Otimização topológica evolucionária multiescala aplicada a problemas de elasticidade linear

Tainan Khalil Leite Calixto

Otimização Topológica Evolucionária

Multiescala Aplicada a Problemas

de Elasticidade Linear

70/2015

CAMPINAS 2015

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Calixto, Tainan Khalil Leite,

C129o CalOtimização topológica evolucionária multiescala aplicada a problemas de elasticidade linear / Tainan Khalil Leite Calixto. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

CalOrientador: Renato Pavanello.

CalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Cal1. Otimizaçao estrutural. 2. Multiescala. 3. Homogeneização (Equações diferenciais). 4. Métodos dos elementos finitos. I. Pavanello, Renato,1959-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Multi-scale evolutionary topology optimization applied to linear elasticity problems

Palavras-chave em inglês: Structural optimization Multi-scale

Homogenization (Differential equations) Finite element methods

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca examinadora:

Renato Pavanello [Orientador] Alberto Luiz Serpa

Cícero Ribeiro de Lima Data de defesa: 31-07-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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Dedicatória

Aos meus queridos pais, José Eunir e Berarda Bezerra, dos quais sinto muito orgulho. Agradeço-os por todo carinho, apoio e confiança que sempre me ofereceram em todas as esco-lhas de minha vida.

Agradecimentos

A Deus, minha fonte de força, fé e determinação, agradeço hoje e todos os dias pelo dom da vida. A toda minha família, Berarda, Eunir, Renan, Juan, pelo suporte fornecido, pela confiança transmi-tida e por serem meu porto seguro.

A minha namorada, Stephane, que me transmitiu todo apoio e amor necessários para superar as dificuldades durante os estudos.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Renato Pavanello, não apenas pelos ensinamentos e conselhos, mas também pela compreensão, paciência e amizade durante todo o mestrado.

Ao meu professor e orientador de TCC, Prof. Dr. Ilson, por ter me introduzido ao meio acadêmico e ter sido um grande companheiro durante os desafios encontrados na graduação.

Aos amigos e companheiros de laboratório e de departamento, dos quais pretendo levar a amizade para toda a vida.

As minhas tias, Célia e Rita, por terem me dado carinho e amor de família em São Paulo.

À Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP, em especial ao DMC, representada pelos professores e funcionários, pela organização e seriedade nas atividades fornecidas, os quais me concederam a oportunidade de realizar este trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq pelo suporte finan-ceiro essencial para desenvolvimento desta pesquisa.

O êxito da vida não se mede pelo que você conquistou, mas sim pelas dificuldades que superou no caminho.

Resumo

CALIXTO, Tainan Khalil Leite. Otimização Topológica Evolucionária Multiescala Aplicada a Pro-blemas de Elasticidade Linear. 2015. 124p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Me-cânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

A utilização de materiais de alta performance se tornou uma realidade em diversos campos da engenharia, como na indústria automotiva e aeroespacial, devido aos avanços nas técnicas de manufatura aditiva. De outro lado, sabe-se que a otimização topológica estrutural é uma ferramenta de desenvolvimento de estruturas com ampla aplicação industrial. Dentre os vários métodos de otimização topológica existentes, a otimização estrutural evolucionária tem se destacado pela sua versatilidade, podendo ser utilizada em diversos tipos de problemas de engenharia. Na tentativa de combinar esses campos, este trabalho consiste no estudo do método de otimização evolucionária BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) aplicado a sistemas bidimensionais multiescala a fim de se projetar as topologias ótimas de uma estrutura, em ambas as escalas. A análise do modelo multiescala é feita através do método da homogeneização, no qual o padrão do material microestrutural é considerado periódico. O algoritmo implementado pode buscar dois objetivos distintos: a minimização da flexibilidade média, que resulta na maximização da rigidez global; ou a maximização da frequência fundamental. Resultados numéricos do algoritmo são apre-sentados para o projeto de materiais, onde apenas a microestrutura é otimizada, e de estruturas, no qual otimiza-se as topologias nas duas escalas. Finalmente, para a análise do desempenho do mé-todo de otimização multiescala, são propostos um índice de eficiência estrutural e uma memé-todologia de fabricação de estruturas periódicas.

Palavras-chave: Otimização Topológica Estrutural, Modelo Multiescala, Método da Homogenei-zação, Método BESO.

Abstract

CALIXTO, Tainan Khalil Leite. Multi-scale Evolutionary Topology Optimization Applied to Li-near Elasticity Problems. 2015. 124p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

High-performance materials utilization became a reality in many fields of actual enginee-ring, such as in automotive and aerospace industries, due to advances in additive manufacturing techniques. At the same time, structural topology optimization is a powerful tool for the structure development with wide industrial application. Among the various optimization methods, evoluti-onary structural optimization stands out for its versatility and it can be used in many engineering problems. As an attempt to combine these fields, this work intends to study the Bi-directional evolu-tionary Structural Optimization method applied to two-dimensional multi-scale systems in order to design the optimal topologies of structures in both scales. The analysis of multi-scale model is made using the homogenization method, which the pattern of the micro-structural material is considered periodic. The implemented algorithm can use two different objective function: mean compliance minimization, which results in maximizing the global stiffness; or fundamental frequency maxi-mization. Numerical results are presented for material design, which only the micro structure is optimized, and for structural design, in which the topologies in both scales are optimized. Deepe-ning the study in multiscale optimization, it is proposed an index to analyse the structural efficiency and also a manufacturing methodology of periodic structures.

Keywords: Structural Topology Optimization, Multi-scale Model, Homogenization Method, BESO Method.

Lista de Ilustrações

1.1 Exemplos de materiais “ultra-light” de alta performance. (a) Material de microbar-ras; (b) Material celular linear; (c) Material poroso com tamanho controlado dos

poros . . . 2

2.1 Modelo de um meio microestrutural periódico regular . . . 15

2.2 Comportamento de uma função F arbitrária periódica regular na macroescala e na microescala . . . 16

2.3 Modelo do problema de elasticidade plana . . . 18

2.4 Modelo de uma célula-base periódica . . . 34

2.5 Condições de contorno e uma deformação ilustrativa da estrutura periódica . . . 35

3.1 Ilustração da célula-base genérica que resulta nas propriedades do elemento finito macroestrutural . . . 42

3.2 Microestrutura inicial utilizada para o algoritmo de otimização (malha 100 × 100) . 53 3.3 Instabilidade numérica (tabuleiro de xadrez): (a) Topologia obtida com o método ESO (sem filtro); (b) Ilustração de um tabuleiro de xadrez estrutural . . . 54

3.4 Filtro numérico: Nós contabilizados para o número de sensibilidade do i-ésimo elemento (Região Ai) . . . 55

3.5 Fluxograma do método BESO aplicado a problemas em multiescala . . . 59

4.1 Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária do material . . . 61

4.2 Estrutura engastada-livre utilizada para validação do caso estático. (L = 40 e H = 20) 63 4.3 Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez conside-rando materiais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida por Huang et al. (2013) . . . 63

4.4 Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez conside-rando materiais compósitos: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida por Huang et al. (2013) . . . 64

4.5 Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização da rigidez, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Viga biapoiada; (c) Viga biengastada 1; (d) Viga biengastada 2 . . . 65

4.6 Condição de contorno anisotrópica: plano de simetria de uma viga biapoiada: (a) Topologia final e Matriz DH_{; (b) Esquema da solução estrutural obtida . . . . 66}

4.7 Análise da influência da topologia inicial na solução ótima obtida para materiais ce-lulares, visando à maximização da rigidez, para uma viga engastada-livre: Volumes iniciais (a) 100%; (b) 40%; (c) 30%; (d) 50% (tabuleiro de xadrez) . . . 68 4.8 Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximização

da rigidez, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A e B; (b) Materiais A e C . . . 71 4.9 Estrutura biengastada utilizada para validação do caso dinâmico. (L = 80 e H = 40) 72 4.10 Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequência

fundamental considerando materiais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implemen-tado; (b) obtida por Zuo et al. (2013a) . . . 73 4.11 Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequência

fundamental considerando materiais compósitos: (a) obtida pelo algoritmo imple-mentado; (b) obtida por Zuo et al. (2013a) . . . 73 4.12 Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização da

frequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Viga engastada; (c) Viga em L . . . 75 4.13 Análise dos resultados para uma viga engastada-livre: (a) Comparação do primeiro

modo de vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo de otimização evolucionária . . . 76 4.14 Análise dos resultados para uma viga biengastada: (a) Comparação do primeiro

modo de vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo de otimização evolucionária . . . 76 4.15 Análise dos resultados para uma viga em L: (a) Comparação do primeiro modo de

vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo de otimização evolucionária . . . 77 4.16 Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximização

da frequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A e B; (b) Materiais A e C . . . 79 4.17 Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária aplicada para duas escalas 80 4.18 Viga engastada-livre projetada para o problema estrutural . . . 82

