Anota¸c˜ oes sobre Multiconjuntos

(1)

Anota¸c˜ oes sobre Multiconjuntos

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uﬀ.math@gmail.com

‡

(2)

1

(3)

Sum´ ario

1 Multiconjuntos 3

1.0.1 Nota¸c˜oes de multiconjuntos . . . 3

1.0.2 Uni˜ao no sentido de conjuntos . . . 5

1.0.3 Interse¸c˜ao no sentido de conjuntos. . . 6

1.1 Uni˜ao sobre multiconjunto . . . 8

1.1.1 Soma sobre multiconjunto . . . 11

1.1.2 N´umero de elemento e ocorrˆencia . . . 11

1.2 Produto sobre multiconjunto . . . 12

1.3 Aplica¸c˜oes de multiconjuntos. . . 12

1.3.1 Ra´ızes de polinˆomios . . . 12

1.4 Multiconjunto e fatora¸c˜ao . . . 13

2

(4)

Cap´ıtulo 1

Multiconjuntos

Defini¸cão 1 (Multiconjunto). Seja Ω̸=∅ um conjunto dado, que será nosso conjunto de discurso ( ou conjunto universo). SejamA⊂Ω propriamente, g : Ω→R o par composto pelo conjuntoA e a fun¸cão g, denotado por (A, g) ´e um multiconjunto se

g(x) = 0, x∈A^c.

Em que A^c é o complementar de A em Ω. Podemos denotar o multiconjunto como (A, g_A) para deixar claro que g se anula fora de A . Diremos também que (Ω, f) é um multiconjunto para qualquerf : Ω→R.

1.0.1 Nota¸ c˜ oes de multiconjuntos

Defini¸cão 2 (Nota¸cão para multiconjunto). Usaremos a seguinte nota¸cão para multiconjuntos

(A, g) = {k_g(k) |k∈A}.

O valor g(k) em k_g(k) pode ser chamados de ´ındice do elemento k, o ´ındice pode ser intepretado, como n´umero de vezes que um elemento aparece no multiconjunto, se for negativo como d´ıvida do multiconjunto . Por exemplo

{mapa₂, estrela₅} 3

(5)

CAP´ITULO 1. MULTICONJUNTOS 4

seria um multiconjunto com 2 mapas e 5 estrelas .

{Dinheiro₋₁₀₀}

um multiconjunto para simbolizar que se deve 100 unidades de um tipo de dinheiro . {casa₁, casa₀, camisas₂₀}

neste multi conjunto, casa n˜ao ´e um elemento pois possui ´ındice 0 , temos nele 20 camisas e uma casa.

Defini¸c˜ao 3 (Igualdade de multiconjuntos). Dizemos que (A, g) = (B, f) seg =f em Ω.

Observa¸cão 1. Com essa defini¸cão podemos ver que do ponto de vista formal um multiconjunto é equivalente a uma fun¸cão, porém damos a esse conceito uma interpreta¸cão que vai além disso, assocciando, por exemplo a conjuntos em que cada elemento possui um peso ou número associado a ocorrência do elemento , entre outras interpreta¸cões poss´ıveis.

Então o que difere em nossa abordagem é a interpreta¸cão do objeto formal, que dá um certo sentido ao objeto definido .

Defini¸cão 4 (Pertinência). Dizemos que x_t ∈ (A, g) ⇔ x ∈ Ω e g(x) =t > 0. Dizemos quext é elemento de (A, g), se t >0 , se t <0 dizemos que é anti-elemento ou d´ıvida de (A, g).

Defini¸cão 5 (Multiconjuntos e conjuntos). Um multiconjunto (A, g) é dito ser um conjunto, quandog assume apenas valores em {0,1}, fazemos nesse caso a associa¸cão

(A, g) := A.

Propriedade 1. Se (∅, g) ´e multiconjunto, então g é a fun¸cão nula .

(6)

Demonstra¸cão. Pela condi¸c˜ao de (A, g) ser multiconjunto, temos que terg vazia em A^c, com A=∅, A^c = Ω, logo g é a fun¸cão nula e o único multiconjunto da forma (∅, g) ´e (∅,0) .

Propriedade 2. Vale que (A,0) = (Ω,0) para qualquer A⊂Ω.

