ProcessosEstocásticos

(1)

PROCESSOS ESTOC ´

ASTICOS

Prof. Daniel Brand˜

ao

(2)

Sum´

ario

1 Teoria da Probabilidade 4

1.1 Espa¸co Amostral e Eventos . . . 4

1.2 A No¸c˜ao e os Aximas da Probabilidade . . . 5

1.2.1 Defini¸c˜ao da Frequˆencia Relativa . . . 5

1.2.2 Defini¸c˜ao Axiom´atica . . . 6

1.2.3 Propriedades Elementares da Probabilidade . . . 6

1.3 Eventos Igualmente Prov´aveis . . . 6

1.3.1 Espa¸co Amostral Finito . . . 6

1.3.2 Eventos Igualmente Prov´aveis . . . 6

1.4 Probabilidade Condicional . . . 7

1.4.1 Defini¸c˜ao . . . 7

1.4.2 Regra de Bayes . . . 7

1.5 Probabilidade Total . . . 7

1.6 Eventos independentes . . . 8

2 Variáveis Aleatórias 9 2.1 Introdu¸cão . . . 9

2.2 Vari´aveis Aleat´orias . . . 9

2.2.1 Defini¸c˜ao . . . 9

2.2.2 Eventos Definidos por Vari´aveis Aleat´orias . . . 10

2.3 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao . . . 10

2.3.1 Defini¸c˜ao . . . 10

2.3.2 Propriedades da FX(x) . . . 10

2.3.3 Determina¸cão de Probabilidades pela Fun¸cão de Distribui¸cão . . . . 10

2.4 Vari´aveis Aleat´orias Discretas e fmp . . . 11

2.4.1 Defini¸c˜ao . . . 11

2.4.2 Fun¸c˜ao Massa de Probabilidade . . . 11

2.4.3 Propriedades da pX(x) . . . 11

2.5 Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas e fdp . . . 11

2.5.1 Defini¸c˜ao . . . 11

2.5.2 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade . . . 12

2.5.3 Propriedades de fX(x) . . . 12

2.6 M´edia e Variˆancia . . . 12

2.6.1 M´edia . . . 12

2.6.2 Momento . . . 12

2.6.3 Variˆancia . . . 13

2.7 Algumas Distribui¸c˜oes Especiais . . . 13

(3)

2.7.2 Distribui¸c˜ao Binomial . . . 13

2.7.3 Distribui¸c˜ao de Poisson . . . 14

2.7.4 Distribui¸c˜ao Uniforme . . . 15

2.7.5 Distribui¸c˜ao Exponencial . . . 15

2.7.6 Distribui¸c˜ao Normal (ou Gaussiana) . . . 16

2.8 Distribui¸c˜ao Condicional . . . 17

2.9 Exerc´ıcios . . . 17

3 Variáveis Aleatórias Multidimensionais 20 3.1 Introdu¸cão . . . 20

3.2 Vari´aveis Aleat´orias Bidimensionais . . . 20

3.2.1 Defini¸c˜ao . . . 20

3.3 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Conjunta . . . 21

3.3.1 Defini¸c˜ao . . . 21

3.3.2 Propriedades de FXY(x, y) . . . 21

3.3.3 Fun¸c˜ao de Distribui¸c˜ao Marginal . . . 22

3.4 V.A. Discreta - FMP Conjunta . . . 22

3.4.1 FMP Conjunta . . . 22

3.4.2 Propriedades de pXY(xi, yj) . . . 22

3.4.3 FMP Marginal . . . 23

3.4.4 Vari´aveis Aleat´orias Independentes . . . 23

3.5 Vari´aveis Aleat´orias Cont´ınuas - FDP Conjunta . . . 24

3.5.1 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade Conjunta . . . 24

3.5.2 Propriedades de fXY(x, y) . . . 24

3.5.3 FDP Marginal . . . 24

3.5.4 Vari´aveis Aleat´orias Independentes . . . 25

3.6 Distribui¸c˜oes Condicionais . . . 25

3.6.1 Fun¸c˜ao Massa de Probabilidade Condicional . . . 25

3.6.2 Propriedades de pY |X(yj|xi) . . . 26

3.6.3 Fun¸c˜ao Densidade de Probabilidade Condicional . . . 26

3.6.4 Propriedades de fY |X(x|y) . . . 26

3.7 Coeficientes de Covariˆancia e Correla¸c˜ao . . . 27

3.8 M´edia e Variˆancia Condicionais . . . 29

3.9 Exerc´ıcios . . . 29

4 Fun¸cão de uma Variável Aleatória 32 4.1 Introdu¸cão . . . 32

4.2 Fun¸cões de Uma Variável Aleatória . . . 32

4.2.1 Vari´avel Aleat´oria g(X) . . . 32

4.2.2 Determina¸c˜ao de fY(y) por fX(x) . . . 32

4.3 Fun¸cão de Duas Variáveis Aleatórias . . . 33

4.3.1 Um Fun¸cão de Duas Variáveis Aleatórias . . . 33

4.3.2 Duas Fun¸cões de Duas Variáveis Aleatórias . . . 33

4.3.3 Determinando fZW(z, w) por fXY(x, y) . . . 34

4.4 Esperan¸ca . . . 35

4.4.1 Esperan¸ca de uma Fun¸cão de Uma Variável Aleatória . . . 35

4.4.2 Esperan¸ca de uma Fun¸cão de Mais de Uma Variável Aleatória . . . 35

4.4.3 Propriedade de Linearidade da Esperan¸ca . . . 35

(4)

4.5 Fun¸c˜oes Geradoras de Momento . . . 36

4.5.1 Defini¸c˜ao . . . 36

4.5.2 Fun¸c˜ao Geradora de Momento Conjunta . . . 36

4.6 Fun¸c˜ao Caracter´ıstica . . . 37

4.6.1 Defini¸c˜ao . . . 37

(5)

Cap´ıtulo 1

Teoria da Probabilidade

O estudo da Teoria da Probabilidade iniciou da análise de certos jogos de azar e possui aplica¸cões na maioria das áreas da ciência e engenharia. Nós iremos relebrar os conceitos básicos de probabilidade.

1.1 Espa¸

co Amostral e Eventos

No estudo da probabilidade, qualquer processo de observa¸cão é referido como um exper-imento. Os resultados de uma observa¸cão são chamados resultados do experimento.

Um experimento é chamado um experimento aleatório se seus resultados não podem ser previstos. Exemplos t´ıpicos de experimento aleatório são jogar um dado ou tirar uma carta de um ma¸co.

O conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um experimento aleatório é chamado espa¸co amostral, e será denotado por S. Um elemento em S é chamado de ponto amostral. Cada resultado de um experimento aleatório corresponde a um ponto amostral. Exemplo 1.1.1. O espa¸co amostral do exeprimento de jogar uma moeda (a) uma vez e (b) duas vezes é:

(a)Existem duas possibilidades, cara ou coroa. Ent˜ao: S = {H, T }

(b) Existem 4 poss´ıveis resultados. Eles s˜ao pares de caras e coroas. Ent˜ao S = {HH, HT, T H, T T }

Exemplo 1.1.2. O espa¸co amostral de um experimento de medir (em horas) o tempo de vida de um transistor:

Claramente todos os poss´ıveis resultados são todos os números reais não negativos. Isto é,

S = {τ : 0 ≤ τ ≤ ∞} onde τ representa a vida de um transistor em horas.

Uma vez que nós identificamos o espa¸co amostral S, como o conjunto de todos os poss´ıveis resultados de um experimento aleatório, vamos rever algumas anota¸cões no seguinte conjunto.

(6)

Se ζ é um elemento de S, então nós escrevemos ζ ∈ S. Se ζ não é um elemento de S, então escrevemos:

ζ /∈ S.

Um conjunto A ´e chamado subconjunto de B, denotado por A ⊂ B.

Se cada elemento de A ´e tamb´em elemento de B

Qualquer subconjunto de um espa¸co amostral S ´e chamado um evento. Um ponto amostal de S ´e frequentemente referido como um evento elementar.

Note que o espa¸co amostral S é o subconjunto de si próprio, isto é, S ⊂ S. Uma vez que S é o conjunto de todos os poss´ıveis resultados, ele é frequentemnte chamado de evento determinado.

1.2 A No¸

c˜

ao e os Aximas da Probabilidade

Uma atribui¸cão de um número real a um evento definido em um espa¸co amostral S é conhecido como a medida da probabilidade. Considere um experimento aleatório com um espa¸co amostral S e seja A um evento particular definido em S.

1.2.1 Defini¸

c˜

ao da Frequˆ

encia Relativa

Suponha que o experimento aleatório é repetido n vezes. Se o evento A ocorre n(A) vezes, então a probabilidade do evento A, denotado por P (A), é definido como

P (A) = lim

n→∞

n(A) n

onde n(A)/n é chamado de frequencia relativa do evento A. Note que este limite talvez não exista, e, além disso, há muitas situa¸cões em que o conceito de repetibilidade talvez não seja válido.

