Sobre uma nova relação índice de vazios tensão em solos

. · TENS/10. EM' SOLOS

Ian Schumann Marques Martins

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇ/10 DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇ/10 DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS~RIOS PARA A OBTENÇ/10 DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc,)

Aprovada por:

WILLY ALVARENGA LACERDA

_...

Presidente

CL~UDIO FERNANDO MAHLER,

-à-:, ~ 4

::1-1

' - < - , . _ ~

-r

.J.)___, µ

DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO

FERNANDO EMMANUEl

'

· ~

. JEAN ~RE%L RtMY

RIO DE JANEIRO, RJ • BRASIL JULHO - 1983

Sao em_., solos, Rio de Janeiro, UFRJ, COPPE, 1983. xii, 22Qp. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc, Engenharia Civil, 1983).

Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro, Fac, de Engenharia. l. Compressibilidade 2, Deformaçio 3. Adensamento I. COPPE/UFRJ II. Titulo (serie)

~ minha querida Claudi·a, ao meu querido av5 Iber~ e aos meus queridos pais e irm[os de dica esta tese.

AGRADECI_MENTOS

Ao professor Willy Alvarenga Lacerda, um amigo, não sõ pela sua orientação na dose certa como tam5êm por me ter re cebido no la5orat5rio de solos da COPPE/UFRJ como estagiãrio no 5Q ano da Escola de Engennaria,

Ao professor Fernando Emmanuel Barata, grande

in-centivador dos alunos de Mecânica dos Solos, não soo meu agr!

decimento pelo estimulo como tambêm pelo voto de confiança ao

interceder junto ao professor Willy Lacerda para o meu

ingres-so como estagiãrio do laboratõrio de Mecânica dos Solos da

COPPE/UFRJ.

Ao Centro Educacional de Niterõi pela minha forma-çao moral e intelectual.

Aos professores Fernando luiz Lobo. B. Carneiro,

Jaurês Paulo Feghali e Ronaldo,Carvalho Batista, dS Escola de

Engenharia da UFRJ, por me fazerem sentir um estudante de eng! hharia.

Aos professores Francis Bogossian e. Paul o Cesar

Corrêa Lopes, meus primeiros professores de Mecânica dos Solos, que, com sua seriedade e vibração me atraíram para esta ãrea,

Aos professores da ~reade Mecânica dos Solos da

Escola de Engenharia da UFRJ que contribuiram de forma efetiva para a minha formação.

Aos professores Claudio F. Mahler, Mauriéio· Ehrlich,

Roberto F. de Oliveira, Roberto Q, Coutinho, Ronaldo C.

Batis-ta e Sergio F, Villaça pelas criticas e sugestões que permiti-~am reais melhorias na elaboração deste trabalho.

Aos meus colegas e amigos Claudio Luiz Resta Fra-gelli e Josê Luiz Machado Clemente pelas idêi~s. estfmulo e companheirismo.

Ao professor Jacques de Medina e ao colega Silvio Romero de Melo Ferreira, exemplos vivos de seriedade, perseve-rança e amor a pesquisa,

Aos professores que se prontificaram em constituir esta banca examinadora.

A Fãtima e Irahy Schumann Marques Martins pelos de senhas dos capitulas IV e V.

A Beth pelo cuidado e paciência nos trabalhos de datilografia,

A Claudia Pitombo Marques Martins, minha ·esposa, pela minuciosa revisio do texto,

A todos os companheiros do laboratõrio de solos p~ la convivência.

A S.E.P,E. e a meu Mestre Penna Ribas,que me ensi-naram a razao de viver.

RESUMO

Nesta dissertaçãb ê feito um estudo das caracteris

ticas de compressi6ilidade dos solos submetidos a compressao

oedomêtrica,

Faz-se uma anãlise critica das relações emp1r1cas

entre tensão vertical efetiva (o~) e volume especifico (v). Par tindo-se desta anãlise,própoe-se uma nova relação, com base ra cional, para o fenômeno da compressão unidimensional,

Propõe-se,com base na nova relação, um novo

proces-so para a determinação da tensão de prê-adensamento (o'm), Su

. V

gere-se, tambêm, como solução alternativa para a determinação

de o~m' a utilização da construção de Pacheco Silva (1970)

di-retamente sobre a curva de compressão representada no grãfico

l og v x l og o~,

Estuda-se, tambêm,com menor ênfase, a 'interdepen-dência entre a compressão secundãria e o coeficiente de empuxo

SYNOPSIS

ln tnís dissertation a study of the compressibility characteristics of soils subjectéd to oedometric

tests,is presented.

compression

A critícal analysis of the empirical relationship between vertical effective stress {_o~) and specific volume {v) is made. From this analysis a new relationship is proposed, wíth a rational 5asis, for the unidimensional compression phenomenon.

A new process for obtaining the maximum past vertical stress lo~ml based on this new relationship is

presented. It is also suggested, as an alternaté solution for the determination of º~m' the utilization of Pacheco Silvá's (_1970) graphical construction directly on the compression curve· logv x logo~.

It is also studied, with less emphasis, the interdependence between secnndary compression and the coefficient of earth pressure at rest (K

. 'SU.Ml\RIO

pag' CAPITULO I - INTRODUÇAO GERAL

---,---I,l A ANATOMIA DA TESE--- 1

CAPITULO II I.1.1 Considerações Preliminares---I.1,2 TÕpicos da Pesquisa---, - ANALISE DE TENSÕES 3 II.l TENSÕES NOS SOLOS--- 3

II. 1. 1 Conceito de Tensão --- 3

II. 1. 2 Conceito de Tensão em Sol os --- 5

I !. 2 ALGEBRA DAS TENSÕES 8 II, 2. 1 Estado de Tensão Num Ponto Interior a uma Massa Solida --- 8

II.2.2 Equações de Equilibrio --- 12

II.2.3 Tensão num Plano Qualquer--- 15

II.2,4 Matriz de Rotação--- 18

II .2. 5 Tensões Principais -~--- 24

II.2.6 Tensões Octaedricas --- 28

II.3 REPRESENTAÇAO DIAGRAMATICA DAS TENSÕES --- 31

II.3.1 O Circulo de Mohr --- 31

CAPITULO III - ANALISE DE DEFORMAÇÕES--- 38

III .1 DEFORMAÇÕES NOS SOLOS --- 38

III, 1. 1 Conceito de Deformação e Des 1 ocamento-- 38

III. 1, 2 Conceito de Deformaçao em Sol os --- 44

III. 1, 3 Estado de Deformação num Ponto Interior

a

Massa de Solo--- 47

III. 1 ,4 Deslocamentos Relativos Entre os Pontos Extremos de um Segmento de Direção

Qd~l

pag.

quer--- 56

III.1,5 Deformação e Rotação Rigida --- 62

III.1,6 Tensores dos Deslocamentos Relativos, Deformações e Rotaçôes Rigidas --- 71

III.1.7 Deformações Principais---·· 78

III.1,8 Deformações Octaêdricas --- 82

CAPITULO IV - CORRESPONDtNCIA ENTRE PARAMETROS DE TENSAO E DEFORMAÇAO --- 86

IV. 1 PRINCIPIO DAS TENSÕES EFETIVAS--- 86

IV,1.1 Tensão Total e Pressão Neutra--- 86

IV. 1. 2 O Principio das Tensões Efetivas --- 88

IV,1.3 Comentãrios Sobre o Principio das T~n~ soes Efetivas--- 89

IV.2 PARAMETROS DE TENSÕES--- 90

IV, 2. 1 Invariantes das Tensões 90 IV.2,2 O Significado Fisico de croct' 'oct' G' _oct' , ' _oct - - - 92

