A3-4_EletroAp_EqMaxwell e meioscondutores

Introdução

Campo elétrico:

-O conceito de onda eletromagnética está diretamente ligado às noções de campo

elétrico e campo magnético.

Campo Elétrico; descreve a alteração das propriedades do espaço devido à presença de uma carga elétrica.

+

-

F

₁ +

E

Lembrando que:

F

₂ 2 1 1 0 1 1

4

ˆ

r

Qq



r

F



r

₁

A intensidade de campo elétrico, E, se define:

 

m

V

q

im

q

,

0

F

E







q

₁

q

₂

Introdução

Campo Elétrico, lei de Gauss

0

d

.



Q





E

S

 

V

_m

C

N

_



E

ε₀= 8.854  1012 _{F/m (Permissividade do vácuo)}

Para levar em conta os efeitos dos médios materiais:

E

D





_{ε, Permissividade do médio} Com isto:

Q





D d

.

S

 

2

m

C



D

Introdução

Campo Magnético

Campo Magnético; descreve a alteração das propriedades do espaço devido à presença de uma corrente elétrica (cargas elétricas se movimentando). O efeito dele pode ser visualizado a través de um transformador

A corrente induzida no secundário (I₂) é função (dentre outras variáveis) do campo magnético produzido no primário, o qual, por sua vez, vai depender da corrente circulando no primário (I₁).

R

I

₂

Introdução

Campo Magnético, lei de ampere

I

B

I

0

d

.







B

l

 

2

m

Wb



B

μ

₀

= 4





10

7

_{H/m (Permeabilidade}

do vácuo)

Para levar em conta os efeitos dos médios materiais:



B

H



μ, Permeabilidade do médio

Dai:



_{H d}

_.

_l



_I

 

m

A



H

Densidade de corrente e lei de Ohm

Considerar o movimento de cargas a través de um elemento de superfície Δs, com velocidade v. Se N é o numero de cargas por unidade de volume, então, no tempo Δt, cada carga se desloca uma distância igual a v.Δt, e a quantidade de carga passando a través do elemento de superfície Δs é:

t

s

NQ

Q











v

n

Onde n é um vetor unitário normal ao elemento de superfície.

A corrente se define como a variação de carga por unidade de tempo:

s

NQ

t

Q

I













v

n

É conveniente definir um vetor, densidade de corrente, cujas unidades serão Ampere por m2_:

Unidade de carga, coulomb, C

[I]=C/s, Ampere

v

J



NQ

Assim, podemos escrever:

s

I



J



n



Densidade de corrente e lei de Ohm

Podemos descrever a corrente fluindo a través de uma superfície arbitrária como o fluxo do vetor J a través dessa superfície:







Scie

ds

I

J

n

Desde que NQ representa carga por unidade de volume, podemos reescrever, para J

v

J





Onde ρ é a densidade volumétrica de cargas, em C/m3_.

Correntes de condução são resultado do movimento de cargas livres devido a um campo elétrico aplicado. A velocidade média das cargas livres (elétrons) num condutor sob a influencia de um campo elétrico e proporcional a dito campo:

E

v







_e

μ_e é a mobilidade do elétron no condutor, em m2_{/V.s. Alguns valores típicos para μ}

e :

Para cobre μ_e = 3.2x10-3 _m2_{/V.s ;} Alumínio, μ_e = 1.4x10-4 _m2_/V.s; Prata, μ_e = 5.2x10-3 _m2_/V.s

Densidade de corrente e lei de Ohm

Das duas ultimas equações:

E

J







_e



_e

Onde ρ_e será a densidade de elétrons livres no condutor igual a –Ne. Podemos escrever:

E

J





Onde ς = -ρ_eμ_e é a condutividade elétrica do condutor, com unidades A/V.m, ou S/m (Siemens/m). Para o cobre, ς=5.8x107 _{S/m .}

Consideremos agora um condutor homogéneo com seção reta uniforme S, e vamos deduzir a relação tensão-corrente.

