Modelagem computacional para a avaliação do comportamento estrutural de pórticos espaciais com acoplamento de lajes utilizando o método de elementos finitos

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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MAURICIO LIVINALI

MODELAGEM COMPUTACIONAL PARA A AVALIAÇÃO DO

COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE PÓRTICOS ESPACIAIS COM

ACOPLAMENTO DE LAJES UTILIZANDO O MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS

Santa Rosa 2018

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MODELAGEM COMPUTACIONAL PARA A AVALIAÇÃO DO

COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE PÓRTICOS ESPACIAIS COM

ACOPLAMENTO DE LAJES UTILIZANDO O MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS

Pesquisa apresentada à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, como requisito para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Orientador: Prof. Me. Rafael Aésio de Oliveira Zaltron

Santa Rosa 2018

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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MAURICIO LIVINALI

Pesquisa apresentada à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, defendido e aprovado em 18 de Dezembro de 2018, pela seguinte banca de avaliação:

__________________________________

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comportamento estrutural de pórticos espaciais com acoplamento de lajes utilizando o método de elementos finitos. Trabalho de Conclusão de Curso. Curso

de Engenharia Civil, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUI, Santa Rosa, 2018.

No corrente trabalho, é proposto um sistema computacional a partir de uma modelagem numérica no software MATLAB, fundamentada no Método dos Elementos Finitos (MEF). O software fornece como respostas os deslocamentos, os esforços e reações de apoio nos nós considerados. Com isso, sendo facilitadas as implementações de hipóteses de cálculo e a possibilidade de várias simulações que compreender-se-ão necessárias para a validação do método, buscando caracterizar o comportamento de um pórtico espacial havendo a incidência de elementos de placa junto a rigidez do sistema, avaliando-o a partir de seus deslocamentos e esforços encontrados através da modelagem numérica. São apresentados os modelos numéricos desenvolvidos para a modelagem do software, que foi responsável pela obtenção dos resultados das estruturas analisadas, relatando suas peculiaridades. Objetivando calibrar e validar os resultados do programa desenvolvido, foram realizados ensaios com exemplos de estruturas já consagradas na literatura pesquisada, a fim de monitorar, calibrar e comparar se os esforços e deslocamentos obtidos com o software desenvolvido apresentam-se satisfatórios. De posse do

software calibrado, iniciou-se os procedimentos de análise de diferentes estruturas, a

fim de averiguar a eficiência do método utilizado e sua importância perante a análise de estabilidade global da estrutura. Devido à alta complexidade numérica e computacional que o modelo necessita, foram realizadas diversas condições e hipóteses para diferentes modelos estruturais para posterior avaliação de suas respostas. A avaliação dos resultados da modelagem mostrou-se satisfatória, apresentando resultados expressivos para a contribuição das lajes na rigidez global da estrutura, sendo analisadas em diferentes contribuições como 0%, 15%, 40% e 100% e em distintas espessuras como 10, 12, 15, 20 e 30cm.

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behavior of spatial components with coupling of slabs using the finite element method. Trabalho de Conclusão de Curso. Curso de Engenharia Civil, Universidade

Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUI, Santa Rosa, 2018.

In the current work, a computational system is proposed based on a numerical modeling in the MATLAB software, based on the Finite Element Method (FEM). The

software provides as responses to the user the displacements, efforts and support

reactions in the nodes considered. With that, implementations of calculation hypotheses and the possibility of several simulations that will be understood as necessary for the validation of the method are facilitated. Looking characterize the behavior of a spatial frames with the incidence of plate elements along with the rigidity of the system, evaluating it from their displacement and efforts found through numerical modelling. Are presented the numerical models developed for the modeling of the

software, which was responsible for obtaining of the results of the structures analyzed,

reporting their peculiarities. Aiming calibrate and validate the results of the developed program, were made trials with examples of structures already established in the researched literature, in order to monitor, calibrate and compare whether the efforts and displacements obtained with the software developed are satisfactory. Possession of the calibrated software, the procedures for analyzing different structures in order to ascertain the efficiency of the method used and its importance to the analysis of the overall stability of the structure. Due to the high numerical and computational complexity that the model requires, several conditions and hypotheses were performed for different structural models for further evaluation of their responses. The evaluation of the results of the modeling proved to be satisfactory, presenting expressive results for the contribution of slabs in the overall rigidity of the structure, being analyzed in different contributions as 0%, 15%, 40% and 100% and in different thicknesses such as 10, 12, 15, 20 and 30cm.

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Figura 2 - Graus de liberdade elemento finito de pórtico espacial. ... 20

Figura 3 - Momento de Engastamento Perfeito. ... 21

Figura 4 - Elemento isoparamétrico de 4 nós. ... 22

Figura 5 - Elemento de placa da Teoria de Kirchhoff... 23

Figura 6 - Deformação do plano médio da placa de Reissner-Mindlin. ... 25

Figura 7 - Placa à flexão pela Teoria de Reissner-Mindlin. ... 26

Figura 8 - Distribuição de tensões na placa. ... 30

Figura 9 - Convenção de sentidos positivos dos esforços internos. ... 30

Figura 10 - Viga 13: Momentos Fletores atuantes. ... 32

Figura 11 - Refinamentos da malha de elementos finitos. ... 34

Figura 12 - Formulação do deslocamento axial do elemento. ... 38

Figura 13 - Sistema de numeração para o elemento de pórtico espacial. ... 42

Figura 14 – Rotação de membro de pórtico espacial em torno do eixo Xm. .. 42

Figura 15 - Matriz de Incidência global. ... 44

Figura 16 - Acoplagem pórtico-placa. ... 45

Figura 17 - Fluxograma de trabalho da modelagem. ... 48

Figura 18 - Resultados dos deslocamentos na variável a. ... 51

Figura 19 - Gráfico de saída de dados (Geometria). ... 51

Figura 20 - Gráfico de saída de dados (Deslocamentos). ... 52

Figura 21 - Malha de nós da Placa. ... 53

Figura 23 - Gráfico de Deslocamentos Engastada. ... 54

Figura 22 - Gráfico de Deslocamentos Apoiada. ... 54

Figura 24 - Pórtico espacial com laje acoplada. ... 55

Figura 25 - Exemplo de modelagem no SAP2000. ... 55

Figura 26 - Carregamento Distribuído. ... 57

Figura 27 - Carregamento Concentrado. ... 57

Figura 28 - Deslocamentos em AA' - Carregamento Concentrado ... 57

Figura 29 - Deslocamentos em BB' - Carregamento Concentrado. ... 58

Figura 30 - Deslocamentos em AA' - Carregamento Distribuído. ... 59

Figura 31 - Deslocamentos em BB' - Carregamento Distribuído. ... 59

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Figura 35 - Modelo estrutural deslocado. ... 63

Figura 36 – Carregamento unitário no Modelo 3. ... 64

Figura 37 - Carregamento aplicado do Pórtico Assimétrico. ... 65

Figura 38 - Gráfico de deslocamentos em AA'. ... 66

Figura 39 - Gráfico de deslocamentos em BB'. ... 66

Figura 40 - Gráfico de deslocamentos em CC'. ... 67

Figura 41 - Gráfico de deslocamentos em DD'. ... 67

Figura 43 - Pórtico assimétrico avaliado no SAP2000. ... 68

Figura 42 - Carregamento sobre lajes 30cm. ... 68

Figura 44 – Gráfico de deslocamentos laje 30cm em AA'. ... 69

Figura 45 - Gráfico de correlação dos resultados. ... 70

Figura 46 - Pórtico acoplado. ... 71

Figura 47 - Deslocamentos verticais - Laje de 10cm. ... 72

Figura 48 - Deslocamentos AA' - Laje de 10cm. ... 73

Figura 49 - Deslocamentos BB' - Laje de 10cm. ... 74

Figura 50 - Deslocamentos CC' - Laje de 10cm. ... 74

Figura 51 - Deslocamentos DD' - Laje de 10cm. ... 74

Figura 52 - Variação dos diagramas de Momento. ... 75

Figura 61 - Deslocamentos Verticais - Laje de 20cm. ... 81

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Tabela 2 - Resultados do modelo 2. ... 56

