Variedades Diferenciáveis - introdução breve

(1)

VARIEDADES

DIFERENCI ´

AVEIS

introdu¸

c˜

ao breve

V´ıtor Neves

Departamento de Matem´

atica

(2)

(3)

Pref´

acio

Variedades Diferenciáveis, introdu¸cão breve é uma expansão da matéria apre-sentada na parte Variedades da disciplina An´_{alise Superior I do Mestrado em} Matemática da Universidade de Aveiro, no primeiro semestre do ano escolar 1999/2000, portanto anterior ao acordo de Bolonha. O texto foi ampliado recente-mente por um cap´ıtulo sobre Equa¸cões Diferenciais Ordinárias e continuará a receber altera¸cões durante o ano lectivo.

Dispusémos de aproximadamente dezanove horas para apresentar ideias fundamentais sobre variedades diferenciáveis de dimensão finita. A larga maioria dos alunos era composta por docentes do Ensino Secundário inscritos na vertente de Ensino; a minoria estava inscrita em Geometria Combinatória; em qualquer dos casos o tema não seria continuado no segundo semestre.

Optámos por apresentar a teoria de forma menos abstracta, da´ı termos iniciado as li¸cões tratando o Cap´ıtulo 2 como prepara¸cão para o estudo de subvariedades dos espa¸cos euclidianos de dimens˜_{ao finita R}ne continuando, no Cap´ıtulo 3, com transver-salidade e estabilidade elementares.

No Cap´ıtulo 4 pretendemos dar uma ideia sumária de que uma variedade diferenciável pode não ser a priori um subespa¸co topol´_{ogico de algum espa¸co R}n_{; a referˆ}_{encia a}

m´etricas riemannianas permite terminar o curso com um exemplo simples de geometria hiperb´olica.

Pressupunha-se que os alunos dominavam a Análise Infinitesimal e a Topologia básicas dos espa¸cos euclidianos de dimensão finita. Verificámos, no entanto, que quase ninguém tinha alguma vez estudado uma demonstra¸cão quer do Teorema da Fun¸cão Inversa quer do da Fun¸cão Impl´ıcita, e decidimos inclu´ı-las nas li¸cões; desde o in´ıcio que contávamos introduzir os teoremas da Submersão e da Imersão, pelo que uma revisão dos grandes teoremas nem nos parece despropositada. A inclusão de várias versões do Teorema de Taylor permite firmar linguagem, não apenas com vista ao Lema de Morse, mas também para um eventual tratamento futuro de diferencia¸cão em espa¸cos de Banach em Análise Superior II (aliás, a formula¸cão dos teoremas do segundo cap´ıtulo tem este esp´ırito).

No primeiro cap´ıtulo agrupamos, sem nos preocuparmos com demonstra¸cões, resul-tados sobre Topologia que devem constar do conjunto de conhecimentos de qualquer aluno de um mestrado em matemática – anterior ao acordo de Bolonha – mas poderão estar um tanto ou quanto esquecidos; esperamos que o leitor recorra ao Cap´ıtulo 1

(4)

pacidade e ao Lema de Urysohn, o presente texto pode ser lido sem conhecimentos espec´ıficos da Topologia Geral.

Agradecemos aos estudantes Elisa Fernandes e Nelson Ferreira terem-nos fornecido os seus apontamentos das aulas, permitindo-nos assim aperfei¸coar notas escritas com alguma pressa.

Registamos ainda os nossos agradecimentos a Andrey Sarychev e Nat´alia Martins pela revis˜ao que fizeram.

Aveiro, Julho de 2011 V´ıtor Neves

(5)

´

_Indice

1 Elementos de Topologia 101

1.1 Topologia Geral . . . 101

1.2 Espa¸cos m´etricos . . . 105

1.2.1 Teorema do Ponto Fixo . . . 106

1.2.2 Lema de Lebesgue . . . 107

1.3 Parti¸c˜oes da unidade I . . . 107

1.3.1 Fun¸c˜oes de suporte compacto . . . 107

1.3.2 Paracompacidade . . . 108

2 Teorema da Fun¸cão Inversa 201 2.1 Fórmula de Taylor. Teorema da Média . . . 201

2.2 Teorema da Fun¸c˜ao Inversa . . . 204

2.3 Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita . . . 208

2.4 Teorema da Submers˜ao . . . 210

2.5 Teorema da Imers˜ao . . . 211

2.6 Lema de Morse . . . 213

3 Equa¸cões Diferenciais Ordinárias 301 3.1 Introdu¸cão . . . 301

3.2 Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . 302

3.3 Alguns Operadores Integrais . . . 305

3.4 Existˆencia e Unicidade de solu¸c˜oes . . . 306

(6)

4 Variedades Diferenci´aveis 401

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 401

4.1.1 Generalidades . . . 401

4.1.2 Topologia em variedades . . . 408

4.1.3 Fun¸c˜oes diferenci´aveis . . . 410

4.2 Fibrado tangente . . . 411

4.3 Fun¸c˜oes diferenci´aveis II . . . 414

4.4 Estruturas Riemannianas . . . 418

4.5 Parti¸c˜oes da unidade II . . . 420

4.5.1 Fun¸c˜oes de suporte compacto . . . 420

4.5.2 Paracompacidade . . . 422

4.5.3 Existˆencia . . . 423

4.6 O plano de Lobachevsky . . . 424

4.7 Sub-variedades . . . 426

5 Sub-variedades de Espa¸cos Euclidianos 501 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 501

5.2 Fun¸c˜oes diferenci´aveis . . . 505

5.2.1 Espa¸co Tangente . . . 506

5.3 Elementos de geod´esicas em superf´ıcies . . . 507

5.4 Transversalidade . . . 510

5.5 Estabilidade . . . 513

5.6 Exemplos . . . 518

(7)

Cap´ıtulo 1

Elementos de Topologia

1.1 Topologia Geral

Uma topologia no conjunto X ´e um conjunto τ de subconjuntos de X tal que 1. ∅, X ∈ τ ,

2. Se A, B ∈ τ , ent˜ao A ∩ B ∈ τ ,

3. Se para todos os i ∈ I, Ai ∈ τ , ent˜ao ∪i∈IAi ∈ τ .

Um espa¸co topológico é um par (X, τ ) em que X é um conjunto não vazio e τ é uma topologia em X; os elementos de uma topologia dizem-se conjuntos abertos do espa¸co topológico respectivo; se x ∈ X, uma vizinhan¸ca de x para a topologia τ é um subconjunto V ⊆ X que contém um conjunto aberto ao qual x pertence, i. e., tal que, para algum A ∈ τ, se tem x ∈ A ⊆ V . Um espa¸co topológico diz-se separado ou de Hausdorff se elementos distintos têm vizinhan¸cas disjuntas.

Uma base de topologia no conjunto X ´e um conjunto β de subconjuntos de X tal que 1. X = ∪B∈βB.

2. Para cada x ∈ X, se A, B ∈ β e x ∈ A ∩ B, ent˜ao existe C ∈ β tal que x ∈ C ⊆ A ∩ B.

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Entendendo o conjunto vazio como a união da fam´ılia vazia, vale o seguinte teorema Teorema 1.1.1 O conjunto das uniões arbitrárias dos elementos de uma base de topologia sobre X é uma topologia em X.

Se (X, τ ) é um espa¸co topológico e ∅ 6= Y ⊆ X, o par (Y, τ|Y) é o subespa¸co topológico

em que

τ|Y = {A ∩ Y | A ∈ τ };

τ|Y diz-se a topologia induzida.

Dados espa¸cos topol´ogicos (X, τ ) e (Y, τ0), uma fun¸c˜ao f : X → Y diz-se cont´ınua se f−1(B) ∈ τ sempre que B ∈ τ0.

Por outras palavras

Defini¸cão 1.1.1 Uma fun¸cão entre espa¸cos topológicos é cont´ınua se as imagens inversas de conjuntos abertos são conjuntos abertos.

Um homeomorfismo entre espa¸cos topológicos é uma aplica¸cão cont´ınua, bijectiva e com inversa cont´ınua; um homeomorfismo local é uma fun¸cão f : X → Y cont´ınua entre espa¸cos topológicos (X, τ ) e (Y, τ0) tal que, seja qual for o elemento x ∈ X, existe uma vizinhan¸ca V de x, de modo que f (V ) é vizinhan¸ca de f (x) e f : V → f (V ) é um homeomorfismo quando V e f (V ) são munidos das topologias respectivas de subespa¸co. Seja (X, τ ) um espa¸co topológico: (X, τ ) diz-se conexo, se não existe uma parti¸cão de X em dois subconjuntos abertos não vazios de τ ; um subconjunto de C ⊆ X diz-se conexo se o subespa¸co (C, τ|C) é conexo; uma componente conexa de (X, τ ) é

um subconjunto conexo de X, que não está propriamente contido em qualquer outro subconjunto conexo. Um espa¸co topológico diz-se localmente conexo se cada um dos seus pontos tem uma vizinhan¸ca conexa. E vale:

Teorema 1.1.2 Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico.

1. Se (X, τ ) é localmente conexo, então as componentes conexas de (X, τ ) são con-juntos abertos (veja-se também o teorema 1.1.4).

2. Se (Y, τ0) é um espa¸co topológico, uma fun¸cão cont´ınua f : X → Y transforma subconjuntos conexos de X em subconjuntos conexos de Y .

(9)

1.1. TOPOLOGIA GERAL 103 Uma fam´ılia A = {Ai| i ∈ I} de subconjuntos do conjunto X diz-se uma cobertura do

subconjunto C se C ⊆ ∪i∈IAi.

Se (X, τ ) é um espa¸co topológico e F ⊆ X, F diz-se fechado (para ou em τ ) se X\F é aberto.

Tem-se:

Teorema 1.1.3 Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. 1. X e ∅ s˜ao conjuntos fechados.

2. A união de um número finito de subconjuntos fechados de X é um subconjunto fechado de X.

3. A interseçcão dos elementos de uma fam´ılia de subconjuntos fechados de X é um subconjunto fechado.

4. Se (Y, τ0) é um espa¸co topológico, uma fun¸cão f : X → Y é cont´ınua se e apenas se f−1(B) é fechado em (X, τ ) sempre que B é fechado em (Y, τ0).

5. Se (X, τ ) é separado, então os subconjuntos compactos de X são fechados. A aderência ou fecho do conjunto C ⊆ X no espa¸co topológico (X, τ ), é o menor subconjunto fechado de X, para a rela¸cão de inclusão, que contém C e designa-se por

¯ C.

Pode caracterizar-se a aderência mais precisamente. Sejam então (X, τ ) um espa¸co topológico, A um subconjunto de X e x um elemento de X; x diz-se interior a A se este é vizinhan¸ca de x; x diz-se exterior a A se X\A é vizinhan¸ca de x, i. e., se x é interior a X\A; x diz-se fronteiro a A se não é interior nem exterior; o interior (resp. exterior, fronteira) de A é o conjunto de todos os pontos interiores (resp. exteriores, fronteiros) a A e designa-se por int(A) (resp. ext(A), fr(A)).