Dentro do material, J = ςE. A diferença de potencial, ou voltagem, entre os extremos 1 e 2:

L

V

E

El

V

12 1 12











2

E.dl

A corrente total será: S I J JS ds I Scie     



J n

Densidade de corrente e lei de Ohm

Combinando as ultimas três equações:

RI

I

S

L

V

L

V

S

I

_

_

_

_





12 ₁₂

Equações de Maxwell em forma integral

Q

d

.





D

S

0

d

.





H

S

dt

d

I





E





B d

.

l





(1)

(2)

(3)

(4)

Lei de Gauss Ausência de monopolos ou ´cargas magnéticas´

Lei de indução de Faraday

Lei de Ampere-Maxwell

E

D





H

B





dt

d

_B

d

.









E

l

Aplicação das equações de Maxwell para alguns casos de alta simetria

de (1):

+

Q

r

E

Geração de um campo elétrico estático no vácuo (ε = ε₀) devido a uma carga pontual

Por simetria, sabemos que o campo E será de módulo constante a través da superfície que delimita uma esfera de radio r

r

r

r

E

r

E

ˆ

4

Q

;

4

Q

Q

4

Q

d

.

2 0 2 0 0 2 0























E

S

E

Lei de Gauss

Observação:

 

V

_m

C

N





E

 

2

m

C



D

ε₀= 8.854  1012 _{F/m (Permissividade} do vácuo)

E

D





Lei de Faraday















S

B

l

E

d

d

.

B B

dt

d

B

E

Uma variação temporal do fluxo do campo magnético B a través de uma superfície cria um campo elétrico E.

Observação:

 

2

m

Wb



B

 

m

A



H

H

B





μ

₀

= 4





10

7

_{H/m (Permeabilidade}

do vácuo)

Lei de Faraday

A

B(t)

Vamos supor um campo magnético, B(t), saindo da tela e aumentando com o tempo. Considerar um circuito condutor conectado a um amperímetro. Desde que o fluxo magnético a través da área limitada pela espira está variando, uma corrente I_ind é induzida na espira, e será mostrada no amperímetro. Observar o sentido da corrente induzida no circuito; ela age de tal forma a diminuir o fluxo magnético. Esta é a lei de Lenz, dada matematicamente pelo sinal negativo.

+

-

Podemos tirar o amperímetro e deixar o circuito aberto. Daí, teremos uma diferença de potencial:

dt

d

dt

d

V

_fem







B







B.d

S

I

_ind

Lei de Faraday

fem de transformação

O caso mostrado na transparência anterior é denominado fem de transformação, i.e., o campo magnético varia e a scie permanece constante, podemos escrever:

dS

B

l

E

























t

N

dt

d

V

_fem

d

B

Consideremos um circuito com duas espiras num campo B variando com o tempo segundo:

 

z

B



B

₀

sin



t

ˆ

Qual será a tensão a través do resistor?

Onde N representa o número de espiras.

 

t

V

AB

 

t

B

t





0

cos



ˆ



fem





2



0

cos







z

B

Onde A é a área da superfície da espira. Observação:

Se o campo B estiver aumentando, por exemplo, t entre 0 e π/2, a corrente induzida e a tensão no resistor têm o sentido mostrado na figura.

+

-

z

S

ˆ

Lei de Faraday

fem de movimento

Quando o campo magnético se mantem constante e a área do circuito está variando, o fluxo magnético também varia.















dt

d

dt

d

V

_fem B

B

S

Vamos considerar uma barra condutora movendo-se com velocidade u ao longo de um par de trilhos condutores, num campo magnético B₀ apontando ao interior da tela (-z), -B₀ ẑ:

Assim que a barra se move à direita, o fluxo aumenta na direção –z. Pela lei de Lenz, uma corrente será induzida na direção anti-horária da espira, de tal forma a diminuir o fluxo.

y

x

z

S

dxdy

ˆ

d



S

z

ˆ

dxu

_y

z

ˆ

dt

dy

dx

dt

d

_

_

w

u

B

dx

u

B

V

_fem w _{y 0 y} 0 0

ˆ



ˆ









-

z

z

u

_y

0

w

w

Os sentidos das setas indicam os sinais positivos para x e y

Lei de Faraday

fem de movimento

Podemos modificar as condições do experimento anterior, deixando apenas a barra condutora se movimentando a través do campo magnético (de valor constante).

