Neste capítulo iremos demonstrar que ambas as lógicas ATL e CGL são fragmentos da lógica GAL.
7.1
GAL versus ATL
Nesta seção comparamos GAL à lógica ATL. Como ATL é uma lógica proposicional baseada também na lógica CTL, podemos defini-la através de GAL utilizando a característica de primeira-ordem de GAL. Na seção 7.1.1, mostramos como uma estrutura de jogo concorrente pode ser definida como uma estrutura de GAL. Definimos as fórmulas de ATL em fórmulas de GAL na seção 7.1.2.
Antes de entrarmos em como ATL pode ser embutido na lógica GAL, gostaríamos de ilustrar que a modelagem de jogos utilizando a lógica ATL pode levar a alguns problemas. Considere o exemplo 5.3, jogo do casamento, do capítulo 5 (página 92), que é novamente apresentado na figura 7.1 abaixo. Neste jogo temos, claramente, que quando os jogadores estão casados, então existem apenas duas ações possíveis: permanecer casado; e separar. Note que esta é uma decisão conjunta do casal. Por outro lado, em ATL devemos representar os jogadores com suas ações individuais, desta forma, para termos apenas duas possibilidades neste jogo teríamos que arbitrar que um dos jogadores decide e outro aceita. Esta interpretação foge à intuição de que ambos os jogadores decidem se continuam ou não casados. Uma outra forma de modelar isto é considerar que cada jogador pode escolher entre permanecer casado ou não. Contudo, esta interpretação também traz alguns problemas. O primeiro deles é que devemos novamente arbitrar o que fazer quando um jogador deseja permanecer casado e o outro deseja a separação. Alguém pode dizer que neste caso, então a interpretação usual é que eles continuam casados. Mesmo assim iremos mostrar que esta interpretação também é problemática. Abaixo apresentamos a definição do exemplo 5.3, jogo do casamento, em ATL. Representamos este jogo na figura 7.2, onde a função δ é representada pelas setas entre os estados que têm os perfis de ações rotulados nas setas. Por
exemplo, no estado q4 temos uma seta que tem como origem e destino o
mesmo estado q4. Esta seta tem 3 rótulos, !1, 1", !1, 2" e !2, 1", que representam
as três transições δ(q4,!1, 1") = q4, δ(q4,!1, 2") = q4 e δ(q4,!2, 1") = q4, respectivamente. ! " # $ ech= solteiro ecm= solteiro {h} e0 ! ! ! " ###$ ! " # $ ech= solteiro ecm= solteiro {m} e1 ! ! ! " ###$ ! " # $ ech= solteiro ecm= solteiro {} e2 ! " # $ ech= casado ecm= casado {h, m} e3 % % ! " # $ ech= solteiro ecm= solteiro {} e4 ! " # $ ech= separado ecm= separado {} e5
EstadoCivil ={solteiro, casado, separado}
Figura 7.1: Estrutura de GAL para o jogo do casamento.
% & ' ( HSol M Sol q 1 !1, 1"!!!! !2, 1" ! " #####$ % & ' ( HSol M Sol q 2 !1, 1"!!!! !1, 2" ! ! " ## ####$ % & ' ( HSol M Sol q 3 % !1, 1" % & ' ( HCas M Cas q 4 % !2, 2" % !1, 1" !1, 2" !2, 1" % & ' ( HSol M Sol q 5 % !1, 1" % & ' ( HSep M Sep q6 % !1, 1"
Figura 7.2: Estrutura de ATL para o jogo do casamento.
Exemplo 7.1 O exemplo 5.3 (página 92), jogo do casamento, é modelado da seguinte forma C = !Q, Qo, π, a, δ", onde
– n = 2. O homem é representado por 1 e a mulher por 2.
– !={HSol, MSol, HCas, MCas, HSep, MSep}. HSol, HCas e HSep são proposições que representam o estado civil do homem quando ele está solteiro, casado e separado, respectivamente. As proposições MSol, M Case MSep representam, respectivamente, os estados civis da mulher.
– Q ={q1, q2, q3, q4, q5, q6}.
– Qo ={q1}.
– π(q1) = {HSol, MSol} , π(q2) = {HSol, MSol} , π(q3) =
{HSol, MSol} , π(q4) = {HCas, MCas} , π(q5) = {HSol, MSol} ,
π(q6) ={HSep, MSep}.
– – a1(q1) = 2 e a2(q1) = 1. O homem pode fazer uma proposta
de casamento, que é representado por 1, ou não fazê-la, que é representado por 2. A mulher não interfere no estado q1.
– a1(q2) = 1 e a2(q2) = 2. A mulher pode aceitar a proposta de
casa-mento, que é representado por 1, ou recusá-la, que é representado por 2. O homem não interfere no estado q2.
– a1(q3) = 1 e a2(q3) = 1. O homem e a mulher não têm nada mais
a escolher.
– a1(q4) = 2 e a2(q) = 2. O homem e a mulher podem decidir se
permanecerão casados (representado por 1) ou se separarão (repre-sentado por 2).
– a1(q5) = 1 e a2(q5) = 1. O homem e a mulher não têm nada mais
a escolher.
– a1(q6) = 1 e a2(q6) = 1. O homem e a mulher não têm nada mais
a escolher.
– O estado q1 tem dois sucessores: δ(q1,!1, 1") = q2, onde o homem
fez uma proposta de casamento; e δ(q1,!2, 1") = q3, onde o homem
não fez a proposta.