4.19 Topologias otimizadas na macroescala (mapa de cores proporcional às tensões de Von Mises) e na microescala para materiais celulares, visando à maximiza-ção da rigidez, para uma viga engastada-livre, adotando um volume final de 40% da estrutura e usando diferentes frações de volume em cada escala: (a) V_fmac = 1.0/V_fmic = 0.4; (b) V_fmac = 0.8/V_fmic = 0.5; (c) V_fmac = 0.5/V_fmic = 0.8; (d) V_fmac = 0.4/V_fmic = 1.0 . . . 83 4.20 Viga em L analisada para o problema estático com materiais compósitos . . . 84 4.21 Topologias na macroescala (mapa de cores proporcionais às tensões de Von Mises)

e na microescala utilizando duas combinações de materiais compósitos para uma estrutura em L, visando à maximização da rigidez, adotando uma fração de volume final de 50% em ambas as escalas . . . 84 4.22 Viga biengastada com massa concentrada analisada para o problema dinâmico com

materiais celulares . . . 85 4.23 Topologias otimizadas na macroescala deformada (1º modo) e na microescala para

materiais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga biengastada, adotando uma fração de volume final de 40% da estrutura e usando diferentes frações de volume em cada escala: (a) V_fmac = 1.0/Vmic

f = 0.4;

(b) Vmac

f = 0.8/Vfmic = 0.5; (c) Vfmac = 0.5/Vfmic = 0.8; (d) Vfmac = 0.4/Vfmic = 1.0 86

4.24 Viga engastada-livre com massa concentrada analisada para o problema dinâmico com materiais compósitos . . . 87 4.25 Topologias obtidas na macroescala e microescala utilizando duas combinações de

materiais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em ambas as escalas . . . 88 4.26 Análise para comparação entre os dois modelos . . . 89 4.27 Eficiência estrutural de uma viga engastada-livre 40 × 20 para diferentes reduções

de material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . 90 4.28 Eficiência estrutural de uma viga biapoiada 80 × 20 para diferentes reduções de

material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . 91 4.29 Eficiência estrutural de uma viga biengastada 80 × 20 para diferentes reduções de

material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . 91 4.30 Resultado numérico de uma otimização contendo dois tipos de material . . . 93

4.31 Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células unitá-rias de materiais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em todas as escalas . . . 94 4.32 Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células

uni-tárias de materiais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em todas as escalas . . . 95 4.33 Resultado numérico para uma viga engastada-livre de uma otimização topológica

com múltiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com sua microestrutura correspondente; (b) Ilustração de uma malha 3 × 3 da célula-base final em cada elemento; (c) Histórico do processo evolucionário . . . 97 4.34 Viga biapoiada usada para otimização topológica multiescala com múltiplas células 98 4.35 Resultado numérico para uma viga biapoiada de uma otimização topológica com

múltiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com sua mi-croestrutura correspondente; (b) Ilustração de uma malha 3 × 3 da célula-base final em cada elemento; (c) Histórico do processo evolucionário . . . 99 4.36 Viga biengastada utilizada para o domínio macroestrutural . . . 101 4.37 Microestrutura otimizada (40x40) para uma viga biengastada com força central: (a)

célula unitária, (b) malha de 4x4 células (c) célula-base deslocada (d) evolução da flexibilidade média e da fração de volume . . . 102 4.38 Malhas reproduzidas na macroestrutura . . . 103 4.39 Estudo da convergênca da flexibilidade média para diferentes malhas: 4 × 2, 8 × 4,

12 × 6, 16 × 8 e 20 × 10 . . . 104 4.40 Modelo virtual utilizado para fabricação de uma viga biengastada . . . 104 4.41 Estrutura final produzida por manufatura aditiva (DT3D - CTI): (a) vista frontal;

(b) vista isométrica . . . 105 4.42 Metodologia de fabricação por manufatura aditiva . . . 106

Lista de Tabelas

4.1 Parâmetros do método BESO para o projeto de materiais . . . 62

4.2 Propriedades dos tipos de materiais utilizados para meios compósitos . . . 70

4.3 Parâmetros do método BESO para o projeto de estruturas . . . 81

Lista de Abreviaturas e Siglas

Letras Latinas

Ai - Área de filtragem do filtro numérico

ARmax - Taxa de adição máxima de material

b - Matriz global das deformações

be - Matriz de derivadas das funções de forma elementar na microescala

Be - Matriz de derivadas das funções de forma elementar na macroescala

C - Flexibilidade média da estrutura D - Tensor elástico do material isotrópico d1, d2, d3 - Respectivos vetores coluna da matriz D

DH - Tensor de elasticidade do homogeneizado E - Módulo de elasticidade

ER - Razão de volume evolucionária

F - Função escalar, vetorial ou tensorial Y-periódica f - Força de corpo aplicada na estrutura

fA, fB, fC - Vetor de força global dos casos A, B e C

fA,e, fB,e, fC,e - Vetor de força elementar a célula unitária em cada caso

ef - Vetor de força global condensado

F - Vetor global de carregamento aplicado à macroestrutura

I - Matriz identidade

k - Matriz de rigidez global da célula unitária ke - Matriz de rigidez elementar da célula unitária

e

k - Matriz global de rigidez condensada K - Matriz global de rigidez da macroestrutura Ke - Matriz de rigidez elementar da macroestrutura

M - Número de elementos finitos na célula-base M - Matriz global de massa do domínio macroscópico Me - Matriz de massa elementar da macroestrutura

me - Matriz de massa elementar do domínio microscópico

N - Matriz diagonal de números arbitrários internos

Ne - Matriz das funções de forma elementar na macroescala

N - Número de elementos finitos na macroestrutura - Número de iterações para convergência

Nm - Número total de elementos macroestruturais de um tipo de material

Ne - Número de elementos ligados a um nó

NGL - Número de graus de liberdade no domínio microscópico

NER - Número de equações de restrição do sistema microscópico

p - Expoente de penalidade

rmin, rmacmin, rminmic - Raio mínimo do filtro numérico

R - Resíduo da equação de equilíbrio microestrutural

T - Matriz de condensação

u - Matriz de deslocamento nodal e

u - Solução do sistema condensada

uA, uB, uC - Campo de deslocamentos nodal global dos casos A, B e C

uA,e, uB,e, uC,e - Campo de deslocamentos nodal elementar dos casos A, B e C

U - Vetor global de deslocamentos nodais da macroestrutura Uk - Autovetor do k-ésimo modo de vibrar

vi - Função interpoladora arbitrária

v - Funções interpoladoras do método dos resíduos ponderados Vi - Fração de volume inicial da otimização

Vmac

i , Vimic - Fração de volume inicial em cada domínio

Vf - Fração de volume final da estrutura

Vmac

f , Vfmic - Fração de volume final em cada domínio

wi - Fator de ponderação do i-ésimo elemento

x - Vetor posição na escala global

xmac - Variável de projeto da macroestrutura xmic - Variável de projeto da microestrutura

xmin - Valor da densidade do elemento vazio (soft-kill)

y - Vetor posição na escala local

Y - Vetor contendo os períodos ao longo das direções ortogonais do meio heterogêneo

Ys - Domínio de material sólido na célula unitária

Yv - Domínio de material vazio na célula unitária

Ye - Domínio do elemento finito da célula-base

|Y | - Volume da célula-base

Letras Gregas αmac

i - Número de sensibilidade elementar na macroescala

αmic

j - Número de sensibilidade elementar na microescala

αno

j - Número de sensibilidade nodal

αelem

i - Número de sensibilidade dos elementos ligado a um nó i

Γd - Domínio restrito da estrutura elástica

γs, γd - Índice de eficiência estrutural

 - Dimensão característica de não-homogeneidade 0_A, 0_B, 0_C - Vetor de deformação inicial para cada caso λ - Matriz de multiplicadores de Lagrange ν - Coeficiente de Poisson

