıda em (1.9) produz a equa¸c˜ao da reta i1(V ):

i1 = (1 − A)R2+ R3 R1[R2+ (1 + A)R3] V + A(R2+ R3) R1[R2+ (1 + A)R3] Vos

que devido ao ganho infinito do amplificador operacional, reduz-se `a:

i1 = − R2 R1R3 V + R2+ R3 R1R3 Vos

com inclina¸c˜ao dada por:

m11 = − R2 R1R3 (1.11)

(29)

as express˜oes (1.6),(1.7),(1.8) e (1.11) permitem escrever a curva i1(V ) do conversor de

resistˆencia negativa, da Figura 1.10(a) e podem ser utilizadas tamb´em para escrever a

curva i2(V ) da Figura 1.10(b), bastando apenas substituir nas express˜oes os valores dos

componentes.

Figura 1.10: (a) curva i1(V ) do dispositivo NR1 e (b) curva i2(V ) do dispositivo NR2.

A Figura 1.11 mostra o circuito de Chua com o diodo de Chua NR, formado pela

associa¸c˜ao em paralelo dos dois conversores de resistˆencia negativa NR1e NR2cujas curvas

est˜ao ilustradas nas Figuras 1.10(a) e (b) e, portanto, as inclina¸c˜oes m02e m12e os valores

da tens˜ao limites ±Bp2 do conversor NR2 s˜ao dados por:

m02= 1 R4 (1.12) m12 = − R5 R4R6 (1.13) ±Bp2 = R6 R5 + R6 (±Esat) (1.14)

O fato dos dispositivos NR1 e NR2 estarem associados em paralelo na Figura 1.11 permite

escrever a curva i(V ) do conversor resultante NR como i(V ) = i1(V ) + i2(V ) atrav´es da

aplica¸cão da LKC, que segundo Chua[31], de acordo com o método gráfico resulta na

express˜ao (1.17) obtida da soma de (1.15) e (1.16):

i1(V ) =            m01V − δ1 se V ≤ −Bp1 m11V se −Bp1< V < Bp1 m01V + δ1 se V ≥ Bp1 (1.15)

(30)

Figura 1.11: Dois conversores de resistˆencia negativa NR1 e NR2 formando o diodo de Chua NR. i2(V ) =            m02V − δ2 se V ≤ −Bp2 m12V se −Bp2< V < Bp2 m02V + δ2 se V ≥ Bp2 (1.16)

com δ1 = E_Rsat₁ e δ2 = E_Rsat₄ , sendo a curva do dispositivo NR:

i(V ) =                        m2V − (δ1+ δ2) se V ≤ −Bp2 m0V − δ1 se −Bp2< V ≤ −Bp1 m1V se −Bp1< V < Bp1 m0V + δ1 se Bp1≤ V < Bp2 m2V + (δ1+ δ2) se V ≥ Bp2 (1.17) onde m2 = m01+ m02 m0 = m01+ m12 m1 = m11+ m12

1.4 O indutor eletrˆ

onico

Todo oscilador eletrˆonico requer pelo menos um elemento n˜ao linear e pelos menos dois

(31)

circuito formado por estes dois componentes, com essa finalidade, ´e chamado de circuito

tanque. Este circuito pode ser encontrado em circuitos osciladores como o de Van der

Pol, Collpit, Hartley [32], em que a energia em metade do tempo est´a no circuito tanque

e na outra metade no oscilador, definindo assim a frequˆencia de oscila¸c˜ao dada por:

f = 1

2π√LC2

(1.18)

Devido à precisão, ao tamanho e à resistência interna dos indutores dispon´ıveis no mercado

não serem apropriados para o experimento2 , optou-se por utilizar um indutor eletrônico, que além de permitir medir a corrente Iz diretamente no indutor, também possibilita

controlar sua resistência através do controle do parâmetro rL com um potenciômetro

digital. Kili¸c apresentou algumas alternativas de constru¸c˜ao deste componente[27], dentre

elas, a proposta por Antonious [33, 34] que tem como base o elemento gyrator da figura

(1.12) idealizado por Tellegen [35].

Figura 1.12: (a) gyrator ideal e (b) gyrator conectado a um capacitor simulando um indutor de indutˆancia L = K2C.

Partindo-se de um transformador ideal, capaz somente de transformar energia,

Telle-gen propˆos o elemento eletrˆonico gyrator ideal com dois terminais (Figura 1.12(a)), cuja

rela¸cão entre as tensões e as correntes são dadas pelas equa¸cões:

v1 = Ki2 (1.19)

v2 = Ki1 (1.20)

sendo necess´ario apenas a introdu¸c˜ao de um capacitor aos terminais 3 e 4 (Figura 1.12(b)),

2_{Os indutores dispon´ıveis no mercado possuem precis˜}_{ao m´}_{axima da ordem de 15% e dimens˜}_{oes da} ordem de 5 × 5 × 5 cm3 _at´_{e 10 × 10 × 10 cm}3_.

(32)

para que o circuito se comporte como um indutor ideal. Algo que pode ser verificado

através da substitui¸cão da rela¸cão i2 = Cdv_dt2 na equa¸cão (1.19) e de dv_dt2 = Kdi_dt1 da

equa¸c˜ao (1.20), de modo que:

v1 = Ki2 = KC dv2 dt = KC Kdi1 dt = K2Cdi1 dt = L di1 dt

ou usando-se a transformada de Laplace v1 = Lsi1, em que a indutˆancia L ´e dada por

K2_C.

