UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO E CONTABILIDADE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE "MODELAGEM MATEMÁTICA EM FINANÇAS"
RISCO OPERACIONAL: Uma abordagem quantitativa para alocação de Capital
Paulo Yoshihiro Ouki
Orientador: Prof. Dr. Renato Vicente
São Paulo 2007
RISCO OPERACIONAL: Uma abordagem quantitativa para alocação de Capital
Paulo Yoshihiro Ouki
Dissertação apresentada à Facul- dade de Economia, Administração e Contabilidade e ao Instituto de Matemática e Estatística da Universi- dade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre.
Orientador: Prof. Dr. Renato Vicente
São Paulo 2007
Agradecimento 1 Ao Professor Renato Vicente, o qual proveu apoio e incentivo desde o início dessa jornada, alertando, construindo e resgatando o sentido da palavra professor, acreditando no aluno de sua tutela.
Agradecimento 2 Ao Professor Henrique Dreifus, o qual proveu ajuda para frequentar o curso e acreditou na capacidade do aluno em finalizar o curso.
Agradecimento 3 Ao meu Deus, Pai, e Amigo (possuimos o livre arbítrio para escolher nosso próprio Deus) que, nos bons e maus momentos, de uma forma ou de outra, esteve ao meu lado dando força e incentivo até a con- clusão desse trabalho.
Agradecimento 4 Aos meus Pais, os quais tiveram paciência e compreen- são nos dias e finais de semana que passei debruçado alienado ao mundo em torno.
Agradecimento 5 Aos meus amigos, Han, Roberta, Vânia, Márcio, Alexan- dre, Sandro e todos os demais que durante o curso me ajudaram a compreen- der e discutir as disciplinas e evolução do aprendizado.
Agradecimento 6 Aos meus grandes amigos Carlos Cammas e José T. O Ubago e sua equipe, pela providencial contribuição na disponibilização dos valiosos dados sem os quais, a aplicação prática estaria comprometida.
Agradecimento 7 A todos que, de um modo ou de outro, direta ou indi- retamente, tiveram paciência comigo durante esse tempo.
"A vida é a arte de extrair conclusões suficientes de premissas insuficientes"
Samuel Butler
RESUMO
Com o amadurecimento da indústriafinanceira no tratamento ao Risco Operacional novas considerações são identificadas, entre elas a relevância e
importância dispendida aos eventos considerados raros ou extremos ou àqueles localizados nas caudas das distribuições características que podem
ser ajustáveis pela teoria de valores extremos - TVE.
Contudo os eventos pertencentes ao bojo da distribuição merecem atenção uma vez que estes eventos, juntamente com os eventos das caudas podem
ser tratados como uma mistura de distribuições. Assim, esse trabalho aborda a adoção, de forma sistemática de como tratar ambos os eventos na
obtenção de uma distribuição de severidade consolidada composta, a qual será base para o ajuste da distribuição a ser utilizada na obtenção de um
montante de Capital Regulatório.
Assim, esse trabalho pretender identificar o montante de Capital Regulatório com a utilização de dois métodos: 1 - utilização da abordagem
atuarial (distribuição agregada de perdas); 2 - utilização da abordagem pela teoria da ruína.
ABSTRACT
On the development of the financial industry on Operational Risk Management, new considerations are raised up, among them the concern
about the operational risk events said extremes or that locate on the specifics distributions’ tails usually known by the analysts as extreme value
theory. However, also the events belongs to the bulk of the distributions should have attention on the modeling even though these events does not
need follow the same distribution of the tail events.
Thus this work tries by a systematic way to approach both events type, the bulk and the tail, to obtain a aggregated loss distribution which will be
used tofit the data and identify an enough amount for the regulatory capital for the operational risk.
Two models are used: The actuarial model and the Ruin Process Theory towards to confirm the model used and the level of capital charge for
operational risk.
Sumário
1 Introdução 10
1.1 Organização da Dissertação . . . 12
2 Risco Operacional e Basiléia II 13 2.1 Histórico . . . 13
2.2 O Primeiro Acordo . . . 14
2.3 O Novo Acordo da Basiléia . . . 15
2.4 Os Pilares do Novo Acordo e o Risco Operacional . . . 16
2.5 Abordagens para o Risco Operacional . . . 17
2.6 Impactos do BIS-II no Brasil — Risco Operacional . . . 22
2.7 Motivação Prática . . . 22
3 Abordagem probabilística para modelos de perdas operacionais 24 3.1 Modelos para a severidade dos eventos de perda operacional. 28 3.2 Modelos para a freqüência dos eventos de perda operacional . 39 3.3 Estimativa dos parâmetros das distribuições para perdas op- eracionais . . . 40
3.4 Avaliação das estimativas paramétricas . . . 42
4 Modelo para o cálculo do Capital Regulatório 44 5 Aplicação Prática e Construção do Modelo 47 5.1 Descrição dos dados . . . 47
5.2 Cálculo do capital pela abordagem atuarial . . . 58
5.3 Simulação das variáveis aleatórias para as distribuições de freqüência e severidade . . . 59
5.4 Backtest . . . 60
5.5 Cálculo do capital pelo modelo da Teoria de Ruína . . . 60
6 Conclusão 64
Lista de Figuras
1 Abordagem atuarial para Freqüência e Severidade de perdas operacionais na obtenção da Distribuição de Perdas. . . 25 2 Distribuição típica de Evento de Perda Operacional, contendo
os grupos 1 e 2. . . 27 3 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro
λ.. . . 31 4 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro
μe σ. . . 32 5 Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro
ae b.. . . 33 6 Formas para a distribuição exponencial em função dos parâmet-
rosβ(β1, β2, β3, β4).GBD1(15,300,1.5,3.5); GBD2(15,300,3.5,1.5);
GBD3(15,300,0.5,0.5) e GBD4(20,280,2.5,1.0). . . 35 7 Aplicação da função SMEF para identificação de limiar, com
escolha deu= 1u.m. . . 39 8 Esquema para cálculo do Capital Regulatório. . . 45 9 Demonstração do comportamento de perdas operacionais. . . 49 10 Perdas operacionais segregadas em Bojo e Cauda. Abaixo a
visualização consolidada das observações. . . 50 11 Distribuição exponencial com parâmetro λ = 273.90 e K-S
= 0.1134. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabili- dade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 51 12 Distribuição log-normal com parâmetrosμ= 9.53, σ= 1.37e
K-S = 0.1101. No sentido anti-horário, do canto superior di- reito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Proba- bilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 52 13 Distribuição gama com parâmetrosa= 0.86, b= 318.90e K-
S= 0.0797.No sentido anti-horário, do canto superior direito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabili- dade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 53 14 Distribuição GBD com parâmetrosβ= (0.06, 100, 0.52, 1.31)
e K-S= 0.0594.No sentido anti-horário, do canto superior di- reito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Proba- bilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 54
15 Distribuição GEV, com parâmetrosξ = 0.31, σ = 30.19, μ= 136.89. e K-S = 0.0614. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos: Distribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Comparativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 56 16 Distribuição EV (Considera uma GEV com ξ = 0), com
parâmetros μ = 1956.18, σ = 660.05 e K-S= 0.0353. No sentido anti-horário, do canto superior direito temos: Dis- tribuição Acumulada, Distribuição de Probabilidade, Com- parativo entre Empírio versus Teórico e Gráfico QQ-plot. . . 57 17 Trajetórias de Ruínas para o período de 5 anos. . . 62
1 Introdução
Com a divulgação do Novo Acordo da Basiléia[1] também conhecido como BIS-II o mercadofinanceiro mundial depara-se com uma questão a qual pode ser resumida como o desafio de garantir que as instituições financeiras in- ternacionalmente ativas possuam nível de capital suficiente (capital mínimo regulatório) para fazer face aos riscos que decidiram assumir na condução de suas atividades.e um sistema de controles internos capaz de identificar e avaliar os riscos aos quais estão expostas.
