UNIVERSIDADE DE LISBOA
I
Faculdade de Ciências DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA12 ANO
oNúmeros Complexos
Resolução dos Exercícios
Armando Machado
2004
REANIMAT
1) Pela fórmula do cubo duma soma, podemos escrever ÐC Ñ œ C $ ‚ C ‚ Ð Ñ $ ‚ C ‚ Ð Ñ Ð Ñ œ, , , , $ $ $ $ œ C , C , C , $ #( $ $ # # $ $ # # $ e, analogamente, tem-se ÐC Ñ œ C , #,C , $ $ * # # #.
Utilizando estas duas igualdades, obtemos assim
ÐC Ñ ,ÐC Ñ -ÐC Ñ . œ, , , $ $ $ œ C , C , C , , C #, C , -C , - . œ $ #( $ * $ œ C Ð, -Ñ C Ð# , , - .Ñ $ #( $ $ # $ # # $ # # $ $ # $ ,
expressão que pode ser escrita na forma C : C ;$ , desde que se defina : œ , - e
$ # ; œ # ,#($ , -$ .. 2) a)Podemos escrever E œ ; ; : # % #( F œ ; ; : # % #( $ # $ $ # $ Ê Ê , ,
pelo que, somando as duas expressões, vemos que se tem efectivamente E F œ $ $ ; ; œ ;.
# #
b) O que é preciso aqui é reparar que, tendo em conta a fórmula bem conhecida para a diferença de dois quadrados, tem-se
Ð ; ; : Ñ Ð ; ; : Ñ œ # % #( # % #( œ Ð Ñ Ð; ; : Ñ œ # % #( œ ; Ð; : Ñ œ : % % #( #( Ê Ê Ê # $ # $ # # $ # # # $ $ ‚ . Podemos agora notar que se tem
EF œ ; ; : ; ; : # % #( # % #( œ Ð ; ; : Ñ Ð ; ; : Ñ œ # % #( # % #( œ : œ : #( $ Ë Ê Ë Ê Ë Ê Ê Ê $ $ $ $ # $ # $ # $ # $ $ ‚ ‚ .
c) Pela fórmula que nos dá o cubo duma soma, vem
ÐE FÑ œ E $ E F $E F F œ E F $EFÐE FÑ œ œ ; :ÐE FÑ
$ $ # # $ $ $
e portanto
ÐE FÑ :ÐE FÑ ; œ !$ ,
o que mostra que E F é realmente uma solução da equação do terceiro grau C :C ; œ !$ .
3) a) Temos neste caso : œ $ ; œ # e , pelo que a fórmula de Cardano dá-nos a solução
É$ È É$ È
" " " " " " œ " " œ #.
Concluímos que é certamente uma solu# ção da equação, o que pode, evidentemente, ser também verificado por substituição directa.
b) Como sabemos, uma vez que o polinómio B $B #$ admite a raíz , ele deve ser divisível por# B #. Se efectuarmos a divisão pelo nosso método preferido (algoritmo da divisão ou regra de Rufini), vemos que
B $B #
B # œ B #B "
$
# .
A equação B $B # œ !$ pode assim ser escrita na forma ÐB #ÑÐB #B "Ñ œ !# e portanto as suas soluções são e as soluções da equação # B #B " œ !# . Estas últimas podem ser obtidas pela fórmula resolvente da equação do segundo grau, sendo assim iguais a
# „ % % # „ !
# œ # œ "
È
(estamos portanto no caso em que a equação do segundo grau tem uma única raíz).
c) Utilizando a calculadora gráfica para esboçar o gráfico do polinómio B $B #$ , obtemos uma figura como a seguinte onde aparece a solução , um ponto em que a função é crescente, e a solução#
", um ponto em que a função atinge um máximo relativo.
1 1
4) a) Utilizando a calculadora, obtemos o resultado aproximado
Ë$ È Ë$ È
# "! $ # "! $ ¸ !Þ%##'& "Þ&(($& ¸ #
* * .
b) O valor obtido na calculadora não nos dá a certeza absoluta de que a solução tem o valor exacto #, embora seja psicologicamente difícil não ficarmos convencidos disso. Podia perfeitamente acontecer que, ao utilizarmos mais casas decimais, aquela soma desse, por exemplo,
#Þ!!!!!!!!!!!!!!!!!(&'%$"ÞÞÞ c) Utilizando a fórmula para o cubo de uma soma, vemos que
Ð" $Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ $ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $Ñ Ð $Ñ œ $ $ $ $ œ " $ $ ‚ $ #( œ # $ $ $ œ # "! $ * #( #( * È È È È È È È È È $ $ # # $ e, analogamente, Ð" $Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $Ñ Ð $Ñ œ $ $ $ $ œ " $ $ ‚ $ #( œ # $ $ $ œ # "! $ * #( #( * È È È È È È È È È $ $ # # $ , o que nos permite concluir os valores exactos
Ë È È Ë È È $ $ # "! $ œ " $ * $ # "! $ œ " $ * $ .
Somando os resultados ficamos assim com a garantia do valor exacto
Ë$ È Ë$ È È È
# "! $ # "! $ œ Ð" $Ñ Ð" $Ñ œ #
* * $ $ .
5) Na primeira demonstração utilizámos:
1) A propriedade associativa da adição (que está implícita quando escrevemos sem parênteses uma soma de três termos e olhamos para ela com a ordem das adições considerada das duas diferentes maneiras).
2) A definição de D e o facto de ser elemento neutro da multiplicação." 3) A propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição. 4) O facto de ser um elemento absorvente da multiplicação.!
5) O facto de ser elemento neutro da adição.!
Na segunda demonstração utilizámos as mesmas propriedades, embora não pela mesma ordem.
