Relatividade e Eletromagnetismo

   

Relatividade e Eletromagnetismo



 Relatividade Restrita



Mecânica relativística



Eletrodinámica relativística

Referências:  D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice­Hall, 1999  C. Schiller, Motion Mountain – The Adventure of Physics,        http://www.motionmountain.net/ Usenet Physics FAQ, http://math.ucr.edu/home/baez/physics/

   

Luz

 É o que vemos;  É com referência a luz que definimos o que é reto;  Foi usado antigamente para medir o tempo;  Atualmente usamos para medir o tempo com precisão (frequência de transição em Ce­ 133); Atualmente é usado para medir distâncias e comprimentos com precisão. A luz tem um papel importante na maioria das observações que fazemos, das mais  mundanas às mais exatas.

   

A luz se move?

Será que a luz é um fenómeno de movimento? SIM! Os gregos reconhecerem luz com uma entididade que se move através das sombras:   o andamento da luz da sua fonte é bloqueiado por um objeto opaco, formando uma  região de sombra.  O pensador grego Empedocles (c. 490 a c. 430 A.C.) concluiu que a luz deve levar  um certo tempo para se mover da sua fonte até uma superfície qualquer – isto é, que  a luz deve ter uma velocidade finita.  Porém, a velocidade é muita alta.

   

Primeiras medidas da velocidade de luz 

       1668 ­ 1676

Sol _{Terra (1a med.)} Terra (2a med.) Jupitor e Io (1a med.) Jupitor e Io (2a med.)  Idéia do astrónomo italiano Giovanni Cassini;  Tentativa feita pelo astrónomo dinemarquês Ole Rømer, ex­assistente de Cassini;   Rømer não conseguiu um resultado porque não teve um valor confiável para a distância  até Jupitor e porque suas medições do tempo foram imprecisas;  Estas deficiências foram sanadas por Christian Huygens e por Edmund Halley poucos  anos depois; Desde aquela época é sabido que a luz leva um pouco mais do que 8 minutos para chegar  do Sol até a Terra.

   

Segunda medida da velocidade de luz 

       1726

v v c Perspectivo da chuva Perspectivo do andador c v v Sol Sol Terra Terra c c Perspectivo da luz Perspectivo da gente Método do 'andador na chuva' do astrónomo inglês James Bradley. O ângulo de desvio    é chamado a aberração da luz. Seu valor é aproximadamente 20.5'', ou 10­ 4 rad. c = v / tan  Bradley: v = 2R  / T    = 30 km/s c = 3.0 x 10 8 m/s

   

Medição precisa da velocidade de luz

       1849

Espelho     Espelho  semi­prateado Fonte de luz  Medição feito pelo físico francês Hippolyte Fizeau;  Ele mandou um pulso de luz para o espelho e mediu o tempo que levou para ir e voltar;  Ele conseguiu um valor para a velocidade de luz apenas 5% maior do que o valor moderno. 

   

As equações de Maxwell

Lei solenoidal Lei de Faraday Lei de Gauss Lei de Ampère­Maxwell  James Clerk Maxwell, um físico­matemático escocês, unificou a eletricidade, o magnetismo e a  óptica na sua forma atual;  Ele demonstrou que os campos elétricos e magnéticos propagam com a velocidade de luz e  apresentou a luz como um efeito eletromagnetico;  Em 1864, demonstrou que as forças elétricas e magnéticas tem a mesma natureza – uma força  elétrica em uma referencial pode tornar­se uma força magnética em outra, e vice­versa.

   

Soluções oscilatórias

Maxwell determinou que suas equações possuem soluções oscilatórios que  propagam com a velocidade de luz e naturalmente associou estas ondas  eletromagnéticas com a luz. Em 1881, Hertz criou e detectou ondas  eletromagnéticos de comprimento de onda muito maior – as ondas de rádio. O grande problema com as ondas eletromagnéticas foi que não se conhecia a matéria  que oscilava para fazer estas ondas. Todo tipo de onde conhecido na época envolvia a  oscilação de algum substrato material:  ondas numa corda;  ondas sonoras no ar ou em sólidos  ondas em água. Consequentemente, foi suposto a existência de uma substância cuja oscilação resultava  em ondas eletromagnéticas – o éter. E procurava­se sinais que esta substância se  comportava como os outros substratos de ondas. Em particular, procurava­se  anisotropias na velocidade de luz, que assinalaria diferenças no movimento com  respeito ao éter. 