ξp - Constante de integração

ρ - Massa específica do material ρH _{- Massa específica homogeneizada}

τ - Tolerância da convergência Υ - Operador elíptico

χkl _{- Campo de deslocamento microscópico}

ωk - k-ésima frequência natural

Ωe - Domínio de um elemento macroestrutural

Siglas

BESO - Otimização Estrutural Evolucionária Bidirecional CTI - Centro de Tecnologia da Informação

DMC - Departamento de Mecânica Computacional DT3D - Divisão de tecnologias tridimensionais EF - Elementos finitos

ESO - Otimização Estrutural Evolucionária

MBB - Estrutura biapoiada (Messerschmitt-Bölkow-Blohm) MMA - Método das assíntotas móveis

PAMP - Porous Anisotropic Material with Penalization SIMP - Material sólido isotrópico com penalidades

Outras Notações

AT - Transposto de uma matriz A

A - Dependência da matriz A com relação à dimensão característica de não-homogeneidade

A

3D - Tridimensional

SUMÁRIO

Lista de Ilustrações xvii

Lista de Tabelas xxi

Lista de Abreviaturas e Siglas xxiii

SUMÁRIO xxvii

1 Introdução 1

1.1 Motivação e Escopo Geral . . . 1 1.2 Revisão Bibliográfica . . . 2 1.2.1 Método de homogeneização . . . 3 1.2.2 Otimização topológica estrutural . . . 4 1.2.3 Otimização topológica estrutural multiescala . . . 6 1.3 Objetivos e Contribuições . . . 9 1.4 Descrição do Trabalho . . . 10

2 Análise da Elasticidade Plana em Multiescala 13

2.1 Introdução . . . 13 2.2 Periodicidade e Expansão Assintótica . . . 14 2.3 Homogeneização do Problema de Elasticidade . . . 17 2.3.1 Problema de valor de contorno da elasticidade linear . . . 17 2.3.2 Análise do comportamento mecânico microestrutural . . . 19 2.3.3 Cálculo do tensor de elasticidade homogeneizado . . . 23 2.4 Solução Numérica das Equações da Homogeneização . . . 24 2.4.1 Formulação de elementos finitos . . . 26 2.4.2 Condições de contorno para materiais periódicos . . . 33

3 Otimização Topológica Estrutural Aplicada à Multiescala 37

3.1 Otimização Estrutural Evolucionária . . . 37 3.2 Formulação do Problema . . . 38 3.2.1 Definição do problema de maximização da rigidez . . . 38

3.2.2 Definição do problema de maximização da frequência natural . . . 40 3.3 Interpolação do Material . . . 40 3.4 Análise da Sensibilidade para Problemas em Multiescala . . . 44 3.4.1 Cálculo da sensibilidade para o problema estático . . . 44 3.4.2 Cálculo da sensibilidade para o problema dinâmico . . . 49 3.5 Descrição do Método de Otimização Evolucionária e dos Parâmetros Utilizados . . 52 3.5.1 Filtro numérico e estabilização da sensibilidade . . . 53 3.5.2 Adição/remoção de material e critério de convergência . . . 56 3.6 Procedimento BESO da Otimização Multiescala . . . 57

4 Resultados Numéricos e Discussão 61

4.1 Projeto de Materiais usando Otimização Topológica Evolucionária . . . 61 4.1.1 Critério de maximização da rigidez . . . 62 4.1.1.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema estático . 64 4.1.1.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema estático 70 4.1.2 Critério de maximização da frequência fundamental . . . 72 4.1.2.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema dinâmico 73 4.1.2.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema dinâmico 78 4.2 Projeto de Estruturas usando Otimização Topológica Evolucionária . . . 80 4.2.1 Critério de maximização da rigidez . . . 81 4.2.1.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema estático . . . 81 4.2.1.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema estático . . . . 83 4.2.2 Critério de maximização da frequência fundamental . . . 85 4.2.2.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema dinâmico . . . 85 4.2.2.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema dinâmico . . . 87 4.3 Análise da Eficiência Estrutural da Otimização Topológica Multiescala para

Mate-riais Celulares . . . 88 4.4 Análise do Algoritmo Multiescala com Múltiplos Tipos de Materiais . . . 92 4.4.1 Otimização considerando dois modelos multiescala . . . 92 4.4.2 Otimização considerando múltiplos modelos multiescala . . . 95 4.5 Metodologia de Análise para Fabricação da Estrutura Otimizada . . . 100

5 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 107

5.1 Conclusões . . . 107 5.2 Sugestões de Continuidade . . . 109

Referências 111

APÊNDICES 121

1

Introdução

Este capítulo tem como objetivo apresentar o escopo geral do trabalho realizado, desenvol-vendo os principais conceitos envolvidos na dissertação. Inicialmente, comenta-se sobre a moti-vação para a realização deste estudo. Em seguida, uma breve revisão bibliográfica dos principais assuntos abordados neste trabalho é feita. São apresentados os objetivos gerais e específicos. Por fim, é feita uma descrição geral do trabalho, possibilitando uma visão global de cada capítulo.

1.1 Motivação e Escopo Geral

As teorias da mecânica dos sólidos e do contínuo têm sido utilizadas por décadas como a base do projeto estrutural para pesquisa e prática de engenharia. Com o desenvolvimento das técnicas de manufatura aditiva 3D, a possibilidade de se construir materiais com alta eficiência se tornou uma realidade para engenheiros. Espera-se que estes novos materiais possuam propriedades como leveza (“ultra-light”) e alta rigidez estrutural, condutividade térmica ótima, coeficiente de Poisson controlado, entre outros (Niu et al., 2009; Zheng et al., 2014). A figura 1.1 mostra alguns materiais de alta performance em trabalhos já apresentados anteriormente.

Na prática, muitos materiais industriais e de engenharia são heterogêneos e apresentam des-continuidades que são distinguíveis em algumas escalas de comprimento. Em muitas aplicações, estes materiais são formados por um padrão repetitivo periódico. O comportamento desses mate-riais heterogêneos periódicos é determinado pelas propriedades dos matemate-riais constituintes e pelas topologias no nível microscópico.

Na microescala, pode-se considerar apenas um tipo de material e vazios, o que caracteriza os materiais celulares, ou a combinação de dois ou mais materiais, o que caracteriza os compósitos.

Para a análise do modelo multiescala, a teoria da homogeneização é considerada como uma metodologia coerente de modelagem para caracterização dos comportamentos mecânicos de ma-teriais celulares e compósitos em microestruturas periódicas (Bensoussan et al., 1978; Terada e Kikuchi, 2001; Sangani e Lu, 1987). De uma maneira mais ampla, é possível considerar o material periódico em subdomínios da estrutura real.

(a) Deshpande et al. (2001) (b) Hayes et al. (2004) (c) Wen et al. (2008)

Figura 1.1: Exemplos de materiais “ultra-light” de alta performance. (a) Material de microbarras; (b) Material celular linear; (c) Material poroso com tamanho controlado dos poros

Com o intuito de obter um melhor projeto estrutural e um menor consumo de material, o campo de projeto de otimização de estruturas tem sido rapidamente expandido com o aumento da robustez computacional desde a formulação das teorias de projeto ótimo moderno propostas por Prager e Rozvany (1977). Dentre as modalidades de otimização estrutural existentes, a otimização topológica estrutural tem se destacado tanto no meio acadêmico quanto na prática, mostrando ser uma ferramenta computacional versátil para aplicação em vários tipos de análises na engenharia. A otimização topológica, de uma maneira geral, visa encontrar a distribuição de material de uma estrutura tal que o desempenho estrutural seja otimizado.

Em meio à problemática apresentada, deseja-se aplicar a otimização topológica estrutural tanto na escala macroscópica quanto na microscópica. O método de otimização topológica estrutu-ral utilizado neste trabalho foi o evolucionário (Xie e Steven, 1997; Huang e Xie, 2010). Com isso, será possível projetar microestruturas periódicas (ou seja, materiais) mais eficientes, em paralelo com uma otimização da topologia macroestrutural, para um certo tipo de comportamento estrutural.