– O estado q2 tem dois sucessores: δ(q2,!1, 1") = q4, onde a mulher
aceita a proposta de casamento; e δ(q2,!1, 2") = q5, onde a mulher
não aceita.
– O estado q3 tem apenas um sucessor δ(q3,!1, 1") = q3, uma vez que
ambos os jogadores não têm mais escolhas a fazer no jogo.
– O estado q4 tem quatro sucessores: δ(q4,!1, 1") = q4, onde ambos
decidem por permanecer casados; δ(q4,!1, 2") = q4, onde o homem
escolhe por permanecer casado, enquanto que a mulher escolhe por
se separar; δ(q4,!2, 1") = q4, onde a mulher escolhe por permanecer
casada, enquanto que o homem escolhe por se separar; δ(q4,!2, 2") =
q6, onde ambos escolhem por se separarem.
– O estado q5 tem apenas um sucessor δ(q5,!1, 1") = q5, uma vez que
ambos os jogadores não têm mais escolhas a fazer no jogo.
– O estado q6 tem apenas um sucessor δ(q6,!1, 1") = q6, uma vez que
ambos os jogadores não têm mais escolhas a fazer no jogo.
Agora iremos fazer algumas análises sobre este jogo utilizando algumas fórmulas em ATL para o jogo do casamento para o estado q4, onde os jogadores
estão casados.
Inicialmente iremos apresentar algumas fórmulas para quando tanto o homem como a mulher atuam conjuntamente. Note que esta é a mesma intuição de GAL e iremos apresentar as fórmulas em ATL abaixo.
– C |=q4 !!1, 2""X(HSol ∧ MSol)
Esta fórmula é satisfeita em q4 quando as estratégias dos jogadores
atribuem ao estado q4 a ação 2.
– C |=q4 !!1, 2""X(HCas ∧ MCas)
Esta fórmula é satisfeita em q4 quando as estratégias dos jogadores
atribuem ao estado q4 a ações 1.
Contudo, diferentemente da intuição deste jogo os jogadores possuem diferenças entre seus possíveis comportamentos quando são analisados de forma individual. Como veremos abaixo cada jogador pode garantir que eles continuarão casados, enquanto não podem garantir que eles se separarão. Contudo, intuitivamente não temos esta distinção, pois a separação pode ocorrer de forma litigiosa, e nenhum dos jogadores pode, assim, garantir que eles irão continuar casados. Concluímos por dizer que o problema nesta modelagem está em considerarmos que os jogadores podem garantir algumas propriedades de forma individual, o que não é o caso no jogo do casamento. Por outro lado, devemos deixar claro que em muitos casos esta separação ocorre de forma intuitiva.
– C |=q4 !!1""X(HCas ∧ MCas)
Esta fórmula é satisfeita em q4 quando a estratégia do jogador 1 atribui
ao estado q4 a ação 1. Note que esta fórmula afirma que o jogador 1 pode
garantir que os jogadores continuarão casados. – C |=q4 !!2""X(HCas ∧ MCas)
Esta fórmula é satisfeita em q4 quando a estratégia do jogador 2 atribui
ao estado q4 a ação 1. Note que esta fórmula afirma que o jogador 2 pode
garantir que os jogadores continuarão casados. – C $|=q4 !!1""X(HSep ∧ MSep)
Esta fórmula não é satisfeita em q4, pois qualquer estratégia que o jogador
1utilize o jogador 2 pode sempre garantir que eles permanecerão casados. Note que esta fórmula afirma que o jogador 1 não pode garantir que os jogadores irão se separar.
– C $|=q4 !!2""X(HSep ∧ MSep)
Esta fórmula não é satisfeita em q4, pois qualquer estratégia que o jogador
2utilize o jogador 1 pode sempre garantir que eles permanecerão casados. Note que esta fórmula afirma que o jogador 2 não pode garantir que os jogadores irão se separar.
7.1.1
Estruturas de Jogos Concorrentes como Estruturas de GAL
A idéia basicamente é colocar as ações tomadas por cada jogador na estrutura de GAL. Isto é feito utilizando símbolos constantes (ai), um para
cada jogador i, tal que a sua interpretação varia de acordo com o perfil de ações tomadas pelos jogadores que originaram o novo estado. As proposições dos estados são mantidas e a relação entre eles também é preservada. Utilizamos ainda um símbolo constante s para representar qual foi o estado destinatário da relação de transição que originou o novo estado. No caso dos estados iniciais arbitramos o valor 0 para a interpretação das constantes (ai), pois eles não
foram originados de nenhum outro estado. Antes de entrarmos nos detalhes formais de tal representação, gostaríamos que o leitor olhasse a figura 7.3, que representa o exemplo 4.7. Note que o estado inicial q na figura 7.3.a é representado na figura 7.3.b como o estado q com A e B representados da mesma forma, s é interpretado como q, e os símbolos constantes (a1)e (a2)são
interpretados como 0. Tomando o mesmo estado q da figura 7.3.a com o perfil de ações !1, 2", temos um estado q!1,2"na figura 7.3.b, que representa a transição
do estado q pelo perfil de ações !1, 2" para o estado qB. As interpretações
dos símbolos constantes s, a1 e a2 no estado q!1,2" são qB (o estado destino
qB = δ(q,!1, 2")), 1 (a ação 1) e 2 (a ação 2), respectivamente. Note ainda que
o estado q!1,2" preserva as mesmas proposições verdadeiras que o estado qB.
Formalmente, um jogo concorrente é definido como uma estrutura de GAL como segue.
(b) - Estrutura de GAL (GAB).
