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Anota¸c˜oes sobre Logaritmos.

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Academic year: 2022

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(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uff.math@gmail.com

7 de dezembro de 2016

(2)

1

(3)

1 Logaritmos 3

1.1 Logaritmos e exponenciais . . . 3

1.1.1 ln(ax) =xln(a). . . 10

1.1.2 loga(xy) =loga(x) +loga(y) . . . 13

1.1.3 loga(xb) =blogax . . . 13

1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos . . . 14

1.3 Equa¸c˜oes e Logaritmos . . . 14

1.3.1 Mudan¸ca de base loga(b) = logc(b) logc(a). . . 15

1.3.2 logab(y) = 1 bloga(y) . . . 16

1.4 Logaritmo e desigualdades . . . 16

2

(4)

Cap´ıtulo 1 Logaritmos

1.1 Logaritmos e exponenciais

m

Defini ¸c ˜ao 1 (Logaritmo). Definimos a fun¸c˜ao logaritmo ln:R+ →R por ln(x) =

Zx 1

1 tdt para x >0.

$

Corol ´ario 1. ln(x) ´e deriv´avel pois pelo TFC temos D

Zx 1

1

tdt= 1 x a fun¸c˜ao de lei g(t) = 1

t em [1, x] ou [x,1] com x >0, logo podemos aplicar o TFC.

$

Corol ´ario 2. ln(x) ´e cont´ınua, pois D

Zx 1

1

tdt= 1 x

´e deriv´avel.

3

(5)

$

Corol ´ario 3.

ln(1) = Z1

1

1

tdt=0.

$

Corol ´ario 4. ln(x) ´e C, pois ´e deriv´avel com derivada 1

x cont´ınua em (0,∞) e todas derivadas desta ´ultima s˜ao continuas e deriv´aveis no mesmo intervalo.

b

Propriedade 1. ln(x) ´e crescente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que D

Zx 1

1

tdt= 1 x

temos que x > 0 e para ser crescente , devemos ter Dln(x) = 1

x > 0, multiplicando por x n˜ao alteramos a desigualdade pois x > 0, disso segue 1 > 0 que vale, ent˜ao ln(x) ´e crescente para todos valores de x para os quais ela est´a definida.

Outra demonstra¸c˜ao, sejam x2, x1 tal que x2 > x1>0 temos ln(x2) −ln(x1) =

Zx2

1

1 tdt−

Zx1

1

1 tdt=

Zx2

x1

1 tdt como temos t ≤ x2 na integra¸c˜ao, temos x2 ≥ t ⇒ 1

t ≥ 1

x2 integrando de x1 at´e x2 segue

ln(x2) −ln(x1) = Zx2

x1

1 tdt≥

Zx2 x1

1

x2dt = 1

x2(x2−x1)>0 logo para x2 > x1 temos

ln(x2)>ln(x1) logo a fun¸c˜ao ´e crescente.

$

Corol ´ario 5. Para x > 1 tem-se ln(x) > 0 por ser integral de uma fun¸c˜ao positiva no intervalo [1, x].

(6)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 5

$

Corol ´ario 6. ln(x)<0 quando x ∈(0,1) pois Zx

1

1

tdt= − Z1

x

1 tdt

e a integral Z1

x

1

tdt ´e positiva.

b

Propriedade 2. ln(x) ´e cˆoncava.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Pois sua segunda derivada ´e D(x−1) = (−1)

x2 <0 logo a fun¸c˜ao ´e cˆoncava.

b

Propriedade 3.

ln(x.y) =ln(x) +ln(y).

ê Demonstra ¸c ˜ao. ln(x.y) =

Zxy

1

1 tdt=

Zx

1

1 tdt+

Zxy

x

1

tdt=ln(x) + Zxy

x

1 tdt=

na segunda integral fazemos a mudan¸ca de vari´avel t = xs, quando t = x, s = 1 e com t=xy, s=y, al´em disso dt

ds =x, dt=xds

=ln(x) + Zy

1

x

xsds=ln(x) + Zy

1

1

sds=ln(x) +ln(y).

b

Propriedade 4. Se (xk)n1 s˜ao n´umero reais maiores que zero, ent˜ao ln(

Yn k=1

xk) = Xn

k=1

ln(xk)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n=0 o produto ´e vazio e tem valor 1 e temos ln(1) =0 e a soma ´e vazia logo temos o segundo termo 0. Considerando a identidade v´alida para n

ln( Yn

k=1

xk) = Xn

k=1

ln(xk)

(7)

, vamos provar para n+1

ln(

n+1

Y

k=1

xk) =

n+1

X

k=1

ln(xk)

ln( Yn+1

k=1

xk) =ln( Yn

k=1

xkxn+1) =ln( Yn

k=1

xk)+ln(xn+1) = Xn

k=1

ln(xk)+ln(xn+1) = Xn+1

k=1

ln(xk) .

