Rodrigo Carlos Silva de Lima
‡rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
7 de dezembro de 2016
1
1 Logaritmos 3
1.1 Logaritmos e exponenciais . . . 3
1.1.1 ln(ax) =xln(a). . . 10
1.1.2 loga(xy) =loga(x) +loga(y) . . . 13
1.1.3 loga(xb) =blogax . . . 13
1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos . . . 14
1.3 Equa¸c˜oes e Logaritmos . . . 14
1.3.1 Mudan¸ca de base loga(b) = logc(b) logc(a). . . 15
1.3.2 logab(y) = 1 bloga(y) . . . 16
1.4 Logaritmo e desigualdades . . . 16
2
Cap´ıtulo 1 Logaritmos
1.1 Logaritmos e exponenciais
m
Defini ¸c ˜ao 1 (Logaritmo). Definimos a fun¸c˜ao logaritmo ln:R+ →R por ln(x) =Zx 1
1 tdt para x >0.
$
Corol ´ario 1. ln(x) ´e deriv´avel pois pelo TFC temos DZx 1
1
tdt= 1 x a fun¸c˜ao de lei g(t) = 1
t em [1, x] ou [x,1] com x >0, logo podemos aplicar o TFC.
$
Corol ´ario 2. ln(x) ´e cont´ınua, pois DZx 1
1
tdt= 1 x
´e deriv´avel.
3
$
Corol ´ario 3.ln(1) = Z1
1
1
tdt=0.
$
Corol ´ario 4. ln(x) ´e C∞, pois ´e deriv´avel com derivada 1x cont´ınua em (0,∞) e todas derivadas desta ´ultima s˜ao continuas e deriv´aveis no mesmo intervalo.
b
Propriedade 1. ln(x) ´e crescente.ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que D
Zx 1
1
tdt= 1 x
temos que x > 0 e para ser crescente , devemos ter Dln(x) = 1
x > 0, multiplicando por x n˜ao alteramos a desigualdade pois x > 0, disso segue 1 > 0 que vale, ent˜ao ln(x) ´e crescente para todos valores de x para os quais ela est´a definida.
Outra demonstra¸c˜ao, sejam x2, x1 tal que x2 > x1>0 temos ln(x2) −ln(x1) =
Zx2
1
1 tdt−
Zx1
1
1 tdt=
Zx2
x1
1 tdt como temos t ≤ x2 na integra¸c˜ao, temos x2 ≥ t ⇒ 1
t ≥ 1
x2 integrando de x1 at´e x2 segue
ln(x2) −ln(x1) = Zx2
x1
1 tdt≥
Zx2 x1
1
x2dt = 1
x2(x2−x1)>0 logo para x2 > x1 temos
ln(x2)>ln(x1) logo a fun¸c˜ao ´e crescente.
$
Corol ´ario 5. Para x > 1 tem-se ln(x) > 0 por ser integral de uma fun¸c˜ao positiva no intervalo [1, x].CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 5
$
Corol ´ario 6. ln(x)<0 quando x ∈(0,1) pois Zx1
1
tdt= − Z1
x
1 tdt
e a integral Z1
x
1
tdt ´e positiva.
b
Propriedade 2. ln(x) ´e cˆoncava.ê Demonstra ¸c ˜ao.
Pois sua segunda derivada ´e D(x−1) = (−1)
x2 <0 logo a fun¸c˜ao ´e cˆoncava.
b
Propriedade 3.ln(x.y) =ln(x) +ln(y).
ê Demonstra ¸c ˜ao. ln(x.y) =
Zxy
1
1 tdt=
Zx
1
1 tdt+
Zxy
x
1
tdt=ln(x) + Zxy
x
1 tdt=
na segunda integral fazemos a mudan¸ca de vari´avel t = xs, quando t = x, s = 1 e com t=xy, s=y, al´em disso dt
ds =x, dt=xds
=ln(x) + Zy
1
x
xsds=ln(x) + Zy
1
1
sds=ln(x) +ln(y).
b
Propriedade 4. Se (xk)n1 s˜ao n´umero reais maiores que zero, ent˜ao ln(Yn k=1
xk) = Xn
k=1
ln(xk)
ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n=0 o produto ´e vazio e tem valor 1 e temos ln(1) =0 e a soma ´e vazia logo temos o segundo termo 0. Considerando a identidade v´alida para n
ln( Yn
k=1
xk) = Xn
k=1
ln(xk)
, vamos provar para n+1
ln(
n+1
Y
k=1
xk) =
n+1
X
k=1
ln(xk)
ln( Yn+1
k=1
xk) =ln( Yn
k=1
xkxn+1) =ln( Yn
k=1
xk)+ln(xn+1) = Xn
k=1
ln(xk)+ln(xn+1) = Xn+1
k=1
ln(xk) .
