Anota¸c˜oes sobre Logaritmos.

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

7 de dezembro de 2016

(2)

1

(3)

1 Logaritmos 3

1.1 Logaritmos e exponenciais . . . 3

1.1.1 ln(a^x) =xln(a). . . 10

1.1.2 loga(xy) =loga(x) +loga(y) . . . 13

1.1.3 loga(x^b) =blogax . . . 13

1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos . . . 14

1.3 Equa¸c˜oes e Logaritmos . . . 14

1.3.1 Mudan¸ca de base loga(b) = logc(b) logc(a). . . 15

1.3.2 loga^b(y) = 1 bloga(y) . . . 16

1.4 Logaritmo e desigualdades . . . 16

2

(4)

Cap´ıtulo 1 Logaritmos

1.1 Logaritmos e exponenciais

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Logaritmo). Definimos a fun¸c˜ao logaritmo ln:R⁺ →R por ln(x) =

Zx 1

1 tdt para x >0.

$

Corol ário 1. ln(x) é derivável pois pelo TFC temos D

Zx 1

1

tdt= 1 x a fun¸c˜ao de lei g(t) = 1

t em [1, x] ou [x,1] com x >0, logo podemos aplicar o TFC.

$

Corol ´ario 2. ln(x) ´e cont´ınua, pois D

Zx 1

1

tdt= 1 x

´e deriv´avel.

3

(5)

$

Corol ´ario 3.

ln(1) = Z₁

1

tdt=0.

$

Corol ário 4. ln(x) é C^∞, pois é derivável com derivada 1

x cont´ınua em (0,∞) e todas derivadas desta última são continuas e deriváveis no mesmo intervalo.

b

Propriedade 1. ln(x) ´e crescente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que D

Zx 1

1

tdt= 1 x

temos que x > 0 e para ser crescente , devemos ter Dln(x) = 1

x > 0, multiplicando por x não alteramos a desigualdade pois x > 0, disso segue 1 > 0 que vale, então ln(x) é crescente para todos valores de x para os quais ela está definida.

Outra demonstra¸c˜ao, sejam x₂, x₁ tal que x₂ > x₁>0 temos ln(x₂) −ln(x₁) =

Z_x₂

1

1 tdt−

Z_x₁

1

1 tdt=

Z_x₂

x₁

1 tdt como temos t ≤ x₂ na integra¸c˜ao, temos x₂ ≥ t ⇒ 1

t ≥ 1

x₂ integrando de x₁ at´e x₂ segue

ln(x₂) −ln(x₁) = Zx₂

x₁

1 tdt≥

Zx₂ x₁

1

x₂dt = 1

x₂(x₂−x₁)>0 logo para x₂ > x₁ temos

ln(x₂)>ln(x₁) logo a fun¸c˜ao ´e crescente.

$

Corol ´ario 5. Para x > 1 tem-se ln(x) > 0 por ser integral de uma fun¸c˜ao positiva no intervalo [1, x].

(6)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 5

$

Corol ´ario 6. ln(x)<0 quando x ∈(0,1) pois Zx

1

tdt= − Z₁

x

1 tdt

e a integral Z1

x

1

tdt ´e positiva.

b

Propriedade 2. ln(x) ´e cˆoncava.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Pois sua segunda derivada ´e D(x⁻¹) = (−1)

x² <0 logo a fun¸cão é côncava.

b

Propriedade 3.

ln(x.y) =ln(x) +ln(y).

ê Demonstra ¸c ˜ao. ln(x.y) =

Z_xy

1

1 tdt=

Z_x

1

1 tdt+

Z_xy

x

1

tdt=ln(x) + Z_xy

x

1 tdt=

na segunda integral fazemos a mudan¸ca de vari´avel t = xs, quando t = x, s = 1 e com t=xy, s=y, al´em disso dt

ds =x, dt=xds

=ln(x) + Zy

1

x

xsds=ln(x) + Zy

1

sds=ln(x) +ln(y).

b

Propriedade 4. Se (x_k)ⁿ₁ são número reais maiores que zero, então ln(

Yn k=1

xk) = Xn

k=1

ln(xk)

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸cão sobre n, para n=0 o produto é vazio e tem valor 1 e temos ln(1) =0 e a soma é vazia logo temos o segundo termo 0. Considerando a identidade válida para n

ln( Yn

k=1

x_k) = Xn

k=1

ln(x_k)

(7)

, vamos provar para n+1

ln(

n+1

Y

k=1

xk) =

n+1

X

k=1

ln(xk)

ln( Yn+1

k=1

xk) =ln( Yn

k=1

xkxn+1) =ln( Yn

k=1

xk)+ln(xn+1) = Xn

k=1

ln(xk)+ln(xn+1) = Xn+1

k=1

ln(xk) .

