Nota de Aula 1 – Introdu¸c˜
ao
Microeconomia Financeira
Mestrado Profissional em Economia – Universidade de Bras´ılia
Prof. Jos´
e Guilherme de Lara Resende
1
Pref´
acio
O objetivo dessas notas de aula ´e fornecer um material conciso para o curso de Microeconomia Financeira, mat´eria obrigat´oria do Mestrado Profissional em Economia, ´area de concentra¸c˜ao de Finan¸cas, ofertada pelo Departamento de Economia da Universidade de Bras´ılia.
Elas se baseiam em diversas fontes (em algumas partes, as notas seguem o livro Moderna Teoria de Carteiras e An´alise de Investimentos, de Elton, Gruber, Brown e Goetzman, de maneira pr´oxima), a maioria contida na bibliografia da ementa do curso, e n˜ao devem ser divulgadas sem a autoriza¸c˜ao do autor.
Evidentemente, erros e imprecis˜oes s˜ao de minha responsabilidade. Sugest˜oes e corre¸c˜oes po-dem ser enviadas para jglresende@gmail.com e ser˜ao sempre bem-vindas.
2
Microeconomia
2.1
Introdu¸
c˜
ao
A microeconomia estuda as decis˜oes dos agentes econˆomicos. Ela provˆe justificativas para uma s´erie de problemas econˆomicos. Algumas quest˜oes que a Microeconomia trata:
• Efeito de um aumento de um imposto de importa¸c˜ao, • Efeito de uma abertura comercial,
• Escolhas ´otimas de investimento, etc.
Os principais tipos de agentes que a microeconomia estuda s˜ao:
• Consumidores: manifestam suas a¸c˜oes na economia por interm´edio de suas demandas, oferta de trabalho e decis˜oes de empreender e investir. Os consumidores buscam o m´aximo de satisfa¸c˜ao a partir de sua riqueza e dos pre¸cos dos bens e servi¸cos dispon´ıveis para consumo.
• Firmas: manifestam suas a¸c˜oes na economia por interm´edio de sua demanda por insumos ou fatores de produ¸c˜ao e por sua oferta de bens e servi¸cos produzidos. Al´em disso tomam decis˜oes de investimento. As firmas procuram maximizar o lucro (ou qualquer outro objetivo) a partir da tecnologia de que disp˜oem para produzir o bem ofertado e dos pre¸cos dos insumos que comp˜oem o bem ofertado.
• Governos: possuem a capacidade de taxar consumidores e firmas. Fornecem bens p´ublicos, podem auxiliar na resolu¸c˜ao de outras falhas de mercado. Tamb´em possuem o objetivo de redistribuir renda. Seu objetivo pode ser modelado como maximizar o bem-estar de
2.2
Alguns Conceitos
A an´alise positiva descreve o comportamento dos agentes e os resultados da intera¸c˜ao entre os comportamentos dos agentes. J´a a an´alise normativa estuda como os resultados deveriam ser e o que fazer para obtˆe-los.
Por exemplo, um modelo de economia positiva constata que existe monop´olio em algum setor da economia. A economia normativa estuda como este monop´olio atinge a sociedade e o que pode ser feito para corrigir eventuais efeitos negativos que o monop´olio possa causar.´ı-lo. Princ´ıpios B´asicos da Economia Neocl´assica:
1. Comportamento maximizador (sujeito a restri¸c˜oes), 2. Equil´ıbrio.
Esses dois princ´ıpios usam a ideia de racionalidade: as a¸c˜oes dos agentes econˆomicos s˜ao coerentes com a busca de seu prop´osito (mesmo que essa busca resulte em um comportamento prejudicial ao pr´oprio agente, como fumar, ou a sociedade).
Em uma economia de mercado temos que: • Sistema de pre¸cos opera livremente;
• Aloca¸c˜ao eficiente dos recursos de uma sociedade; • Economia de informa¸c˜ao;
• Descentraliza¸c˜ao das decis˜oes;
• Bens s˜ao produzidos pelos produtores mais eficientes e consumidos pelos consumidores que atribuem o maior valor ao bem.
Falhas de Mercado s˜ao situa¸c˜oes que justificam interven¸c˜ao estatal (desde que bem feita), pois impedem que o mercado seja eficiente (no sentido de Pareto). Algumas falhas de mercado:
• Poder de mercado; • Externalidades; • Bens P´ublicos.