6) Se A D œ A Dw , podemos somar a ambos os membros D para obter sucessivamente A D ÐDÑ œ A D ÐDÑ A ! œ A ! A œ A w w w.
7) Uma vez que D ‚ A D ‚ Aw é o único complexo que somado com D ‚ Aw dá D ‚ A, para vermos que este complexo é igual a D ‚ ÐA A Ñw tudo o que temos de fazer é experimentar quanto é a soma de D ‚ ÐA A Ñw com D ‚ Aw. Ora, tem-se
D ‚ ÐA A Ñ D ‚ A œ D ‚ ÐA A A Ñ œ D ‚ ÐA !Ñ œ D ‚ Aw w w w , como queríamos.
8) a) Sabemos que, por hipótese, 3 œ 3 ‚ 3 œ "# . Tem-se assim também
Ð3Ñ œ Ð" ‚ 3Ñ ‚ Ð" ‚ 3Ñ œ Ð"Ñ ‚ Ð"Ñ ‚ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 ‚ 3 œ "# .
b) Se multiplicarmos um número cujo quadrado seja por um número cujo quadrado seja * ", obtemos um número cujo quadrado é Ð"Ñ ‚ * œ *. Concluímos assim que (tal como $3 $3) é uma raíz quadrada de *. Mais geralmente, se é um número real arbitrário, ou + + !, e já sabemos que tem raíz quadrada, ou + ! e então pode-se escrever + œ ,, com , ! e tem-se
ÐÈ, 3Ñ œ Ð# È,Ñ ‚ 3 œ , ‚ Ð"Ñ œ , œ +# # , o que mostra que tem efectivamente raíz quadrada.+
9) a) + œ1e , œ ! b) + œ ! , œ #e Tem-se , portanto e . c) Ð" #3Ñ Ð# 3Ñ œ " 3 + œ " , œ " d)Tem-se Ð" #3Ñ ‚ Ð" $3Ñ œ Ð" $3Ñ #3Ð" $3Ñ œ " $3 #3 '3 œ œ " 3 ' œ ( 3 # , pelo que + œ ( , œ " e . e)Tem-se Ð" 3Ñ œ " # ‚ " ‚ 3 3 œ " #3 " œ #3# # # ,
pelo que + œ ! e , œ # (“de caminho”, descobrimos que um número imaginário puro também pode ter raíz quadrada).
Reparando que , vem
f) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3$ # Ð" $3Ñ œ Ð"Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $3Ñ $ ‚ Ð"Ñ ‚ Ð $ 3Ñ Ð $ 3Ñ œ œ " $ $ 3 * $ $ 3 œ ) È È È È È È $ $ # # $ $ ,
pelo que + œ ) , œ ! e (“de caminho” descobrimos que tem outra raíz cúbica, além de ).) #
10) a)3 œ 3 ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3$ # . . b) 3 œ 3 ‚ 3 œ 3 ‚ 3 œ "% $ . c) 3 œ 3) #‚% œ Ð3 Ñ œ " œ "% # # . d) 3 œ 3#& '‚%" œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ 3 œ 3% ' ' . e) 3"!# œ 3#&‚%# œ Ð3 Ñ ‚ 3 œ " ‚ Ð"Ñ œ "% #& # #&
. f) 3#!!$ œ 3#&!‚%$ œ Ð3 Ñ% #&!‚ 3 œ "$ #&!‚ Ð3Ñ œ 3
Reparando nos exemplos anteriores, descobrimos facilmente qual a regra que pode ser seguida em geral: Se é múltiplo de , então 8 % 3 œ "8 . Para um número natural qualquer, podemos8 efectuar a divisão inteira de por quatro e considerar o resto desta divisão, que pode ser , , ou8 < ! " # $; tem-se então que é a soma do resto com um múltiplo de , pelo que 8 < % 3 œ 38 <. Todas as potência de são assim iguais a uma das potências 3 3 œ " 3 œ 3 3 œ " 3 œ 3! , " , # e $ .
11) Queremos descobrir números reais Bß C tais que B C 3 seja uma raíz quadrada de "# È#$3, ou seja, tais que ÐB C 3Ñ œ# " 3. Uma vez que
# # $ È
ÐB C 3Ñ œ B ÐC 3Ñ # B C 3 œ ÐB C Ñ # B C 3# # # # # , somos assim reduzidos a procurar as soluções reais do sistema de equações
B C œ# B C œ # # " # $ # È .
A segunda equação é equivalente a C œ È$%B pelo que, substituindo este valor de na primeiraC equação, ficamos reduzidos a procurar que verifique a equaçãoB
B $ œ " "' B #
#
#
Multiplicando ambos os membros da equação por "'B#, ficamos reduzidos a procurar as sioluções não nulas da equação
"' B $ œ ) B% #, ou ainda
"' B ) B $ œ !% # .
Apesar de se tratar de uma equação do quarto grau, ela é facilmente redutível a uma equação do segundo grau, fazendo a substituição A œ B#. Procuramos então as soluções positivas da equação
"' A )A $ œ !#
e, utilizando a fórmula resolvente das equações do segundo grau, constatamos que existe uma única solução positiva,
A œ ) '% "*# œ ) "' œ $
$# $# %
È
, à qual vão corresponder dois valores possíveis para ,B
B œ „ $ œ „ $
% #
Ê È .
Ao valor B œ È#$ fica a corresponder o valor C œ È%B$ œ #" e ao valor B œ È#$ fica a corresponder o valor C œ È%B$ œ "#. Concluímos finalmente que #" È#$3 admite as duas raízes quadradas
È$ " È$ " # #3, # #3.
