GA aula6

Geometria Analítica

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.1

externo ou vetorial.

Considere uma sequência (→u ,→v ,→w)LI. Sabemos que esses vetores determinam um paralelepípedo. Como podemos calcular seu volume?

→ u → v → w

paralelepípedo. Como podemos calcular seu volume? → u → v → w O volume de um paralelepípedo é o

produto da área da base pela altura. Podemos considerar que o paralelogramo denido por →u e →v é a base. Sua área é, como vimos na aula anterior, k→u _∧→v_k.

Considere uma sequência (→u ,→v ,→w)LI. Sabemos que esses vetores determinam um paralelepípedo. Como podemos calcular seu volume?

→ u → v → w h O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura. Podemos considerar que o paralelogramo denido por →u e →v é a base. Sua área é, como vimos na aula anterior, k→u _∧→v_k. A altura é a distância da extremidade de→w ao plano da base. A altura é perpendicular ao plano da base.

paralelepípedo. Como podemos calcular seu volume? → u ∧→v → u → v → w h O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura. Podemos considerar que o paralelogramo denido por →u e →v é a base. Sua área é, como vimos na aula anterior, k→u _∧→v_k. A altura é a distância da extremidade de→w ao plano da base. A altura é perpendicular ao plano da base. Logo, a altura é paralela a→u _∧→v.

Considere uma sequência (→u ,→v ,→w)LI. Sabemos que esses vetores determinam um paralelepípedo. Como podemos calcular seu volume?

→ u ∧→v → u → v → w h Proj→→w u ∧→v O volume de um paralelepípedo é o produto da área da base pela altura. Podemos considerar que o paralelogramo denido por →u e →v é a base. Sua área é, como vimos na aula anterior, k→u _∧→v_k. A altura é a distância da extremidade de→w ao plano da base. A altura é perpendicular ao plano da base. Logo, a altura é paralela a→u _∧→v. A altura é o

comprimento da projeção ortogonal de →w sobre→u _∧→v

da projeção ortogonal de →wsobre →u _∧→v. h =k Proj→w→

u ∧→v k=

|→w .→u _∧→v _| k→u _∧→v_k Portanto, o volume do paralelepípedo é

V =_k→u _∧→v_{k .}| → w .→u _∧→v _| k→u _∧→v_k =| → w .→u _∧→v _|

O Produto Misto

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

[→u ,→v ,→w] =→u _∧→v .→w = →w .→u _∧→v

Se temos as coordenadas desses vetores em uma base ortonormal positiva β = (~i,~j, ~k), ou seja, →u = (a1, b1, c1),→v = (a2, b2, c2) e →w= (a3, b3, c3)

O Produto Misto

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

[→u ,→v ,→w] =→u _∧→v .→w = →w .→u _∧→v

Se temos as coordenadas desses vetores em uma base ortonormal positiva β = (~i,~j, ~k), ou seja, →u = (a1, b1, c1),→v = (a2, b2, c2) e →w= (a3, b3, c3), então → u _∧→v =       ~i ~j ~_k a1 b1 c1 a2 b2 c2       =     b1 c1 b2 c2    ~i −     a1 c1 a2 c2     ~j +     a1 b1 a2 b2     ~ k

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

[→u ,→v ,→w] =→u _∧→v .→w = →w .→u _∧→v

Se temos as coordenadas desses vetores em uma base ortonormal positiva β = (~i,~j, ~k), ou seja, →u = (a1, b1, c1), → v = (a2, b2, c2) e → w= (a3, b3, c3), então → u _∧→v =       ~i ~j ~_k a1 b1 c1 a2 b2 c2       =     b1 c1 b2 c2    ~i −     a1 c1 a2 c2     ~j +     a1 b1 a2 b2     ~ k → u _∧→v = (b1c2− c1b2)~i− (a1c2− c1a2)~j + (a1b2− a2b1)~k

O Produto Misto

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

[→u ,→v ,→w] =→u _∧→v .→w = →w .→u _∧→v

Se temos as coordenadas desses vetores em uma base ortonormal positiva β = (~i,~j, ~k), ou seja, →u = (a1, b1, c1), → v = (a2, b2, c2) e → w= (a3, b3, c3), então → u _∧→v =       ~i ~j ~_k a1 b1 c1 a2 b2 c2       =     b1 c1 b2 c2    ~i −     a1 c1 a2 c2     ~j +     a1 b1 a2 b2     ~ k → u _∧→v = (b1c2− c1b2)~i− (a1c2− c1a2)~j + (a1b2− a2b1)~k → u _∧→v .→w= (b1c2− c1b2, c1a2− a1c2, a1b2− a2b1).(a3, b3, c3)

Denimos o produto misto dos vetores →u ,→v e →wpor

[→u ,→v ,→w] =→u _∧→v .→w = →w .→u _∧→v

Se temos as coordenadas desses vetores em uma base ortonormal positiva β = (~i,~j, ~k), ou seja, →u = (a1, b1, c1), → v = (a2, b2, c2) e → w= (a3, b3, c3), então → u _∧→v =       ~i ~j ~_k a1 b1 c1 a2 b2 c2       =     b1 c1 b2 c2    ~i −     a1 c1 a2 c2     ~j +     a1 b1 a2 b2     ~ k → u _∧→v = (b1c2− c1b2)~i− (a1c2− c1a2)~j + (a1b2− a2b1)~k → u _∧→v .→w= (b₁c2− c1b2, c1a2− a1c2, a1b2− a2b1).(a3, b3, c3) → u _∧→v .→w= (b1c2− c1b2)a3− (a1c2− c1a2)b3+ (a1b2− a2b1)c3