Al´em de inverter a impedˆancia de um circuito capacitivo, fazendo com que este se

comporte como um circuito indutivo, circuitos gyrators s˜ao capazes de fazer com que um

circuito LC em s´erie se comportem como um circuito LC em paralelo e um filtro

passa-faixa se comporte como um filtro rejeita-passa-faixa [36]. Todas essas aplica¸c˜oes do gyrator

tornaram-se poss´ıveis após os trabalhos de Antonious [33, 34, 37] que propôs a cria¸cão

de gyrators utilizando amplificadores operacionais. Dentre as propostas de Antonious,

destaca-se o simulador de indutância utilizado por Tôrres e Aguirre em substitui¸cão ao

indutor f´ısico do circuito de Chua [38].

Figura 1.13: Circuito simulador de indutˆancia de Antonious (indutor eletrˆonico) constitu´ıdo por dois amplificadores operacionais OP3, OP4, quatro resistores R7− R10e um capacitor C3.

O indutor eletrˆonico de Antonious ´e composto por dois amplificadores operacionais

OP3, OP4, quatro resistores R7 − R10 e um capacitor C3, como mostra a Figura 1.13.

(33)

da equa¸c˜ao:

Iz =

vP − v2

R7

(1.21)

Para obter-se o valor da indutˆancia neste circuito, deve-se determinar a rela¸c˜ao entre a

corrente i1 e a tens˜ao v1 em termos dos componentes. Para isso, considera-se que a tens˜ao

na entrada inversora e não inversora sejam iguais, o que torna as tensões nos nós A, C e

E iguais a v1 ou seja, vA = vC = vE = v1. Al´em disso, a alta impedˆancia das entradas

dos amplificadores operacionais, acarreta nas seguintes igualdades entre as correntes:

iOP 4+ = iOP 4−= iOP 3+ = iO3− = 0

i3 = i10 (1.22)

i8 = i9 (1.23)

Pode-se notar atrav´es da Figura 1.13 que i1 = i7 e i1 = v1_R−v₇B. Ent˜ao vB pode ser

escrito em termos da tens˜ao no resistor R8, ou seja, v8 = vB− vC e:

i1 = v1− (v8− vC) R7 = v1− (v8− v1) R7 = −v8 R7

que de acordo com a lei de Ohm e a igualdade (1.23) torna-se:

i1 = − R8i8 R7 = −R8i9 R7 = −R8v9 R7R9 (1.24)

sendo necess´ario apenas determinar o valor de v8, que pode ser feito utilizando as

dife-ren¸cas de tens˜oes nos pontos C, D e E e no capacitor C3:

v9 = vC− vD = vC − (v3+ vE)

v9 = v1− (v3+ v1) = −v3

(34)

express˜ao (1.24) como: i1 = R8v3 R7R9 = R8i3 C3R7R9s

utilizando a igualdade (1.23) com a lei de Ohm aplicada ao resistor R10, resulta-se em:

i1 = R8i10 C3R7R9s = R8v1 C3R7R9R10s e v1 = C3R7R9R10 R8si1 = Ldi1 dt

sendo a indutˆancia do indutor eletrˆonico dada por

L = C3R7R9R10 R8

(1.25)

Segundo Torres, o indutor eletrˆonico de Antonious comporta-se como um indutor f´ısico,

para valores de frequˆencia de 102 e 105Hz, apresentando um valor baixo de resistˆencia [38].

1.5 As equa¸

c˜

oes diferenciais do sistema

Existem dois tipos principais de sistemas dinˆamicos: sistemas de tempo discreto (mapas

iterativos) e sistemas de tempo cont´ınuo (regidos por equa¸c˜oes de taxas) [2]. Os mapas

iterativos surgem de problemas com tempo discreto como: o mapa log´ıstico [39], o mapa de

Henon, o mapa de Ikeda e o mapa do circulo [40, 41, 2]; enquanto as equa¸c˜oes diferenciais

descrevem a evolu¸c˜ao do sistema com tempo cont´ınuo como: o sistema de Lorentz [22],

R¨ossler [23] e o circuito de Chua.

No circuito de Chua, a dinâmica é descrita pelas variáveis que representam: a corrente

Iz no indutor L , a tens˜ao V1 no capacitor C1 e a tens˜ao V2 no capacitor C2, sendo poss´ıvel

obter as equa¸c˜oes diferenciais diretamente da LKC e LKV aplicadas ao circuito de Chua

da Figura 1.14, em que a queda de tens˜ao VR no resistor R ´e dada por VR = V2− V1.

A primeira equa¸c˜ao diferencial pode ser obtida da LKC aplicada ao ponto A, onde

(35)

Figura 1.14: Aplica¸cão da Lei de Kirchoff para dedu¸cão das equa¸cões diferenciais que des-crevem o sistema.

corrente no resistor R ´e IR= V_RR, obt´em-se:

Iz = V2− V1 R + C2 dV2 dt dV2 dt = V1− V2 RC2 + Iz C2 (1.26) .