Neste sentido no Novo Acordo foi dada grande ênfase aos três principais riscos que as instituiçõesfinanceiras estão expostas: risco de mercado, risco de crédito e risco operacional.
Na prática não houve grandes mudanças para o tratamento do risco de mercado em relação à orientação já existente, a qual está baseada no modelo de “Value at Risk”[2]. Já para os riscos de crédito e operacional estes possuem as maiores mudança decorrentes das alternativas de tratamento permitidas para o cômputo do capital regulatório.
A grande mudança no tratamento do risco de crédito está na possibili- dade da instituição poder adotar modelos internos: “Foundatin IRB”[1] ou
“Advanced IRB”[1].
O tratamento do risco operacional é um dos maiores desafios uma vez que, como um novo conceito, muito se possui a ser consolidado para sua adequada gestão e controle, representando uma das disciplinas com grande número de pesquisas em atualmente em desenvolvimento.
Dentre as diversas definições existentes para o risco operacional esse trabalho adotará a mesma definição sugerida pelo documento da Basiléia, que assim define:
“Risco Operacionalé o risco de perdas decorrentes de falhas ou inad- equação de processos internos, pessoas, sistemas ou eventos externos. Não inclui o risco estratégico e reputacional”.
Pelo fato do BIS-II servir como um guia de melhores práticas para o gerenciamento dos riscos nas instituiçõesfinanceiras, o Comitê da Basiléia é um marco seguido e utilizado como parâmetro de avaliação da saúdefinan- ceira de uma instituição financeira. Ganha "status” de regulamentador de como as instituições financeiras deveriam posicionar-se em relação às mel- hores práticas.
Com o BIS-II visa-se permitir que as instituições financeiras adotem abordagens distintas para o cálculo do capital regulatório para o risco op- eracional, em função de sua estrutura de controles internos, tipo de negócio e qualidade das informações sobre eventos de risco e perda operacionais capturados.
Nessa direção é grande o número de pesquisas para identificar qual a melhor abordagem dever ser adotada por uma instituição na alocação do capital regulatório para risco operacional.
Dentre as abordagens permitidas[1] a Abordagem de Medição Avançada (AMA) é a que atualmente tem atraído a maior atenção dos pesquisadores, pois espera-se que sua adoção permita a cada instituição financeira o de- senvolvimento de um modelo quantitativo interno em função de suas carac- terísticas operacionais, ambiente de controles internos, operações, produtos, serviços, qualidade de captura das informações das perdas operacionais e tratamento das mesmas.
Também é grande o número de questionamentos que existem sobre a adoção única de um modelo quantitativo sem a devida consideração do sis- tema de controles internos existente na instituição. Portanto, sempre que possível, esse trabalho contribuirá para:
a) destacar aspectos importantes de um adequado sistema de controles internos;
b) destacar aspectos no processo de captura e coleta da informação uti- lizada na modelagem interna;
c) utilizar, de forma integrada, os aspectos qualitativos e quantitativos na gestão e controle dos riscos operacionais.
Nesse trabalho apresentamos uma modelagem quantitativa para o cálculo do capital regulatório com a utilização de ferramental matemático onde en- contraremos as estimativas dos parâmetros desconhecidos das distribuições de freqüência e severidade para chegar à distribuição agregada de perdas operacionais.
Apresenta-se também a abordagem pela teoria da ruína como uma al- ternativa para validação e identificação do capital regulatório.
1.1 Organização da Dissertação
O trabalho está estruturado da seguinte maneira:
No capítulo 2 abordamos os aspectos do Comitê da Basiléia suas funções e importância no mundo financeiro e principais considerações que a insdús-
triafinanceira precisa levar em conta na sua adoção.
No capítulo 3 descrevemos a adoção da abordagem pretendida, suas car- acterísticas e o desenvolvimento do trabalho.
No capítulo 4 abordamos as técnicas utilizadas para o ajuste dos dados na determinação do risco operacional.
No capítulo 5 tratamos da simulação do modelo para a identificação do capital regulatório alocado ao risco operacional e também avaliamos sua adequação por meio de Backtest do modelo.
No capítulo 6 apresentamos as conclusões obtidas e próximos passos para o desenvolvimento e aprimoramento deste tema no mercado financeiro.
2 Risco Operacional e Basiléia II
2.1 Histórico
O Comitê da Basiléia foi estabelecido para atuar como um comitê respon- sável pela divulgação e estabelecimento das melhores práticas em regula- mentação e supervisão bancária pelos presidentes dos bancos centrais do Grupo dos 10 - G10 - nofinal de 1974.
Isso ocorreu em conseqüência dos sérios distúrbios vividos nos mercados bancários e de moedas internacionais notadamente marcado pela falha do Bankhaus Herstatt[3] na Alemanha Ocidental.
A primeira reunião ocorreu em 1975 e desde então reúnem-se regular- mente entre 3 a 4 vezes ao ano visando prover um fórum regular de co- operação entre seus países membros no tocante às questões de supervisão bancária.
As conclusões obtidas neste comitê não possuem força legal como tam- bém não são impostas sobre as regulamentações dos Bancos Centrais dos países membros. No entanto, o Comitê formula as linhas de conduta e rela- ciona recomendações para que o setor atue dentro das melhores práticas do mercado.
Pretende-se que os Bancos Centrais possuam referências na implemen- tação de um padrão mínimo de atuação no setor, adequando-se às suas próprias expectativas.
Desta maneira há o encorajamento para uma abordagem com padrões comuns que permitam a criação de uma plataforma harmoniosa de índices de exposição ao risco comparáveis para o setor.
Um dos objetivos mais importante no qual o Comitê tem trabalhado corresponde à diminuição e cobertura das diferenças existentes na supervisão bancária internacional por meio de duas premissas básicas:
• garantir que todos os estabelecimentos bancários internacionalmente ativos sejam supervisionados; e
• estabelecer um padrão de supervisão adequado para prover equiparação entre os participantes.
2.2 O Primeiro Acordo
Em Maio de 1983 o comitêfinalizou o documento “Principles of the Super- vision of Banks’ Foreign Establishments”[4] o qual definiu os princípios para o compartilhamento da responsabilidade na supervisão entrefilial e matriz para agências bancárias estrangeiras, subsidiárias e "joint ventures". Este documento foi uma revisão do documento inicial de 1975, conhecido como
“Concordat”[4].
Em Junho de 1992, alguns dos princípios foram reformulados e comunica- dos às outras autoridades de supervisão bancária, as quais foram convidadas a apoiá-los e comentá-los. Em Julho do mesmo ano ele foi publicado[5].