$

Corol ´ario 7 (Potˆencia natural). Para n natural e x >0 real vale ln(xn) =nln(x).

Pois xn= Yn

k=1

x, logo temos

ln( Yn

k=1

x) = Xn

k=1

ln(x) =ln(x) Xn

k=1

1=nln(x).

$

Corol ´ario 8 (Potˆencia inteira negativa).

0=ln(1) =ln(xnx−n) =ln(xn) +ln(x−n) =nln(x) +lnx−n logo

ln(x−n) = −nln(x).

$

Corol ´ario 9 (Potˆencia racional). Sendo p e q6=0 inteiros ln(

xpq

q

) =qln(xpq) =ln(xp) =pln(x) dividindo por q segue

ln(xpq) = p qln(x).

(8)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 7

b

Propriedade 5.

xlim→∞ln(x) =∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos

ln(2n) =nln(2) tomando o limite

lim ln(2n) =ln(2)limn=∞ lembrando que ln(2)>0.

b

Propriedade 6.

limx→0ln(x) = −∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos uma sequˆencia tendendo a zero xn =2−n ln(2−n) = −nln(2)

aplicando o limite

lim ln(2−n) = −ln(2)limn= −∞.

$

Corol ´ario 10. A fun¸c˜ao ln(x) ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua de R+ em R, ela ´e injetiva por ser crescente e sobrejetiva por ser cont´ınua e ilimitada inferiormente e superiormente.

m

Defini ¸c ˜ao 2 (Fun¸c˜ao exponencial). Definimos a fun¸c˜ao exponencial Rem R+ como sendo a inversa de ln(x).

ex =y⇔ln(y) =x.

(9)

$

Corol ´ario 11. e0=1 pois ln(1) =0.

b

Propriedade 7.

D[ex] =ex. ê Demonstra ¸c ˜ao.

ln(ex) =x derivando pela regra da cadeia segue

D(ex) ex =1 D(ex) =ex.

$

Corol ´ario 12. D(eax) =aeax pois aplicamos a derivada da composi¸c˜ao.

$

Corol ´ario 13. Disso segue que ex ´e C, convexa e crescente pois Dex = ex assume valor em R+.

b

Propriedade 8. Para a, b∈R vale

ea.eb=ea+b.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

ln(ea.eb) =ln(ea) +ln(eb) =a+b=ln(e(a+b)) com ln ´e injetiva segue que os argumentos da fun¸c˜ao devem ser iguais

ea.eb =e(a+b).

$

Corol ´ario 14. Vale

e

Pn k=1xk

= Yn

k=1

exk

(10)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 9

pois

ln( Yn

k=1

exk) = Xn

k=1

ln(exk) = Xn

k=1

xk=ln(e

Pn k=1xk

)

da´ı pela fun¸c˜ao ser injetiva segue e

Pn k=1

xk

= Yn

k=1

exk.

$

Corol ´ario 15. Pra n natural vale

(eyn) = (ey)n

na propriedade anterior tome y=xk∀k, da´ı temos Xn

k=1

y=ny

e

Pn k=1y

=eny = Yn

k=1

ey= (ey)n.

$

Corol ´ario 16. Vale que e−x = 1

ex pois 1 = e0 = e−x+x = e−xex logo e−x deve ser o inverso multiplicativo de ex.

$

Corol ´ario 17. Vale que lim

x→∞ex =∞ pois ex ´e crescente e bije¸c˜ao com imagem R+, logo assume valores arbitrariamente grandes de maneira similar vale que

xlimex = lim

x→∞

1 ex =0.

b

Propriedade 9. Seja f : R → R deriv´avel em R, tal que f0(x) = af(x) ent˜ao vale f(x) =keax para alguma constante k∈R.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

(11)

Consideramos a derivada da fun¸c˜ao de lei g(x) = f(x) eax da´ı g0(x) = f0(x)eax−f(x).aeax

e2ax = f(x)aeax−f(x).aeax

e2ax =0

logo existe k tal que

f(x) =keax.

A constante k pode ser encontrada por meio de uma condi¸c˜ao inicial.

$

Corol ´ario 18. Se for dada a condi¸c˜ao inicial f(x0) = c ent˜ao f(x0) =keax0 = c⇒k=ce−ax0 ⇒f(x) =cea(x−x0).

$

Corol ´ario 19. Como D e|{z}x

f(x)

=ex ent˜ao f0(0) =1, da´ı

limx→0

ex−e0

x−0 =lim

x→0

ex−1 x =1.

