Cosmologia Básica. Laerte Sodré Jr. April 15, 2009

Cosmologia B´

asica

Laerte Sodr´e Jr.

objetivos:

I abordagem r´apida da cosmologia, focando no modelo cosmol´ogico padr˜ao

I uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoria da Relatividade Geral

I veremos como interpretar e calcular algumas quantidades importantes

O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I o universo ´e plano e dominado por energia escura e mat´eria escura fria (Cold Dark Matter)

I a mat´eria bariˆonica constribui com apenas ∼4% do conteudo de mat´eria e energia do universo

I a constante cosmol´ogica Λ ´e a forma mais simples de energia escura

I a energia escura ´e necess´aria para explicar a acelera¸c˜ao do universo, descoberta a partir da observa¸c˜ao de supernovas distantes

O modelo de trabalho atual: ΛCDM

I a mat´eria escura fria (CDM) explica as gal´axias e as estruturas em grandes escalas

I CDM- principais propriedades:

I ela ´e escura, n˜ao interage com os f´otons I ela s´o interage gravitacionalmente I _{ela ´e n˜ao-bariˆonica}

I ela ´e fria I ela ´e est´avel

A Teoria da Gravita¸c˜

ao

I Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915)

I Porquˆe a gravita¸c˜ao ?

I em grandes escalas ´e a gravita¸c˜ao que determina a dinˆamica dos objetos no universo

I apenas as intera¸c˜oes gravitacionais e eletromagn´eticas s˜ao de longo alcance

I como a mat´eria ´e em m´edia eletricamente neutra, em grandes distˆancias apenas a gravita¸c˜ao ´e cosmologicamente relevante

A Teoria da Gravita¸c˜

ao

I TRG: mat´eria+energia determinam a geometria do ET

I equa¸c˜oes de Einstein:

Gµν = 8πG c4 Tµν

I Gµν: tensor de Einstein- depende da geometria do espa¸co-tempo atrav´es de gµν, o tensor m´etrico

I Tµν: o tensor de energia-momentum- depende da distribui¸c˜ao de mat´eria+energia

I lado esquerdo: depende apenas da geometria I lado direito: distribui¸c˜ao de mat´eria+energia

A Teoria da Gravita¸c˜

ao

A Teoria da Gravita¸c˜

ao

I testes da TRG:

I sistema solar; pulsar bin´ario; lentes gravitacionais

I mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros) ou muito fracos (halo das gal´axias)

I limita¸c˜ao da TRG: n˜ao incorpora efeitos quˆanticos I incompleta em escalas menores que a escala de Planck:

rPl =  Gh

c3 1/2

= 4.0 × 10−33 cm.

I ou antes do tempo de Planck:

tPl=  Gh

c5 1/2

O Princ´ıpio Cosmol´

ogico

I em escalas suficientemente grandes o universo ´e homogˆeneo e isotr´opico

I homogˆeneo: todos os lugares s˜ao equivalentes

I isotr´opico: todas as dire¸c˜oes s˜ao equivalentes

I evidˆencias:

I em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribui¸c˜ao de gal´axias ´e bastante uniforme

(a uniformidade aumenta com a escala) I homogeneidade da radia¸c˜ao c´osmica de fundo:

as flutua¸c˜oes de temperatura tˆem uma amplitude muito pequena

O Princ´ıpio Cosmol´

ogico

Figure: Mapa com as flutua¸c˜oes de temperatura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo medida pelo sat´elite WMAP. Este mapa ´e notavelmente uniforme; a amplitude m´edia das flutua¸c˜oes ´e ∼ 10−5.

A cosmologia newtoniana

I modelo cosmol´ogico baseado na gravita¸c˜ao newtoniana

I as equa¸c˜oes que descrevem a dinˆamica do universo s˜ao muito parecidas com as da Cosmologia Relativ´ıstica

I modelo proposto por Milne e McCrea em 1934

I problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que n˜ao s˜ao comportadas pela f´ısica newtoniana

A cosmologia newtoniana

I vamos supor que o universo ´e ocupado por um fluido: o fluido cosmol´ogico

I as part´ıculas deste fluido seriam, por exemplo, as gal´axias

I esse fluido obedece ao Princ´ıpio Cosmol´ogico: deve estar em repouso ou em expans˜ao ou contra¸c˜ao isotr´opica - observamos a expans˜ao

I os observadores que est˜ao localmente em repouso com o fluido, que o acompanham em sua expans˜ao, s˜ao chamados de observadores com´oveis

A cosmologia newtoniana

I para que as leis de Newton sejam v´alidas, os referenciais usados devem ser inerciais

I suponha que nossa gal´axia seja um referencial inercial

I PC: todos os observadores que participam da expans˜ao (os observadores com´oveis) tˆem a mesma vis˜ao do universo

I Logo, todos os observadores com´oveis s˜ao inerciais, embora possam apresentar acelera¸c˜oes entre si!

A cosmologia newtoniana

I Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, caso contr´ario o PC n˜ao seria v´alido (nos bordos, por exemplo)

I mas em um universo infinito e isotr´opico, qual ´e a dire¸c˜ao da acelera¸c˜ao gravitacional g ?

I lei de Gauss:

a acelera¸c˜ao da gravidade produzida por uma regi˜ao esf´erica homogˆenea de massa M centrada num ponto O ´e

g = G r2

Z

ρdV = GM r2

I se g = 0 em todos os lugares, ent˜ao ρ = 0: o ´unico universo que satisfaz o PC ´e um universo completamente vazio!

A cosmologia newtoniana

I Regra de Birkhoff:

a velocidade (radial) v de qualquer gal´axia vista por um observador em O a uma distˆancia r depende apenas da atra¸c˜ao gravitacional das gal´axias dentro da esfera de raio r centrada em O

I n˜ao tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite o desenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...

A cosmologia newtoniana

I O fator de escala

I gal´axias A e B: num certo instante t1elas est˜ao separadas por uma distˆancia r1e, num outro instante t, a separa¸c˜ao entre elas ´e r

I fator de escala R(t):

r = R(t) R(t1)

r1

mede as varia¸c˜oes nas escalas produzidas pela expans˜ao (ou contra¸c˜ao) do universo.