12) a) Uma vez que D Á ! e A Á !, sabemos que D A Á !. Uma vez que ÐDAÑ" é o único número complexo que multiplicado por D A dá , para vermos que " ÐDAÑ" œ D A" ", tudo o que temos que fazer é calcular o produto de D A" " por DA e verificar se dá efectivamente . Ora," tem-se
ÐD A ÑDA œ D DA A œ " ‚ " œ "" " " " , como queríamos.
Para a fórmula é verdadeira, uma vez que . Supondo que ela b) 8 œ " ÐD Ñ" " œ D" œ ÐD Ñ" "
é verdadeira para um certo , vemos que, com 8 8 " no lugar de tem-se ainda8 ÐD8" "Ñ œ ÐD ‚ DÑ8 " œ ÐD Ñ8 "‚ D" œ ÐD Ñ ‚ D" 8 " œ ÐD Ñ" 8".
13) A ideia é semelhante à do exercício anterior: Para verificarmos que A A ‚ D
D œ D ‚ D
w w ,
basta verificar que, multiplicando por A , obtemos . Ora, tem-se
D D ‚ Dw A ‚ Dw
A A
D ‚ ÐD ‚ D Ñ œ ÐD ‚ DÑ ‚ D œ A ‚ D
w w w.
Nota: Por vezes é preciso fazer várias tentativas para se conseguir obter de modo simples um resultado. Também podíamos ter pensado em verificar que, multiplicando A‚D por , se obtém e
D‚D
w
w D A
aí a solução não era tão simples. Uma boa ideia para quando um caminho que se está a seguir conduz a dificuldades é tentar um caminho alternativo.
14) a) " 3 Ð" 3ÑÐ# 3Ñ # 3 #3 3 " $3 " $ # 3 œ Ð# 3ÑÐ# 3Ñ œ # 3 œ % " œ & &3 # # # . b) " #3 Ð" #3Ñ ‚ Ð3Ñ 3 # 3 3 œ 3 ‚ Ð3Ñ œ " œ # 3 # .
15) a) Uma vez que o produto de dois números diferentes de nunca é , vemos, em particular,! ! que, se D Á !, então D œ D ‚ D Á !# . O número não pode ter assim nenhuma raíz quadrada! diferente de e, de facto, é uma raíz quadrada, uma vez que ! ! ! œ ! ‚ ! œ !# .
Consideremos então e suponhamos que é uma raíz quadrada de , ou seja, que
b) D Á ! A D
A œ D# . Então A é também uma raíz quadrada de , uma vez queD ÐAÑ œ Ð"Ñ ‚ A œ A œ D# # # #
e trata-se de uma raíz quadrada diferente de , uma vez que não é (A A ! ! œ !# ). Poderia haver mais alguma raíz quadrada, além de e A A? Vamos verificar que não! Seguindo a sugestão, se fosse? uma raíz quadrada qualquer de , tinha-se D ? œ D# , ou seja, ? D œ !# . Mas então
! œ ? D œ ? A œ Ð? AÑÐ? AÑ# # # ,
pelo que, pela regra de anulamento dum produto, ou ? A œ !(isto é, ? œ A), ou ? A œ ! (isto é, ? œ A). Não pode assim existir mais nenhuma raíz quadrada, além de e de A A.
O que nos é proposto é que tentemos fazer com um número complexo arbitrário c)
D œ + ,3, o que fizémos no exercício 11 com o número complexo " 3. Vamos assim tentar
# # $ È
mostrar que, dados e , existe sempre um número complexo + , B C3 tal que ÐB C3Ñ œ + ,3# . Uma vez que, como naquele exercício, ÐB C 3Ñ œ ÐB C Ñ # B C 3# # # , ficamos reduzidos a mostrar que existem Bß C que verificam o sistema de equações
Para prosseguirmos como no exercício já resolvido convirá supor que , Á ! para podermos afirmar que a segunda equação é equivalente a C œ #B, . O facto de termos de supor que , Á ! não levanta problemas, uma vez que, quando , œ !, o número complexo é real e já verificámos que todos osD números reais, positivos ou não, têm raíz quadrada no quadro dos números complexos. Fazendo a substituição C œ #B, na primeira equação, ficamos reduzidos a mostrar a existência de tal queB
B , œ + %B
# # # ,
ou seja, multiplicando ambos os membros por %B#, a existência de B Á ! tal que %B , œ %+B% # #,
equação que pode ser posta na forma
%B %+B , œ !% # # .
Como antes, pondo A œ B#, basta-nos encontrar uma solução positiva da equação do segundo grau %A %+A , œ !# # ,
solução que existe efectivamente e é igual a
%+ "'+ "', + + ,
) œ #
È # # È # #
.
Podemos então garantir que D œ + ,3 admite como raíz quadrada o número complexo B C3, com B œ + + , # C œ , œ , #B # Ë È É # # + + , # È # #
(não é uma expressão muito bonita, mas só queríamos ter a certeza de que havia solução…). É claro que também admite a raíz quadrada D B C3.
16) a) É verdade: Se ÈD representa um dos números complexos cujo quadrado é , então oD quadrado de ÈD é certamente .D
Não sabemos se é verdadeiro ou falso: Apesar de ser um dos números cujo quadrado é
b) D
D D#, tem também a mesma propriedade e não sabemos se ÈD# é ou é D D.
É verdade: Sabemos que é um dos dois números cujo quadrado é e que esses dois
c) È" "
números são e 3 3; podemos assim garantir que È" œ 3 ou È" œ 3, apesar de não sabermos qual das duas coisas acontece.
É falso: O quadrado de é , e não .
17) e e x y O 1-2i -2+i 1 i
18) O vector corresponde ao número complexo Ä? $# 3"# , o vecto corresponde ao númeroÄ@ complexo (real) "# e o vector corresponde ao número complexo ÄA 3"# . Os pontos do plano que são afixos destes números complexos são as extremidades dos vectores quando estes não colocados na posição representada na figura.