• Informa¸c˜ao Imperfeita;
Se alguma dessas falhas de mercado estiver presente, n˜ao podemos afirmar que a aloca¸c˜ao de recursos e bens alcan¸cada por essa sociedade satisfaz o crit´erio de eficiˆencia de Pareto. O crit´erio de eficiˆencia de Pareto ´e satisfeito quando para uma determinada situa¸c˜ao social n˜ao existir mais como melhorar a situa¸c˜ao de algum agente sem piorar a de outro agente. Esse crit´erio n˜ao diz nada sobre desigualdade. Ele ´e apenas um crit´erio m´ınimo de eficiˆencia, que exclui desperd´ıcios na sociedade.
Modelos econˆomicos s˜ao simplifica¸c˜oes da realidade que ajudam a entender um problema com-plexo. Uma boa analogia para um modelo econˆomico ´e um mapa rodovi´ario, que n˜ao ilustra perfeitamente um determinado local, mas serve ao prop´osito de guiar por um determinado local. A navalha de Occan ´e um princ´ıpio para a escolha entre modelos: se temos dois modelos que explicam o mesmo fenˆomeno, escolhemos o modelo mais simples.
Algumas ideias s˜ao primordiais no racioc´ınio econˆomico, e por isso muitas vezes s˜ao chamados postulados da teoria econˆomica. Esses postulados podem ser colocados da seguinte forma:
• Escassez e Custo de Oportunidade – recursos da sociedade s˜ao limitados;
– Sem escassez n˜ao existe problema econˆomico;
– Custo de oportunidade: custo de algum bem ou servi¸co ´e o valor da melhor alter-nativa de uso dos recursos utilizados para se adquirir esse bem.
• Escolha (tradeoffs)
– Escassez imp˜oe a necessidade de escolher entre alternativas poss´ıveis;
– Tradeoff : situa¸c˜ao em que para se obter alguma coisa deve-se sacrificar outra; ∗ tradeoff entre “canh˜oes e manteiga”;
∗ tradeoff entre equidade e eficiˆencia. • Comportamento Individual Maximizador • Substitui¸c˜ao
– Agentes est˜ao dispostos a fazer as escolhas que a escassez de recursos exige;
– Entre quaisquer dois bens A e B que desejamos, estamos dispostos a abrir m˜ao de um pouco de A para receber um pouco de B;
– Essa substitui¸c˜ao normalmente envolve pequenos incrementos dos bens (incrementos marginais). Por exemplo, uma firma decide produzir at´e o ponto em que o acr´escimo de receita pela venda do ´ultimo bem produzido (benef´ıcio para a firma) for igual ao custo marginal de produzi-lo (perda para a firma).
Os postulados acima possuem as seguintes implica¸c˜oes:
• Agentes econˆomicos tomam decis˜oes dependendo dos custos e benef´ıcios destas decis˜oes. Se houver altera¸c˜ao nestes custos e benef´ıcios, as decis˜oes podem se modificar.
• Incentivos na economia podem induzir as pessoas ou firmas a tomarem certas decis˜oes (agentes econˆomicos respondem a incentivos: importˆancia fundamental em economia). • Desenho de pol´ıticas p´ublicas deve levar em conta que as pessoas podem alterar seu
comportamento devido a uma nova lei, e essa mudan¸ca pode ter efeitos n˜ao desej´aveis (exemplo: Lei Seca nos Estados Unidos).
3
Introdu¸
c˜
ao `
as Finan¸
cas
Nesta nota de aula introdut´oria iremos analisar alguns conceitos de finan¸cas e discutir conceitos e postulados da microeconomia. A leitura recomendada para a parte de finan¸cas ´e Elton, Gruber, Brown, and Goetzmann (2003), parte I, cap´ıtulos 1 a 3; Bodie, Kane, and Marcus (2013), parte I, cap´ıtulos 1 a 4. J´a para a parte de microeconomia, Varian (2006) (cap. 1) e Nicholson and Snyder (2008) (cap. 1).
3.1
No¸
c˜
oes Iniciais
A escolha ´otima de uma carteira de investimento (portf´olio) consiste em uma escolha individual, que envolve decidir entre consumo hoje versus investir para aumentar o consumo futuro, onde esta ´ultima implica na escolha de investimento em ativos financeiros. A an´alise microeconˆomica t´ıpica para problemas de escolha ´otima de portf´olio envolve:
• caracterizar as alternativas dispon´ıveis para escolha; • caracterizar a preferˆencia/utilidade do consumidor. O pre¸co de um ativo com risco possui dois componentes:
• prˆemio pela espera (R$ 1 hoje vale mais do que R$ 1 amanh˜a) • prˆemio pelo risco (retorno ´e incerto)
Nos ´ultimos 50 anos nos EUA, o retorno real das a¸c˜oes americanas foi de 5,8% a.a, se medido pelo ´ındice DJIA, ou de 6,2%, se medido pelo ´ındice S&P500. Considerando um retorno esperado de 6% a.a. para os EUA, temos que
6% : 1% pela espera;
5% pelo risco (ou outras coisas)
Isso leva a quest˜ao do Risk Premium Puzzle (Mehra & Prescott, 1985): o retorno de a¸c˜oes nos EUA ´e muito maior do que o de t´ıtulos de renda fixa do tesouro americano, no sentido de que o grau de avers˜ao ao risco necess´ario para justificar a compra de t´ıtulos de renda fixa deve ser muito alto, com valores incompat´ıveis com outras ´areas de economia.