IV.2.3 Caminhos de Tensões--- 99

IV,3 PARÃMETROS DE DEFORMAÇAO --- 99

IV.3,1 Invariantes das Deformações--- 99

IV.3.2 Deformações Volumêtricas --- 101

IV.4 CORRESPONDtNCIA ENTRE OS PARÃMETROS DE TEN-SAO E DEFORMAÇAO --- 103

IV,4, l _{Rel açao Entre os Parãmetros}

_p',

_q', s e V ES - - - ]03

pag,

IY,4,2 Comportamento Tensão Deformação de um

Solo Ideal --- 105

CAP!TULO V COMPRESSAO UNIDIMENSIONAL--- 108

V.l COMPRESSAO PRIMARIA--- 108

V;l ,l Introdução ---~----:----~--- 108

V.1,2 Tens6es Geostãticas e Estado de Repouso-- 109

V. 1.3 Solos Normalmente Adensados e Pré-Adensa-dos --- 110

V.1,4 Compressão Unidimensional - O Ensaio Oed~ métrico--- 112

V, 1.5 Compressão Unidimensional --- 115

V. 1.6 Mecanismos de Variação Volumétrica e Com-portamento Característico V.l,7 Tensão de Pré-Adensamento l l 7 124 V. 1.8 Efeitos da Qualidade da Amostra Sobre as Curvas de Laboratõrio --- 127

V.l,9 Efeitos de Procedimentos Sobre os Resulta dos dos Ensaios Oedométricos --- 133

V,l.10 Cãlculo de Recalques por Adensamento Pri-mãrio --- 139

V.2 ADENSAMENTB PRIMARio;--- 141

V.2,l Introdução--- 141

V.2,2 Teoria do Adensamento de Terzaghi e FrHlich --- 142

V,2.3 Comparação Entre as Curvas Tempo-Recal-que Te8rica e de La5oratõrio --- 149

pag, V, 3 ADENSAMENTO•'SECUND/l;RIO ,,--- 159 V.3,1 Introdução--- 159 V.3,2 Mecanismos que Governam o Fenômeno

Aden-~amento Secundârie --- 159 V,3,3 Aoordagem Prâtica do Fenómeno

Adensamen-to Seeundâfio.- --- l 6 5 V.3,4 Influencia da Histôria de Tensões e ou~

tros Fatores Sobre a Velocidade do Aden-samento Secundârio --- 169 V.3,5 Cr1ticas â Abordagem Prãtica do Fenômeno

Adensamento- Secundâri

0,,---

·173

CAPITULO VI - UMA NOVA RELAÇIIO ÍNDICE DE VAZIOS - TENSIIO

VERTICAL EFETIVA l 7 8

VI, l UMA FORMULAÇIIO PARA A COMPRESSIIO OEDOMtTRI-CA VIRGEM--- 178 VI. l. l Variação de Parâmetros do Solo com a PrQ

fundidade --- 178 VI. 1.2 Procurando uma Função que Represente o

Môdulo de Deformação de um Solo--- 180 VI. l ,3 Relação e x cr~ no Ensaio Oedometrico---- 185 VI,l,4 De Como Levantar a Indeterminação da

Constante C₀ - - - 186

VI.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE A NOVA RELAÇIIO ÍNDICE DE VAZIOS - TENSIIO VERTICAL EFETIVA

Vl,2.1 Verificação da Validade da Nova Relação

e x cr'

V

187

187 VI.2,2 Comportamento Esquemâtico na Compressão

Oedometrica --- 200 VI,2,3 Comportamento Real e Tensão de

pag, VJ,2,4 Calculo de Recalques por Adensamento

Primãrio ·--- 208

CAPTTULO VII .. - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQUISAS --- 210

VIJ.l CONCLUSÕES --- 210

VII.1.1 Quanto

ã

Compressão Unidimensional ---- 210

VII. l .2 Quanto ào Adensamento --- 211

VII.2 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS --- 212

VII .2, l Introdução --- 212

VIJ.2.2 Quanto ao Adensamento--- 212

VIJ.2.3 Quanto ã Resistência.ao Cisalhamento--- 213

CAPITULO'!

INTRODUÇ~O GERAL

I. l A ANATOMIA DA TESE

!. l. 1 Considerações Preliminares

Ao iniciar seus trabalhos de tese, o autor se

pro-punha a estudar o comportamento das areias quando ·:~ubm~tidas aos ensaios triaxiais consolidados isotropicamente e drenados. O objetivo daquele trabalho era o de verificar um suposto

com-portamento normalizado das areias quando submetidas _ãquéles

ensaios. Confirmadas estas suposições, poderiam ser previstos, a partir das condições iniciais do corpo de prova, os .parame-tros de deformação e resistência correspondentes ãquelas ·con-dições iniciais.

Nó decorrer do trabalho de pesquisa, o autor _ con-clul~ que, para levar adiante sua idêia inicial, seria

necessa-rio um estudo mais detalhado do coeficiente de empuxo no

re-pouso K

0 , Esta tarefà o conduziu a estudar mais de perto o

.,en-saio oedomêtrico, estudo do qual nasceu esta dissertação.

I.1.2 TÕpicos da Pesquisa

O autor pretendeu dar a esta dissertação um ·certo grau de independência, Por outro lado, sabe-se que o

comporta-mento de um elecomporta-mento de solo depende fundamentalmente da sua

histõria de tensões e do caminho de tensões a que sera

li-dam, respectivamente, com as analises de tensões e ções, com uma visão voltada para a Mecãnica dos Solos,

deforma-No capitulo IV faz-se uma breve rev1sao do princi-pio das tensões efetivas e das relações entre os parâmetros de tensão e deformação, jã que os conceitos apresentados neste ca pítulo são usados de forma intensa nos demais.

O leitor que possuir conhêcimento previo dos assun tos apresentados nos capítulos II, III e IV pode, sem prejuízo para o entendimento do texto, se dirigir diretamente ao capít~ lo V.

·No capítulo V e feita uma revisão do fen5meno con-solidação unidimensional, dando-se enfase ã discussão do formi to da curva ex log

a;

e do fenõmeno consolidação secundaria,

No capitulo VI desenvolve-se uma formulação para o fenõmeno da compressão unidimensionil, apresentando-se, tam-bem, uma sugestão para a determinação da tensão de pre-adensa-mento.

Finalmente, no capítulo VII são apresentadas as conclusões e sugestões para futuras pesquisas.

CAP!TULO II

AN~LISE DE TENSÕES

I I . l . TENSÕES NOS SOLOS

II. l. l. Conceito de Tensão

Considere um corpo sõlido continuo solicitado por um sistema de forças externas em equilíbrio (fig. II.l). Sob a

ação das forças externas

f

₁ ,

f

2 , • • •

f

6 , surgirão forças i nte_i::

nas entre as diversas partes do corpo. Para estudar estas for-ças internas, considere que o corpo seja seccionado por um pl~

no rr, dividindo-o nas partes I e II. Considere, também, que

Figura II. l - Esquema de um corpo sõlido ·continuo em equilíb.rfo.

uma das partes do corpo seja removida, por exemplo, a parte a

direita da seção S.

r

claro que, para que a parte remanescente

permaneça em equilíbrio, é necessãrio restabelecer na seção S,

agora uma região de contorno da parte (I), um sistema de

for-ças equivalente

i

ação das forças que atuavam na parte

removi-da do corpo. Devido ao carãter continuo do corpo em questão, é razoãvel imaginar que este sistema equivalente de forças

este-ja continuamente distribuido ao longo da região S {fig. II.2).

E,

F

Figura II.2 - Hipõtese bãsica da mecânica do continuo. As for-ças internas se distribuem continuamente ao lon-go de uma seção.

Num .caso gene rico

atuante sobre a região S não é

.,

o sistema equivalente de forças

nem uniforme nem ortogonal a

sua superficie, isto é, as forças de contato entre as duas pa_!:

tes do corpo, ao longo da seção S, variam ponto a ponto em

di-reçao e intensidade.

r

a esta idéia de força pontual ou força sobre uma

area infinitesimal que estã associado o conceito de tensão. Ma

tematicamente falando, define-se tensão e denota-se por

e,

co

mo (fig. Il.3}

p = li m

,<,S + O ,<, F

óS (II.l),

sendo óF a resultante das forças que atuam sobre uma região de

ãrea ,<,S da su_perficie_ S.