1.2 Revisão Bibliográfica

Nesta seção, serão tecidos alguns comentários acerca dos trabalhos consultados para a rea-lização desta dissertação, com o objetivo de apresentar um breve histórico do desenvolvimento da pesquisa na área investigada. Inicialmente, a modelagem microestrutural é analisada, juntamente com os desenvolvimentos da otimização estrutural. Por fim, mostram-se os trabalhos existentes do acoplamento desses dois campos.

1.2.1 Método de homogeneização

A análise de estruturas com descontinuidades em diferentes escalas é necessária para mo-delagem do comportamento de materiais heterogêneos. Neste contexto, o método matemático da homogeneização tem sido extensivamente estudado desde os anos 70, a partir de Babuska (1976), para meios heterogêneos utilizando o método de expansão em duas escalas.

Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos para modelagem matemática de estruturas com materiais periódicos foi feito por Bensoussan et al. (1978), no qual foi aplicada a expansão assintó-tica para materiais periódicos. A aplicação dessa teoria implica na passagem, por procedimentos de expansão assintóticas, de uma descrição microscópica para uma descrição macroscópica do com-portamento de um sistema. Para utilizá-la, o tamanho característico da heterogeneidade periódica da microestrutura deve ser muito menor do que o tamanho da região na qual o sistema é estudado. Sanchez-Palencia (1980) aplicou também o rigoroso fundamento matemático da expansão assintó-tica para estruturas heterogêneas periódicas, porém abordando principalmente a teoria da vibração em modelos multiescalas. Outros trabalhos, como o de Cioranescu e Paulin (1979), também desen-volveram relevantes contribuições para a compreensão desses modelos.

Posteriormente, com o avanço do desempenho computacional no decorrer dos anos, uma análise de elementos finitos foi aplicada a materiais modelados pela teoria da homogeneização em Guedes e Kikuchi (1990). Nesse trabalho, foi solucionado o problema de homogeneização para a elasticidade plana e foi gerado um algoritmo de pré e pós-processamento das propriedades elásticas dos materiais.

Hassani e Hinton (1998a) e Hassani e Hinton (1998b) fazem uma revisão do método da ho-mogeneização. Com base no trabalho de Guedes e Kikuchi (1990), as equações de homogeneização e a solução destas a partir do método de elementos finitos são apresentadas. Um programa para de-terminação dos módulos elásticos efetivos de materiais idealizados sob estado plano de tensão e com microestrutura bilateralmente simétrica é construído.

Usando diretamente o conceito de homogeneização, foram desenvolvidos trabalhos de oti-mização topológica no grupo do Departamento de Mecânica Computacional da UNICAMP. Destacam-se os trabalhos de Porto (Porto, 2006; Porto e Pavanello, 2007), nos quais se usou uma estrutura elástica periódica com inclusões retangulares, e os trabalhos de Silva Junior (Silva

Ju-nior, 2007; Silva Junior e Pavanello, 2010; Silva e Pavanello, 2010), em que se usou a teoria da homogeneização aplicada em sistemas poroacústicos.

1.2.2 Otimização topológica estrutural

A otimização topológica estrutural busca alcançar o melhor desempenho de uma estrutura, satisfazendo várias restrições como, por exemplo, uma certa quantidade de material. Esse campo tem sido amplamente estudado nas últimas décadas e é responsável pelo grande avanço atual do projeto mecânico em diversas aplicações industriais.

Inicialmente, Cheng e Olhoff (1981) introduziram o conceito de microestrutura para otimiza-ção estrutural estudando o projeto da espessura ótima de uma placa sólida elástica para minimizar a flexibilidade média. Combinando a otimização de forma com o método da homogeneização, Bend-soe e Kikuchi (1988) implementaram a otimização topológica a partir da homogeneização e esta-beleceram uma nova base para a otimização topológica estrutural. O modelo de material cuja célula unitária é quadrada com vazios retangulares centrais é introduzido na formulação do problema de otimização. A ideia é, a partir do tamanho do vazio retangular na célula-base de cada elemento, cal-cular uma densidade intermediária de material para cada região da estrutura. Utilizando o método introduzido por Bendsoe e Kikuchi (1988), Suzuki e Kikuchi (1991) aprofundaram a otimização topológica e de forma para estruturas elásticas planas.

Posteriormente, Hassani e Hinton (1998c) implementaram um algoritmo de otimização topo-lógica baseado no método de homogeneização aplicados a problemas de minimização da energia potencial total da estrutura. Para análise estática e utilizando um novo critério de otimalidade de atualização das variáveis de projeto, o algoritmo é validado e mostra-se que os exemplos numéricos obtidos apresentam rápida convergência e uma topologia similar aos trabalhos anteriores.

Mais recentemente, Porto (2006) realizou uma revisão da metodologia de otimização topoló-gica baseada na homogeneização, baseado no trabalho de Hassani e Hinton (1998c). Um algoritmo foi implementado visando à maximização da rigidez para carregamentos pontuais e peso próprio, e à maximização da frequência natural.

Outro modelo de material usado na otimização topológica amplamente estudado e que

senta inúmeras aplicações se chama material sólido isotrópico com penalidades (SIMP - Solid Isotropic Material with Penalization). Alguns primeiros trabalhos publicados deste método foram feitos por Bendsoe (1989), Rozvany et al. (1992) e Zhou e Rozvany (1991). Este método consiste na utilização de uma variável de projeto contínua, que representa uma pseudo-densidade do ma-terial. Portanto, materiais intermediários (em escala de cinza) podem estar presentes na topologia final, dificultando a interpretação da topologia e causando problemas para definição do contorno estrutural. Esta dificuldade é geralmente solucionada usando técnicas de penalização e filtragem adequadas. Uma abordagem mais completa do método, contendo estudos realizados dessa teoria e das várias aplicações possíveis, é apresentada por Bendsoe e Sigmund (2004).

Diferentemente dos métodos de otimização topológica baseados na homogeneização e no modelo SIMP que apresentam pseudo-densidades, o método de otimização estrutural evolucionária (ESO - Evolutionary Structural Optimization), proposto por Xie e Steven (1993), utiliza variáveis de projeto discretas (sólido ou vazio) para definição da topologia. Essa metodologia foi desenvol-vida baseada no simples conceito de remoção gradual do material ineficiente de uma estrutura, de forma que a topologia resultante evolua para um ponto ótimo (Xie e Steven, 1997). Devido a al-guns problemas de instabilidades numéricas, como dependência da malha e tabuleiros de xadrez na topologia final, uma adaptação do método ESO foi desenvolvida por Huang e Xie (2007), chamada de BESO (bi-directional ESO). O BESO permite tanto a remoção, quanto a adição de material no domínio de projeto ao longo do processo de otimização (Huang e Xie, 2009). Ao longo dos anos, mostrou-se que o método BESO é ferramenta computacional capaz de ser aplicada a diver-sos campos de engenharia e de gerar estruturas similares a outros métodos clássicos de otimização topológica (Huang e Xie, 2010).

Uma abordagem de otimização topológica alternativa pode ser feita através do método Level Set, que também foi desenvolvido nas ultimas décadas. Os trabalhos de Sethian e Wiegmann (2000), Allaire et al. (2002) e Wang et al. (2003), entre outros, apresentaram as formulações básicas do método Level Set e o aplicaram a exemplos numéricos clássicos.

A literatura destes métodos é muito extensa e não será detalhada nesta breve revisão, na qual são apenas mencionados alguns marcos destas áreas de trabalho.

1.2.3 Otimização topológica estrutural multiescala

Com o avanço dos métodos de otimização topológica, o método de otimização topológica multiescala surgiu da possibilidade de aplicar a otimização topológica de materiais periódicos.

O projeto de materiais através da otimização topológica se iniciou com o trabalho de Sigmund (1994), que propôs um problema de homogeneização inversa. Esse problema consiste em achar a topologia interior de uma célula-base tal qual o custo é minimizado e as restrições são definidas pelos parâmetros constitutivos predeterminados. Resultados numéricos de materiais, incluindo ma-teriais com coeficiente de Poisson negativo, são mostrados para barras considerando apenas duas dimensões na microestrutura.

