Le problème des rotations de Mazur: groupes d’isométries et transitivité dans les espaces de Banach, avec C. Rosendal Partie 2

(1)

Le probl` eme des rotations de Mazur: groupes d’isom´ etries et transitivit´ e dans les espaces de

Banach, avec C. Rosendal

Partie 2

Valentin Ferenczi,

Universit´e de S˜ao Paulo - UPMC

Mini-cours du GDR, Mai 2016

Valentin Ferenczi, Université de São Paulo - UPMC Groupes d’isométries

(2)

D´efinition

Une normek.k est maximale si et seulement siIsom(X,k.k) est un sous-groupe born´e maximalde GL(X)

Th´eor`eme (F. - Rosendal, 2013)

Il existe un espace de Banach s´eparable uniform´ement convexe qui n’admet pas de norme maximale.

(3)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

D´efinition

Un espace de Banach X est dithéréditairement indécomposableou HIs’il ne contient pas de sous-espaces de dimension infinie en somme directe topologique.

C’est `a dire, si Y,Z ⊆X sont de dimension infinie, alors d(S_Y,S_Z) = 0.

Le premier exemple d’espace HI fut construit par Gowers et Maurey (1992) pour r´esoudre le probl`eme de la suite basique inconditionnelle.

(4)

D´efinition

Un espace de Banach X est dithéréditairement indécomposableou HIs’il ne contient pas de sous-espaces de dimension infinie en somme directe topologique.

C’est `a dire, si Y,Z ⊆X sont de dimension infinie, alors d(S_Y,S_Z) = 0.

Le premier exemple d’espace HI fut construit par Gowers et Maurey (1992) pour r´esoudre le probl`eme de la suite basique inconditionnelle.

(5)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

Gowers et Maurey montrent que tout op´erateurT:X →X sur un espace HI est de la forme

λId+S,

o`u S eststrictement singulier, i.e.,S_|Y n’est un isomorphisme pour aucunY ⊆X.

Il s’ensuit que tout plongement isomorpheT:X →X deX dans X est surjectif, et donc X n’est pas isomorphe `a ses sous-espaces propres (Probl`eme de l’hyperplan.)

On peut donc se demander dans quel sens un espace HI a aussi peu d’isom´etries.

(6)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

λId+S,

(7)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

λId+S,

Il s’ensuit que tout plongement isomorpheT:X →X deX dans X est surjectif, et doncX n’est pas isomorphe `a ses sous-espaces propres (Probl`eme de l’hyperplan.)

(8)

Notons que Jarosz (1988) a montré que tout espace de BanachX peut être renormé de telle manière que le groupe d’isométries agisse trivialement (toute isométrie est de la formeλId).

Mais ici on cherche plutôt une condition pour que le groupe d’isométries soit ”petit” pour n’importe quelle norme équivalente (autrement dit, que tout sous-groupe borné deGL(X) soit ”petit”).

L’exemple deX '`ⁿ₂⊕Y nous mène à définir:

D´efinition

Un sous-groupe born´e G de GL(X)agit quasi-trivialementsi il existe une d´ecomposition X =F ⊕H telle que:

pour tout T ∈G , T_|H est triviale (=λId_H) dimF <+∞

F est G -invariant (i.e. T(F) =F pour tout T ∈G ).

(9)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

En d’autres termes:

D´efinition

Un sous-groupe born´e G de GL(X)agit quasi-trivialement si il existe une d´ecomposition G-invarianteX =F ⊕H telle que:

G agit trivialement sur H dimF <+∞

Question

Existe-t’il un espace X tel que tout sous-groupe born´e de GL(X) agit quasi-trivialement?

(10)

Le cas des isométries sur les HI est encore plus restrictif que les opérateurs en général: F. Räbiger et W. J. Ricker (1998) ont montré que toute isométrie sur un HI est de la forme

λId+K, o`u K est compact.

Mais ceci peut être amélioré:

Proposition (F., Rosendal)

Toute isom´etrie de la forme λId +S sur un espace de Banach X est de la formeλId +K , K limite d’op´erateurs de rang fini.

D´emonstration:

(11)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

Th´eor`eme (F.Rosendal)

Toute isom´etrie de la forme λId +S sur un espace de Banach X est de la formeλId +K , K limite d’op´erateurs de rang fini.

D´emonstration

On peut supposerλ= 1.