Demonstra¸c˜ao. (A, g|{z}

g=0

),g é fun¸cão nula em Ω , também em (Ω,0), logo são iguais, pela defini¸cão de igualdade de multiconjuntos.

Defini¸cão 6 (União no sentido de multiconjuntos). Dados dois multiconjunto (A, g) e (B, f) sua união (no sentido de multiconjuntos), denotada por

(A, g)⊎(B, f),

´e deﬁnida como

(A∪B, g+f).

Além disso (A∪B, g+f),é multiconjunto, isto é,g+f se anula em (A∪B)^c. A opera¸cão de união é fechada.

Usaremos o s´ımbolo ⊎ para tal união no sentido de multiconjuntos , para diferenciar da união no sentido de conjuntos que definiremos a seguir .

Demonstra¸cão. Caso A ou B sejam Ω, temos A∪B = Ω e da´ı (A∪B, g+f) é multiconjunto por defini¸cão . Agora o caso deA e B como subconjuntos próprios de Ω.

Como (A, g) e (B, f) s˜ao multiconjuntos, temos que g se anula em A^c, f se anula em B^c,g+f deve ter que se anular em (A∪B)^c=A^c∩B^c que ´e subconjunto de B^c e deA^c, portantog ef se anulam em (A∪B)^ce da´ı sua soma g+f, como quer´ıamos demonstrar .

1.0.2 Uni˜ ao no sentido de conjuntos

Defini¸cão 7 (União no sentido de conjuntos). Dados dois multiconjuntos (A, g) e (B, f), definimos sua união no sentido de conjuntos como

(A, g)∪(B, f) = (A∪B,max{g, f}).

Sendo que (A∪B,max{g, f}) ainda ´e um multiconjunto .

(7)

Demonstra¸cão. Temos que mostrar que max{g, f} se anula fora em (A ∪B)^c = A^c∩B^c. Demonstramos que g ef se anulam em A^c∩B^c, logo também seu máximo . Corolário1(Comutatividade).Vale que (A, g)∪(B, f) = (B, f)∪(A, g) pois max{g, f}= max{f, g} eA∪B =B∪A.

Propriedade 3. Se (A, g) e (B, f) são conjuntos então (A, g)∪(B, f) é conjunto . Demonstra¸cão. Vale pois max{g, f} assume valor 1 ou 0 .

Corolário 2 (Idempotência). Vale a propriedade de idempotência para união no sentido de conjuntos

(A, g)∪(A, g) = (A∪A,max{g, g}) = (A, g).

Propriedade 4 (Associatividade da uni˜ao ). Vale que

(C, h)∪[(A, g)∪(B, f)] = [(C, h)∪(A, g)]∪(B, f)

Demonstra¸c˜ao. A igualdade segue de max{h,max{f, g}}= max{h, f, g}= max{f,max{h, g}}.

1.0.3 Interse¸ c˜ ao no sentido de conjuntos

Defini¸cão 8 (Interse¸cão no sentido de conjuntos). Dados dois multiconjuntos (A, g) e (B, f), definimos sua interse¸cão no sentido de multiconjuntos como

(A, g)∩(B, f) = (A∩B,min{g, f}).

Demonstra¸cão. (A∩B,min{g, f}) é um multiconjunto , pois g e f são nulas em A^c∩B^c logo também o m´ınimo .

Corol´ario 3 (Comutatividade). Vale que

(A, g)∩(B, f) = (B, f)∩(A, g).

Pois A∩B =B∩A e min{g, f}= min{f, g}.

Propriedade 5. Se (A, g) e (B, f) são conjuntos então (A, g)∩(B, f) é conjunto .

(8)

Demonstra¸c˜ao. Vale pois min{g, f} assume valor 1 ou 0 . Propriedade 6. Vale que

A⊎B = (A∪B)⊎(A∩B), em que A eB s˜ao multiconjuntos quaisquer .

Demonstra¸c˜ao. Temos que

(A, g)⊎(B, f) = (A∪B, g+f),

[(A, g)∪(B, f)]⊎(A, g)∩(B, f) = (A∪B,maxg, f)⊎(A∩B,ming, f) =

= (A∪B,maxg, f + ming, f) = (A∪B, g+f) logo vale a propriedade .