Na sequência, Sigmund (1995) retoma o projeto de microestruturas periódicas de um material para obter propriedades constitutivas predeterminadas (homogeneização inversa). Neste trabalho, a microestrutura é modelada como uma estrutura de barra ou placa fina e são mostrados resulta-dos numéricos em duas e três dimensões. Ampliando o trabalho anterior, Sigmund (1995) obtém, pelo método proposto, materiais isotrópicos com coeficientes de Poisson próximos de -1, 0 e 0.5. Além disso, algumas microestruturas projetadas foram testadas em macromodelos para demostrar o comportamento esperado.

Utilizando também o método de homogeneização para obtenção das propriedades mecânicas equivalentes do material, Neves et al. (2000) implementaram um algoritmo para projetar as micro-estruturas periódicas de materiais celulares com propriedades elásticas otimizadas. A formulação adotada busca maximizar a densidade de energia de deformação para vários campos de deformação macroscópicos. No problema de otimização, o método das assíntotas móveis (MMA - Method of Moving Asymptotes) foi adotado, como proposto por Svanberg (1987), e a fração de volume e a simetria do material são consideradas como restrição.

No trabalho de Guest e Prévost (2007), os avanços em otimização topológica de escoamento de fluidos aplicados ao projeto de materiais porosos periódicos são apresentados. O objetivo é deter-minar as topologias das fases sólida e fluida na microestrutura que maximizam a permeabilidade do material. A permeabilidade é calculada através da homogeneização. As soluções para um problema de homogeneização inversa propostos pelo autor são apresentadas para células-base bidimensionais e tridimensionais.

Já no campo da condução de calor, de Kruijf et al. (2007) estudaram a influência da oti-mização multiobjetivo no projeto de materiais em duas dimensões. A formulação proposta procura encontrar estruturas ótimas com a máxima rigidez e a mínima resistência à dissipação de calor, para materiais compósitos de duas fases. O tensor elástico e a condutividade térmica de uma célula-base são derivadas do método da homogeneização com condições de contorno periódicas. O método SIMP associado ao método das assíntotas móveis foi explorado para a solução do problema de otimização, com restrições de volume e de simetria.

Mais recentemente, Huang et al. (2011) apresentaram uma nova abordagem para o projeto de microestruturas periódicas utilizando o método de otimização evolucionária BESO. O problema de otimização busca encontrar a topologia microestrutural que maximiza os módulos de elasticidade e de cisalhamento, sujeito à restrição de volume. Para isso, a homogeneização foi adotada, usando-se o método de elementos finitos na célula-base sob condições de contorno periódicas. Resultados nu-méricos em 2D e 3D são apresentados para a metodologia proposta. Radman et al. (2013) retomam essa metodologia para a obtenção de estruturas com coeficiente de Poisson negativo.

Dentre as inúmeras aplicações do método de otimização multiescala, Andreasen e Sigmund (2012) apresentam um método para projetar materiais poroelásticos sob pressurização interna. Os atuadores são modelados através de uma abordagem em duas escalas com iteração fluido-estrutura. O objetivo da otimização de atuadores poroelásticos é maximizar sua deflexão/extensão vertical, utilizando o método baseado em densidades contínuas SIMP.

Ainda no projeto de materiais, o trabalho de Huang et al. (2013) introduziu a otimização topológica para encontrar a topologia otimizada da microestrutura periódica que resulta no melhor comportamento macroestrutural. O algoritmo BESO implementado busca minimizar a flexibili-dade média das estruturas, sendo que a célula-base pode ser composta de materiais celulares ou compósitos.

Além da extensa e recente bibliografia em otimização estrutural aplicada em cada escala (macro e micro separadamente), a otimização topológica em ambos os modelos simultaneamente também tem sido aprofundada nos últimos anos. Rodrigues et al. (2002) propuseram um método de otimização para lidar com o projeto hierárquico de material e estrutura. Essa metodologia con-siste no projeto do material celular juntamente com o projeto da macroestrutura. O algoritmo de otimização utiliza o método de baseado em densidades contínuas SIMP e é testado para problemas bidimensionais clássicos de minimização da flexibilidade média.

O estudo do método de otimização hierárquica introduzido por Rodrigues et al. (2002) para materiais celulares é estendido no trabalho de Coelho et al. (2008), para estruturas elásticas tridi-mensionais. Zhang e Sun (2006) seguiram no campo da otimização integrada de materiais celulares e estruturas para painéis em camadas. O procedimento de projeto consiste em maximizar a rigidez estrutural combinando as topologias bidimensionais da macroescala e da microescala.

Além do método hierárquico, a otimização topológica multiescala pode ser realizada através do método concorrente (projeto estrutural). Nesta metodologia, projeta-se tanto a macroestrutura quanto a microestrutura, porém a célula-base é periódica uniforme e aplicada a toda estrutura, o que facilita a construção desses sistemas. Liu et al. (2008) introduziram a otimização topológica concorrente de materiais e estruturas. Foi utilizado variáveis de projeto contínuas com penalização, sendo adotado o modelo SIMP na microescala e o modelo PAMP (Porous Anisotropic Material with Penalization) na macroescala. O algoritmo foi implementado para minimização da flexibilidade média de estruturas bidimensionais.

Yan et al. (2008) estenderam o método concorrente multiescala para minimização da flexi-bilidade média para estruturas termoelásticas 2D. Nesse trabalho, é mostrado que os efeitos da diferença de temperatura também afetam a solução ótima encontrada. Para casos onde são apli-cados na estrutura ambos carregamentos térmicos e mecânicos, a configuração porosa do material pode ajudar a reduzir a flexibilidade do sistema. A continuação deste trabalho é feita por Deng et al.(2013), que propõe a otimização topológica de estruturas termoelásticas. Exemplo numéricos englobam estruturas de casca sanduíche curvada, estruturas axissimétrica e estruturas 3D.

Para obtenção de materiais ultra-light em problemas dinâmicos, Niu et al. (2009) apresentam a primeira abordagem multiescala para problemas dinâmicos. A formulação do problema consiste na maximização da primeira frequência natural do sistema, sujeito a restrições de volume em cada uma das escalas. Assim como nos trabalhos anteriores, a microestrutura periódica e a macroestru-tura são modeladas respectivamente através dos métodos SIMP e PAMP, com variáveis de projeto independentes. A variável de projeto contínua resulta em elementos com densidades intermediárias na estrutura final (“regiões cinzas”).

Adotando variáveis de projeto discretas na otimização topológica, Zuo et al. (2013a) imple-mentaram um algoritmo evolucionário bidirecional BESO para maximização da frequência fun-damental considerando materiais compósitos em malhas bidimensionais. Várias fases de material são consideradas na célula-base e o projeto de otimização é acoplado para as duas escalas. Yan

et al.(2014) aplicaram o método BESO para maximização da rigidez considerando materiais com-pósitos. Diferente dos outros trabalhos, a restrição da otimização topológica multiescala é o peso estrutural, que depende das topologias macroscópica e microscópica. Soluções numéricas 2D e 3D são apresentadas no trabalho.

A partir da revisão bibliográfica realizada, percebeu-se a existência de um campo de pesquisa emergente, onde diversos assuntos podem ser explorados. Tendo em vista o desenvolvimento reali-zado pelo Departamento de Mecânica Computacional (DMC) da UNICAMP na área de otimização topológica, como apresentado por da Silva (2001), Pizzirani (2003), Porto (2006), Silva Junior (2007), Picelli (2011), Vicente (2013) e Rodriguez (2015), a inserção da abordagem multiescala é uma contribuição relevante, como mostrado por Calixto e Pavanello (2015) e Vicente et al. (2015). Logo, este trabalho busca introduzir e aprofundar os estudos de otimização topológica multiescala.