Tabela 3 - Deslocamentos em AA' - Carregamento Concentrado. ... 57

Tabela 4 - Deslocamentos em BB' - Carregamento Concentrado. ... 58

Tabela 5 - Deslocamentos em AA' - Carregamento Distribuído. ... 58

Tabela 6 - Deslocamentos em BB' - Carregamento Distribuído. ... 59

Tabela 7 - Deslocamentos Carregamento Concentrado... 60

Tabela 8 - Deslocamentos Carregamento Distribuído. ... 61

Tabela 9 - Deslocamentos do Pórtico Espacial Assimétrico. ... 64

Tabela 10 - Deslocamentos em AA' e BB'. ... 65

Tabela 11 - Deslocamentos em CC'. ... 66

Tabela 12 - Deslocamentos em DD'. ... 67

Tabela 13 - Deslocamentos Laje 30cm em AA'. ... 69

Tabela 14 - Deslocamentos Verticais - Laje de 10cm... 73

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ADG Analogia das Grelhas

MEF Método dos Elementos Finitos

PMEP Princípio da Mínima Energia Potencial

2.MATRIZES E VETORES

𝑎𝑒 Matriz dos graus de liberdade 𝐵_𝑏 Matriz de deformação por flexão

𝐵_𝑠 Matriz de deformação por cisalhamento 𝐷𝑁𝑐 Matriz das derivadas cartesianas

𝐷𝑁𝑥 Matriz das derivadas paramétricas 𝐷_𝑏 Matriz de elasticidade de flexão

𝐷𝑠 Matriz de elasticidade de cisalhamento

ξ e η Coordenadas paramétricas referentes a x e y 𝜀_𝑏 Matriz de deformação por flexão

𝜀_𝑠 Matriz de deformação por cisalhamento 𝜀̂ Deformações isoparamétricas

∑ Vetor das tensões resultantes 𝐹𝑖 Vetor de forças nodais

𝐹_𝐺𝑒 Vetor de forças nodais do elemento compatibilizado 𝐹𝐹𝑃 _{Vetor de carga elemento acoplado}

𝐾_𝑏 Matriz de rigidez de flexão

Kk Vetor das hipóteses de Kirchhoff

𝐾_𝐺𝑒 Matriz de rigidez do elemento compatibilizado 𝐾_𝐺 Matriz de rigidez global

𝐾𝐹𝑃 matriz de rigidez elemento acoplado

𝐾_𝑇 Matriz de rigidez local de elemento de placa 𝑘̂𝑦,𝑧 Curvaturas isoparamétricas

J Matriz Jacobiana

𝑁𝑖 Função de interpolação isoparamétrica

𝜎𝑏 Matriz de tensões normais

𝜎_𝑠 Matriz de tensões cisalhantes 𝑅𝑒 Matriz de rotação do elemento 𝑅_𝑖 Submatriz dos cossenos diretores

𝑈𝐹𝑃 _{Vetor de deslocamentos elemento acoplado}

Π(d) Energia Potencial Total

U(d) Energia de deformação da estrutura Wp(d) Trabalho potencial das forças externas

3.SIMBOLOS

𝛼 Coeficiente de distorção transversal Βx, Βy Deformações angulares

C0, 1 _{Aproximação de continuidade}

εx, εy, εz Deformações longitudinais

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𝑀𝑥 𝑦 𝑧, Momentos fletor

𝜎_{𝑥 𝑦 𝑧} Tensão normal

θx, θy, θz Rotações em relação aos eixos x,y,z

𝜑̂ Rotações isoparamétricas

u Deslocamentos nodais

𝑢̂ Deslocamentos nodais isoparamétricos 𝜗 Coeficiente de Poisson

𝑣̂, 𝑤̂ Deflexões isoparamétricas

w Deslocamentos verticais

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1.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E MOTIVAÇÃO ... 13

1.1.1 Objetivos gerais e específicos ... 15

1.2 DELIMITAÇÃO ... 16

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 17

2.1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE CÁLCULO ... 17

2.1.1 Método de Rayleigh-Ritz ... 17

2.1.2 Método de Galerkin ... 18

2.1.3 Método dos Elementos Finitos (MEF) ... 19

2.1.4 Elementos Isoparamétricos ... 21

2.1.5 Placas à flexão ... 22

2.1.6 Princípio da Mínima Energia Potencial (PMEP) ... 27

2.1.7 Formulação de Placas pela Teoria de Reissner-Mindlin ... 29

2.2 PESQUISAS NO CAMPO DO MEF E INFLUÊNCIA DE LAJES ... 32

3 MÉTODO DE IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ... 36

3.1 MEF APLICADO À PLACA DE REISSNER-MINDLIN ... 36

3.1.1 Aplicação para Elementos Isoparamétricos ... 37

3.1.2 Integração Numérica ... 37

3.2 FORMULAÇÃO DO MEF PARA PÓRTICOS ESPACIAIS ... 38

3.2.1 Matriz de Rotação ... 41

3.2.2 Matriz de Rigidez Global ... 43

3.3 ACOPLAGEM PÓRTICO ESPACIAL - PLACA ... 44

3.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO ... 46

4 MODELAGEM COMPUTACIONAL... 47

4.1 FLUXOGRAMA ... 47

4.2 ENTRADA DE DADOS ... 47

4.3 MANIPULAÇÃO DOS DADOS ... 49

4.3.1 Acoplagem Pórtico-Placa ... 50

4.4 SAÍDA DE DADOS... 50

4.5 CALIBRAÇÃO ... 52

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5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 71

5.1 PÓRTICO ASSIMÉTRICO ... 71

5.1.1 Laje com espessura de 10cm ... 72

6 CONCLUSÕES ... 87

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1 INTRODUÇÃO

1.1 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E MOTIVAÇÃO

No desenvolvimento de um projeto estrutural, muitos fatores devem ser levados em consideração pelo engenheiro de forma a prever o comportamento de uma estrutura frente as diversas ações que lhes são impostas. A obtenção e o conhecimento desses fatores são os atuais desafios da engenharia estrutural para o conhecimento do real comportamento e da capacidade resistente de um elemento estrutural (OLIVEIRA, 2009). Cabe ao profissional fazer valer de seu conhecimento técnico para a escolha da ferramenta ideal para cada situação, pois será de pouca valia um minucioso detalhamento do projeto estrutural se os esforços considerados não forem os corretos, afetando direta e significativamente o custo da estrutura, uma vez que é pela magnitude dos esforços que os elementos estruturais são dimensionados (FISH; BELYTSCHKO, 2009).

Ao projetar, a análise estrutural consiste na verificação do comportamento da estrutura em relação as ações que nela estão agindo, através da determinação dos esforços e deslocamentos nos elementos. Os métodos convencionais determinam os esforços apenas nos principais elementos estruturais, e caso satisfeitas as condições pré-estabelecidas, avalia-se os deslocamentos para garantir uma estrutura resistente que não apresente deslocamentos excessivos (LEET; UANG; GILBERT, 2010). Embora entenda-se que a maior parte de uma carga aplicada em um ponto específico de uma estrutura tridimensional é transmitida por intermédio de elementos principais diretamente para a fundação, todos os elementos adjacentes da estrutura também são solicitados, gerando seus próprios deslocamentos e esforços.

Para uma análise aprofundada, onde pretende-se obter dados dos inúmeros pontos em uma estrutura complexa, torna-se necessário a utilização de métodos que manipulem todo esse volume de informações a serem gerados (KASSIMALI, 2015). A busca por um método numérico que gere e manipule resultados cada vez mais compatíveis com o comportamento real de um edifício possibilitou o desenvolvimento e aperfeiçoamento de métodos numéricos e computacionais cada vez mais eficientes (LIMA, 2017).

Um deles é o Método dos Elementos Finitos (MEF), que consiste em transformar o elemento estrutural sólido em uma associação de elementos finitos

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(Figura 1), ligados entre si através de pontos nodais, onde se supõem que são concentradas todas as forças de ligação entre os elementos (ASSAN, 1999). Caracterizando as solicitações e deformações nos nós, torna-se possível escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio entre todos os elementos por meio da compatibilização de suas posições espaciais, sendo facilmente analisados através de sistemas de equações matriciais (MOREIRA, 1977). A partir da solução dos inúmeros elementos, torna-se possível a obtenção das solicitações e deformações em qualquer posição da malha de nós da estrutura (MARTHA, 2007).

As formulações existentes para cálculo de um edifício de múltiplos pavimentos geralmente são simplificadas, onde as lajes são tratadas separadamente das vigas e pilares, necessitando a compatibilização de esforços entre os diferentes modelos de cálculo, levando a resultados menos precisos (BUZAR, 1996).

Sabe-se que as lajes contribuem com sua rigidez transversal à flexão na rigidez global da estrutura devido ao seu comportamento de placa, participando na interação dos esforços e deslocamentos como os demais elementos estruturais (MARTINS, 2001). Para Sousa Jr. (2001) a não consideração da rigidez das lajes na avaliação da rigidez global da estrutura pode levar a erros consideráveis na análise dos deslocamentos da estrutura.

Diante disso, a fim de buscar um comportamento mais realista dos modelos numéricos desenvolvidos nesse trabalho, adota-se um modelo para a solução da estrutura, onde vigas e pilares são modelados usando elementos de pórtico espacial e as lajes são elaboradas de acordo com a Teoria de Reissner-Mindlin. A acoplagem dos elementos é realizada através da montagem da matriz de rigidez global

Figura 1 - Discretização da malha de nós pelo MEF.

(16)

obedecendo uma convenção de sinais pré-estabelecida. Tal forma torna-se substancial para aferir a confiabilidade de projetos estruturais, principalmente os que implicam projeto e execução de edifícios altos, possibilitando viabilizá-los perante as condições de estado limite último e estado limite de serviço (SORIANO 2009).