A segunda equa¸c˜ao tamb´em pode ser obtida da LKC aplicada ao ponto B, onde

IR = Id(V1) + I1 e como a corrente no capacitor C1 ´e dada por I1 = C1dV_dt1, tem-se como

resultado: V2− V1 R = Id(V1) + C1 dV1 dt dV1 dt = V2 − V1 RC1 −Id(V1) C1 (1.27) .

Por fim, a terceira equa¸c˜ao pode ser obtida da aplica¸c˜ao da LKV na malha (i), onde

−V2− Vz = 0, e a tensão no indutor L com resistência rLé Vz = Ldi_dtz + rLIz, de maneira

que: −V2− L diz dt − rLIz = 0 dIz dt = − V2 L − Iz rL L (1.28)

(36)

Chua ´e formado pelas express˜oes (1.26),(1.27) e (1.28), ou seja            dV1 dt = V2−V1 RC1 − Id(V1) C1 dV2 dt = V1−V2 RC2 + Iz C2 dIz dt = − V2 L − Iz rL L (1.29)

Este sistema de equa¸cões possui a dimensão m´ınima para a ocorrência de caos em um

sistema cont´ınuo e sua ´unica n˜ao linearidade encontra-se no termo Id(V1), diferente do

sistema de Lorentz que apresenta duas n˜ao linearidades [42].

1.6 Os pontos de equil´ıbrio do sistema

Para determinar-se os pontos de equil´ıbrio do sistema, considera-se o circuito da

Fi-gura 1.15 na condi¸c˜ao estacion´aria, em que os capacitores podem ser substitu´ıdos por

cir-cuitos abertos e o indutor assume as caracter´ısticas de um curto circuito; nesta condi¸c˜ao,

Figura 1.15: Circuito de Chua na condi¸c˜ao de equil´ıbrio com capacitores substitu´ıdos por circuitos abertos e indutor por curto circuito.

o diodo de Chua encontra-se em série com as resistências R e rL, e a corrente Idé igual à

corrente Iz, que passa por estes resistores. Este fato tamb´em pode ser verificado por meio

da condi¸c˜ao de equil´ıbrio imposta ao sistema de equa¸c˜oes diferenciais (1.29), ou seja:

V2− V1

RC1

+Id(V1) C1

(37)

V2− V1 RC2 + Iz C2 = 0 (1.31) V2 L − Iz rL L = 0 (1.32)

de modo que somando (1.30) e (1.31), ´e poss´ıvel obter:

V2− V1

R − Id(V1)

+V1− V2

R + Iz = 0

Id(V1) = Iz (1.33)

Além disso, é poss´ıvel deduzir uma expressão para Iz, isolando-se V2 da equa¸cão (1.32)

e substituindo-se na equa¸c˜ao (1.31):

Iz = −

1 R + rL

V1 (1.34)

A express˜ao (1.34) representa a linha de carga do circuito e, portanto, a condi¸c˜ao de

igualdade (1.33) aliada `a express˜ao (1.34) permite obter os pontos de equil´ıbrio P+,P−e Po

graficamente representados no plano V1×Iz, conforme sugere a Figura 1.16. Nela ´e poss´ıvel

notar que dependendo da inclina¸c˜ao da reta Iz(V1) ocorrem mudan¸cas na estabilidade dos

pontos de equil´ıbrio.

(38)

A an´alise em termos de linha da carga com Id(V1) = Iz(V1) tem a vantagem de trazer

a influˆencia f´ısica da curva Id(V1) que pode ser medida diretamente do circuito, o que ´e

importante do ponto de vista experimental. Al´em disso, a caracteriza¸c˜ao dos pontos de

equil´ıbrio também pode ser feita de maneira matemática, a partir do estudo da dinâmica

local em torno dos pontos de equil´ıbrio, de acordo com teorema de Hartman-Grobman

que garante que o sistema n˜ao linear apresenta o mesmo comportamento qualitativo do

sistema linear correspondente pr´oximo ao ponto de equil´ıbrio hiperb´olico [43]. Para isso,

faz-se uma expans˜ao em s´erie de Taylor em torno do ponto de equil´ıbrio Pc = (V1c, V2c, Izc),

sendo as derivadas: ˙ V1 = f (V1, V2, Iz) = f (V1c, V2c, Izc) + ∂f (V1c, V2c, Izc) ∂V1 (V1− V1c) + ∂f (V1c, V2c, Izc) ∂V2 (V2− V2c) + ∂f (V1c, V2c, Izc) ∂Iz

(Iz− Izc) + termos de ordem superior

˙ V2 = g (V1, V2, Iz) = g (V1c, V2c, Izc) + ∂g (V1c, V2c, Izc) ∂V1 (V1− V1c) + ∂g (V1c, V2c, Izc) ∂V2 (V2− V2c) ∂g (V1c, V2c, Izc) ∂Iz

(Iz − Izc) + termos de ordem superior

˙ Iz = h (V1, V2, Iz) = h (V1c, V2c, Izc) + ∂h (V1c, V2c, Izc) ∂V1 (V1− V1c) + ∂h (V1c, V2c, Izc) ∂V2 (V2− V2c) + ∂h (V1c, V2c, Izc) ∂Iz