1.3 Objetivos e Contribuições

Neste trabalho, um algoritmo de otimização topológica estrutural utilizando o método evo-lucionário bidirecional (BESO) para sistemas multiescala foi desenvolvido e implementado. Para uma estrutura composta de dois modelos (macroescala e microescala), propôs-se uma sistemática para a análise da otimização multiescala considerando o problema estático de maximização da rigi-dez e o problema dinâmico de maximização da frequência fundamental. Como objetivos específicos deste trabalho, tem-se a lista apresentada a seguir:

◦ Implementação e validação do modelo microestrutural periódico através da teoria da homo-geneização;

◦ Implementação e validação do algoritmo multiescala de otimização topológica BESO clás-sico para maximização da rigidez e maximização da frequência fundamental;

◦ Apresentação de exemplos numéricos do algoritmo para comprovar a robustez do algoritmo implementado para estruturas com materiais periódicos celulares e compósitos;

◦ Proposição um índice de eficiência estrutural para a análise das topologias obtidas pelo mé-todo otimização topológica multiescala para materiais celulares;

◦ Implementação de uma metodologia de otimização multiescala com várias células-base dis-tintas, onde o tipo de material varia ao longo da macroestrutura;

◦ Desenvolvimento de uma metodologia de validação para fabricação por manufatura aditiva de estruturas obtidas pelo método de otimização topológica estrutural multiescala;

Com relação às contribuições ao DMC, pode-se citar alguns pontos mostrados na sequência:

◦ Modelagem por elementos finitos de uma célula unitária bidimensional com material com-pósito para utilização na otimização estrutural evolucionária BESO;

◦ Desenvolvimento e aplicação de um algoritmo de otimização topológica evolucionária mul-tiescala a partir do método da homogeneização para materiais celulares e compósitos; ◦ Ampliação do algoritmo implementado para obtenção de uma microestrutura viável ao longo

do domínio macroscópico;

◦ Viabilização da fabricação de estruturas periódicas através de uma metodologia de validação das soluções obtidas pelo algoritmo implementado;

1.4 Descrição do Trabalho

Este trabalho está dividido em cinco capítulos. Primeiramente, este capítulo apresenta de forma geral o escopo do problema que será analisado no decorrer do trabalho. Mostra-se também os objetivos gerais e específicos que serão alcançados no desenvolvimento da dissertação.

No Capítulo 2, o modelo de elasticidade plana em multiescala é analisado utilizando a te-oria da homogeneização. Para a aproximação ser válida e a aplicação da tete-oria ser coerente, são consideradas estruturas com pequenas heterogeneidades. A formulação do comportamento mecâ-nico microestrutural é feita utilizando expansão assintótica. Ao final desta análise, pode-se obter as propriedades elásticas homogeneizadas de um material periódico.

O Capítulo 3 aplica o método de otimização topológica estrutural evolucionária bidirecional (BESO) em sistemas multiescala. O problema de otimização foi formulado para estruturas visando

a maximização da rigidez e a maximização da frequência natural. A análise da sensibilidade ele-mentar é desenvolvida em ambas as escalas para os casos estático e dinâmico. O algoritmo de otimização topológica evolucionária multiescala implementado é apresentado.

No Capítulo 4, mostra-se os resultados numéricos obtidos para o método BESO multiescala. Dois tipos de projeto são apresentados: projeto de materiais (otimização na microescala) e de es-truturas (otimização em ambas as escalas), para materiais celulares e compósitos. As topologias otimizadas são obtidas considerando os critérios de maximização da rigidez e da maximização da frequência fundamental. Para o projeto de material, um índice de eficiência estrutural é proposto para materiais celulares e uma metodologia de fabricação de estruturas é apresentada. Mostra-se ainda resultados numéricos obtidos de uma abordagem envolvendo dois ou mais tipos de material na mesma estrutura.

Por fim, no Capítulo 5, apresentam-se as conclusões dos resultados obtidos, assim como as sugestões para trabalhos futuros.

2

Análise da Elasticidade Plana em Multiescala

A análise de uma estrutura composta por um material com microescala periódica pode ser feita usando-se o método da homogeneização. Neste capítulo serão apresentados os fundamentos da teoria da homogeneização para materiais celulares ou compósitos. O objetivo é utilizar as condi-ções de periodicidade e expansão assintótica aplicadas a um problema de elasticidade plana. Dessa forma, pode-se calcular as propriedades homogeneizadas equivalentes de um meio com microes-cala heterogênea e repetitiva. Hassani e Hinton (1998a), Hassani e Hinton (1998b) e Bendsoe e Kikuchi (1988) foram os trabalhos utilizados como referências principais para o entendimento e a análise da formulação apresentada neste capítulo.

2.1 Introdução

A resolução de um problema de valor de contorno em um meio heterogêneo usando métodos numéricos de aproximação envolve um custo computacional inviável se o número de heterogenei-dades for muito grande, tais como em compósitos laminados, espumas porosas, materiais celulares (honeycomb), entre outros. A homogeneização consiste, então, em substituir o meio heterogêneo por um homogêneo equivalente.

A aplicação da teoria da homogeneização implica em considerar que o material compósito deve ser composto de uma microestrutura regular ou quase regular. Se o meio possui muitas he-terogeneidades regulares, é possível considerar a hipótese de uma estrutura periódica. Enfatiza-se que, comparado com as dimensões da estrutura total a Enfatiza-ser analisada, o tamanho dessas não-homogeneidades deve ser muito pequeno (Hassani e Hinton, 1998a).

Para se analisar e resolver um problema de otimização topológica multiescala, um estudo de homogeneização é necessário para a descrição matemática do material compósito em sua mi-croescala. Assim, o objetivo deste capítulo é apresentar uma modelagem matemática de um meio heterogêneo que apresenta propriedades periódicas.

A teoria da homogeneização aqui apresentada baseia-se na expansão assintótica das proprie-dades locais e na hipótese de periodicidade de uma estrutura. A ideia geral é substituir as equações diferenciais com coeficientes oscilantes por equações diferenciais nas quais os coeficientes são

constantes e equivalentes (Ong et al., 1988).

Conceitos fundamentais como o de periodicidade e de expansão assintótica são necessários para a formulação do problema de homogeneização de um meio periódico regular. Esses conceitos serão apresentados na próxima seção.

2.2 Periodicidade e Expansão Assintótica

Um meio heterogêneo é definido como periódico regular, se as funções F que representam alguma quantidade física do meio tiverem a seguinte propriedade:

F(x + NY) = F(x) (2.1)

onde x = [x1, x2, x3]T é o vetor posição, N é uma matriz 3 × 3 diagonal de números arbitrários

inteiros n1, n2 e n3na forma: N =    n1 0 0 0 n2 0 0 0 n3    (2.2)

e Y = [Y1, Y2, Y3]T é um vetor constante que determina os limites da estrutura periódica em cada

dimensão. A função F pode ser uma propriedade do meio de qualquer ordem, ou seja, uma função escalar, vetorial ou tensorial de uma posição x. Isso significa que, em um meio com distribuição periódica de heterogeneidades, as propriedades descritas na forma da função F devem se repetir para cada célula-base de dimensões Y.

Por exemplo, tem-se uma estrutura heterogênea plana mostrada na Figura 2.1. Em sua micro-estrutura, define-se células de base de dimensões Y, como comentado anteriormente. Para o meio heterogêneo ser definido como regular periódico, o valor da função F deve ser o mesmo para todos os pontos que estão a uma certa distância no sistema de referência local (de cada célula-base).

Assim, o valor das propriedades do material nos pontos mostrados devem ser iguais, para todos os valores de n1e n2:

F(P1) = F(P2) = F(P3) = F(P4) = F(P5) (2.3)

Y1 Y2 Célula Unitária P1 P4 P3 P2 P5

Figura 2.1: Modelo de um meio microestrutural periódico regular

Na teoria da homogeneização, as dimensões Y da célula periódica são consideradas muito pequenas quando comparadas ao tamanho do corpo. Dessa forma, as funções características vão variar rapidamente em uma pequena vizinhança de um ponto x. Duas escalas de trabalho podem ser utilizadas para analisar o comportamento da estrutura: uma escala macroscópica x, onde as funções características F(x) apresentam variações lentas, e uma microscópica y, onde as funções F(y) variam rapidamente para cada célula periódica, cujo tamanho é dado por Y.

A figura 2.2 mostra o comportamento de uma função arbitrária F em um meio periódico regular para as duas escalas x e y. A relação entre as escalas local e global é dada pela equação 2.4.

 = x

y (2.4)

O parâmetro  é a razão entre a escala microestrutural e a macroestrutural e é conhecido como a dimensão característica de não-homogeneidade. Por hipótese, para a teoria da homogeneização ser válida, a variável  deve ser suficientemente pequena (Hassani e Hinton, 1998a).

O termo 1/ pode ser compreendido como um fator de ampliação das dimensões da célula periódica. O comportamento da função F ampliado de uma célula em um meio heterogêneo regular periódico é também mostrado na figura 2.2.