Siα6= 1 alors T −αId = (1−α)(Id+S/(1−α))perturbation strictement singuli`ere de(1−α)Id est un op´erateur de ”Fredholm”.

Par la th´eorie de Fredholm c’est donc une perturbation de rang fini d’un certain isomorphisme U.

Soit A=L(X)/F(X), et q :L(X)→A l’application quotient.

Alors q(T −αId) =q(T)−αq(Id) est inversible dans A. Donc le spectre de q(T) est {1}. Ceci et q(T)ⁿ,n∈Z borné impliquent par le théorème deGelfand dans l’algèbre de Banach A que q(T) =q(1)donc T =Id+K,K ∈ F(X).

(12)

On peut en fait montrer:

Th´eor`eme (F., Rosendal)

Soit X un espace HI et T:X →X une isom´etrie. Alors T =λId+F,

o`u F est un op´erateur de rang fini.

Siλ= 1 on a alors la d´ecomposition X =FT ⊕HT

o`u H_T =Ker(Id−T), et F_T =Im(Id−T) est de dimension finie.

D´emonstration:

(13)

Espaces avec peu d’op´ erateurs

Démonstration: On peut supposer λ= 1. Par la théorie spectrale des opérateurs compacts

Sp(T) ={α₀= 1} ∪ {α_n}_n≥1

où (αn)n≥1 est 1) une suite finie d’autovaleurs de multiplicité finie, ou 2) une suite infinie d’autovaleurs de multiplicité finie tendant à 1.

1) Dans le premier cas il existe une d´ecomposition spectrale X =X1⊕(⊕_nXαn)

où le spectre deT|Xαn est réduit à {α_n}; le théorème de Gelfand implique queT_|X_αn =αnId_X_α_n (carT agit comme isométrie sur X_α_n). Finalement on note queIm(T −Id) =F_T =⊕_nX_α_n.

(14)

Démonstration: 2) Dans le second cas soit une suite de vecteurs propresv_n de valeurs propres eîθⁿ tendant à 1 suffisamment rapidement. En utilisant

k

n

X

j=1

α_jv_jk=kT^k(

n

X

j=1

α_jv_j)k=k

n

X

j=1

α_je^ikθ^jv_jk

o´‘uk est choisi pour que e^ikθ^j '(−1)^j on obtient que [v_2n] et [v2n+1] forment une somme directe, ce qui est impossible.

(15)

Groupe d’isom´ etries sur un HI

Qu’en est-il maintenant de la structureglobaled’un groupe

d’isométries sur un espace HI?Isom(X) est fermé, mais en général il est facile qu’une suite d’opérateurs de rang fini converge à un opérateur compact, qui n’est pas de rang fini...

QuandX^∗ est séparable, les opérateurs de rang fini forment un sous-ensemble séparable de L(X),k.k. Donc dans ce cas, Isom(X) estséparableet complet dans la topologie de la norme, i.e.

(Isom(X),k · k) est un groupepolonais.

Donc puisque la topologie de la norme est plus fine que la topologie SOT, l’identit´e

id: (Isom(X),k · k) → (Isom(X),sot) est continue.

(16)

Corollaire

Si X est un espace HI `a dual s´eparable, alors les topologies de la norme et SOT coincident surIsom(X).

Cela veut dire que l’on a une très forte restriction surIsom(X). En général, pour les opérateurs, SOT et la topologie de la norme ne coincident qu’en dimension finie. En fait:

(17)

Th´eor`eme (F. , Rosendal)

Soit X un espace HI réflexif et séparable, et G un groupe borné de GL(X). Alors il existe une décomposition G -invariante X =F ⊕H telle que

dimF <+∞

G_|H⁺ :={g_|H :g ∈G,g −Id de rang fini} est discret

De plus si X n a pas de base de Schauder alors G_|H⁺ ={Id_H}, i.e.

G agit trivialement sur H, et donc quasi trivialement sur X . On sait qu’il existe un espace HI uniform´ement convexe (F., 1995).

A partir des résultats de Szankowski sur la propriété

d’approximation, il existe un sous-espaceX0 sans AP et donc sans base de Schauder, et toujours HI etuniform´ement convexe. Par cons´equent

Proposition

Tout sous-groupe born´e de GL(X₀) agit quasi-trivialement.

(18)

SidimX =∞ et tout sous-groupe born´e de GL(X) agit quasi-trivialement alors X n’admet pas de norme ´equivalente maximale.

