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(1)

Física 3 (EMB5043): Capacitores

MATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre Duarte

Universidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

(2)

Sumário

• Capacitância

• Cálculo da capacitância

• Capacitores em série e paralelo

• Energia armazenada em um campo elétrico

• Capacitor com um dielétrico

• VISÃO ATÔMICA DE UM DIELÉTRICO

• VISÃO ATÔMICA DE UM DIELÉTRICO

• Dielétricos e a lei de Gauss

• Resolução de problemas da lista 5

(3)

Material para estudos

• Capítulo 25 do Halliday volume 3 e capítulo 5 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 5 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

(4)

Capacitância

Considere duas placas separadas por uma distância pequena d, carregadas com ±Q e densidade superficial ±σ.

O campo elétrico entre as placas é:

Considerando a placa positiva como a origem, a

0

E σ

= ε

Considerando a placa positiva como a origem, a variação de potencial é dada por:

0 0 0

0 0

d d d

d qd

V E dr Edr E dr Ed

A σ

ε ε

∆ = − = − = − = = =

indicando que a quantidade de carga em cada placa é proporcional a diferença de potencial entre as placas:

0A

q V CV

d

= ε ∆ = em que C é chamado de capacitância

(5)

Capacitor

COM GEOMETRIA PLANA

coulomb/volt = farad (F) 0 A

C d

= ε

Observações gerais (independente da geometria):

A capacitância depende apenas de propriedades geométricas.

Se a densidade superficial de carga é constante, o aumento da área causa o aumento de cargas.

A capacitância é inversamente proporcional à distância dos corpos carregados.

(6)

Capacitor

COM GEOMETRIA CILÍNDRICA

0

2 ˆ

a a

b b

V E d λ d

ρ ρ ρ

πε ρ



∆ = − = − 

( )

0 0

ˆ ˆ ln

2 2

a

b

d a

V b

λ ρ λ

πε ρ ρ ρ πε

 

∆ = − ⋅ = −   

A diferença de potencial é dada por:

0 0

2πε b ρ 2πε  b

em que λ = q/L, com q representando a carga num condutor de comprimento L:

0

2 ln

q b

V πε L a

 

∆ =    ou ( )0

2 ln

q L V

b a

= πε

( )0

2 ln C L

b a

= πε

Capacitância de um capacitor cilíndrico

(7)

Capacitor

COM GEOMETRIA ESFÉRICA

2 0

4 ˆ

a a

b b

V E dr q r dr

πε r



∆ = − = − 

2 ( )

0 0

1 1

4 ˆ ˆ 4

a

b

q dr q

V r r

r a b

πε πε



∆ = − ⋅ =  − 

A diferença de potencial é dada por:

0 0

4πε b r 4πε a b

em que q é a carga da esfera:

4 0

q b a V πε ab

− 

∆ =  ou ( 0 )

4 ab

q V

b a

= πε

( 0 )

4 ab

C b a

= πε

Capacitância de um capacitor esférico

(8)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 16

tan x θ

x

Podemos calcular a capacitância como uma soma de infinitos capacitores em paralelo da largura dx:

0 0 0

tan

dA adx adx

dC d d x d x

ε ε ε

θ θ

= =

+ +

tanθθ

dx

x

1

0 0 1 0 1

1

adx adx x a x

dC dx

x d d d d

d d

ε ε θ ε θ

θ

=  +  = +

2

0 0

0

1 1

2

a a x a a

C dx

d d d d

ε θ ε θ

= =

Série binomial Para calcular a capacitância total, basta integrar a função entre 0 e a:

(9)

Associação de capacitores

EM PARALELO

A quantidade total de carga gerada no três capacitores é:

1 2 3

q = + +q q q

1 2 3

q = C V +C V +C V

1 2 3

C Veqeq = C V1 +C V2 +C V3 C V = C V +C V +C V

1 2 3

Ceq = C +C +C

Para um circuito com N capacitores em paralelo:

1 N

eq i

i

C C

=

=

(10)

Associação de capacitores

EM SÉRIE

A diferença de potencial V entre os terminais da fonte é:

1 2 3

V = + +V V V

1 2 3

1 2 3

eq

q q q

q

C = C + C + C em que :q = =q1 q2 =q3

1 2 3

1 1 1 1

Ceq = C + C + C

Para um circuito com N capacitores em série: 1 1

1 N

eq i

i

C C

=

=

(11)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 1 - Itens (a)-(d)

1 3 13

13 1 3 1 3

1 1 1 C C

C = C + C C = C C +

2 4 24

24 2 4 2 4

1 1 1 C C

C = C + C C = C C +

1 3 2 4

13 24

1 3 2 4

eq

C C C C

C C C

C C C C

= + = +

+ +

(12)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 1 - Itens (a)-(d)

( )( ) ( )( )1, 0 3, 0 2, 0 4, 0 3 8 25 1, 0 3, 0 2, 0 4, 0 4 6 12 F

Ceq = + = + = µ

+ +

Com este valor é possível calcular a quantidade total de carga armazenada no capacitor equivalente:

eq

C = Q ou Q = C V =  2512= 25 Cµ

No segundo circuito equivalente, os capacitores C13e C24 estão em paralelo. Isso significa que as tensões em ambos os capacitores são iguais, i.e., 12 V. Isso permite calcular a quantidade de carga em cada capacitor:

Ceq

= V 12 25 C

eq 12

Q = C V =   = µ

ou

13 13

3 12 9 C Q = C V =   4 = µ

24 24

8 12 16 C

Q = C V =   6 = µ Princípio da conservação da carga

(13)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 1 - Itens (a)-(d)

Considerando que o capacitor C13 é formado por dois capacitores em série, a carga Q13 é a mesma nos capacitores C1 e C3. O mesmo princípio é aplicado aos capacitores 2 e 4. Desta forma:

(a) (b) (c) (d)

* Deve ser tomado cuidado na análise da carga total, pois a metade da carga é induzida enquanto a outra metade foi gerada por meio do trabalho realizado pela

1 9 C

Q = µ Q2 =16 Cµ Q3 = 9 Cµ Q4 =16 Cµ

induzida enquanto a outra metade foi gerada por meio do trabalho realizado pela fonte de 12 V. A carga efetivamente produzida pela fonte é 25 μC.

(14)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 1 - Itens (e)-(h)

12 1 2 1, 0 2, 0 3, 0 F C = C +C = + = µ

34 3 4 3, 0 4, 0 7, 0 F C = C +C = + = µ

( )( )

12 34

12 34

3, 0 7, 0

2,1 F 3, 0 7, 0

eq

C C C

C C µ

= = =

+ +

Esta capacitância equivalente gera uma carga total de Q = C Veq =( )2,1 12 = 25, 2 Cµ

(15)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 1 - Itens (e)-(h)

12

12

25, 2

8, 4 V 3

V Q

= C = =

Considerando que os capacitores C12 e C34 estão em série, podemos concluir que cada um possui 25,2 μC de carga. Logo, é possível calcular a tensão em cada capacitor:

A tensão sobre o capacitor equivalente C é a tensão sobre os capacitores C e C . O mesmo

34

34

25, 2

3, 6 V 7

V Q

= C = =

e

A tensão sobre o capacitor equivalente C12 é a tensão sobre os capacitores C1 e C2. O mesmo princípio é aplicado ao capacitor C34. Assim, é possível calcular a carga em cada dispositivo:

(e) Similarmente,

(f) (g) (h)

( )

1 1 12 1, 0 8, 4 8, 4 C Q = C V = = µ

2 16,8 C

Q = µ Q3 =10,8 Cµ Q4 =14, 4 Cµ

(16)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 4

Os capacitores 3 e 1 estão em paralelo com o capacitores 4 e 2. Desta forma, Vab = Vcd: Quando a leitura no eletrômero é zero, as cargas e potenciais, entre os dois lados, são iguais. Logo:

3 1

2 4

C C

C = C

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

Q C V Q C V Q C V Q C V

=

=

=

=

1 2 1

2 1 2

C V Q C = V Q

3 4 3

4 3 4

C V Q C = V Q

(17)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5

Como as capacitâncias são iguais, Vah = Vci = Vhb = Vid. Desta forma, Vah = 0. Logo, o capacitor entre os ponto h e i pode ser retirado do circuito:

Ceq

(18)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA

O terminal positivo realiza trabalho apenas sobre os elétrons das placas superiores dos capacitores 1, 2 e 4. As cargas nos demais capacitores surgem por indução. Assim, a carga total é dada por Q1 + Q2 + Q4 = CV1 + CV2 + CV4 = QT. Com a carga total, podemos calcular a capacitância equivalente como Ceq = QT/V.

Logo, precisamos calcular QT em função da tensão V para obter Ceq. Analisando o circuito, obtemos:

2 4

1

2 3

4 5

2 6 5

4 6 5

2 3 6

0

0 0

0 0 0 V V

V V V V V V

V V V V

Q Q Q

Q Q Q

− =

− − =

− − =

− + − =

− + + =

− + =

circuito, obtemos:

Conservação de energia

Conservação de carga

1

2

3

4

5 6

(19)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA

1

2 3

4 5

V V

V V V V V V

=

+ = + =

Reescrevendo as equações e substituindo Q = CV na conservação de carga, obtemos:

1

2 3

4 5

V V

V V V V V V

=

+ =

4 5 + =

2 5 6

4 6 5

2 3 6

0 0 V V V

V V V V

CV CV CV CV CV CV

+ =

+ − =

+ + =

+ =

que pode ser resolvido pela aplicação parcial do método de Gauss-Jordan:

4 5

2 5 6

4 5 6

2 3 6

0 0 V V V

V V V V

V V V V V V

+ =

+ − =

− + + =

− + − =

(20)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA

4 4 2

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0

L L L

L L L

=

= +

0 1 1 0 0 1 0 L6 L6 L2

= +

6 6 4

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0

2

0 0 2 0 0 1 1 L L L

= +

(21)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA

4 3

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 2 3 1

L L

0 0 0 0 2 3 1

5 5 4

1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 2 3 1

L L L

= +

(22)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA 1 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 2 3 1 L L L

=

Valores para calcular a quantidade efetiva de carga

produzida no circuito

6 6 5

0 0 0 0 2 3 1 L L L

=

1 0 0 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 0 2 1 1

0 0 0 0 0 4 0

1

2 3

3 5 6

4 5

5 6

6

0

2

4 0

V V

V V V

V V V

V V V

V V V

V

=

+ =

− + − = + =

+ =

=

1

2

3

4

5

6

2 2 2 2 0 V V V V V V V V V V V

=

=

=

=

=

=

(23)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 5 – RESOLUÇÃO ALTERNATIVA

Com os valores das tensões V1, V2 e V4 em função de V, podemos calcular a capacitância equivalente:

1 2 4 2 2 2

T eq

CV CV Q CV CV CV CV

C C

V V V

+ +

+ +

= = = =

(24)

Energia em capacitores

Considere um capacitor com uma carga q. O trabalho necessário para que a fonte carregue o capacitor com q+dq é dado por:

1

dW Vdq q dq qdq

C C

= = =

Para calcular o trabalho total que a fonte necessita para carregar o capacitor com uma carga total Q basta integrar a função acima:

1 Q22 1 2 1

0

1 1 1

2 2 2

Q Q

W qdq CV QV

C C

= = = =

O trabalho realizado pela fonte é a energia potencial elétrica armazenada pelas cargas do capacitor. Para um capacitor plano, a equação (1) é dada por:

indicando que a energia está armazenada no campo elétrico.

( )

2

2 0 2 2

0 0

1 1 1 1

2 2 2 2

Volume

A V

U CV V Ad Ad E

d d

ε ε ε

 

= = =   =

2 0

1 2

U u E

V = = ε

(1)

ou

(25)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 2 – Itens (a) e (b)

A energia total armazenada é dada por:

2 2 2

3

2 4 4

Q Q Q

U = C + C = C (2)

Na união dos terminais, conforme descrito no enunciado, os dois capacitores estão em paralelo, o que permite determinar a capacitância equivalente como Ceq = C + 2C = 3C.

Ao conectar os terminais negativos ao terra, as cargas negativas devem ser neutralizadas; entretanto, as cargas positivas foram conservadas, pois estão em um terminal flutuante. Assim, as cargas negativas são mantidas nos terminais inferiores por indução. Logo, a carga total do circuito é 2Q.

(26)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 2 – Itens (a) e (b)

Com essas informações, podemos calcular a diferença de potencial entre as placas:

2 3

Q Q

V = C = C

(a)

Para obter a variação de energia entre os dois circuitos, basta subtrair as equações (3) e (2):

2 2 2

2 3

3 4 12

Q Q Q

U C C C

∆ = = −

A energia total armazenada no circuito é dada por:

( ) ( )

2 2 2

2 4 2

2 3 6 3

Q Q Q

U = C = C = C (3)

(b) Por que a energia reduziu?

(27)

Capacitores com dielétricos

Considere um capacitor preenchido com um meio material.

Dielétrico com permissividade ε

+ + + + + + + + + + +

- - - -

+ +

+ + + +

+

+

- - - -

+ =

+ 0

E

Er

E

A incorporação de um dielétrico entre as placas do capacitor reduz

o campo elétrico total

(28)

Capacitores com dielétricos

Se o capacitor está ligado numa bateria, a d.d.p. é constante. Assim, a equação indica que o dielétrico promove alterações no campo elétrico do dispositivo:

em que σ é a densidade superficial de carga das placas, ε é a permissividade elétrica do meio e κ ≥ 1 é a constante dielétrica do material. No vácuo, κ = 1 e para meios materiais, κ

V = E dr

0 0

V σ d σ d σd

ε κε κε

 

=  = =

Campo elétrico resultante do capacitor com dielétrico

Densidade superficial de carga das placas

meio e κ ≥ 1 é a constante dielétrica do material. No vácuo, κ = 1 e para meios materiais, κ

> 1. Como a distância de separação das placas é constante, o aumento de κ deve ser balanceado pelo aumento da densidade de carga σ para que o potencial elétrico se mantenha constante. Desta forma, o dielétrico aumenta a capacitância:

ou

e a mesma adaptação pode ser realizada para as capacitâncias previamente calculadas.

0A

q V

d

= κε 0A A

C d d

κε ε

= = Meio κ

ar (em 1 atm) 1,00054

TiO2 80-100

HfO2 25

(29)

Capacitores com dielétricos

LEI DE GAUSS

Podemos calcular o campo elétrico resultante de duas formas:

(i) considerar uma distribuição espacial de carga –q’ no vácuo nas proximidades da placa positiva, que representa a carga induzida no dielétrico. Neste caso, a lei de Gauss fica escrita como:

+ qq'

que fornece (4)E = qq' + + + + + + + + + + +

- - - - -

+

Er

0

'

r

q q E dA ε

=

Er qε0Aq'

=

em que +q representa a carga da placa. Este resultado mostra que o campo elétrico resultante foi reduzido devido a presença da carga induzida –q’.

(30)

Capacitores com dielétricos

LEI DE GAUSS

(ii) considerar uma distribuição de carga +q nas placas e a informação da carga induzida na constante dielétrica do meio material:

que fornece (5) + + + + + + + + + + +

+

r

E dA q

= ε

0

r

E q

κε A

=

que é o mesmo procedimento que usamos na análise do capacitor

- - - - -

Er

que é o mesmo procedimento que usamos na análise do capacitor plano com dielétrico. Igualando as equações (4) e (5), obtemos:

' 1

q q κ κ

− 

=  (6)

mostrando que q’ = 0 para κ = 0, i.e., não existe carga induzida no ar. Além disso, a carga induzida se aproxima da carga da placa a medida que κ aumenta. Quando κ >> 1, obtemos q’ q. Este resultado mostra pela equação (4) que o campo elétrico resultante no dielétrico seria aproximadamente nulo. Substituindo a equação (6) na (4):

(31)

Capacitores com dielétricos

LEI DE GAUSS

...obtemos a lei de Gauss na forma integral em meios dielétricos:

S 0

E dA q

= κε

(32)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 9

+ + + + + + + + +

- - - -

E

1 2

0

d d

V E dr

+

∆ = −

A capacitância pode ser calculada por:

1 0

2 1

d

d d

d

V E dr E dr

+

∆ = −

- - - - d1+d2 d1

em que E1 e E2 representam os campos dentro dos dielétricos κ1 e κ2, respectivamente:

( ) ( )

1

2 1 1

0

1 2 1 1

2 0 1 0 2 0 1 0

0

d

d d d

V σ dr σ dr σ d d d σ d

κ ε κ ε κ ε κ ε

+

∆ = − = − +

0 1 2

2 1 1 2 1 2 2 1

2 0 1 0 0 1 2 0 1 2 1 2 2 1

eq

A

d d d d q d d

V C

A d d

ε κ κ

σ σ σ κ κ

κ ε κ ε ε κ κ ε κ κ κ κ

+

∆ = + = + = = +

A área de cima da placa é igual a área do dielétrico

(33)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 10

Como a placa está em contato com dois dielétricos e a d.d.p. entre as placas é a mesma, haverá diferentes concentrações de carga elétrica, de modo que a soma representa a carga total:

+ + + + + +

em que S1 = S2 = S/2:

E

+ + + + + +

- - - - - -

1 0 1 2 0 2

1 2 1 2

S S

Q Q Q C V C V V V

d d

κ ε κ ε

= + = + = +

( ) ( )

1 0 2 0 0 0

1 2 1 2

2 2 2 eq 2

S S S S

Q V V V C

d d d d

κ ε κ ε ε ε

κ κ κ κ

= + = + = +

(34)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 11 – Item (a)

O campo elétrico dentro da esfera é determinado pela lei de Gauss para meios dielétricos:

r a κ

S 0

E dA q

= κε

q q

E dA = EdA= E dA = EA= ∴ =E

0 0

q q

E dA EdA E dA EA E

κε κε A

= = = = ∴ =

em que: logo:

4 3

3 q π ρr

=

3 2

0 0 0 0

4 ˆ

3 4 3 3

q r r r

E E r

A r

π ρ ρ ρ

κε κε π κε κε

= = = ∴ = (7)

(35)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 11 – Item (a)

O campo elétrico fora da esfera é determinado pela lei de Gauss definida no vácuo:

r

a κ

S 0

E dA q

= ε

q q

E dA = EdA= E dA= EA= ∴ =E

0 0

q q

E dA EdA E dA EA E

ε ε A

= = = = ∴ =

em que: logo:

4 3

3 q π ρa

=

3 3 3

2 2 2

0 0 0 0

4 ˆ

3 4 3 3

q a a a

E E r

A r r r

π ρ ρ ρ

ε ε π ε ε

= = = ∴ = (8)

(36)

Resolução de problemas

LISTA 5, PROBLEMA 11 – Item (a)

0 3 2 0

ˆ para 0 3

ˆ para 3

r r r a

E a

r r a

r ρ κε ρ

ε

 ≤ <



=  >

Condições utilizadas para construção do gráfico:

2 0

1 V e 25 m

3ρ m a

ε = =

Referências

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