A cosmologia newtoniana

I nesta formula¸c˜ao, H n˜ao ´e constante, mas uma fun¸c˜ao do tempo: o parˆametro de Hubble

I H mede a taxa de expans˜ao no instante t

I t0: idade do universo; H0= H(t0)

I fator de escala normalizado em rela¸c˜ao ao valor atual:

A cosmologia newtoniana

A densidade da mat´eria

I o fluido cosmol´ogico ´e n˜ao-viscoso:

caracterizado pelo campo de velocidades v(r, t) e pelas distribui¸c˜oes de densidade, ρ(r, t), e press˜ao, p(r, t)

I homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r, t) e p(r, t) devem ser os mesmos para todos os observadores com´oveis em um tempo t

- ρ(r, t) = ρ(t) - p(r, t) = p(t)

I na cosmologia newtoniana assumimos p(t) = 0: os efeitos dinˆamicos da press˜ao da mat´eria s˜ao muito pequenos hoje

A cosmologia newtoniana

I evolu¸c˜ao da densidade de mat´eria com o tempo:

devido `a expans˜ao com´ovel, uma certa quantidade de mat´eria, M, que num instante t0 ocupava uma esfera de raio r0, num instante t ocuparia uma esfera de raio r

ρ(t0) = 3M/4πr₀3 ρ(t) = 3M/4πr3 ou ρ(t) = ρ0[r0/r (t)]3

ou, em termos do fator de escala:

ρ(t) = ρ0  R0 R

3

A cosmologia newtoniana

A equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao do universo

I regra de Birkhoff: a dinˆamica de uma gal´axia de massa m, observada a uma distˆancia r de um observador com´ovel num ponto O, depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O:

M(r ) = 4 3πr

3_ρ

I for¸ca de atra¸c˜ao gravitacional que essa massa exerce sobre a gal´axia: F = m¨r = −GmM(r ) r2 = − 4π 3 Gmρr ou, ¨ r = −4πG ρr 3

A cosmologia newtoniana

I Introduzindo o fator de escala

r = R(t) R0 r0= a(t)r0 vem ¨r = ¨a(t)r0 e temos que ¨ a = −4πG 3 ρa

I nessa equa¸c˜ao n˜ao aparece r : a dinˆamica da expans˜ao, descrita pelo fator de escala a(t), ´e determinada apenas pela densidade de mat´eria ρ(t)

A cosmologia newtoniana

Conserva¸c˜ao de energia e o futuro da expans˜ao

I a gravita¸c˜ao tende a desacelerar a expans˜ao. Mas ser´a a gravita¸c˜ao suficientemente forte para interromper a expans˜ao e revertˆe-la?

A cosmologia newtoniana

I gal´axia de massa m a uma distˆancia r de O

energia total dessa gal´axia (que deve se conservar durante a expans˜ao):

E = 1 2mv

2₋GMm

r = constante

I E < 0: o universo ´e ligado, e `a expans˜ao deve se suceder uma fase de contra¸c˜ao

I E > 0: o universo n˜ao ´e gravitacionalmente ligado e a expans˜ao ser´a perp´etua

I E = 0: caso cr´ıtico, onde a expans˜ao diminuir´a sempre mas sem entrar numa fase de contra¸c˜ao

A cosmologia newtoniana

I densidade cr´ıtica ρc: a densidade que o universo deveria ter para que E = 0 ρc = 3H 2 0 8πG = 1.88 × 10 −29 h2g cm−3 onde h ≡ H /(100 km/s/Mpc)

A cosmologia newtoniana

I equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de energia:

E = 1 2mv 2₋GMm r = constante como v = ( ˙a/a)r , M = 4πr3ρ/3 e r = r0 a, ˙a2 = 8πG 3 ρ(t)a 2_{− K}

A cosmologia newtoniana

I resumo: equa¸c˜oes b´asicas da cosmologia newtoniana:

¨ a = −4πG 3 ρa ˙a2 = 8πG 3 ρ(t)a 2_{− K}

Cosmologia Relativ´ıstica

I equa¸c˜oes de Einstein: estabelecem uma rela¸c˜ao entre a geometria do espa¸co-tempo e a distribui¸c˜ao de mat´eria e energia

Gµν = 8πG

c4 Tµν

I a geometria ´e caracterizada pelo tensor de Einstein, Gµν, que depende dos coeficientes da m´etrica e de suas derivadas at´e segunda ordem

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

I m´etrica de superf´ıcies bi-dimensionais

I m´etrica: distˆancia entre dois pontos vizinhos, num dado sistema de coordenadas

I por exemplo, numa superf´ıcie plana

ds2= dx2+ dy2= dr2+ r2d φ2 = ... (em coordenadas cartesianas, polares, ...)

I coordenadas (x1, x2): ds2 =X

ij

gij(x1, x2)dxidxj

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

I coordenadas (x1, x2): ds2 =X

ij

gij(x1, x2)dxidxj

I gij: s˜ao as componentes do chamado “tensor m´etrico”, que caracteriza a geometria e depende da curvatura

I superf´ıcie esf´erica de raio R: superf´ıcie de curvatura constante e positiva

I coordenadas esf´ericas:

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

I superf´ıcie esf´erica de raio R: superf´ıcie de curvatura constante e positiva

I coordenadas esf´ericas:

ds2 = R2d θ2+ R2sin2θd φ2

I sistema de coordenadas onde A = R sin θ: ds2= dA

2 1 −_RA22

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

vale para qualquer superf´ıcie de curvatura constante! I k = 0: plano;

I k = +1: superf´ıcie esf´erica

I k = −1 superf´ıcie de curvatura constante negativa n˜ao ”cabe” num espa¸co tri-dimensional, mas podemos projet´a-la sobre um plano

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

M´

etrica e curvatura de superf´ıcies

Figure: Obra de Escher, representando a proje¸c˜ao de uma superf´ıcie de curvatura negativa constante sobre um plano.