(Iz − Izc) + termos de ordem superior

a qual substituindo-se δV1 = V1− V1c, δV2 = V2− V2c e δIz = Iz− Izc; desconsiderando-se

os termos de ordem superior e aplicando-se a condi¸c˜ao de equil´ıbrio f (V1c, V2c, Izc) =

h (V1c, V2c, Izc) = g (V1c, V2c, Izc) = 0 , tem-se: δ ˙V1 = ∂f ∂V1 V1c,V2c,Izc δV1+ ∂f ∂V2 V1c,V2c,Izc δV2+ ∂f ∂Iz V1c,V2c,Izc δIz δ ˙V2 = ∂g ∂V1 V1c,V2c,Izc δV1+ ∂g ∂V2 V1c,V2c,Izc δV2+ ∂g ∂Iz V1c,V2c,Izc δIz

(39)

δ ˙Iz = ∂h ∂V1 V1c,V2c,Izc δV1+ ∂h ∂V2 V1c,V2c,Izc δV2+ ∂h ∂Iz V1c,V2c,Izc δIz

que pode ser reescrita na forma matricial

δ ˙V1 δ ˙V2 δ ˙Iz = ∂f ∂V1 V1c,V2c,Izc ∂f ∂V2 V1c,V2c,Izc ∂f ∂Iz V1c,V2c,Izc ∂g ∂V1 V1c,V2c,Izc ∂g ∂V2 V1c,V2c,Izc ∂g ∂Iz V1c,V2c,Izc ∂h ∂V1 V1c,V2c,Izc ∂h ∂V2 V1c,V2c,Izc ∂h ∂Iz V1c,V2c,Izc δIz δV2 δIz ou na forma vetorial ˙ ~ δF =↔J ~δF (1.35)

em que ↔J ´e a matriz Jacobiana do sistema e o vetor ~δF fornece o comportamento local do fluxo pr´oximo ao ponto de equil´ıbrio. Podendo ~δF ser escrito como:

~

δF = C1eλ1t~v1 + C2eλ2t~v2 + C3eλ1t~v3 (1.36)

em que as constantes C1, C2 e C3 dependem das condi¸c˜oes iniciais do sistema e ~v1, ~v2 e

~

v3 s˜ao os autovetores associados aos autovalores λ1,λ2 e λ3 da matriz ↔

J ,que no caso do

circuito de Chua ´e dada por:

↔ J = 1 RC1 + φ (V1c) − λ 1 RC1 0 1 RC2 − 1 RC2 − λ 1 C2 0 _L1 −rL L − λ com φ (V1c) =                        m2 se V ≤ −Bp2 m0 se −Bp2 < V ≤ Bp1 m1 se −Bp1 < V < Bp1 m0 se Bp1 ≤ V < Bp2 m2 se V ≥ Bp2

(40)

po-linˆomio caracter´ıstico (1.37), obtidas da condi¸c˜ao em que det↔J −λ ↔ I = 0 para ~δF 6= 0. λ3+ rL L − 1 C1 + 1 C1 + φ λ2− φ 1 RC2 + 1L − rL LR 1 C1 − 1 C2 + 1 LC2 λ − 1 LC2 φ + 1 RC1 = 0 (1.37)

As ra´ızes λ1,λ2 e λ3 do polinˆomio de 3◦ grau podem ser reais ou complexas,

depen-dendo dos parˆametros e do dom´ınio de φ(V1). Sendo, portanto, a estabilidade do vetor

(1.36) dependente das caracter´ısticas destes autovalores pois, caso λ seja positivo o termo

eλt _{cresce, se t → ∞, e, consequentemente os pontos pr´}_{oximos ao ponto de equil´ıbrio}

Pc se afastam, seguindo a dire¸c˜ao do autovetor associado; o que permite caracterizar a

dire¸cão do autovetor como instável. No entanto, quando λ é negativo o termo eλt cresce apenas quando t → −∞, sendo a dire¸cão apontada pelo autovetor caracterizada como

est´avel. Consequentemente, como o interesse est´a nos pontos de equil´ıbrio, e cada ponto

possui trˆes autovalores e autovetores associados, deve-se analisar as caracter´ısticas dos

três autovalores, que podem ser os três números reais ou um autovalor real e os outros

dois n´umeros complexo e conjugado.

Figura 1.17: Exemplos em 3-dimens˜oes de pontos de equil´ıbrio em que todos os autovalores s˜ao reais.

(41)

(i) Se os trˆes autovalores s˜ao negativos, os autovetores associados apontam para o

ponto de equil´ıbrio de equil´ıbrio Pc est´avel, que atua como um sorvedouro do fluxo

(Figura 1.17(a)).

(ii) Se os trˆes autovalores s˜ao positivos os autovetores associados apontam para o ponto

Pc inst´avel, que atua como uma fonte de fluxo (Figura 1.17(b)).

(iii) Se um dos autovalores ´e positivo e os outros negativos, tem-se um plano em que todas

as dire¸cões são estáveis e a dire¸cão perpendicular a Pc é instável (Figura 1.17(c)).

(iv) Se um dos autovalores ´e negativo e os outros positivos, tem-se um plano em que

todas as di¸cões são instáveis e a dire¸cão perpendicular a Pcé estável (Figura 1.17(d)).