D´emonstration:

(19)

Puis on observe:

Proposition

SidimX =∞ et tout sous-groupe born´e de GL(X) agit quasi-trivialement alors X n’admet pas de norme ´equivalente maximale.

D´emonstration

Soitk.kune norme sur X , G =Isom(X), et soit X =F ⊕H la décomposition associée. On écrit H =Ce⊕H⁰ et on définit pour x=f +λe+h⁰,

k|xk|=kfk+|λ|+kh⁰k AlorsIsom(X,k.k)⊂Isom(X,k|.k|) mais

T(f +λe+h⁰) = (f −λe+h⁰)d´efinit un isomorphisme qui est une isom´etrie pourk|.k|et pas pour k.k. Donck.k n’est pas maximale.

(20)

On démontrera un cas particulier du théorème:

Th´eor`eme

Soit X un espace HI séparable, réflexif, qui n’admet pas de décomposition finie dimensionnelle. Alors toute sous-groupe borné de GL(X) agit quasi-trivialement.

Pour cela il suffit de montrer le théoréme plus général suivant:

(21)

Soit X séparable, réflexif. Si T est une isométrie de X alors X =H_T⊕F_T

où H_T =ker(Id−T),F_T =Im(Id−T). Plus généralement si T₁, . . . ,T_n sont des isométries de X , alors

X = H_T₁∩. . .∩H_T_n

⊕F_T₁+· · ·+F_T_n. et si T1,T2, . . .est une suite infinie d’isom´etries, alors

X =

∞

\

n=1

H_T_n⊕span(∪_nF_T_n).

Les constantes de projection sur le premier ”summand” valent1.

Démonstration du théorème antérieur: soit (T_n) dense dans Isom⁺(X) :={T ∈Isom(X) :T −Id a rang fini}...

(22)

(23)

Pause!

(24)

X =H_G ⊕H_G^⊥∗, o`u G est un sous-groupe born´e deGL(X).

D´efinition

Si G est un sous-groupe born´e de GL(X) on d´efinit H_G ={x ∈X

x est point fixe de G}, H_G^∗={φ∈X^∗

φ est point fixe de G},

QuandG est engendré par un unique élément, i.e.,G =hTi, il est clair queH_hTi,H_hTi^∗ coincident avec H_T =ker(Id−T),

H_T^∗ =ker(Id−T^∗).

(25)

Notons ´egalement que siG =<T₁, . . . ,T_n>alors H_G =H_T₁∩. . .∩H_T_n et

H_G^⊥_∗ =F_T₁+· · ·+F_T_n.

De même si X est séparable et siT_nest une famille SOT-dense de G (qui existe puisque alors G est SOT-séparable), alors

H_G =

∞

\

n=1

H_T_n et

H_G^⊥^∗ =span(∪_nFTn).

(26)

Voici un théorème ergodique de représentations de groupes.

Th´eor`eme (1ere version: Alaoglu-Birkhoff, 40)

Si X est réflexif (+ hypothèses) et G est un sous-groupe borné de GL(X) alors on a la décomposition G -invariante

X =H_G ⊕ {x ∈X

0∈conv(G ·x)}.

Nous en montrons une autre version:

(27)

D´ ecomposition de Alaoglu-Birkhoff

Soit X séparable réflexif et G sous-groupe borné de GL(X). Alors X admet la décomposition G -invariante de type Alaoglu - Birkhoff:

X =H_G ⊕(H_G^∗)⊥,

o`u, siS ⊆G engendre un sous-groupe SOT-dense de G , (H_G^∗)⊥=span [

T∈S

F_T

={x ∈X

0∈conv(G ·x)}.

La projection P:X →H_G est de norme inférieure ou égale à kGk², où kGk:= sup_g∈Gkgk

Il nous reste donc à montrer ce théorème.

(28)

Le résultat sur la forme de chaque isométrie dans un HI utilisait la théorie spectrale. Pour les résultats sur les groupes d’isométries on utilise lathéorie du renormage.

Rappelons qu’une norme surX est uniform´ement convexe si

∀ >0∃δ >0∀x,y ∈SX kx−yk>⇒ kx+yk62−δ . Une notion plus faible est celle de normelocalement uniform´ement convexe, ouLUR:

∀x₀ ∈S_X ∀ >0∃δ >0∀x∈S_X kx−x₀k>⇒ kx+x₀k62−δ .

