Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado
Algumas Caracterizac
¸ ˜
oes do Caten´
oide
Adson Sampaio Melo
Salvador — Bahia
Adson Sampaio Melo
Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao
do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador)
Prof. Dr. Marco Antonio Nogueira Fernandes
Orientador: Dr. Enaldo Silva Vergasta.
Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em
Matem´atica da UFBA, 47 p´aginas.
Antes de mais nada, agrade¸co a Deus que me protege e ilumina meus caminhos,
agrade¸co a ele por mais esta vit´oria na minha vida. Gostaria de agradecer a todos os
funcion´arios do IM que de forma direta ou indireta contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste
sonho.
Aos professores, muita sabedoria e dedica¸c˜ao. Em especial, aos professores Jos´e
Fernandes, Jos´e Nelson, ´Ezio, Joseph, Armando, Edson e a meu orientador Enaldo.
Aos meus queridos e inesquec´ıveis colegas, Ab´ılio, Gil, Maur´ıcio, Jarbas, Jackson,
Rolando, Kleyber, Josaphat, Ariane, Mariana, Gabriela, Rosane, Silvia e Elisˆangela entre
outros. A vocˆes meu muito obrigado pelos momentos de alegria e descontra¸c˜ao que vivemos,
mesmo nos momentos de dificuldades.
A minha m˜ae Janete, meus irm˜aos M´arcia e Marcelo e em especial a meu pai que
infelizmente j´a n˜ao se encontra mais em nosso plano.
A Jamile, minha companheira.
Neste trabalho, apresentamos resultados que caracterizam o caten´oide a partir de
algumas de suas propriedades geom´etricas e/ou topol´ogicas.
Resumo vi
Introdu¸c˜ao 1
1 Preliminares 4
2 Superf´ıcie m´ınima com curvatura total finita 18
3 Superf´ıcie m´ınima com for¸ca vertical 25
4 λ-Deforma¸c˜ao de uma superf´ıcie m´ınima 30
5 Teoremas de caracteriza¸c˜ao do caten´oide 40
Bibliografia 45
O caten´oide ´e uma superf´ıcie m´ınima obtida pela rota¸c˜ao da caten´aria em torno
de um eixo. Esta superf´ıcie m´ınima pode ser caracterizada de v´arias formas. V´arios
pesquisadores deram contribui¸c˜oes significativas neste sentido. P´erez e Ros [PR1] e [PR2]
mostraram que um mergulho pr´oprio m´ınimo emR3com curvatura total finita e for¸ca vertical
´e o caten´oide. Como conseq¨uˆencia desse resultado obtiveram, ainda, o caten´oide,
trocando-se a hip´otetrocando-se de for¸ca vertical por gˆenero zero. Seguindo a mesma linha, Ostrocando-serman [Os1]
mostrou que o caten´oide caracteriza-se de outras maneiras, como a ´unica superf´ıcie m´ınima
mergulhada propriamente emR3 com curvatura total igual a −4π ou com aplica¸c˜ao normal
de Gauss injetiva. Hoffman e Karcher [HK] provaram que o caten´oide ´e a ´unica superf´ıcie
m´ınima mergulhada propriamente em R3 com curvatura total maior do que −8π, al´em de
apresentar os mesmos resultados obtidos por P´erez e Ros. Finalmente, utilizando a t´ecnica
de reflex˜ao de Alexandrov, Schoen [Sc] estabelece que o caten´oide ´e a ´unica superf´ıcie m´ınima
mergulhada emR3 com curvatura total finita e dois fins mergulhados.
O prop´osito deste trabalho ´e apresentar algumas caracteriza¸c˜oes do caten´oide,
enun-ciadas a seguir.
Teorema 5.1: A ´unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao n˜ao-plana ´e o caten´oide.
Teorema 5.2: O ´unico anel m´ınimo mergulhado completo com curvatura total finita ´e o
caten´oide.
Teorema 5.3: A ´unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em
R3 com curvatura total finita e for¸ca vertical ´e o caten´oide.
Teorema 5.4: A ´unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em
R3 com curvatura total finita e gˆenero zero ´e o caten´oide.
Z
M
KdA=−4π ´e o caten´oide.
Teorema 5.6: A ´unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em
R3 com
Z
M
KdA >−8π ´e o caten´oide.
Teorema 5.7: A ´unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R3 com
curvatura total finita cuja a aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e injetiva ´e o caten´oide.
Teorema 5.8: A ´unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R3 com
curvatura total finita e dois fins mergulhados ´e o caten´oide.
A prova desses resultados ´e baseada nos trabalhos [PR1], [PR2], [Os1], [HK] e [Sc].
Estruturamos este trabalho da seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo, apresentamos
alguns conceitos e resultados de vari´aveis complexas e geometria diferencial que surgir˜ao e
ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho. O resultado mais importante desse cap´ıtulo ´e o
Teorema da Representa¸c˜ao de Weierstrass. Esse teorema permite obtermos imers˜oes m´ınimas
a partir de uma fun¸c˜ao meromorfa e uma 1-forma holomorfa que satisfazem certas condi¸c˜oes,
onde cada superf´ıcie m´ınima ´e parametrizada e associada a um par dessa natureza. Outro
aspecto interessante segue-se da influˆencia de algumas propriedades desse par na geometria
da superf´ıcie.
No segundo cap´ıtulo definimos curvatura total finita e apresentamos alguns
resul-tados interessantes. Vemos que uma superf´ıcie m´ınima com curvatura total finita apresenta
propriedades que n˜ao encontramos em outras superf´ıcies m´ınimas. Osserman [Os1] mostrou
que uma superf´ıcie desse tipo ´e conformemente equivalente a uma superf´ıcie de Riemann
compacta menos um n´umero finito de pontos, que correspondem aos fins da superf´ıcie. Mais
do que isso, a aplica¸c˜ao normal de Gauss estende-se meromorficamente a estes pontos, ou
seja, podemos determinar o vetor normal nestes pontos. Por outro lado, se a superf´ıcie for
mergulhada, esses vetores s˜ao todos paralelos, o que implica nos fins organizados por
al-tura. Al´em disso, a curvatura total dessas superf´ıcies ´e fortemente relacionada com aspectos
provenientes de sua topologia como, o gˆenero e n´umero de fins.
No terceiro e quarto cap´ıtulos definimos for¸ca e λ-deforma¸c˜ao associadas a uma
superf´ıcie m´ınima, abordando alguns resultados e propriedades que servir˜ao de base para o
que faremos no quinto cap´ıtulo, principalmente nos Teoremas 5.3 e 5.4. O fato de utilizarmos
original preserva algumas propriedades, al´em do fato de algumas dessas propriedades se
relacionarem.
Finalmente, no quinto cap´ıtulo apresentamos algumas caracteriza¸c˜oes do caten´oide,
Preliminares
Neste cap´ıtulo expomos alguns resultados conhecidos, tanto de vari´aveis complexas
como de geometria diferencial que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste
trabalho. Al´em disso, vamos fixar algumas nota¸c˜oes que usamos mais adiante.
Considere f : U → C uma fun¸c˜ao cont´ınua, onde U ´e um aberto de C identificado
com R2. Dizemos quef ´eholomorfa em z0 ∈U, se existe o limite
f′
(z0) = lim
h→0
f(z0+h)−f(z0)
h .
O n´umero complexo f′
(z0) ´e chamado de derivada de f em z0. Se f for holomorfa
em todos os pontos de U, diremos simplesmente que f ´e holomorfa.
Utilizando a identifica¸c˜ao canˆonica de C com R2, escrevendo f(x, y) = u(x, y) +
iv(x, y), sef ´e uma fun¸c˜aoholomorfa em (x, y)∈U, ent˜aof satisfaz asequa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, isto ´e
∂u
∂x(x, y) = ∂v ∂y(x, y)
e
∂u
∂y(x, y) = − ∂v ∂x(x, y).
Definimos o Laplaciano ∆f de uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : U ⊂ R2 → R pela
express˜ao
∆f = ∂
2f
∂u2 + ∂2f ∂v2.
Seja f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa. Temos ent˜ao, das equa¸c˜oes de
Cauchy-Riemann, queu, v :U→R s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas, ou seja
∂2u ∂x2 +
∂2u ∂y2 = 0
e
∂2v ∂x2 +
∂2v ∂y2 = 0.
Dada uma fun¸c˜ao harmˆonica u :U →R ´e natural perguntar se u ´e a parte real de
alguma fun¸c˜ao holomorfa f : U → C, ou seja, se existe uma fun¸c˜ao v : U → R tamb´em
harmˆonica, tal que f = u+iv ´e uma fun¸c˜ao holomorfa. Neste caso, dizemos que v ´e uma
harmˆonica conjugada deu. A resposta afirmativa para esta quest˜ao ´e garantida sempre que
U´e um aberto simplesmente conexo.
Denotamos porDr(z0) o disco de centro emz0 e raiore porD∗
r(z0) = Dr(z0)− {z0}
o disco perfurado de raio r e centro z0.
Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa num aberto U ⊂C. Dizemos que z0 ∈ C−U ´e uma
singularidade isolada def se existe um n´umero real r >0 tal queD∗
r(z0) est´a contido em U.
Ou seja, f est´a definida e ´e holomorfa em todos os pontos de uma vizinhan¸ca de z0, exceto
em z0.
Sejam f :U→C uma fun¸c˜ao holomorfa e z0 ∈C−U uma singularidade isolada de
f. Podemos considerar o desenvolvimento de f em s´erie de Laurent
f(z) =
∞
X
j=−∞
aj(z−z0)j
em D∗
r(z0) = Dr(z0)− {z0} e os coeficientes aj s˜ao dados por aj = 2π1
Z
γ
f(w)dw
(w−z)j+1, onde γ ⊂D∗
r(z0) ´e uma curva fechada simples.
O res´ıduo de f em z0 ´e por defini¸c˜ao o n´umero complexo
Res(f, z0) =a−1 =
1 2π
Z
γ
f(w)dw.
Dizemos que z0 ´e umpolo de ordem n def se existen >0 tal quea−n 6= 0 eaj = 0,
para todoj <−n na s´erie de Laurent.
1.1 Proposic¸˜ao. Um ponto z0 ´e um polo de ordem k ≥1 de f se, e somente se, o limite
lim
z→z0
existe e ´e um n´umero complexo n˜ao-nulo.
Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´emeromorfa num aberto U⊂ C se existe um conjunto
discreto Γ⊂U tal quef ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em U−Γ e os pontos de Γ s˜ao os polos de
f.
Sejam γ : [a, b] → C uma curva fechada em C e z0 ∈ C−γ([a, b]). Definimos o
´ındice de γ com respeito a z0 por
I(γ, z0) = 1 2π
Z
γ dz z−z0
Este n´umero pode ser interpretado geometricamente como o n´umero de voltas que
a curvaγ(t) d´a em torno do pontoz0.
A seguir enunciamos trˆes teoremas importantes de vari´aveis complexas que servir˜ao
para o c´alculo de algumas integrais que surgir˜ao no desenvolvimento deste trabalho.
1.2 Teorema. (Teorema dos res´ıduos) Sejam γ : I → C um caminho fechado simples, R a regi˜ao interior a γ(I) e f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa que possui um n´umero finito de singularidades isoladas em R, digamos z1, ..., zn. Suponhamos que γ esteja orientado positivamente com respeito a R e queU⊃R− {z1, ..., zn}. Ent˜ao
Z
γ
f = 2πi n
X
i=1
Res(f, zi).
1.3 Teorema. (F´ormula integral de Cauchy para derivadas) Sejam f :U→C uma fun¸c˜ao holomorfa definida em um aberto simplesmente conexo U ⊂ C e γ : [a, b] → C uma curva fechada simples em U. Ent˜ao f ∈C∞
e
fn(z0) = n! 2πi
Z f(w)dw
(w−z0)n+1 ∀z0 ∈Int(γ).
1.4 Teorema. Sejam f uma fun¸c˜ao meromorfa em U e γ : I → U um caminho simples fechado e R a regi˜ao interior a γ(I). Suponhamos que γ esteja orientada positivamente com respeito a R e que R ⊂ U. Suponhamos tamb´em que f n˜ao possui polos ou zeros em γ(I). Ent˜ao
1 2πi
Z
γ f′
(z)
f(z)dz =Z(f, R)−P(f, R) =I(f ◦γ,0),
A seguir expomos alguns conceitos e resultados conhecidos de geometria diferencial.
Um subconjunto M ⊂R3 ´e uma superf´ıcie regular ou simplesmente umasuperf´ıcie
se, para cada p∈M, existem uma vizinhan¸ca V depem R3 e uma aplica¸c˜ao ψ :U⊂R2 →
V∩M, onde U´e um aberto, tais que
(i) ψ ´e homeomorfismo;
(ii) ψ ´e diferenci´avel de classe C∞
;
(iii) Para todo q= (u, v)∈U, a diferencial de ψ em q, dψq :R2 →R3, ´e injetora.
Uma superf´ıcie M ⊂ R3 ´e m´ınima se, e somente se, a curvatura m´edia ´e igual a
zero em todos os pontos deM.
Dada uma superf´ıcie M ⊂R3, temos uma maneira natural de medir comprimentos
de vetores tangentes a M. O produto interno do R3, induz, em cada plano tangente TpM,
um produto interno. Seu,v ∈TpM ⊂R3,< u, v >´e igual ao produto interno deuev como
vetores de R3. Uma m´etrica numa superf´ıcie M ´e uma correspondˆencia que associa a cada
ponto p de M um produto interno < , >p no plano tangente TpM. A esse produto interno
corresponde uma forma quadr´aticaIp :TpM →R, definida por
Ip(v) =< v, v >p=|v|2 ≥0.
A forma quadr´atica Ip em TpM, definida acima, ´e chamada a primeira forma quadr´atica ouprimeira forma fundamental da superf´ıcieM no ponto p.
1.5 Teorema. (Princ´ıpio do m´aximo para superf´ıcies m´ınimas)[DHKW] Se S1 e S2 s˜ao duas superf´ıcies m´ınimas conexas com um pontopem comum, tal queS1 est´a em um mesmo lado deS2, ent˜ao uma vizinhan¸ca de pem S1 coincide com uma vizinhan¸ca dep em S2. Em particular, se S1 e S2 s˜ao ambas completas, ent˜ao S1 =S2.
1.6 Teorema. Se M ⊂ R3 ´e uma superf´ıcie compacta, ent˜ao a caracter´ıstica de Euler-Poincar´e χ(M) assume um dos valores 2,0,−2, ...,−2n, .... Al´em disso, se Mf⊂R3 ´e outra superf´ıcie compacta e χ(M) =χ(Mf), ent˜ao M ´e homeomorfa a Mf.
Toda superf´ıcie compactaM ⊂R3´e homeomorfa a uma esfera com um certo n´umero
k de asas. O n´umero k= 2−χ(M)
2 ´e chamado de gˆenero deM.
imers˜ao se a diferencial dψp : TpM → R3 ´e injetiva para todo p ∈ M. Se, al´em disso, ψ ´e
homeomorfismo sobreψ(M)⊂R3, diz-se que ψ ´e ummergulho.
Fazemos algumas considera¸c˜oes e mostramos alguns resultados no intuito de levantar
condi¸c˜oes para provar uma das ferramentas principais deste trabalho, o Teorema da
Repre-sentacao de Weierstrass. Este teorema permitir´a, dentro de certas condi¸c˜oes, parametrizar
superf´ıcies m´ınimas. Al´em disso, vemos mais adiante de que forma podemos estudar certas
propriedades dessas superf´ıcies utilizando esse teorema.
Sejam ψ : U ⊂ R2 → R3 uma superf´ıcie parametrizada regular, onde U ´e um
subconjunto aberto deR2, e
ψ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v)).
Os coeficientes da primeira forma quadr´atica de ψ s˜ao definidos por
E(u, v) =< ψu(u, v), ψu(u, v)>,
F(u, v) =< ψu(u, v), ψv(u, v)>
e
G(u, v) =< ψv(u, v), ψv(u, v)> .
Dizemos que ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica se
E(u, v) =G(u, v) e F(u, v) = 0
em todos os pontos (u, v) deU.
1.7 Proposic¸˜ao. Se ψ :U⊂R2 →R3 ´e uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica, ent˜ao
ψuu+ψvv = 2EHN,
onde H ´e a curvatura m´edia e N ´e o vetor normal unit´ario.
Prova. Comoψ ´e uma parametriza¸c˜ao isot´ermica, tem-se
E(u, v) =< ψu(u, v), ψu(u, v)>=< ψv(u, v), ψv(u, v)>=G(u, v) (1.1)
e
Derivando (1.1) em rela¸c˜ao au, temos
< ψuu, ψu >=< ψvu, ψv >=< ψuv, ψv > . (1.3)
Agora, derivando (1.2) em rela¸c˜ao av, temos
< ψuv, ψv >+< ψu, ψvv >= 0. (1.4)
Verificamos, a partir de (1.3) e (1.4), que
< ψuu, ψu >=−< ψu, ψvv >,
ou seja,
< ψuu+ψvv, ψu >= 0.
Derivando (1.1) em rela¸c˜ao a v, temos
< ψuv, ψu >=< ψvv, ψv >=< ψvu, ψu > . (1.5)
Agora derivando (1.2) em rela¸c˜ao a u, temos
< ψuu, ψv >+< ψu, ψvu>= 0. (1.6)
Verificamos a partir de (1.5) e (1.6), que
< ψuu, ψv >=−< ψvv, ψv >,
logo,
< ψuu+ψvv, ψv >= 0.
Como < ψuu+ψvv, ψu >=< ψuu+ψvv, ψv >= 0, ent˜ao ψuu+ψvv ´e paralelo a N.