A m´

etrica de Robertson-Walker (MRW)

I Teoria da Relatividade Restrita: m´etrica de Minkowski, ds2= c2dt2− (dx2+ dy2+ dz2)

separa¸c˜ao entre dois eventos (pontos no espa¸co-tempo, ET) pr´oximos

I TRG: distribui¸c˜ao arbitr´aria de mat´eria pode levar a um espa¸co de curvatura arbitr´aria

I PC: espa¸cos de curvatura constante

I m´etrica de Robertson-Walker: ds2 = c2dt2− R(t)2  d σ2 1 − kσ2 + σ 2_{(d θ}2_{+ sin}2_{θd φ}2₎ 

A m´

etrica de Robertson-Walker

I σ, θ, φ: coordenadas com´oveis I k: “sinal da curvatura” (-1, 0, +1)

I R(t) determina como a distˆancia entre 2 observadores com´oveis varia com o tempo

I observadores com´oveis: em repouso em um sistema de coordenadas com´oveis

A m´

etrica de Robertson-Walker

I tempo pr´oprio τ : ds ≡ cd τ

I observador com´ovel:

d σ = d θ = d φ = 0 −→ ds = cdt −→ dt = d τ

o tempo t ´e o tempo pr´oprio dos observadores com´oveis

I TRG: as trajet´orias das part´ıculas livres s˜ao geod´esicas no ET

I Geod´esicas: linhas de comprimento m´ınimo (ou m´aximo) entre 2 eventos no ET

I a luz segue “geod´esicas nulas”, ds2= 0, enquanto que part´ıculas com massa seguem trajet´orias time-like: ds2 > 0

O desvio espectral

I desvio espectral observado no espectro das gal´axias: uma medida direta da expans˜ao do universo

I coordenadas com´oveis:

I observador O: na origem - (σG, θG, φG) = (0, 0, 0)

I gal´axia G : (σG, θG, φG) = (σG, 0, 0)

I t0: o observador recebe um f´oton que foi emitido por G no tempo t

I t0+ ∆t0: o observador recebe um outro f´oton que foi emitido por G no tempo t + ∆t

O desvio espectral

O desvio espectral

I como a luz viaja por geod´esicas nulas (ds2 = 0): c dt R(t) = d σ √ 1 − kσ2 e, portanto, Z σG 0 d σ √ 1 − kσ2 = c Z t0 t dt R(t)

I para o segundo f´oton emitido em t + ∆t e recebido em t0+ ∆t0: Z σG 0 d σ √ 1 − kσ2 = c Z t0+∆t0 t+∆t dt R(t). I logo, t t +∆t

O desvio espectral

I vamos supor que ∆t e ∆t0 s˜ao muito menores que t e t0: ∆t

R(t) ' ∆t0 R(t0)

I vamos associar a ∆t e ∆t0 o per´ıodo da radia¸c˜ao emitida e recebida

I os comprimentos de onda correspondentes s˜ao λe = c∆t e λ0 = c∆t0 I Ent˜ao, λ0 λe = R(t0) R(t) = R0 R = 1 a(t)

O desvio espectral

O desvio espectral

I rela¸c˜ao entre desvio espectral e fator de escala:

1 + z = 1 a

I z depende apenas da raz˜ao entre os fatores de escala quando a luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, ´e uma medida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foi emitida

Ex.: z = 1 −→ a = 1/2 - as escalas no universo eram metade do que s˜ao hoje

I universo em expans˜ao: R(t0) > R(t) (ou a < 1) −→ z > 0 e λ0> λe −→ a radia¸c˜ao sofre redshift

Hoje (a = 1): z = 0 Big-Bang (a = 0): z = ∞

Equa¸c˜

oes de Friedmann - Lemaˆıtre (EFL)

I as equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao do fator de escala que derivamos na cosmologia newtoniana s˜ao, na forma, parecidas com a que se obt´em das equa¸c˜oes de campo da TRG, com a MRW

I tensor de energia-momentum: depende da distribui¸c˜ao de mat´eria e energia (ρ(t) e p(t))

(note que na TRG p contribui para a energia!)

I Equa¸c˜oes de Friedmann - Lemaˆıtre:  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − Kc2 a2 ¨ a a = − 4πG 3  ρ +3p c2 

Equa¸c˜

oes de Friedmann - Lemaˆıtre

I Equa¸c˜oes de Friedmann - Lemaˆıtre (EFL):  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − Kc2 a2 ¨ a a = − 4πG 3  ρ +3p c2  K = k/R₀2

I dessas equa¸c˜oes vem que: d dt(ρa 3_{) = −}p c2 d dt(a 3₎

A equa¸c˜

ao de estado

I rela¸c˜ao entre a press˜ao e a densidade: p = p(ρ)

I com a rela¸c˜ao d dt(ρa 3_{) = −}p c2 d dt(a 3₎ temos, por exemplo:

I mat´eria (“poeira”, p = 0): ρm∝ a−3

I radia¸c˜ao (p = ρrc2/3): ρr ∝ a−4

I v´acuo: p = −ρvc2, ρv = Λ/(4πG ) (press˜ao negativa)

I modelo simples para energia escura: p = w ρc2_{, com w constante}

I diferentes equa¸c˜oes de estado −→ diferentes modelos e comportamentos para a(t)

A constante cosmol´

ogica

I universo onde, al´em de mat´eria e radia¸c˜ao (com densidade e press˜ao ρ e p), tem tamb´em a energia do v´acuo (w = −1)

I ρ → ρ + ρv e p → p + pv I com pv = −ρvc2,  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − Kc2 a2 + Λ 3 e ¨ a a = − 4πG 3  ρ +3p c2  +Λ 3 onde Λ ≡ 4πG ρv ´

e a chamada constante cosmol´ogica

A constante cosmol´

ogica

I proposta por Einstein (1919) para se obter uma solu¸c˜ao est´atica (isto ´e, independente do tempo)

I a lei de Hubble s´o seria descoberta em 1929

I Einstein: “o maior erro de sua vida”

I hoje ´e associada `a “energia do v´acuo” (equa¸c˜ao de estado com press˜ao negativa)

I v´acuo: o estado de menor energia de um certo campo f´ısico

A constante cosmol´

ogica

I mas w pode depender do desvio espectral z!

