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• Esta prova contém 5 questões. A questão 1 é compulsória. Escolhaduasdentre as outras questões. A pontuação máxima nesta prova é 8,0 pontos.
• Rasure os campos ao lado referente às questões que NÃO serão corrigidas.
• Esta prova deve ser devolvida junto às folhas das respostas. Não esqueça de preencher seus dados.
• Celulares devem estar desligados e fora do alcance, junto com o restante do seu material.
• Esta prova tem duração de 2h. A prova deve ser entregue apenas após 1h do início da prova.
Questão 1:
Questão 2:
Questão 3:
Questão 4:
Questão 5:
NOTA:
Questão 1: Sejam~v=
2 1 1 −3
e ω˜ = (−1 1 2 −1)as representações matriciais de um vetor~ve de um
covetorω˜ em uma dada baseB={~bi}noR4e na sua base dual B∗={θ˜k}.
a) (1,0) Calculeω(~v)˜ e a representação matricial do tensorT=~v⊗ω˜ na base{~bi⊗θ˜j}N
i, j=1. De que tipo é
este tensor?
b) (1,0) Agora, considere~b1 =
ˆ e1−eˆ2
√
2 ,~b2 = ˆ e1+ ˆe2
√
2 ,~b3 = ˆe4 e~b4 = ˆe3, onde E = {ekˆ }
4
k=1 é uma base
ortonormal. Determine as representações matriciais das transformações que levamB emE eB∗ na base
dual de E.
Questão 2: Responda os itens abaixo:
a) (1,5) Para um campo vetorial A~ no R3
, mostre que ∇ · A~ e∇ × A~ correspondem, respectivamente, a ⋆d ⋆˜ A˜e⋆d˜A, onde˜ A˜é o covetor dual aA, enquanto que~ ⋆é o dual de Hodge.
b) (0,5)Calcule∇ · ∇ ×A~ para um campo vetorialA~ =Aieiˆ (com{ei}ˆ sendo uma base ortonormal noR3
) que possui componentes com segundas derivadas contínuas;
c) (1,0) Para uma 1-forma Ω =˜ Fjdxj fechada, onde {xj}N
j=1 são coordenadas ortonormais no RN e Fj
funções diferenciáveis destas coordenadas, mostre que
∂Fj ∂xi =
∂Fi
∂xj, p/i= 1,2 . . . , N, j= 1,2. . . , N, i6=j; SeΩ˜ for exata, que condições teremos paraFi, i= 1,2, . . . , N?
Questão 3: Considere o sistema de coordenadas ortogonais {µ, ν, ζ}definido por x= coshµcosν, y= coshµsenν, z=ζ, µ≥0, 0≤ν < π
2, e − ∞< ζ <∞ ondex,y,z são coordenadas cartesianas noR3.
a) (1,0) Determine os vetores{ˆeµ,ˆeν,eζˆ } e covetores unitários {θ˜µ,θ˜ν,θ˜ζ} em termos de
∂ ∂µ,
∂ ∂ν,
∂ ∂ζ
e{dµ, dν, dζ} respectivamente.
b) (1,0) Considere o campo vetorialB~ = ˆeµ. Fazendo uso do dual de Hodge encontre a 2-forma B˜ corres-pondente a B. Obtenha~ ∇ · B~ em termos deµ,ν eζ. Utilize formas diferenciais para seus cálculos. c) (1,0) Considere o campo vetorial A~ = ˆeν. Determine a 1-formaA˜ dual aA. Calcule~ ∇ × A~ em termos
1
Exercício Escolar
Questão 4: Considere a 2-forma
˜
ω= [senθ−γrcos(2θ) cosφ]dr∧dφ+
rcosθ+γr2
sen(2θ) cosφ
dθ∧dφ,
onde (r, θ, φ) são coordenadas esféricas, relacionadas às coordenadas cartesianas por x = rsenθcosφ, y = rsenθsenφez=rcosθ.
a) (1,0) Mostre queω˜ é uma 2-forma fechada.
b) (1,0) Verifique queω˜ é uma 2-forma exata, obtendo uma 1-formaΦ˜ em queω˜ = ˜dΦ.˜ c) (1,0) CalculeR
Sω, onde˜ S é o círculo no planoz= 0, centrado na origem e de raio 1.