Sabemos que partículas carregadas movendo-se num campo magnético experimentam uma força:

B

u

F



q



u

_y

-

+

No caso da barra condutora, as partículas carregadas serão os elétrons de condução, os quais tenderão a se acumular no extremo inferior da barra.

Devido a este acumulo de cargas negativas no inferior da barra, a parte superior da mesma fica carregada positivamente (mesmo assim a barra é eletricamente neutra). Dessa forma, aparece um campo elétrico no interior da barra de tal forma que impede os elétrons de continuar a se acumular no extremo inferior. Uma situação de equilíbrio é atingida quando:

0









E

u

B

F

q

q

Lei de Faraday

fem de movimento e formula geral

A partir desse campo elétrico podemos calcular a fem (assumimos comprimento w da barra):





u

B

dx

B

u

_y

w

w y barra barra 0 0 0























E

dl

u

B

dl

Se agora reinseríssemos os trilhos e o resistor na figura anterior, a tensão, ou fem da barra irá aparecer sobre o resistor, sendo :













u

B

dl

fem

V

A qual é a expressão geral para a fem de movimento.

Temos então que, para o caso mais geral, i.e., quando o campo magnético varia no tempo e o circuito se movimenta, a expressão para V_fem é:































E

l

B

d

s

u

B

dl

t

d

V

_fem

Fonte de um campo magnético; corrente elétrica e/ou variação do fluxo do campo elétrico a través de uma superfície aberta

I

t

d

d















H

.

d

l

J

.

S

D

.

S

Lei de Ampere-Maxwell

J é a densidade de corrente de condução. A derivada temporal de D é chamada densidade de corrente de deslocamento.

Lei de Ampere-Maxwell

Corrente de deslocamento V(t) =V₀sinωt

r

S

₁

S

₂

Se aplicarmos a tensão senoidal no circuito capacitivo, a corrente estará relacionada à capacitância a través de:

t

V

C

dt

t

dv

C

t

i

(

)



(

)





₀

cos



Calculando a circulação de H no percurso mostrado, o resultado deve ser o mesmo nas duas superfícies de integração mostradas

Para calcular a través de S1, devemos utilizar o primeiro termo da lei de Ampere Maxwell;



J d

.

S

Lei de Ampere-Maxwell

Corrente de deslocamento

Para calcular a través de S2, devemos utilizar o segundo termo da lei de Ampere Maxwell, para isso, precisamos conhecer o campo elétrico dentro do capacitor:

z

E

(

)

ˆ

d

t

v



D

E

D

(

)

z

ˆ

0

sin(

t

)

z

ˆ

d

V

d

t

v



_













Calculando a derivada temporal:

D

0

_cos(

_t

₎

_z

_ˆ

d

V

t











E integrando a través da superfície do capacitor:

.

0

_cos(

₎

t

d

SV

t

d













D

S

Lembrando que a capacidade do capacitor de placas paralelas é:

d

S

C





)

cos(

.

0

t

CV

t

d













D

S

_{Chegamos à mesma expressão,}

como esperado. Sendo S a área do capacitor

O termo carga total, Q, em (1) pode ser exprimido como uma integral de volume da densidade volumétrica de carga 









dv



1

d

. S

E

O fluxo de campo a través da superfície fechada é igual à carga total contida no volume subtendido por dita superfície.

Conceito de divergência: A divergência de um campo vetorial num ponto particular do espaço é uma derivada espacial do campo indicando se deste ponto as linhas emanam, ou divergem. O resultado é uma quantidade escalar; se positiva, temos uma “fonte” de campo (linhas divergentes); se negativa, teremos um “sorvedouro” (linhas convergentes); se nula, as linhas nem divergem nem convergem.

Podemos obter uma expressão para a divergência aplicando a lei de Gauss a um pequeno cubo elementar, centrado em x_o, y_o, z_o.