19)
O
e
e
z
x y z+2 z-i -(3/2)z 20ÑO
e
e
x y P Q z-w z-w21) a) São os números reais.
Os pontos do eixo das abcissas são exactamente aqueles que coincidem com os seus b)
simétricos relativamente a este eixo. São os imaginários puros. c) 22) a)l" 3l œ È" Ð"Ñ œ# # È#. . b) l$ %3l œÈ$ Ð%Ñ œ# # È#& œ & . c) l3l œÈ! " œ "# #
(para os números reais o módulo é o já conhecido). d) l#l œ #
23) a) Sendo D œ + ,3, com e números reais, tem-se + , D œ + ,3, e portanto D œ + ,3 œ D.
b)Tem-se
lDl œ ÈD ‚ D œÈD ‚ D œ lDl.
Outra maneira de chegar à mesma conclusão é reparando que, se D œ + ,3, então D œ + ,3, portanto
lDl œ È+ Ð,Ñ œ# # È+ , œ lDl# # .
Para verificarmos que o conjugado de é igual a , basta verificar que o conjugado de
c) " " "
D D D
multiplicado por dá . Ora,D "
Ð Ñ ‚ D œ" " ‚ D œ " œ "
D D .
Um processo alternativo, que acabaria por dar um pouco mais de trabalho, consiste em partir de D œ + ,3, com +ß , −‘, e calcular na forma algébrica e ."D "D
d)Tem-se
l l ‚ lDl œ l ‚ Dl œ l"l œ "" "
D D .
24) Uma tentativa directa de provar este resultado consiste em partir da forma algébrica dos números complexos, D œ + ,3 e A œ - .3 e, reparando que D A œ Ð+ -Ñ Ð, .Ñ3, tentar provar que
ÈÐ+ -Ñ Ð, .Ñ Ÿ# # È+ , # # È- .# #.
Apesar de não ser impossível chegar ao resultado seguindo esta via, trata-se de uma solução que não é fácil de descobrir. De acordo com a sugestão, o que se pretende aqui é dar um argumento geométrico para justificar a nossa desigualdade. Uma vez que o afixo vectorial da soma de dois números complexos é a soma dos respectivos afixos vectoriais e que o módulo de um número complexo é igual ao comprimento (norma) do seu afixo vectorial, podemos “esquecer” os números complexos e mostrar simplesmente que o comprimento da soma de dois vectores é sempre menor ou igual à soma dos respectivos comprimentos. Recordemos o método gráfico de obter a soma de dois vectores:
z+w
z w
A
B
C
Dizer que o comprimento de D A é menor ou igual à soma dos comprimentos de e de D A corresponde a dizer que a distância de a é menor ou igual à soma das distâncias de a e deE G E F F a e isso resulta da conhecida propriedade dos triângulos: Qualquer lado é menor que a somaG dos outros dois.
Há uma coisa que pode parecer estranho: Se qualquer lado é menor que a soma dos outros dois porque é que não dissémos simplesmente que “o módulo da soma é menor que a soma dos módulos” e tivémos o cuidado de utilizar mais prudentemente a expressão “menor ou igual”, em vez de “menor”? O que se passa é que pode acontecer que os vectores e tenham a mesmaD A direcção e, nesse caso, os pontos Eß Fß G não determinam um triângulo por estarem os três sobre uma mesma recta. Nesse caso, se está entre e ,F E G
A
B
C
a distância de a é mesmo igual à soma das distâncias de a e de a e, quando nãoE G E F F G F está entre e ,E G
A
C
B
a distância entre e é igual à diferença entre a maior e a menor das outras duas distâncias, eE G portanto é novamente menor que a soma destas. Em todas as hipóteses, a distância de a éE G menor ou igual à soma das distâncias de a e de a .E F F G
25) Uma vez que o módulo de um número complexo é igual à distância do seu afixo à origem, o conjunto em questão vai ser a circunferência de centro na origem e raio 2.
1
26) a) Uma vez que lD 3l é a distância entre os afixos de e de , o conjunto pedido éD 3
1 i
A condição é que a distância do afixo de ao afixo de deve ser menor ou igual a .
b) D 3 "
Obtemos assim o conjunto
1
-i
Procuramos os pontos do plano que estão à mesma distância dos afixos de e de ,
c) "# 3
1 -1/2
i
Temos aqui a intersecção da circunferência de centro no afixo do ponto e raio com um
d) " "
dos semi-planos abertos determinados pela recta dos pontos equidistantes dos afixos dos complexos ! " 3 e :
1 1+i
0
Temos aqui a união do círculo de centro na origem e raio com a circunferência de centro
e) "
no afixo de e raio :3 "
1
Temos aqui a intersecção de dois semi-planos fechados, um limitado pela recta dos pontos f)
de 3 e de :"
1 i
-i
27) Para a figura 11, podemos considerar a condição lD "l Ÿ " • lDl ". Para a figura 12 podemos considerar a condição
lD "l Ÿ " ” lDl Ÿ ".
Na figura 13, temos a intersecção de dois semiplanos fechados e já sabemos que um tal semi-plano pode ser caracterizado como o conjunto dos pontos cuja distância a um ponto conveniente é menor ou a igual à distância a outro ponto conveniente (há várias escolhas possíveis para os dois pontos: O que é preciso é que a recta que delimita o semi-plano seja a perpendicular ao meio do segmento definido pelos dois pontos. Para uma das rectas podemos considerar os pontos #3 ! e e para a outra os pontos e 3 3. Obtemos assim a condição
lDl Ÿ lD #3l • lD 3l Ÿ lD 3l.
Se quiséssemos uma condição eventualmente mais bonita, escolhíamos para a segunda recta e#3 #3 e obtínhamos a condição lDl Ÿ lD #3l • lD #3l Ÿ lD #3l, que pode ser escrita, de forma mais compacta,
lDl Ÿ lD #3l Ÿ lD #3l.