Para isso é proposto um sistema computacional a partir de uma modelagem numérica no software MATLAB, fundamentada no Método dos Elementos Finitos (MEF). O sistema trata toda análise estrutural como um único pórtico tridimensional, compatibilizando todos os elementos estruturais como pilares, vigas e lajes em um único modelo, retirando a necessidade de transferência de cargas entre as solicitações presentes na laje com os modelos de pavimentos e o modelo global. Com suporte do sistema torna-se possível o aprofundamento na avaliação da contribuição das lajes na rigidez global da estrutura.

1.1.1 Objetivos gerais e específicos

O tema da pesquisa baseia-se na implementação numérica computacional da formulação dos elementos finitos acoplados para análise estrutural de pórticos espaciais havendo a incidência de elementos de lajes junto a rigidez do sistema.

O principal objetivo trata-se do desenvolvimento de uma implementação e modelagem computacional no software MATLAB capaz de analisar os esforços e deslocamentos de uma estrutura formada por um pórtico espacial utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF), com o acoplamento de placas modeladas numericamente através da Teoria de Reissner-Mindlin. Os objetivos específicos são demonstrados a seguir:

• Exposição da formulação matricial utilizada para o desenvolvimento do

software de análise de estruturas;

• Desenvolvimento do método computacional para elementos de pórticos espaciais;

• Desenvolvimento do método computacional para elementos de lajes; • Acoplagem do método de lajes ao método de pórticos;

• Calibração da modelagem computacional com resultados obtidos em pesquisas já realizadas;

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1.2 DELIMITAÇÃO

Este trabalho delimita-se em avaliar a influência da rigidez das lajes definidas pela Teoria de Reissner-Mindlin, no comportamento estrutural de pórticos espaciais através de uma modelagem computacional realizada a partir de um estudo e aplicação do método dos elementos finitos. As avaliações foram realizadas entre modelos com e sem a influência do acoplamento das lajes, comparados com modelos já conceituados na bibliografia consultada. O tema tem como limitação a análise linear das estruturas, considerando apenas carregamentos estáticos em sua concepção.

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2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Para o procedimento da pesquisa, buscou-se uma revisão bibliográfica sobre autores que tratam de assuntos pertinentes a este trabalho como fundamentos da análise de estruturas, método dos elementos finitos, matrizes de rigidezes, modelagem numérica e computacional, pórticos espaciais e acoplamento de lajes em análise de pórticos espaciais. Para o método dos elementos finitos, será realizado uma breve explicação de seu conceito e fundamentação a fim de conceituar o leitor a respeito do presente estudo.

2.1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE CÁLCULO

Uma análise de estruturas baseia-se em três equações básicas, nomeadas como equações de compatibilidade, de equilíbrio e constitutivas, ou também chamadas de relação tensão-deformação (TIMOSHENKO; GOODIER, 1980). A complexidade que o modelo matemático deve possuir para representar o comportamento de diversos problemas da engenharia levou ao desenvolvimento de métodos aproximados para a solução de tais equações (ASSAN, 2003). Dentre eles, os métodos de Rayleigh-Ritz e de Galerkin são os mais conhecidos e deles origina-se o método dos elementos finitos, e por essa razão, serão descritos a seguir.

2.1.1 Método de Rayleigh-Ritz

O método de Rayleigh-Ritz gerou uma grande evolução no método de análise dos deslocamentos, contribuindo decisivamente para o desenvolvimento do MEF. Até então, muitos problemas de estabilidade estrutural não podiam ser resolvidos apenas por métodos analíticos (VAZ, 2011). Tais métodos buscavam uma função y(x) que referenciasse uma solução exata para as equações governantes do sistema. O método de Rayleigh-Ritz contorna o problema de forma diferente, substituindo a função y(x) por uma função aproximadora v(x) para o campo de deslocamentos do domínio, formada por uma combinação linear de diferentes funções que aplicam as condições de contorno (ASSAN, 1999).

Um exemplo da busca por uma função aproximadora que resulte na solução exata do elemento é ilustrada por Vaz (2011), em seu livro, para o caso de uma viga em balanço com inércia variável. Em sua primeira tentativa, o autor utiliza um polinômio de segundo grau como função aproximadora, resultando em uma solução

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ruim, tanto em termos de deslocamentos quanto em termos de momentos. Em seguida, na segunda tentativa de aproximação, o autor adota um polinômio de terceiro grau, resultando em uma melhora significativa em termos de deslocamentos, porém ainda ruim em termos de momentos.

E por fim, sua terceira tentativa baseia-se em duas funções cúbicas, uma para o trecho A e outra para o trecho B. Essas duas funções permitem reduzir o número de parâmetros incógnitos pois conseguem representar a descontinuidade que existe no elemento, obtendo assim a solução exata do problema, tanto para os deslocamentos quanto para os momentos (MARTHA, 2007).

Tal discretização realizada com o uso de duas ou mais funções no domínio é a base fundamental para o desenvolvimento do MEF, que, basicamente, substitui as incógnitas das funções aproximadoras pelos graus de liberdade dos elementos (ASSAN, 2003).

2.1.2 Método de Galerkin

Embora diferente, o método de Galerkin é uma generalização do Método de Rayleigh-Ritz, que pode até produzir os mesmos resultados em alguns casos. Para resolver um sistema de equações diferenciais, substitui-se no método uma ou mais funções aproximadoras que se adaptam as condições de contorno (ASSAN, 1999).

Como as funções aproximadoras utilizadas não são uma solução exata do sistema de equações, no método proposto por Galerkin tem-se a necessidade da utilização de funções ponderadas para os resíduos gerados por essa incerteza. O produto entre as funções ponderadas e as funções residuais é zero, supostamente determinando uma condição de ortogonalidade para o resíduo, resultando em soluções pontuais para os deslocamentos em pontos pré-determinados por uma função de forma u(x) que satisfaça certas condições de contorno do elemento (REZENDE, 2005).

Portanto, o método de Galerkin traz soluções pontuais apenas para o contorno do elemento estudado, enquanto o método de Rayleigh-Ritz demonstra resultados para todo o domínio. A união entre ambas aplicações resulta no Método dos Elementos Finitos.

(20)

2.1.3 Método dos Elementos Finitos (MEF)

O MEF é um desenvolvimento da análise matricial de estruturas reticuladas (MARTHA, 2010), que são estruturas constituídas pela associação de elementos de barra em que, a dimensão do eixo longitudinal do elemento é consideravelmente maior em relação às suas demais dimensões (SORIANO, 2003). O conjunto de elementos determinado reticulados pode ser um segmento de reta, um plano ou uma estrutura tridimensional, cuja característica é um número finito de incógnitas (GERE;WEAVER, 2010).

Nos métodos de Rayleigh-Ritz e Galerkin, a tarefa é obter as funções de aproximação que satisfaçam as condições de contorno para a solução de tais incógnitas, entretanto, saber se elas se aproximam da função exata nem sempre é uma tarefa fácil (ASSAN, 1999).

No método de Rayleigh-Ritz arbitra-se uma solução aproximada para o campo de deslocamentos em função de parâmetros globais do conjunto de elementos, enquanto com MEF surge uma nova possibilidade para resolver tais problemas, superando as dificuldades inerentes de Rayleigh-Ritz utilizando soluções aproximadas arbitradas para cada subdomínio, em função dos deslocamentos de cada um dos pontos nodais da malha de elementos (SORIANO, 2003).

A partir dessa definição, torna-se possível através da utilização de diferentes funções aproximadoras a solução de várias incógnitas que antes eram desconhecidas.

Portanto, a principal diferença encontra-se nas incógnitas de cada método, enquanto Rayleigh-Ritz traz os coeficientes de solução da função de aproximação como incógnitas, no MEF, eles são os deslocamentos nodais. Para obter-se resultados mais precisos para o comportamento, Rayleigh-Ritz necessita polinômios de cada vez mais alto grau, enquanto para o MEF basta refinar a malha de nós do elemento (VAZ, 2011).

Com a solução do comportamento aproximado para cada um dos subdomínios em forma de equações algébricas, e devido a interação das forças nodais entre os elementos adjacentes, monta-se o sistema global de equações da malha de elementos da mesma maneira que na análise matricial de modelos reticulados, onde torna-se possível descrever o comportamento de toda a estrutura através de um sistema matricial de equações (KIM; SANKAR, 2011).

(21)

Definindo as matrizes de rigidez e vetores de forças nodais do elemento nos sistemas local e global, encontra-se os deslocamentos nodais também definidos no sistema local e global e, uma vez obtidos os deslocamentos, todas as forças atuantes sobre a estrutura podem ser determinadas (VAZ, 2011). Tal resolução proporciona a análise de cada elemento isoladamente para a determinação das soluções em esforços e deslocamentos do problema estrutural.

