Cálculo I - Lista 3: Derivadas

Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Universidade de São Paulo

Cálculo I - Lista 3: Derivadas

Prof. Responsável: Andrés Vercik

1. (i) Use a definição para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P(a,f(a)). (ii) Determine a equação da reta tangente em P(2,f(2)).

a) f(x)=5x2−4x b) f(x)= x3 c) f(x)= x3 +2 d) f(x)=3−2x2 e) f(x)=x4 f) f(x)=4−2x

2. (i) Use a definição para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação no ponto com coordenada x = a. (ii) Estabeleça a equação da reta tangente em P. (iii) Esboce o gráfico da curva e da tangente em P. a) y = x; P(4,2) b) y =3 x; P(-8,-2) c) y =1/x; (2, ) 2 1 P d) y =1 x/ 2; (2, ) 2 1 P

3. (i) Esboce o gráfico da equação e das tangentes nos pontos de coordenada x = -2, -1, 1 e 2. (ii) Determine o ponto em que o coeficiente angular da tangente é m.

a) y = ; m = 6 x2 b) y = ; m = 9 x3

4. (i) Use a definição para achar f ’(x). (ii) Determine o domínio de f ’(x). Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. Determine os pontos em que a tangente é horizontal.

a) f(x)=−5x2+8x+2; P(−1,−11) b) f(x)=3x2−2x−4; P(2,4)

c) f(x)= x3+x; P(1,2) d) f(x)= x3−4x; P(2,0)

5. (i) Use as propriedades das derivadas para achar f ’(x). (ii) Determine o domínio de f ’(x). (iii) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P. (iv) Determine os pontos em que a tangente é horizontal. a) f(x)= x9 −2; P(3,25) b) f(x)=−4x+3; P(−2,11) c) f(x)=37; P(0,37) d) f(x)=π2; P(5,π2) e) f(x)=1/x3; ) 8 1 , 2 ( P f) f(x)=1/x4; P(1,1) g) f(x)=4x1/4; P(81,12) h) f(x)=12x1/3; P(−27,−36)

6. Determine as três primeiras derivadas. a) f(x)=3x6 b) f(x)=6x4 c) f(x)=93 2x d) f(x)=3x7/3 e) Se z=25t9/5, determine D_t2z. f) Se y= x3 +5, determine D_x3y. g) Se y=−4x+7, determine 3 3 dx y d . h) Se z =64 t4 3, determine 2 2 dt z d _.

7. f é diferenciável no intervalo dado? Explique. a) f(x)=1/x; (i) [0,2] (ii) [1,3] b) f(x)=3 x; (i) [-1,1] (ii) [-2,-1]

8. Utilize o gráfico de f para determinar se f é diferenciável no intervalo dado. a) f(x)= 4−x; (i) [0,4] (ii) [-5,0]

b) f(x)= 4−x2; (i) [-2,2] (ii) [-1,1]

9. Determine se f tem: (i) tangente vertical em (0,0) e (ii) ponto de reversão em (0,0). a) f(x)= x1/3 b) f(x)= x5/3 c) f(x)= x2/5 d) f(x)=x1/4 e) f(x)=5x3/2 f) f(x)=7x4/3

10. Use derivadas à direita e à esquerda para provar que f não é diferenciável em a.

a) f(x)= x−5; a = 5 b) f(x)= x+2; a = -2

11. Use o gráfico de f para determinar o domínio de f ’.

a) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 0 se 0 se 2 ) ( ₂ x x x x x f b) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ − = 1 se 1 se 1 2 ) ( ₂ x x x x x f c) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ + − < − = 1 se 3 2 1 se ) ( 2 x x x x x f d) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < − = 0 se 0 se 2 ) ( 2 2 x x x x x f 12. Calcule a derivada. a) g(t)=6t5/3 b) h(z)=8z3/2 c) f(s)=15−s+4s2 −5s4 d) f(x)=3x2 +3 4x e) g(x)=(x3−7)(2x2+3) f) k(x)=(2x2−4x+1)(6x−5) g) f(x)=x1/2(x2+x−4) h) h(x)= x2/3(3x2−2x+5) i) h(r)=r2(3r4 −7r+2) j) k(v)=v3(−2v3+v−3) k) g(x)=(8x2−5x)(13x2 +4) l) H(z)=(z5−2z3)(7z2+z−8) m) 2 3 5 4 ) ( + − = x x x f n) z z z z h 9 2 3 8 ) ( 2 − + − = o) 5 3 ) ( 3 2 − = t t t g p) 3 2 1 1 ) ( x x x x f + + + = q) 3 2 1 1 1 1 ) ( x x x x f = + + + r) 2 2 1 ) ( t t t f = + s) g(r)= r(5 −4)−2 t) 7 ) / 2 ( 1 ) 5 /( 3 ) ( ₂ + − = t t t f u) N(z)= 4/z2