O tópico o qual o Comitê tem devotado mais tempo refere-se à adequação de capital mínimo necessário para os riscos assumidos pela instituição. No começo da década de 80, o Comitê percebeu a necessiadade de adequar o nível de capital pois notava que uma parcela considerável do patrimônio de importantes bancos internacionais deteriorava-se, principalmente os que atuavam em países altamente endividados. Também percebeu que estes bancos cresciam sem uma adequada estrutura de controles.
Isto resultou em um conjunto de medidas para alocação de Capital con- hecido como “Basel Capital Accord”[5], que foi submetido e aprovado pelos presidentes dos bancos centrais do G10 e divulgado aos demais Bancos em Julho de 1988.
O conjunto propõe a implementação de uma estrutura onde o capital mínimo exigido para alocação deverá ser de 8% (oito por cento) sobre os ativos ponderados pelo risco respectivamente à cada linha do balanço. Esta estrutura tem sido introduzida progressivamente não somente nos países membros do comitê como também, em alguns casos de forma gerencial, nos demais países com Bancos internacionalmente ativos.
Como não era a intenção do Comitê manter o Acordo de 1988 em sua forma definitiva, em Novembro de 1991 novas melhorias foram feitas para propiciar maior precisão nas definições de provisões gerais ou reservas para perdas em empréstimos e deveriam ser incluídas no cálculo do capital.
Em Abril de 1995 houve nova melhoria no sentido de reconhecer os efeitos sobre as exposições ao risco de crédito dos bancos em produtos derivativos e expandir a matriz dos fatores de risco. A nova melhoria passou a surtir efeito no final de 1995.
O Comitê assumiu a responsabilidade em refinar a estrutura inicial para direcionar outros riscos além do risco de crédito. Após processos de análise para encontrar soluções a problemas identificados na revisão para melhoria foi emitido novo adendo[6] ao Acordo de Capital que incorporava os riscos de mercado para os bancos com posições em moedas estrangeiras, dívidas negociadas, ações, commodities e opções.
Um importante aspecto neste adendo foi uma alternativa ao método inicialmente proposto. No adendo foi permitido aos bancos utilizar modelos internos para medir sua necessidade de Capital para os riscos de mercado, sujeitos a um conjunto de padrões qualitativos e quantitativos propostos como controle.
2.3 O Novo Acordo da Basiléia
O documentofinal do BIS-II foi divulgado à comunidadefinanceira interna- cional em Junho de 2004[7] e leva em consideração todo o processo de estudo, pesquisa, comentários e demais trabalhos efetuados pelo Comitê para sua ampla aceitação.
Em Novembro de 2005 passou por uma atualização, a qual é a versão atualmente vigente[1]. A nova versão do Acordo estabelece o cronograma para a implementação das abordagens permitidas para o cálculo do capital regulatório onde a partir de 2006, teve-se o início da implementação para os métodos intermediários de cálculo de capital.
O Novo Acordo é constituído por três pilares que em conjunto formam o alicerce de sustentação das boas práticas do setor bancário e tem como objetivo garantir a integridade dos sistema bancário internacional.
Os pilares são:
I - Requerimento Mínimo de Capital;
II - Processo de Revisão por Supervisão Bancária; e III - Disciplina de Mercado.
2.4 Os Pilares do Novo Acordo e o Risco Operacional
A atuação conjunta dos três pilares visa contribuir para a segurança e ade- quação do sistemafinanceiro mundial. Neste sentido há grande esforço em exigir, de forma rigorosa, o cumprimento aos requerimentos dos três pilares.
O Primeiro Pilar[1]
O primeiro pilar define o requerimento mínimo de Capital, contudo man- tém como balisador a atual exigência de Capital mínima como referência para os primeiros resultados obtidos na aplicação das abordagens pelos méto- dos intermediários, ou seja, o percentual de 8% sobre os Ativos Ponderados pelo Risco (APR).
Desta forma o Capital a ser calculado deve respeitar:
Capital= Capital T otal
12,5% (Credito+M ercado) +Operacional ≥8%AP R (1) Para assegurar que todos os riscos compreendidos no setor bancário se- jam considerados, o BIS-II abrange também todas as “Holding Companies”
dos conglomeradosfinanceiros excetuando-se as atividades de Seguros.
Além de incorporar melhorias na abordagem para medir o Risco de Crédito pela primeira vez surge a figura do Risco Operacional, objeto de estudo desse trabalho.
Para o Risco de Crédito são permitidas três abordagens[1] e o Risco de Mercado, dado o seu avançado grau de desenvolvimento nos mercados internacionais, praticamente permanece inalterado.
Para o Risco Operacional são permitidas três abordagens: 1 - Indicador Básico; 2 - Abordagem Padronizada; 3 - Abordagem de Medição Avançada (AMA). Dentre as três, a abordagem AMA será a adotada para a consecução desse trabalho.
O Segundo Pilar[1]
O segundo pilar requer que os supervisores assegurem-se de que cada banco tenha bons e adequados processos internos para avaliar seu Capital face a exposição total aos riscos.
O Novo Acordo enfatiza a importância do desenvolvimento de uma gestão em processos internos para avaliação de riscos e controles que possam influ- enciar o capital mínimo, a mitigação dos riscos e a definição de objetivos para o capital, de tal maneira que estes estejam adequados ao perfil de risco da instituição financeira.
Os supervisores serão responsáveis por avaliar quão bem os bancos iden- tificam as necessidades para adequação de capital relativa aos seus riscos.
Logo os processos internos serão objeto de revisão e intervenção pelos su- pervisores, caso seja necessário.
O Terceiro Pilar[1]
O terceiro pilar tem como objetivo suportar a disciplina de mercado por meio da transparência das informações. A efetiva transparência é essencial para garantir que os participantes do mercado possam melhor compreender os perfis de risco dos bancos e suas posições quanto a adequação de capital.
O Novo Acordo estabelece os requisitos mínimos de transparência e re- comendações em diversas áreas, incluindo também a forma como o banco calcula sua adequação de capital e seus métodos de avaliação dos riscos.
O conjunto de divulgação das recomendações aplica-se a todos os bancos com maiores detalhes pelo reconhecimento das metodologias internas para o tratamento do risco de crédito, técnicas de mitigação e securitização de ativos.
2.5 Abordagens para o Risco Operacional
Com a intenção de cobrir também o amplo leque de fatores de riscos (pessoas, processos, sistemas e eventos externos) embutidos no risco operacional o Comitê trabalhou de forma a obter um montante confortável de capital para o risco operacional.
Esse montante supriria, por exemplo, o risco de perda decorrente de falhas em computadores, perda por documentação fraudulenta, ataques de
"hackers" aos clientes do banco, entre outros.
Em estudo realizado e divulgado no mercado local, muitos bancos teriam de fazer aporte para cobertura de capital para adequação ao índice de Basiléia, da ordem de até 16,3%[8] ou mais de seu capital para cobertura do risco operacional.
Analisando este percentual é fácil entender o motivo pelo qual as insti- tuições financeiras buscam a melhoria contínua em sua estrutura de gestão de riscos, abrangendo tanto os aspectos qualitativos quanto os quantitativos para determinar um valor para a cobertura do risco operacional.
As instituições também estão preocupadas em como escolher um mod- elo matemático para acompanhar e entender o comportamento das perdas decorrentes do risco operacional e ajudá-las na adequada quantificação do valor de alocação.
