Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

INÍCIO DO SÉCULO XX



Pilares

 Mecânica (Newton)

 Eletromagnetismo (Maxwell)



Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

No início Ele criou os céus e a terra -

e Ele disse, “Faça-se a luz” -



Terceiro suporte

 Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)

𝐹 = 𝐺 𝑚𝑚′

𝑟

²

= 𝑚𝑎 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑄

𝜀

₀

𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0

𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = − 𝑑Φ

_B

𝑑𝑡

𝐵 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇

₀

𝐼 + 𝜀

₀

𝜇

₀

𝑑Φ

_E

𝑑𝑡

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO



Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade aquecida, em um determinado comprimento de onda



Solução: Planck (1900)



Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística



Início da Mecânica Quântica

1. Radiação Térmica

Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura



Corpo emite e absorve para o meio, continuamente

 Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção

 Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção

 Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção



Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação

 Espectro é praticamente independente do material

 Espectro é dependente da temperatura do material

 Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete

 Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria

 Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível)



Primeiras medidas precisas do espectro de radiação

 Lummer, Pringsheim (1899)

 Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos

λ

); bolômetro



Radiância espectral

 = energia emitida em radiação com comprimento de onda entre

λ

^e

λ

+

dλ

,por unidade de tempo e por unidade de área, de uma superfície à temperatura

T

 = ( )

 = potência irradiada entre

λ

e

λ

+

dλ

, por unidade de m² , por um corpo à temperatura

T



Radiância

 = potência irradiada por unidade de m² , por um corpo à temperatura

T

 = área total sob a curva

 =

𝐸

_𝑇

𝜆, 𝜆 + 𝑑𝜆 𝑡. 𝑎

𝑅

_𝑇

𝜆 𝑑𝜆

𝜆. 𝜈 = 𝑐

𝑅

_𝑇

𝑅

^∞ _𝑇

𝜆 𝑑𝜆

0



Espectro de radiação

 Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento de onda

λ

da radiação emitida

 versus

λ

𝜆 (μm) 𝑅

𝑇

𝜆

(u n id a d e s a rb it rá ri a s )

𝑅

_𝑇

𝜆

𝑅

_𝑇

𝜆



Características da função de distribuição observada

 Baixas

T

: pouca potência irradiada em altos

λ

radiância nula para

λ

→ 0 ou

λ

→ ∞.

radiância cresce rapidamente com

λ

, fica máxima em

λ

_max e depois decai lenta mas continuamente



T

mais altas:

λ

_max diminui linearmente com o aumento de

T

potência irradiada cresce com

T

de forma mais rápida que a linear



Lei de Stefan (1879)

 Potência irradiada obedece à equação

 Equação empírica, baseada nas observações experimentais

 𝜎 = 5,67. 10^-8 W.m^-2.K^-4 (constante de Stefan-Boltzmann)



Lei do Deslocamento de Wien (1894)

 Comprimento de onda máximo obedece à equação



c

_W = 2,898. 10^-3 m.K^-1 (constante de Wien)

𝜆

_𝑚𝑎𝑥

= 𝑐

_𝑊

1

𝑇

𝑅

_𝑇

= 𝜎𝑇

⁴



Lei exponencial de Wien (1896)

 Função de densidade espectral deve ter a forma



F

(

λ

,

T

): - relação entre

F

e a distribuição de velocidades de Maxwell;

- impondo validade da Lei do Deslocamento:

𝐹 𝜆, 𝑇 = 𝛼𝑒

^{𝛽 𝜆𝑇}

⤇

 Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para

baixos

λ

(1-4 m)

 Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos

λ

(4-60 m)

𝜌 𝜆 = 𝐹 𝜆, 𝑇 𝜆

³

𝜌 𝜆 = 𝛼 𝑒

^{𝛽 𝜆𝑇}

𝜆

³



Características

 Emite espectros térmicos de caráter universal

 Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela

 Não reflete luz (é negro)