Quando apenas um dos autovalores é real e os outros dois são um número complexo e

seu conjugado, a an´alise da estabilidade dos pontos de equil´ıbrio pode ser realizada com

o auxilio da equa¸c˜ao (1.36) reescrita na forma:

~

δF = eρt(B2sen (ωt) + B1cos (ωt)) ~vA+ eρt(B2sen (ωt) + B1cos (ωt)) ~vB+ C3eλt~v (1.38)

em que Re(λ1) =Re(λ2) = ρ , Img(λ1) =Img(λ2) = ω e as novas constantes B1,B2 e C3

são definidas pelas condi¸cões iniciais do sistema. Portanto, de acordo com a expressão

(1.38) os vetores formados pela combina¸c˜ao linear de ~vA e ~vB apresentar˜ao o mesmo

comportamento em termos de amplitude, j´a que ρ ´e comum aos dois vetores e ω esta

presente apenas nos termos oscilat´orios envolvendo senos e cosseno, de maneira que, no

plano formado por ~vAe ~vBh´a espirais que convergem em dire¸c˜ao ao ponto de equil´ıbrio Pc

quando ρ ´e negativo (Figura 1.18(a) e (c)) ou espirais que divergem de Pc se ρ ´e positivo

(Figura 1.18(b) e (d)). No ponto Pc passa a linha hiperb´olica com a estabilidade definida

por λ, de modo que a caracter´ıstica do ponto Pc´e definida por ρ e λ, podendo ser:

(i) um ponto equil´ıbrio do tipo n´o espiral se ρ < 0, se λ < 0 (Figura1.18(a))

(ii) um ponto de equil´ıbrio do tipo n´o espiral repulsor, se ρ > 0 e λ > 0 (Figura 1.18(b))

(iii) um ponto de equil´ıbrio do tipo sela hiperb´olica, se ρ < 0 e λ > 0 (Figura 1.18(c))

(42)

Figura 1.18: Exemplos em 3-dimens˜oes de pontos de equil´ıbrio com apenas um autovalor real.

Chua descreveu várias bifurca¸cões como o surgimento de órbitas periódicas e do atrator

double scroll, a partir da an´alise dos coeficientes de Lyapunov e da lineariza¸c˜ao em torno

do ponto de equil´ıbrio [44, 45]. No entanto, quando se deseja estimar o n´ıvel de caos, ou

seja, a sensibilidade às condi¸cões iniciais com base em séries temporais medidas pode-se

(43)

Cap´ıtulo 2

Experimentos e M´

etodos de An´

alise

2.1 O Circuito de Chua experimental

Conforme discutido no cap´ıtulo 1, o circuito de Chua ´e composto por resistores e

capa-citores passivos, de um indutor eletrˆonico e do diodo de Chua, ambos ativos. Na

cons-tru¸c˜ao destes componentes ativos, foram utilizados amplificadores operacionais, resistores

e tamb´em capacitores no indutor, como mostra a Figura 2.1, em que ´e apresentado o

Figura 2.1: Diagrama esquemático do circuito de Chua com destaque para a implementa¸cão do Diodo de Chua e do indutor eletrônico.

diagrama esquem´atico do circuito de Chua com os respectivos pontos para medidas das

variáveis V1, V2 e o ponto P onde é medida a tensão Vp, usada para obter a corrente Iz

no indutor.

Na Figura 2.2(a) tem-se a placa do circuito de Chua confeccionada em fenolite e no lado

(44)

Figura 2.2: (a) Montagem do Circuito de Chua e buffer (`a direita) e (b) esquem´atico do circuito buffer.

ganho unitário ou buffer, cujo esquemático é mostrado na Figura 2.2(b).

O buffer ´e conectado ao circuito de Chua para realizar a leitura das tens˜oes com

m´ınima interferˆencia em seu comportamento. O circuito de Chua foi projetado no

soft-ware gratuito Eagle e a escolha dos componentes foi realizada medindo-se os valores das

resistˆencias, por meio de um mult´ımetro digital Keithley modelo 2001 com quatro fios,

desconsiderando-se a resistˆencia dos cabos. Para a escolha dos capacitores, as medidas

foram feitas com um analisador de impedˆancia e estes tamb´em foram escolhidos em um

lote de pelo menos 20 componentes idˆenticos, para obter valores de capacitˆancia o mais

pr´oximo poss´ıvel dos valores projetados. A Tabela 2.1 cont´em os valores dos

componen-tes utilizados na montagem da placa do circuito de Chua, cujo erro ´e a metade da menor

divis˜ao da medida.

Tabela 2.1: Valores dos componentes utilizadas no circuito de Chua.

Componentes Valor Componente Valor

R1 220,93 Ω R8 0,99626 kΩ R2 21,935 kΩ R9 0,99650 kΩ R3 220,920 Ω R10 1,8073 kΩ R4 21,922 kΩ C1 23,727 nF R5 2,1760 kΩ C2 236,580 nF R6 3,2680 kΩ C3 23,885 nF R7 0,99685 kΩ

Ap´os a montagem do circuito de Chua, foi feita a caracteriza¸c˜ao da curva i(V ) do diodo

de Chua, para isso, foi aberto um curto circuito logo ap´os o ponto de medida da tens˜ao

V1 para isolar o diodo de Chua e, em seguida, por meio de um programa em Labview R,

(45)

da corrente no diodo de Chua. Para os valores dos componentes da Tabela 2.1 foi poss´ıvel obter a curva: id(x) =                        −4, 76600x − 32, 51240 se x ≤ −5, 43000 x − 0, 82999 se −5, 43000 < x ≤ −1, 00000 1, 84957x se −1, 00000 < x < 1, 00000 x + 0, 86378 se 1, 00000 ≤ x < 5, 92900 −5, 15200x + 37, 35590 se x ≥ 5, 92900 (2.1)

com base na equa¸cão (1.17) normalizando-se V e i(V ), através da seguinte substitui¸cão

x = _BV

p1 e id(x) =

i(V )

m0Bp1 em que m0 = 4, 156315 mS corresponde a m´edia das inclina¸c˜oes

de m0 e S tem unidade de inverso de resistˆencia e Bp1 = 1, 38501 V . Na Figura 2.3 tem-se

`

a curva id(x) medida e em vermelho as regress˜oes lineares que deram origem a fun¸c˜ao

linear por partes (2.1).