F(x)

x

y=x/

F(x,y)

Figura 2.2: Comportamento de uma função F arbitrária periódica regular na macroescala e na microescala

Considerando as duas escalas, uma função geral F (x), definida em função da variável global x, torna-se também dependente da variável local, a partir da relação: F (x) = F (y) = F (x, y).

Assumindo um sistema de coordenadas x = (x1, x2, x3) no <3, o domínio macroestrutural

será representado por um paralelepípedo com dimensões Y1, Y2 e Y3, onde Y1, Y2 e Y3 são os

lados da célula-base periódica na escala microscópica. Uma função é dita Y-periódica quando, para uma posição fixa global x, essa função depende de y e do fator de ampliação 1/.

Considera-se também que a forma e a composição da célula-base podem variar suavemente com a variável macroscópica x. Isso significa que, para diferentes pontos, a estrutura do meio compósito pode variar, porém, no nível microscópico em um ponto x, o padrão periódico se mantém (Hassani e Hinton, 1998a).

Uma função ϕ de um material compósito pode ser expandida assintoticamente como mos-trada na equação 2.5.

F(x) = F0(x, y) + F1(x, y) + 2F2(x, y) + ... (2.5)

A dimensão característica de não-homogeneidade  é muito pequena em relação às dimensões da estrutura e as funções F0(x, y), F1(x, y), F2(x, y),... são suaves com respeito à escala

macroscó-pica e Y-periódicas em nível microscópico.

2.3 Homogeneização do Problema de Elasticidade

O comportamento de um meio com estrutura periódica pode ser modelado utilizando a equa-ção da expansão assintótica 2.5, que fornece a relaequa-ção de uma funequa-ção que depende das variáveis em duas escalas: microscópica e macroscópica.

Propõe-se inicialmente apresentar o desenvolvimento das equações da homogeneização, tomando-se como base o problema de valor de contorno da elasticidade linear. O meio macroscó-pico é considerado heterogêneo com uma microestrutura regular periódica. Dessa forma, deseja-se obter as propriedades elásticas macroscópicas equivalentes para uma dada célula-base qualquer.

A metodologia aqui utilizada no equacionamento da teoria da homogeneização foi inicial-mente sugerida por Bensoussan et al. (1978). Posteriorinicial-mente, nos artigos de Hassani e Hinton (1998a) e Hassani e Hinton (1998b), essa metodologia foi retomada e bastante detalhada. Neste trabalho, o equacionamento para múltiplas escalas será desenvolvido conforme essas bibliogra-fias, mostrando as passagens matemáticas necessárias para o entendimento do método. Os artigos clássicos de Guedes e Kikuchi (1990) e Hassani e Hinton (1998b) foram utilizados como base no desenvolvimento das equações. Mais recentemente, Porto (2006) e Silva Junior (2007) apresenta-ram uma formulação da teoria da homogeneização usando uma nomenclatura semelhante a aqui adotada e também foram usados como referência neste trabalho.

2.3.1 Problema de valor de contorno da elasticidade linear

O problema de elasticidade linear, ilustrado na figura 2.3, foi considerado para esta análise do modelo multiescala.

Trata-se de um problema de valor de contorno de segunda ordem para o caso de elasticidade plana, que pode ser representado matematicamente através da equação 2.6 sujeito às condições de





f

Célula-base

Microestrutura

Periódica

Figura 2.3: Modelo do problema de elasticidade plana

contorno mostradas na equação 2.7.

Υu = −f em Ω (2.6)

u = 0 em Γd (2.7)

onde f é a força de corpo aplicada presente no domínio da estrutura Ω e Υ _{é o operador elíptico}

dado por: Υ = ∂ ∂xj  Dijkl  x,x   ∂ ∂xl  (2.8)

O termo subscrito  representa a dependência do operador elíptico Υ e do campo de des-locamento u com relação à dimensão característica de não-homogeneidade. Γd corresponde ao

domínio restrito no contorno da estrutura, e x é o vetor das coordenadas globais do modelo. O tensor Dijkl representa o tensor dos módulos elásticos do material, que é considerado simétrico e

corresponde às propriedades mecânicas do mesmo.

Mostra-se ainda, na figura 2.3, um modelo de microestrutura periódica presente em Ω e uma célula-base destacada, onde Ys e Yv representam os domínios preenchidos de material sólido e

vazio respectivamente. Ressalta-se que são consideradas células unitárias com padrão sólido não uniformes, ou seja, nenhuma restrição de simetria é imposta.

O objetivo do método da homogeneização é permitir que a equação 2.6 do problema de valor de contorno seja reescrita a partir de um termo homogeneizado, conforme se segue:

DH_ijkl∂

2_u k(x)

∂xj∂xl

= −fi em Ω (2.9)

onde D_ijklH representa o tensor de propriedades elásticas homogeneizadas.

2.3.2 Análise do comportamento mecânico microestrutural

Pela teoria da homogeneização, pode-se adotar que o tensor das propriedades elásticas do material Dijkl é uniforme na escala macroscópica. Logo, Dijkl(x, x/) = Dijkl(y).

Aplicando uma expansão assintótica em duas escalas, como mostrado na equação 2.5, a so-lução do problema das equações 2.6 e 2.7 pode ser escrita como,

u(x) = u0(x, y) + u1(x, y) + 2u2(x, y) + ... (2.10) sabendo que uj_{(x, y) são funções Y-periódicas na escala microestrutural. Aplicando a regra da}

cadeia, o operador elíptico 2.8 pode ser reescrito da seguinte forma:

Υ = ∂ ∂xj  Dijkl(y) ∂ ∂xl  + ∂y ∂x ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂ ∂xl  (2.11)

Como foi apresentado na equação 2.4, a razão entre as escalas microscópica e macroscópica é dada pelo parâmetro . Logo, a equação 2.11 resulta em:

Υ = ∂ ∂xj  Dijkl(y) ∂ ∂xl  +1  ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂ ∂xl  (2.12)

Substituindo a expressão do operador elíptico 2.12 e da expansão assintótica da variável u (2.10) na equação de equilíbrio 2.6, tem-se o seguinte resultado:

∂ ∂xj  Dijkl(y)  ∂u0 k ∂xl +1  ∂u0 k ∂yl + ∂u 1 k ∂xl +∂u 1 k ∂yl + 2∂u 2 k ∂xl + ∂u 2 k ∂yl  = −fi (2.13)

O tensor das propriedades elásticas do material é homogêneo na escala macroscópica. Logo, reordenando os termos da integral e aplicando a regra da cadeia pela segunda vez, obtém-se:

Dijkl ∂2u0_k ∂xj∂xl +1  ∂ ∂yj  Dijkl ∂u0_k ∂xl  +1 Dijkl ∂2u0_k ∂xj∂yl + 1 2 ∂ ∂yj  Dijkl ∂u0_k ∂yl  + Dijkl ∂2_u1 k ∂xj∂xl + ∂ ∂yj  Dijkl ∂u1 k ∂xl  + Dijkl ∂2_u1 k ∂xj∂yl +1  ∂ ∂yj  Dijkl ∂u1 k ∂yl  + 2Dijkl ∂2_u2 k ∂xj∂xl +  ∂ ∂yj  Dijkl ∂u2 k ∂xl  + Dijkl ∂2_u2 k ∂xj∂yl + ∂ ∂yj  Dijkl ∂u2 k ∂yl  = −fi (2.14)

Da equação 2.14, pode-se observar a presença de três operadores distintos bem definidos, cada um específico para uma potência de :

Υ1 = ∂ ∂yj  Dijkl ∂ ∂yl  (2.15) Υ2 = ∂ ∂xj  Dijkl ∂ ∂yl  + ∂ ∂yj  Dijkl ∂ ∂xl  (2.16) Υ3 = ∂ ∂xj  Dijkl ∂ ∂xl  (2.17)

Reescrevendo a equação de equilíbrio 2.14 em função dos operadores diferenciais, obtém-se a seguinte expressão:

(−2Υ1+ −1Υ2+ Υ3)(u0+ u1+ 2u2) = −f (2.18)

ou ainda, a igualdade pode ser escrita como:

−2Υ1(u0) + −1Υ1(u1) + Υ1(u2) + −1Υ2(u0) + Υ2(u1) + Υ2(u2)+

Υ3(u0) + Υ3(u1) + 2Υ3(u2) = −f

(2.19)

Igualando os termos de mesma potência de  em ambos os lados da equação 2.19, as seguintes

relações podem ser definidas:

Υ1(u0) = 0 (2.20)

Υ2(u0) + Υ1(u1) = 0 (2.21)

Υ3(u0) + Υ2(u1) + Υ1(u2) = −f (2.22)

Para solucionar as equações apresentadas anteriormente, deve-se primeiramente analisar os fatos seguintes. Dado uma variável u genérica:

Υ1(u) = F em Y (2.23)

A equação 2.23 definida em u apresentará solução única e determinada somente se F tiver sua integral no domínio Y igual a zero, ou seja:

F = 1 |Y|

Z

Ys

F (y)dy = 0 (2.24)

onde |Y| representa o volume da célula-base microscópica (Hassani e Hinton, 1998a).