O Risk Premium Puzzle reflete o cl´assico conflito em economia entre economia descritiva e economia normativa:
• Descritiva → modelos ruins?
• Normativa → ativos precificados erroneamente? (oportunidades de arbitragem?)
A equa¸c˜ao fundamental que define o pre¸co de um ativo ´e:
PREC¸ O = PAYOFF ESPERADO DESCONTADO
| {z }
pela espera e pelo risco
1. Precifica¸c˜ao absoluta: os ativos s˜ao precificados usando sua exposi¸c˜ao a fontes fundamen-tais do risco econˆomico.
Exemplo: CAPM.
2. Precifica¸c˜ao parcial ou relativa: precifica o valor de um ativo usando o pre¸co de outros ativos. Precifica¸c˜ao por arbitragem.
Exemplo: F´ormula de Back-Scholes.
O que determina o risco agregado (macroeconˆomico)? Este risco determina o pre¸co dos ativos financeiros. Pode ser que estes ativos devam receber prˆemios por “distress”, risco, etc.
A riqueza de uma economia depende dos ativos reais que ela possui (e.g. terras, m´aquinas) que, dada a tecnologia existente e o capital humano dispon´ıvel, geram bens para consumo e investimento.
Podemos classificar os ativos em dois tipos: • Ativos Reais: Produzem bens e servi¸cos.
• Ativos Financeiros: Definem a aloca¸c˜ao da riqueza entre as pessoas e um modo das pessoas terem uma participa¸c˜ao em ativos reais de uma economia.
Caracter´ısticas dos ativos Financeiros:
• “Somam zero” (sobra apenas a soma dos ativos reais como a riqueza l´ıquida de uma economia);
• N˜ao representam a riqueza diretamente;
• S˜ao criados e destru´ıdos ao longo do processo de neg´ocios;
• S˜ao cr´editos `a renda gerada por ativos reais ou `a renda do governo;
• Exemplos: a¸c˜oes, pap´eis do tesouro, Letra do Tesouro Nacional (LTN), certificado de dep´osito banc´ario (CDB), etc.
Carteira de ativos:
• Reais (carro, casa, etc);
• Financeiros (poupan¸ca, CDB, etc).
Queremos estudar a escolha individual de carteiras ´otimas de ativos financeiros. O termo “ativo com risco” significa que o investidor n˜ao conhece o valor do ativo no futuro. Por exemplo, n˜ao temos como saber com certeza se o pre¸co da a¸c˜ao da Petrobr´as ir´a subir ou cair.
Investimentos podem ser:
• Diretos (feitos pelo pr´oprio investidor); • Indiretos (fundos de investimento).
Investimentos indiretos podem ser feitos com a compra de cotas de participa¸c˜ao em fundos de investimento, que, por sua vez, podem ser de dois tipos:
• Fundos abertos: comprados e vendidos diretamente pelos pr´oprios fundos;
• Fundos fechados: n´umero fixo de cotas que s˜ao negociadas em bolsa e podem apresentar ´
agio ou des´agio com rela¸c˜ao `a carteira mantida.
O ´agio ou des´agio de um fundo de investimento fechado ´e associado a quest˜oes tribut´arias e, principalmente, `a qualidade ou `a percep¸c˜ao da qualidade da administra¸c˜ao do fundo.
Defini¸c˜ao: T´ıtulo. Um t´ıtulo ´e um contrato que representa o direito de receber benef´ıcios futuros sob um conjunto determinado de condi¸c˜oes.
Existem diversos tipos de t´ıtulos financeiros. Alguns exemplos s˜ao a¸c˜oes, t´ıtulos de renda fixa (pagam um valor fixo no futuro), derivativos, etc.
Defini¸c˜ao: T´ıtulos de Renda Fixa: s˜ao t´ıtulos que pagam, em per´ıodos definidos, conheci-dos de antem˜ao, um valor, que pode ser determinado no momento da compra do t´ıtulo ou no seu resgate.