Considerando
H = Eg−2F f +Ge 2(EG−F2 =
Eg+Ee
2E2 =
g+e
2E
temos
g+e= 2EH,
onde
Assim,
ψuu+ψvv = < ψuu+ψvv, N > N
= (< ψuu, N >+< ψuu, N >)N
= (e+g)N
= 2EHN,
como quer´ıamos. ¥
1.8 Corol´ario. Seja
ψ :U⊂R2 → R3
(u, v) 7→ ψ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))
uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica. Ent˜ao ψ ´e uma superf´ıcie m´ınima se, e somente se, suas fun¸c˜oes coordenadas x1, x2 e x3 s˜ao harmˆonicas.
Prova. Suponhamos queψ´e uma superf´ıcie m´ınima, ou seja,H = 0. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.25,
ψuu+ψvv = (∂
2x1
∂u2 , ∂2x2
∂u2 , ∂2x3
∂u2 ) + ( ∂2x1
∂v2 , ∂2x2
∂v2 , ∂2x3
∂v2 ) = 0,
ou seja,
∂2x 1 ∂u2 +
∂2x 1 ∂v2 = 0 ∂2x2
∂u2 + ∂2x2
∂v2 = 0 ∂2x3
∂u2 + ∂2x3
∂v2 = 0
logo,x1,x2 e x3 s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas.
Reciprocamente, se x1, x2 ex3 s˜ao harmˆonicas, isto ´e,
∂2x 1 ∂u2 +
∂2x 1 ∂v2 = 0 ∂2x2
∂u2 + ∂2x2
∂v2 = 0 ∂2x3
∂u2 + ∂2x3
∂v2 = 0
ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.25, temos
2EHN =ψuu+ψvv = 0.
1.9 Lema. Sejam ψ = (x1, x2, x3) :U⊂ R2 → R3 uma aplica¸c˜ao diferenci´avel e φ1, φ2, φ3 : U→C dadas por
φ1 = ∂x1
∂u −i ∂x1
∂v , φ2 = ∂x2
∂u −i ∂x2
∂v e φ3 =
∂x3 ∂u −i
∂x3 ∂v .
Ent˜ao < ψu, ψu >=< ψv, ψv > e < ψu, ψv >= 0 se, e somente se, φ21+φ22 +φ23 = 0. Neste caso, ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular (e isot´ermica) se, e somente se, as fun¸c˜oes φ1, φ2, φ3 n˜ao se anulam, simultaneamente, em ponto algum do dom´ınio.
Prova. Primeiramente, observemos que
φ21+φ22+φ23 = (xu−ixv)2+ (yu−iyv)2+ (zu−izv)2
= < ψu, ψu >−< ψv, ψv >−2i < ψu, ψv > .
Logo φ2
1 +φ22+φ23 = 0 se, e somente se, < ψu, ψu >=< ψv, ψv > e < ψu, ψv >= 0.
Neste caso, em cada ponto do dom´ınio, os vetores ψu e ψv s˜ao ortogonais e tˆem o mesmo
comprimento. Da´ı, ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular se, e somente se, ψu (e,
por-tanto, tamb´em ψv) ´e n˜ao nulo em todos os pontos, o que, pela defini¸c˜ao das fun¸c˜oes φ1, φ2,
φ3, ´e equivalente a dizer que estas fun¸c˜oes n˜ao se anulam, simultaneamente, em ponto algum
do dom´ınio. ¥
1.10 Lema. (i) Se φ1, φ2, φ3 s˜ao fun¸c˜oes holomorfas em U, satisfazendo φ21+φ22+φ23 = 0,
ent˜ao existem uma fun¸c˜ao holomorfaf e uma fun¸c˜ao meromorfa g em U, tais que
φ1 =
1
2f(1−g
2) (1.7)
φ2 = i
2f(1 +g
2) (1.8)
φ3 =f g (1.9)
e cada polo de ordemm de g ´e um zero de ordem k de f, com k ≥2m.
Reciprocamente, se f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em U e g ´e uma fun¸c˜ao meromorfa emU, tais que cada polo de ordem m deg ´e um zero de ordem pelo menos 2mde f, ent˜ao as fun¸c˜oesφ1, φ2, φ3 :U→Cdefinidas, respectivamente, por(1.7),(1.8)e(1.9), s˜ao holomorfas e satisfazem
φ21+φ22+φ23 = 0.
Prova. (i) Como φ2
1+φ22+φ23 = 0, podemos escreverφ21+φ22 =−φ23, que equivale a
(φ1 −iφ2)(φ1+iφ2) = −φ23. (1.10)
Se φ3 ≡ 0, tomando g ≡ 0 e f = 2φ1, vemos que (1.7), (1.8) e (1.9) s˜ao satisfeita.
Se, por outro lado, φ3 n˜ao ´e identicamente nula, por (1.10), vemos que a fun¸c˜ao holomorfa
(φ1−iφ2) tamb´em n˜ao se anula.
Definindo, f = φ1 −iφ2 e g = φ3
φ1−iφ2, claramente f ´e holomorfa e g ´e meromorfa.
Al´em disso, por (1.10) temos
φ1+iφ2 =− φ 2 3 φ1−iφ2
.
Logo,
1
2f(1−g
2) = 1
2(φ1−iφ2)(1−
φ2 3
(φ1−iφ2)2) =φ1, i
2f(1 +g
2) = i
2(φ1−iφ2)(1 +
φ2 3
(φ1 −iφ2)2) =φ2,
f g = (φ1−iφ2)( φ3
φ1−iφ2
) = φ3.
Portanto, (1.7), (1.8) e (1.9) s˜ao satisfeitas.
Comoφ1 ef s˜ao holomorfas, da equa¸c˜ao (1.7), obtemos a holomorfia def g2. Agora
sew0 ´e um polo de ordem m de g na vizinhan¸ca de w0, escrevemos
g(w) = g1(w)
(w−w0)m, com g1(w0)6= 0
e
f(w) = (w−w0)kf1(w), com f1(w0)6= 0 e k ≥0.
Comof g2(w) = (w−w0)k−2mf1(w)g1(w) ´e holomorfa, ent˜ao devemos terk−2m≥0,
isto ´e,w0 ´e um zero de f com multiplicidade pelo menos 2m.
Para provar a rec´ıproca, observemos que na vizinhan¸ca de cada polow0 degpodemos
escrever
g(w) = g1(w)
(w−w0)m, com g1(w0)6= 0
e
Ent˜ao
f g(w) = (w−w0)k−m
f1(w)g1(w)
e
f g2(w) = (w−w0)k−2mf1(w)g2
1(w). (1.11)
Como k−2m ≥0, conclui-se que f g e f g2 s˜ao holomorfas. De (1.7), (1.8) e (1.9), como f
´e holomorfa e a soma de fun¸c˜oes holomorfas ´e ainda holomorfa, conclu´ımos que φ1, φ2 e φ3
s˜ao holomorfas.
Ainda por (1.7), (1.8) e (1.9), temos
φ21+φ22+φ23 = 1 4f
2(1−2g2+g4)− 1
4f
2(1−2g2+g4) +f2g2
= −1
2f
2g2− 1
2f
2g2+f2g2
= 0.
(ii) Seja w0 um polo de ordemm deg. J´a sabemos quew0 ´e um zero de ordem pelo
menos 2m de f. Logo, por (1.7), (1.8) e (1.9), w0 ´e um zero de φ1 e φ2 se, e somente se, ´e
um zero def g2. Pela equa¸c˜ao (1.11), w0 ´e um zero de f g2 se, e somente se, k >2m. ¥
1.11 Teorema. (Representa¸c˜ao de Weierstrass). Sejam M ⊂ R3 uma superf´ıcie m´ınima e ψ = (x1, x2, x3) : U ⊂ R2 → R3, onde ψ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v)), uma parametriza¸c˜ao isot´ermica de M, definida num dom´ınio simplesmente conexo U. Ent˜ao existem uma fun¸c˜ao holomorfaf e uma fun¸c˜ao meromorfa g em U, tais que
x1 = Re
Z z
z0
1
2f(1−g
2)dz (1.12)
x2 = Re
Z z
z0
i
2f(1 +g
2)dz (1.13)
x3 = Re
Z z
z0
f gdz (1.14)
para algum z0 ∈U, e cada polo de g com multiplicidade m corresponde a um zero de f com multiplicidade2m.
Prova. Seja
ψ :U⊂R2 → R3
(u, v) 7→ ψ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))
uma superf´ıcie isot´ermica m´ınima. Como vimos na Proposi¸c˜ao 1.8, as fun¸c˜oes coordenadas
x1, x2 e x3 s˜ao harmˆonicas. Sendo o dom´ınio U simplesmente conexo, existe para cada
uma delas uma fun¸c˜ao harmˆonica conjugadax1e,x2e e x3e respectivamente, todas definidas no
mesmo dom´ınioU, de modo que
θ1 =x1(u, v) +ix1e(u, v)
θ2 =x2(u, v) +ix2e(u, v)
e
θ3 =x3(u, v) +ix3e(u, v)
s˜ao holomorfas.
