Anota¸c˜oes sobre conjuntos

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

[email protected]

‡

(2)

(3)

1 Conjuntos 5

1.1 Defini¸cões básicas e opera¸cões . . . 5

1.2 Axiomas ZFC para teoria dos conjuntos . . . 7

1.2.1 Axioma da existˆencia do conjunto vazio. . . 7

1.2.2 Axioma da extens˜ao e igualdade de conjuntos . . . 7

1.2.3 Axioma da compreens˜ao . . . 8

1.2.4 Interse¸c˜ao de conjuntos . . . 9

1.2.5 Axioma do par . . . 9

1.2.6 Axioma da uni˜ao . . . 10

1.2.7 Defini¸c˜ao da uni˜ao de dois conjuntos . . . 11

1.2.8 Rela¸c˜ao de inclus˜ao-Subconjuntos . . . 11

1.2.9 O vazio ´e subconjunto de todo conjunto . . . 11

1.2.10 Subconjunto pr´oprio . . . 12

1.2.11 Nenhum conjunto ´e elemento de si mesmo. . . 13

1.2.12 Conjunto universo U . . . 13

1.2.13 Axioma da potˆencia . . . 14

1.2.14 Propriedades da uni˜ao de conjuntos . . . 14

1.2.15 Conjunto das partes . . . 16

1.2.16 Subconjuntos , igualdade e l´ogica. . . 17

1.2.17 Interse¸c˜ao de conjuntos . . . 17

1.2.18 Se A⊂B ent˜ao A∩C⊂B∩C, e A∩C⊂B. . . 18

1.2.19 Conjuntos disjuntos . . . 19

1.2.20 Vale que (A\B)∪B=A∪B. . . 22

1.2.21 Complementar de um Conjunto . . . 22 3

(4)

1.2.22 (λA)^c =λ(A^c) . . . 22

1.2.23 (λ+A)^c=λ+ (A^c) . . . 23

1.2.24 Produto Cartesiano . . . 23

1.2.25 N˜ao vale que (A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B×D). . . 24

1.2.26 N˜ao vale que [[ k∈L G_k]\[[ k∈L F_k] =[ k∈L (G_k\F_k). . . 25

1.2.27 [[ k∈L G_k]\[[ k∈L F_k]⊂ [ k∈L (G_k\F_k) . . . 25

1.2.28 E\F=E∩F^c. . . 27

1.2.29 Diferen¸ca sim´etrica . . . 28

1.3 Propriedades das opera¸c˜oes . . . 28

1.3.1 Leis de De Morgan . . . 29

1.4 Parti¸c˜oes . . . 30

1.5 Conjuntos ordenados . . . 33

1.5.1 [ y∈Y (B∩I_y) =B∩([ y∈Y I_y) . . . 36

1.5.2 B\(B∩A) =B∩(R\A) . . . 36

1.6 Conjuntos crescentes e decrescentes . . . 36

1.7 Conjuntos e fun¸c˜oes . . . 36

(5)

Conjuntos

1.1 Defini ¸c ˜ oes b ´asicas e opera ¸c ˜ oes

O objetivo aqui é dar no¸cões intuitivas sobre teoria dos conjuntos e não apresentar uma formula¸cão rigorosa. Então o nosso objetivo é a teoria ingênua dos conjuntos.

m

Defini ¸c ão 1. Usaremos como uma primeira aproxima¸cão de um conjunto a ideia de cole¸cão de objetos que são chamados seus elementos, um conjunto sendo visto como uma entidade única .

• Denotamos, geralmente, conjuntos por letras mai ´usculas A, B, C· · · e elementos por letras min ´usculas.

• Para dizer que a é um elemento de A escrevemos a∈A, nesse caso dizemos que a pertence à A , para dizer que a não é elemento de A escrevemos a /∈A, nesse caso dizemos que a não pertence à A.

• Iremos considerar a existência e unicidade de um conjunto que não possui elementos, denotaremos tal conjunto como∅ou{} e diremos que é o conjunto vazio .

5

(6)

• Podemos denotar um conjunto escrevendo seus elementos entre chaves {, }, ou dando a propriedade que seus elementos satisfazem. A nota¸cão entre chaves será chamada de nota¸cão de lista.

• Um conjunto A fica definido, determinado ou caracterizado quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário x é ou não elemento de A. Podemos definir alguns conjuntos assumindo uma propriedade P e tomar

{x |xpossui propriedadeP}.

• Algumas vezes um conjunto A pode ser definido com elementos de outro conjunto E que satisfazem certa propriedade P, podemos denotar A da se- guinte maneira

A={x∈E|xpossui propriedadeP}.

• No item acima, se nenhum elemento de E possui a propriedade P, ent˜ao A

´e o conjunto vazio .

• Diferenciamos um elemento xdo conjunto {x}cujo único elemento é x, sendo entes de natureza distintas. Então temos por exemplo com x = ∅ que ∅ é diferente de {∅}.

Apresentamos uma lista de axiomas para teoria dos conjuntos chamada de ZFC . Em ZFC, as duas primeiras letras se referem aos nomes dos matemáticos Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel, sendo C para denotar o axioma da escolha, choice em inglês. Tal sistema é um dos modos propostos para formular a teoria dos conjuntos sem paradoxos que poderiam ser obtidos na teoria ingênua dos conjuntos. Tal sistema

é considerado como fundamenta¸cão mais comum da matemática.

(7)

1.2 Axiomas ZFC para teoria dos conjuntos

1.2.1 Axioma da existˆencia do conjunto vazio

Axioma 1 (Axioma da existˆencia). Existe um conjunto que n˜ao possui elementos .

1.2.2 Axioma da extens ˜ ao e igualdade de conjuntos

Axioma2 (Axioma da extensão). Dois conjuntos são iguais⇔possuem os mesmos elementos . Um conjunto é determinado pelos seus membros. Se cada elemento de um conjunto X é elemento de um conjunto Y e cada elemento de Y é um elemento do conjunto X então, X e Y são o mesmo conjunto, o que denotamos por X=Y.

Tal axioma tamb´em chamado de axioma da extensionalidade ou determina¸c˜ao . Em s´ımbolos

∀x∀y(∀z(z∈x ↔z ∈y)→x =y).

Se dois conjuntos X e Y são iguais denotamos tal fato por X= Y. Caso A=B, A e B conjuntos, então A e B são simbolos para representar o mesmo conjunto.

Z

Êxemplo ^1. Conjuntos da forma A={1,2,3} e B= {3,2,1}, são iguais pois contém os mesmos elementos, não importa então a ordem em que se escreve na nota¸cão em lista.

Os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,1,2,3} também são iguais, pois ambos possuem apenas os elementos 1,2 e 3, não importa se repetimos um elemento.