$
Corol ´ario 7 (Potˆencia natural). Para n natural e x >0 real vale ln(xn) =nln(x).Pois xn= Yn
k=1
x, logo temos
ln( Yn
k=1
x) = Xn
k=1
ln(x) =ln(x) Xn
k=1
1=nln(x).
$
Corol ´ario 8 (Potˆencia inteira negativa).0=ln(1) =ln(xnx−n) =ln(xn) +ln(x−n) =nln(x) +lnx−n logo
ln(x−n) = −nln(x).
$
Corol ´ario 9 (Potˆencia racional). Sendo p e q6=0 inteiros ln(xpq
q
) =qln(xpq) =ln(xp) =pln(x) dividindo por q segue
ln(xpq) = p qln(x).
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 7
b
Propriedade 5.xlim→∞ln(x) =∞.
ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos
ln(2n) =nln(2) tomando o limite
lim ln(2n) =ln(2)limn=∞ lembrando que ln(2)>0.
b
Propriedade 6.limx→0ln(x) = −∞.
ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos uma sequˆencia tendendo a zero xn =2−n ln(2−n) = −nln(2)
aplicando o limite
lim ln(2−n) = −ln(2)limn= −∞.
$
Corol ´ario 10. A fun¸c˜ao ln(x) ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua de R+ em R, ela ´e injetiva por ser crescente e sobrejetiva por ser cont´ınua e ilimitada inferiormente e superiormente.m
Defini ¸c ˜ao 2 (Fun¸c˜ao exponencial). Definimos a fun¸c˜ao exponencial Rem R+ como sendo a inversa de ln(x).ex =y⇔ln(y) =x.
$
Corol ´ario 11. e0=1 pois ln(1) =0.b
Propriedade 7.D[ex] =ex. ê Demonstra ¸c ˜ao.
ln(ex) =x derivando pela regra da cadeia segue
D(ex) ex =1 D(ex) =ex.
$
Corol ´ario 12. D(eax) =aeax pois aplicamos a derivada da composi¸c˜ao.$
Corol ´ario 13. Disso segue que ex ´e C∞, convexa e crescente pois Dex = ex assume valor em R+.b
Propriedade 8. Para a, b∈R valeea.eb=ea+b.
ê Demonstra ¸c ˜ao.
ln(ea.eb) =ln(ea) +ln(eb) =a+b=ln(e(a+b)) com ln ´e injetiva segue que os argumentos da fun¸c˜ao devem ser iguais
ea.eb =e(a+b).
$
Corol ´ario 14. Valee
Pn k=1xk
= Yn
k=1
exk
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 9
pois
ln( Yn
k=1
exk) = Xn
k=1
ln(exk) = Xn
k=1
xk=ln(e
Pn k=1xk
)
da´ı pela fun¸c˜ao ser injetiva segue e
Pn k=1
xk
= Yn
k=1
exk.
$
Corol ´ario 15. Pra n natural vale(eyn) = (ey)n
na propriedade anterior tome y=xk∀k, da´ı temos Xn
k=1
y=ny
e
Pn k=1y
=eny = Yn
k=1
ey= (ey)n.
$
Corol ´ario 16. Vale que e−x = 1ex pois 1 = e0 = e−x+x = e−xex logo e−x deve ser o inverso multiplicativo de ex.
$
Corol ´ario 17. Vale que limx→∞ex =∞ pois ex ´e crescente e bije¸c˜ao com imagem R+, logo assume valores arbitrariamente grandes de maneira similar vale que
x→lim−∞ex = lim
x→∞
1 ex =0.
b
Propriedade 9. Seja f : R → R deriv´avel em R, tal que f0(x) = af(x) ent˜ao vale f(x) =keax para alguma constante k∈R.ê Demonstra ¸c ˜ao.
Consideramos a derivada da fun¸c˜ao de lei g(x) = f(x) eax da´ı g0(x) = f0(x)eax−f(x).aeax
e2ax = f(x)aeax−f(x).aeax
e2ax =0
logo existe k tal que
f(x) =keax.
A constante k pode ser encontrada por meio de uma condi¸c˜ao inicial.
$
Corol ´ario 18. Se for dada a condi¸c˜ao inicial f(x0) = c ent˜ao f(x0) =keax0 = c⇒k=ce−ax0 ⇒f(x) =cea(x−x0).$
Corol ´ario 19. Como D e|{z}xf(x)
=ex ent˜ao f0(0) =1, da´ı
limx→0
ex−e0
x−0 =lim
x→0
ex−1 x =1.