I modelo simples:

w == w0+ wa[1 − a(z)] = w0+ wa z 1 + z, com w0 e wa constantes

I este tipo de modelo dever´a ser testado nos surveys dos pr´oximos anos

Parˆ

ametros cosmol´

ogicos

I parˆametro de Hubble:

H(t) = ˙a a

I parˆametro de densidade:

Ω = ρ(t) ρc(t) onde ρc(t) = 3H 2 8πG ´ e a densidade cr´ıtica

Parˆ

ametros cosmol´

ogicos

I Quando se tem v´arias esp´ecies simultaneamente, pode-se definir um parˆametro de densidade para cada esp´ecie, Ωi = ρi(t)/ρc(t)

Por exemplo, para os b´arions:

Ωb= ρb(t) ρc(t)

Parˆ

ametros cosmol´

ogicos

I parˆametro de densidade do v´acuo (ou constante cosmol´ogica):

Ωλ= Λ 3H2

I parˆametro de curvatura:

Ωk ≡ − kc2 H2_R2

I parˆametro de desacelera¸c˜ao:

q = −¨aa ˙a2 = −

¨ a aH2

Parˆ

ametros cosmol´

ogicos

I valores atuais desses parˆametros, de acordo com a equipe do WMAP (Hinshaw et al. 2008; assumindo Ωk = 0):

I H0=70.1 km s−1 Mpc−1

I ρc,0= 1.88 × 10−29h2g cm−3= 9.2 × 10−30g cm−3

I Ωm,0= 0.28

I Ωλ= 0.72

Dinˆ

amica dos universos de Friedmann

I modelos de Friedmann: dominados pela mat´eria (ρ = ρm), com constante cosmol´ogica e press˜ao nulas

I nesse caso, q = Ω/2 (EXERC´ICIO: MOSTRAR ISSO)

I 3 solu¸c˜oes poss´ıveis:

I se q > 1₂ ou Ω > 1, ent˜ao k = +1 universo fechado e oscilante I se q = 1₂ ou Ω = 1, ent˜ao k = 0

universo aberto em expans˜ao perp´etua I se q < 1₂ ou Ω < 1, ent˜ao k = −1

Dinˆ

amica dos universos de Friedmann

O modelo de Einstein-de Sitter

I modelo cosmol´ogico muito simples: universo “plano”, apenas com mat´eria: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρm = ρ0a−3

I a primeira das EFL fica:  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ = 8πG 3 ρ0a −3

I esta equa¸c˜ao ´e f´acil de resolver e d´a a(t) = (6πG ρ0)1/3t2/3 I logo, ρ(t) = 1 6πGt2 H(t) = 2 3t ρ (t) = 3H 2 = 1 = ρ(t) −→ Ω = 1

As 4 eras do Universo

I O paradigma cosmol´ogico atual sugere que o universo passou por 4 etapas distintas:

I o Big-Bang e a infla¸c˜ao I a era da radia¸c˜ao I a era da mat´eria I a era da energia escura

A infla¸c˜

ao

I Big-Bang: t = 0 e a = 0 I singularidade nas equa¸c˜oes

I possivelmente vai requerer uma nova f´ısica (do tipo gravita¸c˜ao quˆantica)

I infla¸c˜ao :

I fase muito curta, de expans˜ao muito r´apida (exponencial) I teria ocorrido logo ap´os o Big-Bang, talvez logo ap´os a quebra

espontˆanea de simetria da grande unifica¸c˜ao I t ∼ 10−34 s (num certo cen´ario)

A infla¸c˜

ao

I dinˆamica do universo inflacion´ario:

I durante um breve intervalo de tempo o universo pode

ser considerado dominado pela energia do v´acuo de um campo escalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmol´ogica

ρ ' ρI = cte  ρr I ent˜ao, ˙a2≈8πG 3 ρIa 2 e, portanto, a ∝ exp(HIt)

onde HI = (8πG ρI/3)1/2 (parˆametro de Hubble) ´e constante EXERC´ICIO: MOSTRAR ISSO

A infla¸c˜

ao

I o problema da ”planura” (flatness):

I WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1 I para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na ´epoca da

recombina¸c˜ao (z ∼ 103_{) se deveria ter Ω entre 0.99995} e 1.000005, a menos que a curvatura seja estritamente nula (k = 0)

A infla¸c˜

ao

I a infla¸c˜ao produz um universo localmente plano

A infla¸c˜

ao

I o problema do horizonte

I a informa¸c˜ao viaja no m´aximo `a velocidade da luz: h´a uma distˆancia limite a que se tem acesso causal: raio do horizonte (∼ ct)

I radia¸c˜ao c´osmica de fundo: notavelmente uniforme I na ´epoca em que ela foi emitida (z ∼ 1000), o

tamanho do horizonte era muito menor que o universo observ´avel hoje

I nem todo o universo observ´avel estava dentro de uma regi˜ao causalmente conexa e, portanto, n˜ao se

esperaria que os f´otons da radia¸c˜ao de fundo vindo de regi˜oes diferentes do c´eu tivessem essencialmente a

A infla¸c˜

ao

I ”solu¸c˜ao ”: com a infla¸c˜ao o horizonte tamb´em cresce exponencialmente e todo o universo observ´avel hoje estaria dentro de uma regi˜ao causalmente conexa antes da infla¸c˜ao

A infla¸c˜

ao

I flutua¸c˜oes primordiais de densidade:

I a infla¸c˜ao produz flutua¸c˜oes quˆanticas que s˜ao amplificadas: as amplitudes dessas flutua¸c˜oes s˜ao aproximadamente independente da escala

I a gravidade amplifica estas flutua¸c˜oes , produzindo gal´axias, aglomerados, etc.