Usando o axioma da extens˜ao podemos provar que existe apenas um conjunto sem elementos.

b

Propriedade 1. Existe apenas um conjunto sem elementos.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que A e B s˜ao conjuntos sem elementos, vamos mostrar que A=B . Vale que

∀x∈A⇒x∈B,

(8)

pois se não fosse assim, haveriax ∈A tal que x /∈B, porém A não possui elementos, então fica provado por absurdo . De outro modo: uma proposi¸cão de implica¸cão com antecedente falso ( x ∈A) é uma proposi¸cão verdadeira.

m

Defini ¸c ão 2 (Conjunto vazio ∅). Existe portanto um único conjunto que não possui elementos, o chamamos de conjunto vazio e denotamos por ∅.

1.2.3 Axioma da compreens ˜ ao

Axioma 3 (Axioma da compreensão ). Seja P(x) uma propriedade de x . Para cada conjunto A existe um conjunto B tal que x ∈ B ⇔ x ∈ A e vale P(x) . Para cada propriedade P temos um axioma que garante a existência de um conjunto B tal que os elementos de B são determinados como elementos de A que satisfazem a propriedade P.

b

Propriedade 2 (Unicidade de conjunto definido pelo axioma da compreens˜ao). Para cada conjunto A existe apenas um conjunto B tal que

x∈B⇔x∈Ae vale P(x).

ê Demonstra ¸c ão. Se B⁰ é outro conjunto tal que x ∈ B⁰ ⇔ x ∈ A e vale P(x), então x∈B⇔x∈B⁰ , logo B=B⁰ pelo axioma da extensão .

Agora podemos introduzir um nome para o ´unico conjunto B definido com elementos de A que satisfazem P(x).

m

Defini ¸c ˜ao 3. Denotamos por {x∈A|P(x)} o ´unico conjunto de todos x ∈A tais que P(x) vale .

b

Propriedade 3. {x ∈ ∅|P(x)}=∅.

ê Demonstra ¸c ão. {x ∈ ∅|P(x)} = ∅ é o conjunto de todos x ∈ ∅ tais que vale P(x) porém ∅ não possui elementos e da´ı {x ∈ ∅|P(x)} é vazio .

(9)

1.2.4 Interse ¸c ˜ ao de conjuntos

b

Propriedade 4. Se A e B são conjuntos, então existe um conjunto simboli- zado por A∩B, tal que x ∈A∩B ⇔x ∈A e x ∈ B . Tal conjunto é chamado de interse¸cão de A e B .

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Considere a propriedade P(x), x ∈ B. Pelo axioma da compreens˜ao existe um conjunto A∩B tal que x∈A∩B⇔x∈A e vale P(x), isto ´e, x∈B.

1.2.5 Axioma do par

Axioma 4 (Axioma do par). Para cada A e B conjuntos existe um conjunto C tal que x∈C ⇔x=A ou x=B, isto ´e , A∈C e B∈C e nenhum outro elemento .

b

Propriedade 5. O conjunto C definido na propriedade anterior é único . ê Demonstra ¸c ão. Suponha outro conjunto C⁰ = {A, B} então C⁰ e C possuem os mesmos elementos , logo são o mesmo conjunto.

m

Defini ¸c ão 4 (Par não ordenado). Definimos o par não ordenado de A e B como o conjunto contendo exatamente A e B como elementos e o denotamos por {A, B} . Se A=B o denotamos por {A}.

Z

Êxemplo ^2. ^Se Â⁼^∅⁼^B êntão

{∅}={∅,∅}, sendo um conjunto tal que ∅ ∈{∅}, x∈{∅}⇔x=∅ .

{∅} possui um único elemento , que é o conjunto vazio . Observamos também que

{∅}6=∅,

(10)

pois ∅ ∈{∅} e ∅∈ ∅/ , pois ∅ n˜ao possui elementos.

Z

Êxemplo ^3. ^Se Â ⁼^∅ ê ^B⁼^{^∅^} êntão ^{∅ ∈}^{^∅,^{^∅^}} ê ^{^∅^}^∈^{^∅,^{^∅^}} . Temos que

∅ e {∅} s˜ao os ´unicos elementos de {∅,{∅}} . Tem-se que ∅ 6={∅,{∅}} e {∅}6={∅,{∅}} .

1.2.6 Axioma da uni ˜ ao

Axioma 5 (Axioma da uni˜ao). Para cada conjunto S, existe um conjunto U tal que x∈U⇔x∈A para algum A∈S

b

Propriedade 6. Um conjunto definido pelo axioma da união é único .

ê Demonstra ¸c ão. Seja U⁰ outro conjunto tal que x⁰ ∈ U ⇔ x ∈ A para algum A∈S, da´ı cada elemento de U⁰ é elemento de U , pois a defini¸cão de um elemento pertencer a U é a mesma que para U⁰, da mesma forma todo elemento de U é elemento de U⁰ pela defini¸cão, portanto U e U⁰ possuem os mesmos elementos logo são conjuntos iguais.

m

Defini ¸c ão 5. O conjunto U definido pelo axioma da união é denotado por [S. Dizemos que S é um sistema de conjuntos ou uma cole¸cão de conjuntos.

Z

Êxemplo ^4. ^Seja ^S⁼ ^{^∅,^{^∅^}}, seus elementos são A₁ =∅ , A₂ ={∅} o único desses que possui elemento é A₂ então formamos U com esse elemento

U={∅}.

b

Propriedade 7. [

∅=∅.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos provar que [

∅ é vazio . Suponha que não, então existe A∈ ∅ tal que x∈A, o que é absurdo pois ∅ não possui elemento.

(11)

1.2.7 Defini ¸c ˜ ao da uni ˜ ao de dois conjuntos

m

Defini ¸c ão 6 (União de dois conjuntos). Se M e N são conjuntos x ∈ [{M, N} ⇔ x ∈ M ou x ∈ N, o conjunto [

{M, N} ´e chamado de uni˜ao de M e N e denotado por M∪N.

1.2.8 Rela ¸c ˜ ao de inclus ˜ ao-Subconjuntos

m

Defini ¸c ão 7 (Rela¸cão de inclusão-Subconjuntos). Dizemos que A é subconjunto de B, e denotamos tal fato como A ⊂B quando ∀ a ∈A tem -se a∈ B. A nega¸cão de A⊂B é: existe a∈A tal que a /∈B, nesse caso escrevemos A6⊂B, em palavras, existe um elemento a∈A que não é elemento de B, então para mostrar que não vale a inclusão basta mostrar tal elemento .

Se A⊂B ent˜ao podemos ler tamb´em como:

• A ´e parte de B.

• A est´a inclu´ıdo em B .

• A est´a contido em B .

Um subconjunto de A tamb´em pode ser chamado de parte de A.

$

Corol ´ario 1. x∈A⇔{x}⊂A.

$

Corol ´ario 2 (Reflexividade). A⊂A.

1.2.9 O vazio ´e subconjunto de todo conjunto

$

Corol ário 3. ∅ ⊂B∀ conjunto B. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto B, pois se não fosse existiria algum elemento a no vazio tal que a /∈B,

(12)

o que ´e absurdo pois o conjunto vazio n˜ao possui elementos.

b

Propriedade 8 (Transitividade da rela¸cão de inclusão). Se A ⊂ B e B ⊂ C então A⊂C.