Derivando as fun¸c˜oesθ1,θ2 eθ3 em rela¸c˜ao `a vari´avel complexaw=u+iv, obtemos
trˆes fun¸c˜oes, tamb´em holomorfas, dadas por
φ1 =θ
′
1(w) = ∂x1
∂u −i ∂x1
∂v (1.15)
φ2 =θ′
2(w) = ∂x2
∂u −i ∂x2
∂v
e
φ3 =θ′
3(w) = ∂x3
∂u −i ∂x3
∂v .
Observemos que
x1 =Reθ′
1 =Re
Z z
z0
φ1 (1.16)
x2 =Reθ′
2 =Re
Z z
z0
φ2 (1.17)
x3 =Reθ′
3 =Re
Z z
z0
φ3 (1.18)
Usando a parte (i) do Lema 1.10, vemos que existem fun¸c˜oes f e g tais que f ´e
holomorfa, g ´e meromorfa, cada polo de g com multiplicidade m ´e zero de f com
multipli-cidade k ≥ 2m. Se k > 2m em algum polo w0 ent˜ao a parte (ii) do Lema 1.10 afirma que
φ1(w0) = φ2(w0) =φ3(w0) = 0. Da´ı, por (1.15), ∂x1
∂u(w0) = ∂x1
∂v(w0) = 0, o que n˜ao ´e poss´ıvel
pois a superf´ıcie ´e regular. Conclu´ımos ent˜ao que k= 2m.
Reciprocamente, se f e g satisfazem as condi¸c˜oes requeridas ent˜ao, definindo φ1,φ2
e φ3 por (1.7), (1.8) e (1.9), respectivamente, segue-se do Lema 1.10 que φ1, φ2 e φ3 s˜ao
holomorfas e satisfazem
φ21+φ22+φ23 = 0.
Definindo x1, x2 e x3 por (1.12), (1.13) e (1.14), respectivamente, temos de acordo
com o Lema 1.9 e a parte (ii) do Lema 1.10, que ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular
isot´ermica. Al´em disso, como x1, x2 e x3 s˜ao definidas respectivamente por (1.12), (1.13) e
(1.14), cada uma das fun¸c˜oes x1, x2 e x3 ´e a parte real de uma fun¸c˜ao holomorfa, logo s˜ao
harmˆonicas. Conclu´ımos, usando a Proposi¸c˜ao 1.8, que ψ ´e uma superf´ıcie m´ınima. ¥
Enunciamos a Representa¸c˜ao de Weierstrass do ponto de vista de superf´ıcie de
Rie-mann e vemos que alguns resultados importantes s˜ao obtidos. Para isto apresentamos
algu-mas defini¸c˜oes.
Uma superf´ıcie de Riemann ´e um espa¸co topol´ogico M, munido de uma fam´ılia
{ψα}α∈L de aplica¸c˜oes, ψα :Uα ⊂C→Vα, tais que
(i) Sα∈LVα =M;
(ii) ψα ´e um homeomorfismo, ∀ ∈L;
(iii) Se Vα∩Vβ 6=∅, ent˜ao ψαβ =ψ−1
α ◦ψβ :ψ
−1
β (Vβ)→ψ−α1(Vα) ´e holomorfa.
Podemos estender a no¸c˜ao de aplica¸c˜ao holomorfa para superf´ıcies de Riemann. Se
M e M s˜ao superf´ıcies de Riemann, dizemos que f : M → M ´e holomorfa quando toda representa¸c˜ao ψ−1
β ◦f ◦ψα de f, em termos de parametriza¸c˜oes como acima definidas (em
M e M), ´e uma fun¸c˜ao holomorfa.
Dizemos que uma bije¸c˜ao f : M → M ´e uma bije¸c˜ao holomorfa se f e f−1 s˜ao
fun¸c˜oes holomorfas. Dadas duas superf´ıcies de Riemann M e M, se existe uma bije¸c˜ao
φ em uma superf´ıcie de Riemann M ´e uma1-forma holomorfa se, em cada parametriza¸c˜ao conformeψ :U⊂C→M, φ se escreve como φ=ω(z)dz, onde ω :U→C´e uma aplica¸c˜ao
holomorfa.
1.12 Teorema. [Os2] Sejam M ⊂R3 uma superf´ıcie de Riemann,g :M →C∪ {∞} uma fun¸c˜ao meromorfa e φ uma 1-forma holomorfa em M. Suponha que
(i) Os ´unicos zeros deφ coincidem com os zeros ou polos deg, com a mesma ordem;
(ii) Para qualquer curva fechada γ ⊂M, tem-se
Re
Z
γ
Φ = Re
Z
γ
(φ1, φ2, φ3) = 0, (1.19)
onde
φ1 = 1 2(g
−1−g)φ, (1.20)
φ2 = i 2(g
−1+g)φ (1.21)
e
φ3 =φ. (1.22)
Ent˜ao a aplica¸c˜ao ψ :M →R3 dada por
ψ(p) =Re
Z p
p0
(φ1, φ2, φ3), (1.23)
´e uma imers˜ao conforme m´ınima de M. O par (g, φ) ´e chamado de dados de Weierstrass da superf´ıcie M.
A condi¸c˜ao (1.19) diz que as 1-formas φ1, φ2 e φ3 n˜ao tˆem per´ıodos reais.
Uma propriedade interessante da fun¸c˜aog, que decorre desta representa¸c˜ao, ´e o fato
dela descrever a aplica¸c˜ao normal de Gauss N : M → S2(1). Mais precisamente, pode-se
verificar que, seπ :S2(1)− {(0,0,1)} →C ≃ C∪ {∞} ´e a proje¸c˜ao estereogr´afica a partir
do polo norte de S2(1), ent˜aog =π◦N.
A seguir, damos alguns exemplos de superf´ıcies m´ınimas parametrizadas pela
Repre-senta¸c˜ao de Weierstrass, que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.
Exemplo 1.1. O cateno´ıde pode ser parametrizado pelos dados de Weierstrass
(g(z) =z, φ = dz
z ) e M =C− {0}, ou seja, a imers˜ao
ψ(z) =Re
Z z
z0
(1 2(z
−1
−z), i
2(z
−1
+z),1)dz
z ´e o cateno´ıde.
Exemplo 1.2. A superf´ıcie de Enneper de ordem k pode ser parametrizada pelos dados de Weierstrass
(g(z) = zk, φ=g(z)dz) e M =C,
ou seja, a imers˜ao
ψ(z) =Re
Z z
z0
(1 2(z
−k−zk), i
2(z
−k+zk),1)zkdz
´e a superf´ıcie de Enneper de ordem k.
Uma propriedade interessante desta superf´ıcie m´ınima ´e que tem auto-interse¸c˜oes
no infinito.
Vemos algumas quantidades b´asicas deM (ver [BC]) em termos deg eφ. A m´etrica
induzida emM pode ser expressa como
ds = 1
2(|g|+|g|
−1
)|φ|, (1.24)
a curvatura Gaussiana dessa m´etrica ´e dada por
K = −16
(|g|+|g|−1)4.| dg gφ |
2, (1.25)
e, finalmente, podemos expressar o vetor normal num ponto pcom
N(p) = 2
1 +|g|2(Re(g), Im(g),
|g|2−1
2 ).
Uma curva divergente em M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α: [0,∞)→M tal que para todo compacto K ⊂ M existe t0 ∈ (0,∞) com α(t) 6∈ K para t > t0. Define-se o
comprimento de uma curva divergenteα por
Z
α
ds = lim
t→∞
Z t
0 |α′
(t)|dt.
A superf´ıcie M ´e completa se
Z
α
ds = ∞ para qualquer curva divergente α em M.
Superf´ıcie m´ınima com curvatura
total finita
Neste cap´ıtulo, apresentamos o conceito de curvatura total finita, abordando
al-guns resultados fortes e at´e mesmo surpreendentes do ponto vista geom´etrico de algumas
superf´ıcies. Vemos que o fato de uma superf´ıcie m´ınima apresentar curvatura total finita
implica em propriedades que n˜ao obtemos em outras superf´ıcies m´ınimas.
Como a fun¸c˜ao curvatura Gaussiana K de uma superf´ıcieM ⊂R3 ´e o produto das
curvaturas principais, se M ´e uma superf´ıcie m´ınima, ent˜ao as curvaturas principais tem
sinais opostos e portanto,K ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-positiva. Outra maneira de obter K ´e como
o determinante da matriz da diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss. A ´area da imagem
esf´erica deM, contando com multiplicidade, pode ser calculada como (ver [dC1])
A(N(M)) =−
Z
M KdA.
Esta integral ´e denominadacurvatura total da superf´ıcie m´ınima M.
Na fam´ılia das superf´ıcies m´ınimas completas, temos uma importante e natural
subclasse das superf´ıcies cuja integral da curvatura de Gauss C(M) =
Z
M
KdA ´e finita.