(10)

Teorema 1.1.4 Sejam (X, τ ) um espa¸co topológico e A um subconjunto de X. 1. X = int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A) e esta união é disjunta.

2. ¯A = A ∪ fr(A) = int(A) ∪ fr(A).

3. Sobre conjuntos conexos, vale o seguinte

(a) Se C é um subconjunto conexo de X e C ⊆ D ⊆ ¯C, então D é conexo. (b) As componentes conexas de um espa¸co topológico são conjuntos fechados. (c) As componentes conexas de um espa¸co topológico são abertas se e apenas

se o espa¸co ´e localmente conexo.

Um espa¸co topol´ogico (X, τ ) diz-se regular se para cada x ∈ X e cada conjunto A ∈ τ tal que x ∈ A, existe B ∈ τ tal que x ∈ B ⊂ B ⊆ A.

Teorema 1.1.5 Se (X, τ ) é um espa¸co topológico localmente separado e regular, então ´

e de Hausdorff.

Dem. Tomem-se dois elementos distintos x, y ∈ X. Se um deles está na vizinhan¸ca separada do outro – que existe por hipótese – existem (sub)vizinhan¸cas disjuntas de cada um deles. Se, por exemplo, y não está na vizinhan¸ca separada V de x, tome-se B ∈ τ tal que x ∈ b ⊆ B ⊆ V ; B e X\B são vizinhan¸cas disjuntas respectivamente

de x e de y. 2

Se (X, τ ) ´e um espa¸co topol´ogico e C ⊆ X, C diz-se compacto (para ou em τ ) quando, de qualquer cobertura de C constitu´ıda por conjuntos abertos, se pode extrair uma subcobertura finita.

Teorema 1.1.6 Seja X um espa¸co topol´ogico.

1. Se K é um subconjunto compacto de X, F ⊆ K e F é fechado, então F é compacto.

2. Se X é de Hausdorff, os sub-conjuntos compactos de X são fechados. Também para conjuntos compactos vale o seguinte

Teorema 1.1.7 Sejam X e Y espa¸cos topológicos e f : X → Y uma fun¸cão cont´ınua. 1. f (K) é compacto em Y se K é compacto em X.

2. Se X e Y são de Hausdorff, X é compacto, se considera f (X) como sub-espa¸co topológico de Y e f é injectiva, então f : X → f (X) é homeomorfismo.

(11)

1.2. ESPAC¸ OS M ´ETRICOS 105

1.2 Espa¸

cos m´

etricos

Esta seçcão tem como finalidade principal tratar uma versão do teorema do Ponto Fixo, de Banach e o Lema de Lebesgue (1.2.6). Quanto ao primeiro, utilizare-mos apenas uma formula¸c˜_{ao para espa¸cos euclidianos R}p _{de dimens˜}_{ao finita (1.2.3);}

enunciamo-lo para espa¸cos métricos completos, já que tal não implica um esfor¸co su-plementar significativo, para além da revisão de algumas defini¸cões (para estudo mais detalhado, pode utilizar-se, por exemplo, [14]; para um estudo dirigido ao teorema 1.2.5, consulte-se [4]). O Lema de Lebesgue encontra-se também demonstrado em [6]. Uma distância1 _{no conjunto n˜}_{ao vazio X ´}_{e uma fun¸c˜}_ao

d : X × X → R que goza das propriedades seguintes:

1. d(x, y) ≥ 0 (x, y ∈ X),

2. d(x, y) = 0 ⇔ x = y (x, y ∈ X), 3. d(x, y) = d(y, x) (x, y ∈ X),

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ∈ X).

Um espa¸co métrico é um par (X, d) em que X é um conjunto não vazio e d é uma distância em X.

A bola aberta de centro a ∈ X e raio r ∈ R+ _´_{e o conjunto definido por}

Br(a) = {x ∈ X| d(x, a) < r}

Podemos come¸car por observar que

Teorema 1.2.1 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. O conjunto {Br(a)| a ∈ X & r ∈ R+}

´e base para uma topologia τ em X, para a qual (X, τ ) ´e separado.

Uma sucess˜ao (xn)n∈N em X diz-se convergente no espa¸co m´etrico (X, d) quando, para

certo x ∈ X – designado por limite de xn ou, abreviadamente lim xn – se tem, para

qualquer n´umero real positivo ε, d(xn, x) < ε, para n suficientemente grande. E

conv´em acrescentar, na sequˆencia do teorema 1.2.1

(12)

Teorema 1.2.2 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico.

1. Se a sucessão (xn)n∈N é convergente, tem um só limite.

2. Um subconjunto C de X é fechado se e apenas se contém os limites de qualquer das suas sucessões convergentes, i. e., se xn ∈ C (n ∈ N) e x = lim xn, então

x ∈ C.

3. Um subconjunto C de X é compacto se e apenas se qualquer sucessão de termos em C tem uma subsucessão convergente para um elemento de C.

A sucessão (xn)n∈N em X dir-se-á de Cauchy se, para qualquer número real positivo

ε, d(xn, xm) < ε, para n e m suficientemente grandes. Um espa¸co m´etrico dir-se-´a

completo se toda a sua sucess˜ao de Cauchy convergir.

1.2.1 Teorema do Ponto Fixo

Uma contraçcão do espa¸co métrico (X, d) é uma aplica¸cão f : X → X tal que, para alguma constante k ∈ [0, 1[,

d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) (x, y ∈ X).

Um ponto fixo de uma aplica¸cão f : X → X é um elemento x ∈ X tal que f (x) = x. Teorema 1.2.3 (do Ponto Fixo) Toda a contraçcão de um espa¸co métrico completo tem um e só um ponto fixo.

Uma demonstra¸c˜ao pode encontrar-se em [14, 7.24]. Interessa-nos apenas fazer as seguintes observa¸c˜oes:

Os espa¸cos euclidianos usuais Rn _{(n ∈ N) s˜ao completos, portanto, quaisquer dos}

seus conjuntos fechados são completos quando munidos da restri¸cão da distância em Rn, em particular

Teorema 1.2.4 As bolas fechadas Br(a) = {x ∈ Rn| kx − ak ≤ r} (a ∈ Rn, r > 0)

munidas da restri¸cão da distância euclidiana usual, são espa¸cos métricos completos. E ainda mais precisamente, como consequência do teorema 1.2.3:

Teorema 1.2.5 Se a fun¸c˜ao f : Br(a) → Br(a) verifica

kf (x) − f (y)k ≤ kkx − yk (x, y ∈ Br(a))

para certa constante k ∈ [0, 1[, ent˜ao existe um e s´o um elemento x ∈ Br(a) tal que

(13)

1.3. PARTIC¸ ˜OES DA UNIDADE I 107

1.2.2 Lema de Lebesgue

O diâmetro do subconjunto A do espa¸co métrico X é designado por diâm(A) e definido por

diˆ_{am(A) = sup{d(x, y)| x, y ∈ A} ∈ R ∪ {+∞}.}

Teorema 1.2.6 (Lema de Lebesgue) Se (X, d) é um espa¸co métrico, K é um sub-conjunto compacto de X e A = {Ai| i ∈ I} é uma cobertura de K por conjuntos

abertos, ent˜_{ao existe λ ∈ R}+ _{tal que, se C ´}_{e um subconjunto de K de diˆ}_ametro

infe-rior a λ, existe i ∈ I tal que C ⊆ Ai.

Os n´umeros λ deste teorema dizem-se n´umeros de Lebesgue da cobertura A para o conjunto K.

Dem. (do lema 1.2.6) Suponha-se que, seja qual for λ > 0 existe um conjunto Cλ ⊆ K tal que diâm(C) < λ, mas C não está contido em qualquer dos Ai; em

particular, para cada n ∈ Z+, existem xn, yn ∈ C1/n que n˜ao est˜ao simultaneamente

em qualquer dos Ai. Como K ´e compacto, (xn) tem uma subsucess˜ao convergente para

um elemento de K, digamos xkn → x; como d(xn, yn) < 1

n, tamb´em ykn → x ∈ K;

mas, como A ´e uma cobertura de K por abertos, para certo i ∈ I, existe ε > 0 tal que Bε(x) ⊆ Ai; ora, para n suficientemente grande, xkn, ykn ∈ Bε(x), o que contradiz

a escolha de xn e yn; portanto existem n´umeros de Lebesgue da cobertura A para K.

2

1.3 Parti¸

c˜

oes da unidade I

1.3.1 Fun¸

c˜

oes de suporte compacto

Defini¸cão 1.3.1 Dado um espa¸co topológico (X, τ ) e uma fun¸c˜_{ao f : X → R, o} suporte de f é o conjunto supp(f ) definido por

(14)

Exemplo 1.3.1 Se (X, d) é um espa¸co métrico com pelo menos dois elementos dis-tintos a, b, e a fun¸cão f(a,b): R → R é dada por

f(a,b)(t) =                1 |t| ≤ d(a,b)₃ 2d(a,b)−3t d(a,b) d(a,b) 3 < |t| < 2d(a,b) 3 , 0 |t| ≥ 2d(a,b)₃ ,

fazendo r = d(a,b)₃ , a fun¸c˜ao real x 7→ η(a,b)(x) = f(a,b)(d(x, a)) (x ∈ X) ´e cont´ınua e

verifica η(a,b)(x)      = 1 x ∈ Br(a) ∈ [0, 1] x ∈ B2r(a)\Br(a) = 0 X\B2r(a);

em particular, η(a,b) vale 1 em Br(a) e η(a,b)(b) = 0.

Teorema 1.3.1 Em qualquer espa¸co euclidiano de dimens˜_{ao finita R}n podem definir-se fun¸c˜oes cont´ınuas de suporte compacto.

Dem. Basta observar que as bolas fechadas nestes espa¸cos s˜ao conjuntos compactos

e ter em conta o exemplo que acab´amos de estudar. 2

Mas pode exigir-se mais. Por exemplo, deduz-se do Lema de Urysohn (vide [14]), por exemplo, que

Teorema 1.3.2 Sejam quais forem os subconjuntos de Rn_{, respectivamente, fechado,}

F 6= ∅, e aberto, A, tais que F ⊆ A, existe uma fun¸c˜_{ao cont´ınua η : R}n → [0, 1] tal que η(F ) = {1} & supp(η) ⊆ A.

Quanto à diferenciabilidade veja-se a seçcão 4.5.

1.3.2 Paracompacidade

Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico, C um subconjunto de X e C = {Ci| i ∈ I}

cobertura de C; um refinamento de C é uma cobertura C∧ de C tal que qualquer elemento de C∧ está contido em algum elemento de C; C diz-se localmente finita se, para cada c ∈ C, existe uma vizinhan¸ca V de c, tal que {i ∈ I : Ci∩ V 6= ∅} é finito.