2.1.3.1 Elemento Finito

Com a formulação do sistema matricial de equações definido, torna-se possível operá-lo através de vetores e matrizes fazendo o uso da álgebra matricial, introduzindo novos conceitos na análise de estruturas (VAZ, 2011). Tais conceitos baseiam-se na determinação do sistema local e do sistema global de coordenadas que referenciam a posição do elemento finito.

O sistema local de coordenadas é determinado com os nós inicial (i) e final (j) do elemento finito que, quando submetido as condições de equilíbrio, é possível discretizar em seus pontos nodais as incógnitas a determinar, que são chamados de

graus de liberdade (MARTHA, 2007).

Os graus de liberdade do elemento serão os parâmetros necessários para a determinação de sua posição no espaço. Em um elemento de barra tridimensional idêntica ao que utiliza-se na modelagem do pórtico espacial, expõe-se 6 graus de liberdade em cada nó, relacionados com o esforços axiais (u), o esforços deflexão (v e w), e rotações (ϕ), adotando-se 12 graus de liberdade por elemento (Figura 2).

Tal forma de apresentação do modelo é baseado no Método dos Deslocamentos, que se caracteriza por usar a equação de equilíbrio como equação

Fonte: Adaptado de Vaz, (2011, p.38.)

(22)

fundamental, de onde são obtidas as incógnitas primárias do problema e a partir das quais, todas as outras respostas serão obtidas (SORIANO;LIMA, 2006).

Em conjunto ao sistema de nós também realiza-se a distribuição dos carregamentos atuantes sobre elemento. A distribuição é baseada nas teorias de Momento de Engastamento Perfeito e Sobreposição dos Efeitos, onde escreve-se equações que relacionam como as ações atuantes do carregamento são distribuídos nos pontos nodais, um exemplo é ilustrado na Figura 3.

Com o sistema local do elemento definido pelas coordenadas i e j, a montagem do sistema global torna-se simples. Ao ser definido uma posição para as coordenadas

x e y de origem do sistema global, a posição espacial do elemento finito analisado é

discretizado através da Teoria dos Cossenos Diretores, onde o ângulo α que o elemento forma com a origem global definida é obtido e utilizado para o mapeamento de todos os elementos adjacentes a ele, formando assim o elemento estrutural completo (COOK; MALKUS; PLESHA, 1989).

2.1.4 Elementos Isoparamétricos

Um elemento finito é dito isoparamétrico quando as mesmas funções de interpolação são usadas para determinar tanto seus deslocamentos como sua geometria (VAZ, 2011). Para um elemento quadrilateral como o representado na Figura 4, que será adotado no presente trabalho para discretizar elementos de placa com 4 nós e 3 graus de liberdade em cada nó, onde x e y são coordenadas nodais e

u e v são deslocamentos nodais relativos aos eixos x e y, polinômios descrevem

coordenadas paramétricas ξ e η em função das coordenadas nodais, permitindo mapear um ponto P(x,y) no plano cartesiano em sua posição P(ξ, η) no plano paramétrico.

Fonte: Autoria Própria.

(23)

As coordenadas x(ξ,η) e y(ξ,η), são escritas em função das coordenadas nodais, nomeadas no sentido anti-horário para a determinação correta da convenção de sinais dos esforços, da seguinte forma:

{𝑥(ξ, η) = ∑ 𝑁𝑖(ξ, η)𝑥𝑖

4 𝑖=1

𝑦(ξ, η) = ∑4𝑖=1𝑁𝑖(ξ, η)𝑦𝑖

(1)

Diante do conceito exposto, torna-se possível a utilização de elementos de diferentes geometrias e posições espaciais na formulação do MEF, devido à possibilidade do mapeamento de suas coordenadas em relação a um eixo global, mantendo assim a continuação nodal entre elementos adjacentes e suas características geométricas.

2.1.5 Placas à flexão

Placas à flexão são elementos bidimensionais que possuem uma dimensão, geralmente a espessura t medida na direção do eixo z, muito menor do que comparado às demais dimensões, como por exemplo lajes e radiers (RIBEIRO, 2004). A principal característica desse tipo de elemento é a direção das cargas que atuam sobre ele, enquanto em estruturas de estado plano as cargas atuam no mesmo plano da estrutura, em placas à flexão as cargas atuam perpendicularmente ao seu plano médio, na direção do eixo z (VAZ, 2011).

Existem duas teorias que descrevem o comportamento de lajes, as Teorias de Kirchhoff-Love e de Reissner-Mindlin. O critério para o método a ser utilizado

baseia-Figura 4 - Elemento isoparamétrico de 4 nós.

(24)

se nas dimensões do elemento. Segundo Vaz (2011), utiliza-se o parâmetro 𝑟 = 𝐿/𝑡, sendo L o menor vão da placa e t sua espessura. Nos casos de 𝑟 ≥ 20, considera-se a placa como delgada, adotando a Teoria de Kirchhoff para a análise, caso contrário a placa é considerado espessa e logo, a análise deve basear-se na Teoria de Mindlin. O critério para a classificação de vigas segue o mesmo parâmetro.

No presenta estudo, será adotado a Teoria de Reissner-Mindlin para o desenvolvimento da modelagem, pois ela torna-se mais adequada para a representação de elementos como lajes, porém, entende-se necessário definir suas diferenças com a Teoria de Kirchhoff, e por isso, ambas teorias são descritas a seguir.

2.1.5.1 Teoria de Kirchhoff

A teoria de Kirchhoff é um modelo matemático desenvolvido a partir da teoria de Euler-Bernoulli, utilizado para a determinação de tensões e deformações em placas sujeitas à flexão. As hipóteses cinemáticas da teoria de Kirchhoff são:

▪ Qualquer ponto P(x,y) localizado no plano médio da placa (Figura 5.a) apresenta apenas deslocamento vertical no eixo z.

▪ A deformação longitudinal vertical é nula em qualquer ponto da placa, 𝜀𝑧= 0.

▪ Uma linha normal à superfície do plano médio mantem-se normal à superfície média após a deformação causada pelo carregamento.

Em específico nessa última hipótese, quando imposta ao longo dos lados dos elementos, torna-se possível desprezar e anular as deformações relativas ao esforço

Figura 5 - Elemento de placa da Teoria de Kirchhoff.

Fonte: Adaptado de Vaz, 2011, p.178. (a) (b)

(25)

cortante no elemento (MARTINS, 2001). Com base nisso, as expressões que descrevem os campos de deslocamento das placas à flexão são:

{ 𝑢(x, y, z) = −z𝛿𝑤(𝑥,𝑦) 𝛿𝑥 𝑣(x, y, z) = −z𝛿𝑤(𝑥,𝑦) 𝛿𝑦 (2)

As deformações para um elemento finito de um plano de cota z paralelo ao plano médio da placa podem ser obtidas sucintamente como:

𝜀 = −𝑧 ∙ 𝐾_𝑘 (3)

Onde ε é o vetor de deformações em um ponto da placa e Kk é o vetor que

contém as hipóteses de Kirchhoff relativas a um ponto do plano médio da placa que está na mesma reta vertical que o ponto onde foi calculado ε (VAZ, 2011). Com a anulação das tensões cisalhantes pela Teoria de Kirchhoff, os esforços cortantes também deveriam se anular, o que não ocorre (CHANDRUPATLA; BELEGUNDU, 2015).

Esse fato é uma inconsistência da teoria de Kirchhoff, que foi solucionada por Mindlin em sua formulação rigorosa, que leva em consideração as deformações por cisalhamento (OÑATE, 2008). Diante disso, justifica-se a escolha pela Teoria de Reissner-Mindlin para a discretização das lajes, visto que a teoria leva em consideração tais esforços oferecendo resultados mais precisos para o modelo.

2.1.5.2 Teoria de Reissner-Mindlin

A Teoria de Reissner-Mindlin para placas à flexão corresponde à Teoria de Timoshenko para vigas, cuja principal hipótese é que a seção transversal se mantém plana, mas não necessariamente perpendicular à tangente da linha elástica na configuração deformada (VAZ, 2011). As hipóteses cinemáticas da Teoria de Reissner-Mindlin são:

▪ Qualquer ponto P(x,y) localizado no plano médio da placa apresenta apenas deslocamento vertical w(x,y).

▪ A deformação longitudinal vertical é nula em qualquer ponto da placa, 𝜀_𝑧= 0.

(26)

▪ Uma linha reta e normal à superfície do plano médio antes do carregamento não necessariamente mantem-se normal à superfície média após a deformação causada pelo carregamento.

É nesta última hipótese que as Teorias de Mindlin e de Kirchhoff diferem, onde o plano médio da placa indeformada de Mindlin não necessariamente coincide com o plano médio deformado da placa, resultando assim em uma deformação βx, relacionada com as rotações da reta vertical, conforme exemplificado na Figura 6.