   

A experiência de Michelson­Morley

Éter Sol Terra Terra O propósito das experiências de Michelson  (1881) e de Michelson e Morley (1887) foi de  medir a variação da velocidade de luz devido a  movimento relativo ao éter.   Fonte de  luz coerente Detetor Espelho Espelho As experiências procuraram medir a  interferência entre duas partes de um feixe  de luz coerente que tinham propagadas ao  longo de caminhos de comprimentos  iguais mas em direções diferentes com  respeito ao éter. O resultado foi nulo.

   

Coincidência?

v v fio fio ímã ímã A lei de força de Lorentz refer a 'a' velocidade da carga. Assim, a lei faz aparecer que existe um  sistema de referência única na qual as leis de eletromagnetismo são válidas. Porém, considere a  seguinte coincidência: Aqui, pela lei de Lorentz, uma força eletromotriz é gerada no fio que  pode ser escrita em temos do fluxo  magnético como Aqui,v=0. Mas pela Lei de Faraday, uma força eletromotriz é gerada no fio que  pode ser escrita em temos do fluxo  magnético como  Einstein citou esta coincidência no primeiro parágrafo do seu trabalho de 1905 sobre a  relatividade restrita.

   

Relatividade restrita

Assim, existiam duas evidências que a velocidade de luz deve ser invariante – as  experiências de Michelson e Morley e as próprias leis de Maxwell. Porém, estas  evidências não estão consistentes com a mecânica não­relativística. Os maiores físicos da  época se esforçaram em tentativas de reconciliar as duas teorias até 1905, quando Albert  Einstein publicou seu trabalho famoso. Einstein propus dois postulados no seu trabalho:  O princípio de relatividade – As leis de física são  aplicáveis em qualquer sistema de referência inercial;  A invariança da velocidade de luz – A velocidade de luz é  a mesma para qualquer observador inercial, independente do  movimento da fonte. Uma das consequências fundamentais destes postulados é que conceito de simultaneidade  perdeu seu sentido.  

   

A relatividade de simultaneidade

v Consider um vagão de trem que se move a velocidade constante numa trilha reta. Quando  uma lâmpada pendurado no centro da vagão é ligada, a luz espalha em todas as direções a  velocidade c.   Um observador no trem conclui que a luz alcance a frente e o fundo do vagão  simultaneamente. Um observador parado no chão conclui que a luz alcance o fundo da vagão antes que alcance  a frente, porque o trem se move enquanto a luz propaga, diminuindo a distância até o fundo  do vagão e aumentando a distância até a frente. Dois eventos que são simultâneos em um sistema inercial não são necessariamente  simultâneos em um outro sistema. v

   

Dilatação do tempo

v h _h v t Considere agora um raio de luz que atinge o chão do vagão diretamente abaixo da lâmpada.  Quanto tempo este leva para alcançar o chão? Para o observador no trem, a reposta é 

facil: Para o observador no chão, o raio demora mais, porque o trem está em movimento:

Assim, temos

e Relógios em deslocamento andam mais lentos.

   

Verificação experimental da dilatação do tempo

detetor alto detetor baixo muons _{Muons são partículas elementares que são formadas}  continuamente na atmosfera alta por raios côsmicos. Um  muon em repouso tem uma meia­vida de 2,2 s . Isto é  equivalente a uma distância de 660 m na velocidade de  luz. Depois deste tempo, metade dos muons iniciais tem  decaídos.  B. Rossi e D. B. Hall (Phys. Rev. 59, 223 (1941)) mediram o fluxo de muons com  velocidades entre 0,9950c e 0,9954c a um altura de 1,9 km e ao nível do mar. Usando a  meia­vida de muons em repouso, apenas 13% dos muons observados no detetor alta  alcançaria o detetor baixo. Porém, 82% dos muons chegaram em baixo, devido ao diferença  de tempo de aproximadamente  0,62 s , no sistema  de referência dos muons, em acordo  com o efeito de dilatação do tempo.  

   

Simetria da dilatação do tempo

Relógio no chão A Relógio no chão B Relógio no chão

Relógio no trem Relógio no trem B Relógio no trem A

Visto do chão: Visto do trem: O observador no chão usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando  o relógio do trem passa ponto A e depois ponto B; O observador no trem usa dois relógios sincronizados, em pontos A e B, e marca o tempo quando  o relógio do chão passa ponto A e depois ponto B; Ambos vão concluir que o relógio do outro anda mais lentamente. Também vão concluir que o  outro fez uma comparação errônea por não ter usado relógios sincronizados.