Dada a equação 2.24 onde F é uma função periódica, a integral do período sobre a derivada também é igual a zero.

1 |Y| Z Ys ∂F (y) ∂y dy = 0 (2.25)

Por fim, o volume da célula-base é dado pela seguinte equação: Z

Ys

dy = |Y| (2.26)

A partir das equações 2.23 e 2.24, obtém-se que a equação 2.20 deve apresentar uma solução única, visto que F = 0.

u0 _{= f (x) depende exclusivamente da variável macroscópica x.} ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂u0 k ∂yl  = 0 ⇒ u0 = u0(x) (2.27)

Sabendo da relação obtida em 2.27, a equação 2.21 pode ser simplificada e resulta na igual-dade abaixo: ∂ ∂xj  Dijkl(y) ∂u0_k(x) ∂yl  | {z } =0 + ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂u0_k(x) ∂xl  + ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂u1_k ∂yl  = 0 ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂u1_k ∂yl  = − ∂ ∂yj  Dijkl(y) ∂u0_k(x) ∂xl  (2.28)

Integrando a equação 2.28 em yj e simplificando o tensor de propriedades, fica:

∂u1_k ∂yl = −∂u 0 k(x) ∂xl (2.29)

A solução da equação anterior 2.29 para o termo u1 pode ser obtida integrando novamente ambos os lados em relação a yl:

u1_p(x, y) = −χkl_p(y)∂u

0 k(x)

∂xl

+ ξp(x) (2.30)

onde χkl_{é uma variável Y-periódica dependente apenas da variável microscópica y e ξ}

p é a

cons-tante da integração em y, logo é função apenas de x.

Substituindo a solução de u1em 2.28, tem-se:

− ∂ ∂yj Dijpq(y) ∂χkl p(y) ∂yq ! ∂u0 k(x) ∂xl = −∂Dijkl(y) ∂yj ∂u0 k(x) ∂xl

o que resulta em:

∂ ∂yj Dijpq(y) ∂χkl p (y) ∂yq ! = ∂Dijkl(y) ∂yj (2.31) 22

A equação 2.31 corresponde à expressão que rege o comportamento local do material celular, tendo χkl_{(y) como sua solução, descrevendo o campo de deslocamento microscópico Y-periódico.}

2.3.3 Cálculo do tensor de elasticidade homogeneizado

Uma vez obtida a solução local dada pela variável χkl(y), pode-se continuar a análise a fim de encontrar a equação geral que caracteriza na macroescala um certo comportamento microes-trutural. Ou seja, deseja-se obter uma equação para determinar o tensor de propriedades elásticas homogeneizadas DH.

A terceira equação apresentada em 2.22 deve ser solucionada para u2(x, y). Logo, essa equa-ção pode ser reescrita, isolando-se o operador Υ1aplicado em u2:

Υ1(u2) = −f − Υ3(u0) − Υ2(u1) (2.32)

Aplicando o fato apresentado nas equações 2.23 e 2.24, o termo Υ1(u2) apresentará solução

única apenas se o lado direito da equação 2.32 respeitar a seguinte relação: 1

|Y| Z

Ys

[−f − Υ3(u0) − Υ2(u1)]dy = 0 (2.33)

Expandindo os operadores diferenciais e reorganizando os termos, obtém-se: 1 |Y| Z Ys Dijkl ∂2_u0 k ∂xj∂xl dy + 1 |Y| Z Ys  ∂ ∂xj  Dijkl ∂u1 k ∂yl  + ∂ ∂yj  Dijkl ∂u1 k ∂xl  dy = −fi (2.34)

Como já foi apresentado na equação 2.25, a integral no período sobre a derivada de uma função periódica deve ser nula. Dessa forma:

1 |Y| Z Ys ∂ ∂yj  Dijkl ∂u1 k ∂xl  dy = 0 (2.35)

ser reescrita como: ∂2_u0 k ∂xj∂xl  1 |Y| Z Ys Dijkldy  + ∂ ∂xj  1 |Y| Z Ys Dijkl ∂u1 k ∂yl dy  = −fi (2.36)

Substituindo e desenvolvendo a solução obtida para u1(x, y) da equação 2.29, chega-se em (Hassani e Hinton, 1998a; Porto, 2006):

∂2u0_k ∂xj∂xl  1 |Y| Z Ys Dijkldy  − ∂ ∂xj 1 |Y| Z Ys Dijpq ∂χkl p ∂yq ∂u0_k ∂xl dy ! = −fi (2.37) ∂2_u0 k ∂xj∂xl  1 |Y| Z Ys Dijkldy  − ∂ 2_u0 k ∂xjxl 1 |Y| Z Ys Dijpq ∂χkl_p ∂yq dy ! = −fi (2.38) ∂2u0_k ∂xj∂xl " 1 |Y| Z Ys Dijkldy − Z Ys Dijpq ∂χkl p ∂yq dy !# = −fi (2.39)

A equação 2.39 resulta na seguinte expressão homogeneizada (macroscópica) para u(x):

DH_ijkl∂

2_u0 k(x)

∂xj∂xl

= −fi (2.40)

Correlacionando a equação 2.40 com as equações apresentadas em 2.39 e 2.9, obtemos a expressão abaixo:

DH_ijkl = 1 |Y|

Z

Ys

Dijkl(y) − Dijpq(y)

∂χkl_p(y) ∂yq

!

dy (2.41)

A equação 2.41 representa o tensor homogeneizado das propriedades elásticas, calculado apenas a nível microscópico, para um problema de elasticidade linear.

2.4 Solução Numérica das Equações da Homogeneização

Para a obtenção da solução numérica para a homogeneização, o método dos elementos fi-nitos foi aplicado. Inicialmente, a equação 2.31 do deslocamento microscópico é escrita em sua

forma fraca (variacional). Aplicando o método de elementos finitos, obtém-se o campo de desloca-mentos da célula unitária e, utilizando na equação 2.41, o tensor de elasticidade homogeneizado é determinado.

Multiplicando a equação 2.31 pelos termos de ponderação, obtém-se a seguinte integral pon-derada: Z Ys vi ∂ ∂yj Dijpq(y) ∂χkl_p(y) ∂yq ! dy = Z Ys vi ∂Dijkl(y) ∂yj dy (2.42)

onde vi representa uma função ponderadora arbitrária.

Aplicando o Teorema de Green (integração por partes) na equação 2.42, a forma fraca do problema de elementos finitos é determinada:

" vi Dijpq(y) ∂χkl_p(y) ∂yq !# Ys − Z Ys ∂vi ∂yj Dijpq(y) ∂χkl_p (y) ∂yq ! dy = = [viDijkl(y)]_Ys − Z Ys Dijkl(y) ∂vi ∂yj dy (2.43)

Reorganizando os termos da equação 2.43, tem-se: Z Ys Dijkl(y) ∂vi ∂yj dy − Z Ys ∂vi ∂yj Dijpq(y) ∂χkl p (y) ∂yq ! dy = = [viDijkl(y)]_Ys − " vi Dijpq(y) ∂χkl p (y) ∂yq !# Ys (2.44)

Enfim, sabe-se que os termos do lado direito da equação 2.44 correspondem às condições de contorno naturais do problema. Excluindo as condições de contorno naturais da formulação, a forma fraca do problema local da célula-base pode ser obtida:

Z Ys ∂vi ∂yj Dijpq(y) ∂χkl p (y) ∂yq ! dy = Z Ys Dijkl(y) ∂vi ∂yj dy (2.45)