D d

.

S





dv

y

x

z

_Δx Δy Δz D(xo, yo,zo)  D(xo)xˆ  D(yo)yˆ  D(zo)zˆ



























base topo direito esquerdo posterior anterior

S

D d

.

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Integrando apenas na face anterior: D S )xˆ xˆ 2 ( d . D x₀ x y z anterior     



A expressão para D(xo+Δx/2) e obtida a partir da serie de Taylor a primeira ordem:

2 ) ( ) 2 ( _{0 0} x x D x D x x D _x x      

 Onde a mudança em Dx, a partir de D(x0), é o produto da _{derivada(taxa de variação espacial) pela distância do ponto}

P à face anterior, Δx/2. Dai:

2 ) ( d . ₀ x y z x D z y x D x anterior         



D S

Podemos achar o fluxo na parte posterior de forma análoga, nesse caso, o vetor diferencial de área fica: ds=-ΔyΔzx̂, e a densidade de fluxo da parte posterior:

2 ) ( ) 2 ( _{0 0} x x D x D x x D _x x        2 ) ( d . ₀ x y z x D z y x D x posterior          



D S

Dai, somando-se os fluxos das faces anterior e posterior:

v x D z y x x D_{x x} posterior anterior          



 2 2 d . S

D Onde Δv indica elemento de volume.

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Da mesma forma, a soma dos fluxos a través das faces direita e esquerda, e superior e inferior é, respectivamente: v y D_y esquerda direita    



 S D d. _v z D_z erior erior    



inf sup d . S D

Somando todas a contribuições, e escrevendo a lei de Gauss:

v z D y D x D dv x y z                 





D d. S 

A aproximação se faz exata quando tomamos o limite de Δx, Δy e Δz tendendo a zero, ou, equivalentemente, Δv → 0, i.e., os termos de ordem superior da serie de Taylor para D vão a zero. z D y D x D v dv v z y x v v            





   



0 0 lim d . lim D S

O primeiro termo da eq acima é a divergência de D, o fluxo do campo vetorial a través de uma superfície fechada divido pelo volume delimitado por dita superfície, quando o volume tende a zero. Analisando o segundo termo:





 



  _v dv v 0 lim

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Lei de GAUSS

O terceiro termo da penúltima equação da transparência anterior, está relacionado ao vetor densidade de fluxo a través do operador diferencial “nabla”:

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x























Notar que é um operador vetorial. Ele está associado a varias operações. No caso da divergência, ele é aplicado ao campo vetorial a través de um produto escalar:

z D y D x D_x y _z            D Com isto:





_D







_{A qual é a lei de Gauss em forma diferencial, ou pontual.}

Também pode aparecer em função do campo elétrico.

Usando mais uma vez a lei de Gauss em forma integral:





D d

.

S





dv

E substituindo ρ chegamos a



D

.

d

S









.

D.

dv

Que é o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss), que estabelece que integrar a componente normal de um campo vetorial sobre uma superfície fechada equivale a integrar a divergência deste campo em todos os pontos no volume limitado por dita superfície.





   E

Dando como resultado uma quantidade escalar





_max 0

ˆ

1













 

l

E

s

E

d

s

im

s



Definição do operador rotacional :

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Lei de Faraday

dt

d

dt

d





E

.

d

l







B





B.

d

S

Aqui devemos aplicar o teorema de Stokes:



E



dl





(





E

).

d

S

O rotacional de um campo vetorial é a circulação por unidade de superfície sendo que o contorno de integração é escolhido de tal forma que a circulação seja máxima. Observar que a circulação é um vetor com direção perpendicular à superfície e indica a direção em torno à qual se da a rotação.

A









z y x z y x z y x E ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ                                                          y E x E x E z E z E y E E E E z y x x y z x y z z y x

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Operador Rotacional

Operação aplicada em um campo vetorial na forma de um produto vetorial.

z y x E E E z y x          z y x E ˆ ˆ ˆ

Pode ser calculada através do determinante:

O rotacional é um Vetor que descreve a rotação do campo vetorial em um ponto. A direção é o eixo de rotação, dada pela “regra da mão direita”

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Lei de Faraday

dt

d

dt

d





E

.

d

l







B





B.

d

S

Pelo teorema de Stokes:



E



dl





(





E

).

d

S

dt

d

d





(





E

).