Quando isso ocorre dizemos que a superf´ıcie m´ınima temcurvatura total finita. As superf´ıcies desta subclasse apresentam v´arias propriedades interessantes, como vemos no teorema que
se segue.
Antes de mencionar estas propriedades vamos definir aplica¸c˜ao pr´opria.
Uma aplica¸c˜aof :X →Y entre espa¸cos topol´ogicos ´epr´opriasef−1
em X para todo compactoK ⊂Y.
O teorema que apresentamos a seguir descreve algumas propriedades das superf´ıcies
m´ınimas de curvatura total finita.
2.1Teorema. [Os1] Sejaψ :M →R3uma imers˜ao m´ınima completa (n˜ao necessariamente mergulhada) com curvatura total finita. Ent˜ao
(i) M ´e conformemente equivalente a M− {p1, ..., pr}, onde M ´e uma superf´ıcie de Riemann compacta de gˆenero k, os pontos p1, ..., pr s˜ao os fins de M e r≥1;
(ii) ψ ´e pr´opria;
(iii) Os dados Weierstrass (g, φ) extendem-se meromorficamente a M;
(iv) A curvatura total ´e um m´ultiplo de 4π e satisfaz
Z
M
KdA≤ −4π(k+r−1);
(v) Se ψ ´e um mergulho ent˜ao todos vetores normais em p1, ..., pr s˜ao paralelos e, depois de uma rota¸c˜ao, se necess´ario, podemos assumir que N(pi) = (0,0,±1), i= 1, ..., r.
Seja Dj uma vizinhan¸ca perfurada de pj ∈ M. Denominamos ψ(Dj) como um fim
de M.
Observemos que o gˆenero de M coincide com o gˆenero da compactifica¸c˜ao M.
Dada uma superf´ıcie de Riemann M e uma aplica¸c˜ao meromorfaF :M →S2, para
qualquerq∈S2 o conjuntoF−1(q) = {p∈M/F(p) =q} tem o mesmo n´umero de elementos
s, que ´e chamado grau da aplica¸c˜ao meromorfaF.
Podemos determinar o grau de N em termos do gˆenero da superf´ıcie de Riemann
compactaM e o n´umero de fins da imers˜ao pelaF´ormula Jorge-Meeks [JM]. QuandoM tem fins mergulhado, esta f´ormula estabelece que
grau(N) = k+r−1.
Note da f´ormula acima que o grau da aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e fortemente relacionada
com a curvatura total da imers˜aoψ. Al´em disso, segue diretamente da defini¸c˜ao de grau que
a aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e injetiva se, e somente se, grau(N)=1.
Exemplos simples de superf´ıcie m´ınima completa com curvatura total finita s˜ao o
superf´ıcie m´ınima mergulhada, pois, como mostramos mais adiante, cada fim mergulhado
de uma superf´ıcie m´ınima completa com curvatura total finita deve ser assint´otico a um
semi-cateno´ıde ou a um plano.
Se permitimos que tais superf´ıcies tenham auto-intersec¸c˜oes, ent˜ao fins mais
com-plicados podem aparecer, como na superf´ıcie de Enneper.
Fora de um conjunto compacto uma superf´ıcie m´ınima completa mergulhada M
com curvatura total finita tem uma forma absolutamente controlada, como mostramos na
Proposi¸c˜ao 2.4, al´em disso, pelo item (i) do Teorema 2.1 existe um n´umero finito de fins
paralelos.
Mostramos alguns resultados importantes, nesse contexto, a respeito do plano.
2.2 Proposic¸˜ao. O plano ´e a ´unica superf´ıcie m´ınima completa mergulhada em R3 com curvatura total finita e exatamente um fim.
Prova. Sejaψ = (x1, x2, x3) :M →R3 um mergulho m´ınimo completa com curvatura total
finita e um fim. Observe que este fim deve ser do tipo planar. Caso contr´ario, seria do tipo
caten´oide e x3 : M → R3 seria ilimitada. Como o fim ´e do tipo planar, a fun¸c˜ao terceira
coordenada x3 : M →R3 ´e harmˆonica e limitada superiormente (ou inferiormente). Assim
x3 deve ser constante, logo a superf´ıcie ψ(M) deve ser um plano. ¥
2.3 Proposic¸˜ao. O plano ´e a ´unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R3 com curvatura total finita igual a zero.
Prova. Sejaψ :M →R3 um mergulho pr´oprio m´ınimo completo com curvatura total igual
a zero. Pelo item (iv) do Teorema 2.1 a curvatura total de ψ satisfaz a condi¸c˜ao
Z
M
KdA ≤ −4π(k+r−1)
e por hip´otese temos
Z
M
KdA = 0. Assim 0≤ −4π(k+r−1), isto implica em k+r ≤ 1.
Decorre da´ı e pelo fato de r ≥ 1 que r = 1, logo, pela Proposi¸c˜ao 2.2, a superf´ıcie ψ(M) ´e
um plano. ¥
A seguir vemos como se comporta a terceira fun¸c˜ao coordenada x3 :D− {p} → R
de um fim mergulhado de curvatura total finita.
fora de um conjunto compacto, ψ(D− {p}) ´e um gr´afico com o seguinte comportamento assint´otico:
x3(x1, x2) =αlogρ+β+ρ
−2(γ
1x1+γ2x2) +O(ρ
−2) (2.1)
ondeρ=px2
1+x22. Al´em disso, as duas primeiras componentes φ1, φ2 em (1.19) tˆem polos de ordem dois em p e n˜ao tˆem res´ıduo, enquanto a terceira componente φ3, tamb´em em (1.19), ou ´e regular (que ocorre se e somente se α = 0 em (2.1)) ou tem um polo simples.
Prova. Provamos esta proposi¸c˜ao no caso em que a aplica¸c˜ao de Gauss no fim mergulhado ´e injetiva. Neste caso assumimos, sem perda de generalidade, que p = 0 e g(z) = z em
D={z/|z|< R}. (Em geral podemos assumir queg(z) =zk em D={z/|z|< R}e pode-se
mostrar que α= 0 quando k >1).
Por (1.12), (1.13) e (1.14), temos,
x1(z) = Re
Z z
z0
φ1 =Re
Z z
z0
1 2(g
−1−g)φ=Re
Z z
z0
1 2(z
−1−z)φ
x2(z) = Re
Z z
z0
φ2 =Re
Z z
z0
i
2(g
−1+g)φ=ReZ z z0
i
2(z
−1 +z)φ
x3(z) = Re
Z z
z0
φ.
Observe que
2(x1−ix2) =
Z z
z0
g−1φ−
Z z
z0
gφ=
Z z
z0
z−1φ−
Z z
z0
zφ.
Expressamos agora φ mais precisamente, escrevendo,
φ= (c−kz −k
+...+c−1z
−1
+c0+zw1(z))dz,
ondew1(z) ´e uma fun¸c˜ao holomorfa.
Observemos que x1 −ix2 n˜ao ´e bem-definida se c0 6= 0, pois a primeira integral na
express˜ao x1 −ix2 produziria um termo c0lnz, que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao bem-definida em z,
logo c0 = 0. Por raz˜oes similares (usando a segunda integral), obtemos que c−2 = 0.
2.1 Afirmac¸˜ao. φ tem um polo em zero.
Prova. Suponha queφ n˜ao tem um polo em zero, isto significa queφ =zw1(z)dz, ondew1
Considere uma curva divergente α: [0,1)→M definida por α(t) = (1−t)z0, onde
z0 ∈D.
Escolha uma bola compacta D(0, r) ⊂ D, onde r > |z0|. Como w1 ´e cont´ınua e
D(0, r) ´e compacto, podemos encontrar c > 0, tal que|w1(z)|< c sempre que |z|< r.
Calculando a integral de ds, ao longo de α, temos
Z
α
ds = 1 2
Z
α
(|z|2+ 1)
|z| |zw1(z)||dz|
= 1
2
Z
α
(|z|2+ 1)|w1(z)||dz|
= 1
2βlim→1
Z β
0
(|α(t)|2+ 1)|w1(α(t))||α
′
(t)|dt
< c(R 2+ 1)
2 βlim→1
Z β
0 |α′
(t)|dt
= c(R
2+ 1)|z0|
2 .
Isto contradiz o fato da m´etricads ser completa, portanto φ tem um polo em zero.
2.2 Afirmac¸˜ao. φ tem um polo simples em p= 0.
Prova. Suponha, por absurdo, que o polo deφ n˜ao ´e simples. Isto implica, pela Afirma¸c˜ao 2.2, que c−k6= 0 para k≥3.
Considere f(z) = (x1−ix2)(z) =
Z z
z0
z−1φ−
Z z
z0
zφ, onde φ = (c−kz −k
+...+c0+
zw1(z))dz. Por integra¸c˜ao podemos expressar f(z) como
f(z) = −c−kz
−k
k −...−c−1z
−1
+c−kz
−k+2
k−2 +...+c−1z
−1
+w3(z) + constante,
ondew3 ´e cont´ınua.