Um t´ıtulo de renda fixa pode ser visto como um empr´estimo do comprador do t´ıtulo ao seu emissor (pessoa privada ou p´ublica). Os juros cobrados s˜ao a remunera¸c˜ao do empr´estimo feito. Os t´ıtulos de renda fixa podem ser:
• Pr´e-Fixados: remunera¸c˜ao ´e determinada no momento da aplica¸c˜ao. Exemplo: CDB pr´e-fixado de 60 dias, com rendimento de 6%.
• P´os-Fixados: remunera¸c˜ao depende de algum ´ındice cujo valor exato ´e conhecido apenas no resgate. Exemplo: t´ıtulos com rendimento atrelado ao IPCA.
Os mercados financeiros podem ser divididos em:
• Mercado Monet´ario: ativos equivalentes a dinheiro, liquidez alta, risco baixo; • Mercado de Capitais: longo prazo (usualmente mais de um ano), maior risco;
permite a separa¸c˜ao de administra¸c˜ao e propriedade de um neg´ocio. – Renda Fixa: pagamentos pr´e-determinados;
– Renda Vari´avel : pagamentos variam.
Uma firma pode se financiar de diversas formas. Dois modos principais s˜ao pela emiss˜ao de a¸c˜oes ou pela emiss˜ao de d´ıvida.
Algumas diferen¸cas entre a¸c˜ao ordin´aria vs. a¸c˜ao preferencial: A¸c˜ao ordin´aria:
• Representa um direito de propriedade de uma firma;
• Responsabilidade limitada (pode perder no m´aximo o papel); • “Reclamante residual”;
• Recebe dividendos, dependendo do que escolhe a dire¸c˜ao da firma; • Direito a voto.
A¸c˜ao preferencial:
• N˜ao representa direito de propriedade; • Sem direito a voto;
• Paga dividendos fixos, pr´e-especificados;
• N˜ao pagamento dos dividendos n˜ao decreta falˆencia da firma (acumulam e podem ser pagos mais `a frente).
• Sem prazo para matura¸c˜ao (n˜ao h´a pagamento de principal/t´ıtulo de dura¸c˜ao infinita); Uma outra forma de uma empresa se financiar ´e emitir debˆentures, que consiste na emiss˜ao direta de d´ıvida. Debˆentures s˜ao direitos de cr´edito contra a firma, a emissora desse t´ıtulo, que possui prazo de validade e o seu n˜ao pagamento pode decretar falˆencia da firma.
Defini¸c˜ao: Derivativos. Um derivativo ´e um instrumento financeiro cujo valor depende do valor de um t´ıtulo ou de uma carteira de ativos financeiros. Logo, o derivativo ´e um “direito contingente”.
Exemplos de derivativos:
• Contrato futuro: obriga¸c˜ao de comprar um ativo ou carteira financeira em uma data futura, com pre¸co pr´e-especificado.
• Op¸c˜oes (de compra): direito de comprar um ativo ou carteira financeira em uma data futura, com pre¸co pr´e-especificado.
3.2
Mercados Financeiros
Mercados financeiros tratam, ao longo do tempo, de fluxos (ou cursos ou movimentos) mo-net´arios. Entender os princ´ıpios econˆomicos dos mercados financeiros ´e importante para a tomada de decis˜oes nas ´areas de investimento e financiamento.
Indiv´ıduos podem utilizar os mercados financeiros para ajustes de seus fluxos de consumo e as institui¸c˜oes, para ajustar seus fluxos de investimento. Ambos podem usar os mercados financeiros em decis˜oes de investimentos.
Defini¸c˜ao: Intermedi´arios Financeiros: s˜ao institui¸c˜oes como bancos e corretoras que tornam mais f´acil empr´estimos e aplica¸c˜oes de recursos, entre outras fun¸c˜oes.
Dizemos que o “mercado est´a em equil´ıbrio” se a quantia total que os poupadores querem emprestar for igual `a quantia que os tomadores de empr´estimos querem tomar. Ajuste via taxa de juros, onde as for¸cas de mercado conduzem uma situa¸c˜ao de desequil´ıbrio para o equil´ıbrio.
Forma usual de investir:
Investidor −→ Corretora → Ordem de investimento
,→ Tipo: (compra ou venda); ,→ Data, Nome, etc.;
,→ Tamanho: (usualmente padronizado). Defini¸c˜ao: Vendas a descoberto: consiste na venda de t´ıtulos que o investidor n˜ao possui (venda “pegando emprestado”). Normalmente o investidor faz uso de t´ıtulos custodiados na corretora.