(15)

1.3. PARTIÇ ÕES DA UNIDADE I 109 Defini¸cão 1.3.2 Um espa¸co topológico (X, τ ) diz-se paracompacto se for separado e qualquer cobertura de X por abertos de τ tem um refinamento localmente finito, cujos elementos também são conjuntos abertos.

Defini¸cão 1.3.3 Seja (X, τ ) um espa¸co topológico. Uma parti¸cão da unidade em (X, τ ) subordinada à cobertura C = {Ci| i ∈ I} é uma fam´ılia de fun¸cões cont´ınuas

ηj : X → R (j ∈ J) tal que

1. {supp(ηj)| j ∈ J } ´e (uma cobertura) localmente finita (de X).

2. Para cada j ∈ J , existe i ∈ I, tal que supp(ηj) ⊆ Ci.

3. P

j∈Jηj(x) = 1 para qualquer x ∈ X.

A condi¸cão de finitude local da cobertura considerada nesta defini¸cão permite dar sentido à última condi¸cão; vejamos um exemplo simples, para o qual convém ter pre-sentes mais uma defini¸cão e alguns resultados cuja demonstra¸cão pode ser encontrada em [14].

Defini¸cão 1.3.4 Um espa¸co topológico (X, τ ) diz-se regular se os conjuntos singu-lares são fechados e se verifica a condi¸cão

∀x ∈ X ∀V ∈ τ [x ∈ V ⇒ ∃U ∈ τ x ∈ U ⊆ U ⊂ V ] Teorema 1.3.3 Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico.

1. Se (X, τ ) é regular, então é paracompacto sse para qualquer cobertura de X por conjuntos abertos existe uma outra cobertura por conjuntos abertos cujas aderências formam um refinamento localmente finito da primeira.

2. Todo o espa¸co m´etrico ´e regular e paracompacto.

Exemplo 1.3.2 Sejam C uma cobertura do espa¸co métrico (X, d) por conjuntos aber-tos, C∧ um refinamento localmente finito de C nas condi¸cões do número 1 do teorema anterior. Defina-se gV(x) = d(x, X\V ) (V ∈ C∧; x ∈ X) ηV(x) = gV(x) P U ∈C∧gU(x) (V ∈ C∧; x ∈ X).

O conjunto {ηV| V ∈ C∧} é uma parti¸cão da unidade em X, subordinada à

(16)

(17)

Cap´ıtulo 2

Teorema da Fun¸

c˜

ao Inversa

2.1 F´

ormula de Taylor. Teorema da M´

edia

No que se segue, o dom´ınio de uma fun¸cão diferenciável supõe-se aberto, por defini¸cão.

Se a fun¸c˜_{ao f : A ⊆ R}m _{→ R}n_´_{e uma fun¸c˜}_{ao diferenci´}_{avel no ponto x ∈ A, designamos}

por derivada de f em x a fun¸c˜ao linear Dfx : Rm → Rn tal que

lim

h→0

kf (x + h) − f (x) − Dfx(h)k

khk = 0.

A matriz de Dfx na base can´onica ´e a matriz Jacobiana de f em x,

h

∂fi ∂xj

i

n×m tamb´em

designada por J ac(f, x); a fun¸c˜ao x 7→ Dfx ser´a designada por derivada de f ou

derivada global de f . Repare-se que Dfx ´e um isomorfismo (resp. monomorfismo ou

epimorfismo) se e apenas se J ac(f, x) ´e quadrada e tem determinante n˜ao nulo (resp. tem caracter´ıstica m ≤ n ou n ≤ m).

Demonstra¸c˜oes dos teoremas que se seguem, podem encontrar-se em [4, Vol. 1] ou em [11].

Come¸camos com o teorema da Média para fun¸cões reais de uma variável real e uma sua generaliza¸cão.

Teorema 2.1.1 (de Lagrange) Se a fun¸c˜_{ao f : [a, b] ⊆ R → R é cont´ınua e é} diferenciável em ]a, b[, então existe c ∈]a, b[ tal que

f (b) − f (a) = f0(c)(b − a). (2.1)

(18)

Este teorema generaliza-se por:

Teorema 2.1.2 (de Taylor) Se f :]a − ε, a + ε[⊆ R → R ´e de classe Cp e |h| < ε, ent˜ao f (a + h) = f (a) + p X i=1 f(i)_(a) i! h i_{+ R} p(a, h), (2.2)

onde Rp(a, h) pode tomar as seguintes formas

Z 1 0 (1 − t)p−1 (p − 1)! [f (p) (a + th) − f(p)(a)]hpdt ou, se f(p+1) _{existe em ]a − ε, a + ε[ e ´}_{e integr´}_{avel entre a e a + h,}

R1 0 (1−t)p p! [f (p+1)_{(a + th)]h}p+1_dt, ou (1−θ)p p! f (p+1)_{(a + θh)h}p+1_{, para certo θ ∈] − 1, 1[,}

ou ainda, se f(p+1) _´_{e cont´ınua entre a e a + h,}

hp+1 (p + 1)!f

(p+1)_{(a + θh), para certo θ ∈] − 1, 1[,}

Este resultado é também um lema para a obten¸cão de uma fórmula de Taylor multi-dimensional. Para cada fun¸c˜_{ao f : A ⊆ R}m _{→ R, define-se a nota¸cão seguinte:}

x = (x1, · · · , xm) ∈ Rm α = (α1, · · · , αm) ∈ Nm0 |α| = m X j=1 αj ∂xα = ∂xα1 1 · · · ∂x αm m h = (h1, · · · , hm) ∈ Rm hα = hα1 1 · · · hαmm i α = i! α1! · · · αm! Difx(h) = m X j=1 ∂f ∂xj (x)hj !(i) = X |α|=i i α ∂i_f ∂xα(x)h α_.

(19)

2.1. F ÓRMULA DE TAYLOR. TEOREMA DA M ÉDIA 203 Teorema 2.1.3 (I Fórmula de Taylor) Se a fun¸cão f : Bε(a) ⊆ Rm → R é de

classe Cp e khk < ε, ent˜ao f (a + h) = f (a) + p X i=1 1 i!D i_f a(h) + Z 1 0 (1 − t)p−1 (p − 1)! [D p fa+th− Dpfa](h)dt

Em particular, designando por H(f, a) a matriz Hessiana de f em a, h_∂x∂2f

i∂xj(a)

i

m×m,

Teorema 2.1.4 Se a fun¸cão f : Bε(a) ⊆ Rm → R é de classe C2 e khk < ε, então

f (a + h) = f (a) + Dfa(h) + 1 2h T_{H(f, a)h} + Z 1 0 (1 − t)hT[H(f, a + th) − H(f, a)]hdt

Se f = (f1, · · · , fn) : A ⊆ Rm → Rn, h ∈ Rm e {e1, · · · , en} designa a base can´onica

de Rn, a nota¸c˜ao ´e, de novo, estendida do seguinte modo: h(i) _{= (h, h, · · · , h) ∈ (R}m)i Difx(h(i)) = n X j=1 Difj(x)(h)ej.

E vale a reformula¸c˜ao do teorema 2.1.3:

Teorema 2.1.5 (II Fórmula de Taylor) Se a fun¸cão f : Bε(a) ⊆ Rm → Rn é de

classe Cp e khk < ε, ent˜ao f (a + h) = f (a) + p X i=1 1 i!D i_f a(h(i)) + Z 1 0 (1 − t)p−1 (p − 1)! [D p_f (a+th)− Dpfa](h(p))dt

Uma generaliza¸cão mais imediata do teorema 2.1.1 é a seguinte, onde ˜J (f, θ) designa a matriz cuja i-ésima linha (1 ≤ i ≤ n) é

∂fi ∂x1 (a + θih) · · · ∂fi ∂xm (a + θih), para certos θi ∈]0, 1[.

(20)

Teorema 2.1.6 (da Média) Se A ´_{e um subconjunto aberto de R}m, f é diferenciável e o segmento de recta [a, a + h] ⊆ A, então, para certos θi ∈]0, 1[ (1 ≤ i ≤ n),

f (a + h) − f (a) = ˜J (f, θ)h

2.2 Teorema da Fun¸

c˜

ao Inversa

Teorema 2.2.1 Sejam A um subconjunto aberto n˜_{ao vazio de R}n_{, f : A → R}n _uma

fun¸c˜ao de classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞), a ∈ A e b = f (a). Se Dfa ´e um isomorfismo de

Rn, ent˜ao

1. Existem vizinhan¸cas abertas U de a e V de b tais que (a) f : U → V ´e bijectiva

(b) f−1 : V → U ´e de classe Cp

2. Para qualquer x ∈ U

Df_{f (x)}−1 = [Dfx] −1

Uma fun¸c˜_{ao f : A ⊆ R}n _{→ B ⊆ R}n diz-se um difeomorfismo de classe Cp se for bijectiva, de classe Cp_{, e a sua inversa f}−1 _{: B → A tamb´}_{em for de classe C}p_;

observe-se que, em particular, o contradom´ınio de um difeomorfismo é aberto por defini¸cão. Dem. (de 2.2.1) A segunda asser¸cão vale desde que as várias fun¸cões descritas estejam definidas, em virtude do Teorema da Fun¸cão Composta, aplicado à composi¸cão f−1◦ f .

Designe-se a fun¸c˜_{ao identidade de R}n por I.

I. Redu¸c˜ao. Basta demonstrar o teorema supondo

a = 0 = b & Df0 = I (2.3)

Prova: Defina-se

F (x) = [Dfa]−1[f (x + a) − b] (x ∈ A − a)

Tem-se que F ´e uma fun¸c˜ao de classe Cp_{, F (0) = 0 e DF}

0 = [Dfa]−1Dfa = I.

Observe-se que x 7→ x + a e y 7→ y − b são transla¸cões e portanto fun¸cões bijectivas de classe C∞, digamos Ta e T−b respectivamente, com inversas respectivamente T−a

(21)

2.2. TEOREMA DA FUNÇ ÃO INVERSA 205 e Tb. Se U1 e V1 são vizinhan¸cas de zero e F : U1 → V1 é bijeçcão de classe Cp,

ent˜ao U = U1 + a e V = V1 + b s˜ao vizinhan¸cas respectivamente de a e de b e

f : U → (Tb◦ Dfa◦ T−b)(V ) é a bijeçcão de classe Cp, dada por f = Tb◦ Dfa◦ F ◦ T−a

ou seja f (x) = Dfa(F (x − a)) + b (x ∈ U ).