´

E claro que para um evento qualquer A, a frenquˆencia relativa de A possue as seguintes propriedades:

1. 0 ≤ n(A)/n ≤ 1, onde n(A)/n = 0 se A não ocorre em nenhuma das n repeti¸cões e n(A)/n = 1 se A ocorre em todas as n repeti¸cões.

2. Se A e B s˜ao eventos mutualmente exclusivos, ent˜ao n(A ∪ B) = n(A) + n(B) e n(A ∪ B) n = n(A) n + n(B) n .

(7)

1.2.2 Defini¸

c˜

ao Axiom´

atica

Seja S um espa¸co amostral e A um evento em S. Então na defini¸cão axiomática, a probabilidade P (A) de um evento A é um número real atribu´ıdo a A o qual satisfaz os três seguintes axiomas:

1. P (A) ≥ 0; 2. P (S) = 1;

3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B), se A ∩ B = ∅.

1.2.3 Propriedades Elementares da Probabilidade

Usando os axiomas acima, as seguintes propriedades de probabilidade podem ser obtidas: 1. P ( ¯A) = 1 − P (A);

2. P (∅) = 0;

3. P (A) ≤ P (B) se A ⊂ B; 4. P (A) ≤ 1;

5. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B);

1.3 Eventos Igualmente Prov´

aveis

1.3.1 Espa¸

co Amostral Finito

Considere um espa¸co amostral finito S com n elementos S = {ζ1, ζ2, ..., ζn}

onde ζi s˜ao eventos elementares. Seja P (ζi) = pi. Ent˜ao

1. 0 ≤ pi ≤ 1 i = 1, 2, ..., n;

2. Pn

i=1pi = p1+ p2+ ... + pn = 1;

3. Se A = ∪i∈Iζi, onde I é uma cole¸cão de subscritos, então

P (A) = X ζi∈A P (ζi) = X i∈I pi

1.3.2 Eventos Igualmente Prov´

aveis

Quando todos os eventos elementares ζi (i=1,2,...,n) são igualmente prováveis, isto é,

p1 = p2 = · · · = pn

ent˜ao, da propriedade 2 acima, temos

pi = 1/n

e

P (A) = n(A)/n

onde n(A) é o número de resultados pertencentes ao evento A e n é o número de pontos amostrais em S.

(8)

1.4 Probabilidade Condicional

1.4.1 Defini¸

c˜

ao

A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B, denotado por P (A|B), ´e definido como

P (A|B) = P (A ∩ B)

P (B) , P (B) > 0

onde P (A ∩ B) ´e a probabilidade conjunta de A e B. Similarmente, P (B|A) = P (A ∩ B)

P (A) , P (A) > 0

´e a probabilidade condicional de um evento B dado o evento A. Das equa¸c˜oes acima, temos

P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)

Esta equa¸c˜ao ´e usada na maioria das vezes para encontrar a probabilidade conjunta de eventos.

1.4.2 Regra de Bayes

Da equa¸c˜ao acima, podemos obter a seguinte regra de Bayes: P (A|B) = P (B|A)P (A)

P (B)

1.5 Probabilidade Total

Os eventos A1, A2, ..., An s˜ao chamados mutualmente exclusivos e exaustivos se

∪n_i=1Ai = A1 ∪ A2∪ · · · ∪ An= S e Ai∩ Aj = ∅ i 6= j

Seja B um evento qualquer em S. Ent˜ao

P (B) = n X i=1 P (B ∩ Ai) = n X i=1 P (B|Ai)P (Ai)

o qual ´e conhecida como a probabilidade total do evento B. Seja A = Ai na regra de

Bayes; ent˜ao, usando a equa¸c˜ao anterior, obtemos P (Ai|B) =

P (B|Ai)P (Ai)

Pn

i=1P (B|Ai)P (Ai)

Note que os termos do lado direito s˜ao todos condicionais aos eventos Ai, enquanto que

(9)

1.6 Eventos independentes

Dois eventos A e B são ditos independentes se e somente se P (A ∩ B) = P (A)P (B) Segue imediatemente que se A e B são independentes, então

P (A|B) = P (A) P (B|A) = P (B)

Se dois eventos A e B são indenpendentes, então podemos mostrar que A e ¯B são também independentes; isto é

P (A ∩ ¯B) = P (A)P ( ¯B) Ent˜ao

P (A| ¯B) = P (A)

Assim, se A é independente de B, então a probabilidade de A permanece inalterada independentemente se B acontece ou não.

De uma forma geral, os eventos A1, A2, ..., An s˜ao independentes se e somente se para

cada subconjunto {Ai1, Ai2, ..., Aik} (2 ≤ k ≤ n) destes eventos,

P (Ai1∩ Ai2∩ ... ∩ Aik) = P (Ai1)P (Ai2)...P (Aik)

Finalmente, definimos um conjunto infinito de eventos como independente e se, somente se, todo subconjunto finito destes eventos ´e independente.

(10)

Cap´ıtulo 2

Vari´

aveis Aleat´

orias

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo, introduziremos os conceito de variáveis aleatórias. O propósito principal de usar uma variável aleatória é assim que podemos definir certas fun¸cões de probabilidade que tornam conveniente e fácil de calcular a probabilidade de vários eventos.

2.2 Vari´

aveis Aleat´

orias

2.2.1 Defini¸

c˜

ao

Considere um experimento aleatório com espa¸co amostral S. Uma variável aleatória X(ζ) é uma fun¸cão real que associa um número real chamado valor de X(ζ) para cada ponto amostral ζ de S. Frequentemente, usamos simplesmente X para esta fun¸cão em vez de X(ζ) e usamos “v.a” para denotar a variável aleatória.

O espa¸co amostral S é chamado de dom´ınio da v.a X, e a cole¸cão de todos os números (valores de X(ζ)) é chamado de imagem da v.a X. Assim, a imagem de X é subconjunto dos números reais.

Note que duas ou mais pontos amostrais diferentes podem dar o mesmo valor de X, mas diferentes n´umeros na imagem n˜ao podem ser atribu´ıdos ao mesmo ponto amostral.

Exemplo 2.2.1. No exeprimento de jogar uma moeda uma vez, podemos definir a v.a X como

(11)

Note que podemos tamb´em definir outra v.a., digamos que Y com

Y (H) = 0, Y (T ) = 1 (2.2)

2.2.2 Eventos Definidos por Vari´

aveis Aleat´

orias

Se X é uma v.a. e x é um número real fixado, podemos definir o evento (X = x) como

(X = x) = {ζ; X(ζ) = x} (2.3)

Similarmente, para n´umeros fixados x, x1, x2, podemos definir os seguintes eventos:

(X ≤ x) = {ζ; X(ζ) ≤ x} (2.4)

(X > x) = {ζ; X(ζ) > x} (2.5)

(x1 < X ≤ x2) = {ζ; x1 < X(ζ) ≤ x2} (2.6)

Exemplo 2.2.2. No experimento de jogar uma moeda trˆes vezes, o espa¸co amostral S1

consistindo de oito pontos amostrais igualmente prov´aveis S1 = {HHH, . . . , T T T }. Se

X ´e uma v.a. dando o n´umero de caras obtidas, calcule (a) P(X=2); (b) P(x¡2).

2.3 Fun¸

c˜

ao de Distribui¸

c˜

ao

2.3.1 Defini¸

c˜

ao

A fun¸cão de ditribui¸cão [ ou fun¸cão de distribui¸cão acumulada(fda)] de X é a fun¸cão definida por

FX(x) = P (X ≤ x) − ∞ < x < ∞ (2.7)

A maioria das informa¸cões sobre um experimento aleatório descrito pelo v.a. X é determinada pelo comportamento da FX(x).

2.3.2 Propriedades da F

X

(x)

1. 0 ≤ FX(x) ≤ 1;

2. FX(x1) ≤ FX(x2) se x1 ≤ x2;

3. limxto∞FX(x) = FX(∞) = 1;

4. limx→−∞FX(x) = FX(−∞) = 0;

5. limx→a+F_X(a+) = F_X(a) a+ = lim_0<→0a + .

Exemplo 2.3.1. Considere a v.a definida no exemplo 2. Calcule e esbocea fda FX(x) de

X.

2.3.3 Determina¸

c˜

ao de Probabilidades pela Fun¸

c˜

ao de Distribui¸

c˜

ao

Pela defini¸c˜ao de fda, podemos calcular outras probabilidades, tal como P (a < X ≤ b), P (X > a), e P (X < b):

P (a < X ≤ b) = FX(b) − FX(a) (2.8)

P (X > a) = 1 − FX(a) (2.9)

P (x < b) = FX(b−) b−= lim

(12)

2.4 Vari´

aveis Aleat´

orias Discretas e fmp

2.4.1 Defini¸

c˜

ao

Seja X uma v.a. com fda FX(x). Se FX(x) assume somente valores inteiros e ´e constante

entre esses valores, então X é chamada uma variável aleatória discreta.