Propriedade 7 (Existência do elemento neutro). Existe um elemento neutro da união de multiconjuntos, que é (Ω,0).

Demonstra¸c˜ao.

(Ω,0)∪(A, g) = (A,0)⊎(A, g) = (A∪A, g+ 0) = (A, g),

onde usamos que (Ω,0) = (A,0) e idempotˆencia da uni˜ao de conjuntos A⊎A=A.

Corol´ario 4. Vale que

(Ω, g_A) = (A, g_A).

Propriedade 8 (Existˆencia de inverso). Vale que

(A, g_A)⊎(A,−g_A) = (Ω,0)

por isso (A,−g_A) ´e o inverso de (A, g_A), todo elemento possui inverso . Demonstra¸c˜ao. Pois vale

(A, gA)⊎(A,−gA) = (A∪A, gA−gA) = (A,0) = (Ω,0).

(9)

Corolário 5. Vale que a união de multiconjuntos também é associativa e comutativa, pois união de conjuntos e adi¸cão de fun¸cões também o são . Por isso temos um grupo abeliano .

Defini¸cão 9(Multiconjunto finito e infinito). Um multiconjunto (A, g) possui uma quantidade finita de tipos de elementos se existeB ⊂Afinito tal queg ̸= 0 emB eg = 0∈B^c , caso g ̸= 0 em um subconjunto infinito de A dizemos que (A, g) possui quantidade infinita de tipos de elementos .

Vamos considerar a partir de agora multiconjuntos ﬁnitos .

1.1 Uni˜ ao sobre multiconjunto

Sejam dados A_k multiconjuntos para todo k∈Z; Deﬁnimos

⊎t

k=t

(A, g_k) = (A, g_t)∀t∈Z.

⊎b

k=a

(A, g_k) =

⊎p

k=a

(A, g_k)∪

⊎b

k=p+1

(A, g_k)∀p, a, b∈Z.

Corol´ario 6 (Uni˜ao vazia). Em

⊎b

k=a

(A, g_k) =

⊎p

k=a

(A, g_k)∪

⊎b

k=p+1

(A, g_k) tomando p=a−1 tem-se

⊎b

k=a

(A, g_k) = (

a⊎−1

k=a

(A, g_k))∪

⊎b

k=a

(A, g_k)

por isso

a⊎−1

k=a

(A, gk) deve ser o elemento neutro da uni˜ao de multiconjuntos , (Ω,0).

Tomando agora b =a−1 em

⊎b

k=a

(A, g_k) =

⊎p

k=a

(A, g_k)∪

⊎b

k=p+1

(A, g_k),

(10)

segue que

a⊎−1

k=a

(A, g_k)) = (Ω,0) =

⊎p

k=a

(A, g(k))∪

a⊎−1

k=p+1

(A, g_k) o que implica

∪p

k=a

(A, gk)) =−

a∪−1

k=p+1

(A, gk)) tomando a= 1 e substituindo ppor −p

−p

⊎

k=1

(A, g_k) = −

⊎0

k=−p+1

(A, g_k) =

=−((A, g(−p+1))∪ ∪(A, g(−p))∪ · · ·(A, g(−1))∪(A, g0) =−

p−1⊎

k=0

(A, g(−k)).

Logo se p≥1

−p

⊎

k=1

(A, g_k) = −

p⊎−1

k=0

(A, g₍₋_k)).

Exemplo 1. Damos sentido ent˜ao a soma

∑n

k=1

f(k)∀n∈Z,

como a soma sobre um multiconjunto .

tal soma para n ≥1 ´e uma soma sobre o multiconjunto uni˜ao {1₁,· · · , n₁}={1₁} ∪ {2₁} · · · {n₁}=

={· · · ,0₀,· · ·1₁,· · · , n₀} ∪ {· · · ,0₀,· · ·1₀,2₁,· · · , n₀} ∪ · · · ∪ {· · · ,0₀,· · ·0₀,· · · , n₁}= usando a fun¸c˜ao delta de kronecker que satisfaz δ(k, k) = 1 eδ(k, j) = 0 sek ̸=j ent˜ao

= (Z, δ(1, ) )∪(Z, δ(2, ) )∪ · · · ∪(Z, δ(n, ) ) =

∪n

k=1

(Z, δ(k, ) ),

Sen ≥1 tem-se

∪n

t=1

(Z, δ(k, ) ) = (Z,

∑n

t=1

δ(t, ) ), logo

∑

k∈∪ⁿ

t=1

(Z,δ(t,) )

f(k) = ∑

k∈(Z,

∑n t=1

δ(t,) )

f(k) =∑

k∈Z

[

∑n

t=1

δ(t, k)]f(k) =

∑∞ k=−∞

∑n

t=1

δ(t, k)f(k) =

(11)

=

∑n

t=1

f(t).