Ao contrário de Kirchhoff, Mindlin não vincula as rotações da reta vertical que passa pelo ponto P(x,y) às derivadas do deslocamento vertical w(x,y). Assim, as rotações são definidas e os deslocamentos são dados por:

{ 𝑢(x, y, z) = z𝜃𝑦

𝑣(x, y, z) = −z𝜃_𝑥 (4)

Como as rotações 𝜃_𝑥 e 𝜃_𝑦 são independentes dos deslocamentos verticais

w(x,y), torna-se necessário a utilização de três campos de deslocamento para

descrever o comportamento cinemático da placa à flexão (VAZ, 2011). Assim o vetor de deslocamentos fica:

𝑢 = [𝑤, 𝜃_𝑥, 𝜃_𝑦]𝑇 (5)

E as rotações são definidas como segue: 𝜃_𝑥= 𝜕𝑤

𝜕𝑥 + 𝛽𝑥 𝜃𝑦 = 𝜕𝑤

𝜕𝑦+ 𝛽𝑦 (6)

Figura 6 - Deformação do plano médio da placa de Reissner-Mindlin.

(27)

Como o elemento é isoparamétrico, o campo de deslocamentos pode ser descrito em coordenadas paramétricas como:

{

𝑤(ξ, η) = ∑𝑛 𝑛ó𝑠_{𝑛 𝑛ó𝑠}𝑁_𝑖(ξ, η)𝑤_𝑖 𝜃_𝑥(ξ, η) = ∑𝑛 𝑛ó𝑠_{𝑛 𝑛ó𝑠}𝑁_𝑖(ξ, η)𝜃_𝑥 𝜃_𝑦(ξ, η) = ∑𝑛 𝑛ó𝑠_{𝑛 𝑛ó𝑠}𝑁_𝑖(ξ, η)𝜃_𝑦

(7)

Onde as funções de interpolação 𝑁_𝑖(ξ, η) são as mesmas do elemento isoparamétrico apresentado na equação (1). O elemento é descrito na Figura 7.

A partir da definição de Reissner-Mindlin com elementos isoparamétricos, torna-se possível a análise de elementos de diferentes geometrias devido ao seu vínculo nodal estabelecer tanto os deslocamentos como também a posição espacial referente ao um eixo global de coordenadas (CHANDRUPATLA;BELEGUNDU, 2015). Entretanto, as funções de interpolações nodais 𝑁𝑖 são funções paramétricas das

variáveis ξ e η em relação as variáveis cartesianas x e y, que não podem ser obtidas diretamente (ZIENKIEWICZ;TAYLOR, 2000), necessitando a utilização de uma matriz jacobiana para defini-las:

{𝑁_𝑁𝑖(ξ, η)𝑥

𝑖(ξ, η)𝑦 = 𝐽 ∙ ( ξ, η)

−1_{𝑁𝑖(ξ, η)ξ

𝑁_𝑖(ξ, η)_η (8)

Podendo ser reescrita como:

𝐷𝑁𝑐(ξ, η) = J(ξ, η)−1𝐷𝑁𝑥(ξ, η) (9)

Onde 𝐷𝑁𝑐(ξ, η) contém as derivadas cartesianas e 𝐷𝑁𝑥(ξ, η) contém as derivadas paramétricas das funções de interpolação. Portanto, de acordo com a Teoria de Kirchhoff, as rotações são obtidas por diferenciação do deslocamento

Fonte: Vaz, (2011, p.183.)

(28)

transversal da placa, tornando muito difícil encontrar um conjunto de funções de interpolação que garantam a sua continuidade (VAZ, 2011).

Segundo Oñate (2008), o problema é evitado ao adota-se a Teoria de Reissner-Mindlin, onde as restrições são reduzidas, permitindo a utilização de funções de forma que eliminam os efeitos da não-continuidade.

Essa é a diferença determinante para o prosseguimento do estudo, adotando-a por se tradotando-atadotando-ar de um método madotando-ais adotando-abradotando-angente de elementos padotando-assíveis de serem analisados. Com os deslocamentos estabelecidos, obtém-se o campo de deformações: 𝜀_𝑥= −𝑧𝜕𝜃𝑥 𝜕𝑥 ; 𝜀𝑦 = −𝑧 𝜕𝜃𝑦 𝜕𝑦 ; 𝜀𝑧 = 0 (10) 𝛾_𝑥𝑦 = −𝑧 (𝜕𝜃𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕𝜃𝑦 𝜕𝑥) ; 𝛾𝑥𝑧 = −𝛽𝑥; 𝛾𝑦𝑧= −𝛽𝑦 (11)

Sendo possível uma representação mais compacta adotando a forma vetorial, e já considerando a tridimensionalidade do elemento:

𝜀_𝑏= { 𝜀𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜀_𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝛾𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) } = −𝑧 ∙ { 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 (𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 + 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 )} (12) 𝜀𝑠 = { 𝛾𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝛾_𝑦𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)} = { −𝜃_𝑥𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦)_𝜕𝑥 −𝜃_𝑦𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 } (13)

Onde o vetor 𝜀_𝑏 agrupa as deformações por flexão e o vetor 𝜀_𝑠 as deformações do cisalhamento (ZIENKIEWICZ;TAYLOR, 2000). Nesse momento nota-se o aparecimento das deformações transversais 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑥𝑧 e 𝛾𝑦𝑧 referentes à consideração

do esforço cortante, conforme mencionado anteriormente. A consideração dos esforços cortantes no cálculo estrutural de placas é conhecido como a minimização da energia potencial total, definido como Princípio da Mínima Energia Potencial (PMEP), que é descrito a seguir.

2.1.6 Princípio da Mínima Energia Potencial (PMEP)

Uma estrutura modelada por elementos finitos é uma estrutura, em geral, mais rígida que a estrutura real porque as funções aproximadoras usadas para representar

(29)

os campos de deslocamentos, na maioria das vezes, não conseguem reproduzir o campo real de deslocamentos (CHANDRUPATLA;BELEGUNDU, 2015). Para garantir que as soluções convirjam para a solução “exata” no MEF, alguns critérios devem ser satisfeitos na sua escolha, e entre eles está a imposição de restrições à livre deformação da estrutura de modo que ela possa minimizar sua energia potencial total. Conforme Vaz (2011), uma análise de estrutura com o MEF pode ser feita a partir do Princípio da Mínima Energia Potencial Total (PMEP).

O PMEP é um princípio variacional que utiliza um funcional como expressão integral, que possui implicitamente as equações diferenciais e condições de contorno para o problema (CHANDRUPATLA;BELEGUNDU, 2015). Busca-se equações de deslocamentos que satisfaçam a compatibilidade interna e externa em um sistema em equilíbrio, e tais as equações são conhecidas como o mínimo para o funcional.

O método de Rayleigh-Ritz trabalha com base no PMEP, que é definida como:

A energia de deformação da estrutura corresponde fisicamente à energia armazenada na estrutura quando ela se deforma, caso não haja perda de energia, ou seja, para um sistema conservativo [..]. Pelo princípio da conservação de energia em sistemas conservadores, todo trabalho externo realizado é armazenado na estrutura em termos de energia de deformação. Assim, o incremento de trabalho externo é igual ao incremento de energia de deformação [..] (VAZ, 2011, p.51).

Em outras palavras, quando uma estrutura estável é submetida às ações de forças externas, internamente é realizado um trabalho de deformação, fazendo com que a estrutura entre em um estado de equilíbrio deformado. Esse campo de deslocamentos gerado é compatível com os apoios e ligações existentes. Se a estrutura possui um comportamento linear, então todos os deslocamentos sofridos por qualquer ponto da estrutura serão proporcionais as forças externas atuantes (VAZ, 2011).

Em termos matemáticos, a energia potencial total Π(d) é definida para sistemas conservativos como:

Π(𝑑) = 𝑈(𝑑) + 𝑊𝑝(𝑑) (14)

Onde U(d) é a energia de deformação da estrutura e Wp(d) é o trabalho

potencial das forças externas. Aplicando-se a teoria, a solução exata do problema será um mínimo absoluto do funcional de energia, que qualquer outra aproximação por deslocamentos não atingirá a sua exatidão, pois torna-se necessário introduzir novos graus de liberdade para a aproximação do valor mínimo de Π (BHATTI, 2006).

(30)

2.1.7 Formulação de Placas pela Teoria de Reissner-Mindlin

As equações constitutivas da relação tensão-deformação dependem fundamentalmente do material analisado. Ao considera-se que o material possui comportamento elástico-linear, simplifica-se consideravelmente as relações tensão-deformação adotando-se o material como isotrópico, solucionando assim o problema de elasticidade (ZIENKIEWICZ;TAYLOR, 2000).