(29)

Renormages LUR et application duale

Th´eor`eme (Kadec 1961)

Tout espace s´eparable admet une norme ´equivalente LUR.

Cependant aucune relation n’est garantie entre les groupes

d’isom´etries dans la norme initiale et la nouvelle norme. Toutefois, dans le cas r´eflexif:

Th´eor`eme (Lancien 1993)

Soit(X,k · k) s´eparable r´eflexif. Alors X admet une norme

(1 +)-´equivalente LUR ||| · |||, dont la norme duale est LUR, et telle que

Isom(X,k · k)⊆Isom(X,||| · |||).

Observation: aucun renormage LUR deL1 ne peut pr´eserver le groupe initial d’isom´etries.

(30)

Renormages LUR et application duale

D´efinition

Soit X Banach et x∈S_X. Une fonctionnelle supportpour x est une fonctionnelleφ∈S_X^∗ telle que φ(x) = 1.

La fonctionnelle support est unique quand, par exemple, la norme duale surX^∗ est LUR (exercice).

étend J à X par homogénéité, i.e., J(tx) =t·Jx si t>0.

(31)

Renormages LUR et application duale

D´efinition

Soit X Banach et x∈S_X. Une fonctionnelle supportpour x est une fonctionnelleφ∈S_X^∗ telle que φ(x) = 1.

La fonctionnelle support est unique quand, par exemple, la norme duale surX^∗ est LUR (exercice).

D´efinition

Dans ce cas, pour x∈S_X, soit Jx la fonctionnelle support de x , on

étend J à X par homogénéité, i.e., J(tx) =t·Jx si t>0.

(32)

Lemme

Soit X un espace r´eflexif tel que k · ket k · k^∗ soient LUR. Alors

1 J:X →X^∗ est un hom´eomorphisme dont l’inverse est la fonction de dualit´e J∗ de X^∗ dans X .

2 si T:X →X est une isom´etrie, alors JT⁻¹ =T^∗J.

3 En particulier J(H_T) =H_T^∗ et si G est un sous-groupe de Isom(X) alors J(H_G) =H_G^∗.

D´emonstration: Soit x0 ∈SX, >0, et δ=δ(Jx0, ). Si kJx−Jx0k>pour x∈S_X, alors kJx +Jx0k62−δ et donc kx−x₀k>(Jx)(x−x₀) = 2−(Jx+Jx₀)(x₀)>2− kJx+Jx₀k>δ.

DoncJ est continue de S_X dans S_X^∗ et donc de X dansX^∗. Le

(33)

Propri´ et´ es ´ el´ ementaires de l’application duale

Notons que sik.ket k.k^∗ sont uniforméments convexes alorsS_X et SX∗ seront uniformément homéomorphes.

Lemme

Soit X un espace r´eflexif tel que k · ket k · k^∗ soient LUR. Si Y ⊆X est un sous-espace tel que J[Y]⊆X^∗ soit aussi un sous-espace, on a

X^∗=J[Y]⊕Y^⊥, où J[Y]est 1-complémenté.

D´emonstration: soit ψ∈X^∗.

Soitφ∈X^∗ une extension de Hahn–Banach de ψ|_Y `aX avec kφk=kψ|_Yk. Alors ψ|_Y =φ|_Y, donc ψ−φ∈Y^⊥, et

kφk=kψ|_Yk=kφ|_Yk. Donc par reflexivit´e φ|_Y et donc φatteint sa norme surY, i.e. φ=Jy pour uny ∈Y, i.e.,φ∈J[Y]. Donc ψ=φ+ (ψ−φ)∈J[Y]⊕Y^⊥.

(34)

Corollaire

Soit X un espace réflexif tel que k · ket k · k^∗ soient LUR. Soit G un sous-groupe deIsom(X). Alors X =HG ⊕H_G^⊥∗,où HG est 1-complémenté.

Rappelons le théorème à démontrer Théorème (F., Rosendal)

X =H_G ⊕(H_G^∗)⊥,

La projection P:X →HG est de norme inférieure ou égale à kGk², où kGk:= sup_g∈Gkgk

(35)

X =HG ⊕(HG^∗)⊥,

La projection P:X →H_G est de norme inférieure ou égale à kGk², où kGk:= sup_g∈Gkgk

Démonstration: On peut définirkxk_G = sup_g_∈G kgxk, qui est kGk-équivalente àkxk, puis par Lancienkxk⁰_G encoreG-invariante etkGk+-équivalente à kxk. La projection P a norme 1

relativement `akxk⁰_G.