ê Demonstra ¸c ão. Dado qualquer a ∈ A tem-se a∈ B e da´ı por B⊂ C tem-se a∈C, como a é arbitrário tem-se A⊂C.

Z

^Exemplo ^5. ^1. ^{^∅^}^⊂^{^∅,^{^∅^}} ^{e tamb´em} ^{{^∅^}} ^⊂^{^∅,^{^∅^}}

2. {x ∈ A | P(x)} ⊂ A, pois todo elemento de {x ∈ A | P(x)} pertence a A por defini¸c˜ao .

3. Se A∈S ent˜ao A⊂[ S.

Seja x ∈ A vamos mostrar que x ∈ [

S, pelo axioma da uni˜ao x ∈ [ S ⇔ x∈A para algum A∈S, ent˜ao a propriedade vale.

b

Propriedade 9 (Propriedade anti-simétrica). A⊂B e B⊂A ⇔A=B . A condi¸cão de seA⊂Be B⊂A entãoA=B é dita propriedade anti-simétrica .

ê Demonstra ¸c ão. ⇒). Se temos A ⊂ B e B ⊂ A então todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A.

⇐) . Se A=B então todo elemento de A é elemento de B, logo A⊂B , também, todo elemento de B é elemento de A logo B⊂A.

1.2.10 Subconjunto pr ´oprio

m

Defini ¸c ão 8 (Subconjunto próprio). Quando A⊂B e tem-se B6⊂A dizemos que A é subconjunto próprio

Axioma 6 (Axioma da regularidade). Todo conjunto X n˜ao vazio, possui um elemento Y, tais que X e Y s˜ao conjuntos disjuntos .

(13)

∀x[∃y(y∈x)→∃y(y∈x∧ ¬∃z(z ∈x∧z∈y)].

Z

Êxemplo ^6. ^Seja ^X ⁼ ^{^∅,^{^∅^}}^. Os elementos de X são Y₁ = ∅ e Y₂ = {∅}. X e Y₂ = {∅} possuem um elemento em comum ∅, porém X e Y₁ = ∅ não possuem elemento em comum, logo são disjuntos.

1.2.11 Nenhum conjunto ´e elemento de si mesmo.

b

Propriedade 10. Nenhum conjunto ´e elemento de si mesmo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja A um conjunto. Pelo axioma do Par, existe o conjunto {A}. Pelo axioma da regularidade, existe elemento de {A} disjunto dele. Como o

único elemento de {A} é A, então A∩{A}= ∅, porém temos que A ∈ {A} e da´ı não podemos ter A∈ A, pois se assim fosse, tanto {A} teria o elemento A, tanto quanto A (de A ∈ A) e da´ı não valeria A∩{A} =∅, pois conjuntos disjuntos não possuem elemento em comum.

$

Corol ´ario 4. N˜ao podemos ter X={X}, pois da´ı X seria elemento de si mesmo.

b

Propriedade 11. Dados conjuntos X e Y, n˜ao podemos ter X∈Y e tamb´em Y∈X .

ê Demonstra ¸c ão. Pelo axioma do Par, existe o conjunto {X, Y}. Pelo axioma da regularidade, existe elemento de {X, Y} disjunto dele. Como od único elemento de {C, Y} são X e Y, suponha sem perda de generalidade que seja X, então X∩{X, Y}=∅, porém temos que Y ∈{Y, X} e da´ı não podemos ter Y ∈X, pois se assim fosse, tanto {Y, X} teria o elemento Y, tanto quanto X e da´ı não valeria X ∩{X, Y} = ∅, pois conjuntos disjuntos não possuem elemento em comum.

1.2.12 Conjunto universo U

(14)

m

Defini ¸c ˜ao 9 (Conjunto universo U). Em algumas aplica¸c˜oes de teoria dos conjuntos, fixamos um conjunto U e nos focamos apenas em seus subconjuntos.

O conjunto U v´aria por tema de estudo sendo chamado de conjunto universal o conjunto

{x|x ∈U, x satisfaz P}, onde P ´e uma propriedade, pode ser denotado por

{x|x satisfaz P},

quando o conjunto universo U ´e conhecido pelo contexto .

Z

Êxemplo ⁷ (Váriel muda). Na nota¸cão de conjunto a váriavel é muda, independe se usamos x, y, z ou outra variável para denotar o conjunto

{x |x ∈U, x satisfazP}={z|z ∈U, z satisfaz P}.

1.2.13 Axioma da potˆencia

Axioma 7 (Axioma da potˆencia). Para cada conjunto S, existe um conjunto P tal quex ∈P ⇔x⊂S. Tal conjunto P ´e chamado de conjunto das partes de S, denotado por P(S) .

b

Propriedade 12. O conjunto das partes é único . ê Demonstra ¸c ão.

1.2.14 Propriedades da uni ˜ ao de conjuntos

m

Defini ¸c ão 10 (União). Já definimos união de conjuntos ao apresentar axioma da união, aqui relembramos a defini¸cão da união de dois conjuntos e demonstra-

(15)

mos propriedades sobre uni˜ao. Dados dois conjuntos A e B, definimos a uni˜ao A∪B como o conjunto

A∪B={x∈Aoux ∈B}

é o conjunto formado por elementos dos dois conjuntos A e B. Lembrando que o "ou"usado em matemática, não é exclusivo, isto é se x ∈ A e x ∈ B então x ∈A ou x ∈B, o "ou"usado em matemática não exclui a possibilidade das duas proposi¸cões ligadas pelo conectivo lógicou "ou", serem verdadeiras.

$

Corol ´ario 5. Vale que A⊂A∪B pois ∀x ∈A tem-se x∈A∪B.

$

Corol ´ario 6. Vale que A=A∪ ∅ pois A⊂A∪ ∅ e A∪ ∅ ⊂A.

$

Corol ário 7 (Idempotência da união). A∪A=A.

$

Corol ´ario 8. A∪B=B∪A.

b

Propriedade 13. Dados A e B, seja X com as propriedades

• A⊂X, B⊂X.

• Se A⊂Y e B⊂Y ent˜ao X⊂Y.

Nessas condi¸cões X=A∪B, a união A∪B é o menor conjunto com subconjuntos A e B.

A primeira condi¸c˜ao implica que A∪B⊂X. A segunda condi¸c˜ao com Y =A∪B implica X⊂A∪B. Das duas segue que A∪B=X.

(16)

b

Propriedade 14 (Associatividade da uni˜ao de conjuntos). Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, vale que

(A∪B)∪C=A∪(B∪C).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos mostrar que (A∪B)∪C⊂ A∪(B∪C) inicialmente, depois a outra inclus˜ao .