(a) - Jogo Concorrente (SAB). q qAB qA qB q "$ !# q!1,1" "$ !# q!2,1" "$ !# q!2,2" "$ !# q!1,2" "$ !# qA!1,1" "$ !# qA!1,2" "$ !# qAB!1,1" "$ !# qB!2,1" "$ !# qB!1,1" "$ !# a1= 0 a2= 0 s = q {1, 2} a1= 1 a2= 1 s = q {1, 2} a1= 2 a2= 1 s = qA A {1, 2} a1= 2 a2= 2 s = qAB A B {1, 2} a1= 1 a2= 2 s = qB B {1, 2} a1= 1 a2= 1 s = qA A {1, 2} a1= 1 a2= 2 s = qAB A B {1, 2} a1= 1 a2= 1 s = qAB A B {1, 2} % a1= 2 a2= 1 s = qAB A B {1, 2} a1= 1 a2= 1 s = qB B {1, 2} & ' ' ' ' ' ( ) ) ) ) ) * ++++++++ ++++++++ ++, % ' ' ' ' ' ( ) ) ) ) ) * -. / / / / /0 ) ) ) ) ) * % ' ' ' ''( 1 1 1 1 12 % & & 3 3 % "$ !# "$ !# "$ !# "$ !# % 3 & % % % !1, 1" !1, 1" !1, 1" !1, 1" !1, 2" !2, 1" !2, 2" !2, 1" !1, 2" % ! ! ! ! ! ! ! ! ! " ## ## ## ###$ A A B B
Figura 7.3: Jogo Concorrente vs. Estrutura de GAL para o exemplo 4.7. Definição 7.2 Seja C = !Q, Qo, π, a, δ" uma estrutura de jogo concorrente
com linguagem não-lógica !n, Π". Uma estrutura de GAL para C é definida como segue.
– A linguagem não-lógica é !S, F, P, N", onde
– S = {N, Q}, um sort N para as ações dos jogadores e um sort Q para os estados.
– F = {s, (ai)}, um símbolo constante s :→ Q e, para cada jogador
i∈ {1, . . . , n}, um símbolo constante ai :→ N.
– P = Π, os símbolos proposicionais de C.
– N ={1, . . . , n}, os jogadores de C.
– A estrutura de GAL é G = !SE, SEo,CA, (DN,DQ), (ai,e, se)i∈{1,...,n},e∈SE,
(pe)p∈Π,e∈SE, (Ne)", onde
1. Para cada estado q ∈ Q e cada a ∈ A(q), um estado qa∈ SE.
2. SEo = Qo ⊆ SE.
3. O domínio DQ de sort Q é o conjunto de estados Q de C; e o domínio
DN de sort N é o conjunto de todos os possíveis valores das ações
dos jogadores do jogo C. Note que este conjunto é finito se o número de perfis de ações do jogo C é finito.
4. Para cada estado e ∈ SE, temos
(a) se =
"
q,se e = q ∈ Qo
δ(q,!a1, . . . , ai, . . . , an"), se e = q!a1,...,ai,...,an"∈ SE (b) Para cada jogador i, ai,e=
"
0,se e = q ∈ Qo
ai,se e = q!a1,...,ai,...,an" ∈ SE (c) Para cada proposição p ∈ Π, pe é verdadeiro se
i. e = q∈ SEo e p ∈ π(q) ou
ii. e = qa ∈ SE e p ∈ π(δ(q, a)).
(d) Para cada estado e$ ∈ SE, !e, e$" ∈ CA, se, e somente se,
existem dois estados q, q$ ∈ Q e um perfil de ações a =
!a1, . . . , ai, . . . , an" ∈ A(q) tal que:
i. se = q.
ii. se# = δ(q, a) = q$.
iii. Para cada jogador i, ai,e# = ai.. (e) Ne ={1, . . . , n}.
Denotamos Ω(q) ⊆ SE como o conjunto de estados, onde se= q.
O exemplo 4.7 (página 82) é apresentado como o jogo concorrente SAB
na seção 4.1 (veja a figura 7.3.a acima) e como a seguinte estrutura de GAL (veja a figura 7.3.b acima).
Exemplo 7.3 O jogo concorrente SAB do exemplo 4.7 é definido na seguinte
estrutura de GAL.
– A linguagem não-lógica é !{N, Q}, {s :→ Q, a1 :→ N, a2 :→
N}, {A, B}, {1, 2}"
– A estrutura de GAL GAB =!SE, SEo,CA, (DN,DQ), (se, a1,e, a2,e), (Ae, Be), (Ne)",
onde
– SE = {q, q!1,1", q!2,1", q!1,2", q!2,2", qA!1,1", qA!1,2", qB!1,1", qB!2,1", qAB!1,1"}.
– SEo ={q}.
– CA = {!q, q!1,1"" , !q, q!1,2"" , !q, q!2,1"" , !q, q!2,2"" , !q!1,1", q!1,1"" , !q!1,1", q!1,2"" , !q!1,1", q!2,1"" , !q!1,1", q!2,2"" , !q!2,1", qA!1,1"" , !q!2,1", qA!1,2"" , !q!2,2", qAB!1,1"" , !qB!1,2", qB!1,1"" , !qB!1,2", qAB!1,1"" , !qA!1,1", qA!1,1"" , !qA!1,1", qA!1,2"" , !qA!1,2", qAB!1,1"" , !qAB!1,1", qAB!1,1"" , !qB!1,1", qB!1,1"" , !qB!1,1", qB!2,1"", !qB!2,1", qAB!1,1""}. – DQ ={q, qA, qB, qAB}. – DN={0, 1, 2}. – sq = q, sq!1,1" = q, sq!2,1" = qA, sq!2,2" = qAB, sq!1,2" = qB,
sqA!1,1" = qA, sqA!1,2" = qAB, sqAB!1,1" = qAB, sqB!2,1" = qB,
sqB!1,1" = qB.