Por fim, na figura 14 temos mais uma vez uma intersecção de semi-planos e obtemos, entre outras possibilidades, a condição
lD 3l Ÿ lD 3l • lD "l Ÿ lD 3l,
que pode também ser escrita na forma mais compacta lD "l Ÿ lD 3l Ÿ lD 3l.
28) a) O afixo de é a própria origem dos eixos, pelo que não define uma semi-recta a partir! desta última.
Por exemplo, , ou, mais geralmente, qualquer complexo da forma , com
b) D œ % '3w #> $>3
São os argumentos da forma , com .
c) #51 5 − ™
Por exemplo, e (igual a ). d) !1 !1 !1 #1
Por exemplo, .
e) !
29) a) O número complexo em questão é D œ # ÐcosÐ Ñ 3# senÐ ÑÑ# . Recordando os valores
$1 $1
conhecidos das funções trigonométricas, vemos que cosÐ Ñ œ #$1 cosÐ Ñ œ 1$ #" e senÐ Ñ œ#$1 senÐ Ñ œ1$ È#$, pelo que obtemos, na forma algébrica,
D œ " È .$ 3 Temos o número complexo
b)
D œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ # Ð Ñ # Ð Ñ 3
* * * *
È cos 1 sen 1 È cos 1 È sen 1 ,
pelo que, calculando, com o auxílio da calculadora e com aproximação à milésimas, a parte real e o coeficiente da parte imaginária, temos
D ¸ "Þ$#* !Þ%)% 3.
30) a) Tem-se l" È$ 3l œÉ" Ð# È$Ñ œ# È% œ #. Uma vez que a parte real e o coeficiente da parte imaginária são ambos positivos, os argumentos estão no primeiro quadrante. O co-seno dos argumentos de é igual a , pelo que um dos argumentos possíveis é .! "# 1$
Tem-se . O argumentos estão no segundo quadrante e o
b) l" 3l œ ÈÐ"Ñ " œ# # È#
seno dos argumentos são iguais a " , pelo que um dos argumentos possíveis é $ .
# #
# % %
È œ È 1 1 œ 1
Pensando no afixo de no plano de Argand, concluímos logo que e que é um dos
c) 3 l3l œ " 1#
argumentos.
Pensando no afixo de no plano de Argand, vemos que e que é um dos
argu-d) # l#l œ # 1
mentos.
Tem-se . Quanto a um valor aproximado para um argumento 31) l$ %3l œÈ* "' œ &
!, reparamos que este está no terceiro quadrante e que tanÐ Ñ œ! %$. Ao determinarmos, com o auxílio da calculadora, um ângulo cuja tangente é , esta dá-nos um ângulo do primeiro quadrante.%
$
Podemos então obter um valor aproximado
! œ1 Ð Ñ ¸ %Þ!'*% $ tan" . 32) a) Tem-se D ‚ A œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ ' $ ' $ ' ' ' ' # # œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ 3 # # cos cos cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sen sen sen .
Queremos determinar um complexo que multiplicado por dê . Uma vez que e têm
b) D A D A
ambos módulo , basta-nos achar um complexo de módulo que tenha um argumento que somado" " com o argumento de dê o argumento de . O argumento do complexo procurado pode assim1 1
' D $ A
ser 1 1 1, pelo que
$ ' œ '
A
D œcosÐ Ñ 3' Ð Ñ'
1 1
sen (em particular, vemos que, neste caso, A ).
D œ D
Tem-se sen e sen , pelo que
c) 3 œ cosÐ Ñ 31 Ð Ñ " œ1 cosÐ Ñ 3 Ð Ñ # # 1 1 3D œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ # ' # ' $ $ # # D œ Ð"Ñ ‚ D œ Ð Ñ 3 Ð Ñ œ Ð Ñ 3 Ð Ñ ' ' ' ' ( ( cos cos cos cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sen sen , sen sen . 33) 1 a) 1 b) 1
34) a) Uma vez que " œ " ‚ ÐcosÐ!Ñ 3senÐ!ÑÑ, vem
" " " "
D œ < ÐcosÐ! Ñ 3! senÐ! ÑÑ œ! < ÐcosÐ Ñ 3! senÐÐ ÑÑ œ! <ÐcosÐ Ñ 3! senÐ ÑÑ! .
b)Vem
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð# cosÐ Ñ 3! ! senÐ ÑÑ œ < Ð! ! # cosÐ# Ñ 3! senÐ# ÑÑ! .
c)Vem
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð$ # # cosÐ# Ñ 3! ! senÐ# ÑÑ œ < Ð! ! # cosÐ$ Ñ 3! senÐ$ ÑÑ! .
d)Vem
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð% $ $ cosÐ$ Ñ 3! ! senÐ$ ÑÑ œ < Ð! ! # cosÐ% Ñ 3! senÐ% ÑÑ! .