   

O paradoxo dos gêmeos

Início Fim Virada tempo Gêmeo 1 Gêmeo 2 Vamos supor que um de um par de gêmeos faz um viagem  espacial a velocidade próximo a velocidade próximo a  velocidade de luz e volta anos depois para encontrar seu  par. Devido a dilatação do tempo, o gêmeo que viajou  voltaria mais jovem do que o gêmeo que ficou.  E a simetria da dilatação do tempo? Do ponto de visto do  gẽmeo que viajou, o gêmeo que ficou aproveitou da  dilatação de tempo para permanecer mais jovem.   espaço Neste caso não há simetria, porque o gêmeo que viajou necessariamente teve que acelerar para  se separar do outro. O gêmeo que viajou teve que ter, no caso mais simples, dois sistemas  inerciais diferentes  para se afastar e depois voltar. Uma consequência disto é o grande  intervalo nos tempos que ele considera simultâneos, mostrados pelas linhas azuis. Para mais  detalhes veja, o Usenet Physics FAQ.

   

Contração de comprimento

v Considere uma lâmpada no fundo do vagão que emite um raio que reflete de um espelho na  frente da vagão e volta. Quanto tempo leva para a luz ir e voltar? Para um observador no  trem, a reposta e fácil: Para um observador no chão, o raio demora mais para ir mas  menos para voltar, por causa do movimento do trem: v  t ₁ v t ₂ or v

   

Contração de comprimento (cont.)

Para um observador no trem: Para um observador no chão: Devido a dilatação do tempo, temos  Temos então O comprimento do vagão é mais curto quando medido pelo observador no chão do que  quando medido pelo observador no vagão. Objetos em movimentos são contraídos em  comprimento. Este efeito é chamado contração  de Lorentz.

   

A escada e o celeiro

Um fazendeiro tem uma escada que é comprida demais para  armazenar no celeiro. Aproveitando da contração de Lorentz, ele  pede sua filha veloz de correr com a escada para dentro do celeiro  para ele poder fechar a porta e guardar a escada. Ela, por outro lado,  diz que não vai dar certo, porque quando ela corre com a escada é o  celeiro e não a escada que encolhe. Quem está certo?   Ambos! É uma questão de prespectiva.  O comprimento da escada (ou do celeiro) é a distância entre suas  extremidades a um mesmo instante de tempo. Para decidir se a  escada cabe no celeiro ou não, temos que examinar:  o tempo em que a extremidade A da escada alcance a parede do  celeiro e o tempo em que a extremidade B entra na porta do celeiro. Simultaneidade destes tempos depende do sistema inercial.        v v Vistos de cima

   

Contração de Lorentz

v v Considere uma linha vermelho pintado a uma altura de 1 m no muro ao lado da trilha por uma  pessoa no chão e uma linha azul pintado na mesma altura por alguem no trem. Se a dimensão  fosse contraído, o observador no chão veria a linha azul pintado pelo observador no trem  abaixo da linha vermelho, enquanto o observador do trem veria a linha vermelho abaixo da  linha azul. A única maneira dos dois estar certos é se a linhas se sobrepoem. Isto é, não há  contração de Lorentz nesta direção. A contração de Lorentz encurta um objeto em movimento apenas na direção do  movimento. Dimensões perpendiculares ao movimento não são contraídas.

   

As transformações de Lorentz

Um processo físico consiste em um ou mais eventos, onde um evento é um acontecimento a  um posição específica (x,y,z) a um tempo específico (t).  Aqui construimos a transformação das coordenadas (x,y,z,t) de um evento em um sistema  inercial S para as coordenadas (x',y',z',t') do mesmo evento em outro sistema inertial S'. y y' z' z x' x O O' x E d A' v Orientamos os eixos tal que o sistema S' se desloca do sistema S ao  longo do eixo x com velocidade v e que os eixos O e O' coincidem  a t=0. No instante t do evento E, O' está a uma distância vt de O. Assim,         onde d  é a distância de O' a A' a tempo t. Agora, observamos que d  é a distância de O' a A' medida em S, enquanto x' é a distância de  O' a A' medida em S'. Assim, x' é contraído a d em S,           Substituindo, temos