θ
ϕ
x1
x2 P
Questão 5: Considere o mapeamento de pontos da esfera de raio 1 (S2
, exceto o pólo norte), denotados por(θ, φ)(ver figura), em pontos(x1
, x2
)noR2 dado por
x1
= 2 cot θ
2
cosφ, x2
= 2 cot θ
2
senφ.
a) (1,0)As curvas em queθé constante, assim como aquelas paraφconstante, são mapeadas em que curvas no plano? Esboce essas curvas.
b) (1,0) Obtenha a base coordenada ∂
∂x1,
∂ ∂x2
no plano em termos da base coordenada ∂
∂θ, ∂ ∂φ
,
assim como dx1
, dx2
em termos de{dθ, dφ}.
c) (1,0) Dados os campos vetoriaisA~ = ˆeφ eB~ = senθeθ, ondeˆ eθˆ eeφˆ são vetores unitários paralelos a ∂ ∂θ e ∂
∂φ respectivamente, determine as dependências de A~ eB~ no plano em termos dex
1
,x2
, ∂ ∂x1 e
GABARITO
Este gabarito deve servir como guia para a avaliação da prova. Entretanto, como forma de disponibilizar roteiros diferentes de como resolver as questões, o gabarito contém mais informações do que as necessárias para uma resolução completa da prova.
Caso alguém venha a notar incorreções ou inconsistências, por favor, entre em contato para que eu corrija o gabarito.
Questão 1: Sejam~v=
2 1 1
−3
e ω˜ = (−1 1 2 −1)as representações matriciais de um vetor~ve de um
covetorω˜ em uma dada baseB={~bi}noR4e na sua base dual B∗={θ˜k}.
a) (1,0) Calculeω˜(~v)e a representação matricial do tensorT=~v⊗ω˜ na base{~bi⊗θ˜j}Ni, j=1. De que tipo é
este tensor?
Como as representações são em termos das bases B e de sua dualB∗, ondeθ˜k(~bi) =δk
i, temos
˜
ω(~v) =ωjθ˜k(vi~bi) =ωjviθk(~bi) =ωjviδk
i =ωivi ou ω(~v) = (˜ −1 1 2 −1)
2 1 1 −3
= 4
Para a representação de T, a partir deT=~v⊗ω˜ =viωj~bi⊗θ˜j, notamos que as componentes de Tna base são dadas pelo produto matricial das representações de~veω. Ou seja,˜
T=
−2 2 4 −2 −1 1 2 −1 −1 1 2 −1 3 −3 −6 3
b) (1,0) Agora, considere~b1 =
ˆ e1−eˆ2
√
2 ,~b2 = ˆ e1+ ˆe2
√
2 ,~b3 = ˆe4 e~b4 = ˆe3, onde E = {eˆk}
4
k=1 é uma base
ortonormal. Determine as representações matriciais das transformações que levamB emE eB∗ na base
dual de E.
Se~bi=Rjiejˆ , entãoeiˆ = R−1j
i~bj, onde
R=
1 √
2 − 1 √
2 0 0 1
√ 2
1 √
2 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
Como θ˜k(~bi) =δk
i, então para transformação deB∗ emE∗ δik= ˜θk(~bi) =Slke˜l(R
j iejˆ ) =S
k lR
j iδ
l j =SkjR
j
i, → S=R−
1
MasB é ortogonal, pois~bi·~bj=δij. Logo, a matriz transformação é ortogonal, pois, δij=~bi·~bj=Rk
iRljekˆ ·elˆ =RkiδklRljRkiδkl Rt j
l =R k i Rt
j
k → R
t=R−1
Logo, as matrizes que levam B em E, assim como B∗ em E∗ são, respectivamente, D =R−1
= Rt e
D∗=S−1
=R, dadas por
D=
1 √ 2
1 √
2 0 0 −√1
2 1 √
2 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
e D∗=
1 √
2 − 1 √
2 0 0 1
√ 2
1 √
2 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1
Exercício Escolar
Questão 2: Responda os itens abaixo:
a) (1,5) Para um campo vetorial A~ no R3
, mostre que ∇ · A~ e∇ × A~ correspondem, respectivamente, a ⋆d ⋆˜ A˜e⋆d˜A, onde˜ A˜é o covetor dual aA, enquanto que~ ⋆é o dual de Hodge.