1.1.1 ln (a

x

) = x ln (a).

m

Defini ¸c ˜ao 3 (Potˆencia de base a e expoente x, ex.). Dado a > 0 e x ∈ R, definimos ax como o ´unico n´umero real tal que vale ln(ax) =xln(a).

$

Corol ´ario 20. ax =eln(ax) =exln(a).

$

Corol ´ario 21. aqp = (ap)q1 pois

apqepqln(a) =eln(ap)

q1

= (ap)q1.

(12)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 11

$

Corol ´ario 22. ax+y =ax.ay, pois

ax+y =e(x+y)ln(a)=exln(a)+yln(a) =exln(a).eyln(a)=ax.ay.

$

Corol ´ario 23. a0=1 pois a0=e0 ln(a) =1.

$

Corol ´ario 24. a−x = 1

ax, pois a−x+x = a0 = 1 = a−xax, logo um ´e inverso do outro.

$

Corol ´ario 25. ax ´e sempre positivo pois ax =exln(a)>0.

$

Corol ´ario 26. axy = (ax)y pois

ln(axy) =xyln(a) ln((ax)y) =yln(ax) =xyln(a)

como os dois n ´umeros tem o mesmo logaritmo eles s˜ao iguais.

$

Corol ´ario 27. Temos a derivada

(ax)0 = (exln(a))0 =ln(a)(exln(a)) =ln(a)ax.

$

Corol ´ario 28. f(x) = R → R com f(x) = ax ´e C, pois possui derivada de todas ordens em todos pontos.

$

Corol ´ario 29. f ´e crescente se a > 1 e decrescente se a < 1, pois f0(x) =

(13)

axln(a)<0 se a <1 e f0(x)>0 se a > 1.

$

Corol ´ario 30. se a=1, 1x =exln(1)=e0=1, ent˜ao a fun¸c˜ao ´e constante.

$

Corol ´ario 31. Se a >1

xlim→∞ax = lim

x→∞exln(a)=∞,

xlimax = lim

xexln(a)=0, se a <1

xlim→∞ax = lim

x→∞ex

<0

z }| { ln(a) = 0,

xlimax = lim

xex

<0

z }| { ln(a) =∞,

$

Corol ´ario 32. f(x) = ax ´e bije¸c˜ao de R em R+, pois ´e cont´ınua, n˜ao limitada superiormente.

m

Defini ¸c ˜ao 4 (Logaritmo na base a). A fun¸c˜ao inversa de f(x) = ax ´e log:R+ →R, com aplica¸c˜ao simbolizada por loga(x), sendo chamada de logaritmo de x na base a.

y=loga(x)⇔ay =x.

$

Corol ´ario 33. Vale que loga(x) = ln(x) ln(a), pois

eln(x)=x=aloga(x)=eloga(x)ln(a)⇒ln(x) =loga(x).ln(a)⇒

(14)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 13

loga(x) = ln(x) ln(a).

1.1.2 log

a

(xy) = log

a

(x) + log

a

(y)

$

Corol ´ario 34. loga(xy) =loga(x) +loga(y) pois

loga(xy) = ln(xy)

ln(a) = ln(x)

ln(a)+ ln(y)

ln(a) =loga(x) +loga(y).

1.1.3 log

a

(x

b

) = b log

a

x

b

Propriedade 10. Vale que

loga(xb) =blogax.

ê Demonstra ¸c ˜ao. A igualdade vale pois loga(xb) = ln(xb)

ln(a) =bln(x)

ln(a) =blogax.

$

Corol ´ario 35. (loga(x)) = (ln(x)

ln(a))0 = 1 xln(a).

b

Propriedade 11. Vale que

ylim→∞(1+ 1

y)y =e.

ê Demonstra ¸c ˜ao. [ln(x)]0 = 1

x em x = 1 resulta em 1, da´ı por defini¸c˜ao de derivada

limx→0

ln(x+1) −ln(1)

x =lim

x→0

ln(x+1)

x =1

logo

limx→0ln((1+x)x1) =1=

(15)

por continuidade de ln temos

ln(lim

x→0(1+x)x1) =1 logo por injetividade segue que

ylim→∞(1+ 1

y)y =e.

1.2 Nomenclaturas Sobre Logaritmos

m

Defini ¸c ˜ao 5. Na nota¸c˜ao

logab=x, dizemos que

• a ´e a base do logaritmo.

• b ´e o logaritmando.

• x ´e o logaritmo.

• Fixado a∈(0,1)∪(1,∞), temos a fun¸c˜ao

loga : [0,∞)→R, que associa b ao n ´umero logab.

• Chamamos a opera¸c˜ao de aplicar o logaritmo de logaritma¸c˜ao.