   

As transformações de Lorentz

y y' z' z x' x O O' d' E x' A v Para obter a transformação em tempo t, consideramos o  transformação contrária em x. Assim, no instante t' do evento E, O'  está a uma distância vt' de O e       onde d' é a distância de O a A a tempo t'. Aqui, d' é a distância de O  a A medida em S', enquanto x é a distância de O a A medida em S.  Assim, x é contraído a d' em S',       .  Substituindo,  temos       . Junto com a equação       , podemos resolver para t ou para t'  e completar as  equações da transformação de Lorentz.  De S para S': De S' para S: As coordenadas perpendiculares ao movimento não mudam.

   

Sincronização e dilatação de tempo 

x=0 x'=0 v Considere um sequência de  relógios no eixo x do sistema S  sincronizados em t=0. No sistema S', seu tempo t' varia de  acordo com a sua posição: Os relógios em x>0 são atrasados e os em  x<o adiantados. Considere agora um relógio fixo a um ponto x'  no sistema em movimento  S'. Quando  observado durante um intervalo ∆t do sistema S, o tempo decorrido no relógio em  movimento será Assim, recuperamos a expressão para dilatação do tempo 

   

Contração de Lorentz 

       .      ,      . S' _S x_{e xd} x'_d x'_e v Considere um objeto em movimento ao direito com velocidade v. Seu comprimento de  repouso, isto é, seu comprimento em S', é dado por onde d e e significam direito e esquerda.  Um observador no sistema S mede as posições extremas do objeto a um instante do  seu tempo t, Usando   recuperamos a expressão para a contração de Lorentz, 

   

A transformação de velocidades

Suponha que a velocidade de uma partícula no sistema  S é   No sistema S', a partícula se desloca no tempo   Sua velocidade em S'  é  Devido à transformação do tempo, componentes da velocidade perpendiculares a  direção da transformação também são transformadas  Quando u = c, u' = c.

   

Espaço de Minkowski

A  transformação de Lorentz toma uma forma mais simples se escrevermos todos as  coordenadas nas  mesmas unidades. Definimos  e renomeamos os coordenadas espaciais As equações da transformação de Lorentz se tornam

   

Espaço de Minkowski

Podemos escrever as equações da transformação em forma matricial como e resumí­las na forma compacta como Escrita desta maneira, a transformação é muito aparecida com a forma geral de uma  rotação em 3­D De fato, uma transformação de Lorentz pode ser considerada como uma rotação  generalizada – entre o espaço e o tempo.  

   

A geometria do espaço­tempo

Da mesma maneira que podemos definir um 3­vetor como qualquer conjunto de 3  componentes que transforma sob rotações como (x, y, z), podemos definir um 4­vetor  como qualquer conjunto de 4 componentes que transforma como (x0, x1, x2, x3) sob  transformações de Lorentz, ou no caso de uma  transformação de  Lorentz ao longo do  eixo x Em analogia ao produto escalar de 3­vetores que é invariante sob rotações  podemos definir um produto escalar de 4­vetores que é invariante sob transformações de  Lorentz (incluindo rotações)

   

A geometria do espaço­tempo

Por causa do sinal de menos no produto escalar, é conveniente introduzir um vetor  covariante a_ que é relacionado com o vetor contravariant a  por

O produto escalar pode ser escrito em termos dos dois como  ou, simplesmente, Dado dois eventos A e B, com e podemos definir o 4­vetor de deslocamento entre os dois e o intervalo invariante entre os dois

   

Diagrama de espaço­tempo

x0 = ct x Passado Futuro Presente Presente O intervalo invariante entre os eventos A e B com contém informação física sobre os eventos. Nomeamos os tipos de intervalo de acordo com  seu sinal: 'spacelike' 'lightlike' 'timelike' Quando o intervalo é 'timelike', podemos distinguir entre o futuro        e o passado  linha de mundo

   

Mecânica Relativística

Quando um partícula se movimenta no espaço tempo com velocidade u , seu relógio interno anda  mais lentamente do que um relógio em repouso. O tempo interno é chamado tempo próprio  Em termos do tempo próprio, podemos definir a velocidade própria  que em termos da velocidade ordinária  é A velocidade própria pode ser estendida a um 4­vetor, com componente 0: A velocidade própria transforma com um 4­vetor é tem norma invariante