Logo a defini¸cão recupera o sentido comum de soma quando n ≥1. Sen = 0 , temos a união vazia

∪n

t=1

(Z, δ(t, ) ) = (Z,0), portanto

∑

k∈∪⁰

t=1

(Z,δ(t,) )

f(k) = ∑

k∈(Z,0)

f(k) = ∑

k∈Z

0.f(k) = 0 =

∑0

k=1

f(k),

soma chamada de soma vazia . Agora sen ≤ −1, escrevendon =−p segue que

−p

∪

k=1

(A, g_k) =

p∪−1

k=0

(A,−g₍₋_k)) = (A,−

p−1

∑

k=0

g₍₋_k)), ent˜ao

∑

k∈⁻∪^p

t=1

(Z,δ(t,) )

f(k) = ∑

k∈(Z,−^p∑⁻¹

t=0

δ(−t,) )

f(k) =

=∑

k∈Z

[−

p−1

∑

t=0

δ(−t, k)]f(k) = −

p−1

∑

t=0

f(−t) =

−p

∑

t=1

f(k).

Podemos mostrar que essa extensão de conceito para somatório, também sai se defi- nirmos

∑b

k=a

f(k) =

∑p

k=a

f(k) +

∑b

k=p+1

f(k),∀a, b, p∈Z, com a condi¸c˜ao inicial,

∑s

k=s

f(k) = f(s)∀s∈Z.

Que implicam com argumento semelhante ao aplicado para os multiconjuntos, que

−

p−1

∑

t=0

f(−t) =

−p

∑

t=1

f(k) e

s−1

∑

k=s

f(k) = 0∀s∈Z.

Podemos assumir esse somatório como ja tendo a propriedade estendida e definir a união a partir dos somatórios, como fazemos a seguir .

(12)

Defini¸cão 10 (União de multiconjuntos-segunda defini¸cão). Definimos

∪n

k=1

(A, g_k)) = (A,

∑n

k=1

g_k), onde para cadak inteiro temos uma fun¸c˜aog_k:A→R.

1.1.1 Soma sobre multiconjunto

Defini¸c˜ao 11 (Soma sobre multiconjuntos ). Deﬁnimos

∑

k∈(A,g)

f(k) := ∑

k∈A

g(k)f(k).

1.1.2 N´ umero de elemento e ocorrˆ encia

Defini¸cão 12 (Número de ocorrências de um elemento). O número de ocorrência de um elementok ∈A de (A, g) é dado por g(k).

Defini¸cão 13 (Número de elementos e anti-elementos de um multiconjunto ). Definimos o número de tipos de elementos de um multiconjunto (A, g) como a soma

N(A) = ∑

k∈D

1 em que D⊂A eg ´e n˜ao nula em D .

Deﬁnimos o n´umero total de (A, g) como Nt(A) = ∑

k∈A

|g(k)|.

SeparamosA =B∪C em queB ´e tal queg(k)≥0 emB eC ´e tal queg(k)≤0∈C.

Deﬁnimos o n´umero de elementos de A como N e(A) = ∑

k∈B

g(k),

e o n´umero de anti-elementos (ou d´ıvidas) como N d(A) = −∑

k∈C

g(k), valendo

N e(A) +N d(A) = N t(A).

(13)

Exemplo 2. O multiconjunto {Banana₁₀, casa₁, carro₁, dinheiro₋₁, Hotel₀} possui 4 tipos de elementos, n´umero total de 13, uma d´ıvida e 12 elementos .

1.2 Produto sobre multiconjunto

Defini¸cão 14 (Produto sobre multiconjunto). Seja (A, g) um multiconjunto definimos o produtório sobre ele como

∏

k∈(A,g)

f(k) = ∏

k∈A

f(k)^g(k) supondo f(k)^g(k) bem deﬁnido .