$

Corol ´ario 7 (Potˆencia natural). Para n natural e x >0 real vale ln(xⁿ) =nln(x).

Pois xⁿ= Yn

k=1

x, logo temos

ln( Yn

k=1

x) = Xn

k=1

ln(x) =ln(x) Xn

k=1

1=nln(x).

$

Corol ´ario 8 (Potˆencia inteira negativa).

0=ln(1) =ln(xⁿx⁻ⁿ) =ln(xⁿ) +ln(x⁻ⁿ) =nln(x) +lnx⁻ⁿ logo

ln(x⁻ⁿ) = −nln(x).

$

Corol ´ario 9 (Potˆencia racional). Sendo p e q6=0 inteiros ln(

x^p^q

q

) =qln(x^p^q) =ln(x^p) =pln(x) dividindo por q segue

ln(x^p^q) = p qln(x).

(8)

b

Propriedade 5.

xlim→∞ln(x) =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos

ln(2ⁿ) =nln(2) tomando o limite

lim ln(2ⁿ) =ln(2)limn=∞ lembrando que ln(2)>0.

b

Propriedade 6.

limx→0ln(x) = −∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos uma sequˆencia tendendo a zero x_n =2⁻ⁿ ln(2⁻ⁿ) = −nln(2)

aplicando o limite

lim ln(2⁻ⁿ) = −ln(2)limn= −∞.

$

Corol ário 10. A fun¸cão ln(x) é uma bĳe¸cão cont´ınua de R⁺ em R, ela é injetiva por ser crescente e sobrejetiva por ser cont´ınua e ilimitada inferiormente e superiormente.

m

Defini ¸c ão 2 (Fun¸cão exponencial). Definimos a fun¸cão exponencial Rem R⁺ como sendo a inversa de ln(x).

e^x =y⇔ln(y) =x.

(9)

$

Corol ´ario 11. e⁰=1 pois ln(1) =0.

b

Propriedade 7.

D[e^x] =e^x. ê Demonstra ¸c ˜ao.

ln(e^x) =x derivando pela regra da cadeia segue

D(e^x) e^x =1 D(e^x) =e^x.

$

Corol ário 12. D(eâx) =aeâx pois aplicamos a derivada da composi¸cão.

$

Corol ´ario 13. Disso segue que e^x ´e C^∞, convexa e crescente pois De^x = e^x assume valor em R⁺.

b

Propriedade 8. Para a, b∈R vale

e^a.e^b=e^a+b.

ln(eâ.e^b) =ln(eâ) +ln(e^b) =a+b=ln(e^(a+b)) com ln é injetiva segue que os argumentos da fun¸cão devem ser iguais

e^a.e^b =e^(a+b).

$

Corol ´ario 14. Vale

e

Pn k=1xk

= Yn

k=1

e^x^k

(10)

pois

ln( Yn

k=1

e^x^k) = Xn

k=1

ln(e^x^k) = Xn

k=1

x_k=ln(e

Pn k=1xk

)

da´ı pela fun¸c˜ao ser injetiva segue e

Pn k=1

x_k

= Yn

k=1

e^x^k.

$

Corol ´ario 15. Pra n natural vale

(e^yn) = (e^y)ⁿ

na propriedade anterior tome y=x_k∀k, da´ı temos Xn

k=1

y=ny

e

Pn k=1y

=e^ny = Yn

k=1

e^y= (e^y)ⁿ.

$

Corol ´ario 16. Vale que e^−x = 1

e^x pois 1 = e⁰ = e^−x+x = e^−xe^x logo e^−x deve ser o inverso multiplicativo de e^x.

$

Corol ´ario 17. Vale que lim

x→∞e^x =∞ pois e^x ´e crescente e bĳe¸c˜ao com imagem R⁺, logo assume valores arbitrariamente grandes de maneira similar vale que

x→lim−∞e^x = lim

x→∞

1 e^x =0.

b

Propriedade 9. Seja f : R → R derivável em R, tal que f⁰(x) = af(x) então vale f(x) =keâx para alguma constante k∈R.

(11)

Consideramos a derivada da fun¸cão de lei g(x) = f(x) eâx da´ı g⁰(x) = f⁰(x)eâx−f(x).aeâx

e^2ax = f(x)ae^ax−f(x).ae^ax

e^2ax =0

logo existe k tal que

f(x) =ke^ax.

A constante k pode ser encontrada por meio de uma condi¸c˜ao inicial.

$

Corol ário 18. Se for dada a condi¸cão inicial f(x₀) = c então f(x₀) =keâx⁰ = c⇒k=ce^−ax⁰ ⇒f(x) =ceâ(x−x⁰⁾.

$

Corol ´ario 19. Como D e|{z}^x

f(x)

=e^x ent˜ao f⁰(0) =1, da´ı

limx→0

e^x−e⁰

x−0 =lim

x→0

e^x−1 x =1.

