Cap13 Sec3 2x4

(1)

Capítulo 13

Funções Vetorias

13.3 Comprimento de Arco e

Curvatura

Nesta seção, vamos aprender como: Encontrar o comprimento do arco e a sua curvatura. FUNÇÕES VETORIAIS

COMPRIMENTO DE CURVA PLANA

Na Seção 10.2 definimos o comprimento de uma curva plana com equações paramétricas

x = f(t), y = g(t), a t b

como o limite do comprimento das poligonais inscritas.

>

@ >

2

@

2 2 2

'( )

b a b a

L

f t

g t

dt

dx

dy

dt

§

· §

· ¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

³

Fórmula 1

Para o caso no qual f’ e g’ são contínuas, chegamos à seguinte fórmula:

COMPRIMENTO DE CURVA PLANA

COMPRIMENTO DA CURVA ESPACIAL

O comprimento de uma curva espacial é definido exatamente da mesma forma.

Suponha que a curva tenha equação vetorial

r(t) = f(t), g(t), h(t) , a t b

Ou, o que é equivalente, equações paramétricas: x = f(t), y = g(t), z = h(t)

onde f’, g’ e h’ são funções contínuas.

COMPRIMENTO DA CURVA ESPACIAL

Se a curva é percorrida exatamente uma vez à medida que t cresce, é possível mostrar que:

>

@ >

2

@ >

2

@

2 2 2 2 '( ) '( ) '( ) b a b a L f t g t h t dt dx dy dz dt dt dt dt § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

³

Fórmula 2

COMPRIMENTO DA CURVA ESPACIAL COMPRIMENTO DO ARCO

Observe que os comprimentos dos arcos de curva dados pelas Fórmulas (1) e (2) podem ser escritos de forma mais compacta:

'( )

b a

L

³

r

t dt

(2)

 Para as curvas planas r(t) = f(t) i + g(t) j,

Enquanto que para as curvas espaciais r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k,

>

@ >

2

@

2 '( )t f t'( ) g t'( ) f t'( ) g t'( ) r i j

>

@ >

2

@ >

2

@

2 '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) '( ) t f t g t h t f t g t h t r i j k COMPRIMENTO DO ARCO

Calcule o comprimento do arco da hélice circular de equação

r(t) = cos t i + sen t j + t k

do ponto (1, 0, 0) até o ponto(1, 0, 2S). Como r’(t) = -sen t i + cos t j + k, temos:

EXEMPLO 1 COMPRIMENTO DO ARCO

O arco de (1, 0, 0) até (1, 0, 2S) é descrito quando o parâmetro percorre o intervalo 0 t 2S.

Assim, da Fórmula 3, temos: 2

0 2 0 '( ) 2 2 2 L t dt dt S S

S

³

r

COMPRIMENTO DO ARCO EXEMPLO 1

Uma única curva C pode ser representada por mais de uma função vetorial.

Por exemplo, a cúbica retorcida r1(t) = t, t 2, t 3 1 t 2

poderia ser representada também pela função: r2(u) = eu, e2u, e3u 0 u ln 2

onde a relação entre os parâmetros t e u é dada por t = eu_.

COMPRIMENTO DO ARCO

Dizemos que as Equações 4 e 5 são

parametrizações da curva C.

Se fôssemos usar a Equação 3 para calcular o comprimento de C, obteríamos o mesmo resultado obtido usando-se as Equações 4 ou 5.

PARAMETRIZAÇÃO

Em geral, pode ser mostrado que, quando a Equação 3 é utilizada para calcular o comprimento de uma curva lisa por partes, o comprimento do arco é independente da parametrização empregada.

Suponhamos agora que C seja uma curva dada pela função vetorial

r(t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k a t b

onde:

 r’ é contínuo

 C é percorrida exatamente uma vez à medida que

COMPRIMENTO DO ARCO

Definimos sua função comprimento de arco por: 2 2 2 ( ) t '( ) a t a s t u du dx dy dz du du du du § · § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ © ¹

³

r Equação 6 FUNÇÃO COMPRIMENTO DO ARCO

(3)

Então, s(t) é o comprimento da parte de C entre r(a) e r(t).