Dado o grau de dificuldade na modelagem e a relativa novidade do risco operacional, o Comitê estabeleceu três abordagens para a alocação de capital para o risco operacional que são:
a) Indicador Básico;
b) Abordagem Padronizada; e
c) Abordagem de Mensuração Avançada (AMA).
O Indicador Básico
Esta abordagem resulta na adoção de um percentual fixo denominado α aplicado sobre o indicador de exposição da instituição estabelecido como
“Gross Income”[9] ou Receita Bruta. O valor a ser alocado é dado por:
KBIA =EI×α (2)
Onde:
KBIA : capital alocado pela abordagem do Indicador Básico EI : indicador de exposição para toda a instituição,
no caso Receita Bruta
α : percentual fixo, atualmente α= 15,0%
A Abordagem Padronizada
Na abordagem padronizada1, as atividades bancárias são divididas em 8 linhas de negócios e para cada linha de negócio há um indicador de exposição
1Há também a possibilidade de as instituições que possuam concentração de operações em crédito adotarem a abordagem alternativa, a qual consiste em, para as linhas de Banco de Varejo e Banco Comercial, trocar o indicador de exposição pelo saldo em carteira de crédito, adotando a seguinte expressão para o cálculo do capital regulatório:
KT SA=mCβ;
ondemcorresponde ao fator de0,035%,C corresponde ao saldo em carteira de crédito eβ corresponde ao fator da abordagem padronizada pura.
específico, denominado β definido pelo Comitê, visando refletir o tamanho e volume das atividades dos bancos atuantes nestas áreas.
O indicador serve como um representante do risco envolvido nas oper- ações do negócio e portanto uma referência escalonada para a exposição ao risco operacional em cada uma das linhas de negócios.
O Comitê propõe a padronização contendo oito linhas de negócios para as instituiçõesfinanceiras, como segue:
Linhas de Negócios Indicador2 β(%) Corporate Finance Gross Income 18 Negociação e Vendas Gross Income 18 Banco de Varejo Gross Income 12 Banco Comercial Gross Income 15 Pagamento e Liquidação Gross Income 18 Serviços de Agência Gross Income 15 Administração de Ativos Gross Income 12 Corretagem de Varejo Gross Income 12
Para cada linha de negócio o capital a ser alocado é calculado pela mul- tiplicação do indicador da unidade pelo fator β respectivo. O peso de cada fatorβ foi obtido após estudos desenvolvidos pelo Comitê da Basiléia chegando aos valores apontados no quadro anterior.
O Capital total a ser alocado é obtido pelo somatório de cada parcela de Capital calculado para cada linha de negócios, expresso da seguinte maneira:
KT SA= X8 i=1
(EIi×βi) (3)
Onde:
KT SA : capital alocado pela abordagem padronizada EIi : indicador para a linha de negócio(i)
βi : percentual fixado pelo Comitê variando de: βi= 12% a 18%
A Abordagem de Medição Avançada (AMA)
Esta abordagem é a que deve permitir sensibilidade superior aos riscos diante das abordagens anteriores. Assim, como o mercado também avança
2Para o Brasil, existem considerações apontadas pela indústria financeira que encontram-se em análise, implicando que, provavelmente, ajustes serão efetuados visando obter o resultado que melhor se adeqüe ao Indicador para cada linha de negócio.
neste tema, o Comitê acredita nos potenciais desenvolvimentos a serem obti- dos na área de quantificação do risco operacional pelas instituições finan- ceiras.
Os avanços, experiências e resultados práticos visam contemplar de forma consistente os aspectos qualitativos e quantitativos, permitindo uma evolução na integração da gestão e controle do risco operacional.
A adoção da abordagem AMA inicialmente terá como base um limite de 75.0% do Capital alocado pela abordagem padronizada e deverá atender aos requisitos estabelecidos pelo Comitê, nos seguintes aspectos:
1 - Critérios Gerais;
2 - Padrões Qualitativos; e 3 - Padrões Quantitativos.
Aspectos qualitativos
A maioria das abordagens atualmente existentes para risco operacional está fundamentada em aspectos qualitativos onde uma abordagem comum utilizada consiste na revisão de um determinado processo ou linha de negó- cio e na avaliação julgamental do gestor do negócio ou processo quanto à probabilidade da ocorrência de um evento de perda.
Contribuindo para o aprimoramento e melhoria dos aspectos qualita- tivos, em setembro de 1992, a entidade americana COSO — Committee of Sponsoring Organizations of the Treadway Comission — produziu o material
“Internal Control — Integrated Framework” que tem como objetivo abranger todas asfirmas, não somente as instituições financeiras.
O COSO indica que controle interno é um processo que visa garantir a integridade de cinco componentes apresentados dentro de sua estrutura:
1 - Ambiente de Controle;
2 - Avaliação do Risco;
3 - Atividades de Controle;
4 - Informação e Comunicação; e
5 - Monitoramento.
A integridade conjunta desses componentes deve ser suficiente para su- portar os seguintes objetivos da instituição:
1 - Estrutura de relatóriosfinanceiros;
2 - Compliance; e
3 - Objetivo das operações.
Outro método amplamente empregado pelas empresas consiste na uti- lização do questionário de auto-avaliação. Nesse enfoque, após a coleta das informações são realizados “workshops” com os participantes onde se identi- fica a estrutura de controles chaves relacionados com os cinco componentes e planos da ação para possíveis necessidades de melhoria ou correção de vulnerabilidades.
Identificada a estrutura de controles chaves e planos de ação, são en- tão organizados por prioridade e relevância de acordo com a experiência do gestor e crítica de um profissional experiente e independente ao processo.
O resultado é uma estimativa de probabilidade freqüência e severidade para perda caso o controle falhe, atribuída considerando o conhecimento do negó- cio do gestor envolvido.
Aspectos quantitativos
Um dos primeiros trabalhos[10] para alocação de capital para risco op- eracional propunha modelá-lo utilizando as mesmas técnicas do “VaR" de risco de mercado. Esta idéia também apontava para a criação de um banco de dados para perdas provenientes de risco operacional, tanto para eventos internos quanto externos.
Uma vez construído esse banco de dados, seria então possível ajustar uma distribuição de probabilidade para os dados e calcular, adotando deter- minado nível de confiança, o "VaR" para risco operacional.
O trabalho contribuiu para alavancar os aspectos quantitativos e a abor- dagem paramétrica para quantificar o risco. Destacou a importância da freqüência e severidade das perdas para uma determinada área estudada, constatando que a freqüência possuía um comportamento inversamente pro- porcional à severidade da perda.
2.6 Impactos do BIS-II no Brasil — Risco Operacional
No Brasil além da indústria bancária o Banco Central (BACEN) destaca a importância da boa gestão dos riscos operacionais e, neste sentido incentiva a indústria bancária ao aprimoramento e desenvolvimento do tratamento do risco operacional.
O BACEN divulgou normativos definindo orientações genéricas mas que sinalizam a todos os participantes que haverão exigências legais e regu- latórias para todas as instituições autorizadas a funcionar pelo BACEN quanto à necessidade de capital mínimo regulatório para fazer face aos riscos operacionais.