Como decorrência da definição,ê usualmente empreg~

da a expressão tensão em um ponto. Entretanto, ê importante no

tar que o vetor tensão ê uma-grandeza vetorial e como tal envolve mõ dulo, direção e sentido. Assim sendo, para se determinar ove-tor tensão em um ponto, são necessãrias as coordenadas do pon-to e a direção segundo a qual se quer conhecer a tensão (obsei ve que o vetor tensão p varia de acordo com a inclinação de S).

Muitas vezes, ao invês de se trabalhar com o vetor

tensão

E,

torna-se mais simples se trabalhar com suas

proje-ções. O vetor tensão E pode ser projetado em duas direções, o~ tendo-se uma projeção normal ã superf'ície S, denotada por~(*),

e outra tangencial, denotada por T, daqui por diante chamadas

respectivamente de tensão normal e tensão cisalhante (fig.

II.4).

Figura II.4 - Projeções

tensão

e.

normal (~) e tangencial (:::) do vetor

II.l.2. Conceito de Tensão em Solos

Se por um lado o conceito de tensão para um meio

contfnuo ê facilmente imaginãvel e atê mesmo natural, o mesmo

não acontece para um meio constitu'ído por partfculas. Nesse ul

(*) Os s'ímbolos cr e T referem-se as projeções que sao

grande-zas vetoriais. Os s'ímbolos cr e T referem-se ãs componentes

timo caso e difícil conceber a grandeza tensão na acepçao da palavra. Hã que se fazer, então, se não uma redefinição do ter mo tensão, pelo menos algumas concessões aos rigores de uma de finição.

Para se definir tensão em um meio particular, con-sidere inicialmente uma massa granular seccionada por um plano

imaginãrio 1f (fig. II.5). Este plano atravessarã os vazios da

massa e interceptarã as partículas seccionando-as, podendo

e-ventualmente passar pelo ponto de contato entre duas

partícu-las. Suponha agora que se restrinja este plano ã região limita

ponto de contato entre duas part1éulas ~ ,_, @?;>

.

. ,

.

_{,_,} , secões das partículas vazios

Figura II.5 - O conceito de tensão num meio granular.

da por um quadrado de lado d. Olhando as partículas como

indi-víduos, podem-se encarã-las como corpos sõlidos seccionados.

Assim sendo, podem-se reduzir ós sistemas de forças que

atua-vam nas partes removi das das partículas aos centros das seções, a traves de suas resultantes P , P , ... , P . A partir dai defi

- 1 - 2 -a

-ne-se tensão na ãrea de dimensão d x d, denotando-se por

e,

co

mo 8 p = ,: p. i = 1 - l (II.2). d2

De forma anãloga ã feita na seçao anterior, pode-se projetar o vetor tensão em duas direções, obtendo-pode-se uma projeção normal ao plano n, denotada por~, e outra tangen-cia 1, denotada por

:r:.

E evidente que, em se tratando de um meio partitulàdo--, quando se fala em "tensão num ponto", a ex-pressão ê, literalmente, um abuso de linguagem. Não obstante, a expressão ê empregada com freqüência no âmbito da mecânica dos solos. Nenhum problema decorre dai se, no que concerne aos solos, sempre que se empregar a referida expressão, se associar a ideia ã distribuição de uma força sobre uma area finita. Em outras palavras, no que tange aos solos a grandeza tensão as-sume uma concepçao macroscõpica.

Embora o conceito de tensão, como colocado acima, seja um tanto quanto claro e objetivo, ele sofre de alguns males que fogem

ã

objetividade. Por exemplo, quão finita deve ser a area a ser considerada? A resposta, apesar de envolver certa abstração, ê clara: deve ser no mínimo maior que a area da maior seção da maior partícula existente no meio.

Outra restrição, essa herdada da mecânica do con-tinuo, reside no fato de que sõ faz sentido o conceito macros-cõpico de tensão exposto acima se, ao longo de uma distância da mesma ordem de grandeza da maior dimensão da maior partícu-la existente na massa, a variação do valor da tensão for pequ~ na.

Encerrando a discussão, ê interessante ouvir o que Lambe & Whitman (1969, pâg.98} têm a dizer:

.. . "the concept of stress as appZied to soiZ is no more abstract than the sarne concept appZied to metais. A metal

is actuaZZy composed of many smaZZ crystaZs, and. on the

submicroscopic scaZe the magnitude of the forces between

crystaZs varies randomZy from crystaZ to crystaZ. For any

material, the inside of the "infinitesimaZZy smaZZ cube" is thus onZy statisticaZZy homogeneous. In a sense aZZ matter is

stress only i f this stress varies Zittle over distances which are of the arder of magnitude of the size

particle ".

of the Zargest

II. 2. ALGEBRA DAS TENSOES

II.2.1. Estado de Tensão num Ponto Interior a uma Massa SÕlida

Foi ressaltado anteriormente que, sendo a tensão uma grandeza vetorial, para defini-la eram necessãrias as coor denadas do ponto e a direção do plano segundo o qual se desej~ va determinã-la. Este plano pode ser definido de forma unica a través de um de seus pontos e por um vetor unitãrio normal, de notado por n (fig. II.6) .

. z

y

n vetor unitário normal ao plano 11

Pn

vetor tensão no ponto p

X _{segundo a direção de n}

Figura II.6 - Determinação do vetor tensão ••

O vetor tensão que atua no ponto P segundo um pla-no cuja riorrrial· é ~ é denotado por e.n· Este vetor pode ser proj~ tado segundo os três eixos coordenados x, y, z, dando origem, respectivamente, is projeções enx' eny' e enz (fig. II.6). Po-de-se escrever então que

(11.3a).

Chamando de

! ,

J

e ~ os vetores uni tãri os das direções x, y e

z, respectivamente, pode-se escrever alternativamente o

tensão p , em função das suas componentes (grandezas

-n vetor escala-res) , como (11.3b), /

ou ainda, em notação mais compacta, como

(I1.3c).

Como se pode observar, a designação das

componen-tes e bastante simples, envolvendo a seguinte convençao: 19 ín

dice - significa a direção normal ao plano em que atua o vetor

tensão: 29 índice - significa a direção do eixo segundo o qual

foi feita a decomposição.

segundo as obtendo-se fig. II.7,

Pode-se eventualmente projetar o vetor tensão En

direções normal e tangencial ao plano considerado,

os vetores a e T (fig. I 1. 7). Observando-se a

-n -n

torna-se evidente a expressao

p = O + T

-n -n -n (11.4).

z !]

y

X

Figura II.7 - Projeções normal e tangencial do vetor p .

A componente ªn (grandeza escalar) pode ser obtida efetuando-se o produto escalar entre En e n. ~ssim,

ªn = En • n (II.5), ;

mas, por definição,

'.l:n = ªn n _- = Cen

•

~)~ (II.6);j

desta forma, para obter _!n' basta fazer

T _-n = _En

-

_Cen

_•

_~)~ ( I I. 7),

Por abuso de linguagem, muitas vezes se costuma chamar as componentes ªn e Tn de tensão normal e tensão cisa-lhante, respectivamente.

Pode ocorrer o caso particular em que o plano onde atua o vetor tensão seja ortogonal a um dos eixos coordenados. Para estudar esta situação, considere inicialmente um cubo in finitesimal como o da fig. II.8. As facetas do cubo recebem o mesmo nome dos eixos coordenados aos quais são ortogonais.

1

z

I

X faceta _x

Px

Figura II. 8 - C_aso particular em que o plano onde atua o vetor tensão

e

ortogonal a um dos eixos coordenados.

Imagine agora que so~re as facetas x, y e z do

cu-bo infi.nitesimal da fig. II.8 atuem, respectivame.ilte, os veto-res tensão p , p e p (observe que esta notação ê coerente com

-x , -.y -z

a adotada anteriormente). Pode-se decompor cada vetor tensão, segundo os eixos coordenados·, em três componentes: uma normal ã faceta e duas tangenciais (fig. 11.9).

X Figura U.9 z y

•

• /

Componentes de tensão segundo os eixos coordena-dos, no caso particular em que o plano considera doê ortogonal a um eixo coordenado.

Essas componentes, por se tratar de um caso particular, ,·rece-bem a seguinte designação:

ºi - componente normal ã facetai.