   

Energia e momento 

Em mecânica clâssica, o momento é definido como o produto da massa e da velocidade.  Para ter uma quantidade que transforma como um 4­vetor, fica  claro que devemos usar a  velocidade própria em vez da velocidade ordinária O componente temporal do 4­vetor de momento é Associamos este com a energia relativística A energia relativística é não­nula, mesmo quando a massa está em repouso, O resto da energia, que atribuimos ao movimento, é a energia cinética,

   

Conservação de energia e momento 

Em qualquer sistema fechado,  o 4­vetor de energia e momento total é conservado . Nota que distinguimos entre uma quantidade invariante, que é igual em qualquer sistema  inercial, e uma quantidade conservada, que é igual antes e depois de qualquer processo físico. O 4­vetor de energia  momento é conservado mas não é invariante. O produto escalar do  momento com si mesmo ou, fornece a massa m como uma quantidade invariante,.  Em um sistema fechado, tanto o 4­vetor de energia e momento total quanto a sua massa são  conservados.

   

Partículas sem massa

Para uma partícula com massa nula, temos para o produto do seu momento consigo mesmo, ou Das definições da velocidade própria e do momento, verificamos que podemos  recuperar o  valor da velocidade ordinária de um objeto  como Para uma partícula de massa nula, temos  Uma partícula de massa nula, como o fóton, podem ser acelerada ou deceleradas – sua  energia e momento podem mudar – mas sua velocidade sempre será a velocidade de luz.  Pode dizer que tais partículas são movimento puro.

   

Duas partículas

Laboratório Centro de massa p, m pc, m _p c, m Devido à invariança da massa, as massas nos dois sistemas são iguais e m Um deuteron é um núcleo formado de um neutron e um proton de massas (quase) iguais. No  sistema do centro de mass, sua massa invariante quadrada é  onde B é a sua energia de ligação. e Em colisões de partículas, apenas a energia no sistema do centro de massa está disponível para  contribuir à reação. O resto está presa no movimento conservado. É por isto que aceleradores  modernos usam colisões de dois feixes e não alvos fixos. 

   

Uma colisão elástica

p_c, m p_c, m Centro de massa   Laboratório p₂, m p₁, m   A conservação de energia e momento depois da colisão fica clara no sistema do centro de  massa. A forma explicita da transformação de Lorentz é necessária para voltar para o  sistema do laboratório. Com um pouco  de esforço, é possível mostrar (no caso de duas massas iguais) que onde   é o fator de Lorentz da transformação. Para colisões não­relativísticas, temos Mas em geral,

   

Dinâmica relativística

A segunda lei de Newton é válida em mecânica relativística (e consistente com a conservaçõ  de momento em um sistema fechado), quando o momento relativístico é usado, O trabalho continua a ser definido em termos da  integral de linha da força, Assim podemos mostrar que a teorema de trabalho e energia (o trabalho feito numa  partícula é igual ao aumento na sua energia cinética)  continua a valer. Temos e

   

Dinâmica relativística

Assim, temos Podemos tomar para as equações de movimento do 4­vetor de momento  A terceira lei de Newton – a de ação e reação – não continua válida em mecânica  relativística, em geral. Quando os dois objetos em questão são separados, a aplicação do  lei traz a questão do tempo da ação e reação. Como vimos, simultaneidade é um conceito  relativo para objetos  separados. A terceira lei vale apenas quando as duas forças são  aplicadas no memso ponto  ou no caso trivial de uma força constante.

   

Uma força constante

Consideramos uma massa m sujeito a uma força constante F e supomos que ela está  em  repouso a x=0 em t=0. Temos  Desde que p=0 em t=0, temos ou Integrando novamente, temos _x ct Clássico (parabólico) Relativístico (hiperbólico) Este movimento ocorre, por exemplo, quando uma partícula carregada está num campo  elétrico uniforme.

   

Transformação da equação de movimento

As equações de movimento na forma  são faceis de entender, mas não transformam bem sob transformações  de Lorentz. Por  exemplo, sob uma transformação na direção x, com o componente da força na direção x mais complicado ainda. Uma maneira de evitar esta complicação é de usar a força 'própria', que é igual à  deriva do momento com o tempo próprio, com componentes A qual das duas forças corresponde uma força clássica ­ ordinária ou de Minkowski?