Como principais resoluções e comunicados, destacam-se:
Resolução CMN 2.554/1998[11] Dispõe sobre a implantação e implementação de sistema de controles internos.
Comunicado12.746/2004[12]: Comunica os procedimentos para a implementação da nova estrutura de capital-BasiléiaII.
Resolução CMN 3.380/2006[13]: Dispõe sobre a implementação de estrutura de gerenciamento do risco operacional.
Antes da implementação da exigência de capital regulatório, o BACEN também desenvolve estudos de impacto visando quais as principais dificul- dades e considerações que deverão ser avaliadas na sua exigência.
2.7 Motivação Prática
Um grande número de quebras e falênciasfinanceiras observadas no mercado mundial no decorrer dos últimos anos podem ser atribuídas à ocorrências de eventos considerados raros ou extremos de risco operacional.
Esses eventos, devido à severidade do impacto, acabam por comprom- eter de forma substancial o resultado esperado das instituições financeiras, chegando em alguns casos a interromper a continuidade dos negócios e até mesmo na extinção da instituição, seja pela quebra ou pelo total comprome- timento de seu patrimônio face à ocorrência de um evento dessa magnitude.
Isso fez com que as instituições repensassem a abordagem adotada até então para o gerenciamento do risco operacional, passando a dedicar maior importância para os eventos de baixa freqüência e alta severidade. Tam- bém não menos importância recebem os eventos de alta freqüência e baixa severidade.
Em especial esse trabalho focará os eventos de perdas operacionais con- siderados raros ou extremos e, como proceder no tratamento matemático para, em conjunto com os eventos de alta freqüência e baixa severidade, encontrar o valor de capital regulatório necessário para fazer face às perdas operacionais.
Grandes eventos de risco operacional podem levar grandes conglomera-
dosfinanceiros, entre bancos e empresas, a sucumbirem.
Ilustrativamente, relembramos:
Evento Ano Perda
Quebra do Banco inglês Barings 1995 US$ 1,4 bilhão Ataque terrorista ao WTC - EUA 2001 US$19,0 bilhões
+ perdas humanas Fraude interna Parmalat - informações financeiras 2003 C= 1,1 bilhão Portanto, é complexo encontrar um valor de capital regulatório capaz de absorver as perdas verificadas nos eventos citados no quadro anterior e ao mesmo tempo não comprometer as atividades operacionais das instituições.
Do ponto de vista de uma companhia de seguros pode-se pensar que o capital regulatório tem a função da "reserva técnica" para os possíveis sinistros, ou seja, é o valor a ser mantido para cobrir os pagamentos dos seguros reclamados pelos clientes.
Para as instituiçõesfinanceiras, manter uma reserva para a cobertura dos eventos de risco operacional não está dentro de suas atividadesfim, pois as mesmas são por natureza, gerenciadoras de risco. Dessa maneira, encontrar um montante viável economicamente para as instituições financeiras passa a ser um desafio para o equlíbrio entre as atividades versus o perfil de risco assumido.
Pretende prover aofinal do trabalho: 1 - um valor de capital regulatório ou mínimo para fazer face ao risco operacional considerando os eventos raros ou extremos, sem que este seja um valor demasiado restritivo às atividades operacionais das instituições financeiras; 2 - as técnicas necessárias para a implementação prática dos modelos matemáticos que permitam justificar o valor encontrado.
Para tanto a abordagem AMA será adotada, visto que essa tem o ob- jetivo de expressar o valor do capital em conformidade com as condições e características de cada banco, ou seja, aquelas que melhor refletem o perfil de risco e tipos de perdas operacionais existentes.
3 Abordagem probabilística para modelos de perdas operacionais
O propósito deste capítulo consiste em identificar distribuições de perda que melhor se ajustam às observações realizadas, possibilitando obter um modelo capaz de prover um valor financeiro para fazer face aos eventos de risco operacional quando estes ocorrerem.
Para facilitar e homogeneizar a classificação dos eventos de perda opera- cional o Comitê elaborou uma classificação contendo sete principais tipos de eventos de perda operacional quanto à esssência. Essa tipificação3é descrita conforme quadro a seguir:
1 - Fraude Interna 2 - Fraude Externa
3 - Inadeqüação de Práticas com Clientes, Produtos e Serviços 4 - Inadeqüação de Práticas Trabalhistas e Segurança no Trabalho 5 - Danos a Ativos Físicos
6 - Falhas na execução, entrega e gerenciamento de processos 7 - Interrupção dos negócios e falhas nos sistemas
A adoção da tipificação para os eventos permite melhor consistência no tratamento das perdas operacionais, permite direcionar esforços para melhorias e identificar e avaliar as vulnerabilidades na instituição, além de propiciar uma modelagem dos dados conforme esquema demonstrado na figura 1:
3A resolução CMN 3.380/2006 estabelece oito tipos de eventos para o tratamento no Brasil. Este trabalho utilizará a definição da Basiléia.
Freqüência de Perdas
Severidade das Perdas
Simulação
Distribuição de Perdas Freqüência de
Perdas
Severidade das Perdas
Simulação
Distribuição de Perdas
Figura 1: Abordagem atuarial para Freqüência e Severidade de perdas op- eracionais na obtenção da Distribuição de Perdas.
Assim, para um determinado tipo de risco, pode-se ter uma distribuição composta (freqüência e severidade) para perdas financeiras.
Um modelo matemático pode fornecer uma representação abstrata e simplificada do mundo real de um determinado tipo de fenômeno. Nesse trabalho o fenômeno corresponde à materialização dos eventos de risco op- eracional. Associado ao modelo matemático deve-se incorporar o aspecto estocástico que permitirá descrever a probabilidade do evento ocorrer.
Tem-se assim o problema de encontrarmos uma solução consistente para identificar e quantificar o montante necessário de capital regulatório para risco operacional dentro de uma instituiçãofinanceira.
Uma das soluções possíveis para este problema envolve a construção de um modelo matemático para quantificar ou predizer alocações de capital regulatório para um determinado horizonte de tempo
Esta opção também conjuga o conhecimento e experiência do analista envolvido, o tipo de perda operacional capturada, o conjunto de dados ob- servados e a qualidade na forma de captura desses dados. Tal combinação visa permitir uma maior simplicidade na implementação do ajuste por meio de um modelo matemático.
Deve-se levar em consideração no momento da escolha do modelo otrade- off em escolher um modelo de vários parâmetros versus um modelo mais simples pois a seguinte consideração deve ser atendida: Robustez do modelo escolhido para capturar as futuras perdas operacionais observadas face o resultado esperado informado pelo modelo.
Para facilitar o tratamento das perdas operacionais comumente estas são agrupadas quanto à freqüência e severidade:
Grupo Freqüência Severidade
1 Alta Baixa
2 Baixa Alta
Dessa forma, dentro do conjunto de observações coletadas para o tra- balho, compreendem-se perdas operacionais dos grupos1e 2, com probabil- idadep da perda pertencer ao grupo1 e probabilidade(1−p).de pertencer ao grupo4.
Podemos obter uma distribuição F(x) de perdas operacionais do con- junto de observações dada por:
F(x) =G(x)p+H(x) (1−p) (4) É possível então proceder para um determinado tipo de evento ao trata- mento distinto para as perdas do grupo1e 2deF(x).Assumios queG(x) represente a concentração do volume de dados observados do grupo1, tam- bém conhecido na literatura comobojo da distribuição.