Considere uma base ortonormal ∂
∂xj
j=1
N e sua base dual{dxj}j
=1N. Então,A~⇔A˜=Ajdxj, donde
dA˜= ∂Aj ∂xidx
i∧dxj → ⋆dA˜= ∂Aj ∂xi ⋆(dx
i∧dxj) = ∂Aj ∂xi
εijk 1! dx
k=εijk∂Aj ∂xidx
k,
ou,
dA˜=
∂A2
∂x1 −
∂A1
∂x2
dx1
∧dx2 +
∂A3
∂x2 −
∂A2
∂x3
dx2
∧dx3 +
∂A1
∂x3 −
∂A3
∂x1
dx3
∧dx1
⋆dA˜=
∂A2
∂x1 −
∂A1
∂x2
⋆(dx1∧dx2) +
∂A3
∂x2 −
∂A2
∂x3
⋆(dx2∧dx3) +
∂A1
∂x3 −
∂A3
∂x1
⋆(dx3∧dx1)
⋆dA˜=
∂A2
∂x1 −
∂A1
∂x2
dx3+
∂A3
∂x2 −
∂A2
∂x3
dx1+
∂A1
∂x3 −
∂A3
∂x1
dx2
Como utilizamos base ortonormalAi =gijAj =δijAj =Ai, o resultado acima fornece as componentes de∇ × A.~
Se tomarmos o dual de Hodge deA, teremos˜
⋆A˜=Ai⋆ dxi=Aiε ijk
2! dx j
∧dxk.
Mas para cada valor de i, temos apenas duas possibilidades para j ek para que εijk 6= 0. Sendo esses valores de iej chamados dei1 ei2, parak=i3, tem-se quei1,i2ei3 são permutações cíclicas de1,2e
3. Logo,
εi1jk 2! dx
j∧dxk =1 2 ε
i1i2j3dxi2
∧dxi3+εi1i3j2dxi3
∧dxi2=dxi2 ∧dxi3. Assim,
⋆A˜=Ai1dx i2
∧dxi3. Aplicando a derivada exterior, encontra-se
d ⋆A˜=∂Ai1 ∂xi1dx
i1 ∧dxi2
∧dxi3
=∂Ai1
∂xi1µ˜ ⇔ ⋆d ⋆ ˜
A=∂Ai1 ∂xi1,
onde µ =dxi1 ∧dxi2
∧dxi3 é o forma-volume, cujo dual de Hodge é igual a 1, i.e., ⋆˜µ = 1. Portanto, observando, ainda, que na base consideradaAi=Ai, podemos concluir que⋆d ⋆A˜ ⇔ ∇ · A.~
b) (0,5)Calcule∇ · ∇ ×A~ para um campo vetorialA~ =Aieˆ
i (com{eˆi}sendo uma base ortonormal noR 3
) que possui componentes com segundas derivadas contínuas.
Utilizando o resultado do item anterior
∇ · ∇ × A~ ⇔ ⋆d⋆ ⋆ dA˜=⋆ddA˜=d2˜
A= 0,
onde utilizou-se ⋆ ⋆ω˜ = ˜ω noR3.