   

Eletrodinâmica relativística

Diferente da mecânica, eletrodinâmica já é consistente com a relatividade restrita.  As equações de Maxwell e a força de Lorentz podem ser aplicado em qualquer  sistema inercial. O que é visto com um processo elétrico em um referencial pode  se tornar um processo magnético em outro, mas o movimento de partículas será o  mesmo nos dois.  Com a mecânica corrreta, é possível desenvolver uma formulação completa e  consistente de eletrodinâmica. Porém, esta reformulação nào modifica as leis de  eletrodinâmica, apenas expressa as na linguagem de relatividade restrita.    

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

v v v­ _v +   _ _ + + + + + + ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ s s q u q S: S': Considere um condutor com uma cadeia de cargas positivas se movendo à direita com  velocidade v e uma cadeia de cargas negativas se movendo à esquerda com a mesma  velocidade v. Supomos que as duas cadeias de cargas podem ser consideradas densidades  de carga de linha, e ­ , respectivamente. Introduzimos uma carga q a um distância s do  condutor que se move à direita com velocidade u<v.  As cargas em linha fornecem uma corrente  mas não há qualquer força elétrica na carga q porque as cargas em linha se cancelam.

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

v v v­ _v +   _ _ + + + + + + ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ s s q u q S: S': Agora considere a mesma situação no sistema S', no qual a carga q está em repouso. As  velocidades das cargas em linha são   Desde que v_­ > v₊, a contração de Lorentz é maior para as cargas negativas do que para as cargas  positivas. Existe então uma carga negativa residual no condutor. Para calculá­la, usamos com

   

Eletrostática + relatividade ­> magnetismo

v v v­ _v +   _ _ + + + + + + ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ s s q u q S: S': Com um pouco de álgebra, obtemos  e a densidade carga residual A carga residual cria um campo elétrico e uma força na carga q no sistema S', que, em S, tem a forma, onde usamos

   

Transformação dos campos eletromagnéticos

Nos supomos que  carga é invariante. Como a massa, a carga de um objeto é um número  independente da sua velocidade.   Os campos elétrico e magnético, porém, se transformam, como vimos no exemplo anterior.  Supomos que a transformação não depende de como os campos form produzidos, Se isto não  fosse o caso, não faria sentido falar em campos. Assim podemos escolher as configurações mais  simples dos campos para analisar as transformações. 

   

Transformação do campo elétrico

S₀: S:   _ _ v₀ w _w l₀ l Um capacitor em repouso em S₀ que carrega densidades de carga superficial ±₀  tem um campo elétrico entre as placas dado por Pela lei de Gauss, o campo elétrico no sistema S, onde as  placas estão em movimento,  é dado por A carga total em cada placa é invariante e a largura w não muda. O comprimento, l₀,  porém, sofre uma contração de Lorentz, tal que Assim, y₀ z z₀ x₀ x y v₀

   

Transformação do campo elétrico

z₀ y₀ x₀ _ _{ }   z y x S₀: S:S:S: v₀ Quando as placas são perpendiculares ao velocidade, apenas a distância entre eles  sente a contração de Lorentz. Mas o campo elétrico não depende desta distância.  Assim,  Em resumo, podemos dizer que o campo elétrico de uma distribuição de cargas  inicialmente me repouso transforma como e

    S: S': '   v₀ w _w l l' y₀ z' z x x' y' v' (v relativa S)

Transformação dos campos eletromagnéticos

' Para obter a regras gerais de transformação, precisamos começar com um sistema que tem  ambos os campos – o elétrico e o magnético. O sistema S serve. Tem um campo elétrico  e um campo magnético devido as correntes de superfície,       Pela lei de Ampère, o campo magnétic está na direção z com No sistema S', a velocidade v com respeito a S, os campos são onde O que precisamos fazer agora é expressar os campos em S' em termos dos campos em S.

   

Transformação dos campos eletromagnéticos

O primiero passo em relacionar os campos é de escrevé­los como Com um pouco de álgebra, obtemos  com Então, temos e Usando a identidade

    z y x S: v0  

Transformação dos campos eletromagnéticos

Para determinar a transformação em E_z e B_y, alinhamos as  placas do capacitor no plano xy. Então e, da mesma maneira que antes, obtemos Usando a terceira configuração, com as placas do capacitor  no plano yz, vimos que componente do campo elétrico  paralelo à velocidade da transformação não é modificado.  z v₀ y x   Esta configuração não produz um campo magnético.