Exemplo especial de Corpo Negro

 Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício

 Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes

 Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível)

orifício absorve toda orifício tem as a radiação térmica

⤇

propriedades de incidente sobre ele um corpo negro

2. Corpo Negro

Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T:



Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade



A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo



Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica



Como o orifício tem as propriedades de um corpo negro, irá emitir uma radiação com espectro de corpo negro



Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade



Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T



Densidade de energia (cavidade)

 = energia contida em radiação com frequência entre

ν

e

ν

+

dν

,por unidade de volume da cavidade à temperatura

T

 =



Fluxo de energia (buraco)

 = energia emitida em radiação com frequência entre

ν

e

ν

+

dν

,por unidade de área do buraco à temperatura

T

, por unidade de tempo

 =

T aumenta ⤇ aumenta ⤇ aumenta

Cavidade Buraco (calculado) (medido) 𝜌

_𝑇

𝜈 𝑑𝜈

𝑅

_𝑇

𝜈 𝑑𝜈

𝜌

_𝑇

𝜈 𝑑𝜈 𝐸

_𝑇

𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈

𝑉

𝐸

_𝑇

𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈 𝑡. 𝑎

𝑅

_𝑇

𝜈 𝑑𝜈

𝜌

_𝑇

𝜈 ∝ 𝑅

_𝑇

𝜈

3. Encontrando a função de distribuição



Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T )

Agitação térmica



movimento dos elétrons



paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos

comprimentos de onda



Objetivo

 Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade

 Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco



Estratégia

 Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas

estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico)

 Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre

ν

e

ν

+

dν

(argumentos geométricos)

TRUQUE: - partir de uma cavidade “unidimensional”

- generalizar para uma cavidade cúbica - generalizar para uma cavidade qualquer

 Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

 Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média

𝜌

_𝑇

𝜈 𝑅

_𝑇

𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇



ONDAS ESTACIONÁRIAS

 Toda radiação que incidir sobre x = 0 e x = a (paredes) será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias

Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à direção de propagação

- direção de propagação é perpendicular à parede - direção de é paralela à parede

- na parede não deve haver

Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias, com nós sobre as superfícies

> x a 0

> x a

0

𝐸

𝐸

𝐸



Cavidade unidimensional

 Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional

 Impondo as condições de contorno obtemos

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸

₀

sin 𝑘𝑥 sin 𝜔𝑡 = 𝐸

₀

sin 2𝜋

𝜆 𝑥 sin 2𝜋𝜈𝑡 𝜆𝜈 = 𝑐 = 𝜔 𝑘

x = 0 , x = a ⤇

𝐸 = 0

condições de contorno

𝜆

_𝑛

= 2𝑎

𝑛 ou 𝜈

_𝑛

= 𝑐𝑛

2𝑎 𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑡

n=3 n=2

n=1

> x a

0



Cavidade cúbica

 3 componentes ortogonais – linearmente independentes

 6 superfícies

 Componentes do campo elétrico nas 3 dimensões x = 0 , x = a ⤇

y = 0 , y = a ⤇ condições de contorno

z = 0 , z = a ⤇

𝐸 = 0 𝐸 = 0 𝐸 = 0

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸_0𝑥 sin 2𝜋

𝜆_𝑥 𝑥 sin 2𝜋𝜈_𝑥𝑡 𝐸 𝑦, 𝑡 = 𝐸_0𝑦 sin 2𝜋

𝜆_𝑦 𝑦 sin 2𝜋𝜈_𝑦𝑡 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸_0𝑧 sin 2𝜋

𝜆_𝑧 𝑧 sin 2𝜋𝜈_𝑧𝑡

 Impondo as condições de contorno obtemos

 A radiação irá se propagar na direção definida pelos 3 ângulos:

 com relação à direção de x

 com relação à direção de y

 com relação à direção de z

 Como relacionar com  , e com  ?

 Como contar as ondas?