2.4.2 Fun¸

c˜

ao Massa de Probabilidade

Suponha que os saltos em FX(x) de uma v.a. discreta X ocorre nos pontos x1, x2, ... onde

a sequencia pode ser finita ou infinita cont´avel, e assumimos xi < xj se i < j. Ent˜ao

FX(xi) − FX(xi−1) = P (X ≤ xi) − P (X ≤ xi−1) = P (X = x) (2.11)

Seja

pX(x) = P (X = x) (2.12)

A fun¸cão pX(x) é chamada de fun¸cão massa de probabilidade (fmp) da v.a. discreta X.

2.4.3 Propriedades da p

X

(x)

1. 0 ≤ pX(xk) ≤ 1; k = 1, 2, ...;

2. pX(x) = 0, se x 6= xk(k = 1, 2, ...);

3. P

kpX(xk) = 1.

A fda FX(x) de uma v.a. discreta X pode ser obtida por

FX(x) = P (X ≤ x) =

X

xk≤x

pX(xk) (2.13)

2.5 Vari´

aveis Aleat´

orias Cont´ınuas e fdp

2.5.1 Defini¸

c˜

ao

Seja X uma v.a. com fda FX(x). Se FX(x) ´e cont´ınua e tamb´em possiu uma derivada

dFX(x)/dx a qual existe em toda parte exceto em um poss´ıvel n´umero de pontos e ´e

cont´ınua por partes, então X é chamada uma variável aleatória cont´ınua Alternativa-mente, X é uma v.a. cont´ınua somente se a imagem de FX(x) contém um intervalo de

n´umeros reais.

Assim, se X ´e uma v.a. cont´ınua, ent˜ao

P (X = x) = 0 (2.14)

Note que este é um exemplo de um evento com probabilidade 0, isto não é necessariamante o evento imposs´ıvel ∅.

Na maioria das aplica¸c˜oes, a v.a. ´e discreta ou cont´ınua. Mas se a FX(x) de uma v.a.

(13)

2.5.2 Fun¸

c˜

ao Densidade de Probabilidade

Seja

fX(x) =

dFX(x)

dx (2.15)

A fun¸cão fX(x) é chamada de fun¸cão densidade de probabilidade de uma v.a. cont´ınua

X.

2.5.3 Propriedades de f

X

(x)

1. fX(x) ≥ 0;

2. R∞

−∞dx = 1;

3. fX(x) ´e cont´ınua por partes;

4. P (a < X ≤ b) =R_abfX(x)dx.

A fda FX(x) de uma v.a. cont´ınua X pode ser obtida por

FX(x) = P (X ≤ x) =

Z x

−∞

fX(ξ)dξ (2.16)

Pela eq. 2.14, se X ´e uma v.a. cont´ınua, ent˜ao

P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)(2.17) =

Z b a

fX(x)dx = FX(b) − FX(a) (2.18)

2.6 M´

edia e Variˆ

ancia

2.6.1 M´

edia

A M´edia (ou valor experado) de uma v.a. X, denotado por µX ou E(X), ´e definida por

µX = E(X) = P kxkpX(xk) se X ´e discreta R∞ −∞xfX(x)dx se X ´e cont´ınua (2.19)

2.6.2 Momento

O n-ésimo momento de uma v.a. X é definido por E(Xn) = P kx n kpX(xk) se X é discreta R∞ −∞x n_f X(x)dx se X é cont´ınua (2.20) Note que a média de X é o primeiro momento de X.

(14)

2.6.3 Variˆ

ancia

A variˆancia de uma v.a. X, denotado por σ2

X ou V ar(X), ´e definido por

σ_X2 = V ar(X) = E{[X − E(X)]2} (2.21) Assim, σ2_X = P k(xk− µX)2pX(xk) se X é discreta R∞ −∞(x − µX) 2_f X(x)dx se X é cont´ınua (2.22) Note da defini¸cão 2.21 que

V ar(X) ≥ 0

O desvio padr˜ao de uma v.a. X, denotado por σX, ´e a raiz quadrada positiva da V ar(X).

Expandindo o lado direito da eq. 2.21, podemos obter a seguinte rela¸c˜ao: V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2

a qual é uma fórmula útil para determinar a variância.

2.7 Algumas Distribui¸

c˜

oes Especiais

2.7.1 Distribui¸

c˜

ao Bernoulli

Uma v.a. X é chamada de v.a. de Bernoulli com parâmetro p se a fmp é dada por pX(k) = P (X = k) = pk(1 − p)1−k, k=0,1

onde 0 ≤ p ≤ 1.

Pela eq. ??, a fda FX(x) da v.a. Bernoulli X ´e dado por

FX(x) =    0 se x < 0 1 − p se 0 ≤ x < 1 1 se x ≥ 1 (2.23)

A média e a variância de uma v.a. de Bernoulli X são

µX = E(X) = p (2.24)

σ_X2 = V ar(X) = p(1 − p) (2.25)

Uma v.a. de Bernoulli X é associado com algum experimento o qual o resultado pode ser classificado como um ”sucesso´´ ou um ”fracasso´´, e a probabilidade de um sucesso é p e a probabilidade de um fracasso é 1 − p.

2.7.2 Distribui¸

c˜

ao Binomial

Uma v.a. X é chamada de v.a. binomial com parâmetros (n, p) se sua fmp é dada por pX(x) = P (X = k) = n k pk(1 − p)n−k k = 0, 1, ..., n (2.26) onde 0 ≤ p ≤ 1 e n k = n! k!(n − k)! (2.27)

(15)

o qual ´e conhecido como o coeficiente binomial. A fda de X correspondente ´e FX(x) = n X k=0 n k pk(1 − p)n−k n ≤ x < n + 1

A média e a variância de uma v.a. binomial X são µX = E(X) = np

σ_X2 = V ar(X) = np(1 − p)

Uma v.a. binomial X é associado com algum experimento nos quais n tentativas de Bernoulli independentes são executadas e X representa o número de sucessos que ocorrer em n experimentos. Note que a v.a. Bernoulli é justamente uma v.a. binomial com parâmetros (1, p).

Exemplo 2.7.1. Uma fonte de bin´arios gera os digitos 1 e 0 aleatoriamente com proba-bilidade 0.6 e 0.4 respectivamente.

(a) Qual a probabilidade de dois 1s e trˆes 0s ocorrerem em uma sequˆencia de cinco digitos;

(b) Qual a probabilidade que pelo menos trˆes 1s ocorram em uma sequˆencia de cinco digitos.

Exemplo 2.7.2. Uma moeda honesta ´e lan¸cada 10 vezes. Calcule a probabilidade de ocorrer 5 ou 6 caras.

2.7.3 Distribui¸

c˜

ao de Poisson

Uma v.a. X é chamada de v.a. de Poisson com parâmetro λ(> 0) se sua fmp é dada por pX(k) = P (X = k) = e−λ λk k! k = 0, 1, ... A fda correspondente de X é FX(x) = e−λ n X k=0 λk k! n ≤ x < n + 1 A média e a variância de uma v.a. de Poisson X são

µX = E(X) = λ

σ_X2 = V ar(X) = λ

A v.a. de Poisson possui uma gama enorme de aplica¸cões em diversas áreas porque ela pode ser usada como uma aproxima¸cão para uma v.a. binomial com parâmetros (n, p) quando n é grande e p é suficientemente pequeno de forma que np é de um tamanho moderado.

´

E f´acil provar que

n k pk(1 − p)1−k ≈ e−λλ k k! Alguns exemplos de uma v.a. de Poisson s˜ao:

(16)

1. O número de chamadas telefonicas chegando à um centro de comuta¸cão durante vários intervalos de tempo;

2. O número de erros de impressão em uma página de um livro;

3. o número de clientes entrando em um banco durante vários intervalos de tempo. Exemplo 2.7.3. Um canal de transmissão de ru´ıdo tem probabilidade de erro por digito de p=0.01.

(a) Calcule a probabilidade de receber mais de um erro em 10 digitos. (b) Repita (a), usando a aproxima¸c˜ao de Poisson.

Exemplo 2.7.4. O número de chamadas telefônicas chegando em um painel de comando durante um per´ıodo de 10 minutos é conhecido como uma v.a. de Poisson X com λ = 2. (a) Calcule a probabilidade que mais de três chamadas cheguem durante um per´ıodo de 10 minutos.

(b) Calcule a probabilidade que nenhuma chamada chegue durante o per´ıodo de 10 minutos.

2.7.4 Distribui¸

c˜

ao Uniforme

Uma v.a. X ´e chamada v.a. uniforme sobre (a, b) se sua fdp ´e dada por fX(x) =

1

b−a a < x < b

0 caso contrário A fda correspondente de X é FX(x) =    0 x ≤ a x−a b−a a < x < b 1 x ≥ b A média e a variância de uma v.a. uniforme X são

µX = a + b 2 σ_X2 = (b − a) 2 12

Uma v.a. X é frequentemente usada quando não temos nenhum conhecimento prévio da fda e todos os valores cont´ınuos em algum intervalo são igualmente prováveis.