A era da radia¸c˜

ao

I logo ap´os o Big-Bang (e a infla¸c˜ao ) o universo ´e extremamente quente

I sua dinˆamica ´e regida pela radia¸c˜ao: p = ρc2/3

I nesse caso,

ρ ∝ a−4

No expoente, 3 ´e devido `a varia¸c˜ao na densidade de f´otons e 1 ´

e devido `a varia¸c˜ao da energia de cada f´oton

I considera-se que a radia¸c˜ao est´a em equil´ıbrio termodinˆamico: o espectro da radia¸c˜ao ´e planckiano e depende apenas da temperatura T

A era da radia¸c˜

ao

I densidade de radia¸c˜ao, em erg cm−3:

u = aT4 = 7.566 × 10−15T4 erg cm−3 K−4

I em g cm−3: ρ = 4σSB

c3 T

4 _{= 8.4 × 10}−36_T4 _{g cm}−3 _K−4

I logo, a temperatura varia com o fator de escala como: T ∝ a−1

I fator de escala:

˙a2 ' 8πG 3 ρa

2

A origem da mat´

eria

I sup˜oe-se que a mat´eria seja formada a partir do campo de radia¸c˜ao :

interconvers˜ao de part´ıculas

I pares de part´ıcula e antipart´ıcula de massa m est˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico se kT >> mc2:

p + ¯p 2γ

I quando a temperatura cai abaixo de kT ∼ 2mc2, o par se “desacopla” do campo de radia¸c˜ao : p e ¯p se aniquilam e as part´ıculas que sobrevivem constituem as rel´ıquias

A nucleos´ıntese primordial e a abundˆ

ancia dos b´

arions

I abundˆancias t´ıpicas (em massa) observadas no universo hoje: H: ∼75%; He ∼25%; o resto: ∼1%

I abundˆancia do h´elio: ∼25%

I estrelas: a nucleos´ıntese estelar s´o pode converter ∼5% da massa em He

I Gamow (anos 40)- nucleos´ıntese primordial: nucleos´ıntese do He no come¸co do universo

A nucleos´ıntese primordial

I depois da aniquila¸c˜ao sobra mais mat´eria que anti-mat´eria (porquˆe?)

I p e n que sobram ficam em equil´ıbrio, via intera¸c˜oes fracas: p + e− n + ν

n + e+ p + ¯ν

I a densidade relativa de p e n ´e dada pelo fator de Boltzmann baseado na diferen¸ca de massa ∆m = mn− mp:

A nucleos´ıntese primordial

I os n livres s˜ao inst´aveis (tempo de decaimento = 890 s): a raz˜ao pela qual os n existem ´e que estas intera¸c˜oes fracas desacoplam logo e a nucleos´ıntese primordial ocorre poucos minutos depois disso, de modo que a maior parte deles termina no n´ucleo de He e de outros elementos leves

I s´erie de rea¸c˜oes nucleares: p e n se combinam para formar n´ucleos atˆomicos mais pesados que o do 1_H

I tˆem o deut´erio D como intermedi´ario: p + n D + γ D + D 3He + n 3H + p

3

A nucleos´ıntese primordial

I deut´erio:

I pode ser formado via n + p −→ D

I ´e fr´agil: facilmente destru´ıdo acima de ∼ 109_{K por} fotodissocia¸c˜ao : D + γ −→ n + p

I mas abaixo de ∼ 109_{K o D pode sobreviver}

I abundˆancia em massa do He prevista: Y ' 0.24

I al´em do 4He e do D, na nucleos´ıntese primordial forma-se um pouco de 3He, 7Li, 7Be

I elementos mais pesados n˜ao se formam porque n˜ao h´a n´ucleos est´aveis com massa atˆomica 5 e 8

A nucleos´ıntese primordial

A nucleos´ıntese primordial

I parˆametro η: n´umero de b´arions sobre o n´umero de f´otons

η ≡ np+ nn nγ

I densidade num´erica de f´otons para um corpo negro:

nγ= 2ζ(3) π2  kB ~c 3 T3 ' 20.2 × T3 _cm−3

ζ(x ): fun¸c˜ao zeta de Riemann

I da´ı,

η ' 2.74 × 10−8(T /2.73K)−3Ωbh2 Ω : parˆametro de densidade dos b´arions

A nucleos´ıntese primordial

I a abundˆancia dos elementos leves depende fundamentalmente de η:

conhecendo-se η, a temperatura da radia¸c˜ao c´osmica de fundo e H0, pode-se determinar Ωb

η ' 2.74 × 10−8(T /2.73K)−3Ωbh2

A nucleos´ıntese primordial

Figure: Abundˆancia dos elementos leves produzidos na nucleos´ıntese primordial em fun¸c˜ao da abundˆancia de b´arions (e de η).

A nucleos´ıntese primordial

I dos elementos leves formados na nucleos´ıntese primordial, qual ´e o melhor bariˆometro?

I que is´otopo ´e melhor para se determinar η? I a abundˆancia do 4_{He ´e pouco sens´ıvel a η}

I 3He: sua forma¸c˜ao e destrui¸c˜ao em estrelas ´e pouco conhecida I a abundˆancia do D parece ser a melhor op¸c˜ao pois apresenta

forte dependˆencia com η, al´em dele n˜ao ser produzido em estrelas

A nucleos´ıntese primordial

I Estimativas de abundˆancias primordiais I deut´erio

I observa¸c˜oes no UV (Ly-α); espectroscopia de alta resolu¸c˜ao

I is´otopo fr´agil: s´o ´e destru´ıdo: sua abundˆancia deve decrescer com o tempo

I meio interestelar local: D/H = (1.32 ± 0.08) × 10−5

I _{nuvem protosolar (4.6 Ganos atr´as):}

D/H = (2.1 ± 0.5) × 10−5

I linhas de absor¸c˜ao em quasares (produzidos em ”nuvens Ly-α”)

A nucleos´ıntese primordial

A nucleos´ıntese primordial

I l´ıtio

I estimativas a partir do ”plateau de Spite”

(Li/H vs metalicidade): 7_{Li /H = (2.6 ± 0.4) × 10}−5 (em n´umero; Ryan et al. 2000)

A nucleos´ıntese primordial

Figure: Observa¸c˜oes de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelos sobrepostos.