1.1.1 ln (a
x) = x ln (a).
m
Defini ¸c ˜ao 3 (Potˆencia de base a e expoente x, ex.). Dado a > 0 e x ∈ R, definimos ax como o ´unico n´umero real tal que vale ln(ax) =xln(a).$
Corol ´ario 20. ax =eln(ax) =exln(a).$
Corol ´ario 21. aqp = (ap)q1 poisapqepqln(a) =eln(ap)
q1
= (ap)q1.
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 11
$
Corol ´ario 22. ax+y =ax.ay, poisax+y =e(x+y)ln(a)=exln(a)+yln(a) =exln(a).eyln(a)=ax.ay.
$
Corol ´ario 23. a0=1 pois a0=e0 ln(a) =1.$
Corol ´ario 24. a−x = 1ax, pois a−x+x = a0 = 1 = a−xax, logo um ´e inverso do outro.
$
Corol ´ario 25. ax ´e sempre positivo pois ax =exln(a)>0.$
Corol ´ario 26. axy = (ax)y poisln(axy) =xyln(a) ln((ax)y) =yln(ax) =xyln(a)
como os dois n ´umeros tem o mesmo logaritmo eles s˜ao iguais.
$
Corol ´ario 27. Temos a derivada(ax)0 = (exln(a))0 =ln(a)(exln(a)) =ln(a)ax.
$
Corol ´ario 28. f(x) = R → R com f(x) = ax ´e C∞, pois possui derivada de todas ordens em todos pontos.$
Corol ´ario 29. f ´e crescente se a > 1 e decrescente se a < 1, pois f0(x) =axln(a)<0 se a <1 e f0(x)>0 se a > 1.
$
Corol ´ario 30. se a=1, 1x =exln(1)=e0=1, ent˜ao a fun¸c˜ao ´e constante.$
Corol ´ario 31. Se a >1xlim→∞ax = lim
x→∞exln(a)=∞,
x→lim−∞ax = lim
x→−∞exln(a)=0, se a <1
xlim→∞ax = lim
x→∞ex
<0
z }| { ln(a) = 0,
x→lim−∞ax = lim
x→−∞ex
<0
z }| { ln(a) =∞,
$
Corol ´ario 32. f(x) = ax ´e bije¸c˜ao de R em R+, pois ´e cont´ınua, n˜ao limitada superiormente.m
Defini ¸c ˜ao 4 (Logaritmo na base a). A fun¸c˜ao inversa de f(x) = ax ´e log:R+ →R, com aplica¸c˜ao simbolizada por loga(x), sendo chamada de logaritmo de x na base a.y=loga(x)⇔ay =x.
$
Corol ´ario 33. Vale que loga(x) = ln(x) ln(a), poiseln(x)=x=aloga(x)=eloga(x)ln(a)⇒ln(x) =loga(x).ln(a)⇒
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 13
loga(x) = ln(x) ln(a).
1.1.2 log
a(xy) = log
a(x) + log
a(y)
$
Corol ´ario 34. loga(xy) =loga(x) +loga(y) poisloga(xy) = ln(xy)
ln(a) = ln(x)
ln(a)+ ln(y)
ln(a) =loga(x) +loga(y).
1.1.3 log
a(x
b) = b log
ax
b
Propriedade 10. Vale queloga(xb) =blogax.
ê Demonstra ¸c ˜ao. A igualdade vale pois loga(xb) = ln(xb)
ln(a) =bln(x)
ln(a) =blogax.
$
Corol ´ario 35. (loga(x)) = (ln(x)ln(a))0 = 1 xln(a).
b
Propriedade 11. Vale queylim→∞(1+ 1
y)y =e.
ê Demonstra ¸c ˜ao. [ln(x)]0 = 1
x em x = 1 resulta em 1, da´ı por defini¸c˜ao de derivada
limx→0
ln(x+1) −ln(1)
x =lim
x→0
ln(x+1)
x =1
logo
limx→0ln((1+x)x1) =1=
por continuidade de ln temos
ln(lim
x→0(1+x)x1) =1 logo por injetividade segue que
ylim→∞(1+ 1
y)y =e.
1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos
m
Defini ¸c ˜ao 5. Na nota¸c˜aologab=x, dizemos que
• a ´e a base do logaritmo.
• b ´e o logaritmando.
• x ´e o logaritmo.
• Fixado a∈(0,1)∪(1,∞), temos a fun¸c˜ao
loga : [0,∞)→R, que associa b ao n ´umero logab.
• Chamamos a opera¸c˜ao de aplicar o logaritmo de logaritma¸c˜ao.