𝜆_𝑥,𝑛 =2𝑎

𝑛_𝑥 ou 𝜈_𝑥,𝑛 = 𝑐𝑛_𝑥

2𝑎 𝑛_𝑥 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆_𝑦,𝑛 = 2𝑎

𝑛_𝑦 ou 𝜈_𝑦,𝑛 = 𝑐𝑛_𝑦

2𝑎 𝑛_𝑦 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆_𝑧,𝑛 = 2𝑎

𝑛_𝑧 ou 𝜈_𝑧,𝑛 =𝑐𝑛_𝑧

2𝑎 𝑛_𝑧 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆

_𝑥,𝑛

, 𝜆

_𝑦,𝑛

, 𝜆

_𝑧,𝑛

𝜈

_𝑥,𝑛

, 𝜈

_𝑦,𝑛

, 𝜈

_𝑧,𝑛



RELACIONANDO AS COMPONENTES de  e 

 Em uma dimensão: temos nós distanciados por

Condições de contorno ⤇

1D ⤇

𝜆

_𝑛

= 2𝑎

𝑛 ou 𝜈

_𝑛

= 𝑐𝑛 2𝑎

𝜆 2

𝑛 = 2𝑎

𝜆 = 2𝑎𝜈

𝑐

 Em duas dimensões: temos superfícies nodais distanciadas por

Condições de contorno ⤇

2D ⤇

𝜆 2

cos 𝛼 = 𝜆2 𝜆_𝑥

2

⇒ 𝜆

cos 𝛼 = 𝜆_𝑥 = 2𝑎 𝑛_𝑥

cos 𝛽 = 𝜆2 𝜆_𝑦 2

⇒ 𝜆

cos 𝛽 = 𝜆_𝑦 = 2𝑎 𝑛_𝑦

cos 𝛾 = 2𝜆 𝜆_𝑧

2

⇒ 𝜆

cos 𝛾 = 𝜆_𝑧 = 2𝑎 𝑛_𝑧

𝑛_𝑥 = 2𝑎

𝜆 cos 𝛼 𝑛_𝑦 = 2𝑎

𝜆 cos 𝛽

𝑛_𝑥² + 𝑛_𝑦² = 2𝑎

𝜆 = 2𝑎𝜈 𝑐

 Em três dimensões : temos planos nodais distanciados por

Condições de contorno ⤇

3D ⤇

cos 𝛼 = 𝜆2 𝜆_𝑥

2

⇒ 𝜆

cos 𝛼 = 𝜆_𝑥 = 2𝑎 𝑛_𝑥

cos 𝛽 = 𝜆2 𝜆_𝑦 2

⇒ 𝜆

cos 𝛽 = 𝜆_𝑦 = 2𝑎 𝑛_𝑦

cos 𝛾 = 2𝜆 𝜆_𝑧

2

⇒ 𝜆

cos 𝛾 = 𝜆_𝑧 = 2𝑎 𝑛_𝑧 𝜆 2

𝑛_𝑥 = 2𝑎

𝜆 cos 𝛼 𝑛_𝑦 = 2𝑎

𝜆 cos 𝛽 𝑛_𝑧 = 2𝑎

𝜆 cos 𝛾

𝑛_𝑥² + 𝑛_𝑦² + 𝑛_𝑧² = 2𝑎

𝜆 = 2𝑎𝜈 𝑐



CONTANDO ONDAS (diagramas para n)

 Em uma dimensão

- número de pontos n_i com frequência

ν

_i ^: ⤇

- número de pontos entre n e n+

d

n :

- número de pontos com frequência entre

ν

e

ν

+

dν

:

⤇

𝑛

_𝑖

= 2𝑎

𝑐 𝜈

_𝑖

𝑑𝑛 = 2𝑎 𝑐 𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 4𝑎 𝑐 𝑑𝜈 𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝑙 = 𝑑𝑛

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2. 𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2. 𝑁 𝜈 𝑑𝑛