Poder-se-ia, também, resolver utilizando as propriedades do símbolo de Levi-Civita, i.e.,
∇ · ∇ × A~= ∂ ∂xiε
ij k
∂Ak ∂xj =ε
ij k
∂2
Ak ∂xi∂xj =ε
k1k2 k
∂2
Ak ∂xk1∂xk2 +ε
k2k1 k
∂2
Ak ∂xk2∂xk1 = 0,
onde na penúltima igualdade, para um k fixo, i ej assumem os valores k1 ek2, que são aqueles cujo o
símbolo de Levi-Civita é não nulo. Outra maneira de concluir o resultado é queεijké antissimétrico ante a
permutação deiej, enquanto ∂
2
Ak
c) (1,0) Para uma 1-forma Ω =˜ Fjdxj fechada, onde {xj}Nj=1 são coordenadas ortonormais no RN e Fj
funções diferenciáveis destas coordenadas, mostre que
∂Fj
∂xi =
∂Fi
∂xj, p/i= 1,2 . . . , N, j= 1,2. . . , N, i6=j;
SeΩ˜ é fechada, entãodΩ = 0. Portanto,˜
dΩ =˜ ∂Fj ∂xidx
i∧dxj =
∂Fi2 ∂xi1 −
∂Fi1 ∂xi2
dxi1
∧dxi2 = 0, i
1< i2.
Como {dxi1 ∧dxi2
}, comi1< i2 é uma base para 2-formas, segue que
∂Fi2 ∂xi1 −
∂Fi1
∂xi2 = 0 →
∂Fj ∂xi =
∂Fi
∂xj, p/i= 1,2. . . , N, j= 1,2 . . . , N, i6=j
Se Ω˜ for exata, que condições teremos para Fi, i = 1,2, . . . , N? Neste caso, Ω =˜ dH, onde˜ H é uma 0-forma (i.e., uma função). Portanto, levando em conta que{dxj} é uma base para 1-formas,
˜
Ω =Fjdxj= ∂H ∂xjdx
j → Fj−∂H
∂xj = 0 → Fj = ∂H ∂xj
Ou seja,Fj seriam as componentes de∇H.
Questão 3: Considere o sistema de coordenadas ortogonais {µ, ν, ζ}definido por
x= coshµcosν, y= coshµsenν, z=ζ, µ≥0, 0≤ν < π
2, e − ∞< ζ <∞
ondex,y,z são coordenadas cartesianas noR3
.
a) (1,0) Determine os vetores{ˆeµ,ˆeν,eˆζ} e covetores unitários {θ˜µ,θ˜ν,θ˜ζ} em termos de ∂
∂µ, ∂ ∂ν,
∂ ∂ζ
e{dµ, dν, dζ} respectivamente.
Primeiro, calculemos ∂
∂µ, ∂ ∂ν,
∂ ∂ζ
em termos de ∂
∂x, ∂ ∂y,
∂ ∂z
,
∂ ∂µ =
∂x ∂µ
∂ ∂x+
∂y ∂µ
∂ ∂y +
∂z ∂µ
∂
∂z = senhµ
cosν ∂
∂x + senν ∂ ∂y
∂ ∂ν =
∂x ∂ν
∂ ∂x +
∂y ∂ν
∂ ∂y +
∂z ∂ν
∂
∂z = coshµ
−senν ∂
∂x + cosν ∂ ∂y
∂ ∂ζ =
∂x ∂ζ
∂ ∂x +
∂y ∂ζ
∂ ∂y +
∂z ∂ζ
∂ ∂z =
∂ ∂z.