Figura 2.3: Curva id(x) normalizada e regress˜ao linear (em vermelho).

Ap´os a constru¸c˜ao do circuito de Chua com sua curva i(V ) caracter´ıstica, foram

cons-tru´ıdos potenciˆometros digitais para analisar o comportamento do circuito para diferentes

(46)

2.2 O potenciˆ

ometro digital

Neste trabalho, foi proposta a utiliza¸c˜ao de potenciˆometros digitais como alternativa para

variar os parˆametros resistivos do circuito de Chua. Potenciˆometros deste tipo possuem a

mesma fun¸cão que os potenciômetros manuais, cujas resistências são variadas de acordo

com a posi¸cão do cursor, no entanto nos potenciômetros digitais os valores das resistências

s˜ao definidos por sinais digitais, que podem ser controlados por um micro controlador.

Atualmente, os potenciˆometros digitais dispon´ıveis no mercado possuem resistˆencia

interna de 100 Ω ou superior, alta sensibilidade `a varia¸c˜ao de temperaturas e podem ser

encontrados somente com valores de resistˆencia a partir de 1, 000 kΩ, divididos no m´aximo

em 256 passos [46], o que impossibilita variar os valores de resistˆencia com passos da ordem

de 1, 000 Ω ou inferior. Diante disso, com o objetivo de observar resultados

equivalen-tes aos reportados em trabalhos com simula¸c˜oes, optou-se por construir potenciˆometros

digitais precisamente calibrados com 1024 passos de resistˆencia de 1, 000 Ω, 0, 200 Ω e

0, 100 Ω, utilizando os seguintes componentes: 10 rel´es, 10 transistores BC337, 10 diodos,

fios de cobre e resistores variáveis e cerâmicos com 1% e 5% de precisão.

Figura 2.4: (a) Esquemático do potenciômetro digital em que Rx, Rax,Rbx representam as resistências, DX diodos, TX transistores, PINX pinos das entradas/sa´ıdas digitais I/O. (b) placa confeccionada.

O esquem´atico do circuito, bem como a imagem de uma das placas confeccionadas

´

e representado na Figura 2.4. Para efeito de simplifica¸c˜ao, nela foi mostrada apenas o

(47)

digital ´e composto por dez estruturas como estas, que s˜ao ligadas aos dez pinos da esquerda

nos quais o sinal de controle ´e aplicado.

Os pinos indexados por X correspondem a um n´umero de 0 a 9 e s˜ao conectados ao

seu respectivo circuito de chaveamento, que acionam os relés. Os relés são conectados

aos trˆes resistores RaX, RbX e RcX , de modo que, quando o rel´e se encontra no estado

ligado as resistências são inclu´ıdas no circuito e quando desligado não. Sendo, portanto,

cada um dos dez relés responsável por um valor de resistência, que ao serem combinadas

permitem obter 1024 valores; por exemplo, para o potenciˆometro com passo de 0, 100 Ω,

quando apenas o relé 0 (acionado pelo bit 0) está ligado tem-se 0, 100 Ω de resistência;

ligando-se o rel´e 1, por meio do bit 1, e desligando-se o rel´e 0 tem-se 0, 200 Ω; ligando o

relé 0 e o relé 1 tem-se 0, 300 Ω e assim por diante. A rela¸cão entre o sinal (bit) e o valor

resistˆencia ´e dada por:

R ou rL= bit0.20+ bit1.21+ bit2.22+ · · · + bit9.29

(2.2)

sendo necessária a calibra¸cão dos potenciômetros para garantir a linearidade entre o valor

da resistˆencia e o passo. Durante o processo de calibra¸c˜ao, foi utilizado um mult´ımetro

digital Keithley modelo 2001 e medidos todos os valores de resistˆencia a cada passo. O

controle do mult´ımetro e do potenciˆometro foi feito por meio de uma interface USB com

o aux´ılio do programa em Labview R _{(Figura 2.5). O mult´ımetro foi operado no modo}

de medida por quatro fios a fim de que fosse desconsiderada a resistˆencia dos cabos. Os

resultados são apresentados nas Figuras 2.6-2.8 para os três potenciômetros constru´ıdos,

dois deles para variar o parˆametro R com valores de passo de 0, 200 Ω e 1, 000 Ω e erro na

5a casa decimal, e um deles para variar o parˆametro rL com valor de passo de 0, 1000 Ω e

erro na 6a casa decimal. A constru¸cão dos potenciômetros possibilitou a aquisi¸cão de um total de aproximadamente 2 TB de dados na forma de séries temporais.

