Defini¸c˜ao: a exponencial complexa, ´e definida (para x, y ∈ R) por ex

Defini¸c˜ao: aexponencial complexa, ´edefinida (parax,y ∈R) por e^x+iy =e^x(cosy+isiny)

Defini¸c˜ao: as fun¸c˜oesseno, co-seno e tangente (complexos)s˜ao definidaspor

cosz = e^iz +e^−iz

2 , sinz =e^iz −e^−iz

2i , tanz = sinz cosz

Exerc´ıcios:

1. (a) Determine todas as solu¸c˜oes da equa¸c˜aoe^z= 1 +i

(b) Determine as solu¸c˜oes da equa¸c˜aoe^z= 1 +i que est˜ao na faixa {z ∈C: Im(z)∈]−π, π]}

2. Determine todas solu¸c˜oes da equa¸c˜ao sinz = 2

Fun¸c˜oes elementares: o logaritmo complexo

Como vimos antes, o contradom´ınio da fun¸c˜ao exponencial ´eC\ {0}

Defini¸c˜ao: paraz 6= 0,log(z)´equalquer w ∈Ctal que e^w =z (note-se que log(z) ´e um conjunto de n´umeros, tal como √³

z) Comoz =|z|e^{i Arg z} =e^ln|z|e^{i Arg z} tem-sez =e^ln|z|+i Arg z

Defini¸c˜ao: ovalor principal do logaritmodefine-se, paraz 6= 0, por

Log(z) = ln|z|+i Arg(z) (ondeArg(z)∈]−π, π]) e verificae^Log(z)=z para todo oz ∈C\ {0}

Nem sempre se temLog(e^z) =z, por exemplo, Log(e^i3π) =iπ Isto ´e consequˆencia da exponencial complexa n˜ao ser injectiva (mas Log(e^z) =z seIm(z)∈]−π, π], pois a restri¸c˜ao da exponencial a essa

Defini¸c˜ao: paraz 6= 0,log(z)´equalquer w ∈Ctal que e^w =z (note-se que log(z) ´e um conjunto de n´umeros, tal como √³

z) Comoz =|z|e^{i Arg z} =e^ln|z|e^{i Arg z} tem-sez =e^ln|z|+i Arg z

Defini¸c˜ao: ovalor principal do logaritmodefine-se, paraz 6= 0, por

Log(z) = ln|z|+i Arg(z) (ondeArg(z)∈]−π, π]) e verificae^Log(z)=z para todo oz ∈C\ {0}

Exerc´ıcio:

Fun¸c˜oes elementares: expoentes complexos

A propriedadezⁿ=e^nlog(z) sugere uma forma dedefinirz^w quando z∈C\ {0,e}ew ∈C

Defini¸c˜ao: paraz 6=e(e z 6= 0)define-sez^w =e^wlog(z)

Esta defini¸c˜ao faz com que, paraw ∈/ Z,z^w seja, n˜ao um n´umero, mas um conjunto(nalguns casos infinito) de n´umeros

J´a t´ınhamos visto essa situa¸c˜ao no caso em quew = ¹_n

(´E necess´ario fazer umaexcep¸c˜ao: quando z=e, interpreta-see^w como a exponencial complexa dew)

Algumas propriedades:

1) z^w1z^w2 =z^w1+w2 2) z^w1

z^w2 =z^w1−w2 3) (z^w1)ⁿ=z^nw1

Defini¸c˜ao: paraz 6=e(e z 6= 0)define-sez^w =e^wlog(z) Defini¸c˜ao: chama-sevalor principal dez^w ao n´umeroe^{w Log(z)} Exerc´ıcio:

Exemplos de fun¸c˜oes:

I Polin´omios: p(z) =anzⁿ+. . .+a2z²+a1z+a0, onde an, . . . ,a2,a1,a0s˜ao constantes complexas

I Fun¸c˜oes racionais: p(z)

q(z), comp(z) eq(z) polin´omios

I Fun¸c˜ao argumento principal: a cada complexo n˜ao nulo,z 6= 0, associa o ´unicoθ∈]−π, π] tal quez =|z|e^iθ

I e^z, sinz, cosz, sinhz, coshz,Log z, valor principal dez^k

Fun¸c˜oes complexas de vari´avel complexa: limites e continuidade

Definir uma fun¸c˜ao f :A⊆C −→ C z 7−→ w =f(z)

x+iy 7−→ u+iv =f(x+iy) equivale a definir um par de fun¸c˜oes reais

(u,v) :A⊆R² −→ R²

(x,y) 7−→ (u(x,y),v(x,y))

Sef(x+iy) =u(x,y) +iv(x,y) as fun¸c˜oes reaisuev chamam-se

“parte real” e “parte imagin´aria” da fun¸c˜aof.

Por exemplo, a fun¸c˜ao definida porf(z) =z²´e equivalente ao par de fun¸c˜oes (x²−y²,2xy), ou seja, as partes real e imagin´aria de z²s˜ao x²−y²e 2xy.

“Limite” e “continuidade” de uma fun¸c˜ao de vari´avel complexa s˜ao definidos da forma habitual:

z→zlim0

f(z) =w0significa quedado qualquerε >0 ´e poss´ıvel encontrar δ >0tal que|f(z)−w0|< εsempre que 0<|z −z0|< δ, ou seja, sendoz0=x0+iy0,

lim

(x,y)→(x0,y0)

u(x,y) =Re(w₀) e lim

(x,y)→(x0,y0)

v(x,y) =Im(w₀)

e diz-se quef ´e cont´ınua emz0se existir o limite anterior e for igual a f(z₀), (ou seja,seu(x,y) e v(x,y) s˜ao cont´ınuas em (x₀,y₀))

Se existirem lim

z→z0

f(z) e lim

z→z0

g(z) tem-se 1) lim

z→z0

f(z) +g(z)

= lim

z→z0

f(z)

+ lim

z→z0

g(z) 2) lim

z→z0

f(z)g(z) = lim

z→z0

f(z)

z→zlim0

g(z)

3) lim

z→z0

f(z) g(z) =

z→zlim₀f(z)

z→zlim₀g(z) (se lim

z→z0

g(z)6= 0) 4) Se lim

z→z0

f(z) =w₀e lim

w→w0

g(w) =c, ent˜ao lim

z→z0

g(f(z)) =c (supondof injectiva)

Portanto,somas, produtos, quocientes e composi¸c˜oes de fun¸c˜oes cont´ınuas s˜ao cont´ınuas no seu dom´ınio.

Exerc´ıcio:

Limites “infinitos” e “no infinito”definem-se da seguinte forma:

z→zlim0

f(z) =∞significa que lim

z→z0

|f(z)|= +∞.

z→∞lim f(z) =w0significa que

dado qualquer ε >0 ´e poss´ıvel encontrarR>0 tal que

|z|>R ⇒ |f(z)−w₀|< ε

z→∞lim f(z) =∞significa que

dado qualquer M>0 ´e poss´ıvel encontrarR >0 tal que