S





B.

d

S

Substituindo no primeiro termo da lei de Faraday: E desde que a superfície é a mesma: 0 ). (      



E B dS t

Como o termo entre parêntese deve ser =0:

t













E

B

A qual é a lei de Faraday em forma diferencial

t













E



H

ou

dt

d

d

d







H

.

d

l



J

.

S



D

.

S

Derivação das equações de Maxwell em forma diferencial:

Lei de Ampere-Maxwell

Aplicando o teorema de Stokes:





.

.

.



.



0







































H

S

J

S

D

S

H

-

J

D

d

S

t

dt

d

d

d

d

Daí, obtemos:

t













H

J

D

t













E

B

Equações de Maxwell em forma diferencial



   D 0    B t       H J D Lei de Gauss

Lei de Gauss para o campo magnético Lei de Faraday Lei de Ampere-Maxwell Relações constitutivas:

E

D





H

B





E

J





Equação da força de Lorentz:

B)

v

E

Para obtermos a equação de propagação dos campos eletromagnéticos, ou equação de ondas, consideramos a lei de Faraday e de Ampere-Maxwell, num meio isotrópico, homogéneo e livre de cargas i.e. com =0

Usamos a identidade:









_A





_.(



_.

_A

₎





2

_A

t































E

.(

.

E

)

2

E

2

E



H

Equações das ondas Eletromagnéticas

t













E



H

E substituímos na lei de Faraday:

0

 

 E Já que não temos fontes.

t       H J D

A seguir, substituímos o rotacional do H no segundo membro da equação acima usando a lei de Ampere -Maxwell

2 2 2 2 2 2 2

z

y

x





















Onde:

Equações das ondas Eletromagnéticas

2 2 2 t t t t t                        J D D J H E









Utilizando as relações constitutivas para deixar em função do campo elétrico E:

2 2 2

t

t















E



E



E

Esta é a equação de onda para o campo E, uma equação idêntica pode ser obtida para o campo H. A equação de onda pode ser decomposta em três equações escalares, Ex, Ey e Ez:

2 2 2 2 2 2 2 2 t t z y x                     E E E   E Ex(x,y,z,t)xˆ Ey(x, y,z,t)yˆ Ez(x, y,z,t)zˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t t z y x E t t z y x E z t z y x E y t z y x E x t z y x E_{x x x x x}                     _{ } 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t t z y x E t t z y x E z t z y x E y t z y x E x t z y x E_{y y y y y}                         2 2 2 2 2 2 2 2 ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( t t z y x E t t z y x E z t z y x E y t z y x E x t z y x E_{z z z z z}                     _{ }

Equações das ondas Eletromagnéticas

Dependência temporal harmônica

Uma situação prática de grande interesse são os campos com dependência temporal harmônica. Um campo elétrico harmônico no tempo é função da posição, do tempo em forma periódica, e pode ser escrito na forma instantânea como:



x,y,z,t

 



E

x,y,z



cos(



t





)

E

Usando a identidade de Euler, podemos escrever:



























j t



s t j j t j

e

x,y,z

e

e

x,y,z

e

x,y,z

x,y,z,t

E

 

E

 

E



E



Re

(  )



Re



Re

Onde a forma fasorial do campo é:





j

s

E

x,y,z

e

E



Vamos agora escrever a equação de onda para dependência harmônica usando a forma fasorial. As derivadas temporais ficam :

t j s t j s

_j

_e

t

e

 _



E

E







_{j t} s t j s

_e

t

e



_

_

E

E

₂ 2 2









Equações das ondas Eletromagnéticas

Dependência temporal harmônica Equação de Helmholtz

Substituindo na equação de ondas:

2 2 2 2 2 2

t

e

t

e

e

t

t

t j s t j s t j s































_

_



_

E



_

E



E

E

E

E

Obtemos:

E

s

j

E

s

E

s 2 2











A qual podemos expressar como:

0

2 2







E

_s



E

_s















j

(



j

)





j

ϒ tem uma parte real, que é a atenuação, α, (1/m, ou Neper/m), e uma parte imaginária, β, a constante de fase (1/m, ou rad/m). Claramente, uma equação análoga para o campo H pode ser obtida.