2.7.5 Distribui¸

c˜

ao Exponencial

Uma v.a. X é chamada v.a. exponencial com parâmetro λ(> 0) se sua fdp é dada por fX(x) = λe−λx _{x > 0} 0 x < 0 A fda corespondente de X é fX(x) = 1 − e−λx _{x ≥ 0} 0 x < 0

(17)

A média e a variância de uma v.a. exponencial X são µX = 1/λ

σ_X2 = 1/λ2

Exemplo 2.7.5. Assuma que o tempo de uma chamada telefônica em minutos é uma v.a. exponencial X com parâmetro λ = 1/10. Se alguém chega a uma cabine de telefone pouco antes de sua chegada, encontre a probabilidade de que você terá que esperar (a) menos que 5 minutos, e (b) entre 5 e 10 minutos.

2.7.6 Distribui¸

c˜

ao Normal (ou Gaussiana)

Uma v.a. X é chamada v.a. normal se sua fdp é dada por fX(x) = 1 √ 2πσe −(x−µ)2_/2σ2 A fda correspondente de X é FX(x) = 1 √ 2πσ Z x −∞ e−(ξ−µ)2/(2σ2)dξ = Z (x−µ)/σ) −∞ e−ξ2/2dξ (2.28)

Esta integral não pode ser resolvida em uma forma fechada e deve ser resolvida nu-mericamente. É conveniente usar a fun¸cão Φ(z), definida como

Φ(z) = √1 2π

Z z

−∞

e−ξ2/2dξ

para ajudar a resolver o valor de FX(x). Ent˜ao, a eq. 2.28 pode ser escrita como

FX(x) = Φ

x − µ σ

Note que Φ(−z) = 1 − Φ(z).

A média e a variância de uma v.a. normal X são µX = µ

σ_X2 = σ2

Usamos a nota¸c˜ao N (µ, σ2_{) para denotar que X ´}_{e uma v.a. normal com m´}_{edia µ e}

variância σ2. Uma v.a. normal Z com média zero e variância um - isto é, Z = N (0, 1) -é chamada de v.a. normal padrão.

Exemplo 2.7.6. Uma linha de produ¸cão fabrica resistores de 1000-ohm (Ω) que tem tolerância de 10%. Seja X a v.a. que denota a resistência do resistor. Assumindo que X é uma v.a. normal com média 1000 e variância 2500, calcule a probabilidade de um resistor escolhido aleatoriamente seja rejeitado.

(18)

2.8 Distribui¸

c˜

ao Condicional

J´a vimos que a probabilidade condicional de um evento A dado o evento B ´e definido como

P (A|B) = P (A ∩ B)

P (B) P (B) > 0

A fda condicional FX(x|B) de uma v.a. X dado o evento B ´e definido por

FX(x|B) = P (X ≤ x|B) =

P {(X ≤ X) ∩ B} P (B)

A fda condicional FX(x|B) tem as mesmas propriedades de FX(x).Em particular,

FX(−∞|B) = 0 FX(∞|B) = 1

P (a < X ≤ b|B) = FX(b|B) − FX(a|B)

Se X é uma v.a. discreta, então a fmp condicional pX(xk|B) é definida como

pX(xk|B) = P (X = xk|B) =

P {(X = xk) ∩ B}

P (B)

Se X é uma v.a. cont´ınua, então a fdp condicional fX(x|B) é definida como

fX(x|B) =

dFX(x|B)

dx

2.9 Exerc´ıcios

1. A probabilidade de um bem sucedido lan¸camento de foguete é igual a 0,8. Suponha que tentativas de lan¸camento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lan¸camentos bem sucedidos. Qual o número médio de tentativas para a ocorrência dos 3 lan¸camentos bem sucedidos?

2. Considere a v.a discreta X que tem como fmp pX(x) =

1 2

xk

; xk = 1, 2, 3, ...

Seja A = {ζ; X(ζ) = 1, 3, 5, 7, ...}. Calcule P (A). 3. Considere a fun¸c˜ao dada por

p(x) = k

x2; x = 1, 2, 3, ...

0, caso contrario

onde k ´e uma constante. Calcule o valor de k tal que p(x) pode ser a fmp de uma v.a discreta X.

4. Sabe-se que o disquete produzido por uma empresa A será defeituoso com proba-bilidade 0.01. A empresa vende o disquete em pacotes de 10 e oferece a garantia de substitui¸cão que, no máximo, 1 dos 10 discos está com defeito. Calcule a probabili-dade que um pacote comprado terá que ser substituido.

(19)

5. Um sistema de transmissão digital tem uma probabilidade de erro de 10−6por d´ıgito. Calcule a probabilidade de 3 ou mais erros em 106 d´ıgitos usando a aproxima¸cão da Distribui¸cão de Poisson.

6. Sabe-se que o tempo (em horas) entre consecutivos acidentes de tr´afego pode ser descrito por uma v.a exponencial X com parˆametro λ = 1/60. Calcule (a) P (X ≤ 60), (b) P (X > 120); e (c) P (10 < X ≤ 100).

7. Dados Binários são transmitidos através de um canal de ru´ıdos em blocos de 16 d´ıgitos binários. A probabilidade que um d´ıgito recebido é em erro como resultado do canal de ru´ıdo é 0.01. Assuma que os erros ocorridos em várias posi¸cões d´ıgito dentro de um bloco são independentes.

(a) Calcule a média e a variância do número de erros por bloco.

(b) Calcule a probabilidade que o n´umero de erros por blocos ´e maior ou igual a 4. 8. Seja a v.a cont´ınua X que denota o peso ( em libras) de um pacote. O conjunto

imagem do peso do pacote ´e entre 45 e 60 libras.

(a) Determine a probabilidade que um pacote ter peso maior que 50 libras. (b) Calcule a m´edia e a variˆancia de peso dos pacotes.

dica: Assuma que X ´e uma distribui¸c˜ao uniforme (45,60).

9. Em uma produ¸cão de chips de memoria de computador, a empresa A produz um chip com defeito para cada nove chips bons. Seja X o tempo para falha (em meses) dos chips. Sabendo que X é uma v.a exponencial com parâmetro λ = 1/2 para um chip defeituoso e λ = 1/10 para um chip bom. Calcule a probabilidade que um chip comprado aleatoriamente irá falhar antes de (a) seis meses de uso; (b) um ano de uso.

10. Seja X a v.a denota o número de componentes defeituosos em um amostra aleatória de n componentes, selecionado sem reposi¸cão de um total de N componentes, r das quais estão com defeitos. A v.a X é conhecida como a v.a hipergeométrica com parâmetros (N, r, n).

(a) Calcule a fmp de X.

(b) Calcule a m´edia e a variˆancia de X. Dica: Para Achar E(X), note que:

r x = r x r − 1 x − 1 e N n = n X x=0 r x N − r n − x

Para encontrar a V ar(X), primeiro calcule E[X(X − 1)].

11. Um lote de 100 fus´ıveis é inspecionado pelo seguinte processo: cinco fus´ıveis são selecionados aleatoriamente, e se todos cinco ”enchem”a amperagem especificada, o lote é aceito. Suponha que o lote contenha 10 fus´ıveis defeituosos. Calcule a probabilidade de aceita¸cão do lote.

Dica: Seja X a v.a igual ao n´umero de fus´ıveis defeituosos na amostra de 5 e use o resultado do problema anterior.

(20)

12. Suponha que a probabilidade que um bit transmitido através de um canal de co-munica¸cão digital e recebido com erro é 0.1. Assumindo que as transmissões são eventos independentes, calcule a probabilidade que o terceiro erro ocorra no 10o _bit.

(21)

Cap´ıtulo 3

Vari´

aveis Aleat´

orias

Multidimensionais

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Em muitas aplica¸cões é importante estudar duas ou mais v.a.’s definidas no mesmo espa¸co amostral. Neste cap´ıtulo, nós primeiro consideraremos o caso de duas v.a.’s com dis-tribui¸cões associadas e algumas propriedades, tal como independencia de v.a.’s. Estes conceitos são então extendidos para o caso de várias v.a.’s definidas em um mesmo espa¸co amostral.

3.2 Vari´

aveis Aleat´

orias Bidimensionais

3.2.1 Defini¸

c˜

ao

Seja S o espa¸co amostral de um experimento aleatório. Seja X e Y duas v.a.’s. Então o par (X, Y ) é chamado de v.a. bidimensional (ou vetor aleatório bidimensional), se cada X e Y associam um número real com cada elemento de S. Assim, a v.a. bidimensional (X, Y ) pode ser considerado como uma fun¸cão que para cada ponto ζ em S associa um ponto (x, y) no plano. O contra-dom´ınio de uma v.a. bidimensional (X, Y ) é denotado por Rxy e definido por

Rxy = {(x, y); ζ ∈ S e X(ζ) = x, Y (ζ) = y}

Se a v.a.’s X e Y são cada uma, por si mesmas, v.a.’s discretas, então (X, Y ) é chamada v.a. bidimensional discreta.