1.1.1 ln (a

^x

) = x ln (a).

m

Defini ¸c ão 3 (Potência de base a e expoente x, e^x.). Dado a > 0 e x ∈ R, definimos a^x como o único número real tal que vale ln(a^x) =xln(a).

$

Corol ´ario 20. a^x =e^ln(a^x⁾ =e^x^ln(a).

$

Corol ´ario 21. a^q^p = (a^p)^q¹ pois

a^p^qe^p^q^ln(a) =e^ln^(a^p⁾

q1

= (a^p)^q¹.

(12)

$

Corol ´ario 22. a^x+y =a^x.a^y, pois

a^x+y =e^(x+y)^ln(a)=e^x^ln(a)+y^ln(a) =e^x^ln(a).e^y^ln(a)=a^x.a^y.

$

Corol ´ario 23. a⁰=1 pois a⁰=e^{0 ln(a)} =1.

$

Corol ´ario 24. a^−x = 1

a^x, pois a^−x+x = a⁰ = 1 = a^−xa^x, logo um ´e inverso do outro.

$

Corol ´ario 25. a^x ´e sempre positivo pois a^x =e^x^ln(a)>0.

$

Corol ´ario 26. a^xy = (a^x)^y pois

ln(a^xy) =xyln(a) ln((a^x)^y) =yln(a^x) =xyln(a)

como os dois n ´umeros tem o mesmo logaritmo eles s˜ao iguais.

$

Corol ´ario 27. Temos a derivada

(a^x)⁰ = (e^x^ln(a))⁰ =ln(a)(e^x^ln(a)) =ln(a)a^x.

$

Corol ´ario 28. f(x) = R → R com f(x) = a^x ´e C^∞, pois possui derivada de todas ordens em todos pontos.

$

Corol ´ario 29. f ´e crescente se a > 1 e decrescente se a < 1, pois f⁰(x) =

(13)

a^xln(a)<0 se a <1 e f⁰(x)>0 se a > 1.

$

Corol ário 30. se a=1, 1^x =e^x^ln(1)=e⁰=1, então a fun¸cão é constante.

$

Corol ´ario 31. Se a >1

xlim→∞a^x = lim

x→∞e^x^ln(a)=∞,

x→lim−∞a^x = lim

x→−∞e^x^ln(a)=0, se a <1

xlim→∞a^x = lim

x→∞e^x

<0

z }| { ln(a) = 0,

x→lim−∞a^x = lim

x→−∞e^x

<0

z }| { ln(a) =∞,

$

Corol ário 32. f(x) = a^x é bĳe¸cão de R em R⁺, pois é cont´ınua, não limitada superiormente.

m

Defini ¸c ão 4 (Logaritmo na base a). A fun¸cão inversa de f(x) = a^x é log:R⁺ →R, com aplica¸cão simbolizada por logâ(x), sendo chamada de logaritmo de x na base a.

y=loga(x)⇔a^y =x.

$

Corol ´ario 33. Vale que loga(x) = ln(x) ln(a), pois

e^ln(x)=x=a^log^a^(x)=e^log^a^(x)ln(a)⇒ln(x) =loga(x).ln(a)⇒

(14)

log_a(x) = ln(x) ln(a).

1.1.2 log

a

(xy) = log

a

(x) + log

a

(y)

$

Corol ´ario 34. loga(xy) =loga(x) +loga(y) pois

log_a(xy) = ln(xy)

ln(a) = ln(x)

ln(a)+ ln(y)

ln(a) =log_a(x) +log_a(y).

1.1.3 log

a

(x

^b

) = b log

a

x

b

Propriedade 10. Vale que

log_a(x^b) =blog_ax.

ê Demonstra ¸c ˜ao. A igualdade vale pois loga(x^b) = ln(x^b)

ln(a) =bln(x)

ln(a) =blogax.

$

Corol ´ario 35. (loga(x)) = (ln(x)

ln(a))⁰ = 1 xln(a).

b

ylim→∞(1+ 1

y)^y =e.

ê Demonstra ¸c ˜ao. [ln(x)]⁰ = 1

x em x = 1 resulta em 1, da´ı por defini¸c˜ao de derivada

limx→0

ln(x+1) −ln(1)

x =lim

x→0

ln(x+1)

x =1

logo

limx→0ln((1+x)^x¹) =1=

(15)

por continuidade de ln temos

ln(lim

x→0(1+x)^x¹) =1 logo por injetividade segue que

ylim→∞(1+ 1

y)^y =e.

1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos

m

Defini ¸c ˜ao 5. Na nota¸c˜ao

logab=x, dizemos que

• a ´e a base do logaritmo.

• b ´e o logaritmando.

• x ´e o logaritmo.