1.3 Aplica¸ c˜ oes de multiconjuntos

1.3.1 Ra´ızes de polinˆ omios

Para estudar ra´ızes de polinômios com coeficientes sendo números complexos, podemos considerar nosso conjunto universo como sendo Ω =Co conjunto dos números complexos . As ra´ızes podem aparecer com multiplicidade , por exemplo P(x) = (x−1)² , possui raiz 1 com multiplicidade 2, podemos representar suas ra´ızes pelo multiconjunto

A={1₂}.

Em geral, um polinˆomio qualquer P(x) deC[x] pode ser escrito comoP(x) =

∏n

k=1

(x− a_k)^α^k , logo suas ra´ızes s˜ao os elementos do multiconjunto

A={(a₁)_α₁,(a₂)_α₂,· · · ,(a_n)_α_n}, os ind´ıces s˜ao a multiplicidade das ra´ızes .

Propriedade 9. Sejam p e g polinômios com multiconjuntos de ra´ızes associados A_p e A_g respectivamente, então o polinômio produtop.g possui como multiconjunto associado para raizes a união A_p∪A_g. Em s´ımbolos, vale que

A_p∪A_q =A_q.p.

(14)

Demonstra¸c˜ao.

Sejam A o conjunto de ra´ızes de p, B conjunto de ra´ızes de q, ent˜ao seja A∪B = {a₁,· · · , a_n}, se uma dessas ra´ızes n˜ao aparece na fatora¸c˜ao de p ou q, colocamos seu expoente como nulo, e por isso podemos escrever

p(x) =

∏n

k=1

(x−ak)^c^k, g(x) =

∏n

k=1

(x−ak)^d^k ⇒p(x).g(x) =

∏n

k=1

(x−ak)^d^k^+c^k Por isso o multiconjunto de solu¸c˜oes de p´e

A_p ={(a₁)_c₁,· · · ,(a_n)_c_n} o multiconjunto de solu¸c˜oes de q ´e

Aq ={(a1)d1,· · · ,(an)dn} o multiconjunto de solu¸c˜oes de pq ´e

A_q.p={(a₁)_d₁_+c₁,· · · ,(a_n)_d_n_+c_n} porém a união dos multiconjuntos é

A_p∪A_q ={(a₁)_d₁_+c₁,· · · ,(a_n)_d_n_+c_n}, pois somamos as fun¸c˜oes, portanto vale que

A_p∪A_q =A_q.p. Exemplo3. Sejap(x) =

∏n

k=1

(x−a_k)^c^k, ent˜ao podemos escrever o polinˆomio como produto sobre o multiconjunto de suas ra´ızesAp ={(a1)c1,· · ·,(an)cn},

p(x) = ∏

k∈Ap

(x−k) = ∏

k∈A

(x−k)^c^k

1.4 Multiconjunto e fatora¸ c˜ ao

Exemplo 4. Um n´umero fatorado como n=

∏m

k=1

p^α_k^k,

(15)

pode ser escrito como produto sobre o multiconjunto {(p1)α1· · ·(pm)αm}= (A, g),

n= ∏

k∈(A,g)

k =∏

k∈A

k^α^k.

Exemplo 5 (mmc). O mmc de dois n´umeros n =

∏t

k=1

p^α_k^k, m=

∏t

k=1

p^c_k^k

´e dado por

mmc(n, m) =

∏t

k=1

p^max_k ^{^α^k^,c^k^}

corresponde a um n´umero com multiconjunto associado a uni˜ao (no sentido de conjunto), dos multiconjuntos associados a n e m .

Exemplo 6 (mdc). O mdc de dois n´umeros n =

∏t

k=1

p^α_k^k, m=

∏t

k=1

p^c_k^k

´e dado por

mdc(n, m) =

∏t

k=1

p^min_k ^{^α^k^,c^k^}

corresponde a um n´umero com multiconjunto associado a interse¸c˜ao (no sentido de conjunto), dos multiconjuntos associados an em .

Exemplo 7 (Produto). O produto de dois n´umeros n=

∏t

k=1

p^α_k^k, m=

∏t

k=1

p^c_k^k,

corresponde ao produt´orio sobre a uni˜ao no sentido de multiconjuntos dos multiconjuntos associados a n e m .