Com tal consideração, aplica-se a Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos (TIMOSHENKO;GOODIER, 1980), estabelecendo a relação tensão-deformação para o estado plano da seguinte forma:

[ 𝜀_𝑥 𝜀_𝑦 𝛾_𝑥𝑦] = [ 1 𝐸⁄ −𝜗 𝐸⁄ 0 −𝜗 𝐸⁄ 1 𝐸⁄ 0 0 0 1 𝐺⁄ ] ∙ [ 𝜎_𝑥 𝜎_𝑦 𝜏_𝑥𝑦] (15) [𝛾_𝛾𝑥𝑧 𝑦𝑧] = [ 1 𝐺⁄ 0 0 1 𝐺⁄ ] ∙ [ 𝜏_𝑥𝑧 𝜏_𝑦𝑧] (16) Onde E é o módulo de Young referente ao Módulo de elasticidade longitudinal do Material, 𝜗 é o coeficiente de Poisson, e G o módulo de elasticidade transversal que é dado por:

𝐺 = 𝐸

2(1+𝜗) (17)

Operando as expressões descritas acima, torna-se possível expressar as tensões normais e cisalhantes no plano da placa de forma linear ao longo de sua espessura como 𝜎_𝑏, conforme segue:

𝜎_𝑏 = [ 𝜎_𝑥 𝜎_𝑦 𝜏_𝑥𝑦] = [ −𝐸 1−𝜗²∙ 𝑧 ∙ ( 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 + 𝜗 ∙ 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 ) −𝐸 1−𝜗²∙ 𝑧 ∙ ( 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 + 𝜗 ∙ 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 ) −𝐺 ∙ 𝑧 ∙ (𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 + 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 ) ] (18)

A mesma operação é realizada para as tensões cisalhantes fora do plano da placa 𝜎𝑠, conforme segue:

𝜎_𝑠 = [_𝜏𝜏𝑥𝑧 𝑦𝑧] = 𝐺 ∙ [ −𝜃_𝑥𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 −𝜃_𝑦𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 ] (19)

(31)

A distribuição das tensões na placa é ilustrada na Figura 8.

A partir dessa definição, torna-se possível expor os esforços solicitantes nos elementos através da integração das tensões ao longo da espessura da placa (OLIVEIRA, 2009). A convenção de sinais dos esforços internos segue a definição realizada na Figura 9.

Integrando as tensões normais e cisalhantes encontra-se os momentos fletores e de torção conforme as equações:

𝑀_𝑥= ∫ 𝜎_𝑥∙ 𝑧𝑑𝑧 = −𝐸∙𝑡³ 12(1−𝜗2₎ 𝑡/2 −𝑡/2 ∙ ( 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 + 𝜗 ∙ 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 ) (20) 𝑀_𝑦 = ∫ 𝜎_𝑦∙ 𝑧𝑑𝑧 = −𝐸∙𝑡³ 12(1−𝜗2₎ 𝑡/2 −𝑡/2 ∙ ( 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 + 𝜗 ∙ 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 ) (21) 𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦∙ 𝑧𝑑𝑧 = −𝐸∙𝑡³∙(1−𝜗) 24(1−𝜗2₎ 𝑡/2 −𝑡/2 ∙ ( 𝜕𝜃𝑥𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 + 𝜗 ∙ 𝜕𝜃𝑦𝑧(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 ) (22)

Diante disso, torna-se possível escrever os esforços de Flexão e Torção através de uma matriz de elasticidade 𝐷𝑏, da seguinte forma:

𝐷_𝑏 = −𝐸∙𝑡³ 12(1−𝜗2₎∙ [ 1 𝜗 0 𝜗 1 0 0 0 (1−𝜗) 2 ] (23)

Figura 8 - Distribuição de tensões na placa.

Fonte: Adaptado de Buzar, (1996, p.15.)

Figura 9 - Convenção de sentidos positivos dos esforços internos.

(32)

𝑀 = [ 𝑀𝑥

𝑀_𝑦 𝑀_𝑥𝑦

] = −[𝐷_𝑏] ∙ [𝐾𝑏] (24)

Os esforços cisalhantes assim como os momentos são encontrados através de integrações das tensões, e escritos com auxílio de uma matriz de elasticidade 𝐷_𝑠:

𝑄_𝑥 = ∫_−𝑡/2𝑡/2 𝜏_𝑥𝑧𝑑𝑧 = 𝐺∙ 𝑡 ∙ (−𝜃_𝑥𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 ) (25) 𝑄_𝑦 = ∫_−𝑡/2𝑡/2 𝜏_𝑦𝑧𝑑𝑧 = 𝐺∙ 𝑡 ∙ (−𝜃_𝑦𝑧(𝑥, 𝑦) +𝜕𝑤(𝑥,𝑦)_𝜕𝑦 ) (26) 𝐷_𝑠 = 𝐸∙𝑡 2∙(1+𝜗)∙ [ 1 0 0 1] = 𝐺 ∙ 𝑡 ∙ [ 1 0 0 1] (27) 𝑄 = [𝑄_𝑄𝑥 𝑦] = [𝐷𝑠] ∙ [𝜀𝑠] (28)

De acordo com a Teoria de Reissner-Mindlin a distribuição das tensões cisalhantes são uniformes devido a simplificação utilizada pela linearidade do elemento. Segundo Zienkiewicz e Taylor (2000) isso não corresponde à realidade, pois a distribuição assume uma forma parabólica no elemento. Com isso os autores recomendam a utilização do coeficiente de distorção transversal 𝛼, obtido com base na equivalência de energia de deformação de uma seção retangular. Sendo assim a matriz de elasticidade 𝐷𝑠 corrigida tem a forma:

𝐷_𝑠 = 𝛼 ∙ 𝐺 ∙ 𝑡 ∙ [1 0

0 1] (29)

Através do equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa, aplica-se as equações de equilíbrio conforme segue:

𝜕𝑄𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄𝑦 𝜕𝑦 + 𝑞 = 0; 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑦 − 𝑄𝑦 = 0; 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑀𝑥𝑦 𝜕𝑦 − 𝑄𝑥= 0 (30)

Substituindo as equações 20 a 22, 25 e 26 na equação 30 resulta: −𝐷 ∙ (𝜕2𝜃𝑥𝑧 𝜕𝑥2 + 1−𝜗 2 ∙ 𝜕2𝜃𝑥𝑧 𝜕𝑦2 + 1+𝜗 2 ∙ 𝜕2𝜃𝑦𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦) − 𝛼 ∙ 𝐺 ∙ ( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 − 𝜃𝑥𝑧) = 0 (31) −𝐷 ∙ (𝜕2𝜃𝑦𝑧 𝜕𝑦2 + 1−𝜗 2 ∙ 𝜕2𝜃𝑦𝑧 𝜕𝑥2 + 1+𝜗 2 ∙ 𝜕2𝜃𝑦𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦) − 𝛼 ∙ 𝐺 ∙ ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦 − 𝜃𝑦𝑧) = 0 (32) 𝛼 ∙ 𝐺 ∙ (𝜕²𝑤 𝜕𝑥2+ 𝜕²𝑤 𝜕𝑦2− 𝜕𝜃𝑥𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕𝜃𝑦𝑧 𝜕𝑦 ) − 𝑞 = 0 (33)

(33)

Entretanto, as soluções analíticas para placas de Reissner-Mindlin são pouco conhecidas devido a sua complexidade (BUZAR, 1996). Para resolver tais dificuldades, buscou-se a evolução de métodos que contemplassem a teoria de uma forma menos onerosa, e por isso, segundo Zienkiewicz & Taylor (2000), o estudo das placas foi uma das primeiras aplicações do método dos elementos finitos antes mesmo de 1960.

2.2 PESQUISAS NO CAMPO DO MEF E INFLUÊNCIA DE LAJES

Inúmeros foram os trabalhos desenvolvidos na área de métodos de análise de estruturas e, em cada um deles, busca-se cada vez mais o aperfeiçoamento através da eficiência, precisão, técnicas de cálculos e hipóteses, tentando-se atingir uma análise cada vez mais realista. A seguir, descreve-se diversos trabalhos que entornam sobre o tema abordado no presente trabalho, suas técnicas e resultados obtidos, que servirão de apoio para o decorrer da pesquisa.

Chagas (2012) demonstra em seu trabalho a comparação entre diversos modelos de análise estrutural propostos para simular a estrutura real de um edifício de 5 pavimentos. São utilizados modelos bidimensionais como: vigas contínuas, pórticos planos, grelha de vigas e grelha de lajes, bem como modelos tridimensionais: pórtico espacial sem laje, pórtico espacial com grelha e pórtico espacial com acoplamento de lajes com MEF. O objetivo específico do trabalho é analisar os resultados obtidos referentes aos momentos fletores atuantes em diversas vigas do edifício e pôr fim, a indicação das particularidades de cada modelo.

Abaixo a Figura 10 demonstra os resultados obtidos para uma das 14 vigas analisadas no trabalho.

Fonte: Chagas, (2012, p.62.)

(34)

São claras as divergências de resultados entre os modelos, onde pode-se destacar o pico de momento negativo do 2º apoio da viga, que pelo método de vigas contínuas resulta em valores 178% maiores que o método tridimensional de Pórtico espacial com o MEF. É possível notar que o modelo de Laje por elementos finitos apresenta valores muito próximos ao método de pórtico espacial com MEF por se basearem no mesmo modelo numérico para o seu desenvolvimento, diferenciando-se apenas na continuidade dos esforços entre os elementos, já que no caso de Pórtico espacial com MEF, todos os elementos da estrutura são tratados como elementos finitos e no caso de Laje com MEF apenas a laje, desfazendo a continuidade de esforços entre todos os elementos.

