EA614 – An´alise de Sinais 2

EA614 – An´alise de Sinais

2 ^o Semestre de 2009 – 2 ^a Prova – Prof. Renato Lopes Q UEST AO ˜ 1 (1.5 P ONTO ):

Determine a transformada de Fourier do sinal peri ´odico ∑ _∞

𝑙=−∞ 𝛿[𝑛 − 4𝑙] + 𝛿[𝑛 − 1 − 4𝑙] − 𝛿[𝑛 − 2 − 4𝑙] − 𝛿[𝑛 − 3 − 4𝑙].

Q UEST AO ˜ 2 (1.0 P ONTO ):

O sinal peri ´odico ∑ _∞

𝑙=−∞ 𝛿[𝑛 − 4𝑙] + 𝛿[𝑛 − 1 − 4𝑙] − 𝛿[𝑛 − 2 − 4𝑙] − 𝛿[𝑛 − 3 − 4𝑙] (o mesmo da quest˜ao anterior) ´e aplicado a um filtro passa-baixas ideal com freq ¨uˆencia de corte 𝜋/4. Determine o sinal 𝑦[𝑛] na sa´ıda do filtro.

Q UEST AO ˜ 3 (1.5 P ONTO ):

A resposta ao impulso de um sistema linear e invariante no tempo ´e dada por ℎ[𝑛] = 2 ^−𝑛 𝑛𝑢[𝑛]. Deter- mine sua resposta `a entrada 𝑥[𝑛] = e ^𝑗𝜔𝑛 .

Q UEST AO ˜ 4 (1.5 P ONTO ):

Determine o sinal cuja transformada de Fourier ´e dada por 𝑋 (e ^𝑗𝜔 ) = 1

1 − e ^−𝑗𝜔 /2 + 1 1 − e ^𝑗𝜔 /2 . Em particular, determine o valor do sinal nos instantes −1 e 0.

Q UEST AO ˜ 5 (1.0 P ONTO ):

Determine o valor de

∑ ∞ 𝑛=−∞

𝑥[𝑛], dado que

𝑋 (e ^𝑗𝜔 ) = 1

1 − e ^−𝑗𝜔 /2 + 1 1 − e ^𝑗𝜔 /2 .

Q UEST AO ˜ 6 (1.0 P ONTO ):

Considere um sinal 𝑥[𝑛] com transformada de Fourier 𝑋 (e ^𝑗𝜔 ). Vocˆe quer calcular sua transformada inversa mas, por engano, aplica a inversa da transformada para sinais cont´ınuos no tempo, obtendo um sinal 𝑥 c (𝑡). Determine 𝑥 c (𝑡) em func¸˜ao de 𝑥[𝑛] e de impulsos. Dica: escreva explicitamente 𝑋(e ^𝑗𝜔 ) em func¸˜ao de 𝑥[𝑛], em seguida fac¸a a transformada inversa.

Q UEST AO ˜ 7 (1.5 P ONTO ):

Determine a transformada de Fourier de

𝑥(𝑡) = 𝑡

( sen(𝑡) 𝜋𝑡

) ₂ .

Q UEST AO ˜ 8 (1.0 P ONTO ):

Determine a resposta ao impulso de um sistema cuja sa´ıda, 𝑦(𝑡), est´a relacionada `a entrada, 𝑥(𝑡), por d ²

d𝑡 ² 𝑦(𝑡) + 2 d

d𝑡 𝑦(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡).

Dica: Fac¸a 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡), aplique a transformada de Fourier a ambos os lados da equac¸˜ao, e depois use a

transformada inversa.

Tabela 1: Propriedades da S´erie de Fourier a Tempo Discreto (DFT) Vari´aveis 𝑥[𝑛] com per´ıodo 𝑁 0 = 2𝜋/𝜔 0 e s´erie 𝑎 𝑘

𝑦[𝑛] com per´ıodo 𝑁 0 = 2𝜋/𝜔 0 e s´erie 𝑏 𝑘

Definic¸˜ao 𝑥[𝑛] = ∑

𝑘=<𝑁

> 𝑎 𝑘 e ^𝑗𝑘𝜔

^𝑛 Coeficientes 𝑎 𝑘 = _𝑁 ¹

0

∑

𝑛=<𝑁

> 𝑥[𝑛]e ^{−𝑗𝑘𝜔}

^𝑛 Linearidade 𝐴𝑥[𝑛] + 𝐵𝑦[𝑛] ⇐⇒ 𝐴𝑎 𝑘 + 𝐵𝑏 𝑘

Deslocamento Temporal 𝑥[𝑛 − 𝑛 0 ] ⇐⇒ 𝑎 𝑘 e ^{−𝑗𝑘𝜔}

^𝑛

Deslocamento em Freq ¨uˆencia 𝑒 ^{𝑗𝑀 𝜔}

^𝑛 𝑥[𝑛] ⇐⇒ 𝑎 𝑘−𝑀

Conjugac¸˜ao 𝑥 ^∗ [𝑛] ⇐⇒ 𝑎 ^∗ _−𝑘 Invers˜ao Temporal 𝑥[−𝑛] ⇐⇒ 𝑎 −𝑘

Convoluc¸˜ao peri ´odica ∑

𝑟=<𝑁

> 𝑥[𝑟]𝑦[𝑛 − 𝑟] ⇐⇒ 𝑁 0 𝑎 𝑘 𝑏 𝑘

Produto 𝑥[𝑛]𝑦[𝑛] ⇐⇒ ∑

𝑙=<𝑁

> 𝑎 𝑙 𝑏 𝑘−𝑙

Diferenc¸a 𝑥[𝑛] − 𝑥[𝑛 − 1] ⇐⇒ (

1 − e ^{−𝑗𝑘𝜔}

) 𝑎 𝑘

Soma Corrida ∑ _𝑛

𝑘=−∞ 𝑥[𝑘] ⇐⇒ _1−e ^𝑎

Para soma ser peri ´odica, 𝑎 0 = 0.

N´ıvel DC da soma ´e determinado pela definic¸˜ao.

Simetria, sinal real 𝑎 𝑘 = 𝑎 ^∗ _−𝑘 Simetria, sinal real e par 𝑎 𝑘 ´e real e par

Simetria, sinal real e ´ımpar 𝑎 𝑘 ´e imagin´ario puro e ´ımpar

Parte par, sinal real Ev{𝑥[𝑛]} ≜ ¹ ₂ (𝑥[𝑛] + 𝑥[−𝑛]) ⇐⇒ ℜ{𝑎 𝑘 } ≜ ¹ ₂ (𝑎 𝑘 + 𝑎 ^∗ _𝑘 ) Parte ´ımpar, sinal real Od{𝑥[𝑛]} ≜ _2𝑗 ¹ (𝑥[𝑛] − 𝑥[−𝑛]) ⇐⇒ 𝑗ℑ{𝑎 𝑘 } ≜ ¹ ₂ (𝑎 𝑘 − 𝑎 ^∗ _𝑘 )

Parseval ∑

𝑛=<𝑁

> 𝑥[𝑛]𝑦 ^∗ [𝑛] = 𝑁 ₀ ∑

𝑘=<𝑁

> 𝑎 _𝑘 𝑏 ^∗ _𝑘 Parseval (Energia) ∑

𝑛=<𝑁

> ∣𝑥[𝑛]∣ ² = 𝑁 0

∑

𝑘=<𝑁

> ∣𝑎 𝑘 ∣ ²