Escolha γ ⊂Dum c´ırculoz =reiθ,θ ∈[0,2π] de raio suficientemente pequeno e de
modo que a regi˜ao R, limitada por γ, n˜ao contenha nenhum zero de f(z).
Comof◦γ ´e uma curva fechada emM, poisf ´e cont´ınua eγ ´e uma curva fechada, e
f tem um polo de ordemk e n˜ao tem zeros emR, ent˜ao, pelo Teorema 1.4,I(f◦γ,0) =−k,
k≥3. Logo f◦γ tem auto-interse¸c˜oes.
Por outro lado, como o fim ´e mergulhado, a imagem do c´ırculoz =reiθ ´e uma curva
pequeno e tomado pr´oximo de um ponto correspondente a um fim de ψ, segue-se da´ı que o
vetor normal ao longo desta curva se aproxima da vertical.
Estes dois fatos se contradizem, pois a proje¸c˜ao da imagem do c´ırculo z =reiθ em
M n˜ao pode ter auto-interse¸c˜oes, como em f ◦γ. Assim φ tem um polo simples em zero.
Portanto, pelas Afirma¸c˜oes (2.1) e (2.2), obtemos que φ = (c−1z −1
+zw1(z))dz,
ondew1(z) ´e holomorfa.
Analisemos agora
x3 = Re
Z γ φ = Re Z γ
(c−1z
−1+zw1(z))dz
= Re(2πic−1),
ondeγ ⊂D´e uma curva fechada. Como x3 ´e bem-definida, ou seja , Re
Z
γ
φ= 0, ent˜ao c−1
deve ser um n´umero real.
Provamos, agora, queφ1 eφ2 tˆem polo duplo emp= 0 e n˜ao tˆem res´ıduos emp= 0.
De fato,
lim
z→0z
2φ
1 = lim
z→0z
2(z−1−z)(c
−1z
−1+zw 1(z))
= lim
z→0(c−1+z
2w
1(z)−c−1z2−z4w1(z))
= c−1 6= 0.
Portantoφ1 tem um polo duplo em p= 0. De forma an´aloga, conclui-se queφ2 tamb´em tem
um polo duplo emp= 0. Al´em disso
Res(φ1,0) = 1 2π
Z
γ
(z−1
−z)(c−1z −1
+zw1(z))dz
= 1
2π
Z
γ
1
z2(c−1+z
2w1(z)−c
−1z2−z4w1(z))dz,
onde γ ⊂D− {p} e γ ´e uma curva fechada. Aplicando a F´ormula integral de Cauchy para
derivadas na ´ultima igualdade obtemos
Res(φ1,0) = 2z0w1(z0) +z02w′
1(z0)−2c−1z0+ 4z03w1(z0) +z04w ′
1(z0)|z0=0
= 0.
Agora podemos escrever
x1−ix2 =c−1/z+M0+zw2(z) +zw3(z)
e
x3 =M1+c−1ln|z|+O(|z|2),
ondewi(z) ´e holomorfa eMi ´e uma constante, e pode-se mostrar que
x3(z) = const.−c−1lnρ−ρ−2c−1Re(x1−ix2).c+O(ρ
−2), (2.2)
ondeρ =px2
1+x22 ec´e uma constante. ¥
A partir da Proposi¸c˜ao 2.4, podemos observar alguns fatos importantes a respeito
de um fim de uma superf´ıcie m´ınima mergulhada com curvatura total finita e definir algumas
coisas.
2.5Observa¸c˜ao. (i) Um fim mergulhado de curvatura total finita ´e assint´otico a um caten´oide (x3 =αlogr+β) ou a um plano (x3 =β);
(ii) Observe da equa¸c˜ao (2.2) que o crescimento logaritmo de um fim mergulhado, parametrizado num disco perfurado D− {p}, ´e igual a −c−1, onde c−1 ´e o res´ıduo de φ em p;
(iii) Considere um fim mergulhado de uma superf´ıcie m´ınima completa de curvatura total finita. O fim ´e tipo planar se α = 0 na equa¸c˜ao (2.1) e ´e um fim tipo caten´oide caso contr´ario.
(iv) Em termos da representa¸c˜ao de Weierstrass, um fim mergulhado completo ψ :D− {p} →R3 de curvatura total finita onde a aplica¸c˜ao de Gauss extendida em p´e igual a (0,0,±1), pode ser parametrizado na forma
g(z) =zk e φ=zk(α
z2 +h(z))dz,
onde uma das seguintes possibilidades ocorrem:
(iv.1) Fim tipo caten´oide: k = 1 e α ∈R− {0} (α ´e o crescimento logar´ıtmico do fim). Neste caso, o fim ´e assint´otico a um semi-caten´oide;
(iv.2) Fim tipo planar: k≥2 e α∈C− {0}. Agora o fim ´e assint´otico a um plano.
Observe que os dados de Weierstrass acima devem satisfazer a condi¸c˜ao (i) do
Superf´ıcie m´ınima com for¸
ca vertical
Neste cap´ıtulo, vemos o conceito de for¸ca numa superf´ıcie m´ınima, como se
com-porta a for¸ca em um fim mergulhado de curvatura total finita, algumas propriedades, quais
as condi¸c˜oes para termos for¸cas verticais e abordamos tal conceito e propriedades via
Repre-senta¸c˜ao de Weierstrass. Vemos de que forma podemos transportar tudo isto para o teorema
que permite parametrizar as superf´ıcies m´ınimas. Para isto fazemos algumas considera¸c˜oes
iniciais.
Consideremos uma imers˜ao m´ınima conformeψ :M →R3. Dada uma curva fechada
γ ⊂ M, denotemos η = −dψ(Jγ′
) o vetor conormal ao longo de γ, onde, em cada plano
tangente, J ´e a rota¸c˜ao de 900 no sentido positivo e γ′
´e a derivada de γ com respeito ao
parˆametro comprimento de arco.
A for¸ca de ψ ao longo deγ ´e definida por
F(ψ, γ) =
Z
γ ηds.
Quando γ ´e o bordo de um dom´ınio regular Ω⊂M, pelo teorema da Divergˆencia
temos
F(ψ, γ) =
Z
∂Ω ηds=
Z
Ω
∆ψdA = 0,
poisψ ´e m´ınima, da´ı suas coordenadas s˜ao harmˆonicas, ou seja, ∆ψ = 0.
Assim, se γ e ξ s˜ao curvas numa mesma classe de homologia, considerando um
dom´ınio regular tal que∂Ω = γ∪ξ, (γ eξ com orienta¸c˜oes opostas), obtemos
0 =
Z
Ω
∆ψdA =
Z
∂Ω ηds=
Z
γ∪ξ ηds=
Z
γ ηds−
Z
logo, Z γ ηds= Z ξ ηds.
Portanto, a for¸ca de ψ ao longo de γ n˜ao depende da curva em uma mesma classe de
homologia.
Considerando-se que a imers˜ao conforme m´ınima ψ : M → R3 em (1.23) ´e
bem-definida, isto ´e,Re
Z
γ
Φ = 0, ´e natural questionar sobre o significado geom´etrico de Im
Z
γ
Φ.
Para responder essa quest˜ao enunciamos e provamos a proposi¸c˜ao a seguir.
3.1 Proposic¸˜ao. Se Φ = d(ψ+iψ∗
) ´e a forma Weierstrass de ψ, onde ψ∗
´e a imers˜ao m´ınima conjugada que globalmente n˜ao ´e bem-definida e Φ = (φ1, φ2, φ3), ent˜ao a for¸ca de ψ ao longo de γ coincide com o per´ıodo de ψ∗
ao longo da mesma curva.
Prova. Seja
ψ :U⊂C≃R2 → R3
x 7→ (x1(x), x2(x), x3(x)),
ondeU ´e um aberto simplesmente conexo.
Como as fun¸c˜oes coordenadas x1, x2 e x3 s˜ao fun¸c˜oes reais, podemos expressar a
diferencial deψ no ponto p como
dψp(x) = (dx1(p)(x), dx2(p)(x), dx3(p)(x))
= (∂x1
∂u (p).u+ ∂x1
∂v (p).v, ∂x2
∂u (p).u+ ∂x2
∂v (p).v, ∂x3
∂u (p).u+ ∂x3
∂v (p).v),
ondep= (a, b) e x= (u, v)∈R2 ≃C.
Al´em disso, pelo fato deU ser um aberto simplesmente conexo, podemos garantir a
existˆencia das fun¸c˜oes harmˆonicas conjugadas x∗
1,x
∗
2 e x
∗
3.
Observe que
ψ+iψ∗
= (x1+ix∗
1, x2+ix
∗
2, x3+ix
∗
3),
onde ψ∗
´e a imers˜ao m´ınima conjugada cuja as fun¸c˜oes coordenadas s˜ao x∗
1, x
∗
2 e x
∗
3. Pelas
equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, temos
∂x1 ∂u = ∂x∗ 1 ∂v , ∂x1 ∂v =−
∂x∗ 1 ∂u ∂x2 ∂u = ∂x∗ 2 ∂v , ∂x2 ∂v =−
∂x∗
∂x3 ∂u = ∂x∗ 3 ∂v , ∂x3 ∂v =−
∂x∗
3 ∂u.