   

Transformação dos campos eletromagnéticos

y z x Para obter a regra de transformação do componente do campo  magnético paralelo à velocidade da transformação, considere um  solenoide longo alinhado no eixo x e em repouos no sistema S.  O campo magnétic dentro do solenoide pode ser escrito em termos da corrente I e o número  de espiras por unidade de comprimento n como No sistema S', o comprimento contrai. Assim,  O tempo dilata também. Desde que é o relógio de S que está no sistem do solenoide em  repouso, é este que anda mais lentamente. Assim, a corrente (carga por unidade de tempo)  transforma como  Vemos que os dois fatores cancelam e concluímos que o campo magnético paralalo à  velocidade da transformação também nào é modificado. Temos

   

Transformação dos campos eletromagnéticos

Podemos resumir as regras de transformação como

   

Uma carga puntiforme

Considere uma carga puntiforme q em repouso no origem em S. Seus campos  eletromagnéticos são Queremos obter os campos em um sistema de referência S' que se move na direção  x>0 com velocidade v. Usamos  para escrever os novos campos nas velhas coordenadas, Escrevemos  as velhas coordenadas em termos das novas e obtemos

   

Potenciais eletromagnéticos

Os campos eletromagnéticos normalmente podem ser escritos em termos de potenciais como Os potenciais podem ser escritos como um 4­vetor Para reescrever as expressões para os campos em termos de 4­vetores, usamos Temos então Estas expressões deixam claro que os campos eletromagnéticos podem ser  unificados em um tensor antisimétrico

   

O tensor eletromagnético

Os componentes do tensor eletromagnético são Tanto o 4­vetor dos potenciais eletromagnéticos quanto o 4­vetor de derivadas  transformam como tal sob transformações de Lorentz, O tensor eletromagnético, então, se transforma como Esta equação fornece as mesmas expressões que obtivemos antes para a  transformação  dos componentes dos campos eletromagnéticos.

   

A força de Lorentz

Queremos reformular a força de Lorentz e as equações de Maxwell em terrmos do tensor  eletromagnético, Começamos com a força de Lorentz. Comparando componentes, verificamos que De outros argumentos, (acoplamento mínimo), identificamos a força de Minkowski como e a força ordinário como

   

As fontes das equações de Maxwell

Antes de reformular as equações de Maxwell em termos do tensor eletromagnético, vamos  unificar as fontes dos campos em um 4­vetor. Considere um nuvem de carga e analise em  um volume infinitesimal V  contendo uma carga Q e se movendo a velocidade u. Temos  para suas densidades de carga e corrente Expressamos estas densidades em termos da densidade de carga própria, isto é, a  densidade de carga no sistema de repouso, Devido a contração de Lorentz,  e, assim, Reconhecendo os componentes da velocidade própria, podemos escrever

   

As fontes das equações de Maxwell

Conservação de carga implica que as densidades de carga e corrente satisfazem uma  equação de continuidade, Temos  tal que, usando temos, para a equação de continuidade,

   

As equações de Maxwell

Analisamos primeiro as equações homogêneas em termos do tensor eletromagnético, Verificamos que a equação solenodial pode ser escrita como enquanto os três componentes da equação de Faraday podem ser escritas como Podemos unir estas em uma equação, Nota que esta equação é automaticamente satisfeita quando

   

As equações de Maxwell

Uma outra maneira de escrever a equação homogênea de Maxwell e onde o tensor completamente antisimétrico é Uma alternativa é de definir outro tensor – o tensor dual  que satisfaz a equação 

   

As equações de Maxwell

Analisando agora as equações de Maxwell com fontes, em termos do tensor eletromagnético,  verificamos que a lei de Gauss pode ser escrita como enquanto os três componentes da equação de Ampère­Maxwell tomam a forma Obviamente podemos unificar estas na equação

   

As equações de Maxwell

Assim, em notação relativística, as equações de Maxwell tem a forma simples e Quando escrevemos o tensor eletromagnético em termos dos potenciais, a equação homogênea é satisfeita automaticamente e a equação não homogênea se torna  Para simplificar esta equação, lembramos que o tensor eletromagnético é invariante sob   uma transformação de calibre dos potenciais Se nos escolhemos a condição de calibre de Lorentz, a equação de Maxwell reduz a