AnalogamenteH(x)corresponde à distribuição dos eventos considerados raros ou extremos de F(x), também conhecidos na literatura como cauda da distribuição e pertencentes ao grupo2.
Pode-se então pensar em modelos que tenham características de cen- tralidade e modelos que tenham características de não centralidade para o computo deF(x) conforme demonstrado na figura2.
0 u.m. 0.5 u.m. 1 u.m. 1.5 u.m. 2 u.m. 2.5 u.m. 3 u.m. 3.5 u.m.
0 u.c.
1 u.c.
2 u.c.
3 u.c.
4 u.c.
5 u.c.
6 u.c.
7 u.c.
8 u.c.
9 u.c.
Severidade
Freqüência
Distribuição Típica de Perdas Operacionais
Eventos do Bojo
Eventos de Cauda
Figura 2: Distribuição típica de Evento de Perda Operacional, contendo os grupos 1 e 2.
Esses dois grupos serão tratados de forma distinta na obtenção do modelo para calcular o capital regulatório. LogoF(x)será construída pela mistura de duas distribuições, uma que corresponderá à distribuição do bojo e outra à cauda.
Evento de Perda Operacional
Definimos por P o valor monetário da perda operacional, tal que P ∈ [0,∞). As perdas representam o valor do prejuízo alocado ou identificado para um específico evento o qual pode não possuir um valor máximo de realização.
São os casos pertencentes ao grupo2que está voltada a atenção da indús-
triafinanceira, pois como os exemplos anteriormente citados, a conseqüência
pela materialização desse tipo de evento pode comprometer a continuidade da instituição.
A materialização do risco operacional é refletida no evento de risco op- eracional, um fenômeno com conseqüências econômicas ou não que acabam por prejudicar a percepção das pessoas perante uma instituiçãofinanceira.
Nesse trabalho serão abordados exclusivamente os eventos que possuem perdafinanceira efetiva, levando-se em consideração que o risco operacional pode ser modelado estocasticamente.
Cada evento de risco operacional possui também as componentes: fre- qüência, severidade e tempo entre ocorrências sendo que cada uma dessas variáveis ocorre de forma particular para cada um dos tipos de eventos.
Um fator chave na abordagem adotada consiste no fato de que os eventos com perdafinanceira possam ser medidos em valores monetários. Em par- ticular podemos então utilizar variáveis aleatórias para construir os modelos de freqüência e severidade desses eventos.
Deve ser tratado com cuidado a seleção do modelo probabilístico e para isso faz-se necessário a seleção de modelos que consigam ajustar, com deter- minado grau de confiança, a freqüência e severidade dos eventos para assim obter as melhores candidatas às distribuições que irão comporF(x).
3.1 Modelos para a severidade dos eventos de perda opera- cional.
Para a identificar a melhor candidata à distribuição de severidade das per- das que melhor se ajusta às observações utilizaremos duas abordagens que servirão para aceitar ou rejeitar as distribuições e assim selecionar a que melhor resultado na estimação conseguiu prover.
Assim, utiliza-se a abordagem não paramétrica[14], ou seja, aquela a qual pode ser obtida diretamente dos dados capturados na amostra. Embora a abordagem não paramétrica seja menos complexa, existem inúmeros fatores que podem prejudicar sua utilização. Assim, nesse trabalho será adotada a abordagem paramétrica para estimar a distribuição de perdas.
A abordagem paramétrica visa obter um processo reverso à não paramétrica, ou seja, utilizamos o conhecimento prévio de uma família de distribuições a qual é representada por uma coleção de funções de distribuições e onde a identificação de uma em particular possa ser indexada por um determinado número de variáveis denominadas parâmetros. Formalmente, temos:
{F(X, θ) :θ∈Θ} (5)
onde θ é um escalar ou vetor e corresponde ao conjunto de todos os possíveis valores dos parâmetros. A variável aleatória X também poderá ser um vetor, caso seja multivariável.
Caso seja verdadeiro que a distribuição da população pertença à uma família de distribuições envolvida, isso permitirá obter o valor de θ para determinar a qual distribuição o conjunto de dados mais se aproxima. Dessa forma, qualquer quantidade para estudo poderá ser determinada. Para a adoção da abordagem paramétrica temos quatro passos:
1. Determinação de qual família paramétrica melhor descreve a amostra;
2. Determinação dos valores dos parâmetros;
3. Determinação das quantidades de interesse; e 4. Avaliar a acurácia dos valores obtidos no passo 3.
Modelos para o bojo da distribuição
Nesta parte do estudo, abordaremos distribuições que possam ser candi- datas à seleção para representar a distribuição de G(x) da equação4 e que também sejamflexíveis no sentido de ajustar as observações.
Ainda na abordagem paramétrica, atentamos aos modelos de distribuição que permitemflexibilidade para o ajuste em função do número de parâmetros envolvidos em sua construção. Em particular avaliaremos as distribuições[15], [16], [17], [18]: Exponencial, Log-normal, Gamma e Beta-generalizada, iden- tificadas no quadro a seguir:
Distribuição # parâmetros parâmetros
Exponencial 1 λ
Log-normal 2 μ, σ
Gama 2 a, b
Beta-generalizada - GBD 4 β1, β2, β3, β4
Apresentamos também uma familiarização com as distribuições aqui mencionadas e em particular daremos maior dedicação à distribuição Beta- generalizada em função dessa distribuição ser a que permite uma maior flexibilidade ao ajuste em função do número de parâmetros envolvidos.
A distribuição Exponencial
Dizemos que uma variável aleatória X possui distribuição exponencial se essa possui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f(x) =
⎧⎨
⎩
λexp{−λx}, para x≥0, λ >0
0, caso contrário
(6)
e sua função de densidade acumulada - cdf dada por:
F(x) =
⎧⎨
⎩
1−exp{−λx}, para x≥0
0, caso contrário
(7)
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Dados
Distribuição Exponencial
lambda = 0.5
lambda = 1.5 lambda = 1.5
Figura 3: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro λ.
A distribuição Log-normal
Dizemos que uma variável aleatóriaXpossui distribuição Log-normal se essa possui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1 xσ√
2πexpn
−(ln(x)2σ−2μ)2o
, parax≥0, σ >0, μ∈R
0, caso contrário
(8)
e sua função de densidade acumulada - cdf pode ser expressa por meio de uma função conhecida como função erro ouerf (x), ondeerf (x) = √2π
R∞ 0
e−2t2dt.
F(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1 2
h 1 + erf
³ln(x)−μ σ√
2
´i
, para x >0
0, caso contrário
(9)
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
10-2 10-1 100 101 102 103 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Dados - escala log
Distribuição Lognormal
mu=3, sig=1
mu=5, sig=2.5
mu=9, sig=5
Figura 4: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro μe σ.
A distribuição Gama
Dizemos que uma variável aleatóriaX possui distribuição gama se essa possui uma função de densidade de probabilidade - pdf dada por:
f(x) =
⎧⎨
⎩
1
baΓ(a)xa−1e−xb, para x≥0
0, caso contrário
(10)
onde Γ(·) corresponde à função gama, dada por Γ(a) =
∞R
0
ta−1e−tdt.