Similarmente, se X e Y são cada uma, por si mesmas, v.a.’s cont´ınuas, então (X, Y ) é chamada v.a. bidimensional cont´ıua.

Se X ou Y é discreta e a outra é cont´ınua, então (X, Y ) é chamada v.a. bidimensional mista.

Exemplo 3.2.1. Considere um experimento de lan¸car uma moeda honesta duas vezes. Seja (X, Y ) uma v.a. 2D, onde X é o número de caras que ocorre nos dois lan¸camentos e Y é o número de coroas que ocorre nos dois lan¸camentos. Calcule P (X = 2, Y = 0), P (X = 0, Y = 2), P (X = 1, Y = 1)

(22)

3.3 Fun¸

c˜

ao de Distribui¸

c˜

ao Conjunta

3.3.1 Defini¸

c˜

ao

A fun¸cão de distribui¸cão acumulada conjunta (fda conjunta) de X e Y , denotada por FXY(x, y), é a fun¸cão definida por

FXY(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) (3.1)

O evento (X ≤ x, Y ≤ y) na equa¸cão 3.1 é equivalente ao evento A ∩ B, onde A e B são os eventos definidos por

A = {ζ ∈ S; X(ζ) ≤ x} e B = {ζ ∈ S; Y (ζ) ≤ y} e

P (A) = FX(x) e P (B) = FY(y)

Assim,

FXY(x, y) = P (A ∩ B)

Se, para valores particulares de x e y, A e B s˜ao eventos independentes de S, ent˜ao FXY(x, y) = P (A ∩ B) = P (A)P (B) = FX(x)FY(y)

Duas v.a.s X e Y ser˜ao chamadas independentes se FXY(x, y) = FX(x)FY(y)

para todos os valores de x e y.

3.3.2 Propriedades de F

XY

(x, y)

A fda conjunta de duas v.a.’s possuem muitas propriedades análogas às das fda de uma v.a. simples. • 0 ≤ FXY(x, y) ≤ 1; • Se x1 ≤ x2 e y1 ≤ y2então FXY(x1, y1) ≤ FXY(x2, y1) ≤ FXY(x2, y2) e FXY(x1, y1) ≤ FXY(x1, y2) ≤ FXY(x2, y2) • limx→∞;y→∞FXY(x, y) = FXY(∞, ∞) = 1; • limx→−∞FXY(x, y) = FXY(−∞, y) = 0; • limy→−∞FXY(x, y) = FXY(x, −∞) = 0

• lim_x→a+F_XY(a+, y) = F_XY(a, y);

• limy→b+F_XY(x, b+) = F_XY(x, b);

• P (x1 < X ≤ x2, Y ≤ y) = FXY(x2, y) − FXY(x1, y); P (X ≤ x, y1 < Y ≤ y2) =

(23)

3.3.3 Fun¸

c˜

ao de Distribui¸

c˜

ao Marginal

Visto que

lim

y→∞(X ≤ x, Y ≤ y) = (X ≤ x, Y ≤ ∞) = (X ≤ X)

desde que a condi¸cão y ≤ ∞ é sempre satisfeita. Então lim

y→∞FXY(x, y) = FXY(x, ∞) = FX(x) (3.2)

Similarmente,

lim

x→∞FXY(x, y) = FXY(∞, y) = FY(y) (3.3)

As fda’s FX(x) e FY(y), quando obtidas pelas equa¸c˜oes 3.2 e 3.3, s˜ao referidas como as

fda’s marginais de X e Y respectivamente.

Exemplo 3.3.1. A fda conjunta de uma v.a. 2D ´e dada por FXY(x, y) =

(1 − eαx_{)(1 − e}−βy_{) x ≥ 0; y ≥ 0; α, β > 0}

0 caso contr´ario

(a) Calcule as fda’s marginais de X e Y . (b) Mostre que X e Y s˜ao independentes.

(c) Calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 1), P (X ≤ 1), P (Y > 1), P (X > x, Y > y)

3.4 V.A. Discreta - FMP Conjunta

3.4.1 FMP Conjunta

Seja (X, Y ) uma v.a. 2D discreta e suponha que (X, Y ) assumam os valores (xi, yj) para

um certo conjunto de inteiros i e j. A fun¸c˜ao

pXY = P (X = xi, Y = yj)

´e chamada a fun¸c˜ao massa de probabilidade conjunta (fmp conjunta) de (X, Y ).

3.4.2 Propriedades de p

XY

(x

i

, y

j

)

1. 0 ≤ pXY(xi, yj) ≤ 1; 2. P xy P xypXY(xi, yj) = 1; 3. P [(X, Y ) ∈ A] = P P

(xi,yj)∈RApXY(xi, yj), onde o somat´orio ´e sobre os pontos

(xi, yj) no contra-dom´ınio RA correspondente ao evento A.

A fda conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) ´e dada por FXY(x, y) = X xi≤x X yj≤y pXY(xi, yj)

(24)

3.4.3 FMP Marginal

Suponha que para um valor fixo X = xi, a v.a. Y pode assumir apenas os poss´ıveis

valores yj (j = 1, 2, ..., n). Ent˜ao

P (X = xi) = pX(xi) =

X

yi

pXY(xi, yj)

onde o somat´orio ´e tomado sobre todos os pares (xi, yj) com xi fixo. Similarmente,

P (Y = yj) = pY(yj) =

X

xi

pXY(xi, yj)

onde o somat´orio ´e tomado sobre todos os pares (xi, yj) com yj fixo.

As fmp’s pX(xi) e pY(yj) s˜ao chamadas de fmp’s marginais de X e Y , respectivamente.

3.4.4 Vari´

aveis Aleat´

orias Independentes

Se X e Y s˜ao v.a.’s independentes, ent˜ao

pXY(xi, yj) = pX(xi)pY(yj)

Exemplo 3.4.1. Dois dados honestos s˜ao jogados. Considere uma v.a. 2D (X, Y ). Seja X = 0 ou 1 conforme o primeiro dado mostre um n´umero par ou ´ımpar de pontos. Similarmente, seja Y = 0 ou 1 conforme o segundo dado.

(a) Encontre o contra-dom´ınio RXY de (X, Y );

(b) Calcule a fmp’s conjuntas de (X, Y ).

Exemplo 3.4.2. Considere um canal de comunica¸c˜ao bin´ario mostrado na figura Seja

(X, Y ) a v.a. 2D onde X ´e a entrada do canal e Y ´e a saida do canal. Seja P (X = 0) = 0.5 e P (Y = 1|X = 0) = 0.1, e P (Y = 0|X = 1) = 0.2.

(a)Calcule a fmp conjunta de (X, Y );

(b)Encontre a fmp’s marginais de X e de Y ; (c)X e Y s˜ao independentes?

(25)

3.5 Vari´

aveis Aleat´

orias Cont´ınuas - FDP Conjunta

3.5.1 Fun¸

c˜

ao Densidade de Probabilidade Conjunta

Seja (X, Y ) uma v.a. 2D cont´ınua com fda FXY(x, y). A fun¸c˜ao

fXY(x, y) =

∂2_f

XY(x, y)

∂x∂y (3.4)

´e chamada fun¸c˜ao densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ). Integrando a Eq. 3.4, obtemos FXY(x, y) = Z x −∞ Z y −∞ fXY(ξ, η)dηdξ

3.5.2 Propriedades de f

XY

(x, y)

1. fXY(x, y) ≥ 0; 2. R_−∞∞ R_−∞∞ fXY(x, y)dydx = 1;

3. fXY(x, y) ´e cont´ınua para todos os valores de x e y exceto em um conjunto finito de

pontos; 4. P [(X, Y ) ∈ A] =R R_R AfXY(x, y)dydx 5. P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) =Rd c Rb afXY(x, y)dxdy

Visto que P (X = a) = 0 = P (Y = c), segue-se que P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = P (a ≤ X < b, c ≤ Y < d) = P (a < X < b, c < Y < d) = Z d c Z b a fXY(x, y)dxdy

3.5.3 FDP Marginal

Pela Eq. 3.2, FX(x) = FXY(x, ∞) = Z x −∞ Z ∞ −∞ fXY(ξ, η)dηdξ Ent˜ao, fX(x) = dFX(x) dx = Z ∞ −∞ fXY(x, η)dη ou fX(x) = Z ∞ ∞ fXY(x, y)dy (3.5) Similarmente, fY(y) = Z ∞ −∞ (x, y)dx (3.6)

As fdp’s fX(x) e fY(y), quando obtidas pelas equa¸c˜oes 3.5 e 3.6, s˜ao chamadas de fdp’s

(26)

3.5.4 Vari´

aveis Aleat´

orias Independentes

Se X e Y s˜ao independentes, temos FXY(x, y) = FX(x)FY(y) Ent˜ao ∂2_F XY(x, y) ∂x∂y = ∂ ∂xFX(x) ∂ ∂yFY(x) ou fXY(x, y) = fX(x)fY(Y ) (3.7)

Assim, dizemos que duas v.a.’s X e Y s˜ao independentes se e somente se a Eq. 3.7 ´e satisfeita.