Logo, as componentes diagonais do tensor métrica gsão dadas por
gµµ=g
∂ ∂µ,
∂ ∂µ
= senh2µ cos2
ν+ sen2
ν
= senh2µ, gµζ=gζµ=g
∂ ∂µ,
∂ ∂ζ
= 0,
gνν=g
∂ ∂ν,
∂ ∂ν
= cosh2µ sen2
ν+ cos2
ν
= cosh2µ, gνζ =gζν=g
∂ ∂ν,
∂ ∂ζ
= 0,
gζζ=g
∂ ∂ζ,
∂ ∂ζ
= 1, gµν =gνµ=g
∂ ∂µ,
∂ ∂ν
= senhµcoshµ(−cosνsenν+ cosνsenν) = 0, onde usamos
g
∂ ∂x,
∂ ∂x
=g
∂ ∂y,
∂ ∂y
=g
∂ ∂z,
∂ ∂z
= 1, g
∂ ∂x,
∂ ∂y
=g
∂ ∂y,
∂ ∂z
=g
∂ ∂z,
∂ ∂x
= 0
e o fato de gser simétrico.
Os mesmos resultados poderiam ser obtidos notando que as componentes da métrica se transformam como
gij=
∂xk
∂qiδkl
∂xl
1
Exercício Escolar
onde{qi}3k=1representam as coordenadas{µ, ν, ζ}.
Portanto, o tensor métrica é diagonal (sistema ortogonal), onde
gµµ=h2
µ= senh
2
µ, gνν=h2
ν= cosh
2
µ, gζζ=h2
ζ = 1 de modo que
ˆ eµ = 1
hµ ∂ ∂µ =
1 senhµ
∂
∂µ, θ˜
µ=hµdµ= senhµ dµ
ˆ eν = 1
hν ∂ ∂ν =
1 coshµ
∂
∂ν, θ˜
ν =hνdν = coshν dν
ˆ eζ = ∂
∂ζ, θ˜
ζ =hζdζ =dζ
b) (1,0) Considere o campo vetorial B~ = ˆeµ. Fazendo uso do dual de Hodge encontre a 2-forma B˜
cor-respondente a B. Obtenha~ ∇ · B~ em termos de µ, ν eζ. Utilize formas diferenciais para seus cálculos.
Sabemos que para obtermos ∇ · B~ usando formas diferenciais, teremos de calcular ⋆d(⋆B), onde, de˜ ~
B = ˆeµ, temos a 1-formaB˜ = ˜θµ. Aplicando o dual de Hodge, teremos
⋆B˜ =⋆θ˜µ= ˜θν∧θ˜ζ = coshµ dν∧dζ, de modo que
d ⋆B˜ =∂coshµ
∂µ dµ∧dν∧dζ= senhµ dµ∧dν∧dζ ⋆d ⋆B˜ = senhµ
senhµcoshµ⋆
˜
θµ∧θ˜ν∧θ˜ζ= 1
coshµ =∇ · A~
c) (1,0) Considere o campo vetorial A~ = ˆeν. Determine a 1-formaA˜ dual aA. Calcule~ ∇ × A~ em termos
deµ,ν eζ. Utilize formas diferenciais para seus cálculos.
A 1-forma dual aA~ é dada porA˜= ˜θν = coshµ dν. Calculando a derivada exterior deA˜teremos
dA˜= ∂coshµ
∂µ dµ∧ dν+
∂coshµ
∂ζ dζ∧ dν= senhµ dµ∧ dν=
senhµ senhµcoshµθ˜
µ
∧θ˜ν= θ˜ µ∧θ˜ν coshµ
⋆dA˜= ⋆
˜ θµ∧θ˜ν coshµ =
θζ coshµ.
Como as bases{ˆeµ,ˆeν,eζˆ }e{θ˜µ,θ˜ν,θ˜ζ} são ortonormais,θζ ⇔ ˆeζ, de modo que ∇ × A~ = eζˆ
coshµ
Questão 4: Considere a 2-forma
˜
ω= [senθ−γrcos(2θ) cosφ]dr∧dφ+
rcosθ+γr2
sen(2θ) cosφ
dθ∧dφ,
onde (r, θ, φ) são coordenadas esféricas, relacionadas às coordenadas cartesianas por x = rsenθcosφ, y = rsenθsenφez=rcosθ.
a) (1,0) Mostre queω˜ é uma 2-forma fechada.