• O resultado da opera¸c˜ao de logaritma¸c˜ao chamamos de logaritmo.

1.3 Equa ¸c ˜ oes e Logaritmos

Z

Exemplo 1. Resolva a equa¸c˜ao

abx+c =dfx+g.

(16)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 15

Suponha a, d positivos e bln(a) −fln(d)6=0. Aplicando ln de ambos lados, segue que

(bx+c)ln(a) = (fx+g)ln(d)⇔bxln(a) −fxln(d) =gln(d) −cln(a)⇔ x = gln(d) −cln(a)

bln(a) −fln(d).

Z

Exemplo 2 (ITA 1966). Calcule log216−log432.

Usando propriedade de logaritmos temos

log216−log432=log224−log425 =4−log4452 =4−5 2 = 3

2.

1.3.1 Mudan ¸ca de base log

a

(b) = log

c

(b) log

c

(a) .

b

Propriedade 12 (Mudan¸ca de base). Vale que

loga(b) = logc(b) logc(a). ê Demonstra ¸c ˜ao.[1]

Provar tal igualdade ´e equivalente a provar

loga(b).logc(a) =logc(b), usamos as identidades

loga(b) = ln(b)

ln(a), logc(a) = ln(a) ln(c), multiplicando os termos acima, obtemos

loga(b).logc(a) = ln(b) ln(c), que ´e exatamente logc(b).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Tomando 1. loga(b) =x,

(17)

2. logc(b) =y, 3. logc(a) =z,

por defini¸c˜ao de logaritmo temos respectivamente 1. ax =b,

2. cy =b, 3. cz =a,

De cz = a elevando a x temos pelas rela¸c˜oes anteriores czx = ax = b = cy ent˜ao czx =cy por injetividade da potencia¸c˜ao tem-se que

zx=y⇔x = y

z, isto ´e logc(b) logc(a), como quer´ıamos provar.

1.3.2 log

ab

(y) = 1

b log

a

(y)

b

Propriedade 13. Vale que

logab(y) = 1

bloga(y)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usamos a propriedade de mudan¸ca de base logab(y) = loga(y)

loga(ab) = loga(y) b . Como quer´ıamos provar.

1.4 Logaritmo e desigualdades

b

Propriedade 14. A fun¸c˜ao logar´ıtmica f(x) =lga(x) ´e estritamente crescente se a > 1 e estritamente decrescente se a <1.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que

lga(x) = ln(x) ln(a),

(18)

CAP´ITULO 1. LOGARITMOS 17

• Se a > 1, ent˜ao ln(a)>1 e ln(x) ´e crescente, logo lga(x) tamb´em.

• Se a < 1, ent˜ao ln(a) < 1 e ln(x) ´e crescente, ent˜ao se x > y, segue que ln(x)> ln(y), multiplicando por 1

ln(a) de ambos lados da desigualdade, segue

que ln(x)

ln(a)

| {z }

lga(x)

< ln(y) ln(a)

| {z }

lga(y)

,

portanto lga(x) ´e decrescente.

m

Defini ¸c ˜ao 6 (Antilogaritmo). Nas condi¸c˜oes de existˆencia do logaritmo, definimos o antilogaritmo, da seguinte maneira:

antilogax =b⇔logab=x.

Vale que

antilogax =ax, pois se logab=x⇔ax =b.

Z

Exemplo 3. Analise a desigualdade

|log42(1−x2) −log4(x+1)|< 1 2.

Multiplicando a desigualdade de ambos lados por 2, aplicando log42(1 −x2) = 1

2log4(1−x2), 2 log4(x+1) = log4(x+1)2 e depois propriedade de subtra¸c˜ao de logaritmos, segue que

|log4(1−x2) −log4(x+1)2|<1⇔|log4(1−x2)

(x+1)2|<1⇔ por propriedade de m´odulo

−1<log4(1−x2) (x+1)2 <1

(19)

e propriedade de logaritmo, obtemos finalmente 1

4 < (1−x2) (x+1)2 <4.

Z

Exemplo 4 (ITA-1966). Estudar o conjunto em que lga(x2−3x+2

2x−4 )≥0 com a=

√2 2 .

Como a <1 o logaritmo ´e decrescente, ent˜ao devemos ter 0≤(x2−3x+2 2x−4 )≤ 1. Fatoramos o numerador x3 − 2x +2 = (x −1)(x −2), da´ı simplificamos a desigualdade em

x−1

2 >0⇔x >1 e a outra desigualdade

x−1

2 ≤1⇔x ≤3

juntando as duas condi¸c˜oes o conjunto em que a desigualdade vale ´e (1,2)∪(2,3), pois x6=2, o denominador n˜ao pode se anular.

Referências

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