Esta equação é chamada equação de Helmholtz para o campo elétrico, onde ϒ (gama), é a cte de propagação:

0

2

2





Equações das ondas Eletromagnéticas

Dependência temporal harmônica

É possível demonstrar que, para um meio geral, podemos expressar α e β como função da frequência e dos parâmetros constitutivos do material:



































1

1

2

2













































1

1

2

2











Soluções das Equações das ondas Eletromagnéticas

Dependência temporal harmônica

Para achar uma solução da equação de ondas para campos harmônicos no tempo, vamos considerar uma onda com componente na direção x, propagando-se na direção z :

x

z

E

z

_xs s

(

)



(

)

ˆ

E

Ao termos dependência apenas em z, a equação de ondas fica :

0

)

(

)

(

₂ 2 2





z

dz

z

d

xs xs

_E

E

_

Esta é uma equação diferencial linear e homogênea de segunda ordem, uma possível solução é:

rz

xs

z

Ae

E

(

)



Onde A e r são constantes arbitrárias, substituindo na equação acima:















Ae

r

Ae

r

2 rz 2 rz

0

Vamos considerar r=-ϒ, dai: E_xs(z)  Aez  Ae(j)z

Multiplicando por ejωt _{e tomando parte real:}

_Re



_Ae

(j)z

_e

j(t)





_Ae

z

_cos(



_t





_z

₎

O que representa uma onda se propagando no sentido z positivo e sendo atenuada. A constante “A” é a amplitude do campo elétrico em z=0 e t=0, E+

0. A

expressão completa para a onda fica:

x

z

t

e

E

0 z

cos(







)

ˆ



 

E

Soluções das Equações das ondas Eletromagnéticas

Dependência temporal harmônica

Considerando r =ϒ, teríamos chegado à solução:

E



E

0

e

z

cos(



t





z

)

x

ˆ

A qual representa uma onda se propagando no sentido negativo do eixo z e sendo atenuada.

A solução geral será a combinação linear de soluções, em forma fasorial:

s

s

j

H

E











E a solução geral instantânea:



E

e

E

e



x

z

z z s

(

)

0 0

ˆ

    

_



E

Vamos achar a expressão para a onda que representa o campo magnético H. Para isso, usamos a lei de Faraday, a qual, em forma fasorial para campos harmônicos se expressa:

x

z

t

e

E

x

z

t

e

E

0 z

cos(







)

ˆ



0 z

cos(







)

ˆ



   

E

Aplicando o operador rotacional à solução geral:



z z



s s E e E e z E _{ }   0 0 ˆ ˆ            E y y A expressão para Hs: _          z  z s E e j e E j       0 0 ˆy H

Impedância intrínseca do médio

Podemos escrever : 0 0   _ E j H  



z z



s

H

e

H

e

  0 0

ˆ

 







y

H

com: 0   E0 j H  

Definimos a impedância intrínseca do médio, η, como a razão entre E+

0 e H+0 :







j

H

E

_



_ 0 0 Também se verifica que:







j

H

E

_





_ 0 0

Desde que as unidades de E são V/m e H são A/m, as unidades de η são Ω. Colocando a cte de propagação em forma explícita:









j

j





Propagação em meios sem perda

Vamos considerar uma onda se propagando um meio sem cargas livres nem perdas, i.e. ς = 0, sendo este o caso de propagação no vácuo, ou também no espaço livre, na medida que este também é um meio sem perdas (nem cargas). Um dielétrico perfeito é também um meio sem perdas, desde que não possui condutividade.

