Método de homogeneização

A análise de estruturas com descontinuidades em diferentes escalas é necessária para mo- delagem do comportamento de materiais heterogêneos. Neste contexto, o método matemático da homogeneização tem sido extensivamente estudado desde os anos 70, a partir de Babuska (1976), para meios heterogêneos utilizando o método de expansão em duas escalas.

Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos para modelagem matemática de estruturas com materiais periódicos foi feito por Bensoussan et al. (1978), no qual foi aplicada a expansão assintó- tica para materiais periódicos. A aplicação dessa teoria implica na passagem, por procedimentos de expansão assintóticas, de uma descrição microscópica para uma descrição macroscópica do com- portamento de um sistema. Para utilizá-la, o tamanho característico da heterogeneidade periódica da microestrutura deve ser muito menor do que o tamanho da região na qual o sistema é estudado. Sanchez-Palencia (1980) aplicou também o rigoroso fundamento matemático da expansão assintó- tica para estruturas heterogêneas periódicas, porém abordando principalmente a teoria da vibração em modelos multiescalas. Outros trabalhos, como o de Cioranescu e Paulin (1979), também desen- volveram relevantes contribuições para a compreensão desses modelos.

Posteriormente, com o avanço do desempenho computacional no decorrer dos anos, uma análise de elementos finitos foi aplicada a materiais modelados pela teoria da homogeneização em Guedes e Kikuchi (1990). Nesse trabalho, foi solucionado o problema de homogeneização para a elasticidade plana e foi gerado um algoritmo de pré e pós-processamento das propriedades elásticas dos materiais.

Hassani e Hinton (1998a) e Hassani e Hinton (1998b) fazem uma revisão do método da ho- mogeneização. Com base no trabalho de Guedes e Kikuchi (1990), as equações de homogeneização e a solução destas a partir do método de elementos finitos são apresentadas. Um programa para de- terminação dos módulos elásticos efetivos de materiais idealizados sob estado plano de tensão e com microestrutura bilateralmente simétrica é construído.

Usando diretamente o conceito de homogeneização, foram desenvolvidos trabalhos de oti- mização topológica no grupo do Departamento de Mecânica Computacional da UNICAMP. Destacam-se os trabalhos de Porto (Porto, 2006; Porto e Pavanello, 2007), nos quais se usou uma estrutura elástica periódica com inclusões retangulares, e os trabalhos de Silva Junior (Silva Ju-

nior, 2007; Silva Junior e Pavanello, 2010; Silva e Pavanello, 2010), em que se usou a teoria da homogeneização aplicada em sistemas poroacústicos.

1.2.2 Otimização topológica estrutural

A otimização topológica estrutural busca alcançar o melhor desempenho de uma estrutura, satisfazendo várias restrições como, por exemplo, uma certa quantidade de material. Esse campo tem sido amplamente estudado nas últimas décadas e é responsável pelo grande avanço atual do projeto mecânico em diversas aplicações industriais.

Inicialmente, Cheng e Olhoff (1981) introduziram o conceito de microestrutura para otimiza- ção estrutural estudando o projeto da espessura ótima de uma placa sólida elástica para minimizar a flexibilidade média. Combinando a otimização de forma com o método da homogeneização, Bend- soe e Kikuchi (1988) implementaram a otimização topológica a partir da homogeneização e esta- beleceram uma nova base para a otimização topológica estrutural. O modelo de material cuja célula unitária é quadrada com vazios retangulares centrais é introduzido na formulação do problema de otimização. A ideia é, a partir do tamanho do vazio retangular na célula-base de cada elemento, cal- cular uma densidade intermediária de material para cada região da estrutura. Utilizando o método introduzido por Bendsoe e Kikuchi (1988), Suzuki e Kikuchi (1991) aprofundaram a otimização topológica e de forma para estruturas elásticas planas.

Posteriormente, Hassani e Hinton (1998c) implementaram um algoritmo de otimização topo- lógica baseado no método de homogeneização aplicados a problemas de minimização da energia potencial total da estrutura. Para análise estática e utilizando um novo critério de otimalidade de atualização das variáveis de projeto, o algoritmo é validado e mostra-se que os exemplos numéricos obtidos apresentam rápida convergência e uma topologia similar aos trabalhos anteriores.

Mais recentemente, Porto (2006) realizou uma revisão da metodologia de otimização topoló- gica baseada na homogeneização, baseado no trabalho de Hassani e Hinton (1998c). Um algoritmo foi implementado visando à maximização da rigidez para carregamentos pontuais e peso próprio, e à maximização da frequência natural.

Outro modelo de material usado na otimização topológica amplamente estudado e que apre-

senta inúmeras aplicações se chama material sólido isotrópico com penalidades (SIMP - Solid Isotropic Material with Penalization). Alguns primeiros trabalhos publicados deste método foram feitos por Bendsoe (1989), Rozvany et al. (1992) e Zhou e Rozvany (1991). Este método consiste na utilização de uma variável de projeto contínua, que representa uma pseudo-densidade do ma- terial. Portanto, materiais intermediários (em escala de cinza) podem estar presentes na topologia final, dificultando a interpretação da topologia e causando problemas para definição do contorno estrutural. Esta dificuldade é geralmente solucionada usando técnicas de penalização e filtragem adequadas. Uma abordagem mais completa do método, contendo estudos realizados dessa teoria e das várias aplicações possíveis, é apresentada por Bendsoe e Sigmund (2004).

Diferentemente dos métodos de otimização topológica baseados na homogeneização e no modelo SIMP que apresentam pseudo-densidades, o método de otimização estrutural evolucionária (ESO - Evolutionary Structural Optimization), proposto por Xie e Steven (1993), utiliza variáveis de projeto discretas (sólido ou vazio) para definição da topologia. Essa metodologia foi desenvol- vida baseada no simples conceito de remoção gradual do material ineficiente de uma estrutura, de forma que a topologia resultante evolua para um ponto ótimo (Xie e Steven, 1997). Devido a al- guns problemas de instabilidades numéricas, como dependência da malha e tabuleiros de xadrez na topologia final, uma adaptação do método ESO foi desenvolvida por Huang e Xie (2007), chamada de BESO (bi-directional ESO). O BESO permite tanto a remoção, quanto a adição de material no domínio de projeto ao longo do processo de otimização (Huang e Xie, 2009). Ao longo dos anos, mostrou-se que o método BESO é ferramenta computacional capaz de ser aplicada a diver- sos campos de engenharia e de gerar estruturas similares a outros métodos clássicos de otimização topológica (Huang e Xie, 2010).

Uma abordagem de otimização topológica alternativa pode ser feita através do método Level Set, que também foi desenvolvido nas ultimas décadas. Os trabalhos de Sethian e Wiegmann (2000), Allaire et al. (2002) e Wang et al. (2003), entre outros, apresentaram as formulações básicas do método Level Set e o aplicaram a exemplos numéricos clássicos.

A literatura destes métodos é muito extensa e não será detalhada nesta breve revisão, na qual são apenas mencionados alguns marcos destas áreas de trabalho.