13. Resolva a equação D_xy=0. a) y=2x3−3x2−36x+4 b) 2 6 3 2 2 − − + = x x x y 14. Resolva a equação D2_xy=0. a) y=6x4+24x3−540x2+7 b) y= x5−5x4−30x3+11x

15. Calcule dy/dx (i) utilizando a regra do quociente e (ii) a regra do produto. a) 2 1 3 x x y = − b) 3 3 2 x x y = + 16. Calcule d2y/dx2. a) 1 4 3 + + = x x y b) 3 2 3 + + = x x y

17. Ache os pontos do gráfico de y= x5/3+x1/3 em que a tangente é perpendicular à reta 2y+ x=7. 18. Se f e g são funções tais que f(2) = 3, f´(2) = -1, g(2) = -5 e g´(2) = 2, calcule a expressão:

a) (f +g)´(2) b) (f −g)´(2) c) 4 f´(2) d) ( gf )´(2) e) (f /g)´(2) f) ( f1/ )´(2) g) ( ff )´(2) h) (2) ´ 1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + g f i) (2) ´ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + g f f

19. Calcule a derivada. a) f(x)=4cosx b) H(z)=7tgz c) G(v)=5vcscv d) f(x)=3xsenx e) k(t)=t−t2cost f) p(w)=w2+wsenw g) θ θ θ) sen ( = f h) α α α) 1 cos ( = − g i) g(t)=t3sent j) T(r)=r2secr k) f(x)=2xcotx+x2tgx l) z z z h cos 1 cos 1 ) ( + − = m) x x x g tg sen 1 ) ( = n) g(x)=(x+cscx)cotx o) K(θ)=(senθ +cosθ)2 p) H(φ)=(cotφ+cscφ)(tgφ−senφ) q) x x x x f sen tg sec 1 ) ( + + =

20. Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f em (π/4, f(π/4).

a) f(x)=secx b) f(x)=cscx+cotx

21. (i) Ache as coordenadas-x de todos os pontos do gráfico de f em que a tangente é horizontal. (ii) Escreva a equação da tangente ao gráfico de f em P.

a) f(x)=x+2cosx; P(0,f(0)) b) f(x)=x+senx; P(π/2,f(π/2)) 22. Se y=1+2cosx, determine: (i) as coordenadas de todos os pontos em que a tangente é

perpendicular à reta 4

3 1 ₊

= x

y ; (ii) a equação da reta tangente ao gráfico noponto em que este corta o eixo y.

24. (a) Calcule f´´´(x) se f(x)=cotx (b) Calcule D_x3y _{se y=tg x} (c) Calcule 3 3 dx y d se y sec= x

25. Demonstre cada fórmula. a) D_xcotx=−csc2x

b) D_xcscx=−cscxcotx

c) D_xsen2x=2cos2x

d) D_xcos2x=−2sen2x

26. Determine a derivada da função dada. a) f(x)₌x2 ₊4x₊lnx b) f(t)₌2t3 ₋3lnt c) f(x)=10−lnx d) x x x f( )=2ln −1 e) x x x x f( )= ln +1 f) 2 1 ln ) (x = x− f g) _f(_t)₌3_et _−t2 ₊1 h) x e x f_{( )=2} x ₋ 1 i) f(x)=ex −lnx+1 j) 2 1 ) (t = et + f k) ( ) 2 ₂ 1 t t e t t f t _{+ +} = l) _f(_x)_=elnx _+ex₊ln(_ex)

27. Use a regra do produto para calcular a derivada. a) f (x) = xex b) f (x) = ex x3 − x2+ 4

(

)

28. Use a regra do quociente para calcular a derivada.

a) 4 2 ) ( ₂ 2 + − = x x x f b) 1 ln ) ( + = x x x f c) 1 ) ( + = _x e x x f d) 3 2 1 3 ) ( − + = x x x f e) 1 1 ) ( + − = _xx e e x f f) x x x f ln ) ( =