T . . componente tangencial a faceta i na direção do eixo j .

lJ

CftBmando mais uma vez de!,

J

e k. os vetores únftãrios das di-reçoes x, y, z, respectivamente, pode-se escrever

p = o i + T j + T k

-X X -' xy - X Z

-Ey = T _yx-f '·+ ºy

J

_- + T _yz-k

P = T i + T j + o k

-Z ZX - zy - Z

-Alternativamente, usando notação vetorial escreve-se:

cr '[ '[

)( yx zx

Bx = 'xy Ey = cr ·P = '[ (II.8b).

y -Z zy

'xz 'yz cr _z

A matriz de tensões no ponto P (fig. II.9) referi-da ao sistema xyz

e

definida por

M = Em convençoes para cr 'yx 'Z X X '[ ªy 'zy xy 1 xz '[ y z cr _z xyz

mecânica dos solos e usual as componentes de tensão:

(II.9);.'

adotar as seguintes tensões normais - p~ sitivas quando de compressão; tensões cisalhantes - para uma faceta cuja normal exterior tenha o mesmo sentido do eixo, a componente positiva tem sentido contrãrio ao eixo ao qual

e

p~ ralela. Para referência, todas as componentes apresentadas na fig. II.9 são positivas.

II.2.2. Equações de Equilibrio

Imagine um cubo infinitesimal encerrando uma pequ~ na massa de solo submetido ao estado de tensão indicado na fig. 11.10. Ao analisar as forças que atuam no cubo elementar, e necessãrio levar em conta dois tipos de força:

l Forças de massa (ou volume): forças que são proporcionais

i

massa encerrada pelo cubo elementar. A força de massa por unidade de volume, atuando no centro de massa do elemento,

e

aqui denotada por~. tendo componentes Fx' FY e F

2 segu~

2 - Forças de superficie

•

de volume. õC,v Czy+ ---=. dz ilz r <lCxy "xy+ dx () X X

acrx

CYx+ a";- dx

que agem sobre as facetas do elemento

z ,... õ<Yz d v . + - - Z z õz

1

dz õCyx Cyx+--dy õy y

acr

---<T.y

+ __

Y dy õy • r <lCyz dy "yz+ -() y

Figura II.10 - Estado de tensão no entorno do ponto p.

Fazendo o equilibrio de forças na direção x, vem oT

+

0/X

dy} dx dz +

dT

T Tzx dx dy - (Tzx +

3~x dz) dx dy + Fx dx dy dz = O (TI. lOJ. Desenvolvendo II. 10, obtem-se

(II.lla}.

:J-t

y

_ªªy

eh __ X_+ _{+ ~} = F (II.llb) :lx 3y :lz y e dT dT 3a ~ + __f!:_ + __ z _{= F (II.llc).} :lx :ly dZ z

Fazendo o equilíbrio de momentos em relação a um eixo paralelo a x passando pelo ponto

P,

obtêm0 se

dz Tzy dx dy ₂ + dT ( _Tzy . _{+ ~} zy _dz) dT - (T _yz + _ E _{3y ·· ...} dy) d dz _iy = Ü X 2 dx dy

$. -

T dx dz

.?)'.

-L yz L {IJ:12). Desenvolvendo II.12. e desprezando os termos infinitesimais de

or-dem superior, vem

'

Tyz = Tzy (1I .. l3a.,L

.;.,-

...

Procedendo-se de forma anãloga para as direções y e z, obtêm-se

(I1.13b)

e

( I I • l 3 c ),

As equações II.ll e II.13 sao as chamadas equaçoes de equilibrio da mecânica do continuo. Observando-se as equa-ções II.13, conclui-se que seu conteúdo tem influência direta na equação II.9, qual seja, a matriz de tensões ê simêtrica.

II.2.3. Tensão num Plano Qualquer

Diz-se que o estado de tensão num ponto P estâ de-finido quando se pode determinar o vetor tensão em P ·qualauer. que seja a direção considerada. Demonstra-se que se ao se·con~ siderar um ·cubo elementar :no entorno ·de P se conhecerem o, ve-tores tensão atuantes em tr~s facetas ortogonais:deste:elemen~

to, pode-se determinar, a partir daf, o vetor tensão no ponto

P qualquer que seja a direção considerada,

Considere inicialmente um plano inclinado em rela-çao aos eixos coordenados de forma a cortar o cubo elementarna

forma de um tetraedro (fig. 11.11).

z

n

y

X

Figura 11.11 - Determinação do vetor tensão num plano de

dire-ção qualquer.

Para determinar o vetor tensão no plano cujo vetor unitârio normal ê ~,.pode-se proceder da seguinte maneira:

pri·-meiramente, considere os triângulos BOC, AOC, AOB e ABC cujas

areas sao respectivamente denotadas por Ax, Ay, A₂ e A. Observe

2A i = OB J<

oc

.X .e 2A _y

_J.

= AO X

oc

2A k = z - OB X AO 2A n = AB X AC

'Observando a fig. II.11, e evidente que AB =AO+ OB

e

AC= AO+ OC

Substituindo Il.15a e II.l5b em Il.14d,vem A B X AC = ( A_O + O_B ) X ( A_O +

o_c)

que desenvolvida fornece

/

AB x AC= AO x AO

-;

+ AO x OC + OB x AO+ 08 X OC

o

(II.14a) (II.l4b) (II.14c) (II.14d). {II.15a) (II.15b). ( I I . l 5 c ) , (II.16).

Chamando de 2, menos cosencs diretores do vetor unitirio nor mal n pode-se escrever

n = 2I +

mJ

+

n

k (II.17)~

Lembrando que o vetor AB x AC ê ortogonal ao plano ABC, pode-se escrevê-lo como múltiplo escalar de ~.ou pode-seja:

AB x AC = 2A n = 2A( 2

!

+ m

J.

+ n ~)

Usando agora II.14a, Il.14b, Il.14c e II.16,vem

Ai i + Am

J. '·

+ An k = A i + A j + A k

X - y-

z-(!!.18).

ou seja:

At = Ax (II.20a)

Am = A _y (II.20b}

An = A (II.20c).

z

Escrevendo o vetor tensão p em termos de suas componentes, is

-n .

to é,

p _{- p}

n nx -l +P ny -j +P n z -k

e procedendo ao equilíbrio, vem: equilíbrio na direção x:

,

=a A i + , A i + , Ai

· X X -· y X y - ZX Z

-Usando II.20a, II.20b e II.20c,obtem-se ·p A i = a A 9, i + · 1: Am i +. · 1: Kn i nx - x yx · zx Simplificando II.23,vem

+,

m

+,

n yx zx (II.21), ( I I . 2 2 ). (II.23). (II.24a).

Procedendo de forma anãloga para as direções y e z obtêm-se

r_ny 'xy J/, + ,(J _y m + 1: zy n (II.24b)

Pn z. = 1: X Z Q, + 1: yz _m + (J _z n (II.24c).

Escrevendo II.24a, II.24b e II. 24c em forma matricial, vem

Pnx (J X 'yx 'zx 9,

p

-'xy ªy 1: zy m (II.25).

ny

Pnz 'xz 'yz (J z n

A equa;ao II.25, conhecida como f6rmula de Cauchy, permite, a partir da matriz de tensões, determinar o vetor ten sao en segundo qualquer direção do espaço.

Denotando por ~ a matriz de tensões, pode-:se escrec ver II.25 sob a forma compacta

p = M n

-n {11.26).

II.2.4. Matriz de Rotação

Um vetor v e escrito em relação a um sistema de ei xos xyz por suas componentes vx' vy e vz. Muitas vezes, entre-tanto, e conveniente escrever o mesmo vetor vem relação a um outro sistema de eixos coordenados x' y' z'. Em relação ao sis tema x' y' z ', o vetor '!. recebe a notação v' e suas componentes as notações v~,,, v~, e v~,. Para estudar esta mudança de siste ma de referencia,considere a fig. II.12.

z

~2

ANGULOS ENTRE OS EIXOS

_.,..,,,y' _{x' y' z'} X _{Cl 1}

1\

_yl y Cl 2 13 2 'Y2 z Cl 3 13 3 Y, X o<, / - /.x'

Adota-se a seguinte notação para os cosenos dos ângulos da fig. II.12:

cos e,· = 9, _{cos f3} = 9, cos '( = 9,

1 _n 1 2] 1 3 1 cos Cl = 9, _{c os J3} 2 = 9, 22: cos '( = 9, (11.27). 2 12 2 32 c os a = 9, _{c os S} 3 = 9, ' cos '( = 9, 3 ~3 23 3 3 3

Chamando de~.