Supomos daqui em diante que vale (2.3). II. Pontos fixos

Considerem-se as fun¸c˜oes g e gy _{definidas por}

g(x, y) = y + x − f (x) gy(x) = g(x, y) _{(x ∈ A, y ∈ R}n)

Para cada y ∈ Rn_{, a imagem inversa de y por f , x = f}−1_{(y) ´}_{e solu¸c˜}_{ao da equa¸c˜}_ao

em x

gy(x) = x

Interessa assim encontrar condi¸c˜oes em x e y de modo a que gy _{seja contrac¸c˜}_{ao de}

algum espa¸co m´etrico completo, para podermos aplicar o Teorema do Ponto Fixo 1.2.5.

Pelo Teorema da M´edia (2.1.6), fixando r > 0 tal que ¯Br(0) ⊆ A, se

M = n · máx{|∂gj ∂xi (x)| : 1 ≤ i, j ≤ n & x ∈ ¯Br(0)}, (2.4) M não depende de y e kgy_(x1_{) − g}y_(x2_{)k ≤ M kx}1_{− x}2_k _(x1_{, x}2 _{∈ ¯}_B r(0)), (2.5) pois g é de classe C1 _{e ¯}_B r(0) é um conjunto compacto. Como ∂gj_∂x

i(0) = 0 (1 ≤ i, j ≤ n), pois a matriz jacobiana de f em zero ´e a matriz

identidade (vide (2.3)), tomando r suficientemente pequeno, podemos supor que o segundo membro em (2.4) ´e menor que 1₂, em particular podemos supor

0 ≤ M ≤ 1

2 < 1. (2.6)

Por outro lado, se x ∈ ¯Br(0),

kgy(x)k ≤ kyk + kx − f (x)k = kyk + kx − f (x) − (0 − f (0))k = kyk + kgy(x) − gy(0)k ≤ kyk +1 2kxk (por(2.6) e (2.5)) ≤ kyk + r 2kxk.

(22)

Podemos concluir que

gy : ¯Br(0) → ¯Br(0) e gy e contractiva´ se y ∈ ¯Br₂(0)

A fun¸cão f : ¯Br(0) → ¯Br₂(0) é então bijectiva e

f−1 : ¯Br 2(0) → ¯Br(0) III. Continuidade A fun¸c˜ao f−1 : ¯Br 2(0) → ¯Br(0) ´e cont´ınua, pois kf−1(y1) − f−1(y2)k = kx1− x2k ≤ kf (x1_{) − f (x}2_{)k + k(x}1_{− f (x}1_{)) − (x}2_{− f (x}2_))k ≤ ky1_{− y}2_{k +}1 2kx 1 _{− x}2_k = ky1− y2_{k +}1 2kf −1 (y1) − f−1(y2)k

por (2.5) e (2.6); em virtude do que se obt´em

kf−1(y1) − f−1(y2)k ≤ 2ky1− y2k (ky1k, ky2k ≤ r

2). (2.7)

IV. Vizinhan¸cas abertas de zero

A continuidade de f garante que, seja qual for s ∈]0,r₂[, f−1(Bs(0)) ´e um subconjunto

aberto da bola fechada ¯Br(0). Vamos ver que, para algum desses s, a imagem inversa

correspondente ´_{e um aberto genuino de R}n, pois est´a contida em Br(0). Se isto n˜ao

acontecesse, existiriam sucess˜oes (ym) e (xm) tais que, para qualquer m ∈ N,

xm = f−1(ym) & kymk < sm → 0 & kxmk = r

o que contraria a continuidade de f−1 em zero, quando se observa que f−1(0) = 0. Podemos ent˜ao escolher um s apropriado e tomar U = f−1(Bs(0)) & V = Bs(0).

(23)

2.2. TEOREMA DA FUNÇ ÃO INVERSA 207 V. Diferenciabilidade da fun¸cão inversa.

Vamos verificar que

D(f−1)y = [Dff−1_(y)]−1 (y ∈ V )

Fa¸ca-se f (x) = y e, para k suficientemente pequeno, de modo que y + k ∈ V , e f (x + h) = y + k. Tem-se kf−1_{(y + k) − f}−1_{(y) − [Df} f−1_(y)]−1(k)k kkk = kx + h − x − [Dfx]−1(k)k kkk .

O segundo membro pode escrever-se khk kkk [Dfx]−1 Df_x(h) − (f (x + h) − f (x)) khk e, para algum N > 0, kf−1_{(y + k) − f}−1_{(y) − [Df} f−1_(y)]−1(k)k kkk ≤ 2N k(f (x + h) − f (x)) − Dfx(h)k khk

Como da continuidade de f−1 se obt´em limk→0h = 0, segue-se a diferenciabilidade de

f−1 da diferenciabilidade de f .

VI. A fun¸c˜ao inversa ´e de Classe Cp_.

Observando que a invertibilidade de uma matriz real n×n é equivalente à não nulidade do seu determinante, que o determinante é uma fun¸cão cont´ınua dos coeficientes da matriz e que inverter uma matriz se traduz em somas de produtos e trocas de coor-denadas – para o cálculo da matriz adjunta – divididos pelo determinante, podemos concluir que a inversão de uma matriz é uma fun¸cão de classe C∞. Identificando a derivada Dfx com a matriz jacobiana de f em x, podemos então observar que a fun¸cão

y 7→Dff−1_(y) −1

(2.8) ´e cont´ınua e concluir que f−1 ´e de classe C1_{, pois a sua derivada ´}_{e composi¸c˜}_{ao de}

fun¸cões cont´ınuas. Tomando em conta que x 7→ Dfx é de classe Cp−1, porque f é, por

hip´otese, de classe Cp_{, a utiliza¸c˜}_{ao iterada do Teorema da Fun¸c˜}_{ao Composta permite}

concluir que f−1 ´e de classe Cp_{. Observando que f ´}_{e de classe C}∞ _{se for de classe C}p

(24)

2.3 Teorema da Fun¸

c˜

ao Impl´ıcita

O teorema seguinte ´e, de facto, equivalente ao teorema da Fun¸c˜ao Inversa e pode demonstrar-se independentemente (vide [13]).

Teorema 2.3.1 (da Fun¸c˜_{ao Impl´ıcita) Suponha-se que (a, b) ∈ A ⊆ R}m+n, que a fun¸c˜_{ao (x, y) 7→ f (x, y) : A → R}n_´_{e de classe C}p _{(1 ≤ p ≤ ∞) e que D}

yf (a, b) : Rn→ Rn

´

e um isomorfismo. Nestas condi¸c˜oes existem vizinhan¸_{cas abertas U de a em R}m _{e V}

de b em Rn e uma s´o fun¸c˜ao φ : U → V de classe Cp que verifica

φ(a) = b & ∀x ∈ U f (x, φ(x)) = f (a, b) (2.9) Tem-se tamb´em

Dφ = −[Dyf ]−1◦ Dxf (2.10)

A condi¸c˜ao de isomorfismo ´e equivalente a que a matriz jacobiana h

∂fi ∂yj(a, b)

i

1≤i,j≤n tenha determinante não nulo. A expressão em (2.10) pode também

traduzir-se por ∂φ_i ∂xj (x) 1≤i≤n, 1≤j≤m = − ∂fi ∂yj (x, φ(x)) −1 1≤i,j≤n × ∂fi ∂xj (x, φ(x)) 1≤i≤n, 1≤j≤m .

Dem. Designando por Tv a transla¸c˜ao segundo o vector v num espa¸co euclidiano,

podemos supor que a = b = 0 e f (a, b) = 0, tomando T−f (a,b)◦ f ◦ T(a,b).

Defina-se

F (x, y) = (x, f (x, y)) ((x, y) ∈ A). Repare-se que

F (0, 0) = (0, 0) (2.11)

F : A → Rm+n _´_{e uma fun¸c˜}_{ao de classe C}p _{e, designando por I a matriz identidade}

m × m e por 0 a matriz nula m × n, tem-se

J ac(F, (0, 0)) = I 0 ∂fi ∂xj(0, 0) ∂fi ∂yj(0, 0)

pelo que DF(0,0) ´e um isomorfismo e podemos aplicar o teorema da Fun¸c˜ao Inversa

(25)

2.3. TEOREMA DA FUNÇ ÃO IMPLÍCITA 209 é difemorfismo de classe Cp. Suponhamos que, para certas fun¸cões de classe Cp, H1 : V1 → Rm e H2 : V1 → Rn se tem

F−1(u, v) = (H1(u, v), H2(u, v)).

Nestes termos, tem-se

(u, v) = F ◦ F−1(u, v) = F (H1(u, v), H2(u, v))

= (H1(u, v), f (H1(u, v), H2(u, v)))

Pelo que

H1(u, v) = u & f (u, H2(u, v)) = v. (2.12)

Em particular

f (u, H2(u, 0)) = 0 ((u, 0) ∈ V1). (2.13)

Tomando vizinhan¸cas abertas de zero V11 ⊆ Rm e V12 ⊆ Rn, de modo que

V11× V12⊆ V1, definindo φ(x) = H2(x, 0) e também V = V12 & U = V11∩ φ−1(V ), obtém-se: 1. φ : U → V e φ é de classe Cp_. 2. φ(0) = 0, pois F (0, φ(0)) = F (H1(0, 0), H2(0, 0)) = F (F−1(0, 0)) = (0, 0), por (2.11) e F : U1 → V1 ser bijectiva. 3. f (x, φ(x)) = 0, em face de (2.13).

A unicidade de φ resulta também da bijectividade de F ; quanto à fórmula para as derivadas (2.10), observe-se que, em virtude do Teorema da Fun¸cão Composta, como vale (2.9), tem-se

0 = Dx(x 7→ f (x, φ(x))) = Dxf(x,φ(x))+ Dyf(x,φ(x))Dφ.

(26)

2.4 Teorema da Submers˜

ao

Dada uma fun¸c˜ao diferenci´_{avel f : A ⊆ R}n_{→ R}m_{, um elemento a ∈ A dir-se-´}_{a regular}

se Dfa : Rn → Rm ´e sobrejectiva ou, de outro modo, se a caracter´ıstica da matriz

jacobiana J ac(f, a) é m; um valor b ∈ f (A) dir-se-á regular se todos os elementos de f−1(b) são regulares; a fun¸cão é uma submersão em a, se a é ponto regular, é submersão local, ou simplesmente submersão, se for submersão em todos os pontos do seu dom´ınio.