• O resultado da opera¸c˜ao de logaritma¸c˜ao chamamos de logaritmo.
1.3 Equa ¸c ˜ oes e Logaritmos
Z
Exemplo 1. Resolva a equa¸c˜aoabx+c =dfx+g.
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 15
Suponha a, d positivos e bln(a) −fln(d)6=0. Aplicando ln de ambos lados, segue que
(bx+c)ln(a) = (fx+g)ln(d)⇔bxln(a) −fxln(d) =gln(d) −cln(a)⇔ x = gln(d) −cln(a)
bln(a) −fln(d).
Z
Exemplo 2 (ITA 1966). Calcule log216−log432.Usando propriedade de logaritmos temos
log216−log432=log224−log425 =4−log4452 =4−5 2 = 3
2.
1.3.1 Mudan ¸ca de base log
a(b) = log
c(b) log
c(a) .
b
Propriedade 12 (Mudan¸ca de base). Vale queloga(b) = logc(b) logc(a). ê Demonstra ¸c ˜ao.[1]
Provar tal igualdade ´e equivalente a provar
loga(b).logc(a) =logc(b), usamos as identidades
loga(b) = ln(b)
ln(a), logc(a) = ln(a) ln(c), multiplicando os termos acima, obtemos
loga(b).logc(a) = ln(b) ln(c), que ´e exatamente logc(b).
ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Tomando 1. loga(b) =x,
2. logc(b) =y, 3. logc(a) =z,
por defini¸c˜ao de logaritmo temos respectivamente 1. ax =b,
2. cy =b, 3. cz =a,
De cz = a elevando a x temos pelas rela¸c˜oes anteriores czx = ax = b = cy ent˜ao czx =cy por injetividade da potencia¸c˜ao tem-se que
zx=y⇔x = y
z, isto ´e logc(b) logc(a), como quer´ıamos provar.
1.3.2 log
ab(y) = 1
b log
a(y)
b
Propriedade 13. Vale quelogab(y) = 1
bloga(y)
ê Demonstra ¸c ˜ao. Usamos a propriedade de mudan¸ca de base logab(y) = loga(y)
loga(ab) = loga(y) b . Como quer´ıamos provar.
1.4 Logaritmo e desigualdades
b
Propriedade 14. A fun¸c˜ao logar´ıtmica f(x) =lga(x) ´e estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se a <1.ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que
lga(x) = ln(x) ln(a),
CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 17
• Se a > 1, ent˜ao ln(a)>1 e ln(x) ´e crescente, logo lga(x) tamb´em.
• Se a < 1, ent˜ao ln(a) < 1 e ln(x) ´e crescente, ent˜ao se x > y, segue que ln(x)> ln(y), multiplicando por 1
ln(a) de ambos lados da desigualdade, segue
que ln(x)
ln(a)
| {z }
lga(x)
< ln(y) ln(a)
| {z }
lga(y)
,
portanto lga(x) ´e decrescente.
m
Defini ¸c ˜ao 6 (Antilogaritmo). Nas condi¸c˜oes de existˆencia do logaritmo, definimos o antilogaritmo, da seguinte maneira:antilogax =b⇔logab=x.
Vale que
antilogax =ax, pois se logab=x⇔ax =b.
Z
Exemplo 3. Analise a desigualdade|log42(1−x2) −log4(x+1)|< 1 2.
Multiplicando a desigualdade de ambos lados por 2, aplicando log42(1 −x2) = 1
2log4(1−x2), 2 log4(x+1) = log4(x+1)2 e depois propriedade de subtra¸c˜ao de logaritmos, segue que
|log4(1−x2) −log4(x+1)2|<1⇔|log4(1−x2)
(x+1)2|<1⇔ por propriedade de m´odulo
−1<log4(1−x2) (x+1)2 <1
e propriedade de logaritmo, obtemos finalmente 1
4 < (1−x2) (x+1)2 <4.
Z
Exemplo 4 (ITA-1966). Estudar o conjunto em que lga(x2−3x+22x−4 )≥0 com a=
√2 2 .
Como a <1 o logaritmo ´e decrescente, ent˜ao devemos ter 0≤(x2−3x+2 2x−4 )≤ 1. Fatoramos o numerador x3 − 2x +2 = (x −1)(x −2), da´ı simplificamos a desigualdade em
x−1
2 >0⇔x >1 e a outra desigualdade
x−1
2 ≤1⇔x ≤3
juntando as duas condi¸c˜oes o conjunto em que a desigualdade vale ´e (1,2)∪(2,3), pois x6=2, o denominador n˜ao pode se anular.