𝑑𝜈 𝑑𝜈 = 2 2𝑎

𝑐 𝑑𝜈

2 estados de polarização da luz

 Em duas dimensões

- número de pontos n_i com frequência

ν

_i : ⤇

- ao contrário do caso unidimensional, o número de pontos n_i com frequência

ν

_i irá depender da frequência

𝑛

_𝑖

= 𝑛

_𝑥²

+ 𝑛

_𝑦²

= 2𝑎

𝑐 𝜈

_𝑖

𝑑𝑛 = 2𝑎

𝑐 𝑑𝜈

- área dA_anel do anel de diâmetro dn:

- somente o primeiro quadrante contribui com pontos ( ):

- número de pontos entre n e n+

d

n :

- número de pontos com frequência entre

ν

e

ν

+

dν

:

⤇

𝑑𝐴

_{𝑎𝑛𝑒𝑙}

= 2𝜋𝑛𝑑𝑛

𝑛 ∈ ℕ

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 4𝜋𝐴

𝑐

²

𝜈𝑑𝜈 𝑑𝐴 = 𝑑𝐴

_{𝑎𝑛𝑒𝑙}

4 = 2𝜋

4 𝑛𝑑𝑛

𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝐴 = 𝜋 2

2𝑎

𝑐 𝜈𝑑𝑛

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2. 𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2. 𝑁 𝜈 𝑑𝑛

𝑑𝜈 𝑑𝜈 = 2 𝜋 2

2𝑎 𝑐

2

𝜈𝑑𝜈

2 estados de polarização da luz

 Em três dimensões

- número de pontos n_i com frequência

ν

_i ^: ⤇

- volume dV_casca da casca esférica de diâmetro dn:

- somente o primeiro octante contribui com pontos ( ):

- número de pontos entre n e n+

d

n :

- número de pontos com frequência entre

ν

e

ν

+

dν

: ⤇

𝑛

_𝑖

= 𝑛

_𝑥²

+ 𝑛

_𝑦²

+ 𝑛

_𝑧²

= 2𝑎

𝑐 𝜈

_𝑖

𝑑𝑛 = 2𝑎 𝑐 𝑑𝜈 𝑑𝑉

_{𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎}

= 4𝜋𝑛

²

𝑑𝑛

𝑛 ∈ ℕ 𝑑𝑉 = 𝑑𝑉

_{𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎}

8 = 4𝜋

8 𝑛

²

𝑑𝑛 = 4𝜋 8

2𝑎 𝑐

2

𝜈

²

2𝑎

𝑐 𝑑𝜈 = 𝜋 2

2𝑎 𝑐

3

𝜈

²

𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 8𝜋𝑉

𝑐

³

𝜈

²

𝑑𝜈 𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑑𝑉 = 𝜋

2 2𝑎

𝑐

2

𝜈

²

𝑑𝑛

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2. 𝑁 𝑛 𝑑𝑛 = 2. 𝑁 𝜈 𝑑𝑛

𝑑𝜈 𝑑𝜈 = 2 𝜋 2

2𝑎 𝑐

3

𝜈

²

𝑑𝜈

2 estados de polarização da luz



Número de ondas: resumo

 Cavidade “unidimensional”:

 Cavidade bidimensional:

 Cavidade tridimensional:

Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 4𝑎 𝑐 𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 4𝜋𝐴

𝑐

²

𝜈𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 8𝜋𝑉

𝑐

³

𝜈

²

𝑑𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇



Tentativas de resolver o problema

 Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade

 Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma  própria

 Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica

Leis da eletrodinâmica ⤇ equações para o número de ondas Osciladores ⤇ energias médias

𝑈 𝜈, 𝑇

𝑁 𝜈

 Primeira tentativa: Max Planck (1897-1899)

- leis da termodinâmica macroscópica

(relação entre entropia S e energia interna U)

- partindo do princípio que a Lei de Wien é válida, a entropia de um oscilador deve ter a forma (a, b = constantes, e = base do ln)