(48)

Figura 2.5: Programa para a calibra¸cão do potenciômetro, com as respectivas op¸cões nume-radas: 1 para definir a porta de comunica¸cão, 2 para definir o tipo de medida, 3 para definir o arquivo de sa´ıda, 4 para indicar os bits acionados (relés ligados) e 5 para indicar o valor da resistência medida.

Figura 2.6: Calibra¸c˜ao do potenciˆometro para R com o passo de 1, 000Ω e ajuste com modelo linear e erros.

(49)

Figura 2.7: Calibra¸c˜ao do potenciˆometro para R com o passo de 0, 200Ω e ajuste com modelo linear e erros.

Figura 2.8: Calibra¸c˜ao do potenciˆometro para rL com passo de 0, 100Ω e ajuste com modelo

(50)

2.3 A aquisi¸

c˜

ao das s´

eries temporais e reconstru¸

c˜

ao

dos atratores.

Além do programa para a calibra¸cão dos potenciômetros, foi desenvolvido outro

pro-grama para o controle dos potenciˆometros e aquisi¸c˜ao dos dados, utilizando a ferramenta

Labview R_{. Esta ferramenta, desenvolvida pela National Instruments (NI), possibilita}

desenvolver sistemas por meio de diagramas de bloco, utilizando o paradigma de fluxo

de dados, e possui suporte total aos equipamentos da marca NI, empregados no

experi-mento. Durante a montagem do experimento foi utilizado um PC com placa DAQ-NI

modelo PCI-6259 com 16 bits de resolu¸c˜ao e taxa de amostragem m´axima de 1,25 MS/s;

para o controle dos potenciˆometros foi adicionada `a placa DAQ um bloco de conectores

do modelo NI SCB 68 para acionamento dos 10 bits de cada potenciˆometro. Este bloco

de conectores possui 68 I/O, onde foram utilizados os pinos 10-20 para controle de R,

11-20 para controle de rL e dois pinos GND, um para terra e outro para terra digital.

A Figura 2.9 mostra a tela do programa com as op¸c˜oes e informa¸c˜oes de 1 a 9 a

respeito do seu funcionamento; sendo 1 para definir o intervalo de R e rL que se deseja

medir, 2 para definir os passos de cada um destes parˆametros, 3 para definir o local em

que será salvo o arquivo contendo a série, cujo nome segue o padrão CHUA R(valor de

R)RL(valor de rL).dat, 4 para definir o n´umero de medidas e 5 que define a taxa de

amostragem. Nos indicadores tem-se em: 6 os valores de R e rL da s´erie que est´a sendo

medida, em 7 e 8 os bits acionados dos respectivos potenciˆometros e em 9 a representa¸c˜ao

gr´afica de um intervalo da s´erie temporal.

Nos arquivos CHUA R(valor de R)RL(valor de rL).dat foram armazenadas as

s´eries temporais correspondentes a vari´avel V1(t), totalizando 250 mil valores em cada

s´erie, todos medidos a uma taxa de amostragem de 250 kS/s ap´os um tempo transiente

de 5 s. A posse destas séries possibilitou a constru¸cão dos diagramas de bifurca¸cão, dos

espa¸cos de parâmetros e a reconstru¸cão de vários atratores.

A no¸c˜ao intuitiva de atrator remete a um conjunto invariante para o qual as ´orbitas

pr´oximas convergem depois de um tempo infinito1[47], no caso do circuito de Chua, a

(51)

Figura 2.9: Painel do programa utilizado para aquisi¸cão de dados e controle do potenciômetros, cada número em c´ırculo vermelho indica as principais fun¸cões e op¸cões do programa.

tru¸cão do atrator requer o conhecimento da evolu¸cão temporal das variáveis V1(t),V2(t) e

Iz(t) e como foram feitas apenas medidas da vari´avel V1(t), foi preciso recorrer a t´ecnica

de reconstru¸c˜ao de Takens [48]. Esta t´ecnica tem origem nos trabalhos de N.H. Packard

e colaboradores que mostraram que o atrator estranho do sistema de R¨ossler poderia

ser reconstruindo a partir da coordenada x(t) do sistema, apenas tomando y(t) = ˙x(t) e

z(t) = ¨x(t) e considerando-se a seguinte aproxima¸c˜ao ˙x ≈ x(t+T ) e ¨x ≈ x(t+2T ), em que

T era o atraso temporal ou delay [49]. O resultado de N.H.Packard foi generalizado por

Takens que mostrou que o espa¸co reconstru´ıdo na dimens˜ao euclidiana d, pode assumir a

forma:

[s(t), s(t + T ), s(t + 2T ), . . . , s(t + (d − 1)T )] (2.3)

sendo necessário apenas conhecer à dimensão de imersão (i.e. correspondente ao número

de vari´aveis dinˆamicas que o sistema possui) e T , de modo que, a escolha de s(t) e s(t + T )

deve ser tal que esses dois vetores sejam suficientemente independentes entre si a ponto de

formarem a base do espa¸co de reconstru¸cão, porém não, independentes o suficiente para

(52)

a respeito das outras. Para garantir que os vetores ser˜ao independentes a ponto de

for-marem a base do espa¸co reconstru´ıdo e mesmo assim manterem as informa¸c˜oes entre si,