J,

~ os vetores unitârios das

dire-çoes x, y, z e de ~·, j', ~· os vetores unitãrios das direções

x', y', z', respectivamente, pode-se escrever

i' 9, i + 9, j + 9, k (II.28a), 11- 12- 1

3-.,

= 9, . i ₊ 9, j + 9, k ,l _{2 1- 22- 23-} (II.28b), (II.28c).

0

vetor v,referido ao sistema:xyz, e escrito como·

V

=

V i + _vy

J

+ _vz k

-

X - (II.29a) ou vx V

=

_vy - (II.29b) vz xyz

e' em relação ao sistema X1 ] /1 21 , como

y' = v' i'+ v' J., + v' k'

x•-

y1

ou Vi = v' x' v' y' v'

z'

(1I.30b).

Deve-se observar, mais uma vez, que~ e~· sao sim bolos diferentes usados para denotar o mesmo vetor referencia-do a referencia-dois sistemas distintos.

Isto posto, pode-se escrever

v = v' i'

_x'-

+ v' J., + v' k'

y' -

z'-Substituindo em 11.30c os valores de tados em 11.28a, 1I.28b e 1I.28c vem _)'

(11.30c). . '

! '

r

e ~·' como apresen-v = v', (i i + i j + i k) + v', (9- i + 9, j + 9, k) + X 11- 12- _13-_ Y 21- 22- 2 3 -+ V' , ( !I, i + )', .•.. _J + )', 3 3 k) Z 3 1 ₃₂ (TI.3íl·), que,desenvolvidi, fica: V V 1 1 .Q, + v' )', + _V 1 1 i X X 1 1 y' 2 1 Z 3 J V = V = _{V ' ' 9,} + v' Q, _-+ V~' !I, y X 1 2 y' 2 2 3 2 (1I.32a), V V' )', ₊ v' _')', ,+ _{V' ')',} z ~· X 1 1 3 _{Y 2 3} Z 3 3 ou ainda: vx 9, )', )',

r,

11 2 1 3 .l ,--~' V = Q, )', )', y 12 2 2 3 2

l ''

vz )', )', )', v' 1 3 2 3 3 3 . z' ' ~ (1I.32b).

A equaçao II. 32b pode ser escrita em forma compacta como

V = RT v' (*) (II.32c).

As equaçoes II.32a, II.32b e II.32c representam a mudança do sis.tema de referência de x' y' z' para xyz. A matriz RT e denominada a matriz de rotação do sistema x' y' z' para o sistema xyz.

Observando-se a matriz RT,conclui-se tratar-se de uma matriz ortogonal, isto e, sua transposta e igual

ã

sua in-versa. Assim,pode-se escrever

(~ T) -1 ₌ (~T) T _{= R} (II.33), sendo R a matriz -Q, Q, Q, 11 12 1 3 R = Q, Q, Q, 21 22 23 Q, Q, Q, 31 32 33

Pre-multiplicando ambos os membros da equaçao II.32~ por R, ob tem-se

R V = R RT v' = I v' {II.34),

sendo Ia matriz identidade. Simplificando II.34,vem

v' = R v {II.35).

A equaçao II.35 representa a mudança do sistema de referência de xyz para x' y' z'. A matriz R e denominada a ma-triz de rotação do sistema xyz para o sistema x'y' z'.

A equaçao I[.9 define a matriz de tensões referen-ciada ao sistema coordenado xyz. Como seria a matriz de te n-sões referida a um outro sistema x'y'z'? Para responder a esta pergunta, observe o seguinte desenvolvimento: segundo a equa-ção II. 26, o vetor tensão

.en

(:na direção do vetor uni tãri o ~)

referenciado ao sistema xyz ê obtido por

p

=

M n

-n - (_II.36),

sendo Ma matriz de tensões referida ao sistema xyz.

Da mesma forma, o vetor tensão fl.~, (na direção do vetor unitãrio ~') referentiado ao sistema x'y'z' ê obtido por

(II.37),

sendo M' a matriz de tensões referida ao sistema x'y'z'.

O vetor unitãri o ~', pode ser obtido, de acordo com a eq. 11.35, pré-multiplicando-se o vetor n pela matriz de ro-tação do sistema xyz para o sistema x'y'z', ou seja:

n' = R n

De forma anãloga obtêm-se, segundo a eq. II .35,

P, ' = R P

-n

- -n

Utilizando-se as eqs. II.37 e II.39 pode-se escrever R_en=M'n'

Levando-se II.38 em II.40, obtem-se R p = M' R n

- -n

Substituindo-se .en por M n em I I.41, vem R M n _- = M' R n

-donde se conclui que R M = M' R (II.38). (II.39), (II.40). (II.41). (_II.42), (_II.43).

Pôs-multiplicando ambos os membros de II.43 por ~T, escreve-se

(II.44) e,finalmente, como R RT = I (matriz identidade),.obtêm-se

M' = R M R T _(II.45).

A eq. II. 45 dâ a expressao da matriz de tensões M', referenciada ao sistema x 'y' z', a partir da matriz de tensões

~,.referenciada ao sistema xyz. Deve-se observar que as

matri-zes Me M' denotam o mesmo elemento matemâtico, qual seja, o

mesmo estado de tensão. ~e~· diferenciam-se apenas no que

concerne ao sistema de referência aos quais estão relacionadas.

Ao conjunto das entidades matemâticas que

descre-vem o mesmo objeto abstrato, independentemente dos sistemas de co ordenadas aos quais estão referidas, denomina-se tensor. Assi~ a totalidade dos vetores

a a' 1 1 a

₌

a a'

₌

a' , e te ... constitui um tensor 2 2 a a' x'.y1 Z1 3 xyz 3

de 1<!: ordem se obedecer a lei de transformação

a' = R a (II.46);

Analogamente,a totalidade das matrizes quadradas

a a a a' a' a' 11 12 1 3 .u 12 l 3 A = a a a

A'

- a' a' a' , etc ... 21 22 23 21 22 2 3 a a a a' a a' 31 32 3 3 _xyz 3d ·3 2 33 _{::X •.yJ.z •}

constitui um tensor de 2! ordem se obedecer a lei de transfor-maçao

{II.47).

II.2.5. Tensões Principais

Considere um estado de tensão, dado pela matriz de tensões~. referida ao sistema xyz.

o T T X yx zx M = _TXY o T {Il.48). y zy Txz Tyz o z xyz

Num outro sistema, obter-se-ia a matriz de tensões M' por

M' = R M R T {II.49),

Demonstra-se que existe um sistema de referência x , x , x para o qual a matriz de tensões M e diagonal, ou

se-, 2 3 j a: = o _Xl

o

o

M =

o

o

o

{l!.50) .. X2

o

o

o X3 X. X X i 2 3

Existem, portanto, no ponto considerado, :frês pla-nos ortogonais pla-nos quais as componentes cisalhantes são nulas. Tais planos são chamados planos principais. As tensões que ne-les atuam são denominadas tensões principais e as direções des sas tensões direções principais {fig. Il.13).

X

z

• -planos principais

!!₁,!!2'!!_{3 -vetores unitários dos} direções principais

- 1

Figura II. 13 - Tensões pri nci pais, direções princt:ifais e planos principais. S.ejarn ·e-. (i = l , ~1 çao principal xi e i, j, k x, y, z. Então, e. = t 1. -1

2, 3) o vetor unitãrio de urna di.re-os vetores unitãridi.re-os das

+ ii. k

1 - (i = 1,2, 3)

direções

{II.50) e o vetor tensão na direção principal xi' cujo vetor unitãrio e ~i' sera

,

p . =Me.

-Xl - -1 (i =l, 2, 3) (II.51).