35) A Fórmula de Moivre é evidentemente verdadeira para 8 œ ". Suponhamos que ela é verdadeira para uma certa potência e verifiquemo-la no caso da potência 8 8 ": Vem
D œ D ‚ D œ < ‚ < ‚ Ð Ð8 Ñ 3 Ð8 ÑÑ œ œ < Ð ÐÐ8 "Ñ Ñ 3 ÐÐ8 "Ñ ÑÑ 8" 8 8 8" cos cos ! ! ! ! ! ! sen sen . 36) a) Tem-se lD l œ $ " œ # lD l œ $ " œ # lD l œ ! % œ # " # $ È È È ,, ,
pelo que os três afixos vão estar sobre a circunferência de raio e centro na origem. Quanto aos# argumentos, podemos escrever
D œ # Ð $ "3Ñ œ # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ # # ' ' D œ # Ð $ "3Ñ œ # Ð Ð& Ñ 3 Ð& ÑÑ # # ' ' D œ # ‚ 3 œ # Ð Ð$ Ñ 3 Ð$ ÑÑ # # " # $ È È cos cos cos 1 1 1 1 1 1 sen , sen , sen ,
pelo que os três complexos admitem respectivamente os argumentos , e . Podemos, a partir1 1 1 ' &' $#
1 z z z 1 2 3 30 150 270 o o o
Utilizando a fórmula de Moivre, obtemos b) D œ ) Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ )3 # # D œ ) Ð Ð& Ñ 3 Ð& ÑÑ œ )3 # # D œ ) Ð Ð* Ñ 3 Ð* ÑÑ œ )3 # # "$ #$ $$ cos cos cos 1 1 1 1 1 1 sen sen sen
Suponhamos que é uma raíz cúbica de e seja o módulo de e o argumento de
c) D )3 < D ! D
que pertence ao intervalo Ò!ß # Ò1. Tem-se assim que D œ < ÐcosÐ Ñ 3! senÐ ÑÑ! e portanto, pela fórmula de Moivre,
)3 œ D œ < Ð$ $ cos !Ð$ Ñ 3senÐ$ ÑÑ! ,
o que mostra que < œ )$ (o módulo de ), donde )3 < œ #, e que $! é um dos argumentos de . Mas)3 $! pertence ao intervalo Ò!ß ' Ò1 e os argumentos de neste último intervalo são , )3 1 1 # œ1 1 e
# # # &
1 1 1 1 1
# % œ1 *# . Concluímos assim que $! tem que ser um dos três números , e , e portanto # &# *# !
tem que ser um dos três números , e , donde se pode concluir que é uma das três raízes ,1 1 1 ' ' '
& *
"
D D
D# e consideradas anteriormente.D$
37) a) Ponhamos a raíz quadrada procurada na forma D œ < Ðcos !Ð Ñ 3senÐ ÑÑ! , com no! intervalo Ò!ß # Ò1. Tem-se assim D œ < Ð# # cosÐ# Ñ 3! senÐ# ÑÑ! e pretendemos que se tenha
D œ " $3 œ Ð Ñ 3 Ð Ñ
# # $ $
# È cos 1 sen 1 .
Tem-se assim < œ "# , portanto < œ ", e #! deve ser um dos argumentos de cosÐ Ñ 31$ senÐ Ñ1$ no intervalo Ò!ß % Ò1. Estes últimos são e 1$ 1$ # œ1 ($1, pelo que obtemos dois valores possíveis para !, a saber, e . Concluímos assim que 1' ('1 #" È#$3 tem duas raízes quadradas:
cos cos Ð Ñ 3 Ð Ñ œ 3 ' ' # # $ " Ð( Ñ 3 Ð( Ñ œ $ "3 ' ' # # 1 1 1 1 sen , sen . È È
Ponhamos a raíz quarta procurada na forma sen , com no intervalo
b) D œ < Ðcos !Ð Ñ 3 Ð ÑÑ! !
Ò!ß # Ò1 . Tem-se assim D œ < Ð% % cosÐ% Ñ 3! senÐ% ÑÑ! e pretendemos que se tenha D œ % œ % Ð% cos 1Ð Ñ 3senÐ Ñ1 .
Tem-se assim < œ %% , portanto < œÈ#, e %! deve ser um dos argumentos de cosÐ Ñ 31 senÐ Ñ1 no intervalo Ò!ß ) Ò1. Estes últimos são , , e , pelo que obtemos quatro valores possíveis para1 $1 &1 (1 !, a saber, , , e . Concluímos assim que 1% $%1 &%1 (%1 % tem quatro raízes quartas:
È È È È # Ð Ð Ñ 3 Ð ÑÑ œ 3 % % # # " " # Ð Ð$ Ñ 3 Ð$ ÑÑ œ " "3 % % # # # Ð Ð& Ñ 3 Ð& ÑÑ œ " "3 % % # # # Ð Ð( Ñ 3 Ð( ÑÑ œ " "3 % % # # cos cos cos cos 1 1 1 1 1 1 1 1 sen , sen , sen , sen .
Como nas alíneas anteriores, uma vez que sen , as raízes sétimas
c) 3 œ cosÐ Ñ 31# Ð Ñ1#
procuradas são os sete números da forma cosÐ Ñ 3! senÐ Ñ! com a tomar um dos sete valores ,! "%1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
"% #( , "% %( , "% '( , "% )( , "% "!( e "% "#( . Utilizando a calculadora, obtemos assim,
com as aproximações pedidas,
D ¸ !Þ*(& !Þ##$ 3 D ¸ !Þ%$% !Þ*!" 3 D ¸ !Þ%$% !Þ*!" 3 D ¸ !Þ*(& !Þ##$ 3 D ¸ !Þ()# !Þ'#$ 3 D ¸ 3 D ¸ !Þ()# !Þ'#$ 3 " # $ % & ' ( , , , , , , , que podem ser representados no plano de Argand:
1 Z Z Z Z Z Z Z 2 1 3 4 5 6 7
38) a) Uma vez que as raízes sextas se situam na mesma circunferência de centro na origem que passa pelo ponto dado e constituem um hexágono regular, construímos sucessivamente essasD"
em cada um dos pontos entretanto determinados
1
O
z
z
z
z
z
z
1 2 3 4 5 6A semi-recta procurada é determinada pelos pontos que admitem um argumento igual a b)
seis vezes um argumento do ponto . Para determinar essa semi-recta basta procurar o ponto destaD"
que está na circunferência de centro na origem que passa por e isso pode ser feito determinandoD"
sucessivamente pontos desta circunferência a uma distância dos imediatamente anteriores igual à distância de ao ponto da circunferência que está no semi-eixo positivo das abcissas.D"
1
O
z =w
w
w
w
w
w
1 1 2 3 4 5 639) a) Não podemos: Por exemplo, argÐ3Ñ œ 1# e, apesar de 1# ser um dos argumentos de 3 œ 3, tem-se, de acordo com a nossa convenção, argÐ3Ñ œ $ .