Teorema 2.4.1 (da Submers˜_{ao) Sejam f : A ⊆ R}n _{→ R}p uma fun¸c˜ao de classe Ck _{(1 ≤ k ≤ ∞) e a um elemento regular de A. Existem uma vizinhan¸}_{ca V de a e}

uma vizinhan¸_{ca U de 0, em R}n_{, e duas mudan¸}_{cas de vari´}_{aveis ϕ : V → U , de classe}

Ck_{, e ψ : R}p _{→ R}p, de classe C∞ tais que 1. ϕ(a) = 0 & ψ(f (a)) = 0

2. f : [a, b] ⊆ R → R(x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xp)

Dem. Como a ´e suposto regular, a matriz jacobiana J ac(f, a) tem caracter´ıstica p. Designe-se por Tv a transla¸c˜ao pelo vector v num espa¸co euclidiano. Permutando

adequadamente as coordenadas de x ∈ Rn, digamos que por meio de um isomorfismo φ : Rn _{→ R}n_{, obt´}_{em-se J ac(T}

−f (a)◦ f ◦ Ta◦ φ, 0) = [J |M ] onde J ´e uma matriz p × p

de caracter´ıstica p. Fa¸ca-se ψ = T−f (a), ϕ1 = Ta ◦ φ e ¯f = ψ ◦ f ◦ ϕ1. Seja ainda

F : dom( ¯_{f ) ⊆ R}n _{= R}p_{⊕ R}n−p _{→ R}p_{⊕ R}n−p_{= R}n dada por F (x, y) = ( ¯f (x, y), y)

Por um lado F (0) = 0, por outro, designando por I a matriz identidade (n−p)×(n−p) e por 0 a matriz nula (n − p) × p, tem-se

J ac(F, 0) = J M

0 I

Pelo Teorema da Fun¸c˜ao Inversa (2.2.1), existem vizinhan¸cas de zero U1 e U em Rn,

tais que F : U1 → U ´e difeomorfismo de classe Cp. Sejam V = ϕ1(U1) e ϕ = F ◦ ϕ−11 :

V → U . A fun¸cão ψ◦f ◦ϕ−1 verifica as condi¸cões pretendidas, como pode ser verificado com aux´ılio do diagrama comutativo seguinte, onde Π1 designa a projeçcão canónica

(27)

2.5. TEOREMA DA IMERS ˜AO 211 6 ϕ1 -f V ? ψ Rp -¯ f Rp U1 : F U ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = Π1 ϕ 2

Uma aplica¸c˜_{ao f : A ⊆ R}n _{→ R}p _{diz-se aberta se as imagens f (U ) de subconjuntos}

abertos U s˜ao conjuntos abertos.

Corolário 2.4.1 Qualquer submersão local é uma aplica¸cão aberta.

Dem. Suponha que f : A ⊆ Rn _{→ R}p _´_{e uma submers˜}_{ao local, que A}

1 ´e um conjunto

aberto e que a ∈ A1 ⊆ A. Como f ´e submers˜ao, n ≥ p; vamos ver que existe uma

vizinhan¸ca aberta Vf (a) ⊆ A1.

Considerem-se as fun¸c˜_{oes ϕ : U → V e ψ : R}p _{→ R}p, dadas como no teorema anterior para o ponto a; ϕ ´e um difeomorfismo, portanto ϕ(U ∩ A1) ´e aberto em Rn,

porque U também ´_{e; por outro lado, f : [a, b] ⊆ R → R é uma projeçcão, portanto} é aberta, logo ψ ◦ f (U ∩ A1) = f : [a, b] ⊆ R → R(ϕ(U ∩ A1)) e é aberto em Rp;

como ψ ´e difeomorfismo, f (U ∩ A1) = ψ−1(ψ(f (U ∩ A1))) e ´e aberto em Rp; tome-se

Vf (a) = f (U ∩ A1). 2

2.5 Teorema da Imers˜

ao

Uma fun¸c˜ao diferenci´_{avel f : A ⊆ R}n _{→ R}m _dir-se-´_{a uma imers˜}_{ao em a se}

Dfa : Rn → Rm ´e injectiva ou, de outro modo, se a caracter´ıstica da matriz

jaco-biana J ac(f, a) é n; f é imersão ou imersão local se for imersão em todos os pontos do seu dom´ınio.

(28)

Teorema 2.5.1 (da Imers˜_{ao) Suponha-se que f : A ⊆ R}m _{→ R}m+n é uma fun¸cão de classe Cp (1 ≤ p ≤ ∞), que a ∈ A e que Dfa : Rm → Rm+n é um monomorfismo.

Ent˜ao existem, vizinhan¸cas abertas de a, Ua⊆ A e de f (a), Vf (a) ⊆ Rm+n, vizinhan¸cas

abertas de zero, U ⊆ Rm e V ⊆ Rm+n e mudan¸cas de coordenadas ϕ : Ua → U , de

classe C∞, e ψ : Vf (a) → V , de classe Cp, tais que,

1. ϕ(a) = 0 & ψ(f (a)) = 0,

2. para qualquer x ∈ U, f : [a, b] ⊆ R → R(x) = (x, 0) ∈ Rm+n.

Dem. Fa¸camos redu¸c˜oes iniciais, como no teorema 2.4.1. Designe-se por Tv a

transla¸c˜ao pelo vector v num espa¸co euclidiano. Por meio de uma permuta¸c˜ao de coordenadas ψ1 em Rm+n, e definindo ¯f = ψ1◦ T−f (a)◦ f ◦ Ta : A − a → Rm+n, tem-se

¯ f (0) = 0 J ac( ¯f , 0) = J M

para certas matrizes J ∈ M(m × m, R) e de caracter´ıstica m, e M ∈ M(n × m, R). Defina-se mais uma fun¸c˜_{ao F : (A − a) × R}n_{⊆ R}m+n _{→ R}m+n _por

F (x, y) = ¯f (x) + (0, y).

Designando por I a matriz identidade n × n e por 0 a matriz nula m × n, tem-se J ac(F, (0, 0)) =

J 0

M I

pelo que podemos utilizar o teorema da Fun¸c˜ao Inversa (2.2.1) para concluir a exis-tˆ_{encia de vizinhan¸cas abertas de zero em R}m+n_{, ˜}_{U ⊆ (A − a) × R}n _{& V tais que}

F : ˜U → V ´e um difeomorfismo. Tomando finalmente U = {x ∈ A − a : (x, 0) ∈ ˜U }, Ua = U + a = Ta(U ),

Vf (a) = Tf (a)(ψ1−1(V )),

ϕ = T−a|Ua

ψ = F−1◦ ψ1◦ T−f (a)|Vf (a),

terminamos a demonstra¸cão. O diagrama comutativo seguinte ilustra esta constru¸cão; ι1 designa o mergulho canónico – ou imersão canónica – e ψ2 = ψ1◦ T−f (a)

(29)

2.6. LEMA DE MORSE 213

U

a ?

ϕ

U

-f

V

f (a) ?

ψ

2

-¯

f

V

@ @ @ @ R A A A A A A A A A A A A A U

˜

U

ψ = F

−1

◦ ψ

2

F

−1 P_P P_P P_P P_P P_P P_P P_P P_P P_P_q

ι

1

= ψ ◦ f ◦ ϕ

−1

Este teorema pode ser reformulado do seguinte modo

Teorema 2.5.2 Suponha-se que φ : A ⊆ Rk _{→ R}n _´_{e uma fun¸}_c˜_{ao de classe C}p

(1 ≤ p ≤ ∞), que a ∈ A e que a matriz jacobiana J ac(φ, a) tem caracter´ıstica k. Ent˜ao existem, vizinhan¸cas abertas de a, Ua ⊆ A, de φ(a), Vφ(a) ⊆ Rn e uma fun¸c˜ao

g : Vφ(a) → Ua, tais que,

g ◦ φ = id|Ua.

Em particular

1. φ : Ua→ φ(Ua) ´e bijectiva

2. a fun¸cão inversa φ−1 : φ(Ua) → Ua é restri¸cão de uma fun¸cão de classe Cp.

2.6 Lema de Morse

Um elemento a do dom´ınio de uma fun¸cão diferenciável f dir-se-á cr´ıtico ou ponto cr´ıtico, se Dfa não é sobrejectiva; se a é ponto cr´ıtico de f , então f (a) diz-se valor

cr´ıtico de f (compare-se com as defini¸cões de elemento regular e de valor regular na seçcão 2.4). De facto só nos interessam casos em que a dimensão do dom´ınio de f é superior ou igual à do seu contradom´ınio. Por exemplo, é bastante simples demonstrar: Teorema 2.6.1 Dada uma fun¸cão diferenci´_{avel f : A ⊆ R}n _{→ R, um ponto a ∈ A é} cr´ıtico se e apenas se todas as derivadas parciais _∂x∂f

(30)

Um ponto cr´ıtico a da fun¸cão f dir-se-á degenerado se a matriz Hessiana H(f, a) não for invert´ıvel.

No teorema que se segue, se λ = 0 o primeiro somatório entende-se como vazio, ou valendo zero, se λ = n o mesmo se deve entender quanto ao segundo somatório. Teorema 2.6.2 (Lema de Morse) Seja f : A ⊆ Rn _{→ R uma fun¸cão de classe}

C∞. Suponha que a ∈ A é um ponto cr´ıtico não degenerado de f . Então existem uma vizinhan¸_{ca de zero, V em R}n_{, uma vizinhan¸}_{ca, U , de a, tamb´}_{em em R}n_{, um n´}_umero

inteiro λ ≥ 0 e uma mudan¸ca de vari´aveis de classe C∞, g : U → V , tais que

f (x1, x2, · · · , xn) = f (a) − λ X i=1 gi(x)2 + n X i=λ+1 gi(x)2, ou f (g−1(y1, y2, · · · , yn)) = f (a) − λ X i=1 y2_i + n X i=λ+1 y_i2.

O n´umero λ diz-se o ´ındice do ponto cr´ıtico a.

Lema 2.6.1 Seja f : A ⊆ Rn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}∞_. _{Suponha que}

0 ∈ A, f (0) = 0 e 0 é um ponto cr´ıtico f . Então existem ε > 0 e fun¸cões hij : Bε(0) ⊆ Rn → R (1 ≤ i, j ≤ n) de classe C∞ tais que

1. hi,j(0) = 1₂ ∂ 2_f ∂xi∂xj(0) (1 ≤ i, j ≤ n) 2. hij ≡ hji (1 ≤ i, j ≤ n) 3. f (x1, x2, · · · , xn) = Pn i,j=1hij(x1, · · · , xn)xixj.

Dem. Observe-se que, se (x1, · · · , xn) ∈ Bε(0) ⊆ A, para algum ε > 0, ent˜ao

f (x1, · · · , xn) = Z 1 0 d dtf (tx1, · · · , txn)dt = n X i=1 xi Z 1 0 ∂f ∂xi (tx1, · · · , txn)dt = n X i,j=1 xixj Z [0,1]2 ∂2_f ∂xi∂xj (tsx1, · · · , tsxn)tdsdt.

(31)

2.6. LEMA DE MORSE 215 Pelo que, para verificar 3, basta tomar

hij(x1, · · · , xn) = Z [0,1]2 ∂2_f ∂xi∂xj (tsx1, · · · , tsxn)tdsdt.