Como se tra~a de urna direção principal,a componente cisalhante i nula, isto i, o vetor tensão exi tem a mesma direção que a normal ao plano considerado. Isto permite escrever que

sendo ºxi uma tensão principal (notar mais uma vez que exi e um vetor ao passo que ºxi e um escalar).

Igualando as eqs. II.51 e II.52,obtêm-se M e. = a . e.

- -1 Xl -1 (II.53),

ou seja, a determinação das tensões principais ºxi (i =l, 2,3) e um problema de autovalores.

Pode-se reescrever a equaçao II.53 como:

(M - o . I) e. = O

- Xl - -1 - (II.54),

onde I e a matriz identidade; ou,alternativamente,como o _X

-

o . _Xl T _{yx Tzx} 9,i

o

T _{xy ºy - ºxi Tzy} m. =

o

(II.55).

1 T T _{ºz - o xi} n.

o

XZ yz 1 Sendo 9,., m· e~- os 1 . J 1 obrigatoriamente 9-~ +m~ +n~ = l 1 1 1

cosenos diretores do vetor li• e, portanto, não são simulta-neamente nulos. Desta forma,o sistema homogêneo II.55

senta solução diferente da trivial se o determinante

so apre- caracte-ristico do sistema for nulo. Esta condição ê imposta fazendo-se o - o . _{X · Xl TYX} T _zx det T _{xy ºy} o . Xl Tzy =

o

(II. 56 ). T _Tyz o

-

o xi xz z

o

desenvolvimento da eq. I I . 5 6 conduz a equaçao do 39 grau o3

• - I o2 • + I o. - I = O

cujas raizes ficientes 1

1 ,

a _XI' a _X2 e _. a _X3 sao as tensões principais. Os coe 1₂ e 1₃ são dados por

I

₌

a _,.X + a _y + _qz ·a T 1

ªx

Tzx X yx. . I

₌

1 + + 2 _T

ªy

1

ªz

Txz xy a T _Tzx X yx I _{= TXY} a _{T zy} 3 y T _xz T _yz

_ªz

Quando os autovalores a X1 costuma~se,. denotã-los, de acordo com

a _y T yz ' a X2 seus (11.58), Tzy (11.59)

ªz

(11.60). e o

_x,

s a o· d i s ti n tos, valores decrescen-tes, por o , a e a, os quais, por sua vez, recebem, respectiv~

1 2 3

mente, os nomes de tensão principal maior, tensão principal in termediãria e tensão principal menor.

Demonstra-se facilmente que as tensões principais sao os valores estacionãrios das tensões normais.

Os coeficientes I , I e I

1 2 3 da eq. 11.57 sao denomi

nados os invariantes escalares do tensor~ e podem ser determi nados tambim,em termos das tensões principài,,:~omo

I = a + a + a 1 1 2 3 e I = a (J .

+

a a + a a 2 1 2 1 3 2 3 I = _a a a 3 ] 2 3

As direções pri nci pais x

1 , x2 e x3 sao

das pelos autovetores e₁ , e 2

ªxi' a

_X2 e

a

_X3 da matrfz M~ :, associados aos (11.61), (IL62) (11.63). determina-autova l or.es

Demonstra-se facilmente que as direções principais sao ortogonais entre si, formando, portanto, um sistema de eixos coordenados ortogonais.

II.2.6. Tensões Octaêdricas

Considere o triedro formado pelas três direções principais x , x ex . Considere tambêm os seis vetores

unitã-1 2 3

rios das direções principais: e , -e , e , -e , e , -e .

Unin-. -1 -1 -2 -2 -3 -3

do os pontos terminais desses vetores, dois a dois, obter-se-ã um octaedro regular (fig. II.14). As oito faces deste octaedro têm a propriedade de formar ângulos iguais com as três dire-ções p ri n c i pais, d e f i n i n d o os p 1 anos ci c ta ê dr i c os . No e n ta n t oJ> as faces de um octaedro regular são paralelas duas a duas, defi-ni n d o , por conseguinte , 4 d i r e ç õ e s d is ti n tas . Ta i s d i r e ç õ e s , d~ finidas pelos vetores unitãrios + oc ,.+oc , + oc e + oc , sen

;-- l - - 2 - 3 - .,.._ 4

/

do ortogonais ãs facetas do octaedro, sao, igualmente inclinadas em relação ãs três e recebem o nome de diagonais do espaço.

consequentemente, direções principais

Os vetores tensão atuantes nas oito facetas, deno-tados genericamente por p t' possuem, independentemente da f~

. ~oc

ceta escolhida, as mesmas componentes normais e cisalhantes de notadas, respectivamente, por ºoct e Toct (fig. II.15).

plano

octaédrico

diagonal do

jespaco

Figura II.15 - Tensão octaêdrica (2oct) e suas componentes nor mal (ooct) e cisalhante (Toct).

Para determinar ºoct e Toct'considere os vetores uni tãri os das direções prir1ci.páfs· ~₁ , ~ ₂ e ~₃ • Escritos em

rela-ção ao sistema x, x

2 x3 , esses vetores unitãrios têm as

se-guintes componentes~ e -1 = ( 1 , e _~2 = (o, ~3 = (o, o, 1 , o, O) T O)T 1 ) T (II.64a), (II.64b) (II.64c)

Os oi to vetores uni tãri os (+ oc , + oc , + oc , + oc )

. - - 1 - - 2 - - 3 - - 4

normais as facetas octaedricas são dados por

+ oc. - l = + _1_

13

e + -1 1

13

e + -2 1 ~3

13

( I I. 6 5 ),

onde o indice i assume valores de 1 a 4 e os sinais do membro direfto· podem sofrer qualquer combinação (ao todo 8 combina-ções). Tomando-se, por exemplo, o vetor ~c_{3 ,} obter-se-ã

1 ~2 + 1 ~c, = e - -~3

13

- l

13

13

(II.66).

o vetor tensão eoct na direção de ~c, sera dado

p t = M o_c ₃

-OC

-onde Me a matriz de tensões,que, referenciada x x x , se escreve l 2 3 (J 1

o

o

M = O

o

o

(J . 3 Assim, 1 Ú'

o

o

1 (J

13

13 l ·Q

o

- 1

=

(J 2 Eoct

=

(J ₂ - -f f

₁₃

~

o

o

ú 1 da 13

/3

3 por (II.67) _, ao sistema (II.68). (II.69).

A componente normal ºoct' um escalar, pode ser ob tida por

21

1

13

(J 2 ",_1_ 1 ( 0 1 + 0 2 + 0 3) 0_oct = _{floct • oc} =

--r

= 3

-

3 _{13 13} (J 3 ₁

V3

V3

(II.70).

A componente tangencial Toct' também um pode ser obtida por

Toct2 = l~octl 2 - o _oct 2 que,desenvolvida,fornece e s c a-1 ar, {ll.71) ' {II.72).

Os mesmos resultados podem ser obtidos utilizando-se, indiferentemente, qualquer um dos vetores~ ~ci (i = 1, 2,

3, 4) .

. A componente normal da tensão octaêdrica (ooctl e muito usada em mecânica dos solos por fornecer a tensão normal media reinante no ponto considerado.

11.3 REPRESENTAÇAO DIAGRAMATICA DAS TENSÕES 11.3.1. G Circulo de Mohr

As componentes normal e cisalhante do vetor tensão 2n• respectivamente ºn e Tn' podem ser obtidas por

ºn = _-n p • n

_-

(II.73)

e

2 T2 = _lenl - 02

n n (11.74).

As equaçoes que fornecem as tens6es ºn e ·Tn,atuan-tes num plano cujo vetor unitãrio ê ~ (fig. 11.16); podem ser representadas convenientemente através de uma construção grãf1 ca. Para chegar a esta representação grâfica, considere o esta-do de tensão definiesta-do a partir das tens6es principais 0₁ , 0

2 e

z

!)

fn

y

X

Figura II. 16 - Componentes norma 1 e cisa 1 hante do vetor tensão

en·

Figura II.17 - Estado de tensão definido a partir das tensões

principais. Caso geral em que a >a >a , .. - .. l 2 3

O vetor tensão en numa faceta cujo vetor unitãrio

cri

o

Q tcr ₁

en

=

o

cr

o

m

₌

mcr (II.75). ?. 2

o

o

_cr 3 n ncr ₃

•

!l

Ftgura II.18 - Vetor tensão pn numa faceta inclinada em

rela-çao as direções principais.