Exemplo 3.5.1. A fdp conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) ´e dada por fXY(x, y) =

k(x + y) 0 < x < 2, 0 < y < 2 0 caso contr´ario onde k ´e uma constante.

(a)Calcule o valor de k;

(b) Encontre as fdp’s marginais de X e Y ; (c) X e Y s˜ao independentes?

Exemplo 3.5.2. Suponha que seja selecionado um ponto aleatoriamente dentro de um c´ırculo com raio R. Se colocarmos o centro do c´ırculo na origem e definir X e Y para as coordenadas dos pontos escolhidos, ent˜ao (X, Y ) ´e uma v.a. uniforme 2D com fdp conjunta dada por

fXY(x, y) =

k x2_{+ y}2 _{≤ R}2

0 x2_{+ y}2 _{> R}2

onde k ´e uma constante.

(a) Determine o valor de k.

(b) Calcule as fdp’s marginais de X e Y .

(c) Encontrar a probabilidade da distˆancia entre a origem e o ponto selecionado n˜ao ser maior do que a.

3.6 Distribui¸

c˜

oes Condicionais

3.6.1 Fun¸

c˜

ao Massa de Probabilidade Condicional

Se (X, Y ) ´e uma v.a. 2D com fmp conjunta pXY(x, y), ent˜ao a fmp condicional de Y dado

X = xi, ´e definido por

pY |X(yj|xi) =

pXY(xi, yj)

pX(xi)

pX(xi) > 0.

Similarmente, podemos definir pX|Y(xi|yj) como

pX|Y(xi|yj) =

pXY(xi, yj)

pY(yj)

(27)

3.6.2 Propriedades de p

Y |X

(y

j

|x

i

)

1. 0 ≤ pY |X(yj|xi) ≤ 1;

2. P

yjpY |X(yj|xi) = 1.

Observe que se X e Y s˜ao independentes, ent˜ao

pY |X(yj|xi) = pY(yj) e pX|Y(xi|yj) = pX(xi)

3.6.3 Fun¸

c˜

ao Densidade de Probabilidade Condicional

Se (X, Y ) ´e uma v.a. 2D com fdp conjunta fXY(x, y), ent˜ao a fdp condicional de Y , dado

que X = xi, ´e definido por

fY |X(y|x) =

fXY (x, y)

fX(x)

fX(x) > 0.

Similarmente, podemos definir fX|Y(x|y)

fX|Y(x|y) = fXY (x, y) fY(y) fY(y) > 0.

3.6.4 Propriedades de f

_{Y |X}

(x|y)

1. fY |X(y|x) ≥ 0; 2. R_−∞∞ fY |Xdy = 1

Como definido no caso discreto, se X e Y s˜ao independentes, ent˜ao fY |X(x, y) = fY(y) e fX|Y(x|y) = fX(x)

Exemplo 3.6.1. Considere a v.a. 2D (X, Y ) com fdp conjunta fXY(x, y) =

k(x + y) 0 < x < 2, 0 < y < 2 0 caso contr´ario (a) Encontre as fdp’s condicionais fY |X(y|x) e fX|Y(x|y);

(b) Encontre P (0 < Y < 1/2|X = 1).

Exemplo 3.6.2. A fdp conjunta da v.a. (X, Y ) ´e dada por fXY(x, y) =

1 ye

−x/y_e−y _{x > 0, y > 0}

0 caso contr´ario (a) Mostre que fXY(x, y) satisfaz a propriedade (2) das fdp’s;

(28)

3.7 Coeficientes de Covariˆ

ancia e Correla¸

c˜

ao

A (k, n)-´esimo momento de uma v.a. bidimensional (X, Y ) ´e definido por mkn= E(XkYn) = P yj P xix k iyjnpXY(xi, yj) caso discreto R∞ −∞ R∞ −∞x k_yn_f

XY(x, y)dxdy caso cont´ınuo

Se n = 0, obtemos o k-´esimo momento de X e se k = 0 obtemos o n-´esimo momento de Y . Assim,

m10 = E(X) = µX e m01 = E(Y ) = µY

Se (X, Y ) ´e uma v.a. bidimensional discreta, ent˜ao µX = X yj X xi xipXY(xi, yj) = X xi xi   X yj pXY (xi, yj)   = X xi xipX(xi) Da mesma forma, µY = X xi X yj yjpXY(xi, yj) = X yj yj " X xi pXY (xi, yj) # = X yj yjpY(yj) Similarmente, temos E(X2) =X yj X xi x2_ipXY(xi, yj) = X xi x2_ipX(xi) E(Y2) =X yj X xi y2_jpXY(xi, yj) = X xi y_j2pX(xi)

Se (X, Y ) ´e uma v.a. bidimensional cont´ınua, ent˜ao µX = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ xfXY(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ x Z ∞ −∞ fXY(x, y)dy dx = Z ∞ −∞ xfX(x)dx

(29)

E, µY = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ yfXY(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ y Z ∞ −∞ fXY(x, y)dx dy = Z ∞ −∞ yfY(y)dy Similarmente, µX = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ x2fXY(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ x2fX(x)dx µY = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ y2fXY(x, y)dxdy = Z ∞ −∞ y2fY(y)dx

A variância de X e de Y são facilmente obtidas. O (1, 1)-ésimo momento conjunto de (X, Y )

m11= E(XY )

é chamado de correla¸cão de X e Y . Se E(XY ) = 0, então dizemos que X e Y são ortogonais. A covariância de X e Y , denotado por Cov(X, Y ) ou σXY é definido como

Cov(X, Y ) = σXYE[(X − µX)(Y − µY)] (3.8)

Expandindo a Eq. 3.8, obtemos

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) (3.9)

Se Cov(X, Y ) = 0, então dizemos que X e Y são não-correlatados. Da Eq. 3.9, vemos que X e Y são não-correlatados se

E(XY ) = E(X)E(Y ).

Note que se X e Y são independentes, então pode ser mostrada que elas são de-scorrelatadas, mas o oposto não é verdeiro em geral: isto é, o fato de X e Y serem descorrelatadas, em geral, não implica na sua independência. O coeficiente de correla¸cão, denotado por ρ(X, Y ) ou ρXY é definido por

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y ) σXσY

= σXY σXσY

Pode ser provado que |ρXY| ≤ 1.

Note que o coeficiente de correla¸cão de X e Y é uma medida de dependência linear entre X e Y .

Exemplo 3.7.1. Suponha que a v.a. 2D (X, Y ) ´e uniformemente distribuida sobre um c´ırculo unit´ario.

(a) X e Y s˜ao independentes? (b) X e Y s˜ao correlatados?

Exemplo 3.7.2. Seja (X, Y ) uma v.a. 2D com fdp conjunta fXY(x, y) =

x2_{+ y}2

4π e

−(x2_+y2_)/2

∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ Mostre que X e Y não são independentes mas são descorrelatadas.

(30)

3.8 M´

edia e Variˆ

ancia Condicionais

SE (X, Y ) é uma v.a. 2D discreta com fmp conjunta pXY(xi, yj), então a média condicional

(ou esperan¸ca condicional) de Y dado X = xi, ´e defeinido por

µY |xi = E(Y |xi) =

X

yj

yjpXY(yj|xi)

A variˆancia condicional de Y dado que X = xi ´e definido por

σ2_{Y |x}_i = V ar(Y |xi) = E[(Y − µY |xi) 2_|x i] = X yi (yi− µY |xi) 2 pY |xi(Y |xi)

a qual pode ser reduzida para

V ar(Y |xi) = E(Y2|xi) − [E(Y |xi)]2

A média de X dado Y = yj e a variância de X dado Y = yj são definidas por expressões

similares.

Note que a média condicional de Y dado X = xi, é uma fun¸cão de xi somente.

Similarmente, a média condicional de X dado Y = yj é uma fun¸cão de yj.

Se (X, Y ) ´e uma v.a. 2D cont´ınua com fdp conjunta fXY(x, y), a m´edia condicional

de Y dado X = x ´e definido por

µY |x= E(Y |x) =

Z ∞

∞

yfY |X(y, x)dy

A variˆancia condicional de Y dado X = x ´e definida como σY |x = V ar(Y |x) =

Z ∞

−∞

(y − µY |x)2fY |X(y|x)dy

Que pode ser reduzida para

V ar(Y |x) = E(Y2|x) − [E(Y |x)]2 Exemplo 3.8.1. A fdp conjunta de uma v.a. 2D (X, Y ) dada por

fXY(x, y) =

k 0 < y ≤ x < 1 0 caso contr´ario (a) Calcule as fdp’s marginais de X e Y .

(b) Encontre as fdp’s condicionais fY |X(y|x) e fX|Y(x|y)

(c) Calcule as m´edias condicionais E(Y |x) e E(X|y).

(d) Calcule as variˆancias condicionais V ar(Y |x) e V ar(X|y).