Seja x ∈(A∪B)∪C. Se x ∈ C então x ∈ B∪C e da´ı x ∈ A∪(B∪C). Se x /∈ C então x∈A∪B, nessa condi¸cão se x /∈B então x ∈A e da´ı x∈A∪(B∪C), se x∈B então x∈A∪(B∪C), então a inclusão vale em qualquer dos casos.

1.2.15 Conjunto das partes

m

Defini ¸c ˜ao 11 (Conjunto das partes). Dado um conjunto A, denotamos por P(A) o conjunto (que iremos supor que existe), cujos elementos s˜ao os subconjuntos de A.

$

Corol ário 9. Dado um conjunto A, então P(A) nunca é vazio pois ∅ é subconjunto de A e ∅ ∈P(A), além disso P(A) possui pelo menos dois elementos pois A⊂A então A∈P(A).

Z

Êxemplo ^8. ^{• Se} Â ⁼ ^∅ êntão ^{P(A) =} ^{^∅^}, pois o único subconjunto do vazio é ele mesmo, se houvesse outro subconjunto ele teria um elemento, mas o vazio não possui elementos.

• Se A={1} ent˜ao P(A) ={∅,1}.

m

Defini ¸c ão 12 (N úmero de elementos de um conjunto). Para simbolizar o n úmero de elementos de um conjunto A usamos |A|. O intuito aqui não é dar uma defini¸cão rigorosa do número de elementos de um conjunto, tal tentativa é

(17)

feita no texto sobre conjuntos enumer´aveis .

b

Propriedade 15. Seja |A|=n ent˜ao |P(A)|=2ⁿ.

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸cão sobre n, se n = 1, então A = {a₁} possui dois subconjuntos que são∅ e{α₁}.Suponha que um conjunto qualquerB comnelementos tenha |P(B)| = 2ⁿ, vamos provar que um conjunto C com n+1 elementos implica

|P(C)| = 2ⁿ⁺¹. Tomamos um elemento a ∈ C, C\ {a} possui 2ⁿ subconjuntos (por hipótese da indu¸cão), s_k de k = 1 até k = 2ⁿ, que também são subconjuntos de C, porém podemos formar mais 2ⁿ subconjuntos de C com a união do elemento {a}, logo no total temos 2ⁿ +2ⁿ =2ⁿ⁺¹ subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois não temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

1.2.16 Subconjuntos , igualdade e l ´ogica

b

Propriedade 16. Sejam X e Y subconjuntos de um conjunto universo U, P e Q propriedades que definem X e Y em U respectivamente, ent˜ao

1. x satisfaz P⇒ x satisfaz Q⇒X⊂Y.

2. x satisfaz P⇔ x satisfaz Q⇒X=Y.

1. Seja a∈X então a satisfaz a propriedade P e da´ı a satisfaz Q, sendo elemento de U então a∈Y, como a foi tomado arbitrário em X temos X⊂Y.

2. Usamos duas vezes a implica¸c˜ao anterior, o que nos garante X⊂Y e Y ⊂X dai X=Y.

1.2.17 Interse ¸c ˜ ao de conjuntos

m

Defini ¸c ão 13 (Interseçcão). Dados dois conjuntos A e B, definimos a

(18)

Intersec¸c˜ao A∩B como o conjunto

A∩B={x∈Aex ∈B}

´e o conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos A e B.

$

Corol ´ario 10. A∩B=B∩A.

b

Propriedade 17. A∩B⊂A, pois a∈A∩B⇒ a∈A e a∈B.

$

Corol ´ario 11. A∩ ∅=∅ pois A∩ ∅ ⊂ ∅.

b

Propriedade 18. A∩B ´e o menor subconjunto de A e B. Seja X com

• X⊂A e X⊂B

• Se Y ⊂A e Y ⊂B ent˜ao Y ⊂X. Nessas condi¸c˜oes X=A∩B.

ê Demonstra ¸c ão. Da primeira condi¸cão temos que X ⊂ A∩B. Da segunda tomando Y =A∩B, que satisfaz Y ⊂A e Y ⊂B, então

A∩B⊂X logo pelas duas inclus˜oes A∩B=X.

1.2.18 Se A ⊂ B ent ˜ ao A ∩ C ⊂ B ∩ C, e A ∩ C ⊂ B.

b

Propriedade 19. Se A⊂B ent˜ao A∩C⊂B∩C, e A∩C⊂B.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se x ∈A∩C da´ı x ∈A de onde segue que x ∈B, al´em disso x∈C logo x ∈B∩C.

(19)

1.2.19 Conjuntos disjuntos

m

Defini ¸c ˜ao 14 (Conjuntos disjuntos). Ae Bs˜ao conjuntos disjuntos seA∩B=

∅. Neste caso não existe elemento que perten¸ca aos dois conjuntos, isto é, não existe x tal que x∈A e x∈B, pois caso contrário ele não seria vazio .

b

Propriedade 20. Sejam A, B⊂E. ent˜ao A∩B=∅⇔A⊂B^c.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que E=B∪B^c onde B∩B^c =∅.

⇒).

Suponha por absurdo que A∩B=∅ e n˜ao vale A⊂B^c, ent˜ao existe a∈A tal que a /∈B^c e por isso a∈B, mas da´ı A∩B6=∅ absurdo.

⇐).

Suponha a ∈ A∩B então a ∈ A ⊂ B^c e a ∈ B o que é absurdo pois B e B^c são disjuntos.

$

Corol ´ario 12. Vale que A∪B=E⇔A^c⊂B.

Pois

A∪B=E⇔A^c∩B^c=∅⇔ pelo resultado anterior

B^c ⊂(A^c)^c

| {z }

A

⇔A^c⊂B.

$

Corol ´ario 13. Sejam A, B⊂E. A⊂B⇔A∩B^c =∅.

Sabemos que A∩W=∅⇔ A⊂W^c por resultado que j´a mostramos, tomando W =B^c temos o resultado que desejamos.

(20)

Z

^Exemplo ^9. Dˆe exemplo de conjuntos A, B, C tais que (A∪B)∩C6=A∪(B∩C).

Sejam A=B6=∅ e C tal que C∩A=∅. Ent˜ao

(A∪B)∩C=A∩C=∅ 6=A∪(B∩C) =A∪ ∅=A.

b

Propriedade 21. Se A, X⊂E tais que A∩X=∅ e A∪X=E ent˜ao X=A^c.

ê Demonstra ¸c ão. Pelo que já mostramos A∩X=∅então X⊂A^c. De A∪X=E temos A^c⊂X, como temos A^c ⊂X e X⊂A^c então tem-se a igualdade X=A^c.

b

Propriedade 22. Se A⊂B ent˜ao B∩(A∪C) = (B∩C)∪A∀C.

Se existe C tal que B∩(A∪C) = (B∩C)∪A ent˜ao A⊂B.

ê Demonstra ¸c ão. Vamos mostrar a primeira afirma¸cão. Seja x ∈B∩(A∪C), então x ∈ B e x ∈ A∪C. Se x ∈ A então x ∈ (B∩C)∪A e terminamos, se x /∈ A então x∈B e x∈C e terminamos novamente pois é elemento de B∩C.