Sua função de densidade acumulada - cdf é dada por:
F(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Γx(a)
Γ(a), paraa≥0 0, caso contrário
(11)
ondeΓx(a) corresponde à função gama incompleta, dada por: Γx(a) = Rx
0
ta−1e−tdt
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Dados
Distribuição Gama
a=0.5, b=0.5 a=1.5, b=2.5 a=1.5, b=2.5
a=1.5, b=2.5
Figura 5: Formas para a distribuição exponencial em função do parâmetro ae b.
A distribuição Beta-generalizada - GBD
Dedicamos à essa distribuição maior atenção por tratar-se de uma classe que conta com quatro parâmetros. Diferentemente das anteriores, as quais contam com pacotes e implementações na maioria dos programas que li- dam com matemática e/ou estatística, a distribuição Beta-generalizada - GBD não possui tais pacotes, necessitando de desenvolvimento para sua aplicação[16].
O interesse na utilização da GBD reside no fato de esta distribuição ser
bemflexível, podendo se ajustar a um maior conjunto de dados, das mais
variadas características. Recordamos inicialmente que a função beta é dada por:
β(a, b) = Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b) (12)
Definição: SejaX é uma variável aleatória com distribuiçãobeta4 com parâmetros β3 e β4, tal que X ∼ β(β3, β4). Para β2 > 0 e qualquer β1, a variável aleatória Y = β1 +β2X é dita possuir uma distribuição Beta- generalizadaGBD(β1, β2, β3, β4).
A função densidade probabilidade - pdf daGBD(β1, β2, β3, β4)pode ser obtida por[16]:
f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
(x−β1)β3(β1+β2−x)β4
β(β3+1,β4+1)β(β2 3+β4+1), para β1≤x≤β1+β2
0, caso contrário
(13)
Para calcularmos sua função de densidade acumulada - cdf, utilizamos da construção da cdf pela distribuição beta como segue:
Sendo Y uma variável aleatória GBD(β1, β2, β3, β4), da equação 13 temos queY =β1+β2X ondeX ∼β(β3, β4). A função da distribuição de Y é:
FY (y) = P(Y ≤y)
= P(β1+β2X≤y)
= P µ
X≤ y−β1 β2
¶
= FX
µy−β1 β2
¶
(14)
Então, desde que X ∼β(β3, β4) e com o auxílio de sua função de dis- tribuição, obtemos:
4A função beta discutida em muitos textos estatísticos [16], com parâmetrosβ3>−1 eβ4>−1, tem pdf definida por:
f(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
xβ3(1−x)β4
β(β3+1,β4+1), para0≤x≤1
0, caso contrário
ondeβ(a, b)é a função beta.
0 50 100 150 200 250 300 0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
Dados
Distribuição GBD
GBD1 GBD2
GBD3
GBD4
Figura 6: Formas para a distribuição exponencial em função dos parâmet- ros β(β1, β2, β3, β4).GBD1(15,300,1.5,3.5); GBD2(15,300,3.5,1.5);
GBD3(15,300,0.5,0.5) e GBD4(20,280,2.5,1.0).
FY (y) =
Z (y−β1)/β2
0
xβ3(1−x)β4
β(β3+ 1, β4+ 1)dx (15) Fazendo agora u=β1+β2x e substituindo em 15 obtemos:
FY (y) = Z y
β1
(u−β1)β3(β1+β2−u)β4 β(β1+ 1, β4+ 1)β(β2 3+β4+1)
du (16)
e que, ao derivarmos, chegamos à pdf f(y). Logo temos a cdf da distribuição[16].
Temos, ilustrativamente, as seguintes formas para essa distribuição:
Temos assim as ferramentas necessárias para ajustar as distribuições aos dados do bojo.
Modelos para a cauda da distribuição
No mercadofinanceiro é grande a importância dada à análise dos eventos raros ou considerados extremos. Os valores extremos estão primordialmente associados às áreas[19] de hidrologia (ultrapassar um determinado nível de água), atuária (resseguro e determinação de limite para os excessos de paga- mentos de seguros),finanças (Value-at-Risk e Risco Operacional).
Em riscos operacionais o estudo desse tipo de evento possui grande im- portância, pois para essas ocorrências os gestores tendem a acreditar que esses eventos extremos sejam raríssimos os quais não mereceriam tratamento.
Novamente voltamos aotrade-off em alocar todo o recurso julgado necessário para fazer face aos eventos de risco operacional (o que poderia ser imprat- icável para a instituição financeira) ou encontrar um nível confortável de capital alinhado ao perfil de risco e complexidade das operações da institu- ição.
Uma alternativa seria a contratação de um seguro, porém essa saída não estimula as instituições a aprimorarem seus sistema de controles internos e eficiência operacional, pois o seguro contratado pode ser questionado quanta sua função.
O que observamos é que deve haver a constante preocupação em tentar identificar tais eventos e até mesmo propor uma mensuração para os mes- mos. Assim a adoção de uma distribuição para valores extremos de perdas operacionais pretende ajustar esses valores e sua conseqüente mensuração.
Para identificar a distribuição da cauda, esse trabalho apresenta dois modelos a seguir descritos:
Modelo para Máximos em blocos[19], [20]
Seja(Xt)tuma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identi- camente distribuídas, (Xt)t =va iid. Sejam Mn os máximos em blocos de tamanhon. Se existem constantes cn>0, dn ∈<e uma distibuição H(x) tal que Mnc−dn
n
−→d H(x), então teremos:
Hξ(x) =
⎧⎪
⎨
⎪⎩ exph
−(1 +ξx)−1ξi
se ξ6= 0 exp [−e−x] se ξ= 0
(17)
Temos, a partir de Hξ(x), 3 possíveis distribuições:
Parâmetro Distribuição ξ >0 Fréchet
ξ = 0 Gumbel
ξ <0 Weibull
Modelo para excedentes ou violações de limiar[19], [20]
Seja um conjunto de dados x1, ..., xn, definimos de yj as violações de um determinado limiar u. Esse métdo é conhecido como "POT - peaks over threshold", ou seja, aqueles valores xi > u. São os excedentes sobre u os valores yj −u. Então o número k de observações que violam um certo limiar u pode ser dado pela seguinte função: k = P
i≤nI(Xi > u), onde I(Xi> u) representa a função indicadora comI(Xi> u) = 1 se Xi > ue 0caso contrário.
Nestas condições, também teremos uma distribuiçãoHG, dada dor:
Hξ,σ,μG (x) =
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩ 1−
h
1 +σξ (x−u) i−1ξ
se ξ 6= 0 1−e−xσ se ξ = 0
(18)
Esta distribuição é conhecida como distribuição generalizada de Pareto - GPD.
Identificação dos extremos
Identificar os valores extremos é parte importante no tratamento dos da- dos e está relacionado com a coleta das informações. Da equação 4, devemos identificar quais são os extremos excedentes à um determinado limiar u.
Escolha do limiar u
Um aspecto chave ao trabalharmos com o modelo proposto consiste em identificarmos o limiaru[21], [22] ou o ponto onde serão separados os dados pertencentes ao bojo dos pertencentes à cauda. É comum a utilização do conhecimento do analista[23] para identificar o ponto de corte das obser- vações uma vez que é este quem lida diariamente com os eventos de perda operacional.