A componente normal ºn e dada, segundo a eq. II.73, por 9. cr l cr n = mcr

•

m ~ 9. 2 cr + m 2 cr + _n2cr3 2 1 2 (II.76). ncr ₃ n

De acordo com II. 74, pode-se escrever

2

1 p 1 = (J2 + T 2

ouªsob outra form~ 02 + ,2

n n

Somando a ambos os membros de 11.77b -a (a + a ) e desenvolvendo, obtêm-se

n 1 3

a 2 +, 2 -a(a +a)=m 2a 2 -m 2aa -m2aa -(l-m2)aa

n n n1 3 2 12 23 13

(1I.77b). o termo

(lI.78). Somando (a 1 +a 3)2/4 a ambos os membros de 11.78 e rearranjand~ vem .finalmente

a1e + a 2

( ªn - 1 2 3) + T~ =

a - a 2

m 2( a . - a, ) ( a - a ) + ( 1 3)

2 · l 2 3 2 ( l I. 7 9 ).

A equaçao 11.79 ê, para um valor fixo de m, a equ~ çao de um circulo cujo centro tem coordenadas ((a +a )/2, O).

1 3

Observe que o produto m2(a 2-a 1) (a 2-a 3

).:s.

O. Como - l.:s_ m ~,. O ::_m 2~1, e, como cons.eqilência disto, o maior circu-lo corresponde a m =0 e tem raio igual a (a -a )/2. O menor

l 3

circulo corresponde a m2 =l e tem raio igual a l(a+a )/2-a

L

1 3 ?.

Se a equaçao 11.79 for representada gráficamente num plano cartesiano, tendo para abcissa a variãvel ªn e para ordenada a variãvel , , conclui-se, baseado na discussão dopa _{. n} -rãgrafo anterior, que o lugar geométrico dos pontos que satis~ fazem 11.79 ê uma região anelar limitada pelos círculos maior e menor (fig. lI.19).

Reconsiderando a eq. 11.77b e somando a ambos os membros o termo - ªn (a +a ), obtêm-se

2 3

a2 + , 2 - a (a +a) = t2 02·- t2 a a - t2 a_{1a 3 - (1} -t2)a

2a 3

n n n2 3 1 12

Somando a ambos os membros de 11.80 (a 2:f-a 3)2/4,vem (a -n a+a _{2 a - a 2} 2 3) + 'n2 = t 2 ( a - a ) ( a - a ) + ( 2 3) 2 1 2 1 3 2 o (11.80). termo (lI.81)

lugar geométrico cios póntos que

R= ' t= 0"1 - 0"3 2

cr,

+

cr~

2

-

0"2 cfrcu lo correspondente m = O 2

cfrculo correspondente a m = cte. 2 círculo correspondente a m = 1

Figura II. 19 - Lugar geomêtrico dos pontos que satisfazem aeq. II.79.

Uma anilise aniloga

i

anterior conduzi conclusão que o lugar geomêtrico dos pontos que satisfazem II.81 ê uma região anelar limitada por dois

culos têm centro em ((0_{2+0 3})/2, e cr₁- (cr

2+cr3)/2 .

círculos concêntricos. Tais cír

-O) e raios que valem (cr₂-cr

3)/2

Se representada no plano cartesiano ºn x Tn'ª equ! çao II.81 toma o aspecto da fig. II.20.

0"2- 0'3 R= " 7 " " -(n 2 r:

o;-·

2 0"2+ 0"3 · círculo correspondente a 1 .= 1 · lugar geométrico

dos pontos que satisfazem lí.81 R ... .,.. / ' / ,·,-1 I 2

1/.

.

2

/ /circulo correspondente a t= cte. círculo correspondente a t= O

'

0'1

Figura II.20 - Lugar geomêtrico dos pontos que satisfazem a eq.

Reconsiderando mais uma vez a eq. ll.77b e somando a ambos os membros o termo _{- on(o 1+o 2),obtêm-se}

2 2 ( ) 22 2 '2 2

o _n +· T - o o +o _{n n·12} = n o3 - no _{1 s · 23} o - n' o o - (1 - n ) o o ₁₂

Somando a ambos os membros de II.82

(_01 +0 2 ) 2/4, vem

0+02 0 - 0 2

(on - 1 2 2) +T~ =ril(o3- º1) (03- o2) + ( 1 2 2)

(II.82).

o termo

(II.83)

Procedendo de forma anãloga ãs anteriores, con-clui-se que o lugar geomêtrico dos pontos do plano o _n x T . _n., que

satisfazem a eq. II.83 ê uma região anelar limitada por dois círculos concêntricos. Tais círculos têm centro em ((0_{1+0 2})/2, O)

e raios que valem (01 - 02)/2 _{e (o 1 + 02})/2 - _{o 3}

Se representada no plano cartesiano ºn x Tn•ª equ~

çao Il.83 toma o aspecto da fig. II.21.

Cn _R=

o; -

O"z

lugar geométrico 2

dos pontos que

r =

a,+a

2

satisfazem. lr.83 2

~ 2

· ~ círculo correspondente~ n=I

/ /~írculo correspondente a n = cte. círculo correspondente a n = O '

Oj

Figura II.21 - Lugar geomêtrico dos pontos que satisfazem a

.,

r

evidente que as componentes normal (crn) e

cisa-l~ante (T ) do vet6r tensão p satisfazem simultaneamente as

· n -n

equações II.79, II.81 e II.83. Como consequênci'a, o lugar

geo-mêtri'co dos pares ordenados [an, Tn) seri dado pela interseção

das regiões anelares das figs. lI.19, II.20 e II.21. Tal

re-gião (fig. II .22) receb.e o nome. de lunula de tensões.

t

fn

.. •:ú' !''. LÚNULA DE TENSOES círculo correspondente a m= O

/

.

.

-Cn

·-t-lL---L-~"----.---~,__________

03

o,

º2 02 03 OI (Jn

,,--~·

-+---CJn círculo correspondente a n= O círculo corre!Ípondente a t = O

Figura [I.22 - Lunula de tensões. Lugar geomêtrico dos pares

orden~dos (an, Tn}.

Esta representação grifica foi primeiramente

esta-belecida, em 1882, pélo engenheiro alemão Otto Mohr. Por esta

razao, os circules que geram a fig. 11.22 são denominados Cir-cules de Mohr.

Mai.qres detalh.es sobre o tema anilise de tensões

podem ser encontrados em Timoschenko e Goodier (1934), Love

(

CAPITULO III

AN~LISE DE DEFORMAÇÕES

III.1. DEFORMAÇÕES NOS SOLOS

III. l. l. Conceito de Deformação __ e Des 1 ocamento

Considere um corpo s6lido continuo em movimento:. Imagine tambêm dois sistemas de - referencia,. XYZ, fixo no espaço e xyz fixado ao corpo atravês _do ponto o. Se, durante o movimento, forem tomados dois instantãneos do cor-po, nos tempos

fig. III.1.

z

o

t e t , as fotografias se apresentarão como na

• 1 2 . X instante t₁ X y u z y instante t₂ X

Figura III.l - Movimento de corpo rigido.

Um observador postado na origem do Sistema XYZ na turalmente observarâ a movimentação do corpo ao passo que, P!

' ,,..

ra um observador posicionado na origem do referencial xyz, tu-do se passa como se nada tivesse acontecitu-do.

Em verdade isto ocorre porque as coordenadas de qualquer ponto, por exemplo do ponto P, em relação ao sistema XYZ sao distintas nos tempos t

1 e t2~enquanto que as coordena

das deste mesmo ponto P em relação ao referencial xyz indepen-dem do tempo, ou seja, são as mesmas para os tempos t e t'" De

1 2

fato, o observador posicionado no ponto .9. nada observa, pois nao houve mudança no posicionamento relativo das part1culas do cor po. Neste caso,diz-se que o sÕlido sofreu um deslocamento de corpo r1gido posto que, não havendo deslocamentos relativos en tre suas part1culas, este manteve ao longo do tempo sua confi-guraçao geomêtrica original.