Agora, aplicando as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann na diferencial de ψ, conclu´ımos
dψp(x) = (∂x
∗
1
∂v (p).u− ∂x∗
1 ∂u (p).v,
∂x2
∂v (p).u− ∂x2
∂u(p).v, ∂x3
∂v (p).u+ ∂x3
∂u (p).v)
= (dx∗
1(p)(Jx), dx
∗
2(p)(Jx), dx
∗
3(p)(Jx))
= dψ∗
p(Jx),
logo
dψp(u, v) = dψ∗
p(−v, u).
Conclu´ımos da´ı
F(ψ, γ) =
Z
γ
ηds=−
Z
γ
dψ(Jγ′
)ds =−
Z
γ dψ∗
(J2γ′
)ds=
Z
γ dψ∗
(γ′
)ds
e, portanto
F(ψ, γ) =Im
Z
γ
Φ.
¥
Usando os dados de Weierstrass (g, φ), a equa¸c˜ao acima reduz-se a
F(ψ, γ) = Im
Z
γ
(1 2(g
−1
−g), i
2(g
−1
+g),1)φ.
A proposi¸c˜ao a seguir revela sobre quais condi¸c˜oes temos forca vertical.
3.2 Proposic¸˜ao. F(ψ, γ) ´e vertical se, e somente se,
Z
γ gφ =
Z
γ
g−1φ = 0 para qualquer
curva fechadaγ⊂M, isto ´e, gφ e g−1φ s˜ao formas diferenciais exatas em M.
Prova. Suponha que F(ψ, γ) ´e vertical, ent˜ao
Im
Z
γ
(g−1−g)φ =ImZ γ
i(g−1+g)φ = 0. (3.1)
Como ψ ´e bem-definida isto implica em
Re
Z
γ
(g−1−g)φ =Re
Z
γ
i(g−1+g)φ = 0. (3.2)
Observe que
Re
Z
γ
(g−1+g)φ =ImZ γ
e
Re
Z
γ i(g−1
+g)φ=−Im
Z
γ
(g−1
+g)φ= 0. (3.4)
Logo pelas igualdades (3.2) e (3.3) temos
Re
Z
γ
(g−1−g)φ =ReZ γ
(g−1+g)φ = 0
e da´ı
Re
Z
γ
gφ =Re
Z
γ
g−1φ= 0.
De forma an´aloga, usando as igualdades (3.1) e (3.4) obtemos
Im
Z
γ
(g−1−g)φ =−Im
Z
γ
(g−1 +g)φ= 0
e portanto
Im
Z
γ
gφ =Im
Z
γ
g−1φ= 0.
Assim Z
γ gφ =
Z
γ
g−1φ = 0.
Em particular, gφ e g−1φ s˜ao formas diferenciais exatas em M.
Para a prova da rec´ıproca, ´e imediato que
Z
γ gφ=
Z
γ
g−1φ= 0
implica em for¸ca vertical. ¥
A seguir apresentamos um resultado que permite observar como ´e o comportamento
da for¸ca em um fim mergulhado de curvatura total finita de uma superf´ıcie m´ınima.
3.3 Proposic¸˜ao. Sejam ψ : M →R3 uma imers˜ao m´ınima conforme com curvatura total finita, γ uma curva fechada contida numa vizinhan¸ca perfurada Dj de um ponto pj ∈M tal quepj pertence a regi˜ao limitada por γ e ψ(Dj) um fim mergulhado da imers˜ao. Ent˜ao
F(ψ, γ) = (0,0,2πα),
onde α ´e o crescimento logar´ıtmico do fim.
Prova. Seja γ ⊂ Dj uma curva fechada numa vizinhan¸ca perfurada de pj ∈ M. Pela Proposi¸c˜ao 3.1
F(ψ, γ) = Im
Z
γ
Φ =Im
Z
γ
(φ1, φ2, φ3).
Aplicando o Teorema dos Res´ıduos na integral acima, temos
F(ψ, γ) =Im(2πiRes(φ1, p),2πiRes(φ2, p),2πiRes(φ3, p)).
Segundo a Proposi¸c˜ao 2.4, Res(φ1, p) = Res(φ2, p) = 0 logo,
F(ψ, γ) =Im(0,0,2πiRes(φ3, p)) =Im(0,0,2πiRes(φ, p)) = (0,0,2πα).
Em particular, no fim tipo planar (α = 0), temos F(ψ, γ) = (0, 0, 0) e no fim tipo caten´oide
λ
-Deforma¸
c˜
ao de uma superf´ıcie
m´ınima
Neste cap´ıtulo, vemos o conceito de λ-deforma¸c˜ao e alguns resultados a respeito.
Vimos no Teorema 1.12 que podemos parametrizar superf´ıcies m´ınimas, a partir de um par
(g, φ), ondeg ´e uma fun¸c˜ao meromorfa,φ uma 1-forma holomorfa e ambas satisfazem certas
condi¸c˜oes. Considerando-se λ > 0, o par (λg, φ) pode determinar, via Teorema 1.12, uma
imers˜ao m´ınima. Um ponto importante ´e saber quais propriedades da imers˜ao dada pelo par
(λg, φ) s˜ao herdadas da imers˜ao dada pelo par (g, φ), e como se relacionam as propriedades
das duas imers˜oes.
Mostramos na Proposi¸c˜ao 4.1 que a condi¸c˜ao da imers˜aoψ ter for¸ca vertical garante
que a imers˜ao ψλ ´e bem-definida em M para todo λ > 0, isto ´e, a verticalidade das for¸cas
de ψ ´e equivalente `a existˆencia de uma deforma¸c˜ao a um parˆametro via Representa¸c˜ao de
Weierstrass. Para cada n´umero positivo λ, considere em M a aplica¸c˜ao meromorfagλ =λg.
Ent˜ao o par (gλ, φ) determina uma aplica¸c˜ao bem-definida ψλ :M →R3 dada por:
ψλ(z) =Re
Z z
z0
Φλ =Re
Z z
z0
(1 2(λ
−1g−1−λg), i
2(λ
−1g−1+λg),1)φ. (4.1)
Observe que os zeros e polos de (λg, φ) s˜ao os mesmos de (g, φ) e a terceira fun¸c˜ao
coordenada ´e a mesma para ψ eψλ.
Sejam ψ : M → R3 uma imers˜ao m´ınima e (g, φ) os dados de Weierstrass dessa
imers˜ao. Denominamos deλ-deforma¸c˜ao a fam´ılia {ψλ}λ>0, onde (λg, φ) s˜ao seus dados de
O pr´oximo resultado mostra a equivalˆencia entre os fatos da imers˜ao ψλ, dada por
(4.1), ser bem-definida para todo λ >0 e a verticalidade das for¸cas deψ.
4.1 Proposic¸˜ao. A imers˜ao ψλ ´e bem-definida para todo λ > 0 se, e somente se, ψ tem for¸ca vertical.
Prova. Suponha que ψ n˜ao tem for¸ca vertical, ou seja,
Im
Z
γ
(g−1−g)φ 6= 0 ou ImZ γ
i(g−1+g)φ 6= 0.
Considere Im
Z
γ i(g−1
+g)φ 6= 0. Ent˜ao
Re
Z
γ
g−1φ =Im
Z
γ
ig−1φ6=−Im
Z
γ
igφ =−Re
Z γ gφ, ou seja, Re Z γ
(g−1+g)φ 6= 0.
Isto contradiz o fato da imers˜ao ψλ ser bem-definida para todo λ > 0, logo ψ tem
for¸ca vertical.
Se Im
Z
γ
(g−1−g)φ6= 0 a prova ´e an´aloga.
Reciprocamente, dada uma curva fechada γ ⊂M, temos
Z
γ
Φ = Re
Z
γ
Φ +iIm
Z γ Φ = Re Z γ
Φ +iF(ψ, γ)
= iF(ψ, γ)
= iIm
Z
γ
(1 2(g
−1−g), i
2(g
−1+g),1)φ,
poisψ´e bem-definida, isto ´e, Re
Z
γ
Φ = 0. A partir desta identidade observe que a condi¸c˜ao
de ter for¸ca vertical, pela Proposi¸c˜ao 3.2, ´e equivalente ao fato de gφ e g−1φ serem exatas,
ou seja, Z γ gφ = Z γ
g−1φ= 0. Ent˜ao conclu´ımos
Z
γ
λ−1g−1φ=λ−1Z γ
g−1φ= 0
e Z
γ
λgφ=λ
Z
γ
Como
ψλ =Re
Z
Φλ =Re
Z
(1 2(λ
−1
g−1
−λg), i
2(λ
−1
g−1
+λg),1)φ
e Re
Z
γ
φ = 0, pois ψ ´e bem-definida, obtemos da´ı e da conclus˜ao acima queRe
Z
Φλ = 0,
ou seja, aψλ ´e bem-definida para todo λ >0. ¥
A m´etrica e a curvatura de ψλ de acordo com (1.24) e (1.25), s˜ao dadas por
dsλ = 1
2(λ|g|+λ
−1|g|−1)|φ| e Kλ = −16
(λ|g|+λ−1|g|−1)4.| dg gφ |
2 .
