Propriedades. 1) Combinação linear de linhas duma matriz soma de uma linha com outra linha multiplicada por um factor multiplicativo

Propriedades

11 12 13 14 11 12 13 14 31 32 33 34 31 32 33 34 41 4 21 22 23 24 21 22 23 24 21 22 23 2 43 44 41 42 24 43 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a m m m m a m       =                   _{+ + + +}           

( )

1 _{1 1} AB − =B A− −

Exemplo: Adicionar à linha 3, a linha 2 multiplicada por um factor multiplicativo m

2) Inversa do produto

1) Combinação linear de linhas duma matriz – soma de uma linha com outra linha multiplicada por um factor multiplicativo

Método de Gauss

(1) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 A A= =   ₋        (1) (1) (2) M A = A 21 31 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 m m ⇔    =   =    ₋    ₋   ₋   _  _{ } _  _{ } _ −₋ _{      − − }   − − (2) (2) (3) M A = A 32 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 m     ⇔    = _{ }  = _{ } −   ₋  _{ } ₋  _{ }  _ _{  }_ _{  }  _{ − −    − −   − }  −  _ − _{  } ou seja (1) (1) (1) (2) (2) (1) (3) (2) (2) (3) _M A A M A A M M A A M A A  =  = _  ₌  = _  (3) M A A  ₌

Método de Gauss

M A U=

( )

32 1 (2) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 m M − _{  =}     _{  }  _{  }  _{  }  _{  }

A(3) _{é triangular superior, i.e.,} (3)

0 0 0 1 1 1 2 1 3 2 A =U =  _ −     −     Então  A M U= −1

(

)

1 1 (2) (1) M− = M M − =

( ) ( )

M(1) −1 M(2) −1

( )

21 ( ) 1 1 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 m m M − = _{  = }       _ _   _{ }  

( ) ( )

1 1 1 (1) (2) M− = M − M − 21 21 31 32 31 32 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 m m m m m m   =    =   = _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      _{ }

Método de Gauss

Então A M U= −1 ⇔ A L U= 21 31 32 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 2 m m L m M− = =   = _ _   _{ }   _{ }   _{ }   _{ }

Ou seja, através do método de Gauss podemos obter uma factorização A=LU.

Depois de se obter uma factorização A=LU (que requer um número de operações da ordem de n3_{) o sistema de equações é resolvido mediante uma substituição descendente seguida}

duma substituição ascendente (que requerem um número de operações da ordem de n2₎

M–1 _{é triangular inferior i.e.,}

↑ ↑     ⇔   = _{   } −  ₋  _{   }   _{   }   _{   − }   _{   }

Matriz dos factores Matriz do final da multiplicativos factorização de Gauss

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 2 0

Factorização A=LU – Resolução do sistema

i) L y = b – substituição descendente

( )

( )

_ y Ax b= ⇔ LU x b= ⇔ L Ux =b 1 2 3 1 1 1 4 1 1 2 4 2 1 1 5 x Ax b x x             = ⇔ _ − _   =            1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 0 0 0 A LU      _{    } −  _{    } = ⇔ _ − _{ }=      ₋  _{     } L y b U x y =    =  1 2 3 0 0 0 1 4 1 1 4 1 5 2 1 2 y L y b y y  _{    }  _{    }   = ⇔    =  _{    }         1 1 2 2 1 1 2 3 3 1 2 4 4 4 0 1 1 2 5 5 2 3 2 2 y y y y y y y y y y y = + =  _{= − =} + + =  _{= − − = −}

{

4 0 3

}

T y = −

Factorização A=LU – Resolução do sistema

ii) U x = y – substituição ascendente

1 2 3 1 1 1 4 2 0 0 1 0 2 0 3 3 x U x y x x  _{    }  ₋ _{   }   = ⇔    =  _{    } − − _{   }     3 3 3 2 3 2 1 2 3 1 2 3 3 3 2 2 2 0 1 2 4 4 1 x x x x x x x x x x x x − = −  = − − + =  _{= =} − + + =  _{= − − =} 1 Solução final, 1 2 x     =      

i) Factorização A = L D U, com L e U de diagonal unitária

iii) Por definição, uma matriz [A] diz-se definida positiva se ∀

{ } { } { }

x ≠ 0 , x T

[ ]

A x

{ }

>0 iv) Na factorização A = L D U, se a matriz A for simétrica definida positiva, prova-se que

as entradas da diagonal de D são positivas, ou seja d_ii > 0

v) Neste caso, duma matriz simétrica definida positiva,

(

1/2 1/2

) (

1/2

)(

1/2

) ( )

* * T

T T T

A L D L= =L D D L = L D D L =L L

onde L* _{é uma matriz de diagonal NÃO unitária}

Nota: Para o caso duma matriz diagonal (mas apenas para este caso)

11 22 nn d d D d     = _ _    11 1/2 ₂₂ nn d d D d     =         

Factorização de Choleski

– matrizes simétricas definidas positivas

vi) As entradas da matriz L* _{podem ser obtidas através das condições}

( )

2 1/2 1 1 1 1 , j j j jj j ij ij im jm jj m j m m l a l l l l a l i j − = − =   = −  >   = −  



 





( )

11 11 11 21 31 41 21 22 21 22 22 32 42 * * 31 32 33 31 32 33 33 43 14 42 43 44 41 42 43 44 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T a l l l l l a a l l l l l A L L a a a l l l l l a a a a l l l l l                = ⇔ _{  }= _{ }            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + = = + = + + = = + = + + = + + + 2 11 11 2 2 21 21 11 22 21 22 2 2 2 31 31 11 32 31 21 32 22 33 31 32 33 2 2 2 2 41 41 11 42 41 21 42 22 43 41 31 42 32 43 33 44 41 42 43 44 a l a l l a l l a l l a l l l l a l l l a l l a l l l l a l l l l l l a l l l l ou seja ( ) ( ) [ ]

(

( ) ( )

)

[ ] ( )

(

( ) ( ) ( )

)

1/2 11 11 1/2 2 21 21 11 22 22 21 1/2 2 2 31 31 11 32 32 31 21 22 33 33 31 32 1/2 2 2 2 41 41 11 42 42 41 21 22 43 43 41 31 42 32 33 44 44 41 42 43 l a l a l l a l l a l l a l l l l a l l l a l l a l l l l a l l l l l l a l l l =   = =_ − _   = = − =_ − + _     = = − =_ − + _ =_ − + + _  

Método de Gauss – escolha de Pivot

−        _{−    }      _{   =}  _{    }  _{    }       1 2 3 4 4 1 3 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 4 4 0 1 0 1 0 x x x x Resolva pelo método de Gauss o sistema de equações

  ⏐ = ⏐ =  ₋        =  = −  (1) (1) (2) (2) 32 42 4 0 1 1 0 2 2 4 4 1 0 2 0 1 0 1 3 0 2 0 0 0 1 0 A A m b m b ? ? i) Condensação Troca de linhas

(ou seja de equações)

para que o pivot não seja nulo

  ⏐ =      ₋   −    (2) (2) 2 2 4 4 0 1 4 1 3 0 2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 A b =   ⏐ =     −  ₋      (2) (2) 42 2 2 4 4 0 1 1 0 1 0 1 0 4 1 3 0 2 1 0 0 0 2 A m b ⏐ =       ₋    − − − −   (3) (3) 2 2 4 4 0 1 4 1 3 0 2 0 0 0 1 0 0 1 1 2 A b

Método de Gauss – escolha de Pivot

−   ⏐ =      ₋    − − −   = − 43 (3) (3) _{4 1 3 0 2} 0 2 2 4 4 1 0 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 A m b ⏐ = −       ₋    − −   (4) (4) _{4 1 3 0 2} 0 2 2 4 4 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 A b − ⋅ = − 2 x4 2 x4 =1

ii) Substituição ascendente

−            _{   }  _{   =}  _{−    }  _{−     −}       1 2 3 4 0 0 0 0 0 4 1 3 0 2 2 2 4 4 1 0 1 0 2 2 x x x x − =  _{= =} 3 4 0 3 4 1 x x x x − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =  = 3 4 = − 2 3 4 2 4 (2 4 ) 2 2 4 4 1 2 x x x x x x − − ⋅ ⋅ + − ⋅ =  ₌ 2 3 ₌ 1 2 3 1 2 ( 3 ) 3 4 3 2 4 2 x x x x x x

Em aritmética em ponto flutuante, devido aos arredondamentos, em geral a escolha de pivot é vantajosa mesmo quando o pivot não é nulo

Método de Gauss – importância da escolha de Pivot

b) Resolva agora efectuando escolha de pivot (na mesma com uma mantissa com 4 dígitos) a) Resolva o sistema pelo método de Gauss utilizando uma mantissa com 4 dígitos, ou seja, simulando os cálculos em FP(10,4,2,A)

      =      ₋        1 2 0.0003 1.246 1.249 0.4370 2.402 1.968 x x   ⏐ =  ₋    2 ) ( 1 (1 1) _{0.0003 1.246 1.249} 0.4370 2.402 1.968 A m b

Considere o sistema de equações

  ⏐ =    (2) (2)  (2) (2) 22 2 0.0003 1.246 1.249 0 a b A b = − × = − − × (2) (1) (1) 22 22 21 12 2.402 1457 1.246 a a m a = −2.402 1815. 422− = −1817. 402 = − × = − × (2) (1) (1) 2 2 21 1 1.968 1457 1.249 b b m b =1.968 1819.793− =1.968 1820− = −1818. 032 = −2.402 1815− Nota: solução exacta, x₁=10, x₂=1 i) Condensação a) = = → = 21 21 0.4370 1456.6(6) 1457 0.0003 m m

  ⏐ =  _{− −}    (2) (2) _{0.0003 1.246 1.249} 0 1817 1818 A b − = = → = − 2 2 1817 1.00065 1.001 1818 x x

ii) Substituição ascendente

      =      ₋  ₋       1 2 0.0003 1.246 1.249 0 1817 1818 x x − ⋅ ⋅ + ⋅ =  ₌ 2 1 2 1 1.249 1.246 0.0003 1.246 1.249 0.0003 x x x x = 1.249 1.246 1.001− × 0.0003 − = 1 1.249 1.247 246 x 0.0003 = 0.02 0.0003 = 6.666(6) A solução obtida é x₁=6.667, x₂=1.001, enquanto a solução exacta é x₁=10, x₂=1.

Comparando com a solução exacta verifica-se que o valor obtido para x₁ possui 33% de erro.

= 6.667

Método de Gauss – importância da escolha de Pivot

Método de Gauss – importância da escolha de Pivot

−   ⏐ =     2 ) ) 1 (1 (1 _{0.4370 2.402 1.968} 0.0003 1.246 1.249 A m b ⏐ = −     2(2) (2)  (2) (2) 2 2 0.4370 2.402 1.968 0 a b A b − − = = × 4 → = × 4 21 21 0.0003 6.8649886 10 6.865 10 0.4370 m m − = − × = − × ×− (2) (1) (1) 4 22 22 21 12 1.246 6.865 10 2.402 a a m a =1.246 0.001648973+ = 1.248 − = − × = − × × (2) (1) (1) 4 2 2 21 1 1.249 6.865 10 1.968 b b m b =1.249 0.001351 032− =1.246 0.001649+ b) Uma forma de minimizar os problemas numéricos é efectuar escolha de pivot

  ⏐ =  ₋    (1) (1) _{0.0003 1.246 1.249} 0.4370 2.402 1.968 A b i) Condensação −   ⏐ =     (1) (1) _{0.4370 2.402 1.968} 0.0003 1.246 1.249 A b Troca de linhas

(ou seja de equações)

= 1.247649

=1.249 0.001351− = 1.247649 = 1.248

para que o pivot tenha maior valor absoluto

−   ⏐ =     (2) (2) _{0.4370 2.402 1.968} 0 1.248 1.248 A b = = → = 2 2 1.248 1 1.000 1.248 x x

ii) Substituição ascendente

−       =             1 2 0.4370 2.402 1.968 0 1.248 1.248 x x + ⋅ ⋅ − ⋅ =  ₌ 2 1 2 1 1.968 2.402 0.4370 2.402 1.968 0.4370 x x x x =1.968 2.402 1.000+ × 0.4370 + = 1 1.968 2.402 0.4370 x = 4.370 0.4370 = 10

A solução obtida é x₁=10, x₂=1, igual à solução exacta

Tipos de Pivot

− − − − − − − =                                      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k p q n k k k k k k k k k k p k q k n k k k k k k k p k q k n k k k k p k p p p q p n q k a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a                                               ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 0 k k k k q p q q q n k k k k n k n p n q n n a a a a a a a

Tipos de pivot: - pivot parcial - pivot total - pivot diagonal

- pivot parcial com patamar

submatriz activa

Pivot parcial

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k p q n k k k k k k k k k k p k q k n k k k k k k k p k q k n k k k k p k p p p q p n q k a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − =                                      ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 0 k k k k q p q q q n k k k k n k n p n q n n a a a a a a a                                              

pivot parcial– os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )

Escolher: max _ikk _pkk

i k≥ a a

→ =

Trocar linha com linha p k

→

linha p linha k

Algoritmo pivot parcial

# inicialização # linha pi

para # para to

vot

# escolha do elemento pivot

# para todos as entradas aba

1 até

ixo de

das as colunas a conde

1 para 1 até s nsar kk kk k n p k pivot a k k n a i = = − = = = + # 1. escolher pivot # linha pivot # troca de linhas

# se , então trocar linha com a

e então

se então para até

linha

# para todas as entradas não nulas das linhas a trocar

ik ik a pivot p i pivot a p k p k p k k j k n  _>  =     ₌   = ≠ = ≠

# para todas as linhas abaixo da linha # factor multiplicativo

# pa

para 1 até /

para 1 até ra todos as entradas não nulas dessa

kj kj pj pj ik ik kk aux a a a a aux i k n m a a j k n k   _{ =}  _ =  _  _{ =}   = + = = + # 2. condensação linha ij ij ik kj a a m a                              _ = −     

Pivot total

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k p q n k k k k k k k k k k p k q k n k k k k k k k p k q k n k k k k p k p p p q p n q k a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − =                                      ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 0 k k k k q p q q q n k k k k n k n p n q n n a a a a a a a                                              

pivot total – os candidatos a pivot são todos os elementos da submatriz activa

( ) ( )

,

Escolher: max _ikk _pqk

i j k≥ a a

→ =

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna p k q k

→

linha p linha k

coluna q coluna k

Pivot diagonal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k p q n k k k k k k k k k k p k q k n k k k k k k k p k q k n k k k k p k p p p q p n q k a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − =                                      ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 0 k k k k q p q q q n k k k k n k n p n q n n a a a a a a a                                              

pivot diagonal – os candidatos a pivot são os elementos da diagonal da submatriz activa

( ) ( )

Escolher: max _iik _qqk

i k≥ a a

→ =

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna q k q k

→

linha q linha k

coluna q coluna k

Com pivot diagonal, a simetria duma matriz simétrica é mantida

Pivot parcial com patamar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 1, 1, 1, ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k p q n k k k k k k k k k k p k q k n k k k k k k k p k q k n k k k k p k p p p q p n q k a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − − =                                      ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 0 k k k k q p q q q n k k k k n k n p n q n n a a a a a a a                                              

pivot parcial– os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )

Escolher: max _ikk _pkk

i k≥ a a

→ =

( ) ( )

Trocar linha com linha se: p k τ a_pkk a_kkk , 0 τ 1

→ > ≤ ≤ linha p linha k coluna k Com patamar, a troca só é efectuada se “valer a pena”, i.e., se a_pkfor francamente superior a a_kk τé o valor do patamar

Propriedades

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I       =_{ }    

(1) A troca de 2 linhas duma matriz A pode ser traduzida pela pré-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

(2) A matriz de permutação elementar P(e) _{pode ser obtida a partir da matriz identidade à}

qual é efectuada as correspondentes trocas de linhas

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das linhas 1 e 3

( ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 e P       =_{ }     Linhas 1 2 3 4 3 2 1 4

Ex: troca das linhas 1 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 31 32 21 22 23 24 21 22 23 24 ( ) 31 32 33 34 41 42 43 44 41 42 43 44 11 12 1 3 34 3 1 3 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 P e a a a a a a a a a a a a A P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                   = =_{   }= _           

Propriedades

(4) As matrizes de permutação elementar P(e) _{possuem as seguintes propriedades:}

( ) ( )

) e e

i P ⋅P =I ii)

( )

P( )e T =P( )e

(3) A troca de 2 colunas duma matriz A pode ser traduzida pela pós-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

Ex: troca das colunas 2 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 11 14 21 22 23 24 21 24 ( ) 31 3 13 23 2 33 34 31 34 41 42 43 12 22 3 44 41 44 33 43 2 42 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 P e a a a a a a a a a a a a a a A A P a a a a a a a a a a a a a a a a a a                = =_{  } =_{ }            1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I       =_{ }    

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das colunas 2 e 3

( ) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 e P       =_{ }     Colunas 1 2 3 4 1 3 2 4

Propriedades

      ₋         =_{   }= _ −      − − −    −   21 31 21 ( ) (1) 31 41 41 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 ) 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 e m m M m m m i P m

(5) Troca de 2 linhas duma matriz de factores multiplicativos

21 (1) 31 41 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 m M m m   ₋    =_{ } −   −   Ex: Seja

e considere-se a troca das linhas 2 e 3

Linhas 1 2 3 4 1 3 2 4       =_{ }     ( ) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 e P

Propriedades

−       =_{ } ₋    − ( ) (1) ( ) 41 3 21 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e e m P m m M P ou seja

pelo que P(e)_M(1)_P(e) _{corresponde a trocar os factores multiplicativos das linhas 2 e 3}

     ₋       =_{   } −     −     21 ( ) (1) ( ) 31 41 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 e e m ii P M P m m 41 3 21 21 1 3 41 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 m m m m m m  −               =_− _{  }= − _      − −      −

Condensação de Gauss com pivot parcial

(1) (1 ) (1) (1) (2) (1) (1 ) (1) (1) (1) P P A A A P A A M A M P A = = = = (1) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 P     =      

Ex: Seja A uma matriz (4x4) e considere-se o processo de condensação de Gauss com troca das linhas 1 e 3 na primeira fase da condensação, troca das linhas 2 e 3 na segunda fase e troca das linhas 3 e 4 na terceira fase da condensação

Fase 1 – troca das linhas 1 e 3 seguida de condensação

Fase 2 – troca das linhas 2 e 3 seguida de condensação

(2) (1) (1) (1) (2 ) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (3) (2) (2 ) (2) (2) (1) (1) (1) P P A M P A A P A P M P A A M A M P M P A = = = = = (1) ₂₁ 31 41 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 m M _m m   −   = ₋  ₋    (2) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P     =       (2) 32 42 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M _m m     =  ₋   ₋    11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a A _{a a a a} a a a a     = _ _  

Condensação de Gauss com pivot parcial

Atendendo a que P(2)_P(2) _{= I, podemos reescrever A}(3) _{na forma}

(1) (2) (21) Corresponde a trocar os factores multiplicativos de devido a , ou seja, a trocar os coeficientes (3) (2) (2) (1) (1) (1) ( das linhas 2 e 3 3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1) M P P A M P M P A A M P M P P P A = = _{ } Linhas 1 2 3 4 3 2 1 4 3 1 2 4 (21) (2) (1) 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P P P     = _{=  }    

Fase 3 – troca das linhas 3 e 4 seguida de condensação

(3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1) (3 ) (3) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1) (4) (3) (3 ) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1) P P A M P M P P P A A P A P M P M P P P A A M A M P M P M P P P A = = = = = (3) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 P     =       (3) 43 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 M m     =    ₋   

Condensação de Gauss com pivot parcial

Atendendo a que P(3)_P(3) _{= I, podemos reescrever A}(4) _{na forma}

Linhas 1 2 3 4 3 2 1 4 3 1 2 4 (321) (3) (2) (1) 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 P P P P     = _{=  }    

Ou seja, a partir do método de Gauss com pivot parcial, podemos obter uma factorização

PA = L U, onde P é a matriz que considera todas as permutações efectuadas e L é a matriz dos factores multiplicativos tendo em consideração as trocas de linhas efectuadas à posteriori (2) (3) Corresponde a trocar os factores multiplicativos de devido a , ou sej (4) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) ( a, a trocar os coeficientes das linhas 3 e 1) (1) (4) (3) (3) (2) (3) ) (2) (1) (2 4 (3 M P A M P M P M P P P A A M P M P P P M P = = _{} (1) (3) (321) Corresponde a trocar os factores multiplicativos de devido a , ou seja, a trocar os coeficientes das linhas ) (3) (3 (2) (1) ( e 4 1 ) ) 3 P M P P P P P_ A      3 1 4 2

(

)(

)(

)

(321) (4) (3) (3) (2) (3) (3) (2) (1) (2) (3) (3) (2) (1) (1) P P M A M P M P P P M P P P P P A = =   (4) A M P A  ₌ 1 (4) M A− P A  ₌  L U P A=

Normas de matrizes

Normas de vectores = ₁ + ₂ + + 1 n x x x x

(

)

= 2 + 2 + + 2 12 1 2 2 n x x x x norma Euclideana ∞ = ₌max_1,, i i n x x norma 1

norma do máximo (ou do infinito)

Normas de matrizes (mxn) ≤ ≤ = =



1 ₁ 1 max m i j j n i A a ∞ _{≤ ≤} = =



1 1 max n i j i m j A a

( )

= =     =_{ } 



 1 2 2 1 1 m n i j F i j A a _{norma de Frobenius}

Número de condição (de matrizes)

Admitindo que existem perturbações nos valores da matriz A e do vector b, então resultam perturbações na solução do sistema x

[ ]

A ⋅

{ } { }

x = b → A x b⋅ = A x b ⋅ =  ⇔

(

A+δA

) (

⋅ +x δx

)

= +b δb

(i) Admitir que apenas existem perturbações no 2º membro (e consequentemente na solução)

(

δ

)

δ ⋅ + = + A x x b b  A x A⋅ + ⋅δx b= +δb δ δ ⋅ =    ⋅ =  A x b A x b ⋅ = A x b  b = ⋅ ≤A x A ⋅ x  b ≤ x A (*) δ δ δ − δ ⋅ =  ₌ 1 _⋅ A x b x A b  δx = A−1⋅δb ≤ A−1 ⋅ δb  δx ≤ A−1 ⋅ δb x x

Número de condição (de matrizes)

Tendo em atenção (*),

(ii) Perturbações na matriz A(e consequentemente na solução)

δ ₋ δ ₋ δ ≤ 1 ⋅ ≤ 1 ⋅ x b b A A b x x A ≤ b x A δ ₋ δ  _{≤ ⋅ ⋅}  con 1 d A x b A A x b δ δ  x _≤cond A_⋅ b x b − = ⋅ 1 cond A A A

O número de condição duma matriz traduz, em termos relativos, a relação entre as perturbações na solução x e as perturbações no segundo membro b.

Analogamente se demonstra que a relação entre as perturbações na solução x e as perturbações da matriz A também dependem do número de condição da matriz

Um número de condição elevado indica que as perturbações do segundo membro são ampliadas sobre a solução do sistema

Efeito dos erros de arredondamento

(i) Pivot parcial – em certos casos patológicos γ pode ser muito elevado podendo atingir o valor máximo de 2n – 1_{. Contudo, estes casos patológicos são raros e na prática a factorização}

com pivot parcial é em geral numericamente estável

Na resolução dum sistema (de dimensão n) em ponto flutuante, devido aos arredondamentos, a factorização obtida não é exactamente igual à matriz original

Pode demonstrar-se que os elementos da matriz erro são majorados por:

matriz dos erros L U A E ↑ ⋅ = +   1 ij e ≤ ⋅ ⋅ ⋅n u γ α 1

- constante da ordem da unidade de arredondamento - maior elemento (em módulo) de

- factor de crescimento dos coef. de durante factorização

ij u A A α γ

(ii) Pivot total – o majorante de γ cresce lentamente (com o aumento da dimensão do sistema) não se conhecendo casos para os quais seja superior a n. Logo a utilização de pivot total é numericamente estável.

Efeito dos erros de arredondamento

Introduzindo o conceito de resíduo,

Atendendo a que

r b A x= − ⋅ 

onde o número de condição surge novamente como factor de ampliação

(

)

r b A x= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ A x A x A x x A δx 1

r = ⋅A δx  δx = A− ⋅r  δx = A−1⋅r  δx ≤ A−1 ⋅ r

(de fácil cálculo após se obter )x

1 x r A x x δ −  _{≤ ⋅} b A x b A x b x A ⋅ =  _{⋅ ≥}  _≥ Então x A 1 r x A 1 r b x x x A δ ₋ δ ₋ ≤ ⋅  _{≤ ⋅ } δ _≤ − _{⋅ ⋅}  con 1 d A x r A A x b δ ≤cond ⋅ x r A x b Ou seja

Resumindo, o número de condição da matriz desempenha um papel fundamental nos erros existente na solução do sistema de equações

Matriz em banda

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X A X X X X X X =                                      

largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal

largura de banda inferior: número de diagonais não nulas, abaixo da diagonal principal

largura de banda = largura de banda superior + largura de banda inferior + 1 ou seja, largura de banda é o numero total de diagonais não nulas