Agora a outra inclusão. Se x ∈ (B∩C)∪A então x ∈ A ou x ∈B∩C. Se x ∈A terminamos. Se x /∈A então x ∈B∩C e da´ı pertence à B∩(A∪C) como quer´ıamos demonstrar.

Agora a segunda propriedade. Suponha por absurdo que A6⊂B então existe x∈A tal que x /∈B, tal x pertence à (B∩C)∪A porém não pertence à B∩(A∪C) portanto não temos a igualdade, absurdo!.

b

Propriedade 23. Vale que A=B⇔(A∩B^c)∪(A^c∩B) =∅.

⇐). Se (A∩B^c)∪(A^c∩B) =∅ então A∩B^c =∅ e A^c∩B=∅, logo por resultados que já provamos A⊂B da primeira rela¸cão e B⊂A da segunda, portanto A=B.

⇒). Se A=B ent˜ao A∩B^c =A^c∩B=∅.

(21)

b

Propriedade 24. Vale que (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Vamos provar as duas inclus˜oes.

Seja x ∈(A\B)∪(B\A). Tal união é disjunta, pois se houvesse um em ambos conjuntos, então pelo primeiro x∈A, x /∈B pelo segundo x∈B, x /∈A absurdo.

Sex ∈A\Blogox ∈A, x /∈Bportantox ∈A∪Bex /∈A∩Blogox ∈(A∪B)\(A∩B), o caso dex∈(B\A)também implica inclusão por simetria (trocarAporBnão altera).

Se x ∈ A ∪ B\ A∩ B ent˜ao x ∈ A ou x ∈ B e x /∈ A∩ B logo x /∈ A e B simultaneamente, isso significa quex ∈Aou x∈B exclusivamente logo x∈(A\B)∪ (B\A).

b

Propriedade 25. Se

(A∪B)\(A∩B) = (A∪C)\(A∩C) ent˜ao B=C, isto ´e, vale a lei do corte para A∆B=A∆C.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Suponha que B6=C, suponha sem perda de generalidade que x∈B, x /∈C. Vamos analisar casos.

Se x /∈A ent˜ao x /∈(A∪C)\(A∩C) por´em x∈(A∪B)\(A∩B).

Se x ∈A ent˜ao x /∈ A∪B\(A∩B) e x ∈ (A∪C)\(A∩C), portanto n˜ao vale a igualdade dos conjuntos.

Logo devemos ter B=C.

m

Defini ¸c ˜ao 15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntosAeBs˜ao ditos disjuntos quando A∩B=∅.

m

Defini ¸c ˜ao 16 (Diferen¸ca de conjuntos). Dados dois conjuntos A e B, definimos A\B como o conjunto

A\B={x∈A , x /∈B}.

(22)

1.2.20 Vale que (A \ B) ∪ B = A ∪ B.

b

Propriedade 26. Vale que (A\B)∪B=A∪B.

ê Demonstra ¸c ˜ao. A identidade vale pois tanto(A\B)∪B quantoA∪Bdenotam o conjunto que possui todos e somente os elemento de A e de B.

1.2.21 Complementar de um Conjunto

m

Defini ¸c ˜ao 17 (Complementar). Sendo A subconjunto de B definimos o complementar de A em rela¸c˜ao a B como o conjunto

A^c:B\A.

Normalmente fixamos o conjunto B.

b

Propriedade 27 (Idempotˆencia do complementar). Vale que (A^c)^c =A.

ê Demonstra ¸c ˜ao. x∈A⇔x /∈A^c⇔x ∈(A^c)^c.

b

Propriedade 28. Vale que

B=A∪A^c.

Dado que A⊂B.

ê Demonstra ¸c ão. Já sabemos que A∪A^c ⊂B, mostramos a outra inclusão, se x∈B e x ∈A terminamos, se não x ∈A^c da´ı vale a outra inclusão .

1.2.22 (λA)

^c

= λ(A

^c

)

b

Propriedade 29. Dado queAseja um conjunto munido de uma multiplica¸c˜ao

(23)

por escalar, vale que

(λA)^c=λ(A^c).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se

y∈λ(A^c)⇔y=λx, x∈A^c ⇔y=λx /∈λA⇔y∈(λA)^c.

1.2.23 (λ + A)

^c

= λ + (A

^c

)

b

Propriedade 30. Dado que A seja um conjunto munido de uma soma por escalar, vale que

(λ+A)^c=λ+ (A^c).

x∈(λ+A)^c⇔x /∈λ+A⇔x−λ /∈A⇔x−λ∈A^c ⇔x∈λ+A^c.

b

Propriedade 31. Dado queAseja um conjunto munido de uma multiplica¸c˜ao por escalar, vale que

(λA)^c=λ(A^c).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se

y∈λ(A^c)⇔y=λx, x∈A^c ⇔y=λx /∈λA⇔y∈(λA)^c.

1.2.24 Produto Cartesiano

m

Defini ¸c ˜ao 18 (Produto cartesiano). Dados A e B o produto cartesiano A×B

´e o conjunto formado pelos pares ordenados (a, b), tais que a∈A e b∈B.

b

Propriedade 32. Valem as seguintes propriedades do produto cartesiano . 1. (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C).

2. (A\B)×C= (A×C)\(B×C).

(24)

3. Se A⊂A⁰ e B⊂B⁰ ent˜ao A×B⊂A⁰×B⁰. ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Tomamos (x, y)∈(A∩B)×C, ent˜ao x∈A e x ∈B, y∈C, logo (x, y)∈A×C e (B×C) provando a primeira inclus˜ao, agora a segunda.

(x, y)∈(A×C)∩(B×C) ent˜ao x ∈A e B, y∈C logo (x, y)∈(A∩B)×C.

2. Sendo (x, y) ∈ (A\B)×C então x ∈ A, x /∈ B e y∈ C logo (x, y) ∈ (A×C) e não pertence à B×C pois para isso seria necessário x ∈B o que não acontece.

Agora a outra inclusão, se (x, y)∈(A×C)\(B×C) então x∈A e y /∈C porém x não pode pertencer à B pois estão sendo retirados elementos de B×C então vale a outra inclusão.

3. Seja (x, y)∈A×B ent˜ao pelas inclus˜oesA⊂A⁰ e B⊂B⁰ temos x∈A⁰ e y∈B⁰ portanto (x, y)∈A⁰×B⁰.

1.2.25 N ˜ ao vale que (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B × D).

b

Propriedade 33. N˜ao vale em geral que

(A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B×D).

ê Demonstra ¸c ão. Seja por exemplo A = B, C = D, então a igualdade que queremos mostrar que não vale em geral é

(A×A)∪(C×C) = (A∪C)×(A×C).

Suponha que A e C sejam finitos, disjuntos e que possuam cada um n elementos.

Ent˜ao (A×A)∪(C×C) possui 2n² elementos e (A∪C)×(A×C) possui (2n)² =4n² elementos, logo a identidade n˜ao vale.