O Produto Misto em coordenadas

Se, em alguma base ortonormal positiva→u = (a1, b1, c1),→v = (a2, b2, c2)e →w= (a3, b3, c3) então

[→u ,→v ,→w] =       a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2      

Se, em alguma base ortonormal positiva→u = (a1, b1, c1),→v = (a2, b2, c2)e →w= (a3, b3, c3) então [→u ,→v ,→w] =       a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2      

Podemos associar as linhas dessa matriz com a ordem em que os vetores aparecem no produto misto. Trocando a primeira linha com a terceira:

[→u ,→v ,→w] =₋       a2 b2 c2 a1 b1 c1 a3 b3 c3      

O Produto Misto em coordenadas

Se, em alguma base ortonormal positiva→u = (a1, b1, c1),→v = (a2, b2, c2)e →w= (a3, b3, c3) então

[→u ,→v ,→w] =       a3 b3 c3 a1 b1 c1 a2 b2 c2      

Podemos associar as linhas dessa matriz com a ordem em que os vetores aparecem no produto misto. Trocando a primeira linha com a terceira:

[→u ,→v ,→w] =₋       a2 b2 c2 a1 b1 c1 a3 b3 c3       Trocando novamente, agora a primeira com a segunda:

[→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3       =→u _∧→v .→w

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto → u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto:

[→u ,→v ,→w] = [→w,→u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] [→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ]

[au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w]

[→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [→w,→u ,→v ] = [→v ,→w,→u ]

[au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w]

[→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w

[→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ]

[au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w]

[→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w

[→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ]

[→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w

[→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ]

[au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w]

[→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w

[→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ]

[au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w]

Propriedades do Produto Misto

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto

→ u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w [→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ] [au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w] [→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w] [→u ,→v , aw→1 +bw→2] = a[ → u ,→v ,w→1] + b[ → u ,→v ,→w₂]

Usaremos sempre esse último determinante para calcular o produto misto → u _∧→v .→w= [→u ,→v ,→w] =       a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3      

Usando as propriedades do determinante, temos as seguintes propriedades do produto misto: [→u ,→v ,→w] = [w,→ →u ,→v ] = [→v ,→w,→u ] ou →u _∧→v .→w =→u .→v _∧→w [→v ,→u ,→w] = [→u ,→w,→v ] = [→w,→v ,→u ] [au→1+bu→2,→v ,→w] = a[u→1,→v ,→w] + b[u→2,→v ,→w] [→u , av→1 +bv→2,→w] = a[→u ,v→1,→w] + b[→u ,v→2,→w] [→u ,→v , aw→1 +bw→2] = a[ → u ,→v ,w→1] + b[ → u ,→v ,→w₂]

Outra aplicação do produto misto

Concluímos, então que dados 3 vetores→u ,→v e →w com coordenadas em uma base ortonormal

→ u = (u1, u2, u3),→v = (v1, v2, v3) e→w= (w1, w2, w3). Se D é o determinante da matriz D =       u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3      

então D = 0 ⇒ (→u ,→v ,→w)é LD e D 6= 0 ⇒ (→u ,→v ,→w)é LI e o volume do paralelepípedo denido por esses vetores é o valor absoluto de D.

Agora, três vetores LI também determinam um tetraedro. Como calcular o volume desse tetraedro?

Volume do tetraedro

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

→ u → v → w

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

→ u → v → w

Volume do tetraedro

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

→ u → v → w

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

Volume do tetraedro

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

Volume do tetraedro

Considere o tetraedro denido por três vetores LI. Compare o tetraedro denido por esses três vetores com o paralelepípedo denido por esses mesmos vetores

No paralelepípedo cabem 6 tetraedros com mesmo volume. Portanto, o volume do tetraedro é 1

Denição

Dado um ponto A e um vetor→v, a soma A+→v é o ponto B tal que

→

AB=→v Em outras palavras

Soma de ponto com vetor

Dado um ponto A e um vetor→v, a soma A+→v é o ponto B tal que

→ AB=→v Em outras palavras A+→v = B _⇐⇒AB=→ →v → v b A

Denição

Dado um ponto A e um vetor→v, a soma A+→v é o ponto B tal que

→ AB=→v Em outras palavras A+→v = B _⇐⇒AB=→ →v → v b A → v

Soma de ponto com vetor

Dado um ponto A e um vetor→v, a soma A+→v é o ponto B tal que

→ AB=→v Em outras palavras A+→v = B _⇐⇒AB=→ →v → v b A b B → v

Em alguma base ortonormal são dados os vetores→u = (1, 1, 3),→v = (3,_{−1, 1) e} →w= (2, 2, 1) 1 Calcule o volume do paralelepípedo denido por→_{u ,}→_v e →_w

2 Calcule o volume do tetraedro denido por →u ,→v e →w

3 Calcule o volume do tetraedro denido por →v ₋→u ,→v ₋→u +→w e →w₋→u

4 Em uma mesma gura, represente geometricamente o paralelepípedo e os dois tetraedros cujos volumes foram calculados