(5.1.1)

(1)

Cap´ıtulo 5

Sucess˜

oes e S´

eries

5.1 Defini¸

c˜

oes B´

asicas

Ocupamo-nos neste cap´ıtulo de um problema que à primeira vista pode parecer imposs´ıvel de resolver: o de definir e calcular somas com um número infinito de parcelas, somas essas a que chamaremos séries. Trata-se no entanto de uma questão muito antiga, já discutida há mais de 2.500 anos por filósofos e matemáticos da Antiguidade Clássica, e a teoria constru´ıda em torno desta ideia é hoje uma ferramenta com grande impacto na Matemática e nas suas aplica¸cões.

Zenão de Eleia, um filófoso grego do século V A.C., é recordado em particular por um conjunto interessante de problemas que envolvem somas infinitas, e que o seu autor apresentava como paradoxos. Num dos seus exemplos mais simples, Zenão considerou a soma

(5.1.1) 1 2+ 1 4+ 1 8 + 1 16 + 1 32 +· · · + 1 2n +· · · ,

onde usamos as reticências _{· · · como termina¸cão à direita para sugerir que} a soma “n˜ao tem fim”, ou seja, inclui como parcelas os inversos de todas as potências naturais de 2. Esta soma é usualmente interpretada na forma do Paradoxo do Corredor_{: Um corredor desloca-se do ponto A para o ponto} B, que estão separados por uma distância unitária d = 1. O corredor move-se a uma velocidade constante e também unitária v = 1, e portanto o tempo necessário à desloca¸cão é T = d/v = 1. Por outro lado, o corredor demora 1/2 do tempo a percorrer a primeira metade do percurso, 1/4 do tempo a percorrer metade do percurso restante, 1/8 do tempo a percorrer metade do restante, e assim sucessivamente, pelo que o tempo total da sua desloca¸cão pode ser representado pela soma infinita indicada em 5.1.1. Zenão conclu´ıa desta observa¸cão que, se a soma de um número infinito de parcelas positivas só pode ser infinita, então o corredor nunca chegaria ao seu destino, o que é manifestamente absurdo!

(2)

Em alternativa, e é essa a interpreta¸cão actual, conclu´ımos deste exemplo que a soma de um n´umero infinito de parcelas positivas pode em certos casos ser finita. No exemplo de Zenão, é natural esperar que

(5.1.2) 1 2 + 1 4 + 1 8+ 1 16+ 1 32+· · · = 1

A Teoria das Séries, cujo estudo vamos agora iniciar, permite efectiva-mente atribuir um total finito a algumas somas com um número infinito de parcelas, e em particular sustentar a identidade que acabámos de apresen-tar. Observamos primeiro que a nota¸cão que já usámos para representar somatórios se adapta facilmente à representa¸cão de séries. Por exemplo, para representar a soma infinita (a série) em 5.1.2 escrevemos:

∞ X k=1 1 2k = 1 2 + 1 4+ 1 8+ 1 16 + 1 32 +· · ·

Claro que a vari´avel k ´e muda, e pode ser designada por qualquer outro s´ımbolo. A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao, temos

∞ X k=1 1 2k = ∞ X n=1 1 2n = ∞ X i=1 1 2i

Podemos também alterar o dom´ınio de varia¸cão da variável k sem alterar a série em causa. Por exemplo, tomando n = k− 1 ou i = k + 1, obtemos

∞ X k=1 1 2k = ∞ X n=0 1 2n+1 = ∞ X i=2 1 2i−1

Qualquer série é a soma dos termos de uma dada sucessão de termo geral ak, ou seja, é da forma

a1+ a2+· · · + ak+· · · = ∞ X

k=1 ak.

Dizemos igualmente que aké o termo geral da série. Podemos por isso dizer que o exemplo de Zenão é a série de termo geral ak = ₂1k, com 1≤ k < ∞.

Para decidir se uma dada série tem soma ou não, come¸camos por adicionar apenas um n´umero finito de termos da referida série, para calcular o que chamamos de uma soma parcial da série. Dada uma série qualquerP∞

k=1ak, existe uma soma parcial para cada valor de n, ou seja, as somas parciais da s´erie formam uma sucess˜ao_{, desta vez com termo geral:}

Sn= a1+ a2+· · · + an= n X

k=1 ak

(3)

5.1. DEFINIÇ ÕES B ÁSICAS 201 No exemplo de Zenão, temos

(5.1.3) Sn= n X k=1 1 2k = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16+ 1 32+· · · + 1 2n, ou seja, S1 = 1 2, S2= 3 4, S3 = 7 8, S4= 15 16, S5 = 31 32,· · ·

Neste caso espec´ıfico, é fácil apresentar uma representa¸cão mais simples para as somas Sn, porque conhecemos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica. Como vimos no exemplo 1.4.8.4, temos

(5.1.4) Sn= 2 1 2 − 1 2n+1 = 1− 1 2n

O sentido a dar à identidade em 5.1.2 é fácil de compreender em termos da no¸cão de limite, que Zenão naturalmente desconhecia. A soma em 5.1.2 é definida como o limite da soma finita Sn, quando n→ ∞, ou seja, (5.1.5) ∞ X k=1 1 2k = lim_n→∞ n X k=1 1 2k = lim_n→∞Sn= lim_n→∞ 1₋ 1 2n = 1

Esta conclus˜ao nada tem de surpreendente, porque sabemos que 2n _{→ ∞} quando n→ ∞, e portanto 1

2n → 0. Temos mais geralmente

Defini¸cão 5.1.1 (Soma de uma série, série convergente). A série P∞ k=1ak é convergente se e só a sucessão das somas parciais_{, de termo geral} Sn =Pn_k=1ak, tem limite S ∈ R quando n → +∞. Dizemos neste caso que a série tem soma S, e escrevemos

∞ X

k=1

ak = S.

Caso contr´ario, a s´erie diz-se divergente. Exemplos 5.1.2.

(1) A s´erie de Zen˜aoP∞

k=121k ´e convergente e tem soma 1, porque

Sn= 1₋ 1 2n → 1, quando n → +∞ (2) A s´erie de termo geral constante ak= 1 ´e divergente, porque

Sn= n X k=1 1 = n→ ∞. (3) A s´erieP∞

k=1(−1)k ´e divergente, porque

Sn=

−1, se k ´e ´ımpar, e 0, se k ´e par

(4)

Usamos muitas vezes a expressão “natureza” (de uma série) para nos referirmos à sua propriedade de ser convergente ou divergente. Por exem-plo, a natureza da série de Zenão é “convergente”. Veremos adiante que, quando estudamos uma dada série, é frequentemente poss´ıvel determinar a sua natureza sem calcular explicitamente a sua soma. O próximo resultado é fundamental na teoria das séries, e permite identificar com facilidade muitos exemplos de séries divergentes.

Teorema 5.1.3. Se a s´erie

∞ X

n=1

an converge ent˜ao an→ 0 quando n → ∞.

Demonstra¸cão. Consideramos as somas parciais Sm=Pm_n=1an, e supomos que a série tem soma S _{∈ R, ou seja, S}m → S quando m → ∞. Definimos ainda Tm = Sm−1, tomando para este efeito S0 = 0. A sucessão de termo geral Tm resulta de “atrasar” a sucessão Sm de um termo, e é claro que temos igualmente Tm→ S quando m → +∞.(1)

Como an= Sn− Sn−1 = Sn− Tn, ´e claro que an→ S − S = 0. Exemplos 5.1.4. (1) A s´erie ∞ X n=1 n √

n + 1 ´e divergente, porque n √ n + 1 → +∞ 6= 0. (2) A s´erie ∞ X n=1 n

2n + 3 ´e divergente, porque an= n 2n + 3 → 1 2 6= 0. (3) A s´erie ∞ X k=1

(₋₁₎kk2´e divergente, porque ak = (−1)kk2n˜ao tem limite.

´

E absolutamente essencial entender que uma dada s´erieP∞

n=1anpode satisfazer a condi¸cão an → 0, e mesmo assim ser divergente, o que bem en-tendido não contradiz a afirma¸cão em 5.1.3. Por outras palavras, a condi¸cão an → 0 é necessária, mas não suficiente, para garantir a convergência da série em causa. O próximo exemplo é uma clássica ilustra¸cão deste facto, e será repetidamente referido no que se segue.

Exemplo 5.1.5.

A série harmónica _{é a série} P∞

n=11/n. ´E ´obvio que o seu termo geral

satisfaz an = 1/n→ 0, mas a s´erie ´e na realidade divergente, um facto que

não é certamente evidente. Para o reconhecer, basta-nos notar que, por razões geometricamente evidentes (ilustradas na figura 5.1.1 para o caso m = 4), a soma parcial Smsatisfaz a desigualdade:

1_{A t´ıtulo de ilustra¸c˜}_{ao, no exemplo de Zen˜}_{ao temos S}

1, S2, S3, S4, · · · = 1₂,3₄,7₈,15₁₆, · · ·

(5)

5.1. DEFINIÇ ÕES B ÁSICAS 203 (5.1.6) Sm= m X n=1 1 n > Z m+1 1 1 xdx = log(m + 1).

Na verdade, Smé a soma superior da fun¸cão f (x) = 1/x para a parti¸cãoP =

{1, 2, · · · , n + 1}. Como o integral em causa é log(m + 1), e log(m + 1) → +∞, podemos concluir que Sm → +∞. Dito doutra forma, a série harmónica é

divergente. 1 2 3 4 5 1 1 2 1 3 1 4 Figura 5.1.1: log 5 < 4 X n=1 1 n

O exemplo de Zenão com que iniciámos esta seçcão é apenas um caso particular do que chamamos uma série geométrica, e veremos que estas séries, apesar da sua simplicidade, têm um papel fundamental na teoria. Em geral, uma série diz-se geométrica quando os seus termos formam uma progressão geométrica, tal como definida em 1.4.8.4. Mais precisamente, Defini¸cão 5.1.6 (Série Geométrica). Uma série é geométrica _{se e s´}_{o se} é da forma ∞ X n=1 a· rn−1 = ∞ X n=0 a· rn_{= a + a}_{· r + a · r}2₊_{· · · = a · (1 + r + r}2₊_{· · · )}

(6)

O exemplo de Zenão é a série geométrica obtida pela escolha a = r = 1/2, e é muito interessante reconhecer que o processo que usámos para calcular a sua soma é aplicável a qualquer série geométrica. Basta notar que, sendo Sn a soma parcial da série geométrica em 5.1.6, temos novamente que:

Sn− r · Sn= n X k=1 a· rk−1− a · rk_{= a}_{− a · r}n_{= a}_{· (1 − r}n_{), donde} (1− r) · Sn= a· (1 − rn) e se r 6= 1 então Sn= a− rn 1− r . A determina¸cão da soma da série geométrica é agora imediata. Teorema 5.1.7. A série

∞ X

n=1

rn−1 converge se e s´o se |r| < 1. Neste caso, ∞

X

n=1

rn−1 = 1 1− r.