(25)

1.2.26 N ˜ ao vale que [ [

k∈L

G

_k

] \ [ [

k∈L

F

_k

] = [

k∈L

(G

_k

\ F

_k

).

1.2.27 [ [

k∈L

G

k

] \ [ [

k∈L

F

k

] ⊂ [

k∈L

(G

k

\ F

k

)

• Vale

[[

k∈L

G_k]\[[

k∈L

F_k]

| {z }

A

⊂[

k∈L

(G_k\F_k)

| {z }

B

.

Seja x ∈A ent˜ao x∈ G_j para algum j e x /∈ [

k∈L

F_k, portanto x /∈ F_k, ∀ k∈ L em especial x /∈F_j,, da´ı x∈G_j\F_j e portanto x ∈ [

k∈L

(E_k\F_k).

A igualdade n˜ao vale em geral pois,

[|{z}{1}

G₁

∪|{z}{2}

G₂

]\[|{z}{2}

F₁

∪|{z}{1}

F₂

] =∅,

se a identidade fosse v´alida, ter´ıamos

[G₁∪G₂]\[F₁∪F₂] = [G₁\F₁]∪[G₂\F₂] = [{1} \ {2}]∪[{2} \ {1}] ={1,2}6=∅.

b

Propriedade 34. 1. (A∪B)×C= (A×C)∪(B×C).

2. C×(A∪B) = (C×A)∪(C×B).

1. Seja (x, y)∈ (A∪B)×C, temos que y∈ C se x ∈A então (x, y) ∈(A×C), se x ∈B então (x, y)∈(B×C) então vale (A∪B)×C⊂(A×C)∪(B×C). Agora a outra inclusão.

Temos que (A×C) ⊂ (A∪B)×C pois um elemento do primeiro ´e da forma (x, y) com x ∈ A e y ∈ C que pertence ao segundo conjunto, o mesmo para (B×C).

2. Seja (x, y) em C× (A ∪B), ent˜ao x ∈ C e y ∈ A ou B, se y ∈ A ent˜ao (x, y) ∈ C×A e da´ı pertence a (C×A)∪(C×B), se y ∈B ca´ımos no mesmo caso (x, y)∈C×B e da´ı pertence a (C×A)∪(C×B).

(26)

Agora a outra inclus˜ao . Se (x, y)∈ (C×A)∪(C×B) ent˜ao x ∈C e y∈A ou y∈B , logo (x, y)∈C×(A∪B).

b

Propriedade 35. Vale que 1.

(

n

[

k=1

A_k)×C=

n

[

k=1

(A_k×C),∀n∈N.

2.

C×(

n

[

k=1

A_k) =

n

[

k=1

(C×A_k),∀n∈N.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Provamos por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1 a propriedade vale trivialmente para ambos casos. Supondo a validade para n, vamos provar para n+1,

1.

(

n+1

[

k=1

A_k)×C= (

n

[

k=1

A_k

| {z }

A

∪A_n+1

|{z}

B

)×C=

= (A∪B)×C= (A×C)∪(B×C) = ((

n

[

k=1

A_k)×C)∪(A_n+1×C) =

=

n

[

k=1

(A_k×C)∪(A_n+1×C) =

n+1

[

k=1

(A_k×C).

Como quer´ıamos provar.

2.

C×(

n+1

[

k=1

A_k) =C×(A|{z}_n+1

A

∪

n

[

k=1

A_k

| {z }

B

) =

= (C×A)∪(C×B) = (C×A_n+1)∪(C×

n

[

k=1

A_k) = (C×A_n+1)∪(

n

[

k=1

[C×A_k]) =

=

n

[

k=1

(C×Ak),

como quer´ıamos provar .

(27)

b

(

n

[

k=1

A_k)×(

m

[

j=1

B_j) =

n

[

k=1 m

[

j=1

(A_k×B_j).

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usamos os resultados anteriores (

n

[

k=1

A_k)×(

m

[

j=1

B_j

| {z }

C

) =

n

[

k=1

(A_k×C) =

n

[

k=1

(A_k×[

m

[

j=1

B_j]) =

n

[

k=1

[

m

[

j=1

(A_k×B_j)].

b

Propriedade 37. Vale que (S₁×T₁)∩(S₂×T₂) = (S₁∩S₂)×(T₁∩T₂).

ê Demonstra ¸c ão. Vamos provar as duas inclusões de conjunto. Seja z ∈ (S₁×T₁)∩(S₂ ×T₂) então z = (x, y) onde (x, y) ∈ (S₁×T₁) e (x, y) ∈ (S₂ ×T₂) logo x∈S₁ e S₂ e y∈T₁ e T₂ logo (x, y)∈(S₁∩S₂)×(T₁∩T₂).

Seja agora z ∈ (S₁∩S₂)×(T₁∩T₂) logo z = (x, y) com x ∈ S₁ e S₂, y ∈ T₁ e T₂, (x, y)∈S₁×T₁ e S₂×T₂ ent˜ao segue a outra inclus˜ao .

b

(A×B)^c ⊃A^c×B^c.

Seja z ∈ A^c×B^c ent˜ao z = (x, y), x ∈ A^c e y∈ B^c, por isso x /∈A e y /∈ B o que garante (x, y)∈/A×B e da´ı (x, y)∈(A×B)^c.

b

(A×B)^c= (A^c×B^c)∪(A^c×B)∪(A×B^c).

1.2.28 E \ F = E ∩ F

^c

.

(28)

Z

Êxemplo ^10. ^{Vale que} Ê^\^F ⁼ Ê^∩^F^c^{, pois} ^x ^∈ Ê^\^F ^⇔ ^x ^∈ ^{E, x /}^∈ ^F^{, logo}

x ∈F^c. x∈E∩F^c⇔ x∈E e x /∈F.

1.2.29 Diferen ¸ca sim ´etrica

m

Defini ¸c ão 19 (Diferen¸ca simétrica). Dados dois conjuntos Ae B, a diferen¸ca simétrica entre eles é o conjunto denotado por A∆B, dado por

A∆B = (A∪B)\(A∩B).

$

Corol ´ario 14. A∆A=∅, pois A∆A= (A∪A)\(A∩A) =A\A=∅.

A∆∅=A, pois A∆∅= (A∪ ∅)\(A∩ ∅) =A\∅=A.

b

Propriedade 40. A∆B={a} ⇔ A e B diferem pelo elemento a. ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒).

Se A∆B={a} então a∈A∪B e a /∈A∩B, podemos supor que a∈B e a /∈A. Se houvesse outro elemento b6=a, b∈B e b /∈A então b∈A∪B e b /∈A∩B, portanto b∈ A∆B, o que não ocorre, da mesma maneira se fosse b ∈ A e b /∈ B. Com isso conclu´ımos que B=A∪{a}, A⊂B.

⇐).

Sendo B =A∪{a} com a /∈ A, temos A∪B= B=A∪{a} e A∩B=A portanto segue A∆B={a}.