FUNÇÃO COMPRIMENTO DO ARCO

Se derivarmos os dois lados da Equação 6 usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, obteremos :

'( )

ds

t

dt

r

Equação 7 FUNÇÃO COMPRIMENTO DO ARCO

É frequentemente útil parametrizar uma

curva em relação ao comprimento do arco, pois o comprimento de arco aparece

naturalmente a partir da forma da curva e não depende do sistema de coordenadas utilizado.

Se uma curva r(t) já está dada em termos de um parâmetro t e s(t) é a função

comprimento de arco dada pela Equação 6, podemos ser capazes de escrever t como uma função de s:

t = t(s) PARAMETRIZAÇÃO

A curva pode ser então reparametrizada em termos de s substituindo-se o parâmetro t:

r = r(t(s))

Assim, se s = 3 por exemplo, r(t(3)) é a posição do ponto que está a três unidades de comprimento do início da curva.

REPARAMETRIZAÇÃO

Reparametrize a hélice circular

r(t) = cos t i + sen t j + t k

utilizando o comprimento de arco medido a partir de (1, 0, 0) na direção de crescimento de t.

EXEMPLO 2 REPARAMETRIZAÇÃO

O ponto inicial (1, 0, 0) corresponde ao valor do parâmetro t = 0. Do exemplo 1, temos: E, assim: '( ) 2 ds t dt r 0 0 ( ) t '( ) t 2 2 s s t

³

r u du

³

du t REPARAMETRIZAÇÃO EXEMPLO 2 Portanto, e a reparametrização pedida é obtida substituindo-se o valor de t:

/ 2

t

s

(4)

Uma parametrização r(t) é dita lisa em um intervalo I se:

 R’ for contínua  r’(t) 0 em I.

PARAMETRIZAÇÃO LISA

Uma curva é dita lisa se tiver uma parametrização lisa.

Uma curva lisa não tem quebras abruptas ou cúspides; quando seu vetor tangente gira, ele o faz continuamente.

CURVA LISA

Se C for uma curva lisa definida por uma função vetorial r, lembre-se de que o vetor tangente unitário T(t) será dado por:

Isso indica a direção da curva.

'( )

( )

'( )

t

r

T

r

CURVAS LISAS

Da figura, podemos ver que T(t) muda de direção muito devagar quando a curva C é razoavelmente reta, mas muda de direção mais rapidamente quando a curva C se dobra ou retorce mais

acentuadamente.

CURVAS LISAS

A curvatura de C em um dado ponto é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção no ponto.

CURVATURA

Especificamente, definimos a curvatura como o módulo da taxa de variação do vetor

tangente unitário com relação ao comprimento do arco.

Utilizamos o comprimento de arco, pois assim a curvatura independe da parametrização.

CURVATURA

A curvatura de uma curva é:

onde T é o vetor tangente unitário.

d

ds

N

T

Definição 8 CURVATURA—DEFINIÇÃO

A curvatura é mais simples de calcular se expressa em termos do parâmetro t em vez de s.

(5)

Assim, usamos a Regra da Cadeia (Teorema 13.2.3, Fórmula 6) para escrever:

e / / d d dt ds ds dt

N

T T CURVATURA d d ds dt ds dt T T

Mas, ds/dt = |r’(t)| da Equação 7. E então,

'( )

( )

'( )

t

N

T

r

Eq./Fórmula 9 CURVATURA

Mostre que a curvatura de um círculo de raio

a é 1/a.

Podemos tomar o círculo com centro na origem e parametrizado por:

r(t) = a cos t i + a sen t j

EXEMPLO 3 CURVATURA

 Isso nos dá |T’(t)| = 1.

Então, usando a Equação 9, temos:

'( )

1 ( )

'( )

t

a

N

T

r

CURVATURA EXEMPLO 3

O resultado do Exemplo 3 mostra que pequenos círculos têm uma grande curvatura,enquanto grandes círculos têm uma pequena curvatura, como nossa intuição indica.

Podemos ver diretamente da definição que a curvatura de uma reta é sempre 0, pois o vetor tangente é constante.