#1
Não há maneira de conseguirmos que a igualdade seja verdadeira para
b) argÐDÑ œ argÐDÑ
na definição da função “argumento”. Se tivéssemos escolhido um dos intervalos Ò ß Ò1 1 ou Ó ß Ó1 1 , a igualdade ficava verdadeira para muitos valores de , mas nunca conseguimos que fiqueD verdadeira para todo o , uma vez que, quando é um número real negativo, tem-se D D D œ D e, portanto, argÐDÑ œargÐDÑ Á argÐDÑ (reparar que o único número real que coincide com os seu simétrico é , mas não é argumento dos números reais negativos).! !
40) Mais uma vez, não podemos garantir que esta igualdade seja sempre verdadeira. O que se passa é que tanto argÐDÑ como argÐDÑ estão no intervalo Ò!ß # Ò1 mas a sua soma já pode ser maior que e, nesse caso, essa soma não é certamente #1 argÐD ‚ AÑ. Por exemplo argÐ"Ñ œ1 e argÐ3Ñ œ $#1 mas argÐÐ"Ñ ‚ Ð3ÑÑ œ argÐ3Ñ œ 1# é diferente de argÐ"Ñ argÐ3Ñ œ . O que se pode dizer é que, se argÐDÑ argÐAÑ #1, então argÐDÑ argÐAÑ œ argÐD AÑ.
41) a) Tem-se D Ä "8 , uma vez que a parte real de é constantemente igual a , e portantoD8 " converge para , e que o coeficiente da parte imaginária de é igual a " D8 8", e portanto converge para . Uma vez que o afixo de está no terceiro quadrante, o seu argumento ! D8 !8 está entre e $#1 #1 e tem-se tgÐ!8Ñ œ " œ 8", pelo que, uma vez que a função tg aplicada a um número negativo"
" 8
está ente 1# e , vem ! argÐD Ñ œ8 !8œ # 1 tg"Ð Ñ Ä #8" 1, que é diferente de argÐ"Ñ œ !.
Qualquer que seja o intervalo de comprimento , fechado numa das extremidade e aberto
b) #1
na outra, que utilizemos na definição da função argumento, vamos sempre ter complexos não nulos onde a função “argumento” não fica contínua (aqueles cujo argumento é a extremidade fechada do intervalo). Por exemplo, se escolhêssemos o intervalo Ó ß Ó1 1 na definição da função, a quebra de continuidade era detectada por qualquer sucessão a convergir, por exemplo, para 1 por complexos com afixos no terceiro quadrante, uma vez que os argumentos iam convergir para 1 e o argu-mento de " 1 é .
42) a)
1
b)
43) As raízes de índice de um número complexo são exactamente os números complexos 8 A D raízes do polinómio D A8 , de grau .8
44) A equação +B ,B - œ !# , com + Á ! é equivalente à equação B , B - œ !
+ +
# .
Para resolvermos esta equação o truque é tentar comparar o primeiro membro da equação com o quadrado duma soma ÐB Ñ? , que sabemos ser igual a # B # B # ? ? , pelo que, para obtermos o#
mesmo monómio do primeiro grau em dava jeito que fosse ?B # œ ,+. Tomamos então como termo ? a expressão , ou seja, comparamos o primeiro membro da equação com o desenvolvimento de,
#+
ÐB #+, Ñ#, que é B # ,+B %+,# . A equação pode então ser escrita de forma equivalente # ÐB , Ñ , - œ ! #+ %+ + # # # , ou ainda ÐB , Ñ œ , %+-#+ %+ # # # ,
condição que é equivalente a
B , œ „ , %+-#+ #+ È # , ou seja, a B œ , „ , %+-#+ È # .
45) 1) A alínea a) pode ser resolvida do mesmo modo que no quadro dos números reais. A alínea b) é que levanta problemas. Com efeito, o que podemos deduzir é que, uma vez que
E œ ; ; : # % #( F œ ; ; : # % #( $ # $ $ # $ Ê Ê , , tem-se ÐEFÑ œ E F œ Ð Ñ Ð; ; : Ñ œ ; ; : œ Ð Ñ: # % #( % % #( $ $ $ $ # Ê # $ # # # $ $,
e portanto EF é uma das raízes cúbicas de Ð Ñ:$ $. Isso não quer dizer, no entanto, que EF tenha que ser :$, porque existem três raízes cúbica complexas de Ð Ñ:$ $ e :$ é apenas uma delas. Quando trabalhávamos no contexto dos números reais este problema não aparecia, uma vez que um número real tem apenas uma raíz cúbica.
Tal como fizémos em 1), reparemos que se tem 2)
Ð ; ; : Ñ ‚ Ð ; ; : Ñ œ :
# Ê % #( # Ê % #( #(
# $ # $ $
.
Seja então uma das raízes cúbicas de E ;# É;%# :#($ e, em vez de definirmos, como anterior-mente, como sendo uma das raízes cubicas de F ;# É;%# #(:$, definamos, em vez disso
F œ : $E,
o que só faz, evidentemente, sentido no caso em que E Á !. Apesar de não termos definido comoF sendo uma das raízes cubicas de ;# É;%# #(:$, de facto vai ser uma dessas raízes cúbicas,F uma vez que
F œ : œ œ ; ; : #( E # % #( $ $ $ : #( ; ; : # % #( # $ $ # $ É Ê .