Daqui por diante, ψ :M →R3 denotar´a uma imers˜ao m´ınima n˜ao-plana com for¸ca
vertical. Mostramos alguns resultados a respeito daλ-deforma¸c˜ao.
4.2 Proposic¸˜ao. Seja ψ :M →R3 uma imers˜ao m´ınima conforme: (i) ψ ´e completa se, e somente se, ψλ ´e completa para todo λ >0;
(ii) A curvatura total de ψ ´e finita se, e somente se, a curvatura total de ψλ ´e finita para todoλ >0.
Prova. (i) Considerea=min{λ−1, λ}, b=max{λ−1, λ} eλ >0. Ent˜ao
ads = 1
2(a|g|+a|g|
−1
)|φ|
≤ 1
2(a|g|+b|g|
−1
)|φ|
= dsλ
≤ 1
2(b|g|+b|g|
−1
)|φ|
= bds.
Ou seja,
ads≤dsλ ≤bds, (4.2)
ondeds edsλ s˜ao as m´etrica deψ e ψλ, respectivamente.
A partir desta desigualdade podemos obter a desigualdade
b−1
dsλ ≤ds≤a
−1
dsλ. (4.3)
Suponha, por absurdo, que dsλ n˜ao ´e completa. Ent˜ao existe uma curva divergente
γ ⊂M tal que
Z
γ
dsλ ´e finita, digamos
Z
γ
dsλ =c,c∈R. Usando a desigualdade (4.3) temos
b−1c=b−1Z γ
dsλ ≤
Z
γ
ds≤a−1Z γ
dsλ =a−1c.
Isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois ds´e completa. Portanto, dsλ ´e completa.
De forma completamente an´aloga, usando a desigualdade (4.2), prova-se a rec´ıproca.
(ii) Considere a eb como na prova do item (i). Ent˜ao
b−4K = 16b
−4
(|g|+|g|−1)4.| dg gφ |
2
= −16
(b|g|+b|g|−1)4.|
dg gφ |
2
≤ −16
(b|g|+a|g|−1)4.| dg gφ |
2
= Kλ
≤ −16
(a|g|+a|g|−1)−4.| dg gφ |
2
= −16a
4
(|g|+|g|−1)4.| dg gφ |
2
= a−4K.
Isto ´e,
b−4K ≤Kλ ≤a−4K, (4.4)
ondeK eKλ ´e a curvatura Gaussiana de ψ e ψλ, respectivamente.
De forma an´aloga ao item (i), podemos obter a outra desigualdade
a4Kλ ≤K ≤b4Kλ. (4.5)
Suponha que a curvatura total de ψ ´e finita, isto ´e,
Z
M
KdA=m, m∈R. A partir
da desigualdade (4.4) obtemos
b−4m=b−4Z M
KdA≤
Z
M
KλdA ≤a−4Z M
KdA=a−4m.
Portanto
Z
M
KλdA ´e finito e ψλ tem curvatura total finita.
De maneira an´aloga, usando a desigualdade (4.5), pode-se provar a rec´ıproca. ¥
Os pr´oximos resultados dar˜ao propriedades importantes a respeito daλ- deforma¸c˜ao
4.3 Lema. Seja ψ : M → R3 uma imers˜ao m´ınima. Se p ∈ M ´e um ponto onde o vetor normal ´e vertical, ent˜ao, para toda vizinhan¸ca D de p, existe λ > 0 tal que ψλ/D ´e n˜ao injetiva.
Prova. Suponha que p´e um ponto onde vetor normal ´eN(p)=(0,0,−1). Podemos assumir queg(p) = 0.
Tome coordenadas conformes nas proximidades deptais que os dados de Weierstrass
deψ s˜ao dados porg(z) =zk,φ =zk(a+zh(z))dz em|z|< ǫ, onde k ´e um n´umero inteiro
positivo,a um n´umero complexo diferente de zero e h uma fun¸c˜ao holomorfa.
A seguir, para estudarmos ψ em torno de p consideramos a nova coordenada
con-forme ξ=λ1kz definida em |ξ|< λ
1
kǫ. Ent˜ao ψλ ´e determinada por
gλ(ξ) = ξk, φλ = ξ
k
λ1+1
k
(a+ ξ
λ1k
h( ξ
λ1k ))dξ.
Agora, expandindo homoteticamenteψλcom fatorλ1+1
k, obtemos uma nova imers˜ao
m´ınimaλ1+1
kψλ com dados de Weierstrass (gλ, λ1+
1
kφλ).
4.1 Afirmac¸˜ao. A imers˜ao λ1+1
kψλ converge uniformemente em conjuntos compactos de
C para a imers˜ao m´ınima cujos dados de Weierstrass s˜ao g∞ =ξk, φ∞ =aξkdξ, ξ ∈ C.
Prova. Dado um conjunto compacto K ⊂ C,∀ξ ∈K, temos
|(gλ, λ1+k1ψλ)−(g∞, φ∞)| = |(ξk, ξk(a+ ξ
λ1k
h( ξ
λ1k
))dξ)−(ξk, aξkdξ)|
= |(0,ξ k+1
λk1
h( ξ
λ1k )dξ|
≤ |ξ k+1
λ1k
h( ξ
λ1k )dξ|
= |ξ k+1
λ1k
||h( ξ
λ1k
)dξ| −→0, quando λ−→+∞,
pois|ξk+1
λ1k | −→0 e h ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.
Esta superf´ıcie limite ´e uma k-superf´ıcie de Enneper, que ´e n˜ao mergulhada no
infinito, portanto tem auto-intersec¸c˜ao eψλ/D ´e n˜ao injetiva para λ suficientemente grande,
como quer´ıamos. ¥
Prova. Um fim planar ´e parametrizado pelos dados de Weierstrass
g(z) = zk, φ=zk( a
z2 +h(z))dz, 0<|z|< ǫ,
onde k ≥ 2 ´e um n´umero inteiro, a∈ C− {0} e h ´e uma fun¸c˜ao holomorfa. Com o mesmo
argumento da prova do Lema 4.3 aplicado a estes dados de Weierstrass d´a uma superf´ıcie
limite determinada porg∞(ξ) =ξk, φ∞ = ξ2a−kdz com fim n˜ao mergulhado no infinito, logo
ψλ/D ´e n˜ao injetiva para λ suficientemente grande, como quer´ıamos. ¥
Enunciamos e demonstramos a Proposi¸c˜ao 4.5 cujo Corol´ario 4.6 ser´a utilizado na
demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.7.
4.5Proposic¸˜ao. SejamM e N superf´ıcies, com M compacta e ϕ:M →N uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetiva. Ent˜ao ϕ ´e homeomorfismo se, e somente se, ϕ ´e injetiva.
Prova. E imediato que se´ ϕ ´e um homeomorfismo, ent˜ao ϕ ´e injetiva. Provemos agora a rec´ıproca.
Sejam b = ϕ(a) ∈ N e yn = ϕ(xn) uma seq¨uencia de pontos em N, com yn → b.
Devemos mostrar que ϕ−1 ´e cont´ınua, ou seja, ϕ−1(yn) =xn→a =ϕ−1(b). Como xn ∈M,
a sequˆencia xn ´e limitada, ent˜ao xn admite uma subseq¨uˆencia convergente. Seja xj uma
subseq¨uˆencia convergindo parac. ComoM ´e compacto temosc∈M. Al´em disso,yj =ϕ(xj)
ainda converge para b. Como ϕ ´e cont´ınua no ponto c, temos que ϕ(c) = limϕ(xj) = b.
Sendoϕ injetiva, devemos ter a=c. ¥
4.6 Corol´ario. Sejam M = M − {p1, ..., pr} uma superf´ıcie, onde M ´e uma superf´ıcie compacta e ϕ : M → ϕ(M) ⊂ R3 uma imers˜ao m´ınima. Ent˜ao ϕ ´e homeomorfismo se, e somente se, ϕ ´e injetiva.
Prova. Sejam yn ∈ ϕ(M), tal que yn → y e xn = ϕ−1
(yn) ∈ M = M − {p1, ..., pr},
podemos assumir que existe uma subseq¨uˆenciaxj →x0 ∈M. Podemos afirmar quex0 6=pi,
i= 1, ..., r, onde pi corresponde a um fim qualquer de M. De fato, se xj →x0 = pi, ent˜ao
ϕ(xn) → ∞, mas ϕ(xj) = yj ∈ ϕ(M). Portanto, x0 ∈ M e pela Proposi¸c˜ao 4.5, ϕ ´e um
homeomorfismo. ¥
Para o pr´oximo resultado necessitamos do conceito de aplica¸c˜ao de recobrimento.