Demonstra¸cão. Se a série converge ent˜ao rn−1 → 0, pelo teorema 5.1.3, e portanto rn_{→ 0. ´}_{E fácil calcular o limite de r}n_{, e temos}

lim n→∞r n₌        n˜ao existe, se r_{≤ −1} 0, se _{|r| < 1} 1, se r = 1 +_{∞, se r > 1}

Conclu´ımos que se a série converge então rn_{→ 0 e |r| < 1. Por outro lado,} se_{|r| < 1 então r}n_{→ 0, donde} Sn= 1_{− r}n 1_{− r} → 1 1_{− r} ´

E um exerc´ıcio muito simples mostrar, a partir da defini¸cão, as seguintes opera¸cões algébricas sobre séries convergentes:

Proposi¸c˜ao 5.1.8. Sejam P∞

k=1ak eP ∞

k=1bk s´eries convergentes e c∈ R.

Ent˜ao, as s´eries P∞

k=1(ak+ bk) eP ∞

k=1(cak) tamb´em s˜ao convergentes e ∞ X k=1 (ak+ bk) = ∞ X k=1 ak+ ∞ X k=1 bk, ∞ X k=1 (c_{· a}k) = c· ∞ X k=1 ak.

(7)

5.1. DEFINIÇ ÕES B ÁSICAS 205 Exemplo 5.1.9. Consideramos a sérieP∞ n=1 2 3n₋₁ + 5

2n₋₁. Como vimos, as s´eries geom´etricas

de raz˜ao 1/2 e 1/3 s˜ao convergentes, e temos

∞ X n=1 1 3n−1 = 1 1− 1/3= 3 2, ∞ X n=1 1 2n−1 = 1 1− 1/2 = 2. Conclu´ımos assim que a s´erie inicial ´e convergente, e

∞ X n=1 ₂ 3n−1 + 5 2n−1 = (2)3 2 + (5)(2) = 13. Exemplo 5.1.10.

A representa¸cão de números reais por d´ızimas infinitas é uma aplica¸cão da no¸cão de série. Quando escrevemos, por exemplo, x = 0, a1a2a3a4a5· · · , onde

os an s˜ao algarismos da representa¸c˜ao de x na base decimal usual (e portanto

an´e um inteiro entre 0 e 9), estamos simplesmente a dizer que

x = ∞ X n=1 an 10n

Veremos adiante que a série acima é sempre convergente, e portanto efectiva-mente representa um número real, mas podemos desde já mostrar que, no caso de uma d´ızima infinita periódica, a série converge para um número racional, que é aliás fácil de determinar. Ilustramos esta afirma¸cão com um exemplo, mas deve ser claro que o argumento é aplic´avel a qualquer d´ızima periódica. Considere-se então x = 0, 123123_{· · · (subentendendo aqui que os algarismos} 123 se repetem indefinidamente). Note-se que

x = 0, 123 + 0, 000123 +_{· · · =} 123 1.000+ 123 1.000.000+· · · = ∞ X n=1 123 103n

A série acima é claramente a série geométrica com a = 123 1.000 e r = 1 1.000, donde ∞ X n=1 123 103n = 123 1.000 1₋ 1 1.000 = 123 1.000 999 1.000 = 123 999 Note-se de passagem que um dado número real pode ter duas representa¸cões decimais distintas, o que ocorre sempre que tem uma representa¸cão com um número finito de algarismos. Temos por exemplo que 1 = 1, 000_{· · · = 0, 9999 · · · ,} porque 0, 999_{· · · = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + · · · =} ∞ X n=1 9 10n = 9 10 1₋ 1 10 = 9 10 9 10 = 1 ´

E especialmente surpreendente reconhecer que muitas das fun¸cões que já referimos podem ser representadas, e em particular calculadas, usando séries

(8)

de um tipo muito espec´ıfico, ditas séries de potências. Um exemplo particu-larmente simples desta realidade resulta mais uma vez da série geométrica, porque a identidade (5.1.7) 1 1− x = ∞ X n=0 xn= 1 + x + x2+· · · , para |x| < 1

é certamente uma representa¸cão da fun¸c˜ao f dada por f (x) = _1−x1 por uma série de potências de x. Repare-se que o dom´ınio da fun¸c˜ao f , que é Df ={ ∈ R : x 6= 1}, é distinto do conjunto no qual a soma da série coincide com a fun¸cão dada, porque este conjunto é como vimos o intervalo ]_{−1, +1[.}

´

E fácil obter mais exemplos de fun¸cões representadas por séries deste tipo por substitui¸cões simples de x em 5.1.7. Substituindo x por−x, ou por −x2_{, temos imediatamente} (5.1.8) 1 1 + x = 1 1_{− (−x)} = ∞ X n=0 (_−x)n= ∞ X n=0 (₋₁₎nxn, para_{|x| < 1} (5.1.9) 1 1 + x2 = 1 1_{− (−x}2₎ = ∞ X n=0 (_−x2)n= ∞ X n=0 (₋₁₎nx2n, para_{|x| < 1} Intuitivamente, as séries de potências generalizam a no¸c˜ao de polinómio, e podem ser imaginadas como polinómios com um número de termos que pode ser infinito, ou com grau que pode ser infinito. Como veremos, estas séries de potências podem ser diferenciadas e primitivadas como se fossem somas finitas. Por exemplo, a primitiva¸cão das séries acima conduz a

(5.1.10) log(1 + x) = ∞ X n=0 (₋₁₎nx n+1 n + 1 = ∞ X n=1 (₋₁₎n−1x n n, para |x| < 1 (5.1.11) arctan(x) = ∞ X n=0 (₋₁₎n x 2n+1 2n + 1, para|x| < 1

Estas últimas identidades são aliás também válidas quando x = 1, o que não é óbvio das identidades iniciais em 5.1.10 e 5.1.11. Por exemplo, a identidade 5.1.11 reduz-se para x = 1 à série dita de Gregory, e foi descoberta ainda no século XVII.

(5.1.12) arctan(1) = π 4 = ∞ X n=0 (−1)n 1 2n + 1 = 1− 1 3+ 1 5 − 1 7 +· · ·

(9)

5.2. SUCESS ˜OES 207 Analogamente, a s´erie 5.1.10 quando x = 1 conduz a outra identidade inte-ressante: (5.1.13) log(2) = ∞ X n=0 (−1)n 1 n + 1 = 1− 1 2+ 1 3− 1 4 +· · ·

5.2 Sucess˜

oes

O estudo das séries é, em larga medida, uma parte da teoria mais geral das sucessões. ´E claro que qualquer sucessão não passa de uma fun¸cão real de variável real com dom´ınio D = N, e portanto as ideias e resultados sobre limites que estudámos no Cap´ıtulo 2 aplicam-se a sucessões como se aplicam a quaisquer outras fun¸cões. Exactamente por isso, no caso de uma sucessão só faz sentido considerar o seu limite quando n _{→ ∞, porque só definimos}

lim

x→af (x) quando a ´e ponto de acumula¸c˜ao do dom´ınio de f .

Sendo u uma sucess˜ao, designamos o seu limite por um qualquer dos seguintes s´ımbolos:

lim

n→∞un= lim un= limn→∞u(n) ´

E fácil concluir da defini¸cão 2.4.3 que Proposi¸cão 5.2.1. (a) lim n→∞un= a∈ R se e só se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N n > N ⇒ |un− a| < ε. (b) lim n→∞un= +∞ se e só se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N n > N ⇒ un> 1 ε. (c) lim n→∞un=−∞ se e só se ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N n > N ⇒ un<− 1 ε. ´

E tamb´em f´acil mostrar que

Proposi¸cão 5.2.2. Se a fun¸cão f : R _{→ R tem limite quando x → a,} un6= a e un→ a quando n → +∞ então

lim

n→+∞f (un) = limx→af (x)

Em particular, se un = f (n) e existe o limite de f quando x→ +∞ ent˜ao lim

n→+∞un= limx→+∞f (x) Exemplos 5.2.3.

(1) Para mostrar que un= 1n → 0 usando apenas a proposi¸c˜ao 5.2.1, supomos

dado um ε > 0 arbitrário. Existe por razões óbvias um natural N ∈ N tal que N >1_ε, ou seja, tal que 0 < _N1 < ε. É imediato verificar que

n > N _{⇒ |}1

n− 0| < ε, ou seja, limn→∞

1 n = 0

(10)

(2) Para calcular o limite de un= 1 +_n1 n

, consideramos a fun¸c˜ao dada por f (x) = 1 +1

x

para x > 0, donde un= f (n). Observamos que

lim n→+∞ 1 + 1 n n = lim x→+∞ 1 + 1 x x = lim x→+∞e x log(1+1/x) _{= e}1_{= e,}

porque temos, da regra de Cauchy, que lim

x→+∞x log(1 + 1/x) = limy→0

log(1 + y) y = limy→0 1/(1 + y) 1 = 1 (3) Se un= n sen(1/n) ent˜ao lim

n→+∞un= limn→+∞n sen(1/n) = limx→+∞x sen(1/x) = limy→0

sen y y = 1 (4) Seja 0 < a < 1, donde log a < 0. Temos ent˜ao

lim n→∞a n _{= lim} x→+∞a x_{= lim} x→+∞e x log a_{= lim} y→−∞e y_{= 0}

Sendo certo que os limites de sucessões são casos especiais de limites de fun¸cões, é igualmente verdade que os limites de fun¸cões se podem reduzir a limites de sucessões, através do seguinte resultado:

Teorema 5.2.4. Seja f : D_{⊂ R → R uma fun¸c˜ao. Ent˜ao, lim}x→af (x) = b

sse lim f (un) = b para qualquer sucess˜ao real (un) ⊂ D tal que un → a e un6= a.

Demonstra¸cão. A implica¸c˜ao (⇒) foi referida na proposi¸cão 5.2.1. Para mostrarmos (_{⇐), suponhamos por absurdo que lim}n→∞f (un) = b, para toda a sucessão (xn) ⊂ D com un → a, mas que b não é o limite de f(x) quando x→ a. Então, existe um ε > 0 tal que para todo o δ > 0 existe um x_{∈ D tal que:}

0 <_{|x − a| < δ e |f(x) − b| > ε.}

Tomando δ = _n1, obtemos para cada n_{∈ N um n´umero x}n tal que 0 <|xn− a| <

1

n e |f(xn)− b| > ε.

A primeira condi¸cão garante que xn→ a e a segunda condi¸cão garante que b não é limite de f (xn), o que contradiz a nossa hipótese.

Esta proposi¸cão é por vezes uma forma prática de mostrar que a fun¸cão f não tem limite em a dado, determinando para isso sucessões un, vn→ a, mas tais que f (un) e f (vn) têm limites distintos.

(11)

5.2. SUCESS ˜OES 209

Seja f (x) = sin(1_x) e a = 0. Considerem-se as sucess˜oes un= 1 2πn e vn= 1 2πn + π/2 ´

E claro que un → 0 e vn → 0, e temos f(un) = sin(2πn) = 0 e f (vn) =

sin(2πn +π₂) = 1. Pelo Teorema 5.2.4, conclu´ımos que limx→0f (x) n˜ao existe,

porque f (un)→ 0 e f(vn)→ 1.

As seguintes defini¸cões são já conhecidas:

Defini¸cão 5.2.6. Seja (un) uma sucessão real. Então:

(a) (un) diz-se crescente (resp. estritamente crescente) se un≤ un+1 (resp. un< un+1) para todo o n∈ N.

(b) (un) diz-se decrescente (resp. estritamente decrescente) se un≥ un+1 (resp. un> un+1) para todo o n∈ N.

(c) (un) diz-se majorada se existir M ∈ R tal que un ≤ M para todo o n_{∈ N.}

(d) (un) diz-se minorada se existir m ∈ R tal que un ≥ m para todo o n_{∈ N.}

Uma sucessão diz-se monótona (resp. estritamente monótona) se for crescente ou decrescente (resp. estritamente crescente ou decrescente). Uma sucessão diz-se limitada se for majorada e minorada.

Proposi¸cão 5.2.7. Qualquer sucessão (un) convergente é limitada.

Demonstra¸c˜ao. Se un→ a ent˜ao existe um natural N tal que n > N ⇒ a − 1 < un< a + 1

´

E claro que o conjunto {un : n > N} é limitado, porque está contido no intervalo de a_{− 1 a a + 1, e o conjunto {u}n : n≤ N} é limitado, porque é

finito. Conclu´ımos assim que o conjunto de todos os termos da sucess˜ao ´e igualmente limitado.

Sendo certo que qualquer sucessão convergente é limitada, é muito fácil exibir sucessões limitadas que não são convergentes. Por exemplo, a sucessão -1, +1, -1, +1, _{· · · , de termo geral u}n= (−1)n, é claramente limitada, mas não é convergente. No entanto, temos a seguinte equivalência válida para sucessões monótonas:

Teorema 5.2.8. Qualquer sucessão real monótona é convergente se e só se é limitada. Em particular,

(12)

(a) Se (un) ´e crescente e majorada ent˜ao un→ sup {un : n∈ N}, e

(b) Se (un) ´e decrescente e minorada ent˜ao un→ inf {un : n∈ N}.

Demonstra¸cão. J´a vimos que qualquer sucessão convergente (monótona ou não) é limitada. Mostramos apenas que qualquer sucessão crescente e majo-rada converge para o supremo dos seus termos, porque o caso duma sucessão decrescente e minorada é inteiramente análogo.

Seja (un) uma sucess˜ao crescente e majorada, e α = sup{un : n ∈ N}. Passamos a provar que, para qualquer ε > 0,

Existe p_{∈ N : (n > p ⇒ |u}n− α| < ε) .

Como α = sup_{un : n ∈ N}, existe algum up ∈ Vε(α), ou seja, tal que α_{− ε < u}p ≤ a. Como (un) ´e crescente, conclu´ımos que

n > p =_{⇒ u}p ≤ un≤ α =⇒ α − ε < un≤ α =⇒ |un− a| < ε

5.3 S´

eries de Termos N˜

ao-Negativos

Séries de termos não-negativos (STNN) são séries da forma ∞

X

k=1

ak, com ak≥ 0 , ∀ k ∈ N .

O teorema 5.2.8 é aplicável a estas séries, porque a sucessão das somas parciais de uma STTN é claramente crescente. Portanto, ou é convergente e limitada, ou diverge, e neste último caso diverge para +∞.

Proposi¸c˜ao 5.3.1. Uma STNN P

kak ´e convergente se e s´o se a sua

su-cess˜ao de somas parciais (sn) for majorada.

Demonstra¸cão. Por defini¸c˜ao, a série é convergente se e só se a sucessão das somas parciais sn=Pn_k=1ak for convergente. Como

sn+1− sn= an+1 ≥ 0, a sucessão (sn) é monótona crescente.

Na prática, pode ser dif´ıcil descobrir se a sucessão das somas parciais de uma dada STNN é ou não majorada. Os diversos critérios de con-vergência _{que passamos agora a estudar s˜}_{ao técnicas espec´ıficas criadas} para determinar a natureza de STNN’s com base na proposi¸cão anterior. Come¸camos por considerar um critério a que aludimos quando estabelece-mos a natureza divergente da série harmónica.

(13)

5.3. S ´ERIES DE TERMOS N ˜AO-NEGATIVOS 211

5.3.1 Crit´erio de Compara¸c˜ao

Quando 0≤ an≤ bnpara qualquer n dizemos que a s´erie P ∞

n=1bn domina a s´erie P∞

n=1an. Neste caso, ´e intuitivamente evidente que ∞ X n=1 an= a1+ a2+· · · + an+· · · ≤ b1+ b2+· · · + bn+· · · = ∞ X n=1 bn,

sendo que se a soma da série à direita é finita, é-o também a soma da série `

a esquerda, e se a soma da série à esquerda é infinita, é-o também a soma da série à direita. É esse o conteúdo do próximo teorema:

Teorema 5.3.2 (Crit´erio de Compara¸c˜ao para STNN). Sejam (an) e (bn)

duas sucess˜oes reais tais que 0_{≤ a}n≤ bn, ∀ n ∈ N. Ent˜ao: ∞ X n=1 bn converge ⇒ ∞ X n=1 an converge; ∞ X n=1 an diverge ⇒ ∞ X n=1 bn diverge.

Demonstra¸cão. Sejam (sn) e (tn) as sucessões de somas parciais das séries dadas, i.e. sn= n X k=1 ak e tn= n X k=1 bk. ´

E evidente que sn ≤ tn para qualquer n ∈ N. Usando a Proposi¸c˜ao 5.3.1, podemos ent˜ao concluir que:

• P

kbkconverge⇒ (tn) majorada⇒ (sn) majorada⇒Pkakconverge. • P

kak diverge ⇒ sn→ +∞ ⇒ tn→ +∞ ⇒Pkbk diverge.

Exemplos 5.3.3.

(1) A série de Zenão é convergente, eP∞

n=121n = 1. Segue-se que qualquer s´erie

com termo geral 0 _{≤ a}n ≤ ₂1n ´e igualmente convergente, e tem soma ≤ 1.

A t´ıtulo de exemplo, as seguintes séries (que não são geométricas) são todas convergentes, e todas têm soma inferior a 1, porque os respectivos termos gerais não excedem 1/2n_: ∞ X n=1 1 n + 2n, ∞ X n=1 1 3n_{+ 2}n, ∞ X n=1 n 2n_(n2_{+ 1)}

(14)

(2) A série harmónica é divergente, ou seja,P∞

n=1 1

n = +∞. Portanto, qualquer

s´erie com termo geral bn ≥ _n1 ´e igualmente divergente. A t´ıtulo de exemplo,

as seguintes séries são todas divergentes, porque os respectivos termos gerais excedem 1/n: ∞ X n=1 1 √_n, ∞ X n=1 n + 2 n(n + 1), ∞ X n=1 1 n_{− 1/2} (3) Se α < 1 então nα ≤ n e portanto 1/nα

≥ 1/n. Conclu´ımos assim que A s´erie ∞ X n=1 1 nα diverge quando α≤ 1. As s´eries da forma P∞

n=1n1α dizem-se s´eries de Dirichlet, e veremos a

seguir que s˜ao convergentes quando α > 1.

´

E interessante observar que podemos aplicar o critério de compara¸cão desde que a desigualdade an ≤ bn seja válida apenas para todos os valores de n “suficientemente grandes”, ou seja,

Teorema 5.3.4 (Crit´erio de Compara¸c˜ao para STNN). Sejam (an) e (bn)

duas sucess˜oes reais, e suponha-se que existe m _{∈ N tal que 0 ≤ a}n ≤ bn

para qualquer n≥ m. Ent˜ao: ∞ X n=1 bn converge ⇒ ∞ X n=1 an converge; ∞ X n=1 an diverge ⇒ ∞ X n=1 bn diverge.

Demonstra¸cão. Definimos ˜ an= 0, se n < m an, se n≥ m e analogamente ˜bn= 0, se n < m bn, se n≥ m Podemos aplicar o teorema 5.3.2 às séries P∞

n=1˜an e P ∞ n=1˜bn, donde ∞ X n=1 ˜bn converge =⇒ ∞ X n=1 ˜ an converge; ∞ X n=1 ˜ andiverge =⇒ ∞ X n=1 ˜bn diverge. Resta-nos verificar que

∞ X n=1 ˜ an converge ⇐⇒ ∞ X n=1 anconverge; ∞ X n=1 ˜bn converge ⇐⇒ ∞ X n=1 bn converge.

(15)

5.3. S ÉRIES DE TERMOS N ÃO-NEGATIVOS 213 Considerando a série de termo an, definimos cn = an− ãn e notamos que a série de termo geral cné obviamente convergente, porque a sua soma é uma soma finita. Observamos da proposi¸cão 5.1.8 que

∞ X n=1 ˜ an converge =⇒ ∞ X n=1 an converge, porque ∞ X n=1 an= ∞ X n=1 ˜ an+ ∞ X n=1 cn ∞ X n=1 an converge =⇒ ∞ X n=1 ˜ an converge, porque ∞ X n=1 ˜ an= ∞ X n=1 an− ∞ X n=1 cn

5.3.2 Crit´erio Integral

A técnica que usámos para estabelecer a divergência da série harmónica (exemplo 5.1.5) é aplicável a qualquer série de termo geral an= f (n), onde f : R+→ R é uma fun¸cão decrescente. Basta-nos observar que

• n X

k=2

f (k) ´e uma soma inferior de Z n 1 f (x)dx, e • n−1 X k=1

f (k) ´e uma soma superior de Z n 1 f (x)dx. f (1) f (2) f (3) f (4) 1 2 3 4 5 Figura 5.3.1: n X k=2 f (k)_≤ Z n 1 f (x)dx_≤ n−1 X k=1 f (k).

Escrevendo como ´e usual Z ∞ 1 f (x)dx = lim y→∞ Z y 1 f (x)dx,

(16)

obtemos um resultado particularmente simples e f´acil de aplicar.

Teorema 5.3.5 (Critério Integral para STNN). Seja f : [1,∞[→ R uma fun¸cão positiva decrescente. Então a série P∞

n=1f (n) converge se e s´o se

existe e ´e finito o limite: Z ∞ 1 f (x) dx = lim b→+∞ Z b 1 f (x) dx. Demonstra¸c˜ao. Primeiro supomos que

Z ∞ 1 f (x) dx = lim b→+∞ Z b 1 f (x) dx < +_∞ Temos então n X k=2 f (k)≤ Z n 1 f (x)dx≤ Z ∞ 1 f (x) dx, e segue-se da proposi¸cão 5.3.1 que a série P∞

k=2f (k) ´e convergente, donde ´e ´

obvio queP∞

k=1f (k) é igualmente convergente. Supondo agora que a série é convergente, temos

Z n 1 f (x) dx_≤ n−1 X k=1 f (k)_≤ ∞ X k=1 f (k), donde Z ∞ 1 f (x) dx_≤ ∞ X k=1 f (k). Exemplos 5.3.6.

1. Vimos que a s´erie de Dirichlet

∞

X

n=1

1

nα ´e divergente, quando α≤ 1.

O Critério Integral esclarece facilmente a natureza da série para α > 1. Neste caso, temos Z ∞ 1 1 xα dx = lim_b→+∞ Z b 1 1 xα dx = lim_b→+∞ −_(α 1 − 1)bα−1+ 1 α_{− 1} = 1 α_{− 1} Segue-se do teorema 5.3.5 que a série de Dirichlet é convergente quando α > 1.

2. A ideia subjacente ao teste integral permite também obter estimativas para o erro cometido quando substitu´ımos a soma de uma dada série por uma sua soma parcial. Nas condi¸cões do teorema 5.3.5, é fácil mostrar que

S− Sn= ∞ X k=1 f (k)− n X k=1 f (k) = ∞ X k=n+1 f (k)≤ Z ∞ n f (x)dx

A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao, considere-se a s´erie de Dirichlet com α = 2. Estimamos a diferen¸ca S_{− S}n como se segue

S_{− S}n= ∞ X k=n+1 1 k2 < Z ∞ n 1 x2dx = 1 n donde Sn< S < Sn+ 1 n

(17)

5.3. S ÉRIES DE TERMOS N ÃO-NEGATIVOS 215 Tal como observámos para o critério de compara¸cão em 5.3.4, o critério integral pode ser formulado mais geralmente como se segue:

Teorema 5.3.7 (Critério Integral para STNN). Seja f : [1,_{∞[→ R uma} fun¸cão positiva decrescente para x_{≥ α. Então a série}P∞

n=1f (n) converge

se e só se existe e é finito o limite: Z ∞ 1 f (x) dx = lim b→+∞ Z b 1 f (x) dx. Exemplo 5.3.8. Considere-se a sérieP∞

k=1ke−k/2. A fun¸c˜ao dada por f (x) = xe−x/2 ´e

de-crescente para x_{≥ 2 e temos} Z b 1 xe−x/2dx = −2(x + 2)e−x/2 b 1→ 6e −1/2_.

Conclu´ımos que a série em questão é convergente.

5.3.3 Crit´erio do Limite

A verifica¸cão das desigualdades referidas em 5.3.4 pode ser substitu´ıda pelo cálculo do limite da razão an/bn, se esse limite existir.

Teorema 5.3.9 (Crit´erio do Limite para STNN). Se (an) e (bn) s˜ao

su-cess˜oes reais de termos positivos tais que an/bn → L, onde 0 < L < +∞,

então as séries ∞ X n=1 an e ∞ X n=1 bn são da mesma natureza.

Demonstra¸cão. Existe m∈ N tal que n > m _⇒ L₋ L 2 < an bn < L +L 2 ⇒ L 2 · bn< an< 3L 2 · bn. Basta agora aplicar o Critério Geral de Compara¸cão do Teorema 5.3.4 a estas desigualdades.

O argumento anterior pode ser adaptado para mostrar que: • Se L = 0 e a série ∞ X n=1 bn converge então ∞ X n=1 an converge, e • Se L = +∞ e a série ∞ X n=1 an converge então ∞ X n=1 bn converge. Exemplos 5.3.10.

(18)

O critério do limite requer a utiliza¸cão de séries com natureza conhecida, por exemplo, séries geométricas ou séries de Dirichlet.

(1) Para determinar a natureza da s´erie X 1

3n_{− 2}n.

é natural compará-la com a série geométricaP 1/3n_{, que é convergente, porque}

a sua raz˜ao ´e r = 1/3. De facto, com an= ₃n1

−2n e bn= 1/3 n _temos liman bn = lim 1 3n 1 3n −2n = lim3 n − 2n 3n = 1− lim 2 3 n = 1_{− 0 = 1.} Conclu´ımos do Teorema 5.3.9 que as séries são da mesma natureza, ou seja, a sérieP 1

3n

−2n tamb´em converge.

(2) Para determinar a natureza da s´erieP 2n+1

n√n(n+1), observamos primeiro que,

quando n ´e “grande”, temos 2n + 1 npn(n + 1) ≈ 2n n√n2 ≈ 2 n,

o que sugere a utiliza¸c˜ao do crit´erio do limite com an = 2n+1

n√n(n+1) e bn = 1 n.

Neste caso, obtemos

liman bn = lim 2n+1 n√n(n+1) 1 n = lim 2n + 1 pn(n + 1) = lim 2 + 1/n p1 + 1/n2 = 2.

ComoP 1/n diverge, segue-se que a s´erie P 2n+1

n√n(n+1) diverge igualmente.

5.3.4 Crit´erios da Ra´ız e da Raz˜ao

Os critérios da ra´ız e da razão permitem determinar a natureza de uma STNNP an pelo cálculo dos limites de, respectivamente, √nan e an+1/an. Em ambos os casos, reduzem-se essencialmente à compara¸cão da série dada com uma série geométrica convenientemente escolhida.

Teorema 5.3.11 (Crit´erio da Ra´ız). SejaP

nan uma série numérica com an> 0 e tal que √nan→ r ∈ R. Então:

(a) se r < 1 a s´erieP

nan converge.

(b) se r > 1 a s´erie P

nan diverge.

Demonstra¸c˜ao. Se r < 1, tomamos s tal que r < s < 1, e notamos que existe p_{∈ N tal que}

n

√

(19)

5.3. S ´ERIES DE TERMOS N ˜AO-NEGATIVOS 217 ´

E evidente que an ≤ sn para n ≥ p. Como a série geométrica P ∞ n sn converge, conclu´ımos do Critério Geral de Compara¸cão (5.3.4) que a série P∞

k ak tamb´em converge.

Se r > 1, existe p∈ N tal que:

n

√

an> 1 quando n≥ p. ´

E claro que an > 1 quando n ≥ p e portanto a sucessão an não converge para zero e a sérieP∞

k ak diverge de acordo com o teorema 5.1.3. Exemplos 5.3.12.

(1) Para determinar a natureza de

∞ X n=1 n 2n, notamos que( 2₎ n √_a n = n √_n 2 → 1 2.

Conclu´ımos pelo Critério da Ra´ız (5.3.11) que a série dada é convergente. (2) O critério da ra´ız é inconclusivo quando r = 1, ou seja, se r = 1 a série em

questão tanto pode ser convergente como divergente. Observe-se que • A série ∞ X n=1 1 n é divergente e n √_a n= n√1 n → 1. • A série ∞ X n=1 1 n2 é convergente e n √_a n = √n1 n2 → 1.

O critério da razão, ou de d’Alembert, tem um enunciado análogo. Teorema 5.3.13 (Critério da Raz˜ao ou de d’Alembert). Seja P

nan uma

série numérica com an> 0 e tal que an+1/an→ r ∈ R. Então:

(a) se r < 1 a s´erie P

nan converge.

(b) se r > 1 a s´erieP

nan diverge.

Demonstra¸c˜ao. Consideramos primeiro o caso r < 1: tomamos um qualquer s tal que r < s < 1, e notamos que existe p_{∈ N tal que}

an+1 an

< s quando n_{≥ p.} ´

E muito simples estabelecer por indu¸c˜ao que ap+k ≤ ap· sk para k ∈ N. Tomando c = aps−p, podemos igualmente escrever

an≤ c · sn, para qualquer n≥ p. 2_{Recorde que} √n

n = elogn/n

(20)

Como s < 1 a s´erie geom´etricaP∞

n c· sn converge e conclu´ımos do Critério Geral de Compara¸cão (5.3.4) que a série P∞

k ak tamb´em converge. Consideramos agora o caso r > 1: Neste caso, existe p_{∈ N tal que:}

an+1 an

> 1 quando n≥ p.

Obtemos facilmente desta desigualdade que an > ap > 0 quando n ≥ p e portanto a sucessão annão pode convergir para zero, e a sérieP

∞

k akdiverge de acordo com o teorema 5.1.3.

Exemplos 5.3.14.

(1) Para determinar a natureza de

∞ X n=1 2n n!, notamos que an+1 an = 2 n+1_{/(n + 1)!} 2n_/n! = 2n+1 2n · n! (n + 1)! = 2 n + 1 → 0 < 1.

Conclu´ımos pelo Critério da Razão (Teorema 5.3.13) que a série dada é con-vergente.

(2) O critério da razão é também inconclusivo quando r = 1. Mais uma vez, • A série ∞ X n=1 1 n é divergente e an+1/an= n/(n + 1)→ 1. • A série ∞ X n=1 1 n2 é convergente e an+1/an= n 2_{/(n + 1)}2_{→ 1.}

Os critérios da razão e da ra´ız têm muitos pontos em comum, mas não são exactamente equivalentes. A este respeito, é interessante registar que Observa¸cões 5.3.15.

1. Se an+1/an → r ent˜ao √nan → r, em particular, sempre que o crit´erio da

razão é aplicável é também aplicável o da ra´ız. A demonstra¸cão deste facto é simples, mas algo trabalhosa, e omitimo-la aqui.

2. ´E poss´ıvel que √n_a

n → r e a raz˜ao an+1/an n˜ao tenha limite, ou seja, o

critério da ra´ız é, em princ´ıpio, mais geral do que o da razão. Em termos práticos, no entanto, é muitas vezes mais dif´ıcil calcular o limite da ra´ız do que o limite da razão. Para um exemplo ilustrativo simples, considere-se a série de termo geral an, onde

an= 1 2n, se n é par, e an= 3 2n, se n é ´ımpar. A série P

nan é convergente por razões elementares (é uma soma de séries

geom´etricas), mas em qualquer caso o limite de an+1/an n˜ao existe, enquanto

que √n_a

(21)

5.4. OUTRAS S ´ERIES NUM ´ERICAS 219

3. Para definir o limite superior de uma sucess˜ao num´erica an, consideramos

a sucessão auxiliar bn = sup{ak : k ≥ n}. A sucessão bn é decrescente e

conclu´ımos por isso que tem limite na recta acabada. Definimos lim sup an = lim sup{ak: k≥ n} = lim bn

Note-se igualmente que, quando existe lim an, temos lim an= lim sup an.

Uti-lizando esta no¸cão, o critério da ra´ız toma a seguinte forma, que é muito geral porque não supõe a existência do limite da ra´ız:

Teorema 5.3.16 (Crit´erio da Ra´ız). Seja P

nan uma s´erie num´erica com

an> 0 e r = lim sup√nan∈ R. Ent˜ao:

(a) se r < 1 a s´erieP

nan converge.

(b) se r > 1 a s´erieP

nan diverge.

A respectiva demonstra¸cão, que também omitimos, é uma adapta¸cão relativa-mente simples da de 5.3.11.

5.4 Outras S´

eries Num´

ericas

Quando a sucessão anassume valores positivos e negativos, os critérios refe-ridos na seçcão anterior não permitem determinar directamente a natureza da sérieP∞

n=1an, que não é uma STNN, mas podem ser usados para estu-dar a série dos módulos P∞

n=1|an|, que ´e certamente uma STNN. Veremos adiante que podemos ter

∞ X n=1 an convergente e ∞ X n=1 |an| divergente, mas a convergˆencia deP∞

n=1|an| implica sempre a convergˆencia deP ∞ n=1an, de acordo com o seguinte resultado:

Teorema 5.4.1. Se P

n|an| converge, ent˜aoPnan tamb´em converge e ∞ X n=1 an ≤ ∞ X n=1 |an| .

Demonstra¸cão. Se a_{∈ R é um número real, definimos} a+ _{= max}_{{a, 0} =} |a| + a

2 ´e a parte positiva de a, a−

= max_{{−a, 0} =} |a| − a

2 ´e a parte negativa de a. ´

E imediato verificar que a = a+_{− a}−

,_{|a| = a}++ a−

. Temos em particular a desigualdade:

0≤ a+, a− ≤ |a|.

(22)

Conclu´ımos do critério geral de compara¸cão que X n |an| convergente =⇒ X n a+_n e X n a− n convergentes, donde X n an= X n a+_n _{− a}− n = X n a+_n ₋X n a− n é convergente. A respectiva soma pode ser estimada como se segue:

X n an = X n a+_n −X n a− n ≤X n a+_n +X n a− n = X n a+_n + a− n = X n |an|.

Usaremos a este respeito a seguinte terminologia: Defini¸c˜ao 5.4.2. Uma s´erie P

nan diz-se

(i) absolutamente convergente se a correspondente s´erie de m´odulos P

n|an| ´e convergente e portanto P

nané também convergente. (ii) simplesmente convergente se é convergente, mas a correspondente

série de módulosP n|an| é divergente.(3) Exemplos 5.4.3. (1) Observamos que ∞ X n=1 (₋₁₎n

n2 ´e absolutamente convergente, porque ∞

X

n=1

1

n2 ´e convergente.

A série de módulos correspondente é a série de DirichletP∞

n=1n12 que converge.

Pelo Teorema 5.4.1, conclu´ımos que a s´erie original converge. (2) Temos tamb´emP∞

n=1 sen(n2₎

n2 absolutamente convergente, porque

sen(n2₎ n2 ≤ 1 n2 e ∞ X n=1 1 n2 converge.

Dizemos que uma série é alternada se e só se os seus termos consecu-tivos têm sinais algébricos diferentes. Escrevemos normalmente uma série alternada na forma X n (₋₁₎n+1an ou X n (₋₁₎nan, com an> 0,

onde no primeiro caso os termos negativos s˜ao os pares, e no segundo caso s˜ao os ´ımpares.

Neste caso, se a sucessão ané decrescente é muito fácil estabelecer a sua natureza e mesmo estimar a sua soma com erro arbitrariamente pequeno.

(23)

5.4. OUTRAS S ÉRIES NUM ÉRICAS 221 Teorema 5.4.4(Critério de Leibniz). Se a sucessão ané decrescente então

X

n

(−1)n_a

n converge se e s´o se an→ 0.

Neste caso, se S ´e a sua soma e Sn ´e a correspondente soma parcial, temos |S − Sn| ≤ an+1.

Demonstra¸cão. Se a série é convergente ent˜ao o seu termo geral tende para zero, e portanto an → 0. Supomos agora que an é decrescente e an → 0, donde em particular an− an+1 > 0. Sendo Sn o termo geral da sucessão das suas somas parciais, temos:

(1) S2n= S2n−1+ (−1)2na2n= S2n−1+ a2n> S2n−1, (2) S2n+1= S2n+ (−1)2n+1a2n+1= S2n− a2n+1 < S2n, (3) S2n+2= S2n− a2n+1+ a2n+2< S2n, e

(4) S2n+1= S2n−1+ a2n− a2n+1> S2n−1.

Por outras palavras, sendo cn= S2n e dn= S2n−1, temos que cn≥ dn, cn´e decrescente, dn´e crescente e cn− dn= a2n→ 0. Conclu´ımos que

dn< S < cn

Notamos em particular que as somas parciais pares S2ns˜ao aproxima¸c˜oes por

excesso de S enquanto que as somas parciais ´ımpares S2n−1s˜ao aproxima¸c˜oes

por defeito de S. Mais exactamente,

a2n+1 > S2n− S > 0 e a2n> S− S2n−1 > 0 s1 = 1 s2 s4 s6 s5 s3 −1/2 +1/3 −1/4 +1/5 −1/6

(24)

Exemplos 5.4.5.

1. Como 1/nց 0, conclu´ımos que a chamada s´erie harm´onica alternada

∞ X n=1 (₋₁₎n+1 n = 1− 1 2+ 1 3 − 1 4+· · ·

é convergente (figura 5.4.1). Esta série é simplesmente convergente, porque a correspondente série dos módulos é a série harmónica, que é divergente. 2. A série de Dirichlet

∞

X

n=1

(₋₁₎n+1

nα ´e simplesmente convergente se 0 < α < 1.

Os seguintes dois resultados ilustram bem a diferen¸ca entre o comporta-mento das séries absoluta ou simplesmente convergentes. O teorema 5.4.7 em especial revela que as séries simplesmente convergentes têm propriedades pouco naturais de um ponto de vista intuitivo.

Teorema 5.4.6. Qualquer série obtida por reordena¸cão dos termos de uma série absolutamente convergente é também absolutamente convergente, com soma igual à soma da série original.

Teorema 5.4.7 (Riemann). Sejam P

nbn uma s´erie simplesmente

conver-gente e β∈ R arbitrário. Então, existem séries obtidas por reordena¸cão de P

nbn com soma igual a β.

Omitimos a demonstra¸c˜ao destes resultados.

5.5 S´

eries de Taylor

Quando o termo geral de uma série envolve uma variável (ou mais), temos o que chamamos de uma série de fun¸cões, de que as seguintes s˜ao exemplos

∞ X n=0 xn ou ∞ X n=1 cos(nx) n2

A primeira é evidentemente a série geométrica de razão x, e é o que chama-mos de uma série de potências por raz˜oes ´obvias, e a segunda é uma série trigonométrica, na realidade uma série de Fourier, que é um instrumento indispensável na representa¸cão matemática de todo o tipo de fenómenos os-cilatórios. O estudo de séries de fun¸cões levanta diversas questões técnicas delicadas que não encontramos no caso das séries numéricas, em particular • Como determinar o dom´ınio de convergência da série, ou seja, o

(25)

5.5. S ÉRIES DE TAYLOR 223 • Supondo que esse dom´ınio é D, e portanto a série determina uma fun¸cão f definida em D, como podemos estabelecer, por exemplo, a diferenciabilidade e/ou integrabilidade de f , e como podemos calcular a respectiva derivada e/ou integral?

Estas são questões e desafios mais dif´ıceis, e também muito interessantes do ponto de vista matemático, de que aqui poderemos dar apenas uma primeira abordagem.

Exemplos 5.5.1.

1. A s´erieP∞

n=0xn converge se e s´o se|x| < 1. Portanto, a fun¸c˜ao dada por

f (x) =

∞

X

n=0

xn

est´a definida no dom´ınio de convergˆencia D =]_{− 1, 1[. Claro que neste caso} sabemos que f (x) = 1/(1_{− x).}

2. A s´erieP∞

n=1 cos(nx)

n2 ´e absolutamente convergente para qualquer x∈ R, ou

seja, o seu dom´ınio de convergˆencia ´e D = R, porque cos(nx) n2 ≤ 1 n2 e ∞ X n=1 1 n2 < +∞

A t´ıtulo de curiosidade, a sua soma é a fun¸cão periódica de per´ıodo 2π tal que g(x) = ∞ X n=1 cos(nx) n2 = x2 4 − πx 2 + π2 6 para 0≤ x ≤ 2π,

mas naturalmente não dispomos ainda dos instrumentos necessários para su-portar esta afirma¸cão.

Estudamos nesta seçc˜ao as séries de potências, ditas também séries de Taylor por raz˜oes que expomos adiante, e para as quais as questões acima têm respostas razoavelmente simples.

Defini¸cão 5.5.2. Chama-se série de potências _{(centrada em a} _{∈ R) a} qualquer série da forma

(5.5.1)

∞ X

n=0

an(x− a)n= a0+ a1(x− a) + a2(x− a)2+· · · . O seu dom´ınio de convergˆencia_{´e o conjunto}

D = ( x∈ R : ∞ X n=0 an(x− a)n ´e convergente )

(26)

Exemplo 5.5.3.

Considere-se a s´erie de potˆencias

∞ X n=0 1 2n (x− 1) n _.

Esta é uma série geométrica de razão r = (x_{− 1)/2 e é por isso absolutamente} convergente quando x− 1 2 < 1⇐⇒ |x − 1| < 2 ⇐⇒ x ∈ ]−1, 3[ , e divergente quando x− 1 2 ≥ 1 ⇐⇒ |x − 1| ≥ 2 ⇐⇒ x ∈ ]−∞, −1] ∪ [3, +∞[ .

O dom´ınio de convergência desta série é portanto D = ]_{−1, 3[. Aliás, e como} a série é geométrica, sabemos que a respectiva soma é

∞ X n=0 1 2n (x− 1) n₌ 1 1_{− (x − 1)/2} = 2 3_{− x}

Mais uma vez, a série de potências e a fun¸cão acima são iguais no dom´ınio de convergência da série, mas têm dom´ınios de defini¸c˜ao distintos, porque a fun¸cão à direita está definida para qualquer x6= 3, não apenas para x ∈]−1, 3[.

O dom´ınio de convergência de uma série de potências não é um conjunto arbitrário, e para esclarecer esta questão come¸camos por demonstrar um lema auxiliar:

Lema 5.5.4. Se a s´erie de potˆencias P

nan xn converge em x = c 6= 0

então é absolutamente convergente para qualquer x_{∈ R com |x| < |c|.} Demonstra¸cão. De acordo com o teorema 5.1.3 temos ancn→ 0, e portanto existe p_{∈ N tal que}

n≥ p =⇒ |an cn| < 1 . Logo, para n≥ p temos que

|an xn| = |an cn| · x c n < x c n .

Assumindo _{|x| < |c|, a série geométrica de razão r = |x/c| < 1 é} conver-gente. Conclu´ımos, pelo critério de compara¸cão, que a série P

n|an xn| ´e convergente, i.e.,P

nan xné absolutamente convergente. Teorema 5.5.5. Dada uma série de potênciasP

nan(x−a)n, existe R≥ 0,

(27)

5.5. S ÉRIES DE TAYLOR 225 (a) a série é absolutamente convergente quando_{|x − a| < R, e}

(b) a s´erie ´e divergente quando _{|x − a| > R.}

Demonstra¸c˜ao. Substituindo (x_{− a) por x, podemos assumir que a = 0.} Consideremos ent˜ao o conjunto A_{⊂ R}+ _{definido por}

A = ( r_{∈ R}+ : r =_{|x| e} X n an xn ´e convergente ) . Observamos que:

• se A = ∅: ´e evidente que R = 0; • se A 6= ∅: Dado x ∈ R, notamos que

(1) Se _{|x| < sup A ent˜ao existe r = |y| ∈ A tal que r > |x| e a} s´erieP

nanynconverge. Segue-se que a sériePnanxnconverge absolutamente pelo lema 5.5.4. Por outras palavras, o raio de convergência da série é pelo menos R = sup A.

(2) Se_{|x| > sup A (o que só é poss´ıvel se sup A < +∞) então |x| 6∈ A,} e portanto a série P

nan xn diverge.

a− R a a + R

divergente absolutamente_convergente divergente

Figura 5.5.1: Intervalo de convergência de uma série de potências.

Ilustramos este resultado com alguns exemplos simples, onde o raio de con-vergência pode ser sempre calculado com recurso ao critério da razão. Exemplos 5.5.6.

1. No caso da s´erie de potˆencias

∞ X n=1 xn n3n, temos |x|n+1 (n + 1)3n+1· n3n |x|n = n n + 1· |x| 3 → |x| 3 .

A série é absolutamente convergente quando_{|x|/3 < 1, ou seja, quando |x| < 3,} e diverge quando _{|x| > 3. Conclu´ımos que o intervalo de convergência tem} extremos_{−3 e 3, e o raio de convergência é R = 3. A natureza da série nos} extremos do intervalo de convergência é fácil de determinar:

(28)

• Quando x = 3 a série reduz-se à série harmónica, que é divergente: ∞ X n=1 3n n3n = ∞ X n=1 1 n

• Quando x = −3 a série reduz-se à série harmónica alternada, que é

simplesmente convergente: ∞ X n=1 (−3)n n3n = ∞ X n=1 (−1)n n

O dom´ınio de convergência desta série é D = [−3, 3[. sendo a série absoluta-mente convergente em ]_{− 3, 3[.}

∞ X n=0 xn n!, temos |x|n+1_{/(n + 1)!} |x|n_/n! = |x|n+1 (n + 1)!· n! |x|n = |x| n + 1 → 0.

A série é portanto absolutamente convergente para qualquer x∈ R, ou seja, o dom´ınio de convergência é D = R e o raio de convergência é R = +_∞. Registe-se de passagem que, para qualquer x_{∈ R, temos x}n_/n!

→ 0 quando n_{→ +∞.}

∞ X n=0 n! xn, temos (n + 1)!_|x|n+1 n!|x|n = (n + 1)|x| → +∞ se x 6= 0.

A série diverge para qualquer x 6= 0, o dom´ınio de convergência reduz-se a D ={0} e o raio de convergência é R = 0.

∞ X n=1 (x_{− 3)}n n2 , temos |x − 3|n+1_{/(n + 1)}2 |x − 3|n_/n2 = |x − 3|n+1 (n + 1)2 · n2 |x − 3|n =|x − 3| n n + 1 2 → |x − 3|. A série de potências é absolutamente convergente quando_{|x − 3| < 1 e o seu} dom´ınio de convergência é um intervalo com extremos 3_{± 1 = 2 e 4. Em} particular, o raio de convergência é R = 1. Neste caso, a série é também absolutamente convergente nos extremos 2 e 4, porque

∞ X n=1 (4− 3)n n2 = ∞ X n=1 1 n2 e ∞ X n=1 (2− 3)n n2 = ∞ X n=1 (−1)n n2 ,

e estas séries são absolutamente convergentes, como sabemos. O dom´ınio de convergência (sempre absoluta) desta série é D = [2, 4].

(29)

5.5. S ÉRIES DE TAYLOR 227 Registe-se que o teorema 5.5.5 não inclui quaisquer conclusões sobre a na-tureza da série quando _{|x − a| = R, i.e., quando x = a ± R. Os exemplos} 5.5.6 ilustram diversas possibilidades, mas na realidade a natureza da série de potências nos pontos x = a± R é inteiramente arbitrária.

´

E claro que qualquer s´erie de potˆencias P∞

n=0an(x− a)n com um raio de convergência R > 0 determina uma fun¸cão f : D→ R, onde D é um dos intervalos com extremos a_{− R e a + R:}

(5.5.2) f (x) := a0+a1(x−a)+a2(x−a)2+· · · = ∞ X

n=0

an(x−a)n, (x∈ D). As fun¸cões definidas por séries de potências têm, como veremos, proprieda-des bastante especiais, e é especialmente relevante estabelecer a sua diferen-ciabilidade, continuidade e integrabilidade. Estas são no entanto questões tecnicamente mais sofisticadas, e omitiremos alguns dos detalhes necessários ao seu completo esclarecimento. Come¸camos por introduzir duas séries ob-tidas de 5.5.2 por um processo, por enquanto inteiramente formal, i.e., sem qualquer suporte te´orico, de diferencia¸cão no caso de 5.5.3 e de primitiva¸cão no caso de 5.5.4. (5.5.3) a1+ 2a2(x− a) + · · · = ∞ X n=1 nan(x− a)n−1 = ∞ X n=0 (n + 1)an+1(x− a)n, (5.5.4) a0x +a1 2 (x− a) 2₊_{· · · =} ∞ X n=0 an n + 1(x− a) n+1₌ ∞ X n=1 an−1 n (x− a) n_. ´

E algo surpreendente reconhecer que, apesar de termos an/n < an< nan para n > 1, ´e sempre verdade que

Lema 5.5.7. As seguintes séries têm o mesmo raio de convergência: (1) X n nanxn, (2) X n anxn e (3) X n an nx n

Demonstra¸cão. Sendo Rk o raio de convergência da série (k), notamos como ´

obvio que R1 ≤ R2 ≤ R3. ´E claro que R1 = R2 quando R2 = 0, e supomos agora que R2 > 0 e |x| < R2. Existe y tal que |x| < |y| < R2 e, como

n

√

n→ 1 quando n → ∞, temos para n suficientemente grande que |n anxn| = |an| x√n_n n ≤ |anyn| .

Segue-se do usual critério de compara¸cão que a série (1) é absolutamente convergente quando_{|x| < R}2e portanto R1 ≥ R2. Conclu´ımos que R1 = R2, e deve ser evidente que R2 = R3.

(30)

As séries do lema anterior não são exactamente as séries em 5.5.3 e 5.5.4, mas é um exerc´ıcio fácil verificar que têm exactamente o mesmo raio de convergência. O resultado seguinte é bastante mais dif´ıcil de estabelecer, e omitimos para já a sua demonstra¸cão, que faremos mais adiante com recurso `

a no¸c˜ao de convergˆencia uniforme de uma sucess˜ao de fun¸c˜oes. Teorema 5.5.8. Seja f (x) =P∞

n=0an(x− a)n uma s´erie de potˆencias com

raio de convergência R, D o respectivo intervalo de convergência (que tem extremos a− R e a + R), e I =]a − R, a + R[. Temos então

(a) f ´e cont´ınua em D(4_),

(b) F (x) = ∞ X n=0 an n + 1(x− a)

n+1 _{´e a primitiva de f em I com F (a) = 0.}

O seguinte corolário é particularmente útil Corolário 5.5.9. Seja f (x) =P∞

n=0an(x−a)numa s´erie de potˆencias com

raio de convergência R e I =]a−R, a+R[. Temos então que f é diferenciável em I, onde f′ (x) = ∞ X n=1 nan(x− a)n−1

Demonstra¸cão. Consideramos a série de potências (1) g(x) =

∞ X

n=1

nan(x− a)n−1,

que tem raio de convergência R, de acordo com o lema 5.5.7. Aplicamos o teorema 5.5.8 à série (1), para concluir que

G(x) = ∞ X n=1 nan (x_{− a)}n n = ∞ X n=1

an(x− a)n ´e uma primitiva de g. Como f (x) = a0+ G(x), ´e evidente que f′(x) = G′(x) = g(x).

Exemplos 5.5.10.

1. Sabemos do nosso estudo da série geométrica que (1) 1 1− x = ∞ X n=0 xn= 1 + x + x2+ x3+· · · (I = D =] − 1, 1[). Podemos usar esta série de potências para obter outras séries, sem grandes di-ficuldades, como aludimos no in´ıcio deste Cap´ıtulo, a propósito das identidades 5.1.8 a 5.1.13:

4_{Quando o intervalo de convergˆencia inclui algum dos seus extremos, a continuidade}

(31)

5.5. S ´ERIES DE TAYLOR 229

2. Substituindo x por_{−x em (1), obtemos} (2) 1 1 + x = ∞ X n=0 (−x)n ₌ ∞ X n=0 (−1)n_xn _{(I = D =]} − 1, 1[) 3. Substituindo x por x− 1 em (2), obtemos

(3) 1 x= ∞ X n=0 (₋₁₎n(x_{− 1)}n (I = D =]0, 2[)

4. Substituindo x por x2_{em (2), obtemos}

(4) 1 1 + x2 = ∞ X n=0 (−1)n_x2n _{(I = D =]} − 1, 1[) 5. Diferenciando (2), obtemos (5) ₋ 1 (1 + x)2 = ∞ X n=1 (₋₁₎nnxn−1 (I = D =]_{− 1, 1[)}

6. Primitivando (2), e observando que as duas primitivas abaixo se anulam em x = 0, temos (6) log(1 + x) = ∞ X n=0 (₋₁₎n n + 1x n+1₌X∞ n=1 (₋₁₎n−1 n x n ´

E interessante observar neste exemplo que, sendo naturalmente o raio de con-vergência R = 1, de acordo com o teorema 5.5.8, o intervalo de concon-vergência é agora ]_{− 1, 1], porque a série de potências em x = 1 se reduz à série harmónica} alternada, que é simplesmente convergente. Portanto, e usando o teorema 5.5.8, podemos calcular a soma da série harmónica alternada:

(6 a) ∞ X n=1 (₋₁₎n−1 n = log(2)

7. Primitivando (4), e como mais uma vez as duas primitivas abaixo se anulam em x = 0, temos (7) arctan x = ∞ X n=0 (−1)n 2n + 1x 2n+1

Tal como no exemplo anterior, a série é agora simplesmente convergente em x = 1 pelo critério de Leibniz das séries alternadas, ou seja, temos I =]− 1, 1[ e D =]− 1, 1]. Observamos igualmente que

(7 a) ∞ X n=0 (₋₁₎n 2n + 1 = arctan(1) = π 4, que ´e a s´erie de Gregory referida em 5.1.13.

(32)

8. A utiliza¸cão astuciosa do teorema 5.5.8 e do corolário 5.5.9 permite obter muitas outras séries de potências. A t´ıtulo de ilustra¸cão, consideramos a fun¸cão

f (x) = logr 1 + x 1_{− x} =

1

2(log(1 + x)− log(1 − x)) Temos ent˜ao, usando (1) e (2),

f′(x) = 1 2 1 1 + x + 1 1_{− x} =1 2 ∞ X n=0 (₋₁₎nxn+ ∞ X n=0 xn ! = ∞ X n=0 x2n Como f (0) = 0, conclu´ımos que

f (x) = logr 1 + x 1_{− x} = ∞ X n=0 1 2n + 1x 2n+1_{, para} |x| < 1

9. Podemos igualmente somar séries numéricas como as que vimos em (6 a) e (7 a). Usando a série em (6) com x =−1/2, obtemos

− log(1/2) = log 2 = − ∞ X n=1 (−1)n−1 n (−1)n 2n = ∞ X n=1 1 n2n

Um momento de reflexão mostra que o corolário 5.5.9 se pode aplicar su-cessivamente, e revela que qualquer fun¸cão dada por uma série de potências tem derivadas de qualquer ordem:

Corol´ario 5.5.11. Seja f (x) = P∞

n=0an(x− a)n uma s´erie de potˆencias

com raio de convergˆencia R, I =]a− R, a + R[ e k ∈ N. Temos ent˜ao que a derivada f(k) existe em I, onde

(1) f(k)(x) = ∞ X n=0 (n + k)! n! an+k(x− a) n_.

A s´erie (1) tem raio de convergˆencia R e an=

f(n)_(a) n! , i.e., f (x) = ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x− a) n

Demonstra¸c˜ao. Basta-nos proceder por indu¸c˜ao em k, desde o caso inicial ´ obvio k = 0: ∞ X n=0 (n + 0)! n! an+0(x− a) n₌ ∞ X n=0 an(x− a)n= f (x) = f(0)(x)

Supondo a afirma¸c˜ao verdadeira para k, aplicamos o corol´ario 5.5.9 para concluir que f(k+1)(x) = ∞ X n=1 (n + k)! n! nan+k(x− a) n−1 ₌ ∞ X n=1 (n + k)! (n_{− 1)!}an+k(x− a) n−1_,

(33)

5.5. S ÉRIES DE TAYLOR 231 onde a série à direita tem raio de convergência R. Na última série, tomamos m = n_{− 1, donde n + k = m + k + 1, para obter}

∞ X n=1 (n + k)! (n− 1)!an+k(x− a) n−1 ₌ ∞ X m=0 (m + k + 1)! m! am+k+1(x− a) m_{, i.e.,} f(k+1)(x) = ∞ X n=0 (n + k + 1)! n! an+k+1(x− a) n

Aplicando (1) em x = a, a s´erie reduz-se ao termo com n = 0, e obtemos f(k)(a) = k! · ak =⇒ ak=

f(k)(a) k!

Repare-se em particular que as somas parciais de uma série de potências são da forma Sn(x) = pn(x) = n X k=0 f(k)(a) k! (x− a) k_,

ou seja, s˜ao sempre polinómios de Taylor (5). Por esta razão, as séries de potências dizem-se igualmente séries de Taylor_.

Dada uma qualquer fun¸cão f definida numa vizinhan¸ca Vε(a), e desde que f tenha derivadas de qualquer ordem no ponto a, podemos introduzir Defini¸cão 5.5.12 (Série de Taylor de f em a). Se f : D_{→ R é uma fun¸cão} com derivada de qualquer ordem n em a ∈ D. A série de Taylor de f em _{a é a série de potências}

∞ X n=0 f(n)_(a) n! (x− a) n_.

Também usamos a expressão série de Maclaurin _{quando a = 0.} Exemplos 5.5.13.

1. Se f (x) = ex, ent˜ao f(n)(x) = expara qualquer n≥ 0 e f(n)_{(0) = 1. A s´erie}

de Maclaurin da exponencial ´e portanto:

∞

X

n=0

xn

n!

2. Se f (x) = sen x, as derivadas f(n)_{(x) formam a sucess˜ao sen x, cos x,}

− sen x, − cos x, sen x, · · · . A sucess˜ao f(n)_{(x) ´e assim 0, 1, 0,}

−1, 0, · · · e a série de Maclaurin, que só tem termos ´ımpares, é

∞ X n=1 (₋₁₎n−1 (2n_{− 1)!}x 2n−1₌X∞ n=0 (₋₁₎n (2n + 1)!x 2n+1 5_{Recorde a defini¸c˜}_{ao 3.7.4.}

(34)

3. De forma inteiramente análoga, a série de Maclaurin de cos x é ∞ X n=0 (−1)n (2n)!x 2n

Vimos já que a série em (1) é absolutamente convergente para qualquer x_{∈ R,e} segue-se por compara¸cão que as séries (2) e (3) são também absolutamente convergentes, mas claro que ainda não estabelecemos que a respectiva soma é a fun¸cão original.

Na realidade, a identidade referida em 5.5.11, ou seja, f (x) = ∞ X n=0 f(n)(a) n! (x− a) n_,

pode falhar para x6= a tanto porque a série converge para uma soma que é diferente de f (x), como porque a série é divergente, apesar de n˜ao ser par-ticularmente simples ilustrar esta última situa¸cão com exemplos espec´ıficos. Exemplos 5.5.14.

1. Recorde-se a fun¸cão do exemplo 3.7.8, cujo gráfico está esbo¸cado na figura 3.7.4. A fun¸cão é dada por

f (x) = (

e−x21 _{, se x}6= 0

0, se x = 0

e vimos que tem derivadas de qualquer ordem em todos os pontos x_{∈ R, mas} f(k)_{(0) = 0. Segue-se que a s´erie de Maclaurin de f (i.e., a s´erie de Taylor de}

f em a = 0) é nula, e portanto converge em toda a parte para a fun¸cão nula. 2. A série trigonométrica

∞

X

n=1

e−ncos(n2x)

´e absolutamente convergente para qualquer x∈ R, porque |e−n_cos(n2_x)

| ≤ e−n_e ∞

X

n=1

e−né convergente (e.g., pelo critério da ra´ız). Ultrapassa um pouco o âmbito deste texto a verifica¸cão dos seguintes factos:(6₎

• A fun¸c˜ao dada por f(x) =P∞

n=1e−ncos(n2x) ´e de classe C∞ em R, e

• A série de Maclaurin de f diverge para qualquer x 6= 0. 3. É igualmente verdade que a sérieP∞

n=1n!xn, referida no exemplo 5.5.6.3, ´e a

s´erie de Maclaurin de uma fun¸c˜ao f de classe C∞_{em R, e como vimos diverge}

para qualquer x_{6= 0, mas mais uma vez a defini¸c˜ao de f ´e tecnicamente dif´ıcil.}

6_{Os exemplos (2) e (3) s˜}_{ao apresentados e discutidos no cl´}_{assico Counterexamples in}

(35)

5.5. S ÉRIES DE TAYLOR 233 A questão da convergência da série de Taylor para a fun¸cão que lhe está associada, ou seja, a validade da igualdade em 5.5.11, pode ser estudada com o teorema 3.7.6 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange) ou resul-tados análogos. Recorde-se que, se a fun¸cão f tem derivada de ordem n numa vizinhan¸ca Vε(a), então existe para qualquer x ∈ Vε(a) um “ponto intermédio” θ, i.e., tal que a < θ < x ou a > θ > x e

f (x) = n−1 X k=0 f(k)(a) k! (x− a) k₊f(n)(θ) n! (x− a) n_.

Conforme observámos no exemplo 5.5.6.2, temos sempre (x− a)n_/n!_{→ 0,} e portanto é relativamente fácil mostrar que a série de Taylor de algumas fun¸c˜oes usuais converge para a própria fun¸cão em intervalos conveniente-mente escolhidos.

Exemplos 5.5.15.

1. Para as fun¸cões trigonométricas sen e cos, as derivadas são limitadas em valor absoluto e em toda a recta real por 1, e portanto temos

f (x)− n−1 X k=0 f(k)_(a) k! (x− a) k = f(n)_(θ) n! (x− a) n ≤ |x − a|n n! → 0 ´

E portanto claro que para estas fun¸cões, como aliás para qualquer fun¸cão com todas as derivadas limitadas por uma mesma constante, temos

f (x) = ∞ X k=0 f(k)_(a) k! (x− a) k_.

2. A fun¸cão exponencial e todas as suas derivadas são iguais. Supondo a, x < b, temos θ < b e f (x)₋ n−1 X k=0 f(k)_(a) k! (x− a) k ₌f(n)(θ) n! (x− a) n_{= f (θ)}(x− a)n n! A exponencial é crescente, donde f (θ) < f (b) e

0_≤ f (x)₋ n−1 X k=0 f(k)_(a) k! (x− a) k ≤ f(b)|x − a| n n! Como f (b)|x−a| n

n! → 0 quando n → ∞, segue-se que

f (x) = ∞ X k=0 f(k)_(a) k! (x− a) k _{para qualquer x < b.}

Finalmente, e dado que b é arbitrário, a identidade anterior é válida para qualquer x_{∈ R.}

(36)

3. O caso da fun¸cão logaritmo é também interessante. É fácil calcular as deri-vadas de f (x) = log x, que são dadas por

f(n)(x) = (₋₁₎(n−1)(n− 1)!

xn , para qualquer n∈ N

A série de Taylor de log x em x = a é assim g(x) = log a + ∞ X n=1 (−1)(n−1) nan (x− a) n_{= log a +}X∞ n=1 (−1)(n−1) n x − a a n . Um cálculo simples mostra que o raio de convergência desta série é R = a. Para calcular a sua soma, e mostrar que g(x) = log x no seu dom´ınio de convergência, é mais simples determinar a derivada g′_{(x), que é uma série geométrica, logo}

de soma conhecida: g′(x) = ∞ X n=1 (₋₁₎(n−1) an (x− a) n−1₌ 1 a ∞ X n=1 a − x a n−1 =1 a 1 1₋a−x a = 1 x Como f′_{(x) = g}′_{(x) para} _{|x − a| < a e f(a) = g(a) = log a, conclu´ımos que}

g(x) = log x no seu intervalo de convergˆencia, que ´e na realidade ]0, 2a].

Em muitos casos, o cálculo de séries de Taylor e do respectivo raio de convergência não deve ser feito a partir da defini¸cão 5.5.12, mas sim a partir de outras séries já conhecidas.

Exemplos 5.5.16.

1. Para calcular a s´erie de Taylor de cosh x = ex

+e−x

2 recordamos que as

seguin-tes expansões são válidas para qualquer x_{∈ R:} ex= ∞ X n=0 xn n!, e −x₌X∞ n=0 (−x)n n! = ∞ X n=0 (₋₁₎nx n n! Temos portanto, para qualquer x_{∈ R,}

cosh x = 1 2 ∞ X n=0 xn n! + ∞ X n=0 (−1)nxn n! ! = ∞ X n=0 1 + (−1)n 2 xn n! = ∞ X n=0 x2n (2n)! 2. Para calcular a s´erie de Taylor de uma fun¸c˜ao como f (x) = e−x2

, deve simplesmente proceder-se por substitui¸c˜ao na s´erie conhecida da exponencial:

e−x2 = ∞ X n=0 −x2n n! = ∞ X n=0 (−1)n n! x 2n

3. O c´alculo da s´erie de Taylor de f (x) = sen x

x ´e tamb´em uma simples

mani-pula¸c˜ao alg´ebrica: sen x x = 1 x ∞ X n=0 (−1)n (2n + 1)!x 2n+1₌X∞ n=0 (−1)n (2n + 1)!x 2n