SeΩ˜ é fechada, entãodΩ = 0. Logo,˜
d˜ω= ∂
∂θ[senθ−γrcos(2θ) cosφ]dθ∧dr∧dφ+ ∂ ∂r
rcosθ+γr2
sen(2θ) cosφ
b) (1,0) Verifique queω˜ é uma 2-forma exata, obtendo uma 1-formaΦ˜ em queω˜ = ˜dΦ˜.
SeΩ˜ é exata, entãoΩ =˜ dΦ. Além disso, como a derivada exterior é linear,˜ Ω˜ pode ser escrito como
˜ ω=
[senθ−γrcos(2θ) cosφ]dr+
rcosθ+γr2
sen(2θ) cosφ
dθ ∧dφ=
∂Φ ∂rdr+
∂Φ ∂θdθ
∧dφ donde,
∂Φ
∂r = senθ−γrcos(2θ) cosφ e
∂Φ
∂θ =rcosθ+γr
2
sen(2θ) cosφ
Essas equações são naturalmente satisfeitas para
Φ =
rsenθ−γr
2
2 cos(2θ) cosφ
dφ.
c) (1,0) CalculeR
Sω, onde˜ S é o círculo no planoz= 0, centrado na origem e de raio 1.
A integração direta de Ω˜ pode ser feita reconhecendo que emz= 0,θ=π/2 e não há variação ao longo da coordenadaθ. Logo,
Z
S ˜ Ω =
Z
S
[senθ−γrcos(2θ) cosφ]dr∧dφ= Z 1
0
dr Z 2π
0
dφ(1 +γrcosφ) = 2π+γ Z r
0
r dr Z 2π
0
cosφ= 2π
Por outro lado, poderíamos ter utilizado o teorema de Stokes R SΩ =˜
R SdΦ =˜
R
∂SΦ. Deste modo,˜ Z
S ˜ Ω =
Z
∂S ˜ Φ =
Z 2π
0
rsenθ−γr
2
2 cos(2θ) cosφ
r=1, θ=π 2
dφ= Z 2π
0
1 +γ
2cosφ
dφ= 2π
θ
ϕ
x1
x2 P
Questão 5: Considere o mapeamento de pontos da esfera de raio 1 (S2
, exceto o pólo norte), denotados por(θ, φ)(ver figura), em pontos(x1
, x2
)noR2
dado por
x1
= 2 cot
θ 2
cosφ, x2
= 2 cot
θ 2
senφ.
a) (1,0)As curvas em queθé constante, assim como aquelas paraφconstante, são mapeadas em que curvas no plano? Esboce essas curvas.
Paraθ= constante temos circunferências de raio q
(x1)2+ (x2)2= 2 cot
θ 2
centradas na origem. Para
φ = constante, teremos retas radiais, pois x2
= tan(φ)x1
. As curvas para diversos valores de θ = cte (em azul) e deφ= cte (em vermelho) são mostradas na figura abaixo.
3 2 1 0 1 2 3
x
13 2 1 0 1 2 3
x
1
Exercício Escolar
b) (1,0) Obtenha a base coordenada
∂
∂x1,
∂ ∂x2
no plano em termos da base coordenada
∂ ∂θ, ∂ ∂φ , assim como dx1
, dx2
em termos de{dθ, dφ}.