A condi¸cão 1 obtém-se por cálculo directo, a condi¸cão 2 resulta da igualdade de

derivadas mistas para fun¸c˜oes de classe C∞. 2

Lema 2.6.2 Sejam ε um n´umero real positivo e hij : Bε(0) ⊆ Rn→ R (1 ≤ i, j ≤ n)

fun¸cões de classe C∞ tais que as matrizes [hij(x1, · · · , xn)] são simétricas e [hij(0)]

é invert´ıvel. Então existem um número inteiro λ ≥ 0, um número real δ > 0 e um difeomorfismo g = (g1, · · · , gn) : Bε(0) ⊆ Rn → Bδ(0) ⊆ Rn de classe C∞ tais que

n X i,j=1 hij(x)xixj = − λ X i=1 gi(x)2 + n X i=λ+1 gi(x)2 Observa¸c˜oes:

1. De novo somat´orios vazios devem entender-se como valendo zero. 2. Pode acontecer g(Bε(0)) ⊂ Rn. Dem. Defina-se Gr_{= (G}r 1, · · · , Grn) e F (x) = r−1 X i=1 ±Gr i(x)2 + X r≤i,j≤n Hij(Gr(x))Gri(x)Grj(x). (2.14)

Tomando r = 1 temos a express˜ao inicial do enunciado com G1 _{igual `}_{a fun¸c˜}_ao

iden-tidade e Hij = hij. Seja y = (y1, · · · , yn) : Rn → Rn a mudan¸ca de coordenadas que

diagonaliza H(0) = [Hij(0)], i.e., xTH(0)x = n X i=1 ±yi(x)2.

Como aquela matriz ´e invert´ıvel, a sua diagonalizada n˜ao tem zeros na diagonal, em particular H11(0) 6= 0. De facto, para η > 0 suficientemente pequeno, y 7→ Γ(y) =

(32)

Defina-se ainda g2 = (g₁2, · · · , g2_n) por ( g2 1(y) = Γ(y) h y1+ Pn j=2 Hj1(y) H11(y)yj i g2 i(y) = yi se i > 1

A matriz jacobiana de g2 _{em 0 verifica}

J ac(g2, 0) =         Γ(0) ∂g12 ∂y2 · · · ∂g2 1 ∂yn 0 · · · 0 I        

tem determinante não nulo e consequentemente, pelo Teorema da Fun¸cão Inversa (2.2.1), para algum ε > 0, g2 : Bε(0) → g2(Bε(0)) é um difeomorfismo de classe C∞.

Reescrevendo (2.14), em face da simetria Hij = Hji

F (x) = y1y1H11(y) + 2 n X j=2 yjy1Hj1(y) + X 1<i,j≤n Hij(y)yiyj = ±g₁2(y)2− 1 H11(y) " X j>1 Hj1(y)yj #2 + X 1<i,j≤n Hij(y)yiyj = ±g₁2(y)2+ X 1<i,j≤n ¯ Hij(y)g2i(y)g 2 j(y)

para certas fun¸cões ¯Hij, de classe C∞e também invariantes para permuta¸cão de ´ındices

(esta simetria ´e sempre garantida por 1₂( ¯Hij + ¯Hji)); o sinal em ± ´e determinado pelo

sinal de H11. Observando que, por sua vez, x 7→ y = y(x) ´e tamb´em difeomorfismo de

classe C∞_{, de R}n_{em R}n_{, foi iniciada a diagonaliza¸c˜}_{ao de F (x) com G}2_{(x) = g}2_(y(x)).

Repare-se ainda que o discriminante da forma em 0 continua a ser n˜ao nulo (o que pode concluir-se, por exemplo, do facto de as ¯Hij serem combina¸c˜oes lineares das Hij).

Supondo que esta diagonaliza¸cão possa ser feita até à forma em (2.14), o racioc´ınio anterior pode ser adaptado de acordo com as transforma¸cões seguintes, partindo de (2.14): a mudan¸ca de variáveis y mantém Gr_i (1 ≤ i ≤ r − 1) e diagonaliza P

r≤i,juiujHij(0); Γ(y) =p|Hrr(y)|, g

2 _{passa a g}r+1 _e ( gr+1₁ (y) = Γ(y)hy1 + Pn j=r+1 Hjr(y) Hrr(y)yj i gr+1_i (y) = yi se i 6= r;

(33)

2.6. LEMA DE MORSE 217 a matriz jacobiana passa a ser

  I · · · 0 ∂grr+1 y1 · · · Γ(0) · · · ∂gr+1r yn 0 · · · I   e tamb´em F (x) = r−1 X j=1 ± Gr j(x) 2_{+ y} r(Gr(x))yr(Gr(x))Hrr(y(Gr(x))) +2 n X j=r+1 yj(Gr(x))yr(Gr(x))Hjr(y) + X r<i,j≤n Hij(y)yi(Gr(x))yj(Gr(x)) = r−1 X j=1 ± Gr j(x)2± grr(y(Gr(x)))2− 1 Hrr(y) " X j>r Hjr(y(Gr(x)))yj(Gr(x)) #2 + X r<i,j≤n

Hij(y(Gr(x)))yi(Gr(x))yj(Gr(x))

= r X j=1 ± Gr+1 j (x) 2₊ X r<i,j≤n ¯ Hij(Gr+1(x))gr+1i (y(G r_(x))gr+1 j (y(G r_(x)); donde resulta F (x) = r X j=1 ±Gr+1 j (x) 2₊ X r<i,j≤n ¯ Hij(Gr+1(x))Gr+1i (x)G r+1 j (x),

com as defini¸cões adequadas. Pode assim prosseguir-se até eliminar todos os factores H. Finalmente separam-se as parcelas negativas e positivas e observa-se que, numa matriz diagonalizável de coeficientes cont´ınuos os valores próprios mantêm localmente

o sinal, pelo que λ ´e localmente constante. 2

Dem. (do Lema de Morse) Basta agora observar que n˜ao se perde generalidade em supor que a = 0 e f (0) = 0 e aplicar os lemas anteriores. 2

(34)

(35)

Cap´ıtulo 3

Equa¸

c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Este cap´ıtulo é essencialmente uma demonstra¸cão do Teorema de Existência e Unicidade 3.1.1.

Nota¸cão: pri : Rn → R designa a i-ésima projeçcão canónica:

pri(x1, · · · , xi, · · · , xn) = xi (1 ≤ i ≤ n).

Defini¸cão 3.1.1 Dado um número real não negativo L, uma fun¸cão f : A × B ⊆ Rm× Rn→ Rk diz-se L−lipschitziana na segunda variável se

∀t ∈ A ∀x, y ∈ B kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk. (3.1) A fun¸c˜_{ao f : A × B ⊆ R}m_{× R}n _{→ R}k _ser´_{a localmente lipschitziana na segunda}

variável se cada (x, y) ∈ A × B tiver uma vizinhan¸ca, onde f é L−lipschitziana na segunda variável, para algum L ∈ [0, ∞[.

Nota¸c˜ao ¯

R+:= R ∪ {+∞}:=] − ∞, +∞] R¯−:= R ∪ {−∞}:= [−∞, +∞[ R:= [−∞, +∞]¯

(36)

Teorema 3.1.1 Suponha-se que Ω é um subconjunto aberto n˜_{ao vazio de R}1+n. Se a fun¸c˜_{ao f : Ω → R}n é cont´ınua e localmente Lipschitziana na segunda variável, para qualquer (t0, x0) ∈ Ω, existe um intervalo aberto maximal não vazio ]α, β[⊆]a, b[ tal

que t0 ∈]α, β[ e existe uma e uma só fun¸cão x :]α, β[→ Rn que é solu¸cão do problema

de Cauchy ou de valores iniciais (

x0(t) = f (t, x(t)) (α < t < β) x(t0) = x0.

(3.2)

Se R = pr1(Ω) e a fun¸c˜ao f for limitada, o intervalo maximal ´e R, i.e., todas as

solu¸c˜oes est˜_{ao definidas em R.}

A condi¸c˜ao x(t0) = x0 diz-se condi¸c˜ao inicial do problema.

Repare-se que se f n˜ao for limitada o intervalo maximal pode n˜_{ao ser R, mesmo em} caso aparentemente muito simples:

Exemplo 3.1.1 Se f (t, x) = x2 _{as solu¸c˜}_{oes x(t) ≡ t →} −1

t+c (c ∈ R) tˆem intervalo

maximal de defini¸c˜ao ] − ∞, −c[ ou ] − c, +∞[.

3.2 Fun¸

c˜

oes cont´ınuas

Sejam X um conjunto não vazio, (Y, d) um espa¸co métrico completo, D : (YX)2 _{→ R ∪ {+∞} a fun¸cão definida por}

D(f, g) = sup

x∈X

d(f (x), g(x)), (3.3)

¯

D : (YX)2 _{→ R a fun¸c˜ao definida por} ¯

(37)

3.2. FUNÇ ÕES CONTÍNUAS 303 A demonstra¸cão do lema seguinte fica ao cuidado do leitor.

Lema 3.2.1 Definam-se ¯D e D como em (3.4) e (3.3).

1. D verifica todas as propriedades de uma m´etrica exceptuando ter contradom´ınio contido em R.

2. ¯D ´e m´etrica.

3. Para qualquer sucess˜ao (fn)n∈N em YX,

(a) fn→ f em (YX, ¯D) sse para n suficientemente grande ¯D(fn, f ) = D(fn, f )

e lim D(fn, f ) = 0.

(b) (fn)n∈N ´e de Cauchy em (YX, ¯D) sse para m e n suficientemente grandes

¯

D(fm, fn) = D(fm, fn) e limm,n→+∞D(fm, fm) = 0.

(c) (fn)n∈N converge em (YX, ¯D) sse converge uniformenente.

(d) (fn)n∈N ´e de Cauchy em (YX, ¯D) sse ´e uniformemente de Cauchy i.e.

∀δ > 0 ∃p ∈ N ∀m, n ∈ N [m, n ≥ p ⇒ ∀x ∈ X kfm(x) − fn(x)k < δ].

Teorema 3.2.1 (YX_{, ¯}_{D) ´}_{e um espa¸}_{co m´}_{etrico completo.}

Dem. Em face do lema anterior (3.2.1) podemos supor que a distância entre fun¸cões é avaliada apenas por D. Esquematizemos:

Suponhamos que (fn)n∈N é uma sucessão de Cauchy. Nestas condi¸cões, para cada

x ∈ X, (fn(x))n∈N ´e uma sucess˜ao de Cauchy em (Y, d), pelo que converge e pomos

f (x) := lim fn(x) (x ∈ X);

se δ ∈ R+ _e

∃p ∈ N ∀m, n ∈ N [m, n ≥ p ⇒ D(fm, fn) ≤ δ],

ent˜ao

∀x ∈ X d(f (x), fn(x)) ≤ δ,

pelo que D(f, fn) → 0 pois d : Y2 → R ´e cont´ınua, i.e. fn→ f em (YX, D). 2

Seja B(X, Y ) o conjunto das fun¸c˜oes limitadas de X em Y , i.e., das fun¸c˜oes f ∈ YX

tais que f (X) é subconjunto limitado de Y . A restri¸cão de ¯D a B(X, Y ) é precisamente D e tem-se

(38)

Teorema 3.2.2 (B(X, Y ), D) ´e um espa¸co m´etrico completo.