CURVATURA

Embora a Fórmula 9 possa ser utilizada em qualquer caso para calcular a curvatura, em geral é mais conveniente aplicar a fórmula dada pelo teorema abaixo:

A curvatura de uma curva dada pela função vetorial r é: CURVATURA 3 '( ) ''( ) ( ) '( ) t t t t N r ur r Teorema 10 T = r’/|r’| e |r’| = ds/dt. Assim, temos:

'

ds

dt

r

r T

T

Demonstração CURVATURA

E, pela Regra do Produto (Teorema 13.2.3, Fórmula 3), temos: 2 2

''

d s

ds

'

dt

r

T

(6)

Usando o fato de que T x T = 0 (veja o Exemplo 2 da Seção 12.4), temos:

2

' ''

ds

'

dt

§

· u

_¨

_¸

u

©

¹

r r

T T

Então T e T são ortogonais pelo Exemplo 4 da Seção 13.2.

Portanto, pelo Teorema 12.4.6, 2 2 2 ' '' ' ' ' ds dt ds dt ds dt § · u _¨ _¸ u © ¹ § · ¨ ¸_© _¹ § · ¨ ¸_© _¹ r r T T T T T Demonstração CURVATURA

2 2 3 ' '' ' '' ' / ' ' ' '' ' _' ds dt

N

u u u r r r r T r T r r r _r Demonstração CURVATURA

Determine a curvatura da cúbica retorcida

r(t) = t, t2_{, t}3

em um ponto genérico e em (0, 0, 0).

Calculemos inicialmente os ingredientes necessários: 2 2 4 '( ) 1,2 ,3 ''( ) 0,2,6 '( ) 1 4 9 t t t t t t t t r r r CURVATURA EXEMPLO 4 2 2 4 2

'( )

''( ) 1 2 3

0 2 6

6

2 '( )

''( )

36

4 t

t

u

i

j

k

r

i

j

k

r

Então, aplicando o Teorema 10 temos:

 Na origem, onde t = 0, a curvatura é:

ù(0) = 2

2 4 3 ₂ ₄ 3/ 2

'( )

''( )

2 1 9

9 ( )

'( )

_{1 4}

₉

t

N

u

r

(7)

Para o caso especial da curva plana com a equação y f (x), escolhemos x como

parâmetro e escrevemos:

r(x) = x i + f(x) j

Assim, _{r’(x) = i + f’(x) j} _{e r’’(x) = f’’(x) j}

CURVATURA

Como i x j = k e j x j = 0, temos: r’(x) x r’’(x) = f’’(x) k Temos também: CURVATURA

>

@

2

'( )

x

1 f x

'( )

r

2 3/ 2

''( )

( )

1 '( )

f

x

f x

N

ª

º

¬

¼

Fórmula 11 CURVATURA

Determine a curvatura da parábola y = x2 nos pontos (0, 0), (1, 1), (2, 4).

EXEMPLO 5 CURVATURA

Como y’ = 2x e y’’ = 2, a Fórmula 11 nos dá:

3/ 2 2 3/ 2 2

''

( )

1 ( ')

2 1 4

y

x

y

x

N

ª

º

¬

¼

A curvatura em (0, 0), éț(0) = 2.

Em (1, 1), éț(1) = 2/53/2 _0,18

Em (2, 4), éț(2) = 2/173/2 _0,03

Observe, a partir da expressão de k(x) ou do gráfico de k na Figura, que:

ț(x) 0 quando x ±

Isso corresponde a dizer que a parábola parece se tornar cada vez mais achatada quando

x ±

CURVATURA EXEMPLO 5 VETORES NORMAL E BINORMAL

Em um ponto dado de uma curva lisa r(t) existem muitos vetores que são ortogonais ao vetor tangente unitário T(t) .

(8)

Escolhemos um observando que, como |T(t)| = 1 para todo t, temos T(t) · T’(t) pelo Exemplo 4 da Seção 13.2.

De modo que, T’(t) é ortogonal a T(t).  Observe, no entanto, que T’(t) pode não ser um

vetor unitário.

VETOR NORMAL

Mas, se r’ também for lisa, podemos definir o vetor normal principal unitário N(t) (ou simplesmente normal unitário) como:

'( )

( )

'( )

t

T

N

T

VETOR NORMAL

O vetor B(t) = T(t) x N(t) é denominado

vetor binormal, é perpendicular a T e N e

também é unitário (veja a figura).