A nucleos´ıntese primordial

I 4He

I observa¸c˜oes de regi˜oes HII

I extrapola¸c˜ao de Y em fun¸c˜ao da metalicidade I Yp= 0.2429 ± 0.0009 (Izotov & Thuan 2004)

Figure: Rela¸c˜ao entre a abundˆancia do4_{He com a metalicidade de regi˜oes HII. A abundˆancia do He foi}

A nucleos´ıntese primordial

I abundˆancia dos b´arions, obtida pela determina¸c˜ao das abundˆancias dos elementos leves

(Kneller & Steigman, 2004): I 4He: Ωbh2= 0.0103 ± 0.0025

I D: Ωbh2= 0.0221 ± 0.0025

I 7Li : Ωbh2= 0.0118 ± 0.0016

I se Ωbh2 ' 0.022 e h = 0.7, temos que Ωb' 0.045

I note que Ωm ' 0.3, ou seja, a maior parte da mat´eria ´e n˜ao bariˆonica!

´

A era da mat´

eria

I depois da era radiativa segue-se a era dominada pela mat´eria

I num universo dominado pela mat´eria: I p ∼ ρv2

I v ´e a velocidade t´ıpica das gal´axias

I v  c −→ p  ρc2e pode ser desprezado nas EFL

I ent˜ao,

A ´

epoca da recombina¸c˜

ao

I voltemos `a era radiativa

I o universo se expande e a densidade de radia¸c˜ao varia como ρr ∝ a−4

enquanto que a de mat´eria varia como ρm∝ a−3

I assim, embora a radia¸c˜ao domine o come¸co da evolu¸c˜ao do universo, depois de um certo tempo a mat´eria vai dominar

I “´epoca da igualdade”: quando ρr = ρm zeq ' 4.02 × 104Ωm0h2T2.73−4

A ´

epoca da recombina¸c˜

ao

I durante a era radiativa, como o universo era muito quente, a mat´eria era ionizada

I ap´os o come¸co da era da mat´eria a temperatura cai abaixo do potencial de ioniza¸c˜ao do hidrogˆenio e torna poss´ıvel a

forma¸c˜ao de ´atomos: ´

e a ´epoca da recombina¸c˜ao: zrec ' 1100

I o universo, que era opaco aos f´otons, fica transparente e a mat´eria bariˆonica fica praticamente neutra

I para z ∼ 10 − 30 a “reioniza¸c˜ao ” ocorrer´a, quando as primeiras estrelas come¸carem a se formar

A era da energia escura

I observa¸c˜oes de SNs tipo Ia distantes levaram `a descoberta de que o universo est´a se acelerando (¨a < 0)

I EFL ¨ a a = − 4πG 3  ρ +3p c2 

para isso acontecer, ´e necess´ario ter-se press˜ao negativa

I essa acelera¸c˜ao seria produzida por uma energia escura

I modelo simples para a equa¸c˜ao de estado da energia escura: p = w ρc2

onde w pode depender do tempo (e talvez da posi¸c˜ao)

I modelo mais simples: constante cosmol´ogica, w = −1

I outras op¸c˜oes :

I energia fantasma (w < −1) I paredes de dom´ınio (w = −2/3)

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

I modˆelo “canˆonico”: ΛCDM

um universo dominado por mat´eria escura fria com uma constante cosmol´ogica

I com a equa¸c˜ao de Friedmann  ˙a a 2 = 8πG 3 ρ − Kc2 a2 ´

e f´acil verificar que num universo com mat´eria, radia¸c˜ao e constante cosmol´ogica temos

Ωm+ Ωr + Ωλ+ Ωk = 1 EXERC´ICIO: MOSTRE ISSO

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

I seja H(z) = H0E (z)

E (z) caracteriza a dependˆencia em redshift do parˆametro de Hubble

I vamos reescrever o parˆametro de densidade de cada esp´ecie:

Ωm = ρm ρc = 8πG ρm 3H2 Como ρm = ρm0(R0/R)3 = ρm0(1 + z)3 e H = H0E (z), temos: Ωm= 8πG ρm0(1 + z)3 3H₀2E2 = Ωm0(1 + z)3 E (z)2

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

E (z) = [Ωm0(1 + z)3+ Ωr 0(1 + z)4+ Ωλ0+ Ωk0(1 + z)2]1/2

I observa¸c˜oes do WMAP e SNIa mais as considera¸c˜oes te´oricas da infla¸c˜ao sugerem que o universo tem curvatura nula

(k = 0, Ωk = 0) e ´e dominado por mat´eria escura, Ωm0' 0.3, e energia escura, Ωλ0' 0.7

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

I modelo para o universo atual:

k = 0, mat´eria e constante cosmol´ogica

a = Ωm0 Ωλ0 1/3 sinh2/3 3H0Ω 1/2 λ0 2 t !