1.3 Propriedades das opera ¸c ˜ oes

b

Propriedade 41 (Distributividade). Valem as propriedades distributivas 1.

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

(29)

2.

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

Para memorizar essas opera¸cões, podemos usar a distributividade da multiplica¸cão em rela¸cão a adi¸cão

A(B+C) =AB+AC

e substituir em cada caso ×=∪, + =∩ ou ×=∩, + =∪. ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Vamos mostrar inicialmente queA∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C). Vale quex∈A e x ∈B∪C, supomos sem perda de generalidade que x /∈B, x∈C então x∈A∩C e terminamos. Agora vamos mostrar que (A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C). Vale que x ∈A∩B ou x ∈A∩C. Suponha sem perda de generalidade que x∈A∩B, então x ∈ A e x ∈ B o que prova. Como valem as duas inclusões então vale a igualdade entre os conjuntos.

2. Vale A∪(B∩C) ⊂ (A∪B)∩(A∪C). Seja a ∈ A∪(B∩C) então a ∈ A ou a ∈ B∩C. Se a ∈ A então a ∈ A∪B e a ∈ A∪C logo pertence a interse¸cão , se a∈B∩C então a∈B e a∈C da mesma forma o resultado segue.

Vamos mostrar que (A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C). Vale a∈A∪B e a∈A∪C. Se a ∈ A a propriedade segue. Se a ∈ B e a /∈ A então a ∈ C, pois se não a /∈ A∪C contrariando a hipótese, logo a ∈ B∩C e segue a inclusão que quer´ıamos mostrar.

1.3.1 Leis de De Morgan

b

Propriedade 42. Seja {A_k}k∈B uma cole¸c˜ao qualquer de subconjuntos de um conjunto X, ent˜ao

([

k∈B

A_k)^c = \

k∈B

(A_k)^c.

(30)

x ∈ ([

k∈B

A_k)^c ⇔ x /∈ A_k ∀ k (caso fosse elemento de um dos conjunto seria elemento da uni˜ao) ⇔x∈A^c_k∀k⇔x ∈ \

k∈B

(A_k)^c.

$

Corol ário 15. Seja {A_k}^k∈B uma cole¸cão qualquer de subconjuntos de um conjunto X, então

(\

k∈B

A_k)^c = [

k∈B

(A_k)^c,

sabemos que

([

k∈B

A^c_k)^c= \

k∈B

(A^c_k)^c= \

k∈B

A_k agora aplicamos o complementar, de onde segue

(\

k∈B

A_k)^c = [

k∈B

(A_k)^c.

Z

^Exemplo ^11. Mostre que dados trˆes conjuntos quaisquer A, B e C, tem-se A\[B∩C] = (A\B)∩(A\C).

Ora, temos que A\D=A∩D^c, da´ı

A\[B∩C] =A∩[B∩C]^c=

usando a Lei de De Morgan [B∩C]^c=B^c∪C^c,

=A∩[B^c∪C^c] = [A∩B^c]∪[A∩C^c] = [A\B]∪[A\C].

Como quer´ıamos demonstrar.

1.4 Parti ¸c ˜ oes

(31)

b

Propriedade 43. Seja o conjunto de naturais em [0, np] com p >0 natural, ent˜ao podemos escrever a parti¸c˜ao

[0, np] = (

n−1

[

s=0

[sp, sp+p−1])∪{np}.

ê Demonstra ¸c ão. Vamos mostrar que o segundo conjunto é união disjunta.

Seja A_s = [sp, sp+p−1] vamos mostrar que se A_s ∩A_t = ∅ se s 6= t. Se s 6= t então um deles é maior, digamos t > s, temos dois conjuntos As = [sp, sp+p−1] e A_t = [tp, tp+p−1] como t > s temos que t ≥s+1 multiplicando por p, tp≥sp+p somando 1 ao lado esquerdo tp+1> sp+pda´ı tp > sp+p−1 logo tais conjuntos são disjuntos. Da mesma maneira np não pertence a nenhum outro conjunto da união, pois caso contrário haveria s tal que sp+p−1≥ np , (s+1−n)p≥1 mas o valor máximo de s+1=n que fica n−n=0 e a igualdade não vale.

Vamos mostrar agora que todo elemento do primeiro conjunto pertence ao segundo, seja então v um n úmero natural em [0, np], se for v = np sabemos que pertence, seja então v 6= np, fazemos a divisão euclidiana de v por p, da´ı v se escreve como v = qp+r onde 0 ≤ r < p e 0 ≤ q < n então v pertence ao conjunto A_q = [qp, qp+p−1] que é um conjunto da união.

Agora mostraremos que todo elemento do conjunto da direita (com união) pertence ao primeiro conjunto. Podemos ver claramente quenp pertence ao primeiro conjunto, seja então u um elemento da reunião, como ela é disjunta sabemos que existe s tal que u ∈ [sp, sp+p−1], como u é inteiro, ele é da forma sp+r com 0 ≤ s < n e 0≤r < p esse elemento seria no máximo np−1< np e como é positivo ele pertence ao intervalo [0, np], então termina a demonstra¸cão.

$

Corol ´ario 16. Podemos escrever uma parti¸c˜ao desse modo para o conjunto [p, np], basta retirar de [0, np] o conjunto [0, p−1]

[0, np] = [0, p−1]∪(

n−1

[

s=1

[sp, sp+p−1])∪{np}

(32)

da´ı

[p, np] = (

n−1

[

s=1

[sp, sp+p−1])∪{np}.

b

Propriedade 44. Se A= [

k∈C

B_k ent˜ao B_k⊂A.

Z

Êxemplo ^12. Dê um exemplo de uma sequência de conjuntos A_k tal que A_k+1⊂A_k para todo k natural, cada conjunto seja infinito e

∞

\

k=1

A_k=∅.

Seja A_k = (−1 k, 1

k), ent˜ao temos que A_k+1 ⊂ A_k , (− 1 k+1, 1

k+1) ⊂ (−1 k, 1

k) pois

−1

k <− 1

k+1 e 1

k+1 < 1 k

cada conjunto ´e infinito. Vamos mostrar agora que n˜ao existe elemento comum em todos esses conjuntos. Se y < 0 podemos conseguir n ∈ N tal que y < −1

n,

−y > 1

n, se y >0 existe n tal que 1

n < y, da´ı conseguimos um intervalo A_n onde y n˜ao est´a contido.

b

Propriedade 45. Seja A um conjunto com n elementos, ent˜ao P(A) possui 2ⁿ elementos.

