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Anota¸c˜oes sobre radicais duplos.

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Academic year: 2022

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Texto

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Anota¸c ˜oes sobre radicais duplos.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uff.math@gmail.com

(2)

2

(3)

Sum ´ario

1 Radicais duplos 3

1.1 Radicais duplos . . . 3

3

(4)

4 SUM ´ARIO

(5)

Cap´ıtulo 1

Radicais duplos

1.1 Radicais duplos

Lema 1. Usaremos o seguinte resultado, se x e y s ˜ao n ˜ao negativos e x2 = y2, ent ˜ao x = y. Se um deles e nulo o outro tamb´em da´ı o resultado segue, supomos ent ˜ao ambos positivos. A propriedade vale pois de x2 =y2, segue que

(x−y)(x+y) =0,

n ˜ao podendo valer x+y = 0 pois ambos s ˜ao positivos, ent ˜ao vale x−y = 0, logo x = y. Usaremos esse resultado para demonstrar propriedades neste texto, em que iremos tratar, quase sempre, de n ´umero positivos.

b

Propriedade 1. Seja c=p

a2−b, da´ı c2 =a2−b. Ent ˜ao, valem as identi- dades:

1.

q a−√

b=

ra+c

2 −

ra−c 2 ;

5

(6)

6 CAP´ITULO 1. RADICAIS DUPLOS

2.

q a+√

b=

ra+c

2 +

ra−c 2 .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Elevamos as duas express ˜oes da igualdade que queremos mostrar ao quadrado.

1. A primeira express ˜ao ao quadrado fica q

a−

√ b

2

=a−

√ b.

Agora a segunda express ˜ao ra+c

2 −

ra−c 2

2

= a+c 2 −2

2

p(a+c)(a−c) + a−c

2 =a−p

a2−c2 =

=a−p

a2−a2+b=a−√ b.

O quadrado de ambos n ´umeros s ˜ao iguais, logo como s ˜ao positivos, os n ´umeros s ˜ao iguais, pelo lema.

2.

Z

Exemplo 1. Simplifique por radicais duplos a express ˜ao q

5+2√ 6.

Temos que

q

5+2√ 6=

q 5+√

4.6= q

5+√ 24.

Usamos a express ˜ao

q a+√

b=

ra+c

2 +

ra−c 2 ,

onde a = 5, b= 24 e c2 = a2−b = 25−24 =1, logo c= 1 e com a = 5, temos finalmente

q √ r

5+1 r

5−1 √ √

(7)

1.1. RADICAIS DUPLOS 7

$

Corol ´ario 1. Somando os dois radicais da propriedade anterior, temos

q a−√

b+ q

a+√ b=2

ra+c 2 . Subtraindo os dois termos, segue

q a+√

b− q

a−√ b=2

ra−c 2 .

Z

Exemplo 2. Calcule

q 4+√

12− q

4−√ 12.

Pelo corol ´ario anterior, usando que c = p

a2−b, a = 4, b = 12, temos c=√

16−12=

4 =2, logo o resultado ´e 2

ra−c 2 =2

r4−2 2 =2.

Referências

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