3.9 Exerc´ıcios

1. Considere um experimento de tirar aleatoriamente três bolas de uma urna contendo duas vermelhas, três brancas e quatro bolas azuis. Seja (X, Y ) uma v.a bidimen-sional onde X e Y denotam, respectivamente, o número de bolas vermelhas e de bolas brancas selecinadas.

(a) Calcule a imagem de (X, Y ).

(b) Calcule as fmp’s conjuntas de (X, Y ). (c) X e Y s˜ao independentes?

(31)

2. A fmp de uma v.a bidimensional (X, Y ) ´e dada por pxy(xi, yj) =

k(2x_i+ yj), xi = 1, 2; yj = 1, 2

0, caso contr´ario onde k ´e uma constante.

(a) Calcule o valor de k.

(b) Calcule as fmp’s marginais de X e Y . (c) X e Y s˜ao independentes?

3. Considere um experimento de jogar duas moedas três vezes. A moeda A é honesta, mas a moeda B não é honesta, com P (H) = 1/4 e P (T ) = 3/4. Considere uma v.a bidimensional (X, Y ), onde X denota o número de caras resultantes da moeda A e Y denota o número de caras resutantes da moeda B.

(a) Ache a imagem de (X, Y ).

(b) Calcule as fmp’s conjuntas de (X, Y ).

(c) Calcule P (X = Y ), P (X > Y ) e P (X + Y ≤ 4).

4. Um elaborador tem usado dois processos de produ¸cão diferentes para fabricar chips de memória de computador. Seja (X, Y ) uma v.a bidimensional onde X denota o tempo de falha do chip criado pelo processo A e Y denota o tempo de falha do chip criado pelo processo B. Assuma que a fdp de (X, Y ) é

fxy(xi, yj) =

abe−(ax+by)_{, x > 0; y > 0}

0, caso contr´ario onde a = 10−4 e b = 1.2(10−4), determine P (X > Y ).

5. Considere a v.a bidimensional (X, Y ) do problema 2. (a) calcule as fmp’s condicionais pY |X(yj|xi) e pX|Y(xi|yj).

(b) Calcule P (Y = 2|X = 2) e P (X = 2|Y = 2).

6. Seja (X,Y) uma v.a bidimensional. Se X e Y s˜ao independentes, mostre que X e Y s˜ao descorrelatados.

7. Suponha que a fmp conjunta de uma v.a bidimensional (X,Y) ´e dada por pxy(xi, yj) =

1/3, (0, 1), (1, 0), (2, 1) 0, caso contr´ario (a) X e Y s˜ao independentes?

(b) X e Y s˜ao descorrelatadas?

8. Seja (X,Y) uma v.a bidimensional com fdp conjunta fxy(x, y) =

x2_{+ y}2

4π e

−(x2_+y2_)/2

−∞ < x < ∞, −∞ < x < ∞ Mostre que X e Y não são independentes mas são descorrelatadas.

(32)

9. Considere a v.a bidimensional (X,Y) do problema 2. Calcule a m´edia e a variˆancia condicionais de Y dado xi = 2.

10. Considere um experimento de jogar uma moeda honesta três vezes. Seja (X,Y) a v.a bidimensional onde X denota o número de caras nos primeiros dois lan¸camentos e Y denota o número de caras no terceiro lan¸camento.

(a) Ache a imagem de X, Y e de (X,Y).

(b) Calcule (i) P (X ≤ 2, Y ≤ 1); (ii) P (X ≤ 1, Y ≤ 1); e (iii) P (X ≤ 0, Y ≤ 0). 11. A fdp conjunta de (X,Y) ´e dada por

fxy(x, y) =

e−(x+y)_{, x > 0, y > 0}

0, caso contr´ario (a) X e Y s˜ao independentes?

(33)

Cap´ıtulo 4

Fun¸

c˜

ao de uma Vari´

avel Aleat´

oria

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Neste cap´ıtulo estudaremos um pouco sobre os conceitos básicos de fun¸cões de variáveis aleatórias e investigaremos o valor esperado de uma certa fun¸cão de uma variável aleatória.

4.2 Fun¸

c˜

oes de Uma Vari´

avel Aleat´

oria

4.2.1 Vari´

avel Aleat´

oria g(X)

Dado uma v.a. X e uma fun¸c˜ao g(X), a express˜ao Y = g(X)

define uma nova v.a. Y . Com y um n´umero dado, denotamos Dy o subconjunto de RX

(contra-dom´ınio de X) tal que g(x) ≤ y. Ent˜ao

(Y ≤ y) = [g(X) ≤ y] = (X ∈ Dy)

onde (X ∈ Dy) ´e o envento consistindo de todos os resultados ζ tal que o ponto X(ζ) ∈

DY.

Ent˜ao

FY(y) = P (Y ≤ y) = P [g(X) ≤ y] = P (X ∈ Dy)

Se X ´e uma v.a. cont´ınua com fdp fX(x), ent˜ao

FY(y) =

Z

DY

fX(x)dx

4.2.2 Determina¸

c˜

ao de f

Y

(y) por f

X

(x)

Seja X uma v.a. cont´ınua com fdp fX(x). Se a transforma¸c˜ao y = g(x) ´e um-a-um e

possui a transforma¸c˜ao inversa

x = g−1(y) = h(y)

ent˜ao a fdp de Y ´e dada por

fY(y) = fX(x) dx dy = fX[h(y)] dh(y) d(y)

(34)

Note que se g(x) é uma fun¸cão cont´ınua monótona crecente ou decrescente, então a transforma¸cão y = g(x) é uma-a-uma.

Se a transforma¸cão y = g(x) não é uma-a-uma, fY(y) é obtida como segue: Denotando

as ra´ızes reais de y = g(x) por xk, isto ´e ,

y = g(x1) = · · · = g(xk) = · · · ent˜ao fY(y) = X k fX(xk) |g0_(x k)| onde g0(x) ´e a derivada de g(x).

Exemplo 4.2.1. Seja Y = aX + b. Determine a fdp de Y , se X ´e uma v.a. uniforme em (0, 1).

Exemplo 4.2.2. Seja Y = X2. Calcule a fdp de Y se X ´e uma v.a. uniforme em (1, 2).

4.3 Fun¸

c˜

ao de Duas Vari´

aveis Aleat´

orias

4.3.1 Um Fun¸

c˜

ao de Duas Vari´

aveis Aleat´

orias

Dado duas v.a.’s X e Y e uma fun¸c˜ao g(x, y), a express˜ao Z = g(X, Y )

define uma nova v.a. Z. Sendo z um n´umero dado, denotamos DZ o subconjunto de RXY

[contra-dom´ınio de (X, Y )] tal que g(x, y) ≤ z. Ent˜ao

(Z ≤ z) = [g(X, Y ) ≤ z] = {(X, y) ∈ DZ}

onde {(X, Y )inDZ} ´e o evento consistindo de todos os resultados ζ tal que o ponto

{X(ζ), Y (ζ)}inDZ.

Ent˜ao

FZ(z) = P (Z ≤ z) = P [g(X, Y ) ≤ z] = P {(X, Y ) ∈ DZ}

Se X e Y s˜ao v.a.’s cont´ınuas com fdp conjunta fXY(x, y), ent˜ao

FZ(z) =

Z Z

DZ

fXY(x, y)dxdy

4.3.2 Duas Fun¸

c˜

oes de Duas Vari´

aveis Aleat´

orias

Dado duas v.a.’s X e Y e duas fun¸c˜oes g(x, y) e h(x, y), a express˜ao Z = g(X, Y ) e W = h(X, Y )

define duas novas v.a.’s Z e W . Sendo z e w dois n´umeros dados, denotamos por DZW o

subconjunto de RXY [contra-dom´ınio de (X, Y )] tal que g(x, y) ≤ z e h(x, y) ≤ w. Ent˜ao

(35)

onde {(X, Y ) ∈ DZW} ´e o evento consistindo de todos os resultados poss´ıveis ζ tal que o

ponto {X(ζ), Y (ζ)} ∈ DZW.

Ent˜ao

FZW(z, w) = P (Z ≤ z, W ≤ w) = P [g(X, Y ) ≤ z, h(X, Y ) ≤ w]

= P {(X, Y ) ∈ DZW}

No caso cont´ınuo, temos

FZW(z, w) =

Z Z

DZW

fXY(x, y)dxdy

4.3.3 Determinando f

ZW

(z, w) por f

XY

(x, y)

Seja X e Y v.a.’s cont´ınuas com fdp conjunta fXY(x, y). Se a transforma¸c˜ao

z = g(x, y) e w = h(x, y) ´e injetiva e possui a transforma¸c˜ao inversa

x = q(z, w) e y = r(z, w) ent˜ao a fdp conjunta de Z e W ´e dada por

fZW(z, w) = fXY(x, y)|J (x, y)|−1 onde x = q(z, w), y = r(x, y), e J (x, y) = ∂g ∂x ∂g ∂y ∂h ∂x ∂h ∂y = ∂z ∂x ∂z ∂y ∂w ∂x ∂w ∂y

o qual é o jacobiano da transforma¸cão. Definimos J (x, y) = ∂q ∂z ∂q ∂w ∂r ∂z ∂r ∂w = ∂x ∂z ∂x ∂w ∂y ∂z ∂y ∂w então |J(z, w)| = |J(x, y)|−1.