Avaliando a constante de propagação nesse caso :























j

j

j

j

j













 2 2 0

)

(











0

,



O termo de atenuação, α=0, isto é, o sinal não se atenua na propagação. Por isto o meio é referido como sendo sem perdas.

Propagação em meios sem perda





















0

j

j

Podemos também calcular a impedância intrínseca de um meio sem perdas:





       _       120 / 10 36 / 1 / 10 4 9 7 0 0 0 m F m H

Vemos que é um número real, isto significa que os campos elétrico e magnético estão em fase em um médio sem perdas, cujo valor para o caso específico do vácuo é:

Considerando a nossa onda com componente em x e se propagando segundo z, temos, para um meio sem perdas:





x

E

_s

(

z

)



E

0

e

jz



E

0

e

jz

ˆ

x

x

E



E

0

cos(



t





z

)

ˆ



E

0

cos(



t





z

)

ˆ

E, na forma instantânea:

Propagação em meios sem perda

          z  z s E e j e E j       0 0 ˆy H

Para o campo magnético, a partir de:

Utilizando as expressões para γ e η correspondente a médios sem perdas chegamos a:



j z j z



z j z j s

e

H

e

H

e

E

e

E

_{   }









0 0 0 0

ˆ

ˆ

  



 

































y

y

H

E, na forma instantânea:

y

y

H



H

0

cos(



t





z

)

ˆ



H

0

cos(



t





z

)

ˆ

Considerações sobre ondas em médios sem perdas

x

E



E

0

cos(



t





z

)

ˆ

H



H

0

cos(



t





z

)

y

ˆ

Vamos interpretar as soluções para os campos elétrico e magnético, considerando apenas os primeiros termos;

Essas equações representas ondas planas, vemos que o argumento da função coseno é função das variáveis t e z, a evolução da onda esta representada na figura embaixo:

Para um tempo fixo (por ex. t=0):

z-axis 

+a

a

0

Considerações sobre ondas

E₀, H₀ : amplitude

β : número de onda (2π/λ)

 : comprimento de onda

 : frequência angular (radianos/segundo) (2πf, ou 2πν )

 : frequência em Hz (ciclos/segundo)

T : período (segundos) ( 1/ν)

 : fase inicial (fase da onda em z = t = 0)

cte

z

t



)



(





fazendo Podemos determinar a velocidade da onda:

























dt

dz

dz

dt

cte

d

z

t

d

(

)

(

)

Lembrando que, para um médio sem perdas:









_

1



v

A velocidade é positiva, o que significa uma onda viajando no sentido positivo de z. considerando a outra solução para a equação de ondas: e fazendo: E E0 cos(t  z)xˆ



















dt

dz

cte

z

t

)

Substituindo os valores da permitividade elétrica e permeabilidade magnética para o vácuo, obtemos a velocidade de luz, c₀:





F

m

m

s

m

H

c

v

3

10

/

/

10

36

/

1

/

10

4

1

1

₈ 9 7 0 0 0

















 

_







Considerações sobre ondas

E

H

β

Para ondas planas, e segundo as equações de Maxwell, se verifica que E, H e β são mutuamente ortogonais:

Dielétricos com perdas

Vamos relembrar a lei de Ampere:

t       H J D

E, expressando D=εE, e J=ςE vamos escreve-la em forma fasorial:











j t



s x,y,z e x,y,z,t E  E  Re H



x,y,z,t



 Re



H_s



x,y,z



ejt



s E s s s

E

j

E

j

E

H



















Resultando:

Onde ε_E é uma “permissividade complexa equivalente”









_E   j

A parte complexa (proporcional à condutividade), será a responsável pelas perdas ôhmicas, i.e., energia do campo elétrico movimentando elétrons de condução. Isto é coerente com o deduzido anteriormente, um meio sem condutividade não atenua o campo elétrico da onda. Ainda, o dielétrico pode apresentar perdas polarizando o material (movimentando elétrons ligados e empregando energia para vencer o atrito). Nesse caso, podemos escrever ε como ε _c:

´´ ´









 _c   j Onde ε´ é a parte real e ε´´, a parte complexa, responde pelas perdas de

Dielétricos com perdas

Colocando a expressão completa da permissividade que leva em conta ambas as perdas na lei de Ampere :





s









s s s E j j E j E H 









´



´´ 







´´ 



´  

Da expressão anterior, fica claro que podemos levar em conta ambas as perdas por condutividade e polarização a través de uma condutividade efetiva :

´´







_eff  

Uma medida padrão das perdas num dielétrico é dada pela tangente de perdas, a qual se define como: ´ ´´ tan









 

Re

Im

s H  









´´



E_s s E ´



A densidade de corrente de deslocamento está representada no eixo imaginário, a densidade de corrente de condução no eixo real, a soma (complexa) é o rotacional do campo magnético. Agora, é simples visualizar que um bom condutor está caracterizado por uma tanδ >>1, e um bom dielétrico tanδ <<1.

Dielétricos com perdas

Em geral, ε´´ contribui significativamente apenas em frequências específicas, dependendo do material. Na maioria dos casos práticos, podemos desprezar esse termo. Dai, a tangente de perdas se escreve:









tan

Um bom condutor estará dado por:

1 1 tan   







É um bom dielétrico: 1 1 tan   







Propagação em condutores

Efeito pelicular

Para bons condutores:









_                 1 1 2

1

1

tan













Sob essa condição, o termo dentro da raiz nas expressões gerais para α e β fica:

Com isso: _{  }  _{ f} 2

x

z

f

t

e

E

0 fz

cos(









)

ˆ



 

E

Substituindo na expressão para o campo elétrico da nossa onda:

Observamos que o campo elétrico decresce dentro de um condutor, a profundidade de penetração, z_SK, para a qual o campo elétrico da onda decresce 1/e em relação ao valor que tinha na scie do condutor, i.e., z=0, é chamada de skin depth, ou profundidade de penetração:





f

z

_SK



1

Nos bons condutores, o campo fica confinado muito próximo à superfície, numa camada fina, ou película.

0 _1Z sk 2Zsk 3Zsk 4Zsk 5Zsk 6Zsk 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

E

z

1/e = 0.37 Frequência Z_sk (m) 60 Hz 8.5x10-3 1 MHz 6.6x10-5 30 GHZ 3.8x10-7

- O resultado prático desta conclusão é que para altas frequências a corrente que circula nos condutores o faz apenas numa fina camada, ou película, próximo da superfície.

Propagação em condutores

Efeito pelicular ou skin

Para o cobre:

Propagação em condutores

Outra consequência da alta condutividade é o decréscimo do valor da velocidade de propagação e do comprimento de onda:













2

2







v





















f

f

2

4

2

2

2

_

_

2

_



Impedância característica nos bons condutores:





















j

j

j

j

j

_









E desde que:

2

1

4 2

_e

j

e

j



j



j





0 45

)

1

(

2

j

e

j

















Vemos que, nos bons condutores, o campo elétrico e o campo magnético estão defasados 450_:

Balanço de energia eletromagnética e vetor de Poynting

Teorema de Poynting:





E

H

dv

E

dv

t

d

Scie





















_













2 2 2

2

1

2

1

_

_

_

s

H

E

A superfície fechada sobre a qual é feita a integral do primeiro termo encobre o volume. O primeiro e segundo termos do lado direito da ultima equação representam a variação temporal de energia armazenada nos campos elétrico e magnético, respectivamente. O terceiro termo representa a energia ôhmica dissipada no volume.

Fazendo

S



E



H

podemos rescrever a equação acima como:



w

w



dv

P

dv

t

d

_{E H} Scie





















S

s

_{ Onde:}

Densidade de energia elétrica 2

2

1

H

w

_M





_{Densidade de energia magnética}

2

E

P

_





Densidade de potencia ôhmica

A equação acima estabelece que a energia fluindo para dentro de um volume (dada pela integral de superfície, ou fluxo do vetor de poynting), iguala às somas das variações temporais de energias dos campos elétricos e magnéticos, somada à energia ôhmica dissipada dentro desse volume 2

2

1

E

w

_E