Suponha, porêm, que se tenha imposto ao corpo um sistema de forças de forma a não perturbar seu equil1brio. Se agora for tomado outro instantâneo, por exemplo, no tempo t ₃(t >t ), ese·esteforcolocadoaolado do instantâneo tomado no

3 2 .

tempo t , o panorama serão apresentado na fig. 111.2. Como o

2 . .

novo sistema de forças não altera o equil1brio prê~existente, o corpo não sofrerã mudança de trajetõria, e o observador posi-cionado na origem do sistema XYZ continuarã a assistir ao seu

z

instante t₂ instante t₃ z y y X X

movimento como antes. Alem disso, presenciarã a mudança de co~ figuração do corpo, resultado da imposição do novo sistema de forças. Essa mudança de configuração aparecerã para o observa-dor postado na origem do sistema xyz, atraves da variação do posicionamento relativo das particulas do corpo, e recebe o no-me de deformação.

Essa discussão serve para diferenciar os conceitos de deslocamento e deformação. Enquanto o deslocamento e a medi da da movimentação de um ponto,a deformação e a medida da movi mentação relativa entre dois pontos do corpo.

Para ilustrar melhor este conceito,apresenta-se um exemplo simples. Imagine um fio de comprimento L, sem peso, pe~ durado por uma de suas extremidades (fig. IIl.3). Suponha ago-ra que seja aplicada

ã

outra extremidade uma força vertical ~-Embora não tenha havido um deslocamento de corpo rigido (o fio estã fixado em O),, o ponto P se deslocou; verticalmente de t,.. O

deslocamento ~elativo entre os pontos O e P, isto e, a deform~ ção entre os pontos O e P tambem vale t,.. Raciocinando de forma

anãloga para o ponto Q, observa-se

cal foi de t,./2 e que a deformação

ú

o

..b.

2 _R

L

Q

que seu deslocamento entre os pontos O e

Q

}:·

1

o

/1 L+/1 4 R ₂

t

/1 2 Q verti-vale, L + /1 e

portanto, 6/2. Se o deslocamento de P vale 6 e o de Q 6/2, o deslocamento relativo entre esses dois pontos vale 6/2, que e a deformação entre os pontos P e Q.

Observando o fenômeno com mais atenção, conclui-se que a razao de variação do comprimento do fio e constante ao

longo de todo o seu comprimento. Em outras palavras, o

alonga

-mento por unidade de compri-mento entre os pontos O e P e de 6/L, entre os pontos O e Q de 6/2/L/2,entre os pontos O e R de 6/4/L/4, e ass.i.m sucessivamente.

~ relação entre a variação de comprimento e o com-primento original de qualquer parte do fio denomina-se deforma çao especifica e denota-se pelo símbolo E.

No exemplo da fig. III.3,os deslocamentos dos pon-tos do fio, alem de serem contínuos, variam"suavemente"ao lon-go da direção x. Vale dizer que os deslocamentos dos pontos do fio podem ser expressos por uma função diferenciãveJ u(x). AssJm, a deformação especifica Ex (na direção x) pode ser express.~ por

(III.l). Se a quantificação do fenômeno deforma~ão e bastarr te simples no exemplo do fio, através do conceito de deforma-ção· especifica e da equação III. 1, ta 1 não se dã quando se pa_!:_ te para o estudo das deformações dos corpos tridimensionais.

Para estudar a deformação dos corpos. tridimensio-nais,e interessante apanhar uma lupa, voltar

ã

fig. III.2 e examinar detalhadamente as diferenças existentes numa região vizinha ao ponto P nos instantes t ₂ e t ₃• Para isto e conveni-ente imaginar um paralelepipedo de dimensões diminutas, de ares tas paralelas aos eixos x, y, z, fixados ao corpo, que tem co-mo um de seus vértices o ponto P (fig. III.4).

X z z instante t₂ p

.LCJ

( a l y X instante t₃

,---,.,

, , 1 f- --( 1 1 ₁ ', _,, J L . . , , p __ ..., ( b ) p y

Figura Ill.4 - Comportamento de um elemento paralelepipedal na vizinhança do ponto P.

No instante t₂ , antes do corpo sofrer a açao das forças externas, a região vizinha ao ponto P apare~e como na fig. Ill.4a. Ao se dar a ação das forças externas sobre o cor-po (instante t

3) , os vêrtices do paralelepfpedo se movimentam

de forma distinta, gerando deslocamentos relativos e, portanto, deformações (fig. III.4b).

Para melhor observar o fenômeno, ê conveniente sub dividi-lo em três efeitos: os dois primeiros constituem uma m~ vimentação rfgida (translação+ rotação) do paralelepfpedo, l! vando-o da posição l para a posição 2 (fig. Ill.5a). O tercei-ro efeito se constitui em, na posição 2, dar aos vêrtices do paralelepfpedo os seus deslocamentos em relação ao ponto P

(fig. Il!.5b). Tais deslocamentos relativos ê que originarão, como foi definido, as deformações propriamente ditas.

As deformações sofridas pelo paralelepfpedo podem agora ser quantificadas medindo-se, por exemplo, a variação do comprimento de suas arestas e a variação dos ângulos por elas formados inicialmente. Essas medidas de variação da geometria

X z deslocamento rígrdo .---;:,, .,., ., 1 r--i' ,

p@

posição 2 1 1 J 1 1 ,,,,, p L--..v posição y X ( a l z deformação p

.,,,.--~

posição 2 ~-:_--(',. 1 1 1 I r I J posição p 1- __ ..J,/ y ( b ) •

Figura III.5 - Efeitos das forças externas sobre um elemento

na vizinhança do ponto P, vistos em três etapas

do elemento definem o que se chama de estado de deformação numa vizinhança do ponto P. Reuna-se a estas medidas o deslocamento

rígido do paralelepípedo e ter-se-ã a posição do elemento

de-formado no espaço.

Se na anãlise anterior for considerado um paralel~

pipedo infinitesimal,ter-se-ã o que se chama de estado de

de-formação no ponto P. E claro que o elemento pode ser imaginado

tão pequeno quanto se queira,mas, fisicamente falando, a

ex-pressão ''estado de deformação no ponto" ê abusiva, haja vista

que o conceito de deformação estã associado ao deslocamento re lativo intre pelo menos dois pontos.

Uma conclusão imediata pode ser tirada da

discus-sao acima se se observar que as "deformações num ponto''

depen-dem, não s6 da localização desse ''ponto'',como tambêm das

dire-çoes ao longo das quais se desejam medi-las. Bastaria que se

tivesse dado outra orientação ao elemento da fig. III.4 para

que se obtivessem medidas diferentes de deformação. Tdd~via,

como hi de ser visto, o ''estado de deformação no ponto" e de-terminado de fprma Ünica.

III.l.2. Conceito de Deformação em Solos

Se nos meios contfnuos o fen6meno da deformação e de equacionamento di.ff~tl, pelo menos o seu conceito ffsico

é

de fiei 1 entendimento. Ji nos mei.os granulares, a di fi cul da de de definição do fen6meno deformação

é

igual ou maior

ã

encontrada quando da conceituação de tensão. Por essa razio, ·toma~se em-prestado o conceito de deformação dos meios contfnuos e, por meio de alguns ''retoques", adapta-se-o aos meios granulares.

Para se definir deformação num meio ,particulado, CD.!!_

sidere um maciço granular atravessado por seis planos imagini-rios, paralelos dois a dois e ortogonais quatro a quatro. Es-tes planos,que definem um paralelepfpedo retingulo de arestas d₁ , d

2 e d3 (fig. III.6), atravessaria os vazios da massa e in

terceptario as partfculas, seccionando-as . •

azzz

_-

_... 2. Q ... ' - . .

-.

, _{, ~} '

..

, ., .

.

1 • • • '

.

'

.

maciço granular

Figura III.6 - Elemento de solo para a definição do de deformação.

seçoãs transversais dos grãos·