O mesmo autor conclui inclusive que com a facilidade e rapidez de análise na utilização de métodos bidimensionais, tais modelos não são recomendados para casos em que vigas se apoiam em vigas, pois não preveem deslocamentos conjuntos de dois ou mais elementos, acarretando na distorção dos resultados, o que ocasiona em uma nova modelagem do elemento. Já para métodos baseados no MEF, demonstrou-se que mesmo quanto mais complexo for o modelo, a facilidade existente na manipulação dos dados de entrada e correções do modelo em caso de erros prevalece, tornando-se ferramentas mais eficientes ao usuário. O MEF resulta em esforços inferiores aos demais métodos, fornecendo informações mais realistas ao profissional que busca projetar uma estrutura otimizada, ao invés do emprego de modelos bidimensionais que acarretam em um projeto estrutural superdimensionado.

Com o trabalho de Neves (2010), pode-se comparar os resultados de uma laje em concreto armado de um pavimento, obtidos através de uma análise de um modelo utilizando a Analogia da Grelha (ADG) e outro desenvolvido com o MEF. Sua avaliação é basicamente resumida e organizada em 3 etapas, uma delas é a avaliação da influência global dos modelos na rigidez lateral da estrutura, a seguinte avaliação é a comparação entre os deslocamentos obtidos pelos diferentes modelos e, por fim, são analisados os esforços resultantes obtidos. Todas as avaliações foram calibradas e comparadas com a utilização de um modelo padrão, desenvolvido no software SAP2000.

Para a análise da rigidez lateral do edifício, ambos os métodos se mostram bem próximos aos resultados obtidos pelo modelo padrão, podendo-se considerar o método da grelha resultando ligeiramente superior aos demais. Os resultados obtidos na análise dos deslocamentos demonstram que com a utilização do MEF os valores

(35)

são bastante aproximados ao modelo padrão de calibragem, entretanto são cerca de 25% a 35% menores que os resultados obtidos através da ADG, variando conforme as dimensões e posições das lajes. O mesmo acontece na avaliação dos resultados dos esforços resultantes, o MEF resulta em esforços 28% inferiores aos valores do método ADG, mantendo-se uma grande proximidade ao modelo padrão utilizado.

Diante disso, o autor conclui que a utilização do método da ADG preza-se principalmente pela segurança da estrutura e não pelo quesito econômico, em razão de diversos parâmetros utilizados para o dimensionamento de elementos resultarem em valores superiores ao real. Já na utilização do MEF, os resultados obtidos são aproximações se não realistas, mas fiéis a atual situação da estrutura. Sendo assim, a utilização do MEF torna-se uma ferramenta essencial para o profissional que pretende potencializar o dimensionamento de estruturas de edifícios.

Hennrichs (2003) analisou em sua pesquisa diferentes formas de modelagem de lajes planas através da Teoria das Placas, MEF e ADG. Nos diferentes métodos avaliou-se a influência da variação do refinamento nos espaçamentos da malha de pontos nos elementos, comparando os resultados obtidos para a reação nos pilares, momentos fletores e deslocamentos do elemento. Exemplos dos refinamentos da malha de pontos da laje propostos pelo autor são vistos na Figura 11.

Em relação ao refinamento da malha, o autor cita que os resultados tendem a se tornar constantes a partir de malhas 50x50cm, evidenciando a indicação do uso de malhas de tal valor ou mais refinadas. Porém, entende-se também que malhas exageradamente refinadas não retornam ao usuário uma melhoria significativa dos resultados do que malhas de 50x50cm, apenas tornam o sistema de cálculo oneroso, demandando mais tempo e capacidade de processamento do computador.

(a) Malha 250x250cm (b) Malha 100x100cm (c) Malha 50x50CM Fonte: Hennrichs, (2003, p.117).

(36)

Em relação aos resultados obtidos, o método de ADG novamente traz valores mais conservadores em relação à segurança que os demais métodos, entendendo-se assim que o MEF seja o método que aproxima-se da real situação do elemento analisado.

Outro trabalho baseado no MEF foi realizado por Oliveira (2009), que avaliou a rigidez de pórticos em concreto armado através de pórticos tridimensionais com a interação conjunta de pilares, vigas e lajes em um único modelo (pórtico espacial com placas acopladas). O autor desenvolveu 4 softwares em linguagem FORTRAN, que analisam diversos fatores de estabilidade estrutural. Todos os programas foram calibrados com modelos desenvolvidos no software SAP2000 por diversos outros autores, e todos as comparações satisfazem os resultados. Destaca-se principalmente a eficiência da utilização da acoplagem pórtico-placa, que permite uma análise de todo o conjunto de uma única vez e mais realista, evitando-se possíveis incoerências quando o modelo tridimensional é substituído por vários pórticos planos para o complemento da análise.

Na mesma linha de pesquisa, Martins (2001) apresenta um estudo sobre a análise de estruturas tridimensionais de edifícios de múltiplos andares considerando a interação da rigidez transversal à flexão das lajes na determinação dos esforços e deslocamentos. O autor salienta ocorrer a diminuição dos deslocamentos horizontais da estrutura devido ao acoplamento e ao gradativo aumento da espessura da laje em seu modelo, mostrando a influência e a necessidade da consideração da rigidez à flexão das lajes na análise global da estrutura.

E por fim, Goulart (2008) salienta em seu estudo a importância da contribuição da rigidez à flexão das lajes para a estabilidade global de edifícios, que quando consideradas, contribuem para uma redução significativa dos deslocamentos horizontais da estrutura. O autor analisou 3 distintos modelos de edifícios e em todos eles a contribuição positiva para a estabilidade foi verificada como verdadeira. Portanto, conclui-se que além de conferir maior rigidez à estrutura, o modelo mostrou-se mais realístico.

(37)

3 MÉTODO DE IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

3.1 MEF APLICADO À PLACA DE REISSNER-MINDLIN

Para a formulação da placa através do MEF, é feita uma abordagem através do PMEP, visto anteriormente, onde serão aplicados conceitos do cálculo Variacional que indicarão a equação que governa o sistema. Conforme descrito na equação 14, a energia total do sistema (Π) é dada pela soma das parcelas de energia de deformação (U) e da parcela de energia potencial gerada pelas forças externas (W). A energia gerada pelas forças externas é dada por:

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑢 (34)

Onde (F) é o vetor de forças concentradas aplicadas no elemento e (u) o vetor de deslocamentos. Porém, como visto anteriormente, existe a possibilidade de estar agindo forças distribuídas pelo elemento, seja ele unitário, de área ou de volume. As equações para os carregamentos são:

𝑊 = ∫ 𝑞 ∙ 𝑢(𝑥)𝑑𝑥; 𝑊 = ∬ 𝑞 ∙ 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴; 𝑊 = ∭ 𝑞 ∙ 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 (35)

Considerando a linearidade do material em relação a sua tensão-deformação, e considerando apenas as deformações não nulas, a parcela de energia de deformação pode ser escrita através da seguinte notação matricial:

𝑈 =1

2∙ ∫ (𝜎_𝑉 𝑏∙ 𝜀𝑏+ 𝜎𝑠∙ 𝜀𝑠)𝑑𝑉 (36) Usando as equações constitutivas (23, 24, 27 e 28) e integrando-as ao longo da espessura da placa, a energia de deformação é obtém a seguinte forma:

𝑈 =1 2∙ ∫ 𝐾𝑏 𝑇_{∙ 𝐷} 𝑏∙ 𝐾𝑏+ 𝜀𝑠𝑇∙ 𝐷𝑠∙ 𝜀𝑠𝑑𝐴 𝐴 (37)

Portanto, a energia potencial total pode ser expressa na forma de um funcional como: 𝛱 =1 2∙ ∫ 𝐾𝑏 𝑇_{∙ 𝐷} 𝑏∙ 𝐾𝑏+ 𝜀𝑠𝑇∙ 𝐷𝑠 ∙ 𝜀𝑠𝑑𝐴 − ∫ 𝑞 ∙ 𝑤(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 − ∑ 𝐹_𝐴 𝑖𝑤𝑖 𝐴 (38)

Onde 𝑞 é o vetor de forças nodais aplicadas ao nó i e 𝐹𝑖 o vetor de forças

(38)

torna-se possível desenvolver todo o procedimento para a geração da matriz de rigidez e o vetor de forças nodais.

3.1.1 Aplicação para Elementos Isoparamétricos

A formulação do MEF prossegue seguindo a descrição feita sobre elementos isoparamétricos anteriormente. Utiliza-se o elemento bilinear de 4 nós para a descrição dos elementos de área, sendo adotado em cada um dos nós 3 graus de liberdade, denominados 𝑤, 𝜃_𝑥𝑧 e 𝜃_𝑦𝑧, já vistos na Figura 4 e Figura 7.