Dem. Basta ver que B(X, Y ) é fechado em (YX, ¯D), i.e., que o limite uniforme de uma sucessão de fun¸cões limitadas é uma fun¸cão limitada e utilizar o lema 3.2.1. 2 Quando se supõe que X está munido de alguma topologia, designe-se por C(X, Y ) o conjunto das fun¸cões em YX que são cont´ınuas.

Teorema 3.2.3 (C(X, Y ), ¯D) ´e um espa¸co m´etrico completo.

Dem. Basta demonstrar que C(X, Y ) ´e fechado em (YX_{, ¯}_{D), i.e., que o limite uniforme}

de uma sucessão de fun¸cões cont´ınuas é uma fun¸cão cont´ınua:

Considere-se uma tal sucess˜ao (fn)n∈N, com limite f , e tome-se x0 ∈ X. Dado ε > 0 e

escolhida uma ordem p, a partir da qual ¯D(fn, f ) < ε₃, fixe-se por exemplo f2p+1. Como

f2p+1 ´e cont´ınua, existe uma vizinhan¸ca U de x0 tal que f2p+1(U ) ⊆ Bε₃(f2p+1(x0)).

Dado x ∈ U , observando que

d(f (x), f (x0)) ≤ d(f (x), f2p+1(x)) + d(f2p+1(x), f2p+1(x0)) + d(f2p+1(x0), f (x0)),

conclu´ımos que f (U ) ⊆ Bε(f (x0)). 2

Corolário 3.2.1 Nas condi¸cões do teorema anterior (3.2.3), se (X, τ ) é um espa¸co topológico compacto, ou um subconjunto compacto de um espa¸co topológico, o espa¸co métrico (C((X, τ ), (Y, d)), D) é completo.

Num caso mais preciso:

Teorema 3.2.4 Suponha-se que a e b designam elementos de ¯_{R, que a < b, x}0 ∈ Rn,

(39)

3.3. ALGUNS OPERADORES INTEGRAIS 305

3.3 Alguns Operadores Integrais

´

E um exerc´ıcio de rotina verificar que o problema de Cauchy (3.2) é equivalente à equa¸cão integral em x ∈ C(]a, b[, B)

x(t) = x0+

Z t

t0

f (s, x(s))ds, (3.5)

com a condi¸cão de que o gráfico de x seja subconjunto de Ω, pelo que vamos preocupar-nos de momento com esta equa¸cão.

Dados a, b ∈ R, sendo a < b, B ⊆ Rn_{, (t}

0, x0) ∈ [a, b] × B e uma fun¸c˜ao f ∈

C([a, b] × B, Rn_{), defina-se} Ix0,t0(x)(t) = x0+ Z t t0 f (s, x(s))ds (x ∈ C([a, b], B); a ≤ t ≤ b). (3.6) ´

E imediato que Ix0,t0 : C([a, b], B) → C([a, b], R

n_{); mas podemos ser mais precisos:}

Lema 3.3.1 Suponha-se que r, ε, L > 0, que B := ¯Br(0) ⊆ Rn, que f : [−ε, ε] × B ⊆

R × Rn→ Rn é uma fun¸cão cont´ınua e L−lipschitziana na segunda variável e que M = máx{kf (t, x)k : (t, x) ∈ [−ε, ε] × B}.

Sejam ainda I00 o operador integral definido como acima em (3.6) e D a m´etrica de

convergˆ_{encia uniforme em C([a, b], R}n_{). Se}

M ε ≤ r (3.7)

e, para certo n´umero real positivo θ,

Lε ≤ θ < 1, (3.8)

então I00 é uma contraçcão de (C([−ε, ε], B), D).

Dem. (I) I00: (C([−ε, ε], B) → (C([−ε, ε], B).

Temos de verificar que x(t) ∈ B se x ∈ C([−ε, ε], B) e |t| ≤ ε. Basta observar o seguinte: kI00(x)(t)k ≤ Z t 0 kf (s, x(s))kds ≤ |t|M ≤ εM ≤ r (x ∈ C([−ε, ε], B); |t| ≤ ε).

(40)

(II) I00 é uma contraçcão.

Dadas fun¸c˜oes x, y ∈ C([−ε, ε], B), tem-se para cada t ∈ [−ε, ε], kI00(x)(t) − I00(y)(t)k ≤ Z t 0 kf (s, x(s)) − f (s, y(s))kds ≤ Z t 0 Lkx(s) − y(s)kds ≤ |t|LD(x, y) ≤ εLkD(x, y)k < θD(x, y);

assim D(I00(x), I00(y)) ≤ θD(x, y). 2

3.4 Existˆ

encia e Unicidade de solu¸

c˜

oes

O lema 3.3.1 permite j´a concluir o seguinte I Teorema de Existˆencia e Unicidade Local

Teorema 3.4.1 Suponha-se que r, ε, L > 0, que B := ¯Br(0) ⊆ Rn, que f : [−ε, ε] ×

B ⊆ R × Rn _{→ R}n _´_{e uma fun¸}_c˜_{ao cont´ınua e L−lipschitziana na segunda vari´}_{avel e}

que

M = m´ax{kf (t, x)k : (t, x) ∈ [−ε, ε] × B}. Se

M ε ≤ r & Lε ≤ θ < 1, (3.9)

Ent˜ao o problema de Cauchy (

x0(t) = f (t, x(t)) (|t| < ε)

x(0) = 0 (3.10)

tem uma e s´o uma solu¸c˜ao em C1_{(] − ε, ε[, B).}

Dem. Nas condi¸cões indicadas, a equa¸cão integral correspondente tem uma e só uma solu¸cão x : [−δ, δ] → B, seja qual for δ ∈]0, ε[, pelo que existe uma única solu¸cão de (3.10) definida em todo o intervalo ] − ε, ε[: o prolongamento comum a todas elas.2 E deste o II Teorema de Existência e Unicidade Local 3.4.2.

(41)

3.4. EXIST ÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇ ÕES 307 Teorema 3.4.2 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto de R}1+n, que (t0, x0) ∈ Ω

e que a fun¸c˜_{ao f : Ω → R}n é cont´ınua e localmente Lipschitziana na segunda variável. Nestas condi¸cões, para algum número real ε > 0, existe uma e só uma fun¸cão x : ]t0 − ε, t0+ ε[→ Rn cujo gráfico é subconjunto de Ω e que é solu¸cão do problema de

Cauchy

(

x0(t) = f (t, x(t)) (|t − t0| < ε)

x(t0) = x0.

(3.11)

Dem. Em primeiro lugar observe-se que, para certos números reais positivos δ, r e L, f é cont´ınua e L−lipschitziana em [t0 − δ, t0 + δ] × ¯Br(x0) ⊆ Ω e existe o máximo

definido por

M := m´ax{kf (t, x)k : (t, x) ∈ [−δ, δ] × ¯Br(x0)}.

Escolhendo agora ε ∈]0, δ] de modo a que se verifiquem as condi¸c˜oes (3.9), podemos aplicar o teorema 3.4.1 ao problema de Cauchy

(

y0(t) = f (t0 + t, x0+ y(t)) (|t| < ε)

y(0) = 0

e tomar x(t) = y(t − t0) + x0 (|t − t0| < ε). 2

Lema 3.4.1 Suponha-se que a, b, t0 ∈ ¯R, que a < t0 < b, que Ω ´e um subconjunto

aberto de R1+n_{, que a fun¸}_c˜_{ao f : Ω → R}n _´_{e cont´ınua e localmente Lipschitziana na}

segunda variável e que x1, x2 :]a, b[→ Rn são solu¸cões da equa¸cão diferencial

x0(t) = f (t, x(t)) (a < t < b) (3.12) que coincidem em t0. Nestas condi¸c˜oes x1 e x2 coincidem em ]a, b[.

Dem. Comecemos por definir x0 := x1(t0)(= x2(t0)) e tomar ε e r de acordo com o

teorema anterior (3.4.2). Sejam

S o conjunto dos s ∈]a, b[ para os quais x1 e x2 coincidem em [s, t0+ ε[,

T o conjunto dos t ∈]a, b[ para os quais x1 e x2 coincidem em ]t0− ε, t],

σ = inf S & τ = sup T.

(42)

Pelo teorema anterior S 6= ∅ 6= T , pois t0 − ₂ε ∈ S e t0 + ε₂ ∈ T ; segue-se que σ e τ

existem de facto e a ≤ σ < τ ≤ b. Por outro lado, se a < σ (resp. τ < b) e (sn)n∈N

(resp. (tn)n∈N) ´e uma sucess˜ao decrescente (resp. crescente) com limite σ (resp. τ ),

ent˜ao x1(sn) → x1(σ) e simultˆaneamente x2(sn) → x2(σ) (resp. x1(tn) → x1(τ ) e

simultˆaneamente x2(tn) → x2(τ )), pelo que x1(σ) = x2(σ) (resp. x1(τ ) = x2(τ )) pois

x1 e x2 coincidem nos sn (resp. tn); mas ent˜ao poder´ıamos reaplicar o teorema 3.4.2

com a condi¸c˜ao inicial x(σ) = x1(σ) = x2(σ) (resp. x(τ ) = x1(τ ) = x2(τ )) para

concluir que x1 e x2 são a mesma fun¸cão, i.e., a única solu¸cão numa vizinhan¸ca aberta

de σ (resp. de τ ) e este n˜ao seria inf S (resp. sup T ).

Em suma: σ = a, τ = b e x1 coincide com x2 em ]a, b[. 2

Teorema 3.4.3 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto de R}1+n, que a fun¸c˜ao f : Ω → Rn _´_{e cont´ınua e localmente Lipschitziana na segunda vari´}_{avel e que (t}

0, x0) ∈ Ω.

Se α ´e o ´ınfimo dos σ tais que σ < t0 e o problema (3.2) tem solu¸c˜ao em ]σ, t0+ ε[ e

β é o supremo dos τ > t0 e o problema (3.2) tem solu¸cão em ]t0− ε, τ [, então existe

uma e só uma solu¸cão do problema definida em ]α, β[ e este é o maior intervalo onde alguma está definida.

Dem. A unicidade da solu¸c˜ao resulta do lema anterior (3.4.1). Considerando α, β ∈ ¯

R, a existência é consequência das propriedades do supremo e do ´ınfimo e do II Teorema

de Existˆencia e Unicidade. 2

E a parte do teorema 3.1.1 sobre intervalo maximal de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao fica provada.

3.5 Solu¸

c˜

oes globais

Passamos à procura de solu¸cões do problema de Cauchy (3.2) globalmente definidas i.e. cujo intervalo maximal de defini¸cão ´_{e R.}

Recorde-se que se A é subconjunto não vazio no espa¸co métrico (X, d) e x ∈ X, a distância de x a A é definida por

d(x, A) := inf{d(x, y)| y ∈ A}, que f r(A) designa a fronteira de A e que vale o seguinte

Digamos que uma solu¸cão de (3.2) é maximal se está definida num intervalo maximal de acordo com o teorema 3.4.3..