– a1,q = 0, a2,q= 0, a1,q!1,1" = 1, a2,q!1,1" = 1, a1,q!1,2" = 1, a2,q!1,2" = 2,
a1,q!2,1" = 2, a2,q!2,1" = 1, a1,q!2,2" = 2, a2,q!2,2" = 2, a1,qA!1,1" = 1,
a2,qA!1,1" = 1, a1,qA!1,2" = 1, a2,qA!1,2" = 2, a1,qAB!1,1" = 1,
a2,qAB!1,1" = 1, a1,qB!2,1" = 2, a2,qB!2,1" = 1, a1,qB!1,1" = 1, a2,qB!1,1" = 1.
– Aq!2,1", Aq!2,2", AqA!1,1", AqA!1,2", AqAB!1,1", AqB!2,1", Bq!1,2", Bq!2,2",
BqB!1,1", BqB!2,1", BqAB!1,1" e BqA!1,2".
– Nq = Nq!1,1" = Nq!2,1" = Nq!1,2" = Nq!2,2" = NqA!1,1" = NqA!1,2" =
NqB!1,1" = NqB!2,1" = NqAB!1,1" ={1, 2}.
7.1.2
Fórmulas de ATL como fórmulas de GAL
Uma vez definido as estruturas de jogos concorrentes nas estruturas de GAL, o próximo passo é representar as fórmulas de ATL nas fórmulas de GAL, preservando a relação de satisfação. Em outras palavras, uma fórmula de ATL é satisfeita em uma estrutura de jogo concorrente se, e somente se, a estrutura de GAL (definida como na seção 7.1.1) satisfaz a fórmula de GAL (como será definida nesta seção).
Abaixo apresentamos uma tradução das fórmulas de ATL nas fórmulas de GAL, e ainda o teorema que garante que a tradução é correta.
Definição 7.4 Sejam p uma proposição, {i, . . . , j} um conjunto não-vazio de jogadores, vai, . . . , vaj variáveis de sort N, e α e β fórmulas de ATL. Uma tradução de uma fórmula de ATL em fórmula de GAL é uma função
Θ, onde:
– Θ(p) ≡ p
– Θ(¬α) ≡ ¬Θ(α)
– Θ(α→β) ≡ Θ(α)→ Θ(β) – Θ(!!∅""Xα) ≡[AX]Θ(α)
– Θ(!!{i, . . . , j}""Xα) ≡∃vai, . . . ,∃vaj # [EX](vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj) ∧ [AX]((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α)) $ – Θ(!!∅""Gα) ≡ [AG]Θ(α)
– Θ(!!{i, . . . , j}""Gα) ≡ [EG](Θ(α) ∧ Θ(!!{i, . . . , j}""Xα))
– Θ(!!∅""(αU β)) ≡ A(Θ(α) U Θ(β)) – Θ(!!{i, . . . , j}""(αU β)) ≡ E ## Θ(α)∧ Θ(!!{i, . . . , j}""X(α ∨ β)) $ U Θ(β) $
Abaixo listamos alguns exemplos de fórmulas de ATL para o exemplo 4.7 traduzidas conforme a definição acima.
– Θ(!!{2}""XB) ≡ ∃va2([AX](va2 = a2 → B) ∧ [EX](va2 = a2)) – Θ(!!{1, 2}""X(A∧B)) ≡ ∃va1∃va2 # [EX](va1 = a1∧ va2 = a2) ∧ [AX]((va1 = a1∧ va2 = a2)→ (A ∧ B)) $
– Θ(!!{1}""G¬A) ≡ [EG] (¬A ∧ ∃va1([EX](va1 = a1)∧ [AX](va1 = a1 → ¬A)))
– Θ(!!{1, 2}""G¬A) ≡ [EG] # ¬A ∧ ∃va1∃va2 # [EX](va1 = a1∧ va2 = a2) ∧[AX](va1 = a1∧ va2 = a2 → ¬A) $$ – Θ(!!{2}""(¬AUB)) ≡ E ## ¬A ∧ ∃va2 # [EX](va2 = a2) ∧[AX](va2 = a2 → ¬A ∨ B) $$ U B $ – Θ(!!∅""(AUB)) ≡ A(A U B)
Antes de provarmos que a tradução acima é correta, exemplificaremos como o teorema, que prova que ATL pode ser embutido em GAL, funciona. Considere o exemplo 4.7, que foi apresentado na seção anterior em ATL e em GAL (veja a figura 7.3). Veja que a fórmula de ATL !!{2}""XB é satisfeita na estrutura SAB no estado q, quando o jogador 2 escolhe a ação 2. A fórmula
de GAL (traduzida de acordo com a definição acima) ∃va2([AX](va2 = a2 →
B)∧ [EX](va2 = a2))é satisfeita nos estados q e q!1,1", que são os estados onde
s = q, da estrutura GAB quando atribui-se a variável va2 o valor 2.
A fórmula !!{1}""G¬A é satisfeita na estrutura SAB nos estados q e qB.