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Wien-Planck

Lei de Wien

𝜕𝑆

𝜕𝑈 = 1 𝑇 𝑆 = 𝑈

𝑎𝜈 ln 𝑈 𝑒𝑏𝜈 𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝑏𝜈𝑒

^{𝑎𝜈 𝑇}

𝜌 𝜈 = 𝑁 𝜈

𝑉 𝑈 𝜈, 𝑇 = 8𝜋𝜈

²

𝑐

³

𝑏𝜈𝑒

^{𝑎𝜈 𝑇}

= 8𝜋𝜈

²

𝑐

³

𝑏𝜈𝑒

^{−𝛽𝜈 𝑇}

𝜌 𝜈 = 𝛼𝜈

³

𝑒

^{−𝛽𝜈 𝑇}

𝜌 𝜈 = 8𝜋𝑏

𝑐

³

𝜈

³

𝑒

^{−𝛽𝜈 𝑇}

 Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900)

- lei da equipartição de energia:

energia média de um oscilador vale (por grau de liberdade)

- para sistemas harmônicos teremos

- nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de

liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico) e a energia média será

- função densidade de energia espectral:

Lei de Rayleigh-Jeans

𝜀 =

_𝑐

1 2 𝐾𝑇

𝜌 𝜈 = 8𝜋𝐾𝑇 𝑐

³

𝜈

²

𝑈 𝜈, 𝑇 = 2𝜀

_𝑐

𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝐾𝑇

𝜌 𝜈 = 𝑁 𝜈

𝑉 𝑈 𝜈, 𝑇 = 8𝜋𝜈

²

𝑐

³

𝐾𝑇

 Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental

- Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequências péssima para altas frequências (catástrofe do ultra-violeta)

- Wien-Planck: boa para altas frequências ruim para baixas frequências

𝜌 𝜈 = 8𝜋𝐾𝑇 𝑐

³

𝜈

²

Rayleigh-Jeans Wien-Planck

experimental

Frequência

Intensidade

R-J

𝜌 𝜈 = 8𝜋𝑏

W-P

𝑐

³

𝜈

³

𝑒

^{−𝑎𝜈 𝑇}

 Terceira tentativa: Planck (1900)

- interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física;

marca o início da evolução da teoria quântica

- percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P) levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada

Rayleigh-Jeans (R-J) Wien-Planck (W-P)

- Utilizando chega à equação para a energia do oscilador:

- função densidade de energia espectral:

𝜕𝑆

𝜕𝑈 = 1 𝑇

𝜕

²

𝑆

𝜕𝑈

²

= 𝑐𝑡𝑒 𝑈

²

𝜕

²

𝑆

𝜕𝑈

²

= 𝑐𝑡𝑒 𝑈

𝜕

²

𝑆

𝜕𝑈

²

= 𝑎 𝑈 𝑈 + 𝑏 interpolação

𝑈 = 𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1

𝜌 𝜈 = 𝑁 𝜈

𝑉 𝑈 𝜈, 𝑇 = 8𝜋𝜈

²

𝑐

³

𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1 = 8𝜋𝑏′

𝑐

³

𝜈

²

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1

- Combinando com as duas equações nos seus limites de validade:

baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J)

devemos ter

altas frequências: Wien-Planck (W-P)

devemos ter

- Solução: Lei de Planck

𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1 → 𝐾𝑇 8𝜋

𝑐

³

𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1 𝜈

²

→ 8𝜋

𝑐

³

𝐾𝑇𝜈

²

𝜌 𝜈 = 8𝜋

𝑐

³

𝜈

²

𝐴𝜈 𝑒

^{𝐵𝜈 𝑇}

− 1 8𝜋

𝑐

³

𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1 𝜈

²

→ 8𝜋 𝑐

³

𝑏𝜈 𝑒

^{𝛽𝜈 𝑇}

𝜈

²

𝑏′

𝑒

^{1 𝑎′𝑇}

− 1 → 𝑏𝜈

𝑒

^{𝛽𝜈 𝑇}



Descrição para a radiação de corpo negro – situação em 19.10.1900

Rayleigh-Jeans Planck Wien-Planck

fundamentação existente ausente insatisfatória teórica

validade baixas  todas  altas  (altos ) (todos ) (baixos )