Para o campo de deslocamentos 𝑢𝑖 de cada nó, torna-se necessário a sua

representação através de três variáveis independentes. Essa representação tem o auxílio de funções de funções de forma 𝑁_𝑖, que interpolam os valores nodais das variáveis (OLIVEIRA, 2009). A equação geral possuirá a seguinte forma:

𝑢_𝑖 = [ 𝑤 𝜃𝑥𝑧 𝜃_𝑦𝑧] = ∑ [ 𝑁_𝑖 0 0 0 𝑁_𝑖 0 0 0 𝑁𝑖 ] ∙ [ 𝑤_𝑖 𝜃_𝑥𝑧𝑖 𝜃_𝑦𝑧𝑖] 𝑛 𝑖=1 (39)

Onde n corresponde ao número de nós do elemento. As deformações internas também podem ser reescritas usando as funções de forma:

𝜀𝑏= ∑𝑛𝑖=1𝐵𝑏∙ 𝑢𝑖 ; 𝜀𝑠 = ∑𝑛𝑖=1𝐵𝑠∙ 𝑢𝑖 (40) Onde: 𝐵𝑏= [ 0 𝜕𝑁𝜕𝑥𝑖 0 0 0 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦 0 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥] ; 𝐵𝑠 = [ 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑥 −𝑁𝑖 0 𝜕𝑁𝑖 𝜕𝑦 0 −𝑁𝑖 ] (41)

Onde 𝐵𝑏 e 𝐵𝑠 são as matrizes de deformações generalizadas de flexão e

cisalhamento associadas a um nó i.

3.1.2 Integração Numérica

Substituindo as equações das deformações encontradas para elementos isoparamétricos, e minimizando o funcional da parcela relativa à energia de deformação (7.38), obtém-se as matrizes de rigidez de flexão 𝐾_𝑏 e de cisalhamento 𝐾_𝑠 necessárias para a aplicação do modelo de estudo.

𝐾𝑏= ∫ 𝐵𝑏𝑇∙ 𝐷𝑏∙ 𝐵𝑏𝑑𝐴 ; 𝐾𝑠 𝐴

= ∫ 𝐵𝑏𝑇∙ 𝐷𝑏∙ 𝐵𝑏𝑑𝐴 𝐴

(39)

𝐾𝑇 = 𝐾𝑏+ 𝐾𝑠 (43)

A definição de 𝐾_𝑇 na Equação 43 refere-se a matriz de rigidez local de um elemento finito pertencente a placa. Portanto, torna-se necessário a determinação da matriz de rigidez de todos os elementos finitos da placa para analisá-la.

3.2 FORMULAÇÃO DO MEF PARA PÓRTICOS ESPACIAIS

Pórticos espaciais são estruturas reticuladas que apresentam em cada uma de suas extremidades nodais 6 graus de liberdade, sendo 3 deles de translação e 3 de rotação (GERE;WEAVER, 1981), conforme já ilustrado na Figura 2. Os 6 graus de liberdade são identificados a partir dos nós inicial (i) e final (j) do elemento, que é disposto no espaço de maneira arbitrária, necessitando ser compatibilizado a um eixo coordenado global para sua análise.

Assim como para placas, as hipóteses para pórtico espacial são que o material é isotrópico e sua variação é linear. O pórtico espacial é então discretizado em vários elementos de barra, e cada uma delas fornece um conjunto de equações que posteriormente formarão a equação geral para a solução do problema (SORIANO, 2009). Os deslocamentos axiais e as rotações para o elemento e, são definidos a partir de coordenadas isoparamétricas, encontradas a partir de derivadas de primeira ordem, fazendo com que o problema seja resolvido a partir de uma aproximação de continuidade do tipo C0_{, conforme segue:}

𝑢̂_(𝑥) = 𝑁𝑙

1(𝑥)𝑢𝑖 + 𝑁𝑙2(𝑥)𝑢𝑗 ; 𝜑̂(𝑥) = 𝑁𝑙1(𝑥)𝜑𝑥𝑖+ 𝑁𝑙2(𝑥)𝜑𝑥𝑗 (44)

𝑁₁𝑙 = 1 − 𝜉 ; 𝑁₂𝑙 = 𝜉 𝑒 𝜉 =𝑥 − 𝑥𝑖

𝑒

𝐿𝑒 (45)

Onde 𝐿𝑒 representa o comprimento do elemento, 𝑥_𝑖𝑒 a posição do nó inicial e 𝑥 o local onde irá ocorrer a análise, conforme Figura 12.

Figura 12 - Formulação do deslocamento axial do elemento.

(40)

As deflexões do elemento também são escritas a partir de coordenadas isoparamétricas, utilizando aproximações chamadas de C¹:

𝑣̂_(𝑥) = 𝑁𝑐_1(𝑥)𝑣_𝑖 + 𝑁𝑐_2(𝑥)𝜑_𝑧𝑖+ 𝑁𝑐_3(𝑥)𝑣_𝑗+ 𝑁𝑐_4(𝑥)𝜑_𝑧𝑗 (46) 𝑤̂_(𝑥) = 𝑁𝑐 1(𝑥)𝑤𝑖 + 𝑁𝑐2(𝑥)𝜑𝑦𝑖+ 𝑁𝑐3(𝑥)𝑤𝑗 + 𝑁𝑐4(𝑥)𝜑𝑦𝑗 (47) Onde: 𝑁₁𝑐 = 1 − 3𝜉2 _{+ 2𝜉}3_{; 𝑁} 2𝑐 = 𝐿𝑒(𝜉 − 2𝜉2+ 𝜉3); (48) 𝑁₃𝑐 = 3𝜉2_{− 2𝜉}3_{; 𝑁} 4𝑐 = 𝐿𝑒(−𝜉2+ 𝜉3) (49)

Podendo ser reescritas na forma matricial conforme abaixo:

𝑢̂(𝑥) = { 𝑢̂(𝑥) 𝑣̂(𝑥) 𝑤̂(𝑥) 𝜑̂(𝑥) } = 𝑁𝑒(𝑥)𝑎𝑒 (50)

Onde 𝑁𝑒 corresponde as coordenadas isoparamétricas e 𝑎𝑒 é a matriz dos graus de liberdade do elemento. Sendo definidas como:

𝑁𝑒 = [ 𝑁₁𝑙 0 0 0 0 0 𝑁₂𝑙 0 0 0 0 0 0 𝑁₁𝑐 0 0 0 𝑁₂𝑐 0 𝑁₃𝑐 0 0 0 𝑁₄𝑐 0 0 𝑁₁𝑐 _{0 −𝑁} 2𝑐 0 0 0 𝑁3𝑐 0 −𝑁4𝑐 0 0 0 0 𝑁₁𝑙 0 0 0 0 0 𝑁₂𝑙 0 0 ] (51) 𝑎𝑒 = { 𝑎₁𝑒 ⋮ 𝑎₂𝑒 } = [𝑢𝑖𝑒 𝑣𝑖𝑒 𝑤𝑖𝑒 𝜑𝑥𝑖𝑒 𝜑𝑦𝑖𝑒 𝜑𝑧𝑖𝑒 𝑢𝑗𝑒 𝑣𝑗𝑒 𝑤𝑗𝑒 𝜑𝑥𝑗𝑒 𝜑𝑦𝑗𝑒 𝜑𝑧𝑗𝑒 ] (52)

Assim como os esforços, as deformações e curvaturas do elemento também são descritos: 𝜀̂_(𝑥) =𝜕𝑢̂ 𝜕𝑥(𝑥) = 𝑁 𝑙 1,𝑥(𝑥)𝑢𝑖+ 𝑁𝑙2,𝑥(𝑥)𝑢𝑗 (53) 𝜃̂(𝑥) = 𝜕𝜑̂ 𝜕𝑥(𝑥) = 𝑁 𝑙 1,𝑥(𝑥)𝜑𝑥𝑖+ 𝑁𝑙2,𝑥(𝑥)𝜑𝑥𝑗 (54) 𝑘̂_𝑦(𝑥) =𝜕²𝑤̂ 𝜕𝑥²(𝑥) = −𝑁 𝑐 1,𝑥𝑥𝑤𝑖+ 𝑁𝑐2,𝑥𝑥𝜑𝑦𝑖− 𝑁𝑐3,𝑥𝑥𝑤𝑗+ 𝑁𝑐4,𝑥𝑥𝜑𝑦𝑗 (55) 𝑘̂𝑧(𝑥) = 𝜕²𝑣̂ 𝜕𝑥²(𝑥) = −𝑁 𝑐 1,𝑥𝑥𝑣𝑖 + 𝑁𝑐2,𝑥𝑥𝜑𝑧𝑖− 𝑁𝑐3,𝑥𝑥𝑣𝑗 + 𝑁𝑐4,𝑥𝑥𝜑𝑧𝑗 (56)