(36)

Soit X un espace séparable, réflexif, et soient T1, . . . ,Tndes isométries sur X . Alors

X = H_T₁∩. . .∩H_T_n

⊕F_T₁+· · ·+F_T_n.

avec constante uniforme. Si T1,T2, . . . sont des isom´etries, alors X =

∞

\

n=1

H_T_n⊕ ∪_nF_T₁+· · ·+F_T_n

Th´eor`eme

Soit X un espace HI s´eparable, r´eflexif, qui n’admet pas de

D´ecomposition finie dimensionnelle. Alors toute norme ´equivalente sur X agit quasi-trivialement.

(37)

Quelques observations

Si X est réflexif séparable et G sous-groupe borné de GL(X) on définit aussi les sous-espaces

K_G ={x∈X

l’orbite G·x est relativement compacte}, K_G^∗ ={φ∈X^∗

l’orbite G ·φest relativement compacte}, Par les mˆemes techniques (en particulier,J(K_G) =K_G^∗ car J(Tx) =T^∗−1Jx et T est homeomorphisme apr´es renormage LUR et LUR*), on obtient

X =K_G ⊕(K_G^∗)⊥,

Ceci s’identifie avec les d´ecompositions de type Jacobs - de Leeuw - Glicksberg (1961), par

(K_G^∗)⊥={x∈X

x G-furtif}={x ∈X

∃T_n∈G Tnx−→

w 0}.

(38)

cit´e ant´erieurement:

Soit X un espace HI réflexif et séparable, et G un groupe borné de GL(X). Alors il existe une décomposition G -invariante X =F ⊕H telle que

dimF <+∞

G_|H⁺ ={g_|H,g ∈G,g −Id de rang fini}est discret

De plus se X n a pas de base de Schauder alors G agit trivialement sur H, et donc quasi trivialement sur X .

(39)

Propri´ et´ es des espaces L

_p

= L

_p

(0, 1)

Quelques commentaires basés sur des résultats récents avec J.

Lopez-Abad, B. Mbombo, S. Todorcevic.

Proposition

Si1≤p <+∞et p 6= 4,6,8, . . ., alors L_p(0,1)est

quasi-ultrahomogène: pour toute isométrie t entre F et G , où F,G sont sous-espaces de dimension finie de Lp, et tout >0, il existe T ∈Isom(L_p)telle que kT_|F −tk ≤.

ceci ´etend la quasi-transitivit´e.

Bien sûr sip= 2, c’est-à dire pour le Hilbert, on a même ultrahomogénéité.

Si p= 4,6,8, . . . on peut montrer queL_p n’est pas

quasi-ultrahomogène (B. Randrianantoanina); mais il a une forme restreinte de quasi-ultrahomogénéité (i.e. restreinte aux sous-espaces F,G isométriques à un `ⁿ_p).

(40)

Cette propriete et une certaine propriété de Ramsey pour les coloriages des plongements des `ⁿ_p dans les`^m_p implique que Isom(L_p),SOT est ”extrêmement moyennable” déjà obtenu par Giordano-Pestov (2003) par concentration de la mesure.

En relation avec le probl`eme de Mazur:

Question

L’espace de Hilbert est-il l’unique espace séparable ultrahomogène (i.e. tel que toute isométrie entre sous-espaces de dimension finie s’étende à une isométrie globale)?

Question

Montrer que L_p(0,1)n’admet pas de renormage ultrahomog`ene.

(41)

R. Deville, G. Godefroy and V. Zizler,Smoothness and renormings in Banach spaces, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 64. 1993.

V. Ferenczi and C. Rosendal,On isometry groups and maximal symmetry, Duke Mathematical Journal 162 (2013),

1771–1831.

W. T. Gowers and B. Maurey,The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc.6 (1993), no. 4, 851–874.

A.S.Kechris, V.G. Pestov, and S.Todorcevic,Fra¨ıss´e limits, Ramsey theory, and topological dynamics of automorphism groups, Geom. Funct. Anal. 15 (2005), no. 1, 106189.

U. Krengel,Ergodic theorems, de Gruyter Studies in

Mathematics6, Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1985.