Descrição completa em 14.12.1900

 Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro

 Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica)

 Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística

 Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de osciladores

 Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia

 Introduz a constante de Planck h

 Início da Mecânica Quântica

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

𝜌 𝜈 = 8𝜋

𝑐

³

𝜈

²

ℎ𝜈

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1



Cálculo da energia média – classicamente

 Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre

ε

^e

ε

+

dε

em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura

T

^:

Distribuição de Boltzmann

(K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10^-23 J/K)

 A função P(

ε

) tem a forma:

𝑃 𝜀 = 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇

𝑃 𝜀 = 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇

𝑃 0 = 1 𝐾𝑇 𝑃 𝐾𝑇 = 𝑒⁻¹

𝐾𝑇 𝑃 ∞ = 0

𝑃 𝜀 𝑑𝜀

∞

0

= 1

 Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função

ε

P(

ε

) terá a forma:

 Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema:

⤇ área sob a curva

 Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média:

Lei de equipartição de energia 𝜀𝑃 0 = 0 𝜀𝑃 𝐾𝑇 = 1

𝑒 𝜀𝑃 ∞ = 0

𝜀𝑃 𝜀 = 𝜀𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇

𝜀 = 𝜀𝑃 𝜀 𝑑𝜀

₀^∞

𝑃 𝜀 𝑑𝜀

₀^∞

= 𝜀 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 𝑑𝜀

∞ 0

𝜀 = 𝐾𝑇



Cálculo da energia média – quanticamente

 Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função

ε

P(

ε

) terá a forma:

 Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema.

⤇ área sob a curva

𝜀 =

^∞_𝑛=0

𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

∆𝜀 𝑃 𝜀

_𝑛

∞𝑛=0

∆𝜀 = 𝜀

_𝑛

𝑒

^{−𝜀𝑛 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 ∆𝜀

∞ 𝑛=0

 Teremos duas possibilidades:

⤇

⤇

∆𝜀 < 𝐾𝑇 ∆𝜀 → 0 𝜀

_∆𝜀→0

= 𝐾𝑇

∆𝜀 > 𝐾𝑇 ∆𝜀 → ∞ 𝜀

_{∆𝜀→∞}

= 0

 Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a

que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro

 Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre D

ε

e 

 Supondo a forma mais simples:

 Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais

 Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma

usando

𝜀

_∆𝜀→0

= 𝐾𝑇 𝜀

_{∆𝜀→∞}

= 0

𝜀

_𝜈→0

= 𝐾𝑇 𝜀

_𝜈→∞

= 0

∆𝜀 = ℎ𝜈

𝜀 =

^∞_𝑛=0

𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

∆𝜀 𝑃 𝜀

_𝑛

∞𝑛=0

∆𝜀 ∆𝜀 = ℎ𝜈

(i) energias são discretas, com

(ii) substituindo

∆𝜀 = ℎ𝜈 𝜀 = 0, ℎ𝜈, 2ℎ𝜈, 3ℎ𝜈, 4ℎ𝜈, …

𝜀

_𝑛

= 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ ℕ 𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 = 𝑒

^{−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ 𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝜀

_𝑛

𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 = 𝑛ℎ𝜈 𝑒

^{−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ ℎ𝜈

𝐾𝑇 = 𝛼 𝜀

_𝑛

= 𝑛𝛼𝐾𝑇

𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝑒

^−𝑛𝛼

𝐾𝑇

𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝑛𝛼𝑒

^−𝑛𝛼

(iii) substituindo na soma

(iv) truque

𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑓 𝛼 = 1 𝑓 𝛼

𝑑

𝑑𝛼 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 =

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 ln

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

= 1

𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

= 1

𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 𝑒

^−𝑛𝛼

∞ 𝑛=0

= 1 𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0 ^∞

−𝑛𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

= −

^∞_𝑛=0

𝑛𝑒

^−𝑛𝛼

𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0

𝜀 =

^∞_𝑛=0

𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

∆𝜀 𝑃 𝜀

_𝑛

∆𝜀

∞𝑛=0

= 𝐾𝑇𝛼

^∞_𝑛=0

𝑛𝑒

^−𝑛𝛼

𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0

(v) substituindo novamente na soma

(vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

𝜀 = 𝐾𝑇𝛼

^∞_𝑛=0

𝑛𝑒

^−𝑛𝛼

𝑒

^−𝑛𝛼

∞𝑛=0

= −𝐾𝑇𝛼 𝑑

𝑑𝛼 ln

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

𝑒

^−𝛼

= 𝑋 𝑒

^−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

=

^∞

𝑋

^𝑛

𝑛=0

= 1 + 𝑋 + 𝑋

²

+ 𝑋

³

+ ⋯ = 1 − 𝑋

⁻¹

= 1 − 𝑒

^{−𝛼 −1}

ln 1 − 𝑒

^{−𝛼 −1}

= − ln 1 − 𝑒

^−𝛼

𝑑

𝑑𝛼 ln

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

= − 𝑑

𝑑𝛼 ln 1 − 𝑒

^−𝛼

= − 1

1 − 𝑒

^−𝛼

𝑑

𝑑𝛼 1 − 𝑒

^−𝛼

= − 1

1 − 𝑒

^−𝛼

𝑒

^−𝛼

× 𝑒

^𝛼

𝑒

^𝛼

= − 1

𝑒

^𝛼

− 1

(vii) substituindo novamente na soma

(viii) retornando teremos a equação final

 Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será

com

 Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será

𝜀 = −𝐾𝑇𝛼 𝑑

𝑑𝛼 ln

^∞

𝑒

^−𝑛𝛼

𝑛=0

= 𝐾𝑇 𝛼

𝑒

^𝛼

− 1

𝛼 = ℎ𝜈 𝐾𝑇

𝜀 = ℎ𝜈

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1

𝜀 = ℎ𝜈

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1 ∆𝜀 = ℎ𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝜀 = ℎ𝜈

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1

 Observando os limites dessa equação

(i) para

(expansão em série de Taylor)

(ii) para

Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

𝜀 = 𝐾𝑇 𝛼 𝑒

^𝛼

− 1

∆𝜀 = ℎ𝜈 ≪ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 = ℎ𝜈

𝐾𝑇 ≪ 1 → 0 𝜀

^𝛼 _𝛼→0

= 1 + 𝛼𝜀

^𝛼

+ ⋯

𝜀

_𝛼→0

= 𝐾𝑇 𝛼

1 + 𝛼𝜀

^𝛼

− 1 = 𝐾𝑇

𝜀

^𝛼

= 𝐾𝑇

∆𝜀 = ℎ𝜈 ≫ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 = ℎ𝜈

𝐾𝑇 ≫ 1 → ∞ 𝜀

^𝛼 _𝛼→∞

≫ 1

𝜀

^𝛼 _𝛼→∞

≫ 𝛼 𝜀

_𝛼→∞

= 𝐾𝑇 𝛼

𝜀

^𝛼

= 0



Densidade de energia espectral – quanticamente

 Max Planck (1900)

- distribuição de Boltzmann

- energia possui apenas valores discretos

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

h = cte. de Planck = 6,63 .10^-34 J.s

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

𝑃 𝜀 = 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇

∆𝜀 = ℎ𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 = ℎ𝜈

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1

𝜌 𝜈 = 𝑁 𝜈

𝑉 𝑈 𝜈, 𝑇 = 8𝜋𝜈² 𝑐³

ℎ𝜈

𝑒^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}− 1 = 8𝜋ℎ 𝑐³

𝜈³ 𝑒^{ℎ𝜈 𝐾𝑇} − 1

𝜌 𝜈 = 8𝜋ℎ 𝑐³

𝜈³ 𝑒^{ℎ𝜈 𝐾𝑇} − 1



Confirmando a lei de Stefan

 Equação empírica (Stefan, 1879)

 Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando teremos

Lei de Planck confirma a lei de Stefan

𝑅

_𝑇

= 𝜎𝑇

⁴

𝑅

_𝑇

= 𝑐

4 𝜌

_𝑇

= 𝑐

4 𝜌 𝜈 𝑑𝜈

^∞

0

= 𝑐 4

8𝜋ℎ 𝑐

³

𝜈

³

𝑒

^{ℎ𝜈 𝐾𝑇}

− 1 𝑑𝜈

∞

0

𝑞 = ℎ𝜈 𝐾𝑇 = 2𝜋ℎ

𝑐

²

𝐾𝑇 ℎ

4

𝑞

³

𝑒

^𝑞

− 1 𝑑𝑞

∞ 0

𝑞

³

𝑒

^𝑞

− 1 𝑑𝑞

∞

0

= 𝜋

⁴

15

𝑅

_𝑇

= 2𝜋

⁵

𝐾

⁴

15𝑐

²

ℎ

³

𝑇

⁴

𝜎 = 2𝜋

⁵

𝐾

⁴

15𝑐

²

ℎ

³

= 5,67. 10

⁻⁸

W m

²

K

⁴



Confirmando a lei do deslocamento de Wien

 Equação empírica (Wien, 1894)

 Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando

chega-se à equação que tem solução S numérica única, e portanto

Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

𝜆

_𝑚𝑎𝑥

= 𝑐

_𝑊

1 𝑇

𝑑

𝑑𝜈 𝜌 𝜈 = 0 ; 𝑑

²

𝑑𝜈

²

𝜌 𝜈 < 0 ⟹ ponto de máximo

𝑥 = ℎ𝜈

_𝑚𝑎𝑥

𝐾𝑇

𝑥

3 + 𝑒

^−𝑥

= 1 3 𝑒

^{ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇}

− 1 − 𝜈

_𝑚𝑎𝑥

ℎ

𝐾𝑇 𝑒

^{ℎ𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇}

= 0

𝑥 = 𝑆 = ℎ𝜈

_𝑚𝑎𝑥

𝐾𝑇 ⟹ 𝜈

_𝑚𝑎𝑥

= 𝑆 𝐾 ℎ 𝑇 𝜆

_𝑚𝑎𝑥

= 𝑐

𝑆 ℎ 𝐾

1

𝑇 ⟹ 𝜆

_𝑚𝑎𝑥

= 𝑐

_𝑊

1

𝑇

4. Postulado de Planck



Quantização da energia em sistemas harmônicos simples

 Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir

apenas energias totais

ε

que satisfaçam à relação

onde



é a frequência de oscilação, e

h

uma constante universal (cte. de Planck)

 “Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente

𝜀

_𝑛

= 𝑛ℎ𝜈 𝑛 ∈ ℕ 𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 = 𝑒

^{−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ 𝜀

_𝑛

𝑃 𝜀

_𝑛

= 𝜀

_𝑛

𝑒

^{−𝜀 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 = 𝑛ℎ𝜈 𝑒

^{−𝑛ℎ𝜈 𝐾𝑇}

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ



Exemplo: pêndulo (elemento macroscópico)

 Características: massa m = 0,01 kg comprimento l = 0,1 m q_max = 0,1 rad

 Calculando a frequência:

 Calculando a altura máxima:

 Calculando a energia:

 Energia é quantizada:

precisão necessária para verificar se a energia é quantizada:

impossível verificar 𝜈 = 2𝜋𝜔 = 2𝜋 𝑔

𝑙 = 10 rad/s

ℎ_𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 − 𝑙 cos 𝜃_𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10⁻⁴ m

𝐸 = 𝑚𝑔ℎ_𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10⁻⁵ J

Δ𝐸 = ℎ𝜈 = 10⁻³³ J Δ𝐸

E = 2. 10⁻²⁹ J