VETOR BINORMAL

Determine os vetores normal e binormal da hélice circular

r(t) = cos t i + sen t j + t k EXEMPLO 6 VETORES NORMAL E BINORMAL

Vamos, inicialmente, calcular os

ingredientes necessários para o cálculo do vetor normal unitário.

VETORES NORMAL E BINORMAL EXEMPLO 6

Isso mostra que o vetor normal em um ponto da hélice circular é horizontal e aponta em direção ao eixo z.

O vetor binormal é:

(9)

A figura ilustra o Exemplo 6 mostrando os vetores T, N e B em dois pontos da hélice circular. Em geral, os vetores T, N e B, começando nos vários pontos da curva, formam um conjunto de vetores ortogonais, denominados referencial TNB, que se move ao longo da curva quando t varia.

VETORES NORMAL E BINORMAL

Esse referencial TNB tem um papel importante em um ramo da matemática chamado geometria diferencial e em suas aplicações em

movimento de naves espaciais.

VETORES NORMAL E BINORMAL

O plano determinado pelos vetores normal e binormal N e B em um ponto P sobre a curva C é chamado plano normal de C em

P.

Ele consiste em todas as retas que são ortogonais ao vetor tangente T.

O plano determinado por T e N é

denominado plano osculador de C em P.  O nome vem do latim osculum, que significa

“beijo”.

É o plano que mais se aproxima de conter a parte da curva próxima ao ponto P.

Para uma curva plana, o plano osculador é aquele que contém a curva.

O círculo que está no plano osculador de C em P, tem a mesma tangente que C em P, fica do lado côncavo de C (na direção em que

N aponta) e tem raio = 1/ùo recíproco da curvatura) é conhecido como círculo

osculador (ou círculo da curvatura) de C

em P.

PLANO OSCULADOR

É o círculo que melhor descreve o

comportamento da curva C perto de P; e tem em comum com a curva a tangente, a normal e a curvatura em P.

PLANO OSCULADOR

Determine as equações do plano normal e do plano osculador da hélice circular do Exemplo 6 no ponto P(0, 1,

S

/2).

PLANOS NORMAL E OSCULADOR EXEMPLO 7

O plano normal em P tem vetor normal

r’(S/2) = –1, 0, 1 Portanto sua equação é:

ou

(10)

O plano osculador em P contém os vetores

T e N.

Assim seu vetor normal é: T x N = B

Um vetor normal mais simples é1, 0, 1 . Então uma equação do plano osculador é:

ou

A figura mostra a hélice e o plano osculador do Exemplo 7.

PLANOS NORMAL E OSCULADOR

Determine e desenhe o círculo osculador da parábola y = x2_{na origem.}

Do Exemplo 5, a curvatura da parábola na origem éù(0) = 2.

Dessa forma, o raio do círculo osculador é 1/ù = ½ e seu centro é (0, ½).

EXEMPLO 8

2

2 ₁ ₁

2 4

x

y

CÍRCULO OSCULADOR EXEMPLO 8

Para o gráfico da figura seguinte usamos as equações paramétricas do círculo:

x = ½ cos t y = ½ + ½ sen t

CÍRCULO OSCULADOR EXEMPLO 8 RESUMO

Resumimos aqui as fórmulas para os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal e para a curvatura. '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) '( ) ''( ) t t t t t t t t t t t t d u u r T T N B T N r T T r r T

Cap13 Sec3 2x4

Funções Vetorias

13.3

Comprimento de Arco e

Curvatura

>

@ >

@

'( )

'( )

L

f t

g t

dt

dx

dy

dt

dt

dt



§

· §



·

¨

¸ ¨

¸

©

¹ ©

¹

³

³

>

@ >

@ >

@

³

³

'( )

L

³

r

t dt

>

@ >

@

>

@ >

@ >

@

S

³

³

³

³

'( )

ds

t

dt

r

³

³

/ 2

t

s

'( )

( )

'( )

t

t

t

r

T

r

d

ds

N

T

N

'( )

_¨

_¸