Investimentos com dinheiro emprestado ou compras com alavancagem exigem o fornecimento de margens. A argem inicial ´e a que ´e inicialmente depositada na corretora, definida pelas regras do mercado e pelo montante investido. Com o passar do tempo e a mudan¸ca dos valores dos ativos, margens para manuten¸c˜ao do investimento podem ser exigidas pela corretora. A utiliza¸c˜ao de margens amplia a possibilidade de ganhos ou perdas.
Mercados podem ser classificados em dois tipos:
• Prim´arios: Onde s˜ao vendidos os t´ıtulos pela primeira vez. Exemplo: Tesouro Nacional.
• Secund´arios: T´ıtulos s˜ao revendidos. Exemplo: B3.
Mercados de a¸c˜oes (chamados bolsas de valores) importantes: • New York Stock Exchange (NYSE)
• B3, antiga Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros de S˜ao Paulo (BM&FBovespa S.A.) • National Association of Securities Dealers Automated Quotations (NASDAQ)
• London Stock Exchange (LSE) • Chicago Board of Trade (CBOT)
O risco de um ativo pode estar associado a diferentes motivos: • risco de mercado;
• prazo;
• risco de cr´edito/default; • liquidez;
• etc.
O risco de um ativo ´e associado `a varia¸c˜ao/volatilidade (VOL) no seu pre¸co ou retorno, e ´e medida usualmente pelo desvio-padr˜ao.
Quest˜ao: Como modelar risco? Para isso, vamos revisar brevemente alguns conceitos de probabilidade na segunda nota de aula.
3.3
Fluxos de Caixa
Vamos usar um exemplo simples para mostrar como representar fluxos de caixa no tempo. Paulo e Roberta s˜ao casados e tˆem uma renda anual de R$ 200.000,00. Roberta quer poupar para comprar um apartamento. Paulo quer comprar m´oveis agora.
Roberta pode abdicar de parte de sua renda desse ano se Paulo se comprometer a dar a ela parte da renda futura do casal. Assim, Roberta emprestaria R$ 100.000,00 a Paulo e Paulo se comprometeria a contribuir com R$ 120.000,00 no ano seguinte. Abaixo ilustramos o fluxo de caixa desse exemplo.
Observe que Roberta empresta e aceita o compromisso de Paulo de receber seu dinheiro de volta no ano seguinte, com um acr´escimo de R$ 20.000,00, ou seja, mais 20% do montante emprestado. Na linguagem financeira, os 20% s˜ao os juros do empr´estimo que Roberta fez a Paulo. Concluindo, o casal, al´em de realizar um neg´ocio, criou um instrumento financeiro: o contrato com o compromisso de Paulo pagar R$ 120.000,00 a Roberta no ano seguinte.
Fluxo de Caixa – Paulo
Tempo 6 Entrada: Ano Atual R$ 100.000,00 ? Sa´ıda: Ano Seguinte −R$ 120.000,00
Fluxo de Caixa – Roberta
Tempo ? Entrada: Ano Atual −R$ 100.000,00 6 Sa´ıda: Ano Seguinte R$ 120.000,00
Uma nota¸c˜ao ´util para representar o fluxo de caixa de, por exemplo, Roberta, ´e: (−R$ 100.000,00 ; R$ 120.000,00)
O sinal negativo anterior aos R$ 100.000,00 indica uma despesa (ou sa´ıda). O “ponto e v´ırgula” entre os n´umeros denotam que os valores s˜ao pagos ou recebidos em per´ıodos diferentes. Em geral, um contrato do tipo acima possui dois problemas:
1. Paulo n˜ao conseguir quitar seu compromisso no ano seguinte, conforme estipulado no contrato (risco de cr´edito ou risco de inadimplˆencia ou risco de default).
2. Para negociar, Paulo e Roberta devem ter o conhecimento de que podem fazer transa¸c˜oes mutuamente favor´aveis.
Para minimizar a primeira dificuldade e facilitar a segunda, existem as institui¸c˜oes financeiras citadas acima, que procuram garantir o cumprimento de contratos e facilitar o v´ınculo entre
3.4
A Regra do Valor Presente L´ıquido
O valor presente l´ıquido (VPL) utiliza o mercado financeiro para converter valores a serem recebidos no futuro a pre¸cos correntes. A f´ormula do VPL fornece a importante informa¸c˜ao do valor do dinheiro no tempo. ´E um m´etodo muito usado em an´alise de projetos.