Exemplo 4.3.1. A voltagem V é um fun¸cão do tempo t e é dada por V (t) = X cos(ωt) + Y sin(ωt)

na qual ω ´e uma frequencia angular constante e X = Y = N (0; σ2) e s˜ao independentes. (a) Mostre que V (t) pode ser escrita como

V (t) = R(cos(ωt − Θ)) onde R =√X2_{+ Y}2 _{e Θ = tan}−1 X

Y .

(36)

4.4 Esperan¸

ca

4.4.1 Esperan¸

ca de uma Fun¸

c˜

ao de Uma Vari´

avel Aleat´

oria

A esperan¸ca de Y = g(X) ´e dada por E(Y ) = E[g(X)] =

P

ig(xi)pX(xi) caso discreto

R∞

−∞g(x)fX(x)dx caso cont´ınuo

4.4.2 Esperan¸

ca de uma Fun¸

c˜

ao de Mais de Uma Vari´

avel Aleat´

oria

Seja X1, . . . , Xn n v.a.’s e seja Y = g(X1, . . . , Xn). Ent˜ao

E(Y ) = E[g(X)] = P x1· · · P xng(x1, . . . , xn)pX1···Xn(x1, . . . , xn) c. d. R∞ −∞· · · R∞ −∞g(x1, . . . , xn)fX1···Xn(x1, . . . , xn)dx1· · · dxn c. c.

4.4.3 Propriedade de Linearidade da Esperan¸

ca

Note que a opera¸c˜ao esperan¸ca ´e linear, e temos E n X i=1 aiXi ! = n X i=1 aiE(xi)

onde os a0_is são constantes. Se as v.a.’s X e Y são independentes, então temos

E[g(X)h(Y )] = E[g(X)]E[h(Y )]

A rela¸c˜ao acima pode ser generalizado para um conjunto mutualmente independentes de n v.a.’s X1, . . . Xn: E " _n Y i=1 gi(Xi) # = n Y i=1 e[gi(Xi)]

4.4.4 Esperan¸

ca Condicional com uma Vari´

avel Aleat´

oria

Já definimos a esperan¸ca condicional de Y dado X = x , E(Y |x), o que é, em geral, uma fun¸cão de x, dizemos H(X). Agora H(X) é uma fun¸cão da v.a. X; isto é,

H(X) = E(Y |x)

Assim, E(Y |x) ´e uma fun¸c˜ao da v.a. X. Note que E(Y |x) tem a seguinte propriedade E[E(Y |X)] = E(Y ).

Exemplo 4.4.1. Seja X uma v.a. uniforme sobre (0, 1) e Y = eX

(a)Encontre E(Y ) usando fY(y);

(b)Encontre E(X) usando fX(x).

Exemplo 4.4.2. Seja X e Y definidos por

X = cos Θ e Y = sin Θ onde Θ ´e uma v.a. uniformemente distribuida sobre (0, 2π).

(a) Mostre que X e Y s˜ao descorrelatadas; (b) Mostre que X e Y s˜ao independentes.

(37)

4.5 Fun¸

c˜

oes Geradoras de Momento

4.5.1 Defini¸

c˜

ao

A fun¸c˜ao geradora de momento de uma v.a. X ´e definido por MX(t) = E(etX) = P ie txi_p X(xi) caso discreto R∞ −∞e tx_f X(x)dx caso cont´ınuo

onde t é uma variável real. Note que MX(t) pode não existir para algumas v.a.’s. Em

geral, MX(t) existir´a somente para aqueles valores de t para o qual a soma ou integral

converge absolutamente. Suponha que MX(t) existe. Se expressarmos etX formalmente e

tomarmos a esperan¸ca, temos MX(t) = E(etX) = E 1 + tX + 1 2!(tX) 2_{+ · · · +} 1 k!(tX) k_{+ · · ·} = 1 + tE(X) + t 2 2!E(X 2_{) + · · · +} t k k!E(X k_{) + · · ·}

Suponha que MX(t) existe. Se expressarmos etX formalmente e tomarmos a esperan¸ca,

temos MX(t) = E(etX) = E 1 + tX + 1 2!(tX) 2_{+ · · · +} 1 k!(tX) k_{+ · · ·} (4.1) = 1 + tE(X) + t 2 2!E(X 2_{) + · · · +} tk k!E(X k_{) + · · ·} _(4.2)

e o k-´esimo momento de X ´e dado por

mk = E(Xk) = MX(0) com k = 1, 2, . . ., onde M_X(k)(0) = d k dtkMX(t) t=0

4.5.2 Fun¸

c˜

ao Geradora de Momento Conjunta

A fun¸c˜ao geradora de momento conjunta MXY(t1, t2) de duas v.a.’s X e Y ´e definda por

MXY(t1, t2) = E[e(t1X+t2Y )]

onde t1 e t2 s˜ao vari´aveis reais. Procedendo como na eq. 4.1, podemos estabelecer que

MXY(t1, t2) = E[e(t1X+t2Y )] = ∞ X k=0 ∞ X n=0 tk 1tn2 k!n!E(X k_Yn₎

e o (k, n) momento conjunto de X e Y ´e dado por mkn= E(XkYn) = M_XY(kn)(0, 0) onde M_XY(kn)(0, 0) = ∂ k+n ∂k_t 1∂nt2 MXY(t1, t2) t1=t2=0

(38)

Exemplo 4.5.1. Seja o momento de uma v.a. discreta X dado por E(Xk) = 0.8 k = 1, 2, ...

(a)Encontre a fun¸c˜ao geradora de momento de X; (b)Calcule P (X = 0) e P (X = 1).

Exemplo 4.5.2. Calcule a fun¸cão geradora de momento de uma v.a. normal padrão X = N (0; 1) e calcule os três primeiros momentos de X.

4.6 Fun¸

c˜

ao Caracter´ıstica

4.6.1 Defini¸

c˜

ao

A fun¸cão Caracter´ıtica de uma v.a. X é definida por ΨX(ω) = E(ejωX = P iejωxipX(xi) caso discreto R∞ −∞e jωx_f X(x)dx caso cont´ınuo (4.3) quando ω é uma variável real e j =√−1. Note que ΨX(ω) é obtida trocando t em MX(t)

por jω se MX(t) existe. Assim, a fun¸c˜ao caracter´ıstica possue todas as propriedades da

fun¸c˜ao geradora de momento. Agora, |ΨX(ω)| = X i ejωxi_p X(xi) ≤X i ejωxi pX(xi) = X i pX(xi) = 1 < ∞

para o caso discreto e |ΨX(ω)| = Z ∞ −∞ ejωxfX(x)dx ≤ Z ∞ −∞ ejωxf_X(x)dx = Z ∞ −∞ fX(x)dx = 1 < ∞

para o caso cont´ınuo.

Dessa forma, A fun¸cão caracter´ıstica ΨX(ω) é sempre definida mesmo se a fun¸cão

momento MX(t) não é. Note que ΨX(ω) da Eq. 4.3 para o caso cont´ınuo é a transformada

de Fourier ( com o sinal de j trocado) de fX(x). Por causa deste fato, se ΨX(ω) ´e

conhecida, fX(x) pode ser encontrada pela transformada de Fourier inversa; isto ´e,

fX(x) = 1 2π Z ∞ −∞ ΨX(ω)e−jωxdω

4.6.2 Fun¸

c˜

oes Caracter´ısticas Conjuntas

A fun¸c˜ao caracter´ıstica conjunta ΨXY(ω1, ω2) de duas v.a.’s X e Y ´e definida por

ΨXY(ω1, ω2) = E[ej(ω1X+ω2Y )] = P i P ke j(ω1xi+ω2yk)_p XY(xi, yk) caso discreto R∞ −∞ R∞ −∞e j(ω1x+ω2y)_f

XY(x, y)dxdy caso cont´ınuo

(4.4) onde ω1 e ω2 s˜ao vari´aveis reais.

(39)

A expressão da equa¸cão 4.4 para o caso cont´ınuo é reconhecida como a transformada de Fourier bidimensional ( com o sinal de j trocado) de fXY(x, y). Assim, da transformada

de Fourier inversa, obtemos fXY(x, y) = 1 (2π)2 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ ΨXY(ω1, ω2)e−j(ω1x+ω2y)dω1dω2

Das equa¸c˜oes 4.3 e 4.4 vemos que

ΨY(ω) = ΨXY(ω, 0) e ΨY(ω) = ΨXY(0, ω)

as quais s˜ao chamadas fun¸c˜oes caracter´ısticas marginais.

Exemplo 4.6.1 (4.59). A fun¸c˜ao caracter´ıstica de uma v.a. X ´e dada por ΨX(ω) =

1 − |ω|, |ω| < 1 0 |ω| > 1 Calcule a fdp de X.