Temos
∂ ∂x1 =
∂θ ∂x1 ∂ ∂θ+ ∂φ ∂x1 ∂ ∂φ e ∂ ∂x2 =
∂θ ∂x2 ∂ ∂θ+ ∂φ ∂x2 ∂ ∂φ, onde ∂ ∂xk 2 cot θ 2
=−csc2
θ
2 ∂θ
∂xk = ∂ ∂xk
p
(x1)2+ (x2)2= x
k
p
(x1)2+ (x2)2 =
cosφ, k= 1 senφ, k= 2
∴ ∂θ
∂xk =−
cosφ, k= 1 senφ, k= 2
csc2 θ 2 =− xk p (x1 )2
+ (x2
)2
1 + (x
1
)2
+ (x2
)2
4
∂tanφ ∂xk = sec
2
φ∂φ ∂xk =
∂ ∂xk x2 x1 = −x2
, k= 1 x1
, k= 2
(x1)2 ∴
∂θ ∂xk =
−x2
, k= 1 x1
, k= 2
(x1)2+ (x2)2 =
−senφ, k= 1 cosφ, k= 2 2 cot θ 2 Portanto, ∂ ∂x1 =−
cosφ csc2 θ 2 ∂ ∂θ − senφ 2 cot θ 2 ∂ ∂φ =−
x1
p
(x1)2+ (x2)2
1 + (x
1
)2
+ (x2
)2 4 ∂ ∂θ − x2 (x1 )2
+ (x2
)2
∂ ∂φ
∂ ∂x2 =−
senφ csc2 θ 2 ∂ ∂θ + cosφ 2 cot θ 2 ∂ ∂φ =−
x2
p
(x1)2+ (x2)2
1 + (x
1
)2
+ (x2
)2 4 ∂ ∂θ + x1
(x1)2+ (x2)2
∂ ∂φ Além disso, dx1 =∂x 1
∂θ dθ+ ∂x1
∂φdφ e dx
2
= ∂x
2
∂θ dθ+ ∂x2
∂φdφ,
dx1
=−csc2
θ 2
cosφ dθ−2 cot
θ 2
senφ dφ e dx2
=−csc2
θ 2
senφ dθ+ 2 cot
θ 2
cosφ dφ
c) (1,0) Dados os campos vetoriaisA~ = ˆeφ eB~ = senθeˆθ, ondeeˆθ eeˆφ são vetores unitários paralelos a
∂ ∂θ e ∂
∂φ respectivamente, determine as dependências de A~ eB~ no plano em termos dex
1
,x2
, ∂ ∂x1 e
∂ ∂x2. Como ∂ ∂θ = ∂x1 ∂θ ∂ ∂x1 +
∂x2
∂θ ∂
∂x2 e
∂ ∂φ =
∂x1
∂φ ∂ ∂x1 +
∂x2
∂φ ∂ ∂x2,
∂
∂θ =−csc
2
θ
2 cosφ ∂
∂x1+ senφ
∂ ∂x2
e ∂
∂φ = 2 cot
θ
2 −senφ ∂
∂x1 + cosφ
∂ ∂x2
e sabemos queeθˆ = ∂
∂θ eeφˆ = 1 senθ
∂
∂φ (lembre que a esfera tem raio igual a 1), então,
ˆ
eθ=−csc2
θ
2 cosφ ∂
∂x1 + senφ
∂ ∂x2
e ˆeφ= 2 cot θ 2 senθ
−senφ ∂
∂x1 + cosφ
∂ ∂x2
.
Pode-se, ainda, simplificar, observando que
2 cot θ
2
senθ =
2 cos θ
2
2 sen2
Logo
ˆ
eθ=−csc2
θ
2 cosφ ∂
∂x1 + senφ
∂ ∂x2
=−
1 +(x
1
)2
+ (x2
)2
4
x1 ∂
∂x1 +x 2 ∂
∂x2
p
(x1)2+ (x2)2
ˆ
eφ= csc2
θ
2 −senφ ∂
∂x1 + cosφ
∂ ∂x2
=
1 +(x
1
)2
+ (x2
)2
4
−x2 ∂
∂x1 +x 1 ∂
∂x2
p
(x1)2+ (x2)2 .
Portanto,
~
A= ˆeφ=
1 +(x
1
)2
+ (x2
)2
4
−x2 ∂
∂x1 +x 1 ∂
∂x2
p
(x1)2+ (x2)2
ParaB~ = senθeθ, note queˆ senθcsc2
θ 2
= 1
2 cot
θ 2
=
1 p
(x1)2+ (x2)2. Logo,
~
B= senθeθˆ =− x1 ∂
∂x1 +x 2 ∂
∂x2
