Anota¸c ˜oes sobre radicais duplos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima
‡rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
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Sum ´ario
1 Radicais duplos 3
1.1 Radicais duplos . . . 3
3
4 SUM ´ARIO
Cap´ıtulo 1
Radicais duplos
1.1 Radicais duplos
♣ Lema 1. Usaremos o seguinte resultado, se x e y s ˜ao n ˜ao negativos e x2 = y2, ent ˜ao x = y. Se um deles e nulo o outro tamb´em da´ı o resultado segue, supomos ent ˜ao ambos positivos. A propriedade vale pois de x2 =y2, segue que
(x−y)(x+y) =0,
n ˜ao podendo valer x+y = 0 pois ambos s ˜ao positivos, ent ˜ao vale x−y = 0, logo x = y. Usaremos esse resultado para demonstrar propriedades neste texto, em que iremos tratar, quase sempre, de n ´umero positivos.
b
Propriedade 1. Seja c=pa2−b, da´ı c2 =a2−b. Ent ˜ao, valem as identi- dades:
1.
q a−√
b=
ra+c
2 −
ra−c 2 ;
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6 CAP´ITULO 1. RADICAIS DUPLOS
2.
q a+√
b=
ra+c
2 +
ra−c 2 .
ê Demonstra ¸c ˜ao. Elevamos as duas express ˜oes da igualdade que queremos mostrar ao quadrado.
1. A primeira express ˜ao ao quadrado fica q
a−
√ b
2
=a−
√ b.
Agora a segunda express ˜ao ra+c
2 −
ra−c 2
2
= a+c 2 −2
2
p(a+c)(a−c) + a−c
2 =a−p
a2−c2 =
=a−p
a2−a2+b=a−√ b.
O quadrado de ambos n ´umeros s ˜ao iguais, logo como s ˜ao positivos, os n ´umeros s ˜ao iguais, pelo lema.
2.
Z
Exemplo 1. Simplifique por radicais duplos a express ˜ao q5+2√ 6.
Temos que
q
5+2√ 6=
q 5+√
4.6= q
5+√ 24.
Usamos a express ˜ao
q a+√
b=
ra+c
2 +
ra−c 2 ,
onde a = 5, b= 24 e c2 = a2−b = 25−24 =1, logo c= 1 e com a = 5, temos finalmente
q √ r
5+1 r
5−1 √ √
1.1. RADICAIS DUPLOS 7
$
Corol ´ario 1. Somando os dois radicais da propriedade anterior, temosq a−√
b+ q
a+√ b=2
ra+c 2 . Subtraindo os dois termos, segue
q a+√
b− q
a−√ b=2
ra−c 2 .
Z
Exemplo 2. Calculeq 4+√
12− q
4−√ 12.
Pelo corol ´ario anterior, usando que c = p
a2−b, a = 4, b = 12, temos c=√
16−12=
√
4 =2, logo o resultado ´e 2
ra−c 2 =2
r4−2 2 =2.