Exemplo: Suponha um investimento que matura em um per´ıodo. Sejam: • C0: o gasto inicial com o investimento;
• C1: o total a ser recebido daqui a um ano. O VPL do investimento ´e dado pela f´ormula:
VPL = C0+ C1
1 + r, (1)
onde r ´e a taxa de juros ao ano de mercado. Suponha que C0 = −10.000, C1 = 13.000 e r = 10% a.a. O fluxo de caixa desse investimento ´e ilustrado abaixo.
? Ano Atual −R$ 10.000,00 6 Ano Seguinte R$ 13.000,00
Observe que o fluxo de caixa do ano seguinte, C1 na equa¸c˜ao (1), ´e dividido por 1 + r. Essa penalidade sobre o dinheiro a ser recebido em um ano significa que R$ 1,00 sem risco hoje vale mais do que R$ 1,00 sem risco no futuro:
R$ 1
1 + r = R$ 1
1,1 = R$ 0,91
A express˜ao 1/1 + r ´e chamada fator de desconto intertemporal. Ao multiplicar C1 pelo fator de desconto de um per´ıodo, ´e calculado o valor de C1 um per´ıodo antes, no caso, hoje. Similarmente, se C0 for multiplicado por 1 + r, ser´a calculado o seu valor futuro um per´ıodo `a frente. Nessa situa¸c˜ao, 1 + r ´e denominado fator de capitaliza¸c˜ao ou fator de composi¸c˜ao. Podemos ent˜ao encontrar o VPL desse investimento usando a equa¸c˜ao (1):
VPL = C0+ C1
1 + r = −R$10.000,00 +
R$ 13.000,00
1,1 = R$ 1.818,18
Ao avaliar um investimento, n˜ao ´e preciso a princ´ıpio preocupar-se em verificar se o investidor tem dinheiro suficiente para realiz´a-lo, pois se o VPL for positivo, ele deve fazer o investimento. Se ele tomar emprestado, no mercado financeiro, o valor inicial C0, o investimento dar´a um retorno de C1, que ser´a suficiente para pagar o empr´estimo (C0× (1 + r)) e ainda haver´a sobra de dinheiro para o investidor: o valor futuro l´ıquido (VFL). ´E f´acil observar que o VPL ´e positivo se, e somente se, o valor futuro l´ıquido (VFL) ´e positivo.
Normalmente um projeto de investimento inclui fluxo de caixa que incide em trˆes classes: 1. investimento inicial (fluxo negativo),
2. fluxos de caixa positivos no decurso da existˆencia do projeto, 3. fluxo de caixa final.
Esta ´e a ocorrˆencia mais habitual, mas n˜ao ´e dif´ıcil encontrar projetos e instrumentos financeiros que apresentem fluxos positivos e negativos em per´ıodos diversos no futuro.
Vamos agora descrever a regra geral do Valor Presente L´ıquido. Seja r a taxa de juros para os dois primeiros anos. O valor presente de R$ 1,00 para daqui a dois anos ser´a:
1 1 + r × 1 1 + r = 1 (1 + r)(1 + r) = 1 (1 + r)2
J´a o VP de R$ 1,00 recebido daqui a trˆes anos, caso a taxa de juros n˜ao se altere, ser´a: 1 1 + r × 1 1 + r × 1 1 + r = 1 (1 + r)(1 + r)(1 + r) = 1 (1 + r)3 Se seguirmos esse racioc´ınio, obtemos que o pre¸co de R$ 1,00 t anos `a frente ´e:
1 (1 + r)t
Represente por (C0; C1; C2; . . . ; Ct; . . . ; CT −1; CT) o fluxo de caixa total de um investimento qualquer, em que Ci, i = 0, . . . , T , pode ser positivo ou negativo. Vamos supor que a taxa de juros ´e r, constante e igual em todo per´ıodo. O VPL de todo o projeto ´e a soma do valor presente de cada um dos fluxos de caixa individuais:
VPL = C0+ C1 1 + r + C2 (1 + r)2 + · · · + CT (1 + r)T = T X t=0 Ct (1 + r)t
A f´ormula acima pode ser facilmente estendida para o caso de taxas de juros diferentes em cada per´ıodo. Se ri denota a taxa de juros do per´ıodo i, i = 1, 2, . . . , T , ent˜ao a f´ormula do VPL ser´a: VPL = C0+ C1 1 + r1 + C2 (1 + r1)(1 + r2) + · · · + CT (1 + r1)(1 + r2) · · · (1 + rT) = T X t=0 Ct Qt i=1(1 + ri)
3.5
Capitaliza¸
c˜
ao em Per´ıodos Diferentes
At´e esse momento, assumimos que os per´ıodos de capitaliza¸c˜ao e de desconto acontecem anual-mente. Contudo, ´e comum, principalmente em economias com infla¸c˜ao alta, que os rendimentos sejam pagos em intervalos menores.