No estado qB o jogador 1 decide pela estratégia 1, enquanto que o jogador 2
só tem a opção de escolher 1, permanecendo desta forma no estado qB, onde
não vale A. Por outro lado, no estado q (onde também não vale A) o jogador 1 usando novamente a estratégia 1 pode permanecer no estado q (quando o jogador 2 escolhe 1) ou então ir para o estado qB (quando o jogador 2 escolhe
2). Assim, em ambos os casos não vale A. A fórmula de GAL (traduzida como acima)
[EG] (¬A ∧ ∃va1([EX](va1 = a1)∧ [AX](va1 = a1 → ¬A)))
é satisfeita nos estados q, q!1,1", q!1,2" e qB!1,1", que são os estados traduzidos a
partir de q e qB.
Fundamental para a prova abaixo, é a observação de que dado uma estrutura de jogo concorrente a tradução dela em estrutura de GAL é reversível, ou seja, a definição pode ser utilizada no outro sentido. Note que não estamos afirmando que qualquer estrutura de GAL pode ser definida de forma inversa a uma estrutura de jogo concorrente.
Por simplicidade estamos utilizando a definição 4.4 de estratégias como jogo de lembrança imperfeita, uma vez que para o propósito de ATL esta definição é suficiente.
Teorema 7.5 Sejam C uma estrutura de jogo concorrente, q um estado em C, α uma fórmula de ATL, G uma estrutura de GAL para C (como definido na seção 7.1.1), Ω(q) um conjunto de estados em G com se = q, e Θ(α) um
fórmula de GAL para α como definido nesta seção. Para todo e ∈ Ω(q) temos que
C |=q α ⇐⇒ G |=eΘ(α)
Prova. Sejam (vai)variáveis, uma para cada jogador i ∈ N, de sort N e σNuma função de sort N. Iremos provar por indução no tamanho da fórmula tomando um estado qualquer e ∈ Ω(q).
– Base: C |=q p⇐⇒ G |=ep, pela definição de G a partir de C.
– Passo Indutivo: – Caso C |=q ¬α ⇐⇒ G |=e Θ(¬α) C |=q ¬α ⇐⇒def4.6 NÃO C |=q α ⇐⇒H.I. NÃO G |=eΘ(α). ⇐⇒def5.9 G |=e¬Θ(α). ⇐⇒def7.4 G |=eΘ(¬α).
– Caso C |=q (α→ β) ⇐⇒ G |=e Θ(α→ β) C |=q (α→ β) ⇐⇒def4.6 SE C |=q α ENTÃO C |=q β ⇐⇒H.I. SE G |=e Θ(α) ENTÃO G |=e Θ(β) ⇐⇒def5.9 G |=e Θ(α)→ Θ(β). ⇐⇒def7.4 G |=e Θ(α→ β). – Caso C |=q !!∅""Xα ⇐⇒ G |=e Θ(!!∅""Xα) C |=q (!!∅""Xα)
⇐⇒def4.6 Em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, ∅) vale C |=λ1 α
⇐⇒def4.5 para todo a ∈ A(q) temos que λ1 = δ(q, a) vale C |=λ1 α
⇐⇒H.I. para todo a ∈ A(q) temos que λ1 = δ(q, a) vale G |=e1 Θ(α).
Pela definição 7.2 item 4.d temos que !e, e1" ∈ CA se, e somente se,
δ(q, a) = λ1, se= q, se1 = λ1 e, para todo jogador i, vale ai,e1 = ai.
Daí, segue que
⇐⇒ para todo e1 tal que !e, e1" ∈ CA vale G |=e1 Θ(α).
⇐⇒def5.9 G |=e[AX]Θ(α).
⇐⇒def7.4 G |=eΘ(!!∅""Xα).
– Caso C |=q !!I""Xα ⇐⇒ G |=e Θ(!!I""Xα)
C |=q !!I""Xα
⇐⇒def4.6 existe um SI de estratégias, uma para jogador em i ∈ I,
tal que em todos os caminhos λ = q0, q1, . . .∈ Γ(q, SI) vale C |=q1 α.
⇐⇒def4.5 existe um SI de estratégias, uma para jogador em i ∈ I,
tal que existe uma ação a = !a1, . . . , an" ∈ A(q)
tal que ai = si(q) e δ(q, a) = q1 vale C |=q1 α.
⇐⇒H.I. existe um SI de estratégias, uma para jogador em i ∈ I,
tal que existe uma ação a = !a1, . . . , an" ∈ A(q)
tal que ai = si(q) e δ(q, a) = q1 vale
G |=e1 Θ(α).
(7-1)
Para todo estado e ∈ Ω(q) pela definição 7.2 item 4.d temos que !e, e1" ∈ CA se e somente se se = q, se1 = δ(q, a) e, para todo
jogador i ∈ N, vale ai,e1 = ai. Para cada estado e1 temos duas
possibilidades em relação a intepretação das constantes das ações tomadas pelos jogadores i ∈ I.