ê Demonstra ¸c ão. Digamos que o n úmero de elementos de P(A) para A com n elementos sejag(n). P(A)está em bĳe¸cão com o conjuntoF(A,{0,1}), logo contaremos o n úmero de elementos do conjuntoF(A,{0,1}) que é o conjunto de fun¸cões de A em {0,1}. Se A possui 1 elemento {a₁}, então existem as fun¸cões f₁(a₁) = 0 e f₂(a₁) = 1, logo g(1) =2, suponha então que P(A) com n elementos tenha g(n) elementos, logo haverá g(n) fun¸cões em F(A,{0,1}), se adicionarmos 1 elemento {b} ao conjunto A, podemos ter f_k(b) = 0 ou f_k(b) = 1, deixamos então os outros pontos fixos pela

(33)

fun¸c˜ao f e teremos g(n) +g(n) =2g(n), logo g(n+1) =2g(n), com condi¸c˜ao inicial g(1) =2 tem-se g(n) =2ⁿ.

Z

^Exemplo ^13. Existe uma sequˆencia de conjuntos A_k com A_k+1 ⊂ A_k com cada A_k infinito e

∞

[

k=1

A_k=∅.

Seja Ak = {x ∈ N | x ≥ k}. Temos que cada conjunto desses é infinito e também A_k+1 ⊂ A_k, agora supondo por absurdo que exista um elemento y na interse¸cão, ele deve ser um n úmero natural, pois a interse¸cão é de conjuntos de números naturais, se y pertence a interse¸cão então y pertence a cada conjunto A_k, o que é absurdo pois y /∈A_y+1={x∈N|x≥y+1}. Logo a interse¸cão é vazia

1.5 Conjuntos ordenados

m

Defini ¸c ão 20 (Ordem). Sejam A um conjunto e x, y, z∈A arbitrários. Uma ordem em A é uma rela¸cão < que satisfaz as seguintes propriedades.

Tricotomia

Vale apenas uma das rela¸c˜oes x < y, x=y, y < x.

Transitividade

Se x < y e y < z ent˜ao x < z.

x < y também pode ser escrito como y > x, sendo lido como x é menor que y ou y é maior que x.

Dizemos que x≤y quando x < y ou x=y.

(34)

m

Defini ¸c ˜ao 21 (Conjunto ordenado). Um conjunto A munido de uma ordem

< ´e dito um conjunto ordenado.

Vamos considerar agora sempre conjuntos ordenados.

Para as defini¸c˜oes a seguir, considere B⊂A.

m

Defini ¸c ão 22 (Conjunto limitado superiormente). Se existe c ∈ A tal que x ≤c∀x ∈B, então B é dito limitado superiormente.

m

Defini ¸c ˜ao 23 (Cota inferior). Qualquer cque satisfa¸ca a propriedade anterior

´e chamado de cota superior de B.

m

Defini ¸c ão 24 (Conjunto limitado inferiormente). Se existe v ∈ A tal que v≤x∀x ∈B, então B é dito limitado inferiormente.

m

Defini ¸c ão 25 (Conjunto limitado). Um conjunto A é dito limitado, quando ele é limitado superiormente e inferiormente.

m

Defini ¸c ˜ao 26 (Cota inferior). Qualquer vque satisfa¸ca a propriedade anterior

´e chamado de cota inferior de B.

m

Defini ¸c ão 27 (Máximo). A possui máximo se existe y ∈ A tal que vale x ≤y∀x∈A.

m

Defini ¸c ˜ao 28 (M´ınimo). A possui m´ınimo se existe z ∈ A tal que vale

(35)

z ≤x ∀x∈A.

m

Defini ¸c ˜ao 29 (Supremo). Seja A um conjunto limitado superiormente, tomamos o conjunto Bdas cotas superiores de A. SeBpossui m´ınimo x, chamamos tal elemento de supremo de A, ou menor cota superior e denotamos por x=supA.

m

Defini ¸c ão 30 (Ínfimo). Seja Aum conjunto limitado inferiormente, tomamos o conjunto B das cotas inferiores de A. Se B possui máximo x, chamamos tal elemento de ´ınfimo de A, ou maior cota inferior e denotamos por x =infA.

m

Defini ¸c ˜ao 31 (Propriedade do supremo). Um conjunto ordenado A ´e dito ter a propriedade do supremo, quando qualquer A⊂B limitado superiormente possui supremo.

m

Defini ¸c ˜ao 32 (Propriedade do ´ınfimo). Um conjunto ordenado A ´e dito ter a propriedade do ´ınfimo, quando qualquer A ⊂ B limitado inferiormente possui

´ınfimo.

b

Propriedade 46. Sejam A um conjunto ordenado com a propriedade do supremo , B ⊂ A n˜ao vazio e B limitado inferiormente. Seja C o conjunto de todas as cotas inferiores de B, ent˜ao existe a=supC em A e vale a=infB.

ê Demonstra ¸c ão. Como B é limitado inferiormente então existe x ∈A tal que x ≤ y∀ y∈ B. Então x é cota inferior de B, implicando x ∈ C, logo C não é vazio.

C é limitado superiormente por qualquer elemento de B, logo C possui supremo , supc= a. Vale também que a ≤ y ∀ y∈ B, pois a é a menor das cotas superiores, então a é cota inferior de B, sendo que vale também x ≤ a ∀ x ∈ C então a é a menor das cotas inferiores, logo é o ´ınfimo de B.

(36)

1.5.1 [

y∈Y

(B ∩ I

_y

) = B ∩ ( [

y∈Y

I

_y

)

[

y∈Y

(B∩I_y) =B∩([

y∈Y

I_y)

1.5.2 B \ (B ∩ A) = B ∩ (R \ A)

1.6 Conjuntos crescentes e decrescentes

m

Defini ¸c ão 33 (Sequência crescente de conjuntos). Uma sequência (A_k) de conjuntos é dita crescente se A_k ⊂ A_k+1. Denotaremos sequências desse tipo por A_n ↑, escrevemos

A_n ↑A se An↑ e

A=

∞

[

k=1

A_k.

Definimos nesses casos que A₀ =∅.

m

Defini ¸c ão 34 (Sequência decrescente de conjuntos). Uma sequência (A_k) de conjuntos é dita crescente se A_k ⊃ A_k+1. Denotaremos sequências desse tipo por A_n ↓, escrevemos

A_n ↓A se A_n↑ e

A=

∞

\

k=1

A_k.

1.7 Conjuntos e fun ¸c ˜ oes

(37)

b

Propriedade 47. Se L é fun¸cão definida em cada Ak, k∈B, então vale que [

k∈B

L(A_k) =L([

k∈B

A_k).

ê Demonstra ¸c ˜ao. SejaL(x)∈L([

k∈B

A_k), ent˜aox ∈ [

k∈B

A_k, da´ıx ∈A_j para algum j∈B, portanto L(x)⊂L(Aj), ent˜ao

L([

k∈B

A_k)⊂ [

k∈B

L(A_k).

Com isso fica provada a primeira inclus˜ao. Agora a outra inclus˜ao. Seja Y ∈ [

k∈B

L(Ak), ent˜ao y∈ L(Aj) para algum j, da´ı y= L(x), com x ∈ Aj, logo y= L(x) ∈ L([

k∈B

Ak) e temos a segunda inclus˜ao [

k∈B

L(Ak)⊂L([

k∈B

Ak).