O que se passa é que, em vez de termos deixado ser uma raíz cúbica qualquer deF ;# É;%# :#($, tomámos para uma raíz cúbica especial, que depende naturalmente da raízF cúbica de ;# É;%# :#($ que foi escolhida como . A vantagem é que continuamos a ter, comoE na alínea precedente, E F œ ;$ $ , mas, ao contrário do que sucedia na alínea anterior, já podemos garantir que EF œ :$. Podemos agora verificar que E F é efectivamente uma raíz da equação C :C ; œ !$ , da mesma maneira que procedemos no quadro dos números reais: Tem-se
ÐE FÑ œ E F $E F $EF œ E F $EFÐE FÑ œ œ ; :ÐE FÑ
$ $ $ # # $ $
, e portanto
ÐE FÑ : ÐE FÑ ; œ !$ . Resumindo, obtivémos a fórmula
C œ ; ; : : # % #( $ Ë Ê Ê É $ $ # $ # $ ; ; : # % #( ,
que temos a certeza que dá uma raíz sempre que fizer sentido, isto é, sempre que o denominador da segunda fracção não for .!
46) a) Supondo que E F œ , e que EF œ -, vem
ÐB EÑÐB FÑ œ B EB FB EF œ B ,B -# # ,
pelo que, pela lei de anulamento dum produto, tem-se B ,B - œ !# se, e só se, B E œ ! ou B F œ !, isto é, B œ E ou B œ F. Concluímos assim que e são precisamente as raízes daE F equação .B ,B - œ !#
Se e são as duas soluções, sabemos que se tem b) E F E œ , Ð,Ñ %- F œ , Ð,Ñ %-# # È # È # , ,
ou o contrário, em qualquer dos casos
E F œ , , %- , , %- œ , # EF œ "Ð, Ð , %-Ñ Ñ œ "Ð, , %Ñ œ -% % È È È # # # # # # # .
47) a) Neste exercício estamos a supor que é uma solução da equação C C :C ; œ !$ , no contexto dos números complexos. Tendo em conta a conclusão do exercício precedente, existem dois números complexos e tais que E F E F œ C EF œ e :$. Tem-se então
ÐE FÑ :ÐE FÑ ; œ !$ eportanto, uma vez que
ÐE FÑ œ E F $E F $EF œ E F $EFÐE FÑ œ E F :ÐE FÑ$ $ $ # # $ $ $ $ , obtemos
E F ; œ !$ $ .
De ser , concluímos que . Uma vez que, como vimos na
b) EF œ :$ E F œ ÐEFÑ œ $ $ $ :#($
alínea precedente, E F œ ;$ $ , concluímos que E$ e F$, sendo dois números cuja soma é ; e cujo produto é :#($, têm que ser as duas soluções da equação do segundo grau
B ;B : œ ! #(
# $ ,
portanto tem que ser
E œ ; ; % F œ ; ; % # # $ $ # : # : #( #( É $ É $ , ,
(ou vice-versa, o que corresponde a alterar a escolha feita para a raíz quadrada). Deduzimos da alínea precedente que
c) E œ ; ; % œ # # % #( ; ; : F œ ; ; % œ # # % #( ; ; : Í Í Í Ì É Ë Ê Í Í Í Ì É Ë Ê $ $ $ $ $ $ # : #( # $ # : #( # $ , ,
desde que se tenham feito escolhas convenientes da raíz quadrada e das raízes cúbicas, e portanto, lembrando que E F œ C,
C œ ; ; : ; ; :
# % #( # % #(
Ë$ Ê # $ Ë$ Ê # $
é um dos nove valores dados pela fórmula de Cardano.
48) a) ÐBß CÑ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ ÐB ß C Ñ ÐBß CÑ œ ÐB Bß C CÑ œ ÐB B ß C C Ñ w w w w w w w w w w , , uma vez que a adição de números reais é comutativa.
b) ÐÐBß CÑ ÐB ß C ÑÑ ÐB ß C Ñ œ ÐB B ß C C Ñ ÐB ß C Ñ œ ÐB B B ß C C C Ñ ÐBß CÑ ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ ÐB B ß C C ÑÑ œ ÐB B B ß C w w ww ww w w ww ww w ww w ww w w ww ww w ww w ww w ww , C C Ñw ww , onde, ao escrevermos sem parênteses a somas de três números reais (por exemplo B B Bw ww) está implícita a utilização da propriedade associativa dessa soma.
c) ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ ÐB ß C Ñ ‚ ÐBß CÑ œ ÐB ‚ B C ‚ Cß B ‚ C C ‚ BÑ œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ w w w w w w w w w w w w w w w w , . Repare-se que, para a última igualdade, tivémos em conta as propriedades comutativas tanto da multiplicação como da adição de números reais.
d) ÐBß CÑ ‚ ÐÐB ß C Ñ ÐB ß C ÑÑ œ ÐBß CÑ ‚ ÐB B ß C C Ñ œ œ ÐB ‚ ÐB B Ñ C ‚ ÐC C Ñ ß B ‚ ÐC C Ñ C ‚ ÐB B ÑÑ œ œ ÐB ‚ B B ‚ B C ‚ C C ‚ C ß B ‚ C B ‚ C w w ww ww w ww w ww w ww w ww w ww w ww w ww w ww w ww w ww w w ww ww w w w w ww ww ww ww w ww w ww w ww C ‚ B C ‚ B Ñ ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ ÐBß CÑ ‚ ÐB ß C Ñ œ œ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ ÐB ‚ B C ‚ C ß B ‚ C C ‚ B Ñ œ œ ÐB ‚ B B ‚ B C ‚ C C ‚ C ß B ‚ C B ‚ C C ‚ B C ‚ B Ñw ww