Exemplo: Seja uma taxa de juros de 20% a.a., com capitaliza¸c˜ao semestral. Nesse caso, R$ 100,00 investidos hoje, render˜ao R$ 100,00×1,10 = R$ 110,00 ap´os seis meses e, R$ 110,00× 1,10 = R$ 121,00 no fim do ano. Desse modo, 20% a.a. capitalizados semestralmente equivalem a 21% capitalizados anualmente.
Um investimento C0 por um ano, capitalizado anualmente, ter´a um valor futuro de: C1 = C0× (1 + r)
Caso a taxa de juros seja capitalizada semestralmente, o investidor obter´a: C1 = C0×
1 + r
2 2
J´a um investimento capitalizado m vezes no per´ıodo alcan¸car´a um valor futuro: CT = C0× 1 + r m m ,
onde a taxa r ´e denominada taxa nominal do per´ıodo. A taxa de juros efetiva do per´ıodo (rEF F) do per´ıodo ´e: rEF F = 1 + r m m − 1 .
Se C0 for investido a uma taxa de capitaliza¸c˜ao cont´ınua r, ent˜ao, no t´ermino de T per´ıodos, C0 aumentar´a em erT, onde e ≈ 2,718. Ou seja,
C1 = C0× er
A tabela a seguir exemplifica o retorno de um investimento de R$ 100,00, a uma taxa de 10% a.a., com diferentes per´ıodos de capitaliza¸c˜ao.
C0 Freq. de Cap. (m) C1 1 + mr m − 1 R$ 100, 00 Anual (m = 1) R$ 110, 00 10, 00% R$ 100, 00 Semestral (m = 2) R$ 110, 25 10, 25% R$ 100, 00 Trimestral (m = 4) R$ 110, 38 10, 381% R$ 100, 00 Di´aria (m = 365) R$ 110, 516 10, 516% R$ 100, 00 Cont´ınua (m = ∞) R$ 110, 517 10, 517% Exemplos:
1. Se a taxa de juros nominal for 8% a.a., com capitaliza¸c˜ao trimestral, ent˜ao a taxa de juros anual efetiva ser´a:
rEF F = 1 + r m m − 1 = 1 + 8% 4 4 − 1 = 8,24%
2. Se uma pessoa vai receber R$ 1.000,00 daqui a quatro anos e a taxa de juros for 8% a.a., composta continuamente, ent˜ao esse recebimento ter´a o valor hoje de:
R$ 1.000, 00 × 1 e0,08 4 = R$ 726,15
3.6
Payoffs e Retornos
Vamos denotar por xt+1um pagamento (payoff) qualquer feito no per´ıodo seguinte, t+1. Vamos assumir que xt+1 ´e uma vari´avel aleat´oria. O objetivo ´e valorar (em “economˆes”, precificar ) o payoff xt+1. A tabela abaixo ilustra exemplos de xt+1.
Pre¸co payoff xt+1 A¸c˜oes pt pt+1+ dt+1 Retorno 1 Rt+1 P D pt dt pt+1 dt+1 + 1 dt+1 dt Excesso de Retorno 0 Re t+1= Rat+1− Rbt+1 Bˆonus (bonds) pt 1
Taxa de juros sem risco 1 Rf
Op¸c˜ao C max {St+1− K, 0}
Vamos usar a seguinte nota¸c˜ao: Rt+1 denota o retorno bruto de um investiomento. J´a rt+1 denota o retorno l´ıquido. Logo:
Rt+1 = 1 + rt+1 ou rt+1= ln(Rt+1) Pre¸cos e retornos podem ser em termos reais ou nominais (em $). A terminologia usada ´e:
• O payoff bruto de um ativo em t + 1 ´e o seu valor em t + 1, mais todos os fluxos de caixa recebidos entre t e t + 1 por possuir o ativo;
• O payoff l´ıquido ´e o payoff bruto descontado do investimento inicial; • O retorno l´ıquido ´e o payoff l´ıquido dividido pelo investimento inicial; • O retorno bruto ´e o payoff bruto dividido pelo investimento inicial.
Para a¸c˜oes, o retorno l´ıquido de um per´ıodo ´e calculado por: rt+1 =
pt+1+ dt+1− pt pt
,
onde pt´e o pre¸co da a¸c˜ao hoje, pt+1´e o pre¸co da a¸c˜ao no per´ıodo seguinte, e dt+1s˜ao dividendos pagos entre t e t + 1.
