Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin

Roteiro

Capítulo 5. Jogos Dinâmicos com Informação Incompleta Definição de Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Aplicação: Jogos de sinalização: O jogo beer-quiche Aplicação: Barreira à Entrada

Exercício: Informação privilegiada em jogos Bayesianos (ENB)

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Definição-Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Sejam π um perfil de estratégias e µ um sistema de

crenças, definidos num jogo dinâmico com informação

incompleta. O par (π, µ) é um equilíbrio bayesiano perfeito,

denotado por EBP, se:

(i) Dado o sistema de crenças µ, o perfil de estratégias π é

seqüencialmente racional

(ii) Dado o perfil de estratégias π, o sistema de crenças é

consistente do ponto de vista de Bayes

Sinalização: O Jogo Beer-Quiche

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Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Observação:

1(V) 1(P) {σ} {1-σ} 2 2 {λ} {1-λ} {µ} {1-µ} c c q q p p _p p n n n n 0 - 2 1 0 1 2 3 0 2 0 0 2 2 - 2 3 0 ?

X

Estratégia dominante!

Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Equilíbrio Separador?

1(V) 1(P) {σ} {1-σ} 2 2 {λ} {1-λ} {µ} {1-µ} c c q q p p _p p n n n n 0 - 2 1 0 1 2 3 0 2 0 0 2 2 - 2 3 0 λ=1 µ=0

X

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Sinalização: O Jogo Beer-Quiche: Equilíbrio Agregador?

1(V) 1(P) {σ} {1-σ} 2 2 {λ} {1-λ} {µ} {1-µ} c c q q p p _p p n n n n 0 - 2 1 0 1 2 3 0 2 0 0 2 2 - 2 3 0 λ=σ >1/2 µ <1/2

Sinalização: O Jogo Beer-Quiche:

Sinalização custosa mas eficaz!

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Definição-Equilíbrio Bayesiano Perfeito

Sejam π um perfil de estratégias e µ um sistema de

crenças, definidos num jogo dinâmico com informação

incompleta. O par (π, µ) é um equilíbrio bayesiano perfeito,

denotado por EBP, se:

(i) Dado o sistema de crenças µ, o perfil de estratégias π é

seqüencialmente racional

(ii) Dado o perfil de estratégias π, o sistema de crenças é

consistente do ponto de vista de Bayes

Barreira à Entrada com informação

incompleta:

Demanda inversa: p=60-X Duas firmas:

Monopolista: já no mercado

Entrante: deve decidir se entra ou não Custo de produção:

Entrante: c_E(x_E)=24x_E Monopolista: dois tipos

Menos produtivo: tipo 1: c₂₁(x_M)=18x_M Mais produtivo: tipo 2: c₂₂(x_M)=12x_M Portanto:

Ambos os tipos de monopolista têm vantagem tecnológica com relação ao entrante!

Custo de entrada: F=80 Informação:

Monopolista: conhece seu tipo e o do entrante Entrante: conhece seu tipo mas sabe apenas que:

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} {µ} x1 x1 M(18) _ne e ne e x₂ M(12)x₂ (42-x₁)x₁+ (42-x₂)x₂ 0 (48-x₁)x₁+ (48-x₂)x₂ 0 E x_E xʹ′E xE xʹ′E M x_M x_M (42-x₁)x₁+ (42-(x_M+x_E))x_M (36-(xM+xE))xE-F x_M x_M (48-x₁)x₁+ (48-(x_M+xʹ′E))xM (36-(xM+xʹ′E))xʹ′E-F {1-µ} M Hipóteses: ρ=1/4 F=80 cE=24

Barreira à Entrada

com informação incompleta

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} {µ} x₁ x₁ M(18) _ne e ne e x₂ M(12)x₂ (42-x₁)x₁+ (42-x₂)x₂ 0 (48-x₁)x₁+ (48-x₂)x₂ 0 E x_E xʹ′E xE xʹ′E M xM xM (42-x1)x1+ (42-(xM+xE))xM (36-(xM+xE))xE-F xM xM (48-x1)x1+ (48-(xM+xʹ′E))xM (36-(xM+xʹ′E))xʹ′E-F {1-µ} M Hipóteses: ρ=1/4 F=80

Cournot com info assimétrica:

M conhece seu tipo, e conhece

o tipo de E (c=24)

Mas E sabe apenas que M é: Do tipo c₂₁=18 com probabilidade µ Do tipo c₂₂=12 com probabilidade 1-µ

Barreira à Entrada

com informação incompleta

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Duopólio de Cournot: (x

₁

, (x

₂₁

, x

₂₂

))

Para o jogador 1: T

₁

={24} e:

U₁(x1, 24)= µ

(

36−

(

x1+x21

)

)

x1+

(

1−µ

)

(

36−

(

x1+x22

)

)

x1−F

(

)

(

36−µx21−1−µ x22

)

x1−x12−F

(

1

)

36

2

x

₁

+

µ

x

₂₁

+

−

µ

x

₂₂

=

(1)

Para o jogador 2 têm-se T

₂

={18,12}.

Se 2 for do tipo c

₂₁

=18 então: U

₂

(x

₂₁

, 18)=

(

42−

(

x +1 x21

)

)

x21

42

2

21

1

+ x

=

x

(2)

Se 2 for do tipo c

₂₂

=12 então: U

₂

(x

₂₂

, 12)=

₍

48−

₍

x +₁ x₂₂

₎

₎

x₂₂

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Barreira à Entrada

com informação incompleta

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x1 x1 M(18) _ne e ne e x₂ M(12)x₂ (42-x1)x1+ (42-x2)x2 0 (48-x1)x1+ (48-x2)x2 0 (42-x₁)x₁+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Hipóteses: ρ=1/4 F=80 (48-x₁)x₁+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Observe que: λ{[10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F} + (1-λ) [7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F=[10-2(1-λ)]2_-F M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x₁ x₁ ne e ne e (42-x₁)x₁+ 441 0 (42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Hipóteses: ρ=1/4 F=80 (48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Barreira à Entrada

com informação incompleta

x2 (48-x1)x1+ (48-x2)x2

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x1 x1 ne e ne e (42-x1)x1+ 441 0 (48-x1)x1+ 576 0 (42-x₁)x₁+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Hipóteses: ρ=1/4 F=80 (48-x₁)x₁+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Barreira à Entrada

com informação incompleta

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x₁ x₁ ne e ne e (42-x₁)x₁+ 441 0 (48-x₁)x₁+ 576 0 (42-x1)x1+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Hipóteses: ρ=1/4 F=80 (48-x1)x1+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Barreira à Entrada

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x1 x1 ne e ne e (48-x1)x1+ 576 0 (42-x₁)x₁+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F Hipóteses: ρ=1/4 F=80 (48-x₁)x₁+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-F

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio separador?

441+441 0 M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ} {1-λ} x1=21 x1=21 ne e ne e 441+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4 576+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 441+441 0 567+576 0

Barreira à Entrada

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin 441+ [16+(1-µ)]2 [10+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio separador?

CB:λ=1 CB:µ=λ=1 M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} x₁=21 ne e ne e 567+ [19+(1-µ)]2 [7+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80 441+441 0 567+576 0 =1} x₁=21 Hipóteses: ρ=1/4

Barreira à Entrada

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} ne e ne e 432+ [16+(1- µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4 576+ [19+(1-µ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 432+441 0 576+576 0 =0}

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio separador?

CB:λ=0 CB:µ=λ=0 x₁=24 x₁=24 Hipóteses: ρ=1/4

Barreira à Entrada

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Barreira à Entrada com informação incompleta: Equilíbrio separador? M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} ne e ne e 432+ [16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 976 -16 432+441 0 576+576 0 =0} x1=24 x1=24 441+441 0 M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} ne e ne e 441+256 20 567+ [19+(1- µ)] 2 [7+(1- µ)][10-2(1- µ)]-80 567+567 0 =1} x₁=21 x₁=21 M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} x1=24 x1=24 ne e ne e 432+ [16+(1-λ)]2 [10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4 576+ [19+(1-λ)]2 [7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80 432+441 0 576+576 0 =ρ}

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio agregador?

CB:λ=ρ

Aula 15 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} x1=24 x1=24 ne e ne e 432+ [16+(1-λ)]2 [10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4 576+ [19+(1-λ)]2 [7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-80 432+441 0 576+576 0 =ρ}

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio agregador?

CB:λ=ρ

CB:µ=λ=ρ

Observe que: λ{[10+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F} + (1-λ){[7+(1-λ)][10-2(1-λ)]-F}=[10-2(1-λ)]2_-F

Portanto, se E entrar sua utilidade esperada será: -71-1/8=-71,125<0

M(18) M(12) {ρ } {1-ρ} E {λ {1-λ} x1=24 x1=24 ne e ne e 432+[16+(1-µ)]2 [10+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 Hipóteses: ρ=1/4 576+[19+(1-λ)]2 [7+(1-µ)][10-2(1-µ)]-80 432+441 0 576+576 0 =ρ}

Barreira à Entrada

com informação incompleta:

Equilíbrio agregador?

Conclusão: Vale a pena para o monopolista menos eficiente se fazer passar por mais eficiente!

CB:λ=ρ

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EXP - JOGOS ESTÁTICOS COM INFO. INCOMPLETA

Considere o jogo bayesiano em que dois jogadores podem estar jogando cada um dos dois jogos a seguir com igual probabilidade ½.

(i) Suponha inicialmente que nenhum dos dois jogadores possui informação precisa sobre que jogo está jogando, a não ser a probabilidade ex-ante ½. Encontre o equilíbrio de Nash (em estratégias puras) do jogo. Qual é o payoff (esperado) para o jogador 2 nesse equilíbrio?

2 e c d a 2, 0 2, 3 4, 4 1 b 1, 2 8, 6 2, 8 2 e c d a 4, 4 2, 3 1, 0 1 b 2, 8 8, 6 2, 2

Suponha que 1 joga a. Então,

Se 2 jogar e sua utilidade esperada será 0.1/2 + 4.1/2=2 Se 2 jogar c sua utilidade esperada será 3.1/2 + 3.1/2=3 Se 2 jogar d sua utilidade esperada será 4.1/2 + 0.1/2=2 Portanto, a MR₂ é c

Suponha agora que 1 joga b. Então,

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Suponha que 1 joga a, MR₂ é c Suponha agora que 1 joga b, MR₂ é c

Destarte, 2 tem uma estratégia dominante, que é jogar c Por outro lado, quando 2 joga c, a MR₁ é b

Portanto, existe um único ENB nesse caso que é (b, c) Os payoffs (esperados) correspondentes são:

8 para o jogador 1 e 6 para o jogador 2

2 e c d a 2, 0 2, 3 4, 4 1 b 1, 2 8, 6 2, 8 2 e c d a 4, 4 2, 3 1, 0 1 b 2, 8 8, 6 2, 2

(ii) Suponha agora no estágio ínterim o jogador 2 é informado com exatidão em que jogo se encontra, enquanto o jogador 1 continua conhecendo apenas a probabilidade ex ante ½. Determine o equilíbrio de Nash (em estratégias puras) desse novo jogo. Qual é o payoff (esperado) do jogador 2 nesse equilíbrio?

Então, se estiver no jogo à esquerda o jogador 2 tem uma estratégia dominante que é jogar d, e se estiver no jogo à direita também tem uma estratégia dominante que é jogar e. Portanto em qualquer ENB 2 joga (d, e) Mas então a MR₁ à estratégia (d, e) de 2 é jogar a

Portanto, existe um único ENB nesse caso que é (a, (d, e))

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(iii) Com base nos resultados encontrados acima, classifique como verdadeira ou falsa a afirmação a seguir:

“Em qualquer jogo bayesiano é sempre vantajoso para qualquer jogador ser melhor informado.”