• Fixado a∈(0,1)∪(1,∞), temos a fun¸c˜ao

loga : [0,∞)→R, que associa b ao n ´umero log^ab.

• Chamamos a opera¸c˜ao de aplicar o logaritmo de logaritma¸c˜ao.

• O resultado da opera¸c˜ao de logaritma¸c˜ao chamamos de logaritmo.

1.3 Equa ¸c ˜ oes e Logaritmos

Z

^Exemplo ^1. Resolva a equa¸c˜ao

a^bx+c =d^fx+g.

(16)

Suponha a, d positivos e bln(a) −fln(d)6=0. Aplicando ln de ambos lados, segue que

(bx+c)ln(a) = (fx+g)ln(d)⇔bxln(a) −fxln(d) =gln(d) −cln(a)⇔ x = gln(d) −cln(a)

bln(a) −fln(d).

Z

^Exemplo ² ^{(ITA 1966)}^. Calcule log₂16−log₄32.

Usando propriedade de logaritmos temos

log₂16−log₄32=log₂2⁴−log₄2⁵ =4−log₄4⁵² =4−5 2 = 3

2.

1.3.1 Mudan ¸ca de base log

a

(b) = log

c

(b) log

_c

(a) .

b

Propriedade 12 (Mudan¸ca de base). Vale que

loga(b) = logc(b) logc(a). ê Demonstra ¸c ˜ao.[1]

Provar tal igualdade ´e equivalente a provar

loga(b).logc(a) =logc(b), usamos as identidades

loga(b) = ln(b)

ln(a), logc(a) = ln(a) ln(c), multiplicando os termos acima, obtemos

loga(b).logc(a) = ln(b) ln(c), que ´e exatamente logc(b).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Tomando 1. loga(b) =x,

(17)

2. logc(b) =y, 3. logc(a) =z,

por defini¸c˜ao de logaritmo temos respectivamente 1. a^x =b,

2. c^y =b, 3. c^z =a,

De c^z = a elevando a x temos pelas rela¸cões anteriores c^zx = a^x = b = c^y então c^zx =c^y por injetividade da potencia¸cão tem-se que

zx=y⇔x = y

z, isto ´e log_c(b) logc(a), como quer´ıamos provar.

1.3.2 log

a^b

(y) = 1

b log

a

(y)

b

loga^b(y) = 1

bloga(y)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usamos a propriedade de mudan¸ca de base log_a^b(y) = log_a(y)

loga(a^b) = log_a(y) b . Como quer´ıamos provar.

1.4 Logaritmo e desigualdades

b

Propriedade 14. A fun¸c˜ao logar´ıtmica f(x) =lg_a(x) ´e estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se a <1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que

lga(x) = ln(x) ln(a),

(18)

• Se a > 1, então ln(a)>1 e ln(x) é crescente, logo lgâ(x) também.

• Se a < 1, então ln(a) < 1 e ln(x) é crescente, então se x > y, segue que ln(x)> ln(y), multiplicando por 1

ln(a) de ambos lados da desigualdade, segue

que ln(x)

ln(a)

| {z }

lga(x)

< ln(y) ln(a)

| {z }

lga(y)

,

portanto lga(x) ´e decrescente.

m

Defini ¸c ão 6 (Antilogaritmo). Nas condi¸cões de existência do logaritmo, definimos o antilogaritmo, da seguinte maneira:

antilogax =b⇔log_ab=x.

Vale que

antilog_ax =a^x, pois se logab=x⇔a^x =b.

Z

^Exemplo ^3. Analise a desigualdade

|log₄²(1−x²) −log₄(x+1)|< 1 2.

Multiplicando a desigualdade de ambos lados por 2, aplicando log₄²(1 −x²) = 1

2log₄(1−x²), 2 log₄(x+1) = log₄(x+1)² e depois propriedade de subtra¸c˜ao de logaritmos, segue que

|log₄(1−x²) −log₄(x+1)²|<1⇔|log₄(1−x²)

(x+1)²|<1⇔ por propriedade de m´odulo

−1<log₄(1−x²) (x+1)² <1

(19)

e propriedade de logaritmo, obtemos finalmente 1

4 < (1−x²) (x+1)² <4.

Z

^Exemplo ⁴ ^(ITA-1966)^. Estudar o conjunto em que lg_a(x²−3x+2

2x−4 )≥0 com a=

√2 2 .

Como a <1 o logaritmo ´e decrescente, ent˜ao devemos ter 0≤(x²−3x+2 2x−4 )≤ 1. Fatoramos o numerador x³ − 2x +2 = (x −1)(x −2), da´ı simplificamos a desigualdade em

x−1

2 >0⇔x >1 e a outra desigualdade

x−1

2 ≤1⇔x ≤3

juntando as duas condi¸cões o conjunto em que a desigualdade vale é (1,2)∪(2,3), pois x6=2, o denominador não pode se anular.