Fraser [50] propôs a utiliza¸cão da informa¸cão mútua média de Shannon para a determinar

o delay: I(T ) = X s(t),s(t+T ) P (s(t), s(t + T )) log P (s(t), s(t + T )) P (s(t)) P (s(t + T )) (2.4)

nesta equa¸cão o termo logh_{P (s(t))P (s(t+T ))}P (s(t),s(t+T )) i é a quantidade de informa¸cão que pode ser aprendida sobre s(t + T ) a partir de s(t). O termo P (s(t), s(t + T )) é a densidade de

probabilidade conjunta para esses dois vetores de medidas e P (s(t)) e P (s(t + T )) s˜ao as

densidades de probabilidades individuais. Fraser e Swinner prop˜oem como escolha para

T , o valor da abscissa (i.e. n) do primeiro m´ınimo local da informa¸c˜ao m´utua, uma vez

que para um atraso T = nδt tem-se a menor redundˆancia entre os vetores [51].

Figura 2.10: Informa¸cão mútua média I(T ) para uma série temporal V1 medida

experimen-talmente para os seguintes valores de parˆametros R = 1582, 000 Ω e rL= 28, 200 Ω.

Como exemplo de aplica¸cão da técnica, pode-se tomar o gráfico de I(T ) por n, na

Figura 2.10, cujos dados foram obtidos da rotina mutual do TISEAN aplicada a s´erie

temporal V1(t) com R = 1582, 000 Ω e rL = 28, 200 Ω. Dele ´e extra´ıdo o valor de n em

que ocorre o primeiro m´ınimo local, n = 10, sendo portanto T = 20 µs uma vez que as

medidas foram feitas a cada δt = 2 µs.

A Figura 2.11 mostra a reconstru¸c˜ao do mesmo atrator projetado no plano V1(t) ×

(53)

Figura 2.11: Reconstru¸c˜ao do mesmo atrator para n = 4, 5, 10, 11, 20 e 35, utilizando-se V1(t)

medido experimentalmente para R = 1582, 000 Ω e rL= 28, 200 Ω.

delay. É poss´ıvel notar que quase não há diferen¸ca na proje¸cão do atrator para n = 10

e n = 11, valores pr´oximos do primeiro m´ınimo local de I(T ). No entanto, h´a uma

diferen¸ca significativa na forma do atrator para os demais valores escolhidos de n. Para

valores menores de n, como n = 4 e n = 5 o atrator encontra-se concentrado ao longo da

diagonal, isso deve-se ao fato de V1(t) e V1(t + nδt) serem praticamente iguais; j´a para

valores maiores de n, como n = 20 e n = 35, o atrator adquire uma aparˆencia com dobras

no espa¸co de estados. Além da órbita caótica com um único rolo, como a apresentada

(54)

parâmetros. Uma maneira de visualizar a mudan¸ca no formato da órbita ou atrator é

através da representa¸cão gráfica, chamada diagrama de bifurca¸cão.

2.4 Constru¸

c˜

oes de diagramas de bifurca¸

c˜

ao

Conforme discutido na seçcão 2.3, diagramas de bifurca¸cão são ferramentas úteis para

a análise da evolu¸cão dos atratores. Além disso, as séries temporais medidas para a

constru¸cão de um diagrama bifurca¸cão são as mesmas utilizadas na constru¸cão do espa¸co

de parˆametros para um dado valor fixo de um dos parˆametros. Portanto, para reproduzir

um espa¸co de parâmetros de 600x600 são necessárias séries temporais suficientes para

construir 600 diagramas de bifurca¸cão e a resolu¸cão destes em passos de R será a mesma

do espa¸co de parâmetros constru´ıdo. Segundo Viana e colaboradores, regiões periódicas

imersas no caos em um diagrama de bifurca¸c˜ao podem indicar a presen¸ca de janelas

periódicas complexas no espa¸co de parâmetros[52], deste modo, o aumento de resolu¸cão

no passo em R permitiu localizar poss´ıveis regi˜oes peri´odicas que faziam parte de janelas

periódicas complexas do espa¸co de parâmetros, antes mesmo da constru¸cão do espa¸co de

parˆametros completo.

A Figura 2.12(a) e (b) mostra dois diagramas de bifurca¸c˜ao feitos para o mesmo

valor de rL = 28, 000 Ω e intervalo de R, cuja varia¸c˜ao em passo foi de 1, 000 Ω em

2.12(a) e 0, 200 Ω em 2.12(b). Nesta última é poss´ıvel notar uma melhora na defini¸cão

do diagrama e consequentemente o aumento de resolu¸cão das regiões periódicas imersas

em caos para o mesmo intervalo de R, estas regi˜oes peri´odicas fazem parte de uma das

janelas periódicas complexas do espa¸co de parâmetros. Além disso, com a melhora na

precisão do potenciômetro também foi poss´ıvel notar a região de crise (destacada com o

c´ırculo em vermelho) em que ocorre duplica¸c˜ao de per´ıodos em um dos lados e caos no

outro lado.

Para a constru¸c˜ao dos diagramas de bifurca¸c˜ao da Figura 2.12 e de outros diagramas

foi desenvolvido um script em PYTHON, seguindo os passos do diagrama em bloco da

Figura 2.13. Nele inicialmente, nos passos 1 e 2, define-se o valor de rLe o intervalo em R