Figure: Expans˜ao para diferentes valores de Ωme Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

I o universo passou a maior parte de sua vida em expans˜ao desacelerada mas, mais recentemente, a constante

cosmol´ogica sobrepujou a densidade de mat´eria, produzindo uma fase de expans˜ao acelerada

I inflex˜ao desacelera¸c˜ao - acelera¸c˜ao : ¨a = 0

aI =  Ωm0 2Ωλ0 1/3 I isso acontece em tI = 2 3H0Ω1/2_λ0 arcsinh "r 1 2 # I t0/tI ' 1.84; zI ' 0.7

O modelo padr˜

ao: ΛCDM

I num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ωλ) domina a da mat´eria (Ωm) para z < zc, onde

A idade do universo

I rela¸c˜ao entre tempo e redshift

H = H0E (z)

E (z) =Ωm0(1 + z)3+ Ωk0(1 + z)2+ Ωλ0 1/2 (onde desprezamos a radia¸c˜ao)

I como H = ˙a/a e a = (1 + z)−1, temos

H = − ˙z 1 + z ou,

dt = − dz (1 + z)H

A idade do universo

I a idade do universo (t0) ´e ent˜ao dada por Z t0 0 dt = Z ∞ 0 dz (1 + z)H ou t0= 1 H0 Z ∞ 0 dz (1 + z)E (z) = τH Z ∞ 0 dz (1 + z)E (z) onde τH ´e o tempo de Hubble:

τH = H0−1 = 9.78 h

−1 _Ganos

I Einstein-de Sitter (Ωλ0= 0, Ωm0= 1): 2

A idade do universo

I idade do universo no redshift z:

t(z) = τH Z ∞

z

dz0 (1 + z0_{)E (z}0₎

I look-back time de um objeto no redshift z:

tl(z) = t0− t(z) = τH Z z

0

dz0 (1 + z0)E (z0)

A idade do universo

I universo de curvatura nula:

t(z) = 2 3τHΩ −1/2 λ0 arcsinh "  Ωλ0 Ωm0(1 + z)3 1/2#

I no intervalo de interesse (0.1 <∼ Ωm0<∼ 1, Ωλ0<∼ 1), a solu¸c˜ao exata pode ser aproximada dentro de alguns % por

(Peacock, 1999):

t0 ' 2

3τH(0.7Ωm0− 0.3Ωλ0+ 0.3) −0.3

I note que o universo n˜ao pode ser mais jovem que os objetos que cont´em: isso permite por limites nos valores dos

A idade do universo

I Turn-off da Sequˆencia Principal de Aglomerados Globulares revis˜ao: Demarque, 1997, The ages of globular star clusters-tem no Level 5

I turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no n´ucleo e vai para o ramo das gigantes no diagrama HR

limite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do H termina quando ∼ 10% da massa da estrela ´e convertida em He

I tTO: depende principalmente da massa da estrela, mas tamb´em de Y , Z , convec¸c˜ao , rota¸c˜ao ...

tTO∝ M−2

I Maeder (XEAA): modelos com rota¸c˜ao aumentam as estimativas de idade dos AG at´e 25%!

A idade do universo

I Chaboyer et al. (1998): tAG = 11.5 ± 1.3 Ganos

I t0: depende da ´epoca de forma¸c˜ao dos AGs Peacock: t0 est´a entre 12 e 16 Ganos

A idade do universo

Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da gal´axia (Lineweaver, 1999, Sci. 284, 1503; tem no Level 5).

A idade do universo

Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em fun¸c˜ao do redshift para v´arios modelos cosmol´ogicos (Ωm0, Ωλ0). Linha s´olida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).

Distˆ

ancias

I Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology, astro-ph/9905116

I o conceito de distˆancia n˜ao ´e ´unico em um espa¸co-tempo dinˆamico

I medidas de distˆancia relacionam 2 eventos em geod´esicas separadas que est˜ao em um mesmo cone de luz; podem ser caracterizados pelos tempos te e t0 de emiss˜ao e observa¸c˜ao, ou pelo fator de escala nesses tempos, R(te) e R(t0), ou pelos redshifts correspondentes, ze e z0

Distˆ

ancia pr´

opria e com´

ovel

I distˆancia pr´opria entre dois eventos ao longo de uma geod´esica, Dp

I note que n˜ao se mede Dp!

I elemento de distˆancia pr´opria: dDp= cdt

I como dt = −dz/[(1 + z)H], ´e f´acil verificar que dDp= DHdz/[(1 + z)E (z)], onde DH = c H0 ' 3000 h −1 _Mpc ´

Distˆ

ancia pr´

opria e com´

ovel

I distˆancia pr´opria entre dois eventos em z1 e z2:

Dp = DH Z z2

z1

dz0 (1 + z0)E (z0) toda a cosmologia est´a embutida em E (z)

I distˆancia com´ovel Dc

dDp= (R/R0) dDc

I distˆancia com´ovel entre z1 e z2:

Dc = DH Z z2

z1

dz0 E (z0₎

Distˆ

ancia pr´

opria e com´

ovel

I como a luz viaja por geod´esicas nulas (ds2 _{= 0),}

cdt R = dDc R0 = √ d σ 1 − kσ2.

I ent˜ao, distˆancia com´ovel entre um observador na origem e outro na coordenada radial σ:

Dc= R0 Z σ 0 d σ √ 1 − kσ2 = R0S (σ)

I assim, para os v´arios sinais da curvatura temos: I k = +1: Dc = R0arcsin σ

I k = 0: Dc= R0σ

Distˆ

ancia pr´

opria e com´

ovel

I note que n˜ao se pode medir diretamente nem as distˆancias pr´oprias nem as distˆancias com´oveis

I entre as distˆancias que se medem, as mais importantes s˜ao as de luminosidade e de diˆametro

Distˆ

ancia pr´

opria e com´

ovel

Distˆ

ancia de luminosidade

I Dl: medida por m´etodos baseados na luminosidade aparente

I classicamente, fluxo, luminosidade e distˆancia est˜ao relacionados como

f = L

4πD2

I elemento de ´area (hoje) na m´etrica de RW: dA = R₀2σ2sin θd θd φ = R₀2σ2d Ω

I ´area de uma esfera de “raio” σ hoje ´e A = 4πR₀2σ2

Distˆ

ancia de luminosidade

I L(ν, t)d ν: energia emitida por uma gal´axia G por segundo com frequˆencia ν entre ν e ν + d ν no instante t

I esses f´otons s˜ao recebidos com energia menor, devido ao redshift:

hν0 = hν 1 + z

I al´em disso, essa energia ´e recebida em um intervalo de tempo maior:

∆t0= (1 + z)∆t

I energia recebida por cm2 por s (fluxo) no intervalo [ν0, ν0+ d ν0]:

Distˆ

ancia de luminosidade

Distˆ

ancia de luminosidade

Figure: Distˆancia de luminosidade normalizada em fun¸c˜ao do redshift para trˆes modelos de mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha s´olida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

Distˆ

ancia de diˆ

ametro

I distˆancia de diˆametro (DA; “A” de aperture): obtida pelos m´etodos baseados no tamanho aparente

I sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diˆametro D, a distˆancia de diˆametro DA ´e tal que

∆θ = D DA

I diˆametro pr´oprio:

D = Rσ∆θ I como 1 + z = R0/R, temos DA = R0σ 1 + z = Dl (1 + z)2

Distˆ

ancia de diˆ

ametro

I em estudos de lentes aparece a distˆancia de diˆametro entre o redshift z1 e z2 (z1 < z2), que ´e dada por:

DA(z1, z2) = R2σ12= R0σ12 1 + z2 onde σ12 ´e a distˆancia de coordenadas entre z1 e z2

Distˆ

ancia de diˆ

ametro

I em um universo dominado apenas por mat´eria, vale a rela¸c˜ao de Mattig (1959):

DA(z) = 2c

H0Ω2m0(1 + z)2

Distˆ

ancia de diˆ

ametro

Figure: Distˆancia de diˆametro normalizada em fun¸c˜ao do redshift para trˆes modelos de mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha s´olida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

C´

alculo das distˆ

ancias

I ”distˆancia com´ovel transversal”: DM ≡ R0σ ent˜ao, Dl = (1 + z)DM e DA= DM/(1 + z)

I logo, se conhecermos DM(z) podemos calcular Dl(z) e DA(z)

I distˆancia com´ovel de um objeto no redshift z:

Dc = DH Z z 0 dz0 E (z0₎ = R0S (σ) ent˜ao, se I k = +1: DM = R0 sin(Dc/R0) I k = 0: DM= Dc I k = −1: DM = R0 sinh(Dc/R0)

C´

alculo das distˆ

ancias

I Ωk0= −kc2/(H02R02), de modo que, se k for diferente de zero, R0 = DH/p|Ωk0|

I juntando tudo, temos:

I k = +1: DM = DH/p|Ωk0| sin  p|Ωk0|Dc/DH  I k = 0: DM= Dc I k = −1: DM = DH/p|Ωk0| sinh  p|Ωk0|Dc/DH  onde Dc/DH = Rz 0 dz 0_{/E (z}0₎

Volumes

I espa¸co euclidiano: o elemento de volume ´e dV = r2d Ωdr

I espa¸cos curvos, com a MRW,

dV = R

2_σ2_{d ΩRd σ} √

1 − kσ2

I substituindo Rd σ/√1 − kσ2 _{por cdt = −cdz/[(1 + z)H], o} elemento de volume fica:

dV = DHD 2 Ad Ωdz (1 + z)E (z)

I elemento de volume com´ovel:

Volumes

I contagem de objetos: qual ´e o n´umero de objetos dentro de d Ω e dz?

dN = n(z)dV

Volumes

Figure: Elemento de volume com´ovel normalizado,(1/dH)3(dVc/dz), em fun¸c˜ao do redshift para trˆes modelos

Exerc´ıcios

1. Mostre que, com a constante cosmol´ogica, ´e poss´ıvel obter-se uma solu¸c˜ao est´atica para o universo: o “universo de Einstein”. Como Λ se relaciona com ρ? Em termos de curvatura, que tipo de universo ´e esse? Qual ´e seu “raio”?

2. Um quasar em z = 1 varia com uma escala de tempo observada de 1 ano. Qual ´e a escala de tempo de variabilidade no referencial do quasar? Esse resultado depende do modelo cosmol´ogico?

3. Suponha que k = 0 e Λ = 0. Calcule H(t) para um universo dominado apenas por radia¸c˜ao e apenas por mat´eria.

4. Suponha que a densidade de energia e a press˜ao est˜ao relacionadas como p = w ρc2, com w constante. Mostre que ρ ∝ R−3(1+w ).

Exerc´ıcios

5. Mostre que, se k = 0 e p = w ρc2, com w constante, ent˜ao R ∝ t

2 3(1+w )_.

6. Mostre que η ' 2.74 × 10−8(T /2.73K)−3Ωbh2.

7. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que os aglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que voce diria sobre H0?

8. Calcule tl e t(z) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique, em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades em z = 1 e z = 15.

Exerc´ıcios

´e a idade do universo num redshift z para um universo de curvatura nula com mat´eria e constante cosmol´ogica. Verifique, em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade em z = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.

10. Fria¸ca, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasar

APM08279+5255, em z = 3.91. A raz˜ao de abundˆancia Fe/O observada ´e 3.3 em unidades solares. Usando um modelo de evolu¸c˜ao qu´ımio-dinˆamico do quasar, concluem que sua idade ´e tq =2.1 Ganos. Discuta as implica¸c˜oes disso para a constante de Hubble, supondo um universo plano com Ωm0= 0.3 e Ωλ0= 0.7.

Exerc´ıcios

12. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, em minutos de arco, um diˆametro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e 2.

13. Fa¸ca um programa para reproduzir as figuras que mostram as idades, e as distˆancias de luminosidade e diˆametro em fun¸c˜ao do redshift.

14. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo onde a energia escura pode ser descrita como

w = w0+ wa(1 − a)

Suponha que w0 = −1 e wa = ±0.1. Que varia¸c˜ao isso produz nas distˆancias de diˆametro e luminosidade em z = 0.8 em rela¸c˜ao ao modelo ΛCDM convencional ( w0= −1 e wa= 0)?

Referˆ

encias

Hinshaw, G. et al., 2008, arXiv:0803.0732 Hogg, D.W., 1999, astro-ph/9905116

Kneller, J.P., Steigman, G., 2004, astro-ph/0406320 Peacock, J.A., 1999, Cosmological Physics, CUP Steigman, G., 2007, arXiv:0712.1100

um site muito ´util ´e o Level 5:

A Knowledgebase for Extragalactic Astronomy and Cosmology http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/