Esse trabalho associará a técnica de diagnóstico de limiar[21] existente associado ao conhecimento do analista para a escolha do valor apropriado de segregação dos grupos de dados.
A técnica visa identificar, via análise gráfica, possíveis valores de limiar para o conjunto de dados. Essa técnica consiste em dispor em gráfico da função de excessos sobre a média da amostra, definida como segue:
SM EF(u) = P
i≤n
xi−u
{xi>u}
P
i≤n
1{xi>u} (19)
A função corresponde à soma dos excessos sobre o limiar u dividido pelo número de observações excedentes ao limiar que corresponde a uma estimativa da função dos excessos sobre a média, definida como:
M EF(u) =E(X−u|X > u) (20) Apresentamos o resultado da aplicação da técnica de diagnóstico na figura 3
0 u.m. 0.5 u.m. 1 u.m. 1.5 u.m. 2 u.m. 2.5 u.m.
4 u.m.
4.5 u.m.
5 u.m.
5.5 u.m.
6 u.m.
6.5 u.m.
7 u.m.
7.5 u.m.
8 u.m.
8.5 u.m.
9 u.m.
Limiares
Excedentes
Identificação gráfica de limiares
Região de análise do limiar
Figura 7: Aplicação da função SMEF para identificação de limiar, com escolha deu= 1u.m.
3.2 Modelos para a freqüência dos eventos de perda opera- cional
Para a freqüência dos eventos assumimos que estes seguem uma distribuição de Poisson[25], dentro de um período de tempo t, t ∈ [0, T]. Logo a dis- tribuição de freqüência será dada por:
P(N =k) = e−λλk
k! , k= 0,1,2, ... (21)
Onde N corresponde ao número total de observações ek corresponde à quantidade de eventos de perda observados no período de tempo determi- nado.
3.3 Estimativa dos parâmetros das distribuições para perdas operacionais
Dentre os métodos para estimativa de parâmetros esse trabalho seleciona dois: o método dos momentos e o método de máxima verossimilhança.
O método dos momentos[14], [16]
Define-se o k-ésimo momento de uma v.a. contínuaX, comrparâmetros como:
μk=E
³ Xk
´
= Z ∞
−∞
xf(x;θ1, ..., θr)dx k= 1,2, ... (22)
ondeθrepresenta os estimadores dos parâmetros da distribuição. Podemos então dizer que ∧θ1, ...,∧θr são estimadores obtidos pelo método dos momen- tos se esses forem solução das equações mk = μk, k = 1,2, , , , r, onde mk corresponde ao k—ésimo momento amostral definido por:
mk= 1 n
Xn
i=1
Xik, k= 1,2, ... (23)
O procedimento consiste em solucionar essas equações e substituir os momentos teóricos pelos momentos amostrais e visa assegurar que o modelo paramétrico tenha os mesmos momentos que o modelo empírico.
O método de máxima verossimilhança[24], [25]
Na etimologia, verossímil corresponde àquilo que é semelhante à verdade, provável e verossimilhança corresponde à qualidade de ser verossímil. A partir disso, o princípio da verossimilhança afirma que devemos escolher o valor do parâmetro desconhecido que maximiza a probabilidade de se obter aquela amostra em particular estudada, ou seja, aquele valor para o qual o parâmetro torna a amostra "mais provável".
O método utiliza uma função de verossimilhança dependente dos parâmet- ros desconhecidos e das observações iniciais. A partir daí, maximiza-se a função ou, comumente, o logarítmo da função (dependerá da conveniência).
Define-se então a função de verossimilhaça para uma variável contínua X:
L(θ;x1, ..., xn) =f(x1;θ)...f(xn;θ) (24) Assim, dado uma amontra de tamanho n da v.a. contínua X, a função de verossimilhança possui a seguint forma:
L(θ) = Yn
j=1
fX(xj;θ) (25)
onde fX(xj;θ) é a contribuição daj-ésima observação para a verossim- ilhança. Se a j-ésima observação é um evento com probabilidade positiva, então a soma das contribuições é a respectiva probabilidade. Se a j-ésima observação é um valor de uma distribuição contínua, a contribuição é a pdf naquele valor.
Uma maneira de se obter a maximização da função de máxima verossim- ilhança consiste em tomar o logarítmo da função de verossimilhança (log- verossimilhança), dado por l(θ;x1, ..., xn) = lnL(θ;x1, ..., xn).
Lembrando que θ pode ser um vetor de parâmetros θ = (θ1, θ2, ..., θr), podemos encontrar o máximo da função fazendo as derivadas parciais em relação a cada parâmetro e igualando-as a zero.
Podemos deparar com um sistema de equações que deverá ser resolvido simultaneamente na obtenção da solução, o qual poderá apresentar solução convergente ou não[26]. Em caso negativo, deve-se passar à busca por outra alternativa, como o método dos momentos. O procedimento consiste em fazer:
∂lnL
∂∧θj
= 0, j= 1,2, ..., r
Dentre as propriedades dos estimadores de máxima verossimilhança desta- camos as seguintes:
1 — São assintóticamente não viesados
2 — Entre os estimadores que possuem distribuições normais assintóticas, são os que possuem a menor variância assintótica
3 — São invariantes sob transformações nos parâmetros
4 — Pode ser obtida uma fórmula explícita para a variância assintótica do estimador.
3.4 Avaliação das estimativas paramétricas
É importante reconhecer que as estimativas efetuadas são realizadas sob a hipótese de que a população está em conformidade com algum modelo selecionado da família paramétrica e que o valor dos parâmetros seja incerto.
Na realidade é plausível aceitar que o modelo admita erro e portanto há, uma fonte de erro adicional.
Para avaliar as estimativas obtidas será utilizado o teste dos probabilistas russos Komolgorov e Smirnov, os quais desenvolveram um teste de aderência conhecido como teste K-S[25].
Pretendemos identificar a maior distância observada entre as distribuições de densidade acumulada empírica e teórica O teste Kolmogorov-Smirnov (K-S) é baseado na função de distribuição empírica. Assim, dado N dados ordenados X(1), X(2), ..., X(N), a função de distribuição empírica é definida como:
EN = n(i)
N , i= 1,2, ..., N (26) Onde:
n(i) número de pontos menores queX(i) A estatística do teste é definida como:
D= max
1≤i≤N
µ
F(Xi)− i N, i
N −F(Xi)
¶
(27)
onde F(Xi) corresponde ao valor da c.d.f. para o valor Xi e Ni corre- ponde ao valor da função "escada" dos dados observados. Devemos encon- trar o menor valor absoluto das distâncias observada entre as distribuições analisadas, pois este corresponde à distribuição mais aderente aos dados observados.
4 Modelo para o cálculo do Capital Regulatório
Neste capítulo apresentamos a modelagem pela abordagem adotada na con- strução de um modelo que permita prover uma valor financeiro de capital regulatório.
Deverá ser avaliado se o valor encontrado é factível ou seja, face ao perfil de riscos e perdas existentes na instituição o valor encontrado para alocação de capital seria suficiente e não conflitante com as atividades operacionais da instituição.
Na avaliação, poderá ser constatado que o valor seja imcompatível. Nesse caso, recomenda-se uma revisão dos processos envolvidos na instituição ao ponto de mudar a estrutura e controles internos visando a melhora e mu- dança do perfil de risco pela mitigação dos mesmos.