(43)

3.5. SOLUÇ ÕES GLOBAIS 309 Teorema 3.5.1 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto limitado de R}1+n, que β ∈ R e que ∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a fun¸cão f : Ω → Rn é cont´ınua em ¯Ω e L-Lipschitziana na segunda vari´_{avel em Ω, e que x : ]α, β[ → R}n _´_{e solu¸}_c˜_{ao maximal do}

problema (3.2). Nestas condi¸c˜oes lim

t→αd((t, x(t)), f r(Ω)) = limt→βd((t, x(t)), f r(Ω)) = 0. (3.13)

Dem. Demonstramos apenas a segunda igualdade.

Seja M = máx{kf (t, x)| (t, x) ∈ ¯Ω}. Se (3.13) se não verifica, existem uma sucessão (tn) e δ tais que

tn→ β & d((tn, x(tn)), f r(Ω)) > δ > 0.

Revendo o I Teorema de Existência e Unicidade 3.4.1, e o teorema 3.4.3, podemos concluir que, se 0 < ε < min{_Mδ, _2L1 }, então x está definida em [tn− ε, tn+ ε], seja

qual for tn. Mas ent˜ao, como tn → β , para algum tn, β ∈ ]tn− ε, tn+ ε[ e ]α, β[ n˜ao

´e maximal, contrariando a hip´otese. Em suma vale (3.13). 2

Recorde-se que se (X, d) e (Y, d0) são espa¸cos métricos, uma fun¸cão f : X → Y se diz uniformemente cont´ınua quando

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X [d(x, y) < δ ⇒ d0(f (x), f (y)) < ε]. (3.14) Lema 3.5.1 Considerem-se um intervalo I = ]α, β[ ⊆ R como subespa¸co métrico de R munido da métrica euclidiana e uma fun¸cão x : I → Rn; suponha-se que β ∈ R. Se x for uniformemente cont´ınua, tem uma extensão cont´ınua a [α, β].

Dem. Basta ver que

∃ lim

t→b−x(t). (3.15)

Basta observar que, pela continuidade uniforme de x, todas as sucess˜oes (x(tn)) s˜ao

de Cauchy se tn → b. Ora se n˜ao se cumprir (3.15), existem duas sucess˜oes tn e sn

convergentes para b tais que kx(tn) − x(sn)k 6→ 0; mas ent˜ao a sucess˜ao un definida

por un = ( tn+1 2 se n é ímpar sn 2 se n é par

(44)

Teorema 3.5.2 Suponha-se que t0 ∈ ]α, β[ ⊆ R, que a fun¸c˜ao f : R1+n → Rn ´e

cont´ınua, limitada e localmente Lipschitziana na segunda vari´_{avel e que x : ]α, β[ → R}n ´

e solu¸c˜ao maximal do problema (3.2); ent˜_{ao ]α, β[ = R.}

Dem. Demonstramos apenas que β = +∞.

Em primeiro lugar x ´e uniformemente cont´ınua pois, se ∀(t, x) ∈ Ω kf (t, x)k ≤ M, ent˜ao para quaisquer s, t ∈ I

kx(t) − x(s)k = Z t s x0(τ )dτ ≤ Z t s kf (τ, x(τ ))kdτ ≤ M |t − s|.

Portanto, se β ∈ R, x tem extens˜ao cont´ınua a ]α, β]; designemos esta extens˜ao por ˜

x; pela continuidade de f e pelo II Teorema de Existˆencia e Unicidade 3.4.2 x (ou ˜

x) seria prolong´avel como solu¸c˜ao de (3.2) para a direita de β, contradizendo-se a

maximalidade de I; assim β 6∈ R. 2

Um outro aspecto

Teorema 3.5.3 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto de R}1+n_{, que β ∈ R e que} ∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a fun¸c˜ao f : Ω → Rn _´_{e cont´ınua e localmente Lipschitziana na}

segunda vari´_{avel em Ω, e que x : ]α, β[ → R}n _´_{e solu¸}_c˜_{ao maximal do problema (3.2).}

Se f for limitada sobre o gr´afico de x, ent˜ao lim

t→αd((t, x(t)), f r(Ω)) = limt→βd((t, x(t)), f r(Ω)) = 0. (3.16)

Dem. De modo análogo ao que vimos na demonstra¸cão do teorema 3.5.2, podemos concluir que x é uniformemente cont´ınua e consequentemente tem extensão cont´ınua ˜

x :]α, β] → Rn. Se (β, ˜x(β) ∈ Ω, x não é solu¸cão maximal. Segue-se que (β, ˜x(β) ∈

(45)

3.5. SOLUÇ ÕES GLOBAIS 311 Teorema 3.5.4 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto de R}1+ne que ∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a fun¸cão f : Ω → Rné cont´ınua e localmente Lipschitziana na segunda variável em Ω, e que x : ]α, β[ → Rn _´_{e solu¸}_c˜_{ao maximal do problema (3.2).}

1. Se α ∈ R e existe limx→αx(t) := x1 ∈ Rn, ent˜ao (α, x1) ∈ f r(Ω) e

limt→αd((t, x(t)), f r(Ω)) = 0.

2. Se β ∈ R e existe limx→βx(t) := x2 ∈ Rn, ent˜ao (β, x2) ∈ f r(Ω) e tamb´em

limt→βd((t, x(t)), f r(Ω)) = 0.

3. Para qualquer subconjunto compacto K de Ω existe t ∈ ]α, β[ tal que (t, x(t)) 6∈ K.

Dem. Comecemos por provar 3.

Se K ⊆ Ω e K é compacto, f é limitada em K portanto, se C := {(t, x(t))| t ∈ ]α, β[} ⊆ K, então f é limitada sobre C; ora, como vimos na demonstra¸cão do teorema 3.5.3, nestas condi¸cões há uma solu¸cão de (3.2) definida em ]α, β + ε[ para algum ε > 0 e x não é maximal.

2. Se (β, x2) ∈ Ω, podemos aplicar a parte relevante da demonstra¸c˜ao da al´ınea

anterior (3) a um compacto adequado K := ¯Br(β, x2) ⊆ Ω e concluir de novo que x

n˜ao seria maximal.

A afirma¸c˜ao sobre a distˆancia resulta de limx→β(t, x(t)) = (β, x2).

1. Demonstra-se de forma an´aloga `a de 2. 2

Fica ao cuidado do leitor demonstrar o seguinte:

Corol´ario 3.5.1 Suponha-se que Ω ´_{e um subconjunto aberto de R}1+n e que ∅ 6= ]α, β[ ⊆ R, que a fun¸c˜ao f : Ω → Rn _´_{e cont´ınua e localmente Lipschitziana na}

segunda vari´_{avel em Ω, e que x : ]α, β[ → R}n _´_{e solu¸}_c˜_{ao maximal do problema (3.2).}

Se β ∈ R ou limt→βd((t, x(t)), f r(Ω)) = 0 ou x n˜ao ´e limitada em qualquer intervalo

(46)

(47)

Cap´ıtulo 4

Variedades Diferenci´

aveis

4.1 Introdu¸

c˜

ao

4.1.1 Generalidades

Seja X um conjunto não vazio e x um elemento de X. Uma carta ou sistema de coordenadas de X em x com dom´ınio V , notado domϕ, é uma aplica¸cão injectiva ϕ : V ⊆ X → Rn _{tal que}

1. x ∈ V

2. ϕ(V ) ´_{e aberto em R}n.

Um atlas de X ´e um conjunto A = {(ϕα, Vα) : α ∈ A} tal que

1. Todos os contradom´ınios de cartas est˜ao contidos no mesmo espa¸co euclidiano Rn.

2. ϕα : Vα → Rn ´e carta de X

3. ∪α∈AVα = X

4. Se (ϕα, Vα), (ϕβ, Vβ) ∈ A e Vαβ = Vα∩ Bβ 6= ∅, ent˜ao

(a) ϕα(Vαβ) e ϕβ(Vαβ) s˜ao subconjuntos abertos de Rn.

(b) ϕα◦ ϕ−1β : ϕβ(Vαβ) → ϕα(Vαβ) ´e um homeomorfismo.

(48)

Observa¸cão: A primeira condi¸cão da defini¸cão anterior pode ser dispensada, já que quaisquer dois conjuntos abertos, cada um em seu espa¸co euclidiano, nunca são home-omorfos se as dimensões destes são diferentes (resultado que se encontra demonstrado em qualquer texto de Topologia Algébrica, por exemplo). No entanto, para evitar demasiados detalhes nas demonstra¸cões, resolvemos inclu´ı-la.

As fun¸cões inversas de cartas dizem-se cocartas ou parametriza¸cões. As composi¸cões de cartas com cocartas, ϕ ◦ ψ−1, dizem-se fun¸cões de transi¸cão ou mudan¸cas de coor-denadas. Uma variedade topológica é um par (X, A), em que A é um atlas maximal para a rela¸cão de inclusão, i. e., que não seja subconjunto próprio de qualquer outro atlas.

Se todas as mudan¸cas de coordenadas num atlas são de classe C∞, o atlas diz-se de classe C∞. Uma estrutura diferenciável em X é um atlas de X de classe C∞e maximal para a rela¸cão de inclusão, i. e., que não seja subconjunto próprio de qualquer outro atlas de classe C∞.

A existência de atlas maximais é, por exemplo, consequência do Lema de Zorn, que passamos a enunciar e entenderemos como axioma, já que é equivalente ao Axioma da Escolha da Teoria de Conjuntos.

Lema 4.1.1 (de Zorn) Se X ´e um conjunto parcialmente ordenado onde toda a cadeia tem majorante, ent˜ao existe em X um elemento maximal.

Os dois próximos teoremas valem também para estruturas diferenciáveis, com as demonstra¸cões adaptadas de modo natural, substituindo ”homeomorfismo”por ”difeo-morfismo”. Vejamos então:

Teorema 4.1.1 Seja A um atlas do conjunto X e seja U o conjunto de todos os atlas de X que contêm A, parcialmente ordenado pela rela¸cão de inclusão ⊆. Existe em U um atlas maximal.

Dem. ´E bastante simples verificar que se ˜U = {Uα| α ∈ A} ´e um subconjunto de U

totalmente ordenado por ⊆, ent˜ao ∪ ˜U ∈ U , pelo que U ´e majorante de ˜U . Pelo Lema

de Zorn, U tem um elemento maximal para ⊆. 2

De facto, o atlas maximal referido neste teorema é único. Tal pode ver-se mediante uma outra demonstra¸cão do teorema anterior (4.1.1), feita sem recorrer ao Lema de Zorn, e correspondente ao seguinte enunciado: