 cmr .36)3(3434  4 rA

LISTA DE ESFERAS - GABARITO 01) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de raio?

Solução. O volume da esfera é dado pela fórmula: ³ 3 4 r

V   . Logo o

volume será: (27000) 36000 . 3

) 4 30 3 (

4 3    cm3

02) Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica.

Solução. Repare que o raio da esfera inscrita é a metade da aresta do cubo. Logo r = 10cm. A área da esfera é calculada com a fórmula: A4r². Então a área dessa esfera é:

. 1256 )

14 , 3 ( 400 400

) 100 ( 4 ) 10 (

4 ² cm²

A       

03) Tomando o raio da Terra 6400 km, calcule a área do “Globo” terrestre, em km².

Solução. Considerando a Terra como uma esfera, sua área pode ser calculada com a mesma fórmula Logo, A_Terra 4(6400)² 4(40960000)163840000(3,14)5147185400km².

04) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.

Solução. V3 = V1 + V2, onde:

V1 = (3) 36 .

3 4 3

4 3 _{3 3}

1 cm

r  

  

V2 = (6) 288 .

3 4 3

4 3 _{3 3}

2 cm

r  

  

V3 = 243 243 3 9 6,24 .

4 ) 324 )(

3 324 (

) 288 36 3 (

4 _{3 3}

3 3

3 3

3 3

3 r r r cm

r             



05) Calcule o volume de uma esfera de 100 cm² de área.

Solução. Igualando a fórmula da área ao valor indicado, temos:

. 5 4 25

100 100

4 r² r² r² r cm

A          Calculando o volume vem:

. 33 , 3 523 500 3

) 125 ( ) 4 5 3 ( 4 3

4 _{3 3 3}

cm r

V         

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III MATEMÁTICA – 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II

COORDENAÇÃO: MARIA HELENA M. M. BACCAR

06) Determine a área de uma esfera, sendo 2304 cm³ o seu volume.

Solução. Igualando a fórmula do volume ao valor indicado, temos:

. 12 4 1728

) 2304 )(

3 2304 (

3

4 _{3 3 3}

cm r

r r

V         

Calculando a área vem: A4r² 4(12)² 4(144)576 576(3,14) A1808,64cm².

07) Uma esfera tem 25 cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio para que a área passe a ser 64 cm²?

Solução. Calculando o raio da esfera conhecida, temos:

. 5 , 2 2 5 4 25 4

25 25

4 r² r² r cm

A          Aumentando o esse raio de “x”, vem:

. 5 , 1 5 , 2 4 4 16

) 64 ) ( ( 64 ) (

4 r x ² r x ² r x x cm

A            



 



08) Qual é a área total e o volume do recipiente?

Solução. Considerando o recipiente aberto, não calculamos a área da “tampa”. Basta calcularmos a metade da área e do volume da esfera.

i) 18 56,52 .

2 ) 3 ( 4 2 4 2

2 2 2

r cm

A       

ii) ^{18 56,52 .}

6 ) 3 ( 4 3

4 2 1 2

3 3

3

r cm

V  

 







 







 



   

09) Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 324cm². Solução. Igualando a fórmula da área ao valor indicado, temos:

. 9 4 81

324 324

4 r² r² r² r cm

A          Calculando o volume vem:

. 08 , 3052 3 972

) 729 ( ) 4 9 3 ( 4 3

4 _{3 3 3}

cm r

V         

10) Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144cm². Solução. Igualando a fórmula da área ao valor indicado, temos:

. 6 4 36

144 144

4 r² r² r² r cm

A          Calculando o volume vem:

. 32 , 904 3 288

) 216 ( ) 4 6 3 ( 4 3

4 _{3 3 3}

cm r

V         

11) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) de raio 0,5 cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1 cm?

3 m

3 m

Solução. Calculamos quantas bolinhas de 0,5cm de raio cabem em uma bola de 1cm.

Temos: .

3 ) 125 , 0 ( ) 4 5 , 0 3 ( 4 3

4 _{3 3 3}

cm r

V_bolinha       e .

3 ) 1 ( ) 4 1 3 ( 4 3

4 _{3 3 3}

cm r

V_bolão      

Logo,

. 125 8 , 0

1 )

125 , 0 ( 4 . 3 3 4 3

) 125 , 0 (

4 3

) 1 ( 4







 







bolinha bolão

V

V Podemos fazer 8 brigadeiros.

12) Duas bolas metálicas, cujos raios medem 1 cm e 2 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro cuja altura mede 3 cm. Obtenha a medida do raio da base do cilindro.

Solução. Vcilindro = V1 + V2, onde:

V1 = .

3 ) 4 1 3 ( 4 3

4 3 _{3 3}

1 cm

r  

  

V2 = .

3 ) 32 2 3 ( 4 3

4 3 _{3 3}

2 cm

r  

  

Vcilindro = .(3) 12 4 2 .

3 32 3

. 4 ²

2h r r cm

r_c   _c   _c  



 

 

 



13) Determinar o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo de 21 cm a distância do plano ao centro da esfera.

Solução. O plano interceptou a esfera a 21cm do centro e determinou o círculo de raio 20cm.

Repare que esse raio é perpendicular à distância até o centro. O raio da esfera é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses segmentos. Logo aplicando a relação de Pitágoras, temos:

. 29 841 841

441 400 21

20

2

2 2 2

cm R

R R

















14) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Determinar a distância do plano ao centro da esfera.

Solução. A distância entre o círculo e o centro é o cateto do triângulo retângulo formado pelo raio da esfera e o do círculo.

Logo aplicando a relação de Pitágoras, temos:

. 28 784 784

2025 2809 45

53

2

2 2 2 2

cm d

d

d d



















15) Determinar o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r.

+

Solução. O diâmetro de um círculo da esfera possui área igual à área da esfera. Desejamos

saber a relação entre esses raios. Temos: ₂ 4 2

círculo círculo

esfera esfera

r A

r A







 . Igualando as expressões, temos:

. 2 4

4

2

2 2

esfera esfera

círculo

esfera círculo

círculo esfera

r r

r

r r

A A









  

16) Determine o raio de uma esfera de superfície 36 cm².

Solução. Basta igualar a área da esfera ao valor indicado. Isto é:

. 3 9

36 4

2 2

cm r r

r A









  

17) Determinar a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm.

Solução. O desenho mostra que o raio da esfera vale 4cm e a distância do círculo ao centro é 1cm. O raio do círculo será

encontrado pela relação de Pitágoras:

. 15 15

1 16 1

4

2

2 2 2 2

cm s

s

s s

















A área será: As² ( 15)²  A15cm².

18) Calcular a área de uma secção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio.

Solução. Para calcular a área da secção precisamos do valor do raio representado na figura pela letra “s”. Esse raio é o cateto do triângulo

retângulo. Temos:

cm s

s

s s

35 1225 1225

144 1369 12

37

2

2 2 2 2



















Logo a área será: As² (35)² A1225 3848,45cm².

19) Calcular a distância de uma secção plana de uma esfera ao centro da esfera sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela secção plana, e que o raio da esfera mede 17 cm.

Solução. O círculo máximo é a secção que passa pelo centro da esfera. Utilizando as informações do problema, temos:

2 17 4

17

4 ) 17 ( 4

. 4

2 2

2 2

2 2

sec















 s s

s s

r A

A_{círculo ção}    

. A distância da

secção até o centro é dada pela relação de Pitágoras:

cm d

d d

2 3 17 4 867

4 289 1156 2

17 17 ²

2 2

2





 

 



 







20) O raio de uma esfera mede 41 cm. Determinar a razão entre as áreas das secções obtidas por dois planos, sendo de 40 cm e 16 cm a distâncias respectivas desses planos ao centro da esfera.

Solução. O desenho mostra as duas secções com d = 16cm e d’ = 41cm.

O raio da esfera é comum aos dois triângulos retângulos determinados por elas. A razão pedida é o quociente entre as áreas A e A’. Temos:

i) _{2 2}

2 2 2 2 2 2

1425 .

1425 16

41 cm A

s A

s d r s



  













 ii) _{2 2}

2 2 2 2 2 2

81 '

.

9 40 41 ' ' '

cm A

s A

s d r s



  















iii) 17,6 81

1425 '

. .

' ²

2  

 





 s s A

A

21) Determinar a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro.

Solução. Se o diâmetro da esfera é 58cm, então seu raio mede 29cm. Aplicando as fórmulas,

temos: ^{3 3} ₃

2 2

2

4 , 102160 3

97556 3

) 29 ( 4 3 4

32 , 10568 3364

) 29 ( 4 4

r cm V

cm r

A





























22) Calcular a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro.

Solução. Distância polar é a distância de um ponto qualquer da circunferência de uma secção a um dos pólos relativos a essa secção. No caso a secção passa pelo centro da esfera. dp 34²34² 34 248cm.

23) Determinar o raio de uma esfera sendo 288cm³ o seu volume.

Solução. Igualando a fórmula do volume ao valor indicado, calculamos o raio.

. 6 4 216

) 288 )(

3 288 (

3

4 _{3 3 3}

cm r

r r

V         

24) Determinar a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 5

1 do raio de outra esfera cujo volume é 4500cm³.

Solução. Encontramos o raio da esfera cujo volume é indicado:

. 15 4 3375

) 4500 )(

3 ( 4

) 4500 )(

3 4500 (

3

4 r3 r3 r _{3 3} cm

V           O raio da esfera do

problema então vale de15 3cm 5

1  . Logo: ^{3 3} ₃

2 2

2

09 , 113 3 36

) 3 ( 4 3 4

09 , 113 36

) 3 ( 4 4

r cm V

cm r

A

















 









25) Determinar a medida do raio de um círculo máximo de uma esfera sabendo que o raio de um círculo menor desta mesma esfera mede 12 cm e que a distância polar deste círculo menor mede 15 cm.

Solução. O círculo máximo passa pelo centro da esfera. Aplicando a relação de Pitágoras no triângulo acima do círculo menor, temos:

9 81 81

144 225 12

15² x²  ²x²    x  . O raio da esfera é calculado com a relação de Pitágoras:

cm R

R R

R R

R 12,5

18 81 81 144

18 144

) 9 (

12^{2 2 2 2}

2            

26) Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio r. Determinar a altura do cilindro.

Solução. O volume da esfera fundida é o mesmo do cilindro formado. Calculamos a altura do

cilindro em função do raio da esfera.

3 4

3

4 ³ ₂

h r

h r r

V V_{esfera cilindro}







  

27) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determinar a área lateral do cone sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.

Solução. O cone e o hemisfério são equivalentes, logo possuem o mesmo volume. O raio de ambos vale a metade de 25cm.

. 03 , 1097 )

95 , 27 )(

5 , 12 )(

14 , 3 (

95 , 4 27 3125 4

625 2500 2

25 25

2 25 .25 2 3 2

3 4 2 1

2 2

2

2 3

cm rg

A

cm g

g

cm r

h h r V r

V

l

cone hemisfério









 



 



 



















 



 









28) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual a superfície de uma esfera de raio 6 cm.

Determinar a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

Solução. O volume e a área do sólido valem o dobro do volume e da área lateral do cone. As áreas do sólido e da esfera são iguais.

cm g

g A

A

g rg

A A

r A

h V r

h V r

esfera sólido

e lateralcon sólido

esfera

sólido cone

12 144

12

12 .

2 .

2

144 )

6 ( 4 4

. 3 3 2

2 2

2 2















































Calculando a altura do cone: 12² h²6² h 14436 1086 3cm Calculando o volume do sólido e comparando com a esfera, vem:

3 . 32 3.3 32 3 2 3 144

288 3 288

)6(

4 3 4

3 3 144

36.

2 )6(

.2 3

3 3 3

2 3 2











 



 



















 



 



sólido esfera

esfera sólido

V V r cm

V

hr cm V

29) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcular a área da secção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera.

Solução. A distância da secção ao centro vale o raio da esfera menor e o raio da secção pode ser calculado pela relação de Pitágoras:

. 7 , 505 161

161 64

225 8

15

2 2

sec

2 2 2

2 2

cm s

A

s s s

ção  



















30) Determinar o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro.

Solução. A esfera resultante deverá possuir o dobro do volume de uma das esferas. Logo, calculando o volume de uma esfera com raio 5cm, temos: ^{3 3 3}

3 500 3

) 5 ( 4 3

4 r cm

V_{esfera }  _  _ 

O volume da esfera resultante será: ^{3 3} 5³ 2

4 1000 3

1000 3

.500 3 2

4     

 r r

V_R   

O diâmetro pedido será: D2.5³ 210³ 2cm. 31) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é

5

3 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão

entre as áreas dessas duas esferas.

Solução. Chamando D1 e D2 os diâmetros das esferas citadas e considerando seus respectivos raios, temos as relação:

5 3 5

3 ₂

1 2 1

R R

D  D   . Basta encontrar a razão entre as

áreas:

25 . 9 25

9 5 3 4 4 4

4

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 2 2

2 1

1  

 

 









 

 







R R R

R R R A A R A

R A









32) O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando triplicamos a medida do seu raio?

Solução. Considere uma esfera de raio R. Seu volume é:

3 4 R³ V _ 

i) Seja R’ = 2R. Então ^{8 .}

3 . 4 3 8

) 8 ( 4 3

) 2 ( 4 3

' ' 4

3 3

3 3

R V R

R

V R 

 



 





    

O volume fica multiplicado por 8.

ii) Seja R’’ = 3R. Então ^{27 .}

3 . 4 3 27

) 27 ( 4 3

) 3 ( 4 3

'' '' 4

3 3

3 3

R V R

R

V R 

 



 





    

O volume fica multiplicado por 27.