1. Elas são interpretadas como as funções de estratégias (i.e., para todos os jogadores i em I vale ai = si(q)). E a partir da equação
7-1 temos que
G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e1 ((vai = ai ∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α))
(7-2)
G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e [EX](vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)
(7-3)
2. Elas são diferentes das estratégias dos jogadores i ∈ I, daí temos que
G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))$|=e1 (vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)
(7-4)
Daí, pela definição 5.9, temos que
G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e1 ((vai = ai ∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α))
(7-5)
A partir de 7-2 e 7-5, temos que
Para todo e1 tal que !e, e1" ∈ CA
vale G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e1 (vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α) ⇐⇒ G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e[AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α))
(7-6)
A partir de 7-3, 7-6 e da definição 5.9 temos que G, σN(vai|si(q), . . . , vaj|sj(q))|=e # [EX](vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj) ∧ [AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α)) $ ⇐⇒def5.9 G |=e∃vai, . . . ,∃vaj # [EX](vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj) ∧ [AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α)) $ ⇐⇒def7.4 G |=eΘ(!!I""α) – Caso C |=q !!∅""Gα ⇐⇒ G |=e Θ(!!∅""Gα) C |=q (!!∅""Gα)
⇐⇒def4.6 em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, ∅) e para todo k ≥ 0 vale C |=λk α
⇐⇒def4.5 em todos os caminhos a partir de q e para todo k ≥ 0,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(q) tal que, para cada jogador i ∈ N,
se ai = si(λk) e λk+1 = δ(λk, a), vale que C |=λk α
⇐⇒H.I. em todos os caminhos a partir de q e para todo k ≥ 0,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(q) tal que, para cada jogador i ∈ N,
se ai = si(λk) e λk+1= δ(λk, a), vale que G |=ek Θ(α)
Pela definição 7.2 item 4.d temos que !ek, ek+1" ∈ CA se, e somente
se, δ(λk, a) = λk+1, se = λk, sek+1 = λk+1 e, para todo jogador i∈ N, vale ai,ek+1 = ai. Daí, segue que
⇐⇒ em todos os caminhos a partir de e tal que π(e) = (e0, e1, . . .)
vale, para todo k ≥ 0, que G |=ek Θ(α).
⇐⇒def5.9 G |=e[AG]Θ(α).
⇐⇒def7.4 G |=eΘ(!!∅""Gα).
– Caso C |=q !!I""Gα ⇐⇒ G |=e Θ(!!I""Gα)
C |=q (!!I""Gα)
⇐⇒def4.6 existe um SI de estratégias, uma para cada jogador i ∈ I, tal que
em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI) e para todo k ≥ 0, vale que C |=λk α
⇐⇒def4.6 em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI) e para todo k ≥ 0,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λk) tal que, para todo jogador i ∈ I,
se ai = si(λk) e λk+1 = δ(λk, a), vale que C |=λk α
⇐⇒H.I. em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI)e para todo k ≥ 0,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λk) tal que, para cada jogador i ∈ N,
se ai = si(λk) e λk+1= δ(λk, a), vale que G |=ek Θ(α). (7-7) Para todo estado e ∈ Ω(q) temos pela definição 7.2 item 4.d que π(e) = e0, e1, . . . se e somente se e = e0 e para todo k ≥ 0 temos
que !ek, ek+1" ∈ CA, no qual existem dois estados qk, qk+1 ∈ Q e um
a =!a1, . . . , an" ∈ A(qk) tal que sek = qk, sek+1 = qk+1 = δ(qk, a) e, para todo jogador i ∈ I, vale ai,ek+1 = ai.
Iremos tomar apenas os caminhos que ocorrem em G a partir da equação 7-7, que iremos denotá-los por πSI(e), i.e., πSI(e) = e0, e1, . . ., no qual e = e0 e para todo k ≥ 0 temos que !ek, ek+1" ∈
CA com a propriedade de que existe um caminho λ = q0, q1, . . . ∈
Γ(q, SI) no qual existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λk) tal que
δ(λk, a) = λk+1, sek = λk, sek+1 = λk+1 e, para todo jogador i ∈ I, vale ai,ek+1 = ai = si(λk). Daí, temos que
⇐⇒ Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0,
vale que G |=ek Θ(α) (7-8)
Assim, temos que as equações 7-9 e 7-10 valem. Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0, vale, que
G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))|=ek+1 ((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α))
(7-9)
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0, vale, que
G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))|=ek [EX](vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)
(7-10)
Por outro lado, nos outros estados ek+1 ∈ SE que não ocorrem nos
caminhos πSI(e)tal que !e
k, ek+1" ∈ CA temos que as interpretações
das constantes (ai)i∈I dos jogadores não são iguais as estratégias
definidas por SI. Daí, segue que
G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))$|=ek+1 (vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj) Daí, pela definição 5.9, temos que
G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))|=ek+1 ((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α))
(7-11)
Assim, por 7-11 e 7-9, temos que Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0, vale que
G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))|=ek [AX]((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α))
(7-12)
Assim, por 7-9 e 7-12, temos que
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0, vale que G, σN(vai|si(λk), . . . , vaj|sj(λk))|=ek # [EX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj) ∧[AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α)) $
⇐⇒def5.9 Para todo caminho πSI(e) = (e0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0,
vale que G |=ek ∃vai. . .∃vaj
#
[EX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj) ∧[AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α))
$
⇐⇒def7.4 Para todo caminho πSI(e) = (e0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0,
vale que G |=ek Θ(!!I""α) (7-13)
Pelas equações 7-8 e 7-13 utilizando a definição 5.9 temos que
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) e para todo k ≥ 0,
vale que G |=ek (Θ(α)∧ Θ(!!I""α))
⇐⇒def5.9 G |=e[EG] (Θ(α)∧ Θ(!!I""Xα)) .
⇐⇒def7.4 G |=eΘ(!!I""Gα).
– Caso C |=q !!∅""(αUβ) ⇐⇒ G |=eΘ(!!∅""(αUβ))
C |=q !!∅""(αUβ)
⇐⇒def4.6 em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, ∅), existe um k ≥ 0 tal que C |=λk β
e para todo 0 ≤ l < k, vale que C |=λl α
⇐⇒def4.5 em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, ∅), existe um k ≥ 0 tal que
C |=λk β e para todo 0 ≤ l < k, existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λl) tal que, para cada jogador i ∈ N, se si(λl) = ai e λl+1 = δ(λl, a),
vale que C |=λl α
⇐⇒H.I. em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, ∅), existe um k ≥ 0 tal que
G |=ek Θ(β) e para todo 0 ≤ l < k,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λl) tal que, para cada jogador i ∈ N,
se si(λl) = ai e λl+1 = δ(λl, a),vale que G |=el Θ(α)
Pela definição 7.2 item 4.d temos que !ek, ek+1" ∈ CA se, e somente
se, δ(λk, a) = λk+1, se = λk, sek+1 = λk+1 e, para todo jogador i∈ N, vale ai,ek+1 = ai. Daí, segue que
em todos os caminhos π(e) = e0, e1, . . . , existe um k ≥ 0 tal que
G |=ek Θ(β) para todo 0 ≤ l < k, vale que G |=el Θ(α)
⇐⇒def5.9 G |=ek A(Θ(α)UΘ(β))
⇐⇒def7.4 C |=λk !!∅""(αUβ)
– Caso C |=q !!I""(αUβ) ⇐⇒ G |=e Θ(!!I""(αUβ))
C |=q !!I""(αUβ)
⇐⇒def4.6 existe um SI de estratégias, uma para cada jogador i ∈ I, tal que
em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI), existe um k ≥ 0 tal que C |=λk β e para todo 0 ≤ l < k, vale que C |=λl α
⇐⇒def4.5 em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI), existe um k ≥ 0 tal que
C |=λk β e para todo 0 ≤ l < k, existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λl) tal que, para cada jogador i ∈ I, se si(λl) = ai e λl+1 = δ(λl, a),
vale que C |=λl α
⇐⇒H.I. em todos os caminhos λ ∈ Γ(q, SI), existe um k ≥ 0 tal que
G |=ek Θ(β) para todo 0 ≤ l < k,
existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λl) tal que, para cada jogador i ∈ I,
se si(λl) = ai e λl+1 = δ(λl, a),vale que G |=el Θ(α) (7-14)
Para todo estado e ∈ Ω(q) temos pela definição 7.2 item 4.d que π(e) = e0, e1, . . . se e somente se e = e0 e para todo k ≥ 0 temos
que !ek, ek+1" ∈ CA, no qual existem dois estados qk, qk+1 ∈ Q e um
a =!a1, . . . , an" ∈ A(qk) tal que sek = qk, sek+1 = qk+1 = δ(qk, a) e, para todo jogador i ∈ I, vale ai,ek+1 = ai.
Iremos tomar apenas os caminhos que ocorrem em G a partir da equação 7-14, que iremos denotá-los por πSI(e), i.e., πSI(e) = e0, e1, . . ., no qual e = e0 e para todo k ≥ 0 temos que !ek, ek+1" ∈
CA com a propriedade de que existe um caminho λ = q0, q1, . . . ∈
Γ(q, SI) no qual existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λk) tal que
δ(λk, a) = λk+1, sek = λk, sek+1 = λk+1 e, para todo jogador i ∈ I, vale ai,ek+1 = ai = si(λk). Daí, temos que
Para todo πSI(e) = e
0, e1, . . . , existe um k ≥ 0 tal que
G |=ek Θ(β) (7-15)
e para todo 0 ≤ l < k, existe um a = !a1, . . . , an" ∈ A(λl) tal que,
para cada jogador i ∈ I, se si(λl) = ai e λl+1 = δ(λl, a),
vale que G |=el Θ(α) (7-16)
Assim, temos que as equações 7-17 e 7-18 valem.
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que
G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))|=el [EX](vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)
(7-17)
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que
G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))|=el+1 ((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ (Θ(α ∨ β)))
(7-18)
Por outro lado, para todo 0 ≤ l < k e para os outros estados el+1 ∈
SE que não ocorrem nos caminhos πSI(e) tal que !e
l, el+1" ∈ CA
temos que as interpretações das constantes (ai)i∈I dos jogadores não
são iguais as estratégias definidas por SI. Daí, segue que
G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))$|=el+1 (vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj) Daí, pela definição 5.9, temos que
G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))|=el+1 ((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α ∨ β))
(7-19)
Assim, por 7-18 e 7-19 temos que Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que
G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))|=el [AX]((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α ∨ β))
(7-20)
Assim, por 7-17 e 7-20 temos que
Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que G, σN(vai|si(λl), . . . , vaj|sj(λl))|=el
#
[EX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)
∧[AX]((vai= ai∧ . . . ∧ vaj= aj)→ Θ(α ∨ β))
$
⇐⇒def5.9 Para todo caminho πSI(e) = (e0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que G |=el ∃vai. . .∃vaj
#
[EX]((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)
∧[AX]((vai = ai∧ . . . ∧ vaj = aj)→ Θ(α ∨ β))
$
⇐⇒def7.4 Para todo caminho πSI(e) = (e0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que
vale que G |=el Θ(!!I""(α ∨ β)) (7-21)
Assim, por 7-16 e 7-21 temos que Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .) existe um k ≥ 0 tal que
para todo 0 ≤ l < k, vale que G |=el Θ(α)∧ Θ(!!I""(α ∨ β))
(7-22)
Assim, por 7-15 e 7-22 temos que Para todo caminho πSI(e) = (e
0, e1, . . .), existe k ≥ 0, tal que G |=ek Θ(β) e para todo 0 < l ≤ k, vale que G |=el (Θ(α)∧ Θ(!!I""(α ∨ β)))
⇐⇒def5.9 G |=eE ((Θ(α)∧ Θ(!!I""X(α ∨ β))) UΘ(β)) .
⇐⇒def7.4 G |=eΘ(!!I""(αUβ).
!
7.2
GAL versus CGL
Iremos demonstrar que, assim como ATL, a lógica CGL pode ser definida em GAL. Para tanto, utilizaremos a representação de um jogo de coalizão sem utilidades transferíveis em GAL como definido na seção 6.8. As fórmulas de CGL são traduzidas como segue.
Definição 7.6 Sejam Γ = !N, X, v, (0i)" um jogo de coalizão sem utilidades
transferíveis, w e w$ conseqüências de Γ, i um jogador de Γ, I um conjunto de
jogadores de Γ, α e β fórmulas de CGL, e vX uma variável de sort X. Uma
tradução de uma fórmula de CGL em fórmula de GAL é uma função Θ, onde – Θ(w) ≡ x = w. – Θ(w 0i w$)≡ w 0i w$. – Θ(¬α) ≡ ¬Θ(α) – Θ(α→ β) ≡ Θ(α) → Θ(β) – Θ(!!I""α) ≡ ∃vX(vX ∈ v(I) ∧ (x = vX → Θ(α)).
Teorema 7.7 Sejam Γ = !N, X, v, (0i)" um jogo de coalizão sem utilidades
transferíveis, αo e αc fórmulas de CGL para linguagem Φo e Φc de CGL gerada
pela linguagem não-lógica !N, X" (a mesma do jogo Γ), GΓ uma estrutura de
GAL para o jogo Γ definida como na seção 6.8, e Θ uma função como definido acima.1
1. Γ|=w αo ⇐⇒ GΓ|=w Θ(αo)
2. Γ|= αc⇐⇒ GΓ |= Θ(αc)
Prova. Ambas as provas abaixo serão feitas por indução no tamanho de α.
1. Γ|=w αo ⇐⇒ GΓ|=w Θ(αo)
– Base: Γ |=w w$ ⇐⇒ GΓ |=w x = w$ Pela definição de GΓ temos
que no estado w a constante x é interpretada como w$. A partir daí
aplicando a definição 7.6 temos que Γ |=w w$ ⇐⇒ GΓ |=w Θ(w$)
– Passo Indutivo: – Caso: Γ |=w ¬αo ⇐⇒ GΓ|=w Θ(¬αo) Γ|=w ¬αo ⇐⇒def4.11 NÃO Γ |=w ¬αo ⇐⇒H.I. NÃO GΓ|=w Θ(αo) ⇐⇒def5.9 GΓ |=w ¬Θ(αo) ⇐⇒def7.6 GΓ |=w Θ(¬αo) 1wem Γ |=
wαosignifica uma conseqüência do jogo Γ, enquanto que o w de GΓ|=wΘ(αo)
é o estado da estrutura de GAL correspondente ao w do jogo Γ via definição de estrutura de GAL a partir de Γ.
– Caso: Γ |=w αo → βo ⇐⇒ GΓ |=w Θ(αo → βo) Γ|=w αo → βo ⇐⇒def4.11 SE Γ |=w αo ENTÃO Γ |=w βo ⇐⇒H.I.SE GΓ |=w Θ(αo) ENTÃO GΓ |=w Θ(βo) ⇐⇒def5.9 GΓ|=w Θ(αo)→ Θ(βo) ⇐⇒def7.6 GΓ|=w Θ(αo → βo)
2. Esta prova é semelhante à anterior, portanto iremos tratar apenas o seguinte caso: Γ |= !!I""αc ⇐⇒ GΓ |= Θ(!!I""αc)
Γ|= !!I""αc
⇐⇒def4.11 ∃w ∈ v(I) tal que Γ |=w αc (7-23)
Seja σX uma função de valoração de sort X. Como w é um estado de GΓ,
a função v é interpretada como em Γ, I é uma constante interpretada como o conjunto I de jogadores e o predicado ∈ tem a intepretação usual temos que
GΓ, σX(vX|w) |= vX ∈ v(I) (7-24)
Para todo estado w$ ∈ X temos duas possibilidades:
– GΓ, σX(vX|w) $|=w# x = vX Daí, claramente, pela definição da
semântica de GAL e pela equação 7-24, temos que GΓ, σX(vX|d) |=w# (vX ∈ v(I) ∧ (x = vX → Θ(αc)))
⇐⇒def5.9 GΓ|=w# ∃vX(vX ∈ v(I) ∧ (x = vX → Θ(αc)))
⇐⇒def7.6 GΓ|=w# Θ(!!I""αc) (7-25)
– GΓ, σX(vX|w) |=w# x = vX. Daí, no estado w$ a partir de 7-23 e a partir do item 1 deste teorema, temos que
GΓ, σX(vX|d) |=w# (x = vX → Θ(αc)) (7-26)
E por 7-24 e 7-26 temos que
GΓ, σX(vX|d) |=w# (vX ∈ v(I) ∧ (x = vX → Θ(αc))) ⇐⇒def5.9 GΓ|=w# ∃vX(vX ∈ v(I) ∧ (x = vX → Θ(αc)))
⇐⇒def7.6 GΓ|=w# Θ(!!I""αc) (7-27)
Daí, a partir de 7-25 e 7-27, temos que GΓ|= Θ(!!I""αc)
!