Exemplo: Compra a¸c˜ao: pt= 10. Em t + 1, pt+1= 12 e dt+1 = 2. Logo: P B = 12 + 2 = 14 ; P L = 14 − 10 = 4 Rt+1 = 14 10 = 1,4 ; rt+1 = 14 − 10 10 = 40%
Exemplo: 0,5% ao mˆes (a.m.): 1 → 1,005 em um mˆes.
Se investe por dois meses: 1 → 1,005 → (1,005) × (1,005) = 1,010025. ,→ retorno acumulado = 1,0025%
| {z }
juros sobre juros (juros compostos) > 1%
Ao comparar ativos, devemos comparar em termos do mesmo per´ıodo: a.m., a.a., c.c. Aproxima¸c˜ao:
ln(1 + r) ∼= r
Exemplo: Suponha que r denota uma taxa de juros mensal (a.m.).
• A taxa anual (annual percentage rate) ´e definida como: rAP R = m × r, onde m = 12. • A taxa anual efetiva rEF F ´e:
rEF F = (1 + r)m− 1 = 1 + rAP R m m − 1 Observe que no limite temos:
lim
m→∞rEF F = e
rAP R − 1 ⇒ 1 + r
EF F = erAP R
Um problema com retornos se refere ao fato de eles n˜ao serem som´aveis ao longo do tempo. Exemplo: Suponha que r2002 = −20% e r2003 = 10%. Ent˜ao, se somarmos os dois retornos, obtemos r2002+ r2003 = −20% + 10% = −10%. Por´em:
(1 − 0, 20) (1 + 0, 10) − 1 = 0, 88 − 1 = −12% 6= −10%
Uma forma de resolver esse problema ´e usarmos retornos em ln: r0t= ln 1 + pt+ dt− pt−1 pt−1 = ln pt+ dt pt−1
Ou seja, rt0 ´e o logaritmo do retorno bruto do ativo. No exemplo anterior, observe que:
• Retorno em ln em 2002: ln (1 − 0,20) = −22,31%; • Retorno em ln em 2003: ln (1 + 0, !10) = 9,53%; • Soma: −22,31% + 9,53% = −12,78%;
• Retorno em ln acumulado de 2002 e 2003: ln (1 − 0,12) = −12,78%
Portanto, retornos em log podem ser somados sem problemas. Retornos em log s˜ao praxe na ind´ustria e usados por raz˜oes econom´etricas ao inv´es de pre¸cos (s˜ao estacion´arios) em trabalhos emp´ıricos.
Vimos que:
1 + rEF F = erAP R Ent˜ao:
ln (1 + rEF F) = rAP R
Os ativos “mais arriscados” (com maior variˆancia) pagam mais retorno m´edio? N˜ao necessari-amente. ´E preciso definir risco de maneira apropriada (por exemplo, o modelo CAPM deixar´a isso claro).
Suponha que exista um ativo sem risco com rendimento rf = 0,5% a.m. Pode ser o caso que exista um ativo com risco tal que o seu “valor esperado seja 0,5%? Sim, e em equil´ıbrio. Defini¸c˜ao: Retorno Esperado Requerido. ´E o retorno requerido pelo mercado para com-pensar os investidores pelo risco do ativo.
Retorno esperado requerido = Retorno sem risco + “prˆemio pelo risco”, onde:
• Retorno sem risco: Mede o valor do tempo: compensa o investidor por amarrar seu dinheiro por certo tempo.
• “Prˆemio pelo risco”: Indiv´ıduos s˜ao avessos ao risco, por isso exigem um prˆemio ao risco, uma compensa¸c˜ao pelo risco assumido.
Precisamos ent˜ao agora modelar risco. Para isso, faremos uma revis˜ao de conceitos de proba-bilidade. Em seguida, vamos revisar ferramentas microconˆomicas importantes na modelagem financeira. Veremos que a taxa de retorno de ativos com risco n˜ao s˜ao conhecidas de antem˜ao, mas iremos supor que conhecemos os valores que essa taxa de retorno pode assumir e a pro-babilidade de assumir esses valores. Nesse caso, dizemos que a taxa de retorno ´e uma vari´avel aleat´oria.
Referˆ
encias
Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. (2013). Investiments (10th edition). McGraw Hill-Artmed. Elton, E., Gruber, M., Brown, S., & Goetzmann, W. (2003). Moderna teoria de carteiras e
an´alise de investimentos. Editora Atlas.
Mehra, R., & Prescott, E. C. (1985). The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics, 15 , 145-161.
Nicholson, W., & Snyder, C. (2008). Microeconomic theory – basic